Y 1 2 x2 funkcijos grafikas. Funkcijų grafikas
Sukurkite funkciją
Atkreipiame jūsų dėmesį į funkcijų grafikų braižymo internete paslaugą, į kurią visos teisės priklauso įmonei Desmos. Norėdami įvesti funkcijas, naudokite kairįjį stulpelį. Galite įvesti rankiniu būdu arba naudodami virtualią klaviatūrą lango apačioje. Norėdami padidinti diagramos langą, galite paslėpti ir kairįjį stulpelį, ir virtualiąją klaviatūrą.
Internetinio diagramų sudarymo pranašumai
- Vizualus pristatytų funkcijų rodymas
- Labai sudėtingų grafikų kūrimas
- Netiesiogiai apibrėžtų grafikų braižymas (pvz., elipsė x^2/9+y^2/16=1)
- Galimybė išsaugoti diagramas ir gauti nuorodą į jas, kuri tampa prieinama visiems internete
- Mastelio valdymas, linijos spalva
- Gebėjimas braižyti grafikus taškais, konstantų naudojimas
- Kelių funkcijų grafikų konstravimas vienu metu
- Braižymas polinėmis koordinatėmis (naudokite r ir θ(\theta))
Su mumis paprasta kurti įvairaus sudėtingumo grafikus internete. Statyba atliekama akimirksniu. Paslauga yra paklausi ieškant funkcijų susikirtimo taškų, atvaizduojant grafikus jų tolesniam perkėlimui į Word dokumentą kaip iliustracijas sprendžiant uždavinius, analizuojant funkcijų grafikų elgsenos ypatybes. Geriausia naršyklė darbui su diagramomis šiame svetainės puslapyje yra „Google Chrome“. Naudojant kitas naršykles teisingas veikimas negarantuojamas.
Mes pasirenkame stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje ir nubraižome argumento reikšmes ant abscisių ašies X, o y ašyje - funkcijos reikšmės y = f(x).
Funkcijų grafikas y = f(x) iškviečiama visų taškų aibė, kurios abscisės priklauso funkcijos sričiai, o ordinatės yra lygios atitinkamoms funkcijos reikšmėms.
Kitaip tariant, funkcijos y \u003d f (x) grafikas yra visų plokštumos taškų, koordinačių, rinkinys X, adresu kurios tenkina santykį y = f(x).
Ant pav. 45 ir 46 yra funkcijų grafikai y = 2x + 1 Ir y \u003d x 2 - 2x.
Griežtai kalbant, reikėtų atskirti funkcijos grafiką (tikslus matematinis apibrėžimas buvo pateiktas aukščiau) ir nubrėžtą kreivę, kuri visada pateikia tik daugiau ar mažiau tikslų grafiko eskizą (ir net tada, kaip taisyklė, ne visas grafikas, o tik jo dalis, esanti paskutinėse plokštumos dalyse). Tačiau toliau mes paprastai vadinsime „diagramą“, o ne „diagramos eskizą“.
Naudodami grafiką galite rasti funkcijos reikšmę taške. Būtent, jei taškas x = a priklauso funkcijos sričiai y = f(x), tada norėdami rasti numerį f(a)(t. y. funkcijos reikšmės taške x = a) turėtų tai padaryti. Reikia per tašką su abscise x = a nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią y ašiai; ši linija kirs funkcijos grafiką y = f(x) vienu metu; šio taško ordinatė pagal grafiko apibrėžimą bus lygi f(a)(47 pav.).
Pavyzdžiui, dėl funkcijos f(x) = x 2 - 2x naudodamiesi grafiku (46 pav.) randame f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 ir t.t.
Funkcijos grafikas vizualiai iliustruoja funkcijos elgesį ir savybes. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į Fig. 46 akivaizdu, kad funkcija y \u003d x 2 - 2xįgauna teigiamas reikšmes, kai X< 0 ir pas x > 2, neigiamas – ties 0< x < 2; mažiausia vertė funkcija y \u003d x 2 - 2x priima val x = 1.
Norėdami nubrėžti funkciją f(x) reikia rasti visus plokštumos taškus, koordinates X,adresu kurios tenkina lygtį y = f(x). Daugeliu atvejų tai neįmanoma, nes tokių taškų yra be galo daug. Todėl funkcijos grafikas pavaizduotas apytiksliai – didesniu ar mažesniu tikslumu. Paprasčiausias yra kelių taškų braižymo metodas. Jis susideda iš to, kad argumentas X pateikite baigtinį skaičių reikšmių – tarkime, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k ir sudarykite lentelę, kurioje būtų pasirinktos funkcijos reikšmės.
Lentelė atrodo taip:
Sudarę tokią lentelę, funkcijos grafike galime nubrėžti keletą taškų y = f(x). Tada sujungus šiuos taškus lygia linija, gauname apytikslį funkcijos grafiko vaizdą y = f(x).
Tačiau reikia pažymėti, kad kelių taškų braižymo metodas yra labai nepatikimas. Tiesą sakant, grafiko elgsena tarp pažymėtų taškų ir jos elgsena už atkarpos tarp kraštutinių taškų lieka nežinoma.
1 pavyzdys. Norėdami nubrėžti funkciją y = f(x) kažkas sudarė argumentų ir funkcijų reikšmių lentelę:
Atitinkami penki taškai parodyti fig. 48.
Remdamasis šių taškų vieta, jis padarė išvadą, kad funkcijos grafikas yra tiesi linija (48 pav. parodyta punktyrine linija). Ar ši išvada gali būti laikoma patikima? Jei nėra papildomų priežasčių, pagrindžiančių šią išvadą, ji vargu ar gali būti laikoma patikima. patikimas.
Norėdami pagrįsti savo teiginį, apsvarstykite funkciją
.
Skaičiavimai rodo, kad šios funkcijos reikšmės taškuose -2, -1, 0, 1, 2 yra tiesiog aprašytos aukščiau pateiktoje lentelėje. Tačiau šios funkcijos grafikas visai nėra tiesi (ji pavaizduota 49 pav.). Kitas pavyzdys yra funkcija y = x + l + sinx; jo reikšmės taip pat aprašytos aukščiau esančioje lentelėje.
Šie pavyzdžiai rodo, kad „gryna“ forma kelių taškų braižymo metodas yra nepatikimas. Todėl, norėdami nubrėžti tam tikrą funkciją, paprastai elkitės taip. Pirmiausia išnagrinėjamos šios funkcijos savybės, kurių pagalba galima sukonstruoti grafiko eskizą. Tada, apskaičiuojant funkcijos reikšmes keliuose taškuose (kurių pasirinkimas priklauso nuo funkcijos nustatytų savybių), randami atitinkami grafiko taškai. Ir galiausiai per sukonstruotus taškus nubrėžiama kreivė, naudojant šios funkcijos savybes.
Vėliau panagrinėsime kai kurias (paprasčiausias ir dažniausiai naudojamas) funkcijų, naudojamų grafiko eskizui rasti, savybes, o dabar panagrinėsime kai kuriuos dažniausiai naudojamus grafikų braižymo metodus.
Funkcijos y = |f(x)| grafikas.
Dažnai reikia nubrėžti funkciją y = |f(x)|, kur f(x) – suteikta funkcija. Prisiminkite, kaip tai daroma. Pagal skaičiaus absoliučiosios reikšmės apibrėžimą galima rašyti
Tai reiškia, kad funkcijos grafikas y=|f(x)| galima gauti iš grafiko, funkcijų y = f(x) taip: visi funkcijos grafiko taškai y = f(x), kurio ordinatės neneigiamos, palikti nepakeistas; toliau, vietoj funkcijos grafiko taškų y = f(x), turint neigiamas koordinates, reikia sukonstruoti atitinkamus funkcijos grafiko taškus y = -f(x)(t. y. funkcijos grafiko dalis
y = f(x), kuris yra žemiau ašies X, turi atsispindėti simetriškai apie ašį X).
2 pavyzdys Nubraižykite funkciją y = |x|.
Imame funkcijos grafiką y = x(50 pav., a) ir dalis šio grafiko su X< 0 (guli po ašimi X) atsispindi simetriškai apie ašį X. Rezultate gauname funkcijos grafiką y = |x|(50 pav., b).
3 pavyzdys. Nubraižykite funkciją y = |x 2 - 2x|.
Pirmiausia pavaizduojame funkciją y = x 2 - 2x.Šios funkcijos grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, parabolės viršūnė turi koordinates (1; -1), jos grafikas kerta abscisių ašį taškuose 0 ir 2. Intervale (0; 2) ) funkcija įgauna neigiamas reikšmes, todėl ši grafiko dalis atspindi simetriškai apie x ašį. 51 paveiksle parodytas funkcijos grafikas y \u003d |x 2 -2x |, remiantis funkcijos grafiku y = x 2 - 2x
Funkcijos y = f(x) + g(x) grafikas
Apsvarstykite funkcijos braižymo problemą y = f(x) + g(x). jei pateikti funkcijų grafikai y = f(x) Ir y = g(x).
Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos y sritis = |f(x) + g(x)| yra aibė visų tų x reikšmių, kurioms yra apibrėžtos abi funkcijos y = f(x) ir y = g(x), t. y. ši apibrėžimo sritis yra apibrėžimo sričių, funkcijų f(x) sankirta. ) ir g(x).
Tegul taškai (x 0, y 1) Ir (x 0, y 2) atitinkamai priklauso funkcijų grafikams y = f(x) Ir y = g(x), t.y. y 1 \u003d f (x 0), y 2 = g (x 0). Tada taškas (x0;. y1 + y2) priklauso funkcijos grafikui y = f(x) + g(x)(dėl f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. ir bet kuris funkcijos grafiko taškas y = f(x) + g(x) galima gauti tokiu būdu. Todėl funkcijos grafikas y = f(x) + g(x) galima gauti iš funkcijų grafikų y = f(x). Ir y = g(x) pakeičiant kiekvieną tašką ( x n, y 1) funkcinė grafika y = f(x) taškas (x n, y 1 + y 2), Kur y 2 = g(x n), ty perkeliant kiekvieną tašką ( x n, y 1) funkcijų grafikas y = f(x) išilgai ašies adresu pagal sumą y 1 \u003d g (x n). Šiuo atveju atsižvelgiama tik į tokius punktus. X n, kuriai apibrėžtos abi funkcijos y = f(x) Ir y = g(x).
Šis funkcijos grafiko braižymo būdas y = f(x) + g(x) vadinamas funkcijų grafikų pridėjimu y = f(x) Ir y = g(x)
4 pavyzdys. Paveiksle grafų sudėjimo būdu sukonstruotas funkcijos grafikas
y = x + sinx.
Braižydami funkciją y = x + sinx mes tai manėme f(x) = x, A g(x) = sinx. Norėdami sudaryti funkcijų grafiką, pasirenkame taškus su abscisėmis -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Reikšmės f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx skaičiuosime pasirinktuose taškuose ir rezultatus patalpinsime į lentelę.
Sukurkite kreivę, pateiktą parametrinėmis lygtimis \
Pirmiausia išnagrinėkime funkcijų \(x\left(t \right)\) ir \(x\left(t \right)\) grafikus. Abi funkcijos yra kubiniai polinomai, kurie apibrėžti visiems \(x \in \mathbb(R).\) Raskite išvestinę \(x"\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \) dešinė) = (\left(((t^3) + (t^2) - t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 2t - 1.) \] Lygties sprendimas \ ( x"\left(t \right) = 0,\) apibrėžkite nejudančius funkcijos \(x\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \right) = 0, )\;\ ; (\Rodyklė dešinėn 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Rodyklė dešinėn (t_(1,2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] (t = 1\) funkcija \(x\left(t \right)\) pasiekia maksimumą, lygų \, o taške \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) ji turi minimumą lygus \[ (x\left((\frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\left( (\ frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \frac( 1) (9) - \frac(1)(3) = - \frac(5)((27)).) \] Apsvarstykite išvestinę \(y"\left(t \right):\) \[ ( y"\ left(t \right) = (\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4 .) \ ] Raskite funkcijos \(y\left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Rodyklė dešinėn 3(t) ^2) + 4t - 4 = 0,)\;\;(\rodyklė dešinėn (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2;\ ;\frac(2) (3).) \] Panašiai ir čia funkcija \(y\left(t \right)\) pasiekia maksimumą taške \(t = -2:\) \ ir minimumą taške \(t = \large\frac (2)(3)\normalsize:\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left(() \frac(2)(3)) \right )^3) + 2(\left((\frac(2)(3)) \right)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27) ) + \frac(8)(9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] Funkcijų \(x\left(t \right )\), \(y\left(t \right)\) grafikai schematiškai pavaizduoti paveiksle \(15a.\)
15a pav |
15b pav |
15c pav |
Atminkite, kad kadangi \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] tada kreivė \(y\left(x \right)\) neturi vertikalios, nėra horizontalių asimptočių. Be to, kadangi \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) ) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\ color) (mėlyna)(t^3)) + \spalva(raudona)(2(t^2)) - \spalva(žalia)(4t) - \atšaukti(\spalva(mėlyna)(t^3)) - \ spalva (raudona)(t^2) + \spalva(žalia)(t)) \dešinė) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\spalva(raudona)(t^ 2) ) - \spalva(žalia)(3t)) \right) = + \infty ,) \] tada kreivė \(y\left(x \right)\) taip pat neturi įstrižų asimptotų.
Nustatykime grafiko \(y\left(x \right)\) susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. Susikirtimas su x ašimi įvyksta šiuose taškuose: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\RightArrow t\left(((t^2) + 2t - 4) \right) = 0;) \]
\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\Arrow D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \right) = 20,)\;\; (\ Rodyklė į dešinę (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)
\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\Rodyklė dešinėn D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \right) = 5,)\;\; (\ Rodyklė į dešinę (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normalsize.) \)
Antrame intervale \(\left(( - 2, - 1) \right)\) kintamasis \(x\) didėja nuo \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) iki \ (x \left(( - 1) \right) = 1,\) ir kintamasis \(y\) sumažėja iš \(y\left(( - 2) \right) = 8\) į \(y\left (( - 1) \right) = 5.\) Čia turime mažėjančios kreivės atkarpą \(y\left(x \right).\) Ji kerta y ašį taške \(\left(() 0,3 + 2\sqrt 5 ) \right).\)
Trečiame intervale \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) abu kintamieji mažėja. \(x\) keičiasi iš \(x\left(( - 1) \right) = 1\) į \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) Atitinkamai \(y\) sumažėja iš \(y\left(( - 1) \right) = 5\) į \(y\ left( (\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Kreivė \(y\left(x \right)\ ) susikerta koordinačių kilmė.
Ketvirtajame intervale \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) kintamasis \(x\) didėja nuo \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) į \(x\left((\) big\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) ir kintamasis \(y\) mažėja nuo \(y\left(() \large\ frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) į \(y\left((\large\frac(2)() 3)\ normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) Šioje dalyje kreivė \(y\left(x \right)\) kerta y ašį taške \(\left( (0,3 - 2\sqrt 5 ) \right).\)
Galiausiai paskutiniame intervale \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) abi funkcijos \(x\left(t \right)\), \ ( y\left(t \right)\) padidinti. Kreivė \(y\left(x \right)\) kerta x ašį taške \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \apytiksliai 2,18.\)
Norėdami patikslinti kreivės formą \(y\left(x \right)\), apskaičiuojame didžiausią ir mažiausią taškus. Išvestinė \(y"\left(x \right)\) išreiškiama kaip \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) ( ((x"_t))) ) = (\frac((((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right))^\prime )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\atšaukti(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \ dešinė)))((\atšaukti(3)\left((t + 1) \right)\left((t - \frac(1)(3)) \right))) ) = (\frac(() \ left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \right)))((\left((t + 1) \right)\left((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] Išvestinės \(y"\left(x \right)\) ženklo pokytis parodytas paveikslėlyje \(15c.\) Matyti, kad taške \(t = - 2,\) t.y. ant \(I\)-ojo ir \(II\)-ojo intervalų ribos kreivė turi maksimumą, o \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (ant ribos \(IV\)-asis ir \(V\)-asis intervalai) yra minimumas. Einant per tašką \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) išvestinė taip pat keičia ženklą iš pliuso į minusą, tačiau šioje srityje kreivė \(y\left(x \right)\ ) nėra vienareikšmė funkcija. Todėl nurodytas taškas nėra ekstremumas.
Taip pat tiriame šios kreivės išgaubimą. Antrasis darinys\(y""\left(x \right)\) turi tokią formą: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left() ( (y"_x)) \right))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4) ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \right))^\pirmas )))(((\left(((t^3) + (t^2) - t) \ dešinė ))^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \right) - \left((3( t ^2) + 4t - 4) \right)\left((6t + 2) \right)))(((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^) 2) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right)))^3))) = \ frac((\cancel(\spalva(mėlyna)(18(t^3))) + \spalva(raudona)(24(t^2)) + \spalva(žalia)(2t) - \spalva(maroon) (4) - \cancel(\spalva(mėlyna)(18(t^3))) - \spalva(raudona)(30(t^2)) + \spalva(žalia)(16t) + \spalva(maroon) ( 8)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right)))^3))) = \frac(( - \spalva(raudona)(6(t^2) ) ) + \spalva(žalia)(18t) + \spalva(kaštoninė)(4)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right)))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right)\left((t - \frac((9 + \sqrt (105)) ) )(6)) \right)))((((\left((t + 1) \right)))^3)((\left((3t - 1) \right)))^3))). \] Vadinasi, antroji išvestinė keičia savo ženklą į priešingą, kai praeina per šiuos taškus (pav.\(15с\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1) ) \right ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \apytiksliai 0,24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \apytiksliai 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \) sqrt(105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \apytiksliai 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \apytiksliai 40,8.) \] Todėl šie taškai yra kreivės vingio taškai \(y\left (x \dešinė).\)
Kreivės \(y\left(x \right)\) schema parodyta aukščiau, paveikslėlyje \(15b.\)
Funkcija y=x^2 vadinama kvadratine funkcija. Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė. Bendra forma parabolė parodyta paveikslėlyje žemiau.
kvadratinė funkcija
1 pav. Bendras parabolės vaizdas
Kaip matyti iš grafiko, jis yra simetriškas Oy ašiai. Ašis Oy vadinama parabolės simetrijos ašimi. Tai reiškia, kad jei diagramoje nubrėžiate tiesią liniją, lygiagrečią Ox ašiai, virš šios ašies. Tada jis kerta parabolę dviejuose taškuose. Atstumas nuo šių taškų iki y ašies bus toks pat.
Simetrijos ašis padalija parabolės grafiką tarsi į dvi dalis. Šios dalys vadinamos parabolės šakomis. O parabolės taškas, esantis ant simetrijos ašies, vadinamas parabolės viršūne. Tai yra, simetrijos ašis eina per parabolės viršų. Šio taško koordinatės yra (0;0).
Pagrindinės kvadratinės funkcijos savybės
1. Jei x=0, y=0 ir y>0, jei x0
2. Kvadratinė funkcija pasiekia mažiausią reikšmę savo viršūnėje. Ymin, kai x=0; Taip pat reikia pažymėti, kad maksimali funkcijos reikšmė neegzistuoja.
3. Funkcija mažėja intervale (-∞; 0] ir didėja intervale )