Kaip išspręsti egzamino profilio logaritmus. Logaritminių lygčių sprendimas
Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų surinkta Asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas ar tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Kas yra logaritmas?
Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)
Kas yra logaritmas? Kaip išspręsti logaritmus? Šie klausimai glumina daugelį abiturientų. Tradiciškai logaritmų tema laikoma sudėtinga, nesuprantama ir bauginančia. Ypač lygtys su logaritmais.
Tai visiškai netiesa. absoliučiai! Netikite manimi? gerai. Dabar vos per 10–20 minučių jūs:
1. Suprask kas yra logaritmas.
2. Išmokite apsispręsti visa klasė eksponentinės lygtys. Net jei nieko apie juos negirdėjote.
3. Išmokite skaičiuoti paprastus logaritmus.
Be to, tam jums tereikia žinoti daugybos lentelę ir kaip skaičių pakelti į laipsnį...
Jaučiu, kad tau kyla abejonių... Na, gerai, pažymėk laiką! Pirmyn!
Pirmiausia savo galvoje išspręskite šią lygtį:
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Kaip žinote, dauginant išraiškas su laipsniais, jų rodikliai visada sumuojasi (a b *a c = a b+c). Šį matematinį dėsnį išvedė Archimedas, o vėliau, VIII amžiuje, matematikas Virasenas sukūrė sveikųjų rodiklių lentelę. Būtent jie pasitarnavo tolesniam logaritmų atradimui. Šios funkcijos naudojimo pavyzdžių galima rasti beveik visur, kur reikia supaprastinti sudėtingą dauginimą paprastu sudėjimu. Jei skaitydami šį straipsnį skirsite 10 minučių, paaiškinsime, kas yra logaritmai ir kaip su jais dirbti. Paprasta ir prieinama kalba.
Apibrėžimas matematikoje
Logaritmas yra tokios formos išraiška: log a b=c, tai yra, bet kurio neneigiamo skaičiaus (ty bet kurio teigiamo) „b“ logaritmas iki jo bazės „a“ laikomas laipsniu „c“. “, iki kurio turi būti padidinta bazė „a“, kad galiausiai būtų gauta reikšmė „b“. Išanalizuokime logaritmą naudodami pavyzdžius, tarkime, kad yra išraiška log 2 8. Kaip rasti atsakymą? Tai labai paprasta, reikia rasti tokią galią, kad nuo 2 iki reikiamos galios gautumėte 8. Galvoje atlikę keletą skaičiavimų, gauname skaičių 3! Ir tai tiesa, nes 2 iki 3 laipsnio suteikia atsakymą kaip 8.
Logaritmų tipai
Daugeliui mokinių ir studentų ši tema atrodo sudėtinga ir nesuprantama, tačiau iš tikrųjų logaritmai nėra tokie baisūs, svarbiausia suprasti jų bendrą prasmę ir atsiminti jų savybes bei kai kurias taisykles. Yra trys atskiros rūšys logaritminės išraiškos:
- Natūralusis logaritmas ln a, kur bazė yra Eulerio skaičius (e = 2,7).
- Dešimtainė a, kur bazė yra 10.
- Bet kurio skaičiaus b logaritmas bazei a>1.
Kiekvienas iš jų yra išspręstas standartiniu būdu, įskaitant supaprastinimą, sumažinimą ir vėlesnį redukavimą iki vieno logaritmo naudojant logaritmines teoremas. Norėdami gauti teisingas logaritmų reikšmes, spręsdami turėtumėte atsiminti jų savybes ir veiksmų seką.
Taisyklės ir kai kurie apribojimai
Matematikoje yra keletas taisyklių-apribojimų, kurie priimami kaip aksioma, tai yra, jie nėra diskutuojami ir yra tiesa. Pavyzdžiui, neįmanoma padalyti skaičių iš nulio, taip pat neįmanoma išgauti lygiosios šaknies neigiami skaičiai. Logaritmai taip pat turi savo taisykles, kurių laikydamiesi galite lengvai išmokti dirbti net su ilgomis ir talpiomis logaritminėmis išraiškomis:
- Bazė „a“ visada turi būti didesnė už nulį, o ne lygi 1, kitaip išraiška praras savo prasmę, nes „1“ ir „0“ bet kokiu laipsniu visada yra lygūs jų reikšmėms;
- jei a > 0, tai a b >0, pasirodo, kad „c“ taip pat turi būti didesnis už nulį.
Kaip išspręsti logaritmus?
Pavyzdžiui, pateikiama užduotis rasti atsakymą į lygtį 10 x = 100. Tai labai paprasta, reikia pasirinkti laipsnį, padidinant skaičių dešimt, iki kurio gauname 100. Tai, žinoma, yra 10 2 = 100.
Dabar pavaizduokime šią išraišką logaritmine forma. Gauname log 10 100 = 2. Sprendžiant logaritmus visi veiksmai praktiškai susilieja, kad rastų laipsnį, į kurį reikia įvesti logaritmo bazę, kad gautume duotąjį skaičių.
Norėdami tiksliai nustatyti nežinomo laipsnio reikšmę, turite išmokti dirbti su laipsnių lentele. Tai atrodo taip:
Kaip matote, kai kuriuos eksponentus galima atspėti intuityviai, jei turite techninį protą ir išmanote daugybos lentelę. Tačiau didesnėms vertėms jums reikės maitinimo stalo. Ją gali naudoti net tie, kurie nieko nežino apie sudėtingas matematines temas. Kairiajame stulpelyje yra skaičiai (bazė a), viršutinė skaičių eilutė yra laipsnio c reikšmė, iki kurios pakeliamas skaičius a. Sankryžoje langeliuose yra skaičių reikšmės, kurios yra atsakymas (a c = b). Paimkime, pavyzdžiui, patį pirmąjį langelį su skaičiumi 10 ir padėkite jį kvadratu, gausime reikšmę 100, kuri yra nurodyta mūsų dviejų langelių sankirtoje. Viskas taip paprasta ir lengva, kad supras net pats tikriausias humanistas!
Lygtys ir nelygybės
Pasirodo, tam tikromis sąlygomis eksponentas yra logaritmas. Todėl bet kurios matematinės skaitinės išraiškos gali būti užrašytos kaip logaritminė lygybė. Pavyzdžiui, 3 4 =81 gali būti parašytas kaip 81 bazinis 3 logaritmas, lygus keturiems (log 3 81 = 4). Neigiamų galių taisyklės yra vienodos: 2 -5 = 1/32 rašome kaip logaritmą, gauname log 2 (1/32) = -5. Viena įdomiausių matematikos skyrių yra „logaritmų“ tema. Žemiau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius ir sprendimus, iš karto ištyrę jų savybes. Dabar pažiūrėkime, kaip atrodo nelygybės ir kaip jas atskirti nuo lygčių.
Duota tokios formos išraiška: log 2 (x-1) > 3 – tai yra logaritminė nelygybė, nes nežinoma reikšmė "x" yra po logaritmo ženklu. Taip pat išraiškoje lyginami du dydžiai: norimo skaičiaus logaritmas su baziniu du yra didesnis nei skaičius trys.
Svarbiausias skirtumas tarp logaritminių lygčių ir nelygybių yra tas, kad lygtys su logaritmais (pavyzdžiui, logaritmas 2 x = √9) reiškia vieną ar daugiau konkrečių atsakymų. skaitinės reikšmės, o sprendžiant nelygybės apibrėžiamos kaip regionas priimtinos vertės, ir šios funkcijos lūžio taškai. Todėl atsakymas nėra paprastas individualūs numeriai kaip atsakyme yra lygtis, o a yra ištisinė skaičių serija arba rinkinys.
Pagrindinės teoremos apie logaritmus
Sprendžiant primityvias logaritmo reikšmių radimo užduotis, jo savybės gali būti nežinomos. Tačiau kalbant apie logaritmines lygtis ar nelygybes, pirmiausia reikia aiškiai suprasti ir praktiškai pritaikyti visas pagrindines logaritmų savybes. Vėliau pažvelgsime į lygčių pavyzdžius, pirmiausia pažvelkime į kiekvieną ypatybę išsamiau.
- Pagrindinė tapatybė atrodo taip: a logaB =B. Jis taikomas tik tada, kai a yra didesnis nei 0, nelygus vienetui, o B yra didesnis už nulį.
- Produkto logaritmą galima pavaizduoti tokia formule: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šiuo atveju privaloma sąlyga yra: d, s 1 ir s 2 > 0; a≠1. Galite pateikti šios logaritminės formulės įrodymą su pavyzdžiais ir sprendimu. Tegu log a s 1 = f 1 ir log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Gauname, kad s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ypatybės laipsniai ), o tada pagal apibrėžimą: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ką reikėjo įrodyti.
- Dalinio logaritmas atrodo taip: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema formulės pavidalu įgauna tokią formą: log a q b n = n/q log a b.
Ši formulė vadinama „logaritmo laipsnio savybe“. Tai primena įprastų laipsnių savybes, ir tai nenuostabu, nes visa matematika remiasi natūraliais postulatais. Pažiūrėkime į įrodymą.
Tegu log a b = t, pasirodo a t =b. Jei abi dalis pakelsime laipsniu m: a tn = b n ;
bet kadangi a tn = (a q) nt/q = b n, todėl log a q b n = (n*t)/t, tada log a q b n = n/q log a b. Teorema įrodyta.
Problemų ir nelygybių pavyzdžiai
Dažniausiai pasitaikančios logaritmų problemos yra lygčių ir nelygybių pavyzdžiai. Jie yra beveik visose probleminėse knygose, taip pat yra privaloma matematikos egzaminų dalis. Dėl stojimo į universitetą arba išlaikymo stojamieji egzaminai matematikoje reikia mokėti teisingai išspręsti tokius uždavinius.
Deja, vieno sprendimo ir nustatymo plano ar schemos nėra nežinoma vertė Nėra tokio dalyko kaip logaritmas, bet kiekvienai matematinei nelygybei ar logaritminei lygčiai gali būti taikomos tam tikros taisyklės. Visų pirma, jūs turėtumėte išsiaiškinti, ar posakis gali būti supaprastintas ar sukelti bendra išvaizda. Galite supaprastinti ilgas logaritmines išraiškas, jei teisingai naudojate jų savybes. Greitai su jais susipažinkime.
Spręsdami logaritmines lygtis turime nustatyti, kokio tipo logaritmą turime: pavyzdinėje išraiškoje gali būti natūralusis logaritmas arba dešimtainis.
Štai pavyzdžiai ln100, ln1026. Jų sprendimas yra susijęs su tuo, kad jie turi nustatyti galią, kuriai bazė 10 bus lygi 100 ir 1026. Norėdami išspręsti natūralius logaritmus, turite taikyti logaritminius tapatumus arba jų savybes. Pažvelkime į įvairių tipų logaritminių uždavinių sprendimo pavyzdžius.
Kaip naudoti logaritmo formules: su pavyzdžiais ir sprendimais
Taigi, pažvelkime į pagrindinių logaritmų teoremų naudojimo pavyzdžius.
- Produkto logaritmo savybė gali būti naudojama atliekant užduotis, kur reikia plėsti didelę reikšmę skaičius b į paprastesnius veiksnius. Pavyzdžiui, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atsakymas yra 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kaip matote, naudojant ketvirtąją logaritmo galios savybę, mums pavyko išspręsti iš pažiūros sudėtingą ir neišsprendžiamą išraišką. Jums tereikia apskaičiuoti bazę ir išimti eksponentų reikšmes iš logaritmo ženklo.
Vieningo valstybinio egzamino užduotys
Logaritmai dažnai randami stojamieji egzaminai, ypač daug logaritminių problemų vieningo valstybinio egzamino ( Valstybinis egzaminas visiems mokyklą baigusiems asmenims). Paprastai šios užduotys pateikiamos ne tik A dalyje (lengviausia bandomoji dalis egzaminas), bet ir C dalyje (sudėtingiausios ir didžiausios užduotys). Egzaminas reikalauja tikslių ir nepriekaištingų temos „Natūralūs logaritmai“ išmanymo.
Pavyzdžiai ir problemų sprendimai paimti iš oficialaus Vieningo valstybinio egzamino parinktys. Pažiūrėkime, kaip tokios užduotys sprendžiamos.
Duotas log 2 (2x-1) = 4. Sprendimas:
perrašykime išraišką, šiek tiek supaprastindami log 2 (2x-1) = 2 2, pagal logaritmo apibrėžimą gauname, kad 2x-1 = 2 4, todėl 2x = 17; x = 8,5.
- Geriausia visus logaritmus sumažinti iki vienodo pagrindo, kad sprendimas nebūtų sudėtingas ir painus.
- Visos išraiškos po logaritmo ženklu nurodomos kaip teigiamos, todėl, kai po logaritmo ženklu esančios išraiškos ir jo bazės eksponentas išimamas kaip daugiklis, po logaritmu likusi išraiška turi būti teigiama.
Šiame vaizdo įraše apžvelgsime gana rimtos logaritminės lygties sprendimą, kuriame ne tik reikia rasti šaknis, bet ir pasirinkti tas, kurios yra tam tikrame segmente.
Problema C1. Išspręskite lygtį. Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias intervalui.
Pastaba apie logaritmines lygtis
Tačiau metai iš metų pas mane ateina studentų, kurie bando išspręsti tokias, atvirai kalbant, sudėtingos lygtys, bet kartu negali suprasti: nuo ko pradėti ir kaip priartėti prie logaritmų? Ši problema gali iškilti net tarp stiprių, gerai pasiruošusių studentų.
Dėl to daugelis pradeda bijoti šios temos ar net laiko save kvailais. Taigi, atminkite: jei negalite išspręsti tokios lygties, tai visiškai nereiškia, kad esate kvailas. Kadangi, pavyzdžiui, šią lygtį galite tvarkyti beveik žodžiu:
log 2 x = 4
Ir jei taip nėra, dabar šio teksto neskaitytumėte, nes buvote užsiėmę paprastesnėmis ir žemiškesnėmis užduotimis. Žinoma, kas nors dabar prieštaraus: „Ką ši paprasčiausia lygtis turi bendro su mūsų sveika struktūra? Atsakau: bet kokia logaritminė lygtis, kad ir kokia sudėtinga ji būtų, galiausiai susiveda į šias paprasčiausias struktūras, kurias galima išspręsti žodžiu.
Žinoma, nuo sudėtingų logaritminių lygčių prie paprastesnių reikia pereiti ne per atranką ar šokant su tamburinu, o pagal aiškias, ilgai apibrėžtas taisykles, kurios vadinamos - logaritminių išraiškų konvertavimo taisyklės. Žinodami jas, galite lengvai susidoroti su net sudėtingiausiomis matematikos valstybinio egzamino lygtimis.
Ir būtent apie šias taisykles kalbėsime šios dienos pamokoje. Pirmyn!
Logaritminės lygties sprendimas C1 uždavinyje
Taigi, mes išsprendžiame lygtį:
Visų pirma, kalbant apie logaritmines lygtis, prisimename pagrindinę taktiką – taip sakant, pagrindinę logaritminių lygčių sprendimo taisyklę. Jį sudaro:
Kanoninės formos teorema. Bet kuri logaritminė lygtis, nesvarbu, ką ji apima, kokius logaritmus, pagrindą ir ką ji turi, būtinai turi būti sumažinta iki formos lygties:
log a f (x) = log a g (x)
Jei pažvelgsime į mūsų lygtį, iškart pastebėsime dvi problemas:
- Kairėje turime dviejų skaičių suma, vienas iš kurių nėra logaritmas.
- Dešinėje yra gana logaritmas, bet jo bazėje yra šaknis. O logaritmas kairėje yra tiesiog 2, t.y. Kairėje ir dešinėje pusėje esančių logaritmų pagrindai skiriasi.
Taigi, mes sudarėme šį sąrašą problemų, kurios atskiria mūsų lygtį nuo to kanoninė lygtis , iki kurios bet kuri logaritminė lygtis turi būti sumažinta sprendimo proceso metu. Taigi mūsų lygties sprendimas yra šioje stadijoje reikia pašalinti dvi aukščiau aprašytas problemas.
Bet kurią logaritminę lygtį galima greitai ir lengvai išspręsti, jei sumažinsite ją iki kanoninės formos.
Logaritmų suma ir sandaugos logaritmas
Tęskime eilės tvarka. Pirmiausia pažvelkime į struktūrą kairėje. Ką galime pasakyti apie dviejų logaritmų sumą? Prisiminkime nuostabią formulę:
log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)
Tačiau verta manyti, kad mūsų atveju pirmasis narys nėra logaritmas. Tai reiškia, kad vienetą turime pavaizduoti kaip logaritmą iki 2 bazės (tiksliai 2, nes logaritmas iki 2 bazės yra kairėje). Kaip tai padaryti? Dar kartą prisiminkime nuostabią formulę:
a = log b b a
Čia reikia suprasti: kai sakome „Bet kokia bazė b“, turime omenyje, kad b vis tiek negali būti savavališkas skaičius. Jei į logaritmą įterpsime skaičių, tai tikrai apribojimai, būtent: logaritmo bazė turi būti didesnė už 0 ir neturi būti lygi 1. Priešingu atveju logaritmas tiesiog neturi prasmės. Užrašykime tai:
0 < b ≠ 1
Pažiūrėkime, kas atsitiks mūsų atveju:
1 = log 2 2 1 = log 2 2
Dabar perrašykime visą savo lygtį atsižvelgdami į šį faktą. Ir tuoj pat taikome kitą taisyklę: logaritmų suma lygi argumentų sandaugos logaritmui. Rezultate gauname:
Turime naują lygtį. Kaip matome, tai jau daug arčiau kanoninės lygties, kurios mes siekiame. Tačiau yra viena problema, mes ją užrašėme kaip antrą tašką: mūsų logaritmai, kurie yra kairėje ir dešinėje, skirtingų priežasčių. Pereikime prie kito žingsnio.
Laipsnių atėmimo iš logaritmo taisyklės
Taigi logaritmas kairėje turi tik 2 bazę, o logaritmas dešinėje turi šaknį prie pagrindo. Bet tai nėra problema, jei prisiminsime, kad logaritmo argumentų pagrindus galima iškelti į laipsnius. Užsirašykime vieną iš šių taisyklių:
log a b n = n log a b
Vertimas į žmonių kalba: Galite paimti galią iš logaritmo pagrindo ir įdėti ją į priekį kaip daugiklį. Skaičius n „migravo“ iš logaritmo į išorę ir tapo koeficientu priekyje.
Lygiai taip pat lengvai galime išvesti galią iš logaritmo pagrindo. Tai atrodys taip:
Kitaip tariant, jei pašalinsite laipsnį iš logaritmo argumento, šis laipsnis taip pat įrašomas kaip koeficientas prieš logaritmą, bet ne kaip skaičius, o kaip grįžtamasis skaičius 1/k.
Tačiau tai dar ne viskas! Galime sujungti šias dvi formules ir gauti tokią formulę:
Kai laipsnis atsiranda ir logaritmo bazėje, ir argumente, galime sutaupyti laiko ir supaprastinti skaičiavimus, iš karto atimdami laipsnius ir iš pagrindo, ir iš argumento. Šiuo atveju tai, kas buvo argumente (mūsų atveju tai yra koeficientas n), atsiras skaitiklyje. O koks buvo laipsnis bazėje, a k, eis į vardiklį.
Ir būtent šias formules dabar naudosime, kad sumažintume logaritmus iki tos pačios bazės.
Visų pirma išsirinkime daugiau ar mažiau gražų pagrindą. Akivaizdu, kad daug maloniau dirbti su du prie pagrindo nei su šaknimis. Taigi pabandykime antrąjį logaritmą sumažinti iki 2 bazės. Parašykime šį logaritmą atskirai:
Ką mes čia galime padaryti? Prisiminkime galios formulę su racionalus rodiklis. Kitaip tariant, šaknis galime užrašyti kaip galią su racionaliu rodikliu. Ir tada iš argumento ir logaritmo pagrindo paimame 1/2 laipsnį. Sumažiname skaitiklio ir vardiklio, nukreipto prieš logaritmą, koeficientų du:
Galiausiai perrašykime pradinę lygtį, atsižvelgdami į naujus koeficientus:
2 žurnalas 2 (9 x 2 + 5) = 2 žurnalas (8 x 4 + 14)
Gavome kanoninę logaritminę lygtį. Ir kairėje, ir dešinėje turime logaritmą iki tos pačios bazės 2. Be šių logaritmų nėra jokių koeficientų, nėra terminų nei kairėje, nei dešinėje.
Vadinasi, galime atsikratyti logaritmo ženklo. Žinoma, atsižvelgiant į apibrėžimo sritį. Tačiau prieš tai darydami grįžkime ir šiek tiek paaiškinkime trupmenas.
Trupmenos padalijimas iš trupmenos: papildomi svarstymai
Ne visi mokiniai supranta, iš kur atsiranda ir kur jie eina prieš teisingą logaritmą esantys veiksniai. Užsirašykime dar kartą:
Išsiaiškinkime, kas yra trupmena. Užsirašykime:
Dabar prisiminkime trupmenų padalijimo taisyklę: norint padalyti iš 1/2, reikia padauginti iš atvirkštinės trupmenos:
Žinoma, tolimesnių skaičiavimų patogumui du galime parašyti kaip 2/1 – tai ir stebime kaip antrąjį koeficientą sprendimo procese.
Tikiuosi, kad dabar visi supranta, iš kur atsiranda antrasis koeficientas, todėl pereikime tiesiai prie mūsų kanoninės logaritminės lygties sprendimo.
Atsikratyti logaritmo ženklo
Leiskite jums priminti, kad dabar galime atsikratyti logaritmų ir palikti tokią išraišką:
2 (9x 2 + 5) = 8x 4 + 14
Atidarykime skliaustus kairėje. Mes gauname:
18x 2 + 10 = 8x 4 + 14
Viską perkelkime iš kairės į dešinę:
8x 4 + 14 - 18x 2 - 10 = 0
Atsineškime panašių ir gaukime:
8x 4 - 18x 2 + 4 = 0
Abi šios lygties puses galime padalyti iš 2, kad supaprastintume koeficientus, ir gauname:
4x 4 − 9x 2 + 2 = 0
Prieš mus yra įprasta bikvadratinė lygtis, o jo šaknys lengvai apskaičiuojamos per diskriminantą. Taigi, užrašykite diskriminantą:
D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49
Puiku, diskriminantas yra „gražus“, jo šaknis yra 7. Tai štai, suskaičiuokime X patys. Bet šiuo atveju šaknys bus ne x, o x 2, nes turime bikvadratinę lygtį. Taigi, mūsų parinktys:
Atkreipkite dėmesį: ištraukėme šaknis, todėl atsakymai bus du, nes... kvadratas - lygi funkcija. Ir jei parašysime tik šaknį iš dviejų, tada tiesiog prarasime antrąją šaknį.
Dabar parašome antrąją mūsų bikvadratinės lygties šaknį:
Vėlgi, ištraukiame aritmetiką Kvadratinė šaknis iš abiejų mūsų lygties pusių gauname dvi šaknis. Tačiau atminkite:
Neužtenka vien logaritmų argumentus sutapatinti su kanonine forma. Prisiminkite apibrėžimo sritį!
Iš viso gavome keturias šaknis. Visi jie iš tikrųjų yra mūsų pradinės lygties sprendimai. Pažiūrėkite: mūsų pradinėje logaritminėje lygtyje logaritmai viduje yra arba 9x 2 + 5 (ši funkcija visada yra teigiama) arba 8x 4 + 14 – tai taip pat visada yra teigiama. Todėl logaritmų apibrėžimo sritis yra patenkinama bet kuriuo atveju, nesvarbu, kokią šaknį gautume, o tai reiškia, kad visos keturios šaknys yra mūsų lygties sprendiniai.
Puiku, dabar pereikime prie antrosios problemos dalies.
Atkarpoje logaritminės lygties šaknų pasirinkimas
Iš keturių šaknų pasirenkame tas, kurios yra atkarpoje [−1; 8/9]. Grįžtame prie savo šaknų, o dabar atliksime jų atranką. Pirmiausia siūlau nubrėžti koordinačių ašį ir pažymėti joje segmento galus:
Abu taškai bus užtamsinti. Tie. Pagal problemos sąlygas mus domina šešėlinis segmentas. Dabar pažvelkime į šaknis.
Neracionalios šaknys
Pradėkime nuo neracionalių šaknų. Atkreipkite dėmesį, kad 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:
Iš to išplaukia, kad dviejų šaknis nepatenka į mus dominantį segmentą. Panašiai gausime su neigiama šaknimi: ji yra mažesnė už −1, tai yra, ji yra mus dominančio segmento kairėje.
Racionalios šaknys
Liko dvi šaknys: x = 1/2 ir x = −1/2. Pastebėkime, kad atkarpos kairysis galas (−1) yra neigiamas, o dešinysis (8/9) – teigiamas. Todėl kažkur tarp šių galų yra skaičius 0. Šaknis x = −1/2 bus tarp −1 ir 0, t.y. pateks į galutinį atsakymą. Tą patį darome su šaknimi x = 1/2. Ši šaknis taip pat glūdi nagrinėjamame segmente.
Galite įsitikinti, kad 8/9 yra didesnis nei 1/2. Atimkime šiuos skaičius vienas iš kito:
Gavome trupmeną 7/18 > 0, o tai pagal apibrėžimą reiškia, kad 8/9 > 1/2.
Koordinačių ašyje pažymėkime atitinkamas šaknis:
Galutinis atsakymas bus dvi šaknys: 1/2 ir −1/2.
Iracionaliųjų skaičių palyginimas: universalus algoritmas
Baigdamas norėčiau dar kartą grįžti prie neracionalių skaičių. Naudodamiesi jų pavyzdžiu, dabar pažvelgsime, kaip palyginti racionalius ir neracionalius dydžius matematikoje. Pirmiausia tarp jų yra tokia varnelė V - ženklas „daugiau“ arba „mažiau“, tačiau dar nežinome, kuria kryptimi jis nukreiptas. Užsirašykime:
Kodėl mums išvis reikalingi palyginimo algoritmai? Faktas yra tas, kad šioje užduotyje mums labai pasisekė: sprendžiant padalijimo skaičių atsirado 1, apie kurį tikrai galime pasakyti:
Tačiau ne visada tokį skaičių pamatysite iš karto. Taigi pabandykime tiesiogiai palyginti savo skaičius.
Kaip tai daroma? Darome taip pat, kaip ir su įprastomis nelygybėmis:
- Pirma, jei kur nors turėtume neigiamus koeficientus, abi nelygybės puses padaugintume iš −1. Žinoma keičiant ženklą. Ši varnelė V pasikeistų į - Λ.
- Bet mūsų atveju abi pusės jau yra teigiamos, todėl nieko keisti nereikia. Ko tikrai reikia, yra kvadratas iš abiejų pusių atsikratyti radikalų.
Jei lyginant neracionalūs skaičiai Neįmanoma iš karto pasirinkti skirstymo elemento, rekomenduoju tokį palyginimą atlikti „priešais“ - apibūdinti tai kaip įprastą nelygybę.
Ją sprendžiant įforminama taip:
Dabar viską lengva palyginti. Esmė ta, kad 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.
Tai štai, gavome griežtą įrodymą, kad visi skaičiai skaičių eilutėje x pažymėti teisingai ir tiksliai tokia seka, kokia iš tikrųjų turi būti. Šiam sprendimui niekas neprisieks, todėl atminkite: jei iš karto nematote dalijimosi skaičiaus (mūsų atveju jis yra 1), drąsiai išrašykite aukščiau pateiktą konstrukciją, padauginkite, padėkite kvadratu – ir galų gale gauti gražią nelygybę. Iš šios nelygybės bus aišku, kuris skaičius didesnis, o kuris mažesnis.
Grįžtant prie mūsų problemos, norėčiau dar kartą atkreipti jūsų dėmesį į tai, ką mes padarėme pačioje pradžioje spręsdami savo lygtį. Būtent: mes atidžiai pažvelgėme į savo pradinę logaritminę lygtį ir bandėme ją sumažinti iki kanoninis logaritminė lygtis. Kur yra tik logaritmai kairėje ir dešinėje - be jokių papildomų terminų, koeficientų priekyje ir tt Mums reikia ne dviejų logaritmų pagal a arba b, o logaritmo, lygaus kitam logaritmui.
Be to, logaritmų pagrindai taip pat turi būti lygūs. Be to, jei lygtis sudaryta teisingai, tai elementariųjų logaritminių transformacijų pagalba (logaritmų suma, skaičiaus pavertimas logaritmu ir pan.) šią lygtį sumažinsime iki kanoninės.
Todėl nuo šiol pamatę logaritminę lygtį, kurios negalima iš karto išspręsti, neturėtumėte pasiklysti ar bandyti išsiaiškinti atsakymą. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai atlikti šiuos veiksmus:
- Konvertuoti visus laisvus elementus į logaritmą;
- Tada pridėkite šiuos logaritmus;
- Gautoje konstrukcijoje sumažinkite visus logaritmus iki tos pačios bazės.
Kaip rezultatas, jūs gausite paprastą lygtį, kurią galima išspręsti naudojant elementarius algebros įrankius iš 8-9 klasės medžiagų. Apskritai, eikite į mano svetainę, praktikuokite logaritmų sprendimą, spręskite logaritmines lygtis kaip aš, išspręskite jas geriau nei aš. Ir tai viskas man. Pavelas Berdovas buvo su jumis. Iki pasimatymo!
Logaritminės išraiškos, sprendimų pavyzdžiai. Šiame straipsnyje apžvelgsime problemas, susijusias su logaritmų sprendimu. Užduotyse keliamas klausimas, kaip rasti posakio prasmę. Pažymėtina, kad logaritmo sąvoka naudojama daugelyje užduočių ir jos prasmės supratimas yra nepaprastai svarbus. Kalbant apie vieningą valstybinį egzaminą, logaritmas naudojamas sprendžiant lygtis, atliekant taikomuosius uždavinius, taip pat atliekant užduotis, susijusias su funkcijų tyrimu.
Pateiksime pavyzdžių, kad suprastume pačią logaritmo reikšmę:
Pagrindinė logaritminė tapatybė:
Logaritmų savybės, kurias visada reikia atsiminti:
*Darbos logaritmas lygus faktorių logaritmų sumai.
* * *
*dalinio logaritmas (trupmena) lygus skirtumui faktorių logaritmai.
* * *
*Rodiklio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir jo bazės logaritmui.
* * *
*Perėjimas prie naujų pamatų
* * *
Daugiau savybių:
* * *
Logaritmų skaičiavimas yra glaudžiai susijęs su eksponentų savybių naudojimu.
Išvardinkime kai kuriuos iš jų:
Šios savybės esmė ta, kad skaitiklį perkėlus į vardiklį ir atvirkščiai, rodiklio ženklas pasikeičia į priešingą. Pavyzdžiui:
Šios nuosavybės pasekmė:
* * *
Didinant laipsnį į laipsnį, bazė išlieka ta pati, tačiau rodikliai dauginami.
* * *
Kaip matėte, pati logaritmo sąvoka yra paprasta. Svarbiausia, kad jums reikia geros praktikos, kuri suteikia jums tam tikrų įgūdžių. Žinoma, reikia žinoti formules. Jei įgūdis konvertuoti elementarius logaritmus nebuvo išvystytas, tada sprendžiant paprastos užduotys Lengva suklysti.
Praktikuokite, pirmiausia išspręskite paprasčiausius matematikos kurso pavyzdžius, tada pereikite prie sudėtingesnių. Ateityje tikrai parodysiu, kaip išsprendžiami „baisūs“ logaritmai, jie nepasirodys vieningame valstybiniame egzamine, bet jie yra įdomūs, nepraleiskite jų!
Tai viskas! Sėkmės tau!
Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas
P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.