Kaip išspręsti kvadratinę trigonometrinę lygtį. Paprasčiausios trigonometrinės lygtys
Linija UMK G. K. Muravinas. Algebra ir pradžia matematinė analizė(10–11) (giliai)
Linija UMK G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina. Algebra ir matematinės analizės principai (10-11) (pagrindinis)
Kaip išmokyti spręsti trigonometrines lygtis ir nelygybes: mokymo metodai
Rusijos vadovėlių korporacijos matematikos kursas, kurio autoriai yra Georgijus Muravina ir Olga Muravina, numato laipsnišką perėjimą prie trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimo 10 klasėje, taip pat tęsti mokymąsi 11 klasėje. Jūsų dėmesiui pristatome perėjimo prie temos etapus su ištraukomis iš vadovėlio „Algebra ir matematinės analizės pradžia“ (aukštesnysis lygis).
1. Bet kurio kampo sinusas ir kosinusas (propedeutinis trigonometrinių lygčių tyrimas)
Užduoties pavyzdys. Raskite apytiksliai kampus, kurių kosinusai lygūs 0,8.
Sprendimas. Kosinusas yra atitinkamo vienetinio apskritimo taško abscisė. Visi taškai, kurių abscisės lygios 0,8, priklauso tiesei, lygiagrečiai ordinačių ašiai ir einančiai per tašką C(0,8; 0). Ši linija kerta vienetinį apskritimą dviejuose taškuose: P α ° Ir P β ° , simetriškas abscisių ašiai.
Naudodami transporterį nustatome, kad kampas α° maždaug lygus 37°. Reiškia, bendras vaizdas posūkio kampai nuo pabaigos taškas P α°:
α° ≈ 37° + 360° n, Kur n- bet koks sveikasis skaičius.
Dėl simetrijos apie abscisių ašį taškas P β ° - galinis sukimosi taškas –37° kampu. Tai reiškia, kad jai bendra sukimosi kampų forma yra:
β° ≈ –37° + 360° n, Kur n- bet koks sveikasis skaičius.
Atsakymas: 37° + 360° n, –37° + 360° n, Kur n- bet koks sveikasis skaičius.
Užduoties pavyzdys. Raskite kampus, kurių sinusai lygūs 0,5.
Sprendimas. Sinusas yra atitinkamo vienetinio apskritimo taško ordinatė. Visi taškai, kurių ordinatės lygios 0,5, priklauso tiesei, lygiagrečiai abscisių ašiai ir einančiai per tašką D(0; 0,5).
Ši linija kerta vienetinį apskritimą dviejuose taškuose: Pφ ir Pπ–φ, simetriškas ordinačių ašiai. Stačiakampiame trikampyje OKPφ koja KPφ lygus pusei hipotenuzės OPφ , Reiškia,
Bendras sukimosi kampų vaizdas su galutiniu tašku P φ :
Kur n- bet koks sveikasis skaičius. Bendras sukimosi kampų vaizdas su galutiniu tašku P π–φ :
Kur n- bet koks sveikasis skaičius.
Atsakymas: Kur n- bet koks sveikasis skaičius.
2. Bet kurio kampo liestinė ir kotangentas (propedeutika trigonometrinėms lygtims tirti)
2 pavyzdys.
Užduoties pavyzdys. Raskite bendrąją formą kampų, kurių liestinė yra –1,2.
Sprendimas. Pažymėkite tašką liestinės ašyje C kurių ordinatė lygi –1,2, ir nubrėžkite tiesią liniją O.C.. Tiesiai O.C. taškuose kerta vienetinį apskritimą P α ° Ir Pβ° – vienodo skersmens galai. Šiuos taškus atitinkantys kampai vienas nuo kito skiriasi sveiku pusapsūkių skaičiumi, t.y. 180° n (n- sveikasis skaičius). Naudodami transporterį nustatome, kad kampas P α° OP 0 yra lygus –50°. Tai reiškia, kad bendra kampų, kurių liestinė yra –1,2, forma yra tokia: –50° + 180° n (n- sveikasis skaičius)
Atsakymas:–50° + 180° n, n∈ Z.
Naudojant 30°, 45° ir 60° kampų sinusus ir kosinusus, lengva rasti jų liestines ir kotangentus. Pavyzdžiui,
Išvardyti kampai yra gana dažni įvairiose problemose, todėl pravartu atsiminti šių kampų liestinės ir kotangento reikšmes.
3. Paprasčiausios trigonometrinės lygtys
Įvedami tokie žymėjimai: arcsin α, arccos α, arctg α, arcctg α. Nerekomenduojama skubėti įvesti kombinuotą formulę. Daug patogiau įrašyti dvi šaknų serijas, ypač kai reikia atrinkti šaknis intervalais.
Tiriant temą „paprasčiausios trigonometrinės lygtys“, lygtys dažniausiai redukuojamos į kvadratus.
4. Redukcijos formulės
Redukcijos formulės yra tapatybės, t. y. jos tinka bet kuriai priimtinos vertės φ . Analizuodami gautą lentelę, galite pamatyti, kad:
1) dešinėje formulės pusėje esantis ženklas sutampa su redukuojamos funkcijos ženklu atitinkamame kvadrante, jei atsižvelgsime φ aštrus kampas;
2) pavadinimą keičia tik kampų funkcijos ir
φ + 2π n |
||||
5. Funkcijos savybės ir grafikas y = nuodėmė x
Paprasčiausias trigonometrines nelygybes galima išspręsti grafike arba apskritime. Sprendžiant apskritimo trigonometrinę nelygybę, svarbu nesupainioti, kurį tašką nurodyti pirmiausia.
6. Funkcijos savybės ir grafikas y= cos x
Funkcijos grafiko sudarymo uždavinys y= cos x gali būti sumažintas iki funkcijos braižymo y = nuodėmė x. Tiesa, nuo funkcijos grafikas y= cos x galima gauti iš funkcijos grafiko y= nuodėmė x pastarąjį perkeliant išilgai x ašies į kairę
7. Funkcijų savybės ir grafikai y= tg x Ir y=ctg x
Funkcijos domenas y= tg x apima visus skaičius, išskyrus skaičius formos kur n ∈ Z. Kaip ir kurdami sinusoidę, pirmiausia pabandysime gauti funkcijos grafiką y = tg x tarpais
Kairiajame šio intervalo gale liestinė yra lygi nuliui, o artėjant prie dešiniojo galo liestinės reikšmės didėja be apribojimų. Grafiškai tai atrodo kaip funkcijos grafikas y = tg x spaudžia tiesią liniją, neribotai eidamas aukštyn.
8. Priklausomybės tarp to paties argumento trigonometrinių funkcijų
Lygybė ir išreikšti ryšius tarp to paties argumento φ trigonometrinių funkcijų. Su jų pagalba, žinodami tam tikro kampo sinusą ir kosinusą, galite rasti jo liestinę ir kotangentą. Iš šių lygybių nesunku pastebėti, kad liestinė ir kotangentas yra tarpusavyje susijusios tokia lygybe.
tg φ · vaikiška lovelė φ = 1
Tarp trigonometrinių funkcijų yra ir kitų priklausomybių.
Vienetinio apskritimo, kurio centras yra taške, lygtis x 2 + y 2= 1 jungia bet kurio šio apskritimo taško abscisę ir ordinatę.
Pagrindinė trigonometrinė tapatybė
cos 2 φ + sin 2 φ = 1
9. Dviejų kampų sumos ir skirtumo sinusas ir kosinusas
Kosinuso sumos formulė
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
Skirtumo kosinuso formulė
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Sinuso skirtumo formulė
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Sinuso sumos formulė
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
10. Dviejų kampų skirtumo sumos ir liestinės liestinė
Tangentinės sumos formulė
Tangentinio skirtumo formulė
Vadovėlis įtrauktas į matematikos mokymo medžiagą 10–11 klasėms, besimokančioms dalyko m. bazinis lygis. Teorinė medžiaga skirstoma į privalomąją ir pasirenkamąją, užduočių sistema diferencijuojama pagal sunkumo laipsnį, baigiamas kiekvienas skyriaus punktas kontroliniai klausimai ir užduotys, o kiekvienas skyrius yra namų darbai bandomasis darbas. Vadovėlyje pateikiamos projektų temos ir nuorodos į interneto išteklius.
11. Dvigubo kampo trigonometrinės funkcijos
Dvigubo kampo tangento formulė
cos2α = 1 – 2sin 2 α cos2α = 2cos 2 α – 1
Užduoties pavyzdys. Išspręskite lygtį
Sprendimas.
13. Trigonometrinių lygčių sprendimas
Daugeliu atvejų pradinė lygtis sprendimo proceso metu redukuojama į paprastas trigonometrines lygtis. Tačiau nėra vieno trigonometrinių lygčių sprendimo metodo. Kiekvienu konkrečiu atveju sėkmė priklauso nuo žinių trigonometrines formules ir galimybė iš jų pasirinkti tinkamus. Tačiau įvairių formulių gausa kartais gana apsunkina šį pasirinkimą.
Lygtys, kurios redukuojamos į kvadratus
Užduoties pavyzdys. Išspręskite 2 lygtį cos 2 x+ 3 nuodėmė x = 0
Sprendimas. Naudojant pagrindinį trigonometrinė tapatybėši lygtis gali būti sumažinta iki kvadratinės lygties nuodėmės atžvilgiu x:
2cos 2 x+3 nuodėmė x= 0, 2 (1 – nuodėmė 2 x) + 3 nuodėmė x = 0,
2–2 nuodėmė 2 x+3 nuodėmė x= 0, 2sin 2 x– 3 nuodėmė x – 2 = 0
Įveskime naują kintamąjį y= nuodėmė x, tada lygtis bus tokia: 2 y 2 – 3y – 2 = 0.
Šios lygties šaknys y 1 = 2, y 2 = –0,5.
Grįžtant prie kintamojo x ir gauname paprasčiausias trigonometrines lygtis:
1) nuodėmė x= 2 – ši lygtis neturi šaknų, nes nuodėmė x < 2 при любом значении x;
2) nuodėmė x = –0,5,
Atsakymas:
Homogeninės trigonometrinės lygtys
Užduoties pavyzdys. Išspręskite lygtį 2sin 2 x– 3 nuodėmė x cos x– 5 cos 2 x = 0.
Sprendimas. Panagrinėkime du atvejus:
1) cos x= 0 ir 2) cos x ≠ 0.
1 atvejis. Jei cos x= 0, tada lygtis įgauna formą 2sin 2 x= 0, iš kur nuodėmė x= 0. Bet ši lygybė netenkina cos sąlygos x= 0, nes jokiomis aplinkybėmis x Kosinusas ir sinusas neišnyksta vienu metu.
2 atvejis. Jei cos x≠ 0, tada lygtį galime padalyti iš cos 2 x „Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10 klasė“, kaip ir daugelis kitų leidinių, pasiekiami LECTA platformoje. Norėdami tai padaryti, pasinaudokite pasiūlymu.
#ADVERTISING_INSERT#
Paprasčiausios trigonometrinės lygtys yra lygtys
Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a
Lygtis cos(x) = a
Paaiškinimas ir pagrindimas
- Lygties cosx šaknys = a. Kada | a | > 1 lygtis neturi šaknų, nes | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 arba adresu a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Tegul | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
y = cos x. Intervale funkcija y = cos x sumažėja nuo 1 iki -1. Tačiau mažėjanti funkcija kiekvieną savo reikšmę įgauna tik viename apibrėžimo srities taške, todėl lygtis cos x = a šiame intervale turi tik vieną šaknį, kuri pagal arckosino apibrėžimą yra lygi: x 1 = arccos a (ir šiai šaknei cos x = A).
kosinusas - lygi funkcija, todėl intervale [-n; 0] lygtis cos x = ir taip pat turi tik vieną šaknį - skaičių, priešingą x 1, tai yra
x 2 = -arccos a.
Taigi intervale [-n; p] (ilgis 2p) lygtis cos x = a su | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.
Funkcija y = cos x yra periodinė, kurios periodas yra 2n, todėl visos kitos šaknys skiriasi nuo randamų pagal 2n (n € Z). Gauname tokią lygties cos x = a kada šaknų formulę
x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.
- Ypatingi lygties cosx = a sprendimo atvejai.
Pravartu atsiminti specialius lygties cos x = a kada šaknų žymėjimus
a = 0, a = -1, a = 1, kurį galima lengvai gauti naudojant vienetinį apskritimą kaip atskaitą.
Nuo kosinuso lygus abscisei atitinkamą vienetinio apskritimo tašką gauname, kad cos x = 0 tada ir tik tada, kai atitinkamas vienetinio apskritimo taškas yra taškas A arba taškas B.
Panašiai cos x = 1 tada ir tik tada, kai atitinkamas vienetinio apskritimo taškas yra taškas C, todėl
x = 2πп, k € Z.
Taip pat cos x = -1 tada ir tik tada, kai atitinkamas vienetinio apskritimo taškas yra taškas D, taigi x = n + 2n,
Lygtis sin(x) = a
Paaiškinimas ir pagrindimas
- Lygties sinx = a šaknys. Kada | a | > 1 lygtis neturi šaknų, nes | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 arba adresu a< -1 не пересекает график функции y = sinx).
Paprasčiausios trigonometrinės lygtys paprastai išsprendžiamos naudojant formules. Leiskite jums priminti, kad paprasčiausios trigonometrinės lygtys yra šios:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x yra kampas, kurį reikia rasti,
a yra bet koks skaičius.
O štai formulės, kuriomis iš karto galite užrašyti šių paprasčiausių lygčių sprendinius.
Dėl sinuso:
Dėl kosinuso:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Dėl liestinės:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Dėl kotangento:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Tiesą sakant, tai yra teorinė paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo dalis. Be to, viskas!) Visai nieko. Tačiau klaidų skaičius šioje temoje tiesiog nepastebimas. Ypač jei pavyzdys šiek tiek skiriasi nuo šablono. Kodėl?
Taip, nes daug žmonių rašo šias raides, visai nesuprasdami jų prasmės! Jis rašo atsargiai, kad kas nors neatsitiktų...) Tai reikia sutvarkyti. Trigonometrija žmonėms arba žmonės trigonometrijai!?)
Išsiaiškinkime?
Vienas kampas bus lygus arccos a, antra: -arccos a.
Ir visada taip pavyks. Dėl bet kokių A.
Jei netikite manimi, užveskite pelės žymeklį ant nuotraukos arba palieskite paveikslėlį planšetiniame kompiuteryje.) Pakeičiau numerį. A į kažką neigiamo. Šiaip ar taip, vieną kampą gavome arccos a, antra: -arccos a.
Todėl atsakymą visada galima parašyti kaip dvi šaknų serijas:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Sujungkime šias dvi serijas į vieną:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Ir viskas. Gavome bendrą formulę, kaip išspręsti paprasčiausią trigonometrinę lygtį su kosinusu.
Jei supranti, kad tai ne kažkokia supermokslinė išmintis, bet tik sutrumpinta dviejų atsakymų serijų versija, Taip pat galėsite atlikti užduotis „C“. Su nelygybėmis, su šaknų parinkimu iš duoto intervalo... Ten atsakymas su pliusu/minusu neveikia. Bet jei atsakymą traktuosite dalykiškai ir suskirstysite jį į du atskirus atsakymus, viskas bus išspręsta.) Tiesą sakant, todėl mes tai ir nagrinėjame. Kas, kaip ir kur.
Paprasčiausioje trigonometrinėje lygtyje
sinx = a
taip pat gauname dvi šaknų serijas. Visada. Ir šias dvi serijas taip pat galima įrašyti vienoje eilutėje. Tik ši eilutė bus sudėtingesnė:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Tačiau esmė išlieka ta pati. Matematikai paprasčiausiai sukūrė formulę, kad šaknų serijoms būtų įvestas vienas, o ne du. Tai viskas!
Patikrinkime matematikus? Ir niekada nežinai...)
Ankstesnėje pamokoje buvo išsamiai aptartas trigonometrinės lygties su sinusu sprendimas (be formulių):
Atsakymas lėmė dvi šaknų serijas:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Jei tą pačią lygtį išspręsime naudodami formulę, gausime atsakymą:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Tiesą sakant, tai nebaigtas atsakymas.) Mokinys turi tai žinoti arcsin 0,5 = π /6. Pilnas atsakymas būtų toks:
x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z
Tai kelia įdomų klausimą. Atsakyti per x 1; x 2 (tai teisingas atsakymas!) ir per vienišius X (ir tai yra teisingas atsakymas!) – ar tai tas pats dalykas, ar ne? Dabar išsiaiškinsime.)
Atsakyme pakeičiame su x 1 vertybes n =0; 1; 2; ir tt, suskaičiuojame, gauname šaknų seriją:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 ir taip toliau.
Su tuo pačiu pakeitimu atsakant su x 2 , gauname:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 ir taip toliau.
Dabar pakeiskime reikšmes n (0; 1; 2; 3; 4...) į bendrą viengubo formulę X . Tai yra, minus vieną padidiname iki nulinės galios, tada į pirmą, antrą ir tt. Na, žinoma, mes pakeičiame 0 į antrąjį terminą; 1; 2 3; 4 ir kt. Ir skaičiuojame. Gauname seriją:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 ir taip toliau.
Tai viskas, ką matote.) Bendroji formulė mums pateikia lygiai tokie patys rezultatai kaip ir du atsakymai atskirai. Tiesiog viskas iš karto, tvarkinga. Matematikai nebuvo apgauti.)
Taip pat galima patikrinti trigonometrinių lygčių su liestine ir kotangentu sprendimo formules. Bet mes to nedarysime.) Jie jau paprasti.
Visą šį pakeitimą ir tikrinimą parašiau specialiai. Čia svarbu suprasti vieną paprastą dalyką: yra elementarių trigonometrinių lygčių sprendimo formulės, tik trumpa atsakymų santrauka. Dėl šio trumpumo į kosinuso tirpalą turėjome įterpti pliusą / minusą ir (-1) n į sinuso tirpalą.
Šie intarpai jokiu būdu netrukdo atlikti užduotis, kur tereikia užrašyti elementarios lygties atsakymą. Bet jei jums reikia išspręsti nelygybę arba reikia ką nors padaryti su atsakymu: pasirinkti šaknis intervale, patikrinti, ar nėra ODZ ir pan., šie įterpimai gali lengvai nuliūdinti žmogų.
Taigi ką turėčiau daryti? Taip, arba parašykite atsakymą dviem eilėmis, arba išspręskite lygtį/nelygybę naudodami trigonometrinį apskritimą. Tada šie intarpai išnyksta ir gyvenimas tampa lengvesnis.)
Galime apibendrinti.
Norint išspręsti paprasčiausias trigonometrines lygtis, yra paruoštos atsakymų formulės. Keturi gabaliukai. Jie tinkami norint akimirksniu užrašyti lygties sprendimą. Pavyzdžiui, jums reikia išspręsti lygtis:
sinx = 0,3
Lengvai: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Jokių problemų: x = ± lankai 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Lengvai: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Liko vienas: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Jeigu tu, spindėdamas žiniomis, iškart parašyk atsakymą:
x= ± lankai 1,8 + 2π n, n ∈ Z
tada jau šviečiate, tai... tai... iš balos.) Teisingas atsakymas: sprendimų nėra. Nesuprantu kodėl? Perskaitykite, kas yra lanko kosinusas. Be to, jei dešinėje pradinės lygties pusėje yra sinuso, kosinuso, liestinės, kotangento lentelės vertės, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 ir tt - atsakymas per arkas bus nebaigtas. Arkos turi būti paverstos radianais.
Ir jei susidursite su nelygybe, pvz
tada atsakymas yra:
x πn, n ∈ Z
yra reta nesąmonė, taip...) Čia reikia išspręsti naudojant trigonometrinį apskritimą. Ką mes darysime atitinkamoje temoje.
Tiems, kurie herojiškai skaito šias eilutes. Aš tiesiog negaliu neįvertinti jūsų titaniškų pastangų. Premija jums.)
Premija:
Rašydami formules nerimą keliančioje kovos situacijoje, net patyrę vėplai dažnai susipainioja, kur πn, ir kur 2π n. Štai jums paprastas triukas. Į visi formulės vertos πn. Išskyrus vienintelę formulę su lanko kosinusu. Tai ten stovi 2πn. Du peen. raktinis žodis – du. Toje pačioje formulėje yra du pradžioje. Pliusas ir minusas. Ir ten, ir ten - du.
Taigi, jei parašėte duženklą prieš lanko kosinusą, lengviau atsiminti, kas atsitiks pabaigoje du peen. Ir tai atsitinka ir atvirkščiai. Žmogus praleis ženklą ± , pasiekia pabaigą, rašo taisyklingai du Pienas, ir jis susipras. Kažkas laukia du pasirašyti! Žmogus grįš į pradžią ir ištaisys klaidą! Kaip tai.)
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Klasė: 10
„Lygtys išliks amžinai“.
A. Einšteinas
Pamokos tikslai:
- Švietimo:
- gilinamas trigonometrinių lygčių sprendimo metodų supratimas;
- ugdyti gebėjimus atskirti ir teisingai parinkti trigonometrinių lygčių sprendimo būdus.
- Švietimo:
- pažintinio susidomėjimo ugdymo procesu ugdymas;
- ugdyti gebėjimą analizuoti pateiktą užduotį;
- prisidėti prie psichologinio klimato klasėje gerinimo.
- Vystantis:
- skatinti savarankiško žinių įgijimo įgūdžių ugdymą;
- skatinti mokinių gebėjimą argumentuoti savo požiūrį;
Įranga: plakatas su pagrindinėmis trigonometrinėmis formulėmis, kompiuteris, projektorius, ekranas.
1 pamoka
I. Informacinių žinių atnaujinimas
Išspręskite lygtis žodžiu:
1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0
1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k;
pas Z.
– Šiandien pažvelgsime į sudėtingesnes trigonometrines lygtis. Pažvelkime į 10 būdų, kaip juos išspręsti. Toliau bus dvi pamokos, skirtos konsolidacijai, o kitą pamoką – testas. Stende „Už pamoką“ iškabintos užduotys, panašios į tas, kurios bus teste, kurias turite išspręsti prieš testą. (Dieną prieš testą iškabinkite šių užduočių sprendimus ant stendo).
Taigi, pereikime prie trigonometrinių lygčių sprendimo būdų. Kai kurie iš šių būdų jums tikriausiai atrodys sunkūs, o kiti – lengvi, nes... Jūs jau žinote kai kuriuos lygčių sprendimo būdus.
Keturi klasės mokiniai gavo individualią užduotį: suprasti ir parodyti 4 trigonometrinių lygčių sprendimo būdus.
(Kalbantys mokiniai iš anksto paruošė skaidres. Likusi klasė pagrindinius lygčių sprendimo žingsnius surašo į sąsiuvinį.)
1 mokinys: 1 būdas. Lygčių sprendimas faktoringo būdu
nuodėmė 4x = 3 cos 2x
Norėdami išspręsti lygtį, naudojame dvigubo kampo sinuso formulę sin 2 = 2 sincos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Šių veiksnių sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui.
2x = + k, k Z arba sin 2x = 1,5 – sprendinių nėra, nes | nuodėmė| 1
x = + k; pas Z.
Atsakymas: x = + k, k Z.
2 studentas. 2 metodas. Lygčių sprendimas paverčiant trigonometrinių funkcijų sumą arba skirtumą sandauga
cos 3x + sin 2x – nuodėmė 4x = 0.
Norėdami išspręsti lygtį, naudojame formulę sin– sin = 2 sin сos
cos 3x + 2 sin cos = 0,
сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,
cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Gauta lygtis yra lygi dviejų lygčių rinkiniui:
Antrosios lygties sprendinių rinkinys yra visiškai įtrauktas į pirmosios lygties sprendinių rinkinį. Reiškia
Atsakymas:
3 studentas. 3 būdas. Lygčių sprendimas paverčiant trigonometrinių funkcijų sandaugą į sumą
sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.
Norėdami išspręsti lygtį, naudojame formulę
Atsakymas:
4 studentas. 4 būdas. Spręsti lygtis, kurios redukuoja į kvadratines lygtis
3 nuodėmė x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,
Tegul sin x = t, kur | t |. Mes gauname kvadratinė lygtis 2 t 2 + 3 t - 2 = 0,
D = 9 + 16 = 25.
Taigi. netenkina sąlygos | t |.
Taigi nuodėmė x = . Štai kodėl .
Atsakymas:
III. Įtvirtina to, kas buvo išmokta iš A. N. Kolmogorovo vadovėlio
1. Nr. 164 (a), 167 (a) (kvadratinė lygtis)
2. Nr. 168 (a) (faktorizavimas)
3. Nr. 174 (a) (sumos konvertavimas į produktą)
4. (konvertuoti produktą į sumą)
(Pamokos pabaigoje parodykite šių lygčių sprendimą ekrane, kad patikrintumėte)
№ 164 (A)
2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Tegul sin x = t, | t | 1. Tada
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Kur
Atsakymas: - .
№ 167 (A)
3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.
Tegu tg x = 1, tada gauname lygtį 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.
Atsakymas:
№ 168 (A)
Atsakymas:
№ 174 (A)
Išspręskite lygtį:
Atsakymas:
2 pamoka (pamoka-paskaita)
IV. Naujos medžiagos mokymasis(tęsinys)
– Taigi, toliau tyrinėkime trigonometrinių lygčių sprendimo būdus.
5 būdas. Vienarūšių trigonometrinių lygčių sprendimas
Formos lygtys a sin x + b cos x = 0, kur a ir b yra kai kurie skaičiai, vadinamos homogeniškomis pirmojo laipsnio lygtimis sin x arba cos x atžvilgiu.
Apsvarstykite lygtį
sin x – cos x = 0. Abi lygties puses padalinkime iš cos x. Tai gali būti padaryta šaknų praradimo, nes , Jei cos x = 0, Tai sin x = 0. Tačiau tai prieštarauja pagrindinei trigonometrinei tapatybei nuodėmė 2 x + cos 2 x = 1.
Mes gauname įdegis x – 1 = 0.
įdegis x = 1,
Formos lygtys nuodėmė 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , Kur a, b, c - kai kurie skaičiai vadinami homogeniškomis antrojo laipsnio lygtimis sin x arba cos x atžvilgiu.
Apsvarstykite lygtį
sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Padalinkime abi lygties puses iš cos x, ir šaknis nepraras, nes cos x = 0 nėra šios lygties šaknis.
tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.
Tegu tg x = t. D = 9 – 8 = 1.
Tada tg x = 2 arba tg x = 1.
Dėl to x = arctan 2 + , x =
Atsakymas: arctg 2 + ,
Apsvarstykite kitą lygtį: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Dešiniąją lygties pusę paverskime forma 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Tada gauname:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Gavome 2 lygtį, kurią jau išanalizavome).
Atsakymas: arctan 2 + k,
6 būdas. Tiesinių trigonometrinių lygčių sprendimas
Tiesinė trigonometrinė lygtis yra formos lygtis a sin x + b cos x = c, kur a, b, c yra kai kurie skaičiai.
Apsvarstykite lygtį sin x + cos x= – 1.
Perrašykime lygtį taip:
Atsižvelgdami į tai, gauname:
Atsakymas:
7 būdas. Pateikiame papildomą argumentą
Išraiška a cos x + b sin x galima konvertuoti:
(šią transformaciją jau panaudojome supaprastindami trigonometrines išraiškas)
Įveskime papildomą argumentą – kampas toks, kad
Tada
Apsvarstykite lygtį: 3 sinx + 4 cosx = 1. =
Namų darbai: Nr.164 -170 (c, d).
Šioje pamokoje apžvelgsime pagrindinis trigonometrinės funkcijos, jų savybės ir grafikai, taip pat sąrašą pagrindiniai trigonometrinių lygčių ir sistemų tipai. Be to, nurodome bendrieji paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendiniai ir specialieji jų atvejai.
Ši pamoka padės jums pasiruošti atlikti vieną iš užduočių tipų B5 ir C1.
Pasirengimas vieningam valstybiniam matematikos egzaminui
Eksperimentuokite
10 pamoka. Trigonometrinės funkcijos. Trigonometrinės lygtys ir jų sistemos.
teorija
Pamokos santrauka
Mes jau daug kartų vartojome terminą „trigonometrinė funkcija“. Pirmoje šios temos pamokoje mes nustatėme juos naudodami stačiakampis trikampis ir vienetinis trigonometrinis apskritimas. Naudodami šiuos trigonometrinių funkcijų nurodymo būdus, jau galime daryti išvadą, kad joms viena argumento reikšmė (arba kampas) atitinka būtent vieną funkcijos reikšmę, t.y. turime teisę vadinti sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangentinės funkcijas.
Šioje pamokoje laikas pabandyti abstrahuotis nuo anksčiau aptartų trigonometrinių funkcijų verčių skaičiavimo metodų. Šiandien pereisime prie įprasto algebrinio požiūrio į darbą su funkcijomis, pažvelgsime į jų savybes ir pavaizduosime grafikus.
Kalbant apie trigonometrinių funkcijų savybes, ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas:
Apibrėžimo sritis ir reikšmių diapazonas, nes sinusui ir kosinusui taikomi reikšmių diapazono apribojimai, o liestinės ir kotangento – apibrėžimo diapazono apribojimai;
Visų trigonometrinių funkcijų periodiškumas, nes Jau pastebėjome mažiausią ne nulį argumentą, kurio pridėjimas nekeičia funkcijos vertės. Šis argumentas vadinamas funkcijos periodu ir žymimas raide . Sinuso / kosinuso ir liestinės / kotangento atveju šie laikotarpiai skiriasi.
Apsvarstykite funkciją:
1) apibrėžimo sritis;
2) Vertės diapazonas ;
3) Funkcija yra nelyginė ;
Sukurkime funkcijos grafiką. Šiuo atveju patogu pradėti konstrukciją nuo srities, kuri iš viršaus riboja grafiką skaičiumi 1, o iš apačios skaičiumi , kuris yra susietas su funkcijos reikšmių diapazonu, vaizdu. Be to, kuriant pravartu atsiminti kelių pagrindinių lentelės kampų sinusų reikšmes, pavyzdžiui, kad tai leis jums sukurti pirmąją pilną grafiko „bangą“, tada perbraižyti ją į dešinę ir kairėje, pasinaudojant tuo, kad paveikslas bus kartojamas su poslinkiu tašku, t.y. ant .
Dabar pažiūrėkime į funkciją:
Pagrindinės šios funkcijos savybės:
1) apibrėžimo sritis;
2) Vertės diapazonas ;
3) Tolygi funkcija Tai reiškia, kad funkcijos grafikas yra simetriškas ordinatės atžvilgiu;
4) funkcija nėra monotoniška visoje apibrėžimo srityje;
Sukurkime funkcijos grafiką. Kaip ir konstruojant sinusą, patogu pradėti nuo srities, kuri riboja grafiką viršuje su skaičiumi 1, o apačioje su skaičiumi , kuris yra susietas su funkcijos reikšmių diapazonu. Taip pat grafike nubraižysime kelių taškų koordinates, kurioms reikia atsiminti kelių pagrindinių lentelės kampų kosinusų reikšmes, pavyzdžiui, kad šių taškų pagalba galėtume sukurti pirmąją pilną „bangą“. “ grafiko ir tada perbraižykite jį į dešinę ir į kairę, pasinaudodami tuo, kad paveikslėlis kartosis su periodo poslinkiu, t.y. ant .
Pereikime prie funkcijos:
Pagrindinės šios funkcijos savybės:
1) Domenas, išskyrus , kur . Mes jau nurodėme ankstesnes pamokas, kurio nėra. Šį teiginį galima apibendrinti atsižvelgiant į liestinės periodą;
2) reikšmių diapazonas, t.y. liestinės reikšmės nėra ribojamos;
3) Funkcija yra nelyginė ;
4) Funkcija monotoniškai didėja savo vadinamosiose liestinėse šakose, kurias dabar matysime paveikslėlyje;
5) Funkcija yra periodinė su tašku
Sukurkime funkcijos grafiką. Tokiu atveju konstravimą patogu pradėti vaizduojant vertikalias grafo asimptotes taškuose, kurie neįtraukti į apibrėžimo sritį, t.y. ir tt Toliau kiekvienos asimptotų suformuotos juostelės viduje pavaizduojame liestinės šakas, spaudžiame jas į kairę ir į dešinę. Tuo pačiu metu nepamirškite, kad kiekviena šaka didėja monotoniškai. Visas šakas vaizduojame vienodai, nes funkcijos periodas lygus . Tai matyti iš to, kad kiekviena šaka gaunama paslinkus gretimą išilgai abscisių ašies.
Ir baigiame pažvelgdami į funkciją:
Pagrindinės šios funkcijos savybės:
1) Domenas, išskyrus , kur . Iš trigonometrinių funkcijų verčių lentelės jau žinome, kad jos nėra. Šį teiginį galima apibendrinti atsižvelgiant į kotangentinį laikotarpį;
2) reikšmių diapazonas, t.y. kotangento vertės nėra ribojamos;
3) Funkcija yra nelyginė ;
4) Funkcija monotoniškai mažėja savo šakose, kurios yra panašios į liestinės šakas;
5) Funkcija yra periodinė su tašku
Sukurkime funkcijos grafiką. Šiuo atveju, kalbant apie liestinę, konstravimą patogu pradėti vaizduojant vertikalias grafo asimptotes taškuose, kurie neįtraukti į apibrėžimo sritį, t.y. ir tt Toliau pavaizduojame kotangento šakas kiekvienos asimptotų suformuotos juostelės viduje, prispaudžiame jas į kairįjį asimptotą ir į dešinę. Šiuo atveju atsižvelgiame į tai, kad kiekviena šaka mažėja monotoniškai. Visas šakas pavaizduojame panašiai į liestinę vienodai, nes funkcijos periodas lygus .
Atskirai reikia pažymėti, kad trigonometrinės funkcijos su sudėtingais argumentais gali turėti nestandartinį laikotarpį. Tai apie apie formos funkcijas:
Jų laikotarpis yra lygus. O apie funkcijas:
Jų laikotarpis yra lygus.
Kaip matote, norint apskaičiuoti naują laikotarpį, standartinis laikotarpis tiesiog padalytas iš argumento koeficiento. Tai nepriklauso nuo kitų funkcijos modifikacijų.
Galite išsamiau suprasti ir suprasti, iš kur kyla šios formulės, pamokoje apie funkcijų grafikų sudarymą ir transformavimą.
Priėjome vieną svarbiausių temos „Trigonometrija“ dalių, kurią skirsime trigonometrinėms lygtims spręsti. Gebėjimas išspręsti tokias lygtis yra svarbus, pavyzdžiui, aprašant svyravimo procesus fizikoje. Įsivaizduokime, kad su sportiniu automobiliu nuvažiavote kelis ratus, trigonometrinės lygties sprendimas padės nustatyti, kiek laiko lenktyniavote priklausomai nuo automobilio padėties trasoje.
Užsirašykime paprasčiausią trigonometrinė lygtis:
Tokios lygties sprendimas yra argumentai, kurių sinusas yra lygus . Bet mes jau žinome, kad dėl sinuso periodiškumo tokių argumentų yra be galo daug. Taigi šios lygties sprendimas bus ir kt. Tas pats pasakytina ir sprendžiant bet kurią kitą paprastą trigonometrinę lygtį, jų bus begalinis skaičius.
Trigonometrinės lygtys skirstomos į keletą pagrindinių tipų. Atskirai turėtume pasilikti ties paprasčiausiais, nes visa kita priklauso jiems. Tokios lygtys yra keturios (pagal pagrindinių trigonometrinių funkcijų skaičių). Jiems žinomi bendrieji sprendimai;
Paprasčiausios trigonometrinės lygtys ir jų bendrieji sprendiniai atrodo taip:
Atkreipkite dėmesį, kad sinuso ir kosinuso reikšmės turi atsižvelgti į mums žinomus apribojimus. Jei, pavyzdžiui, lygtis neturi sprendinių ir nurodyta formulė neturėtų būti taikoma.
Be to, nurodytose šaknies formulėse yra parametras savavališko sveikojo skaičiaus forma. IN mokyklos mokymo programa Tai vienintelis atvejis, kai lygties sprendime be parametro yra parametras. Šis savavališkas sveikasis skaičius rodo, kad galima užrašyti begalinį bet kurios iš aukščiau pateiktų lygčių šaknų skaičių, tiesiog pakeičiant visus sveikuosius skaičius paeiliui.
Su detaliu šių formulių išvedimu galite susipažinti pakartoję skyrių „Trigonometrinės lygtys“ 10 klasės algebros programoje.
Atskirai reikia atkreipti dėmesį į ypatingus paprasčiausių sinuso ir kosinuso lygčių atvejus. Šios lygtys atrodo taip:
Formulių paieška jiems neturėtų būti taikoma bendrieji sprendimai. Tokias lygtis patogiausia išspręsti naudojant trigonometrinį apskritimą, kuris duoda paprastesnį rezultatą nei bendrosios sprendinių formulės.
Pavyzdžiui, lygties sprendimas yra . Pabandykite patys gauti šį atsakymą ir išspręsti likusias nurodytas lygtis.
Be dažniausiai nurodytų trigonometrinių lygčių tipų, yra dar keletas standartinių. Mes išvardijame juos atsižvelgdami į tuos, kuriuos jau nurodėme:
1) Pirmuonys, Pavyzdžiui, ;
2) Ypatingi paprasčiausių lygčių atvejai, Pavyzdžiui, ;
3) Lygtys su sudėtingais argumentais, Pavyzdžiui, ;
4) Lygtys sumažintos iki paprasčiausių, pašalinant bendrą koeficientą, Pavyzdžiui, ;
5) Lygtys sumažintos iki paprasčiausių transformuojant trigonometrines funkcijas, Pavyzdžiui, ;
6) Lygtys sumažintos iki paprasčiausių pakeitimo būdu, Pavyzdžiui, ;
7) Homogeninės lygtys , Pavyzdžiui, ;
8) Lygtys, kurias galima išspręsti naudojant funkcijų savybes, Pavyzdžiui, . Nesijaudinkite dėl to, kad šioje lygtyje yra du kintamieji;
Taip pat lygtys, kurias galima išspręsti naudojant įvairių metodų.
Be trigonometrinių lygčių sprendimo, turite mokėti išspręsti jų sistemas.
Labiausiai paplitę sistemų tipai yra šie:
1) Kurioje viena iš lygčių yra galia, Pavyzdžiui, ;
2) Paprastų trigonometrinių lygčių sistemos, Pavyzdžiui, .
Šiandienos pamokoje apžvelgėme pagrindines trigonometrines funkcijas, jų savybes ir grafikus. Taip pat susipažinome su bendromis paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formulėmis ir nurodėme pagrindinius tokių lygčių tipus bei jų sistemas.
Praktinėje pamokos dalyje nagrinėsime trigonometrinių lygčių ir jų sistemų sprendimo būdus.
1 langelis.Paprasčiausių trigonometrinių lygčių specialiųjų atvejų sprendimas.
Kaip jau sakėme pagrindinėje pamokos dalyje, specialūs trigonometrinių lygčių atvejai su formos sinusu ir kosinusu:
turėti daugiau paprasti sprendimai, ką duoda bendrųjų sprendinių formulės.
Tam naudojamas trigonometrinis apskritimas. Išanalizuokime jų sprendimo būdą pasitelkdami lygties pavyzdį.
Trigonometriniame apskritime pavaizduokime tašką, kuriame kosinuso reikšmė lygi nuliui, o tai taip pat yra koordinatė išilgai abscisių ašies. Kaip matote, yra du tokie punktai. Mūsų užduotis yra nurodyti, kam yra lygus kampas, atitinkantis šiuos apskritimo taškus.
Skaičiuoti pradedame nuo teigiamos abscisių ašies krypties (kosinuso ašies) ir nustatydami kampą patenkame į pirmą pavaizduotą tašką, t.y. vienas iš sprendimų būtų ši kampo vertė. Bet mes vis tiek esame patenkinti kampu, kuris atitinka antrąjį tašką. Kaip į jį patekti?