Išsami teorija su pavyzdžiais (2020). Lygiašonis trikampis
Pirmieji mūsų civilizacijos istorikai – senovės graikai – mini Egiptą kaip geometrijos gimtinę. Sunku su jais nesutikti, žinant, kokiu nuostabiu tikslumu buvo pastatyti milžiniški faraonų kapai. Abipusis susitarimas piramidžių plokštumos, jų proporcijos, orientacija į pagrindinius taškus – tokio tobulumo būtų neįsivaizduojama nežinant geometrijos pagrindų.
Pats žodis „geometrija“ gali būti išverstas kaip „žemės matavimas“. Be to, žodis „žemė“ neveikia kaip planeta – dalis saulės sistema, bet kaip lėktuvas. Priežiūros plotų žymėjimas Žemdirbystė, greičiausiai, yra labai originalus geometrinių formų, jų tipų ir savybių mokslo pagrindas.
Trikampis yra paprasčiausia erdvinė planimetrijos figūra, turinti tik tris taškus - viršūnes (ne mažiau). Pamatų pagrindas, ko gero, jame atrodo kažkas paslaptingo ir senovinio. Viską matanti akis trikampio viduje yra vienas iš anksčiausiai žinomų okultinių ženklų, o jos pasiskirstymo geografija ir laiko tarpas yra tiesiog nuostabūs. Nuo senovės egiptiečių, šumerų, actekų ir kitų civilizacijų iki modernesnių okultizmo mylėtojų bendruomenių, išsibarsčiusių visame pasaulyje.
Kas yra trikampiai
Paprastas skalės trikampis yra uždaras geometrinė figūra, susidedantis iš trijų skirtingo ilgio segmentų ir trijų kampų, iš kurių nė vienas nėra tiesus. Be jo, yra keletas specialių tipų.
Smailaus trikampio visi kampai yra mažesni nei 90 laipsnių. Kitaip tariant, visi tokio trikampio kampai yra smailieji.
Stačiakampis trikampis, dėl kurio mokiniai visada verkė dėl teoremų gausos, turi vieną kampą, kurio vertė yra 90 laipsnių, arba, kaip dar vadinama, statųjį.
Bukas trikampis išsiskiria tuo, kad vienas iš jo kampų yra bukas, tai yra, jo vertė yra didesnė nei 90 laipsnių.
Lygiakraščio trikampio trys kraštinės yra vienodo ilgio. Tokioje figūroje visi kampai taip pat lygūs.
Ir galiausiai, val lygiašonis trikampis iš trys partijos abu yra lygūs.
Skiriamieji bruožai
Lygiašonio trikampio savybės lemia ir pagrindinį, pagrindinį jo skirtumą – abiejų kraštinių lygybę. Šios lygios pusės paprastai vadinamos klubais (arba, dažniau, šonais), tačiau trečioji pusė vadinama „pagrinda“.
Nagrinėjamame paveiksle a = b.
Antrasis lygiašonio trikampio ženklas išplaukia iš sinuso teoremos. Kadangi a ir b kraštinės yra lygios, jų priešingų kampų sinusai taip pat yra lygūs:
a/sin γ = b/sin α, iš kur turime: sin γ = sin α.
Iš sinusų lygybės išplaukia kampų lygybė: γ = α.
Taigi antrasis lygiašonio trikampio ženklas yra dviejų kampų, esančių šalia pagrindo, lygybė.
Trečias ženklas. Trikampyje išskiriami tokie elementai kaip aukštis, pusiausvyra ir mediana.
Jei sprendžiant uždavinį paaiškėja, kad nagrinėjamame trikampyje bet kurie du iš šių elementų sutampa: aukštis su pusiaukampine; bisektorius su mediana; mediana su aukščiu – tikrai galime daryti išvadą, kad trikampis yra lygiašonis.
Geometrinės figūros savybės
1. Lygiašonio trikampio savybės. Viena iš skiriamųjų figūros savybių yra kampų, esančių šalia pagrindo, lygybė:
<ВАС = <ВСА.
2. Kita aukščiau aptarta savybė: lygiašonio trikampio mediana, pusiausvyra ir aukštis yra vienodi, jei jie statomi nuo jo viršaus iki pagrindo.
3. Pusiauklių lygybė, nubrėžta iš viršūnių pagrinde:
Jei AE yra kampo BAC pusiausvyra, o CD yra kampo BCA pusiausvyra, tai: AE = DC.
4. Lygiašonio trikampio savybės taip pat numato aukščių, nubrėžtų iš pagrindo viršūnių, lygybę.
Jeigu iš viršūnių A ir C statysime trikampio ABC aukščius (kur AB = BC), tai gautos atkarpos CD ir AE bus lygios.
5. Medianos, nubrėžtos iš kampų prie pagrindo, taip pat bus lygios.
Taigi, jei AE ir DC yra medianos, tai yra, AD = DB ir BE = EC, tada AE = DC.
Lygiašonio trikampio aukštis
Kraštinių ir kampų prie jų lygybė suteikia tam tikrų ypatybių skaičiuojant nagrinėjamos figūros elementų ilgius.
Lygiašonio trikampio aukštis padalija figūrą į 2 simetriškus stačiakampius trikampius, kurių hipotenzės yra kraštinės. Aukštis šiuo atveju nustatomas pagal Pitagoro teoremą, kaip koja.
Trikampio visos trys kraštinės gali būti lygios, tada jis bus vadinamas lygiakraštis. Lygiakraščio trikampio aukštis nustatomas panašiai, tik skaičiavimams pakanka žinoti tik vieną reikšmę – šio trikampio kraštinės ilgį.
Galite nustatyti aukštį kitu būdu, pavyzdžiui, žinodami pagrindą ir kampą šalia jo.
Lygiašonio trikampio mediana
Nagrinėjamo trikampio tipas dėl geometrinių ypatybių išsprendžiamas gana paprastai minimaliu pradinių duomenų rinkiniu. Kadangi lygiašonio trikampio mediana yra lygi ir jo aukščiui, ir bisektoriui, jos nustatymo algoritmas nesiskiria nuo šių elementų skaičiavimo tvarkos.
Pavyzdžiui, galite nustatyti medianos ilgį pagal žinomą šoninę kraštinę ir kampo vertę viršūnėje.
Kaip nustatyti perimetrą
Kadangi nagrinėjamos planimetrinės figūros dvi kraštinės visada lygios, perimetrui nustatyti pakanka žinoti pagrindo ilgį ir vienos iš kraštinių ilgį.
Apsvarstykite pavyzdį, kai reikia nustatyti trikampio perimetrą, atsižvelgiant į žinomą pagrindą ir aukštį.
Perimetras lygus pagrindo ir dvigubo šoninės ilgio sumai. Šoninė pusė, savo ruožtu, nustatoma naudojant Pitagoro teoremą kaip stačiojo trikampio hipotenuzą. Jo ilgis lygus aukščio kvadrato ir pusės pagrindo kvadrato sumos kvadratinei šakniai.
Lygiašonio trikampio plotas
Paprastai nesukelia sunkumų ir lygiašonio trikampio ploto apskaičiavimo. Žinoma, mūsų atveju taikoma universali taisyklė, pagal kurią nustatomas trikampio plotas kaip pusė pagrindo ir jo aukščio sandaugos. Tačiau lygiašonio trikampio savybės vėlgi palengvina užduotį.
Tarkime, kad žinome aukštį ir kampą prie pagrindo. Turite nustatyti figūros plotą. Galite tai padaryti tokiu būdu.
Kadangi bet kurio trikampio kampų suma yra 180°, kampo dydį nustatyti nesunku. Be to, naudojant proporciją, sudarytą pagal sinuso teoremą, nustatomas trikampio pagrindo ilgis. Viskas, pagrindas ir aukštis – pakankamai duomenų plotui nustatyti – yra.
Kitos lygiašonio trikampio savybės
Aplink lygiašonį trikampį apibrėžto apskritimo centro padėtis priklauso nuo viršūnės kampo. Taigi, jei lygiašonis trikampis yra smailaus kampo, apskritimo centras yra figūros viduje.
Aplink bukusį lygiašonį trikampį apibrėžto apskritimo centras yra už jo ribų. Ir galiausiai, jei kampas viršūnėje yra 90°, centras yra tiksliai pagrindo viduryje, o apskritimo skersmuo eina per patį pagrindą.
Norint nustatyti apie lygiašonį trikampį apibrėžto apskritimo spindulį, pakanka padalyti šoninės kraštinės ilgį iš dvigubo kampo viršūnėje kosinuso.
Tarp visų trikampių yra du specialūs tipai: stačiakampiai ir lygiašoniai trikampiai. Kodėl šių tipų trikampiai tokie ypatingi? Na, pirma, tokie trikampiai labai dažnai pasirodo kaip pagrindiniai pirmosios dalies vieningo valstybinio egzamino užduočių veikėjai. Antra, uždavinius apie stačiakampius ir lygiašonius trikampius išspręsti daug lengviau nei kitus geometrijos uždavinius. Jums tereikia žinoti keletą taisyklių ir savybių. Visi įdomiausi yra aptariami atitinkamoje temoje, o dabar mes apsvarstysime lygiašonius trikampius. Ir visų pirma, kas yra lygiašonis trikampis. Arba, kaip sako matematikai, koks yra lygiašonio trikampio apibrėžimas?
Pažiūrėkite, kaip tai atrodo:
Kaip ir stačiakampis trikampis, lygiašonis trikampis turi specialius kraštinių pavadinimus. Vadinamos dvi lygios pusės pusės, ir trečioji šalis pagrindu.
Ir dar kartą pažiūrėkite į paveikslėlį:
Tai, žinoma, gali būti taip:
Būk atsargus: šoninė pusė – viena iš dviejų lygių kraštinių lygiašoniame trikampyje ir pagrindas yra trečioji šalis.
Kodėl lygiašonis trikampis yra toks geras? Norėdami tai suprasti, nubrėžkime aukštį iki pagrindo. Ar prisimeni, koks yra aukštis?
Kas nutiko? Iš vieno lygiašonio trikampio pasirodė du stačiakampiai.
Tai jau gerai, bet tai atsitiks bet kuriame, pačiame „įstrižiausiame“ trikampyje.
Kuo skiriasi lygiašonio trikampio paveikslas? Pažiūrėk dar kartą:
Na, pirma, žinoma, šiems keistam matematikams neužtenka tiesiog pamatyti – jie tikrai turi įrodyti. Ir staiga šie trikampiai šiek tiek skiriasi, ir mes juos laikysime vienodais.
Tačiau nesijaudinkite: šiuo atveju įrodyti yra beveik taip pat lengva, kaip pamatyti.
Gal pradėkime? Atidžiai pažiūrėkite, turime:
Ir todėl,! Kodėl? Taip, mes tiesiog randame ir, ir iš Pitagoro teoremos (tuo pačiu prisimindami tai)
Ar tu tuo tikras? Na, dabar turime
O iš trijų pusių – lengviausias (trečiasis) trikampių lygybės ženklas.
Na, mūsų lygiašonis trikampis padalintas į du vienodus stačiakampius.
Matai, kaip įdomu? Paaiškėjo, kad:
Kaip matematikams įprasta apie tai kalbėti? Eikime eilės tvarka:
(Primename, kad mediana yra linija, nubrėžta iš viršūnės, dalijančios kraštą, o pusiausvyra yra kampas.)
Na, čia mes aptarėme, ką gero galima pamatyti, jei pateikiamas lygiašonis trikampis. Mes padarėme išvadą, kad lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs, o aukštis, pusiausvyra ir mediana, nubrėžta į pagrindą, yra vienodi.
O dabar kyla kitas klausimas: kaip atpažinti lygiašonį trikampį? Tai yra, kaip sako matematikai, kas yra lygiašonio trikampio ženklai?
Ir pasirodo, kad tereikia visus teiginius „paversti“ priešingai. Žinoma, taip nutinka ne visada, bet lygiašonis trikampis vis tiek yra puikus dalykas! Kas atsitiks po „atsivertimo“?
Na pažiūrėk čia:
Jei aukštis ir mediana yra vienodi, tada:
Jei aukštis ir pusiausvyra yra vienodi, tada:
Jei bisektorius ir mediana yra vienodi, tada:
Na, nepamirškite ir naudokite:
- Jei pateikiamas lygiašonis trikampis trikampis, drąsiai nubrėžkite aukštį, gaukite du stačiuosius trikampius ir išspręskite uždavinį jau apie stačiakampį trikampį.
- Jei tai duota du kampai yra lygūs, tada trikampis tiksliai lygiašonis ir jūs galite nubrėžti aukštį ir .... (Namas, kurį Džekas pastatė ...).
- Jei paaiškėjo, kad aukštis yra padalintas per pusę iš šono, tada trikampis yra lygiašonis su visomis iš to sekančiomis priemokomis.
- Jei paaiškėjo, kad aukštis padalino kampą į grindis - taip pat lygiašonis!
- Jei bisektorius padalijo kraštinę per pusę arba mediana - kampą, tai taip pat atsitinka tik lygiašoniame trikampyje
Pažiūrėkime, kaip tai atrodo užduotyse.
1 užduotis(paprasčiausias)
Trikampio kraštinės ir yra lygios, a. Rasti.
Mes nusprendžiame:
Pirmiausia piešinys.
Koks čia pagrindas? Žinoma, .
Primename, kad jei, tada ir.
Atnaujintas brėžinys:
Paskirkime už. Kokia yra trikampio kampų suma? ?
Mes naudojame:
tai atsakymas: .
Lengva, tiesa? Man net nereikėjo kilti aukštai.
2 užduotis(Taip pat nėra labai sudėtinga, bet temą reikia pakartoti)
Trikampyje,. Rasti.
Mes nusprendžiame:
Trikampis yra lygiašonis! Nubrėžiame aukštį (tai yra akcentas, kurio pagalba dabar viskas bus nuspręsta).
Dabar „išbraukiame iš gyvenimo“, svarstysime tik.
Taigi, mes turime:
Prisimename lentelių kosinusų reikšmes (na, arba pažvelkite į cheat sheet ...)
Belieka rasti: .
Atsakymas: .
Atkreipkite dėmesį, kad mes čia labai reikalingos žinios apie stačiąjį trikampį ir "lentelės" sinusus bei kosinusus. Labai dažnai taip nutinka: temos „Lygiašonis trikampis“ ir galvosūkiuose eina į ryšulius, tačiau jie nėra labai draugiški kitoms temoms.
Lygiašonis trikampis. Vidutinis lygis.
Šie dvi vienodos pusės paskambino pusės, a trečioji kraštinė yra lygiašonio trikampio pagrindas.
Pažiūrėkite į paveikslėlį: ir - lygiašonio trikampio kraštines, - pagrindą.
Pažiūrėkime viename paveikslėlyje, kodėl taip yra. Nubrėžkite aukštį iš taško.
Tai reiškia, kad visi atitinkami elementai yra lygūs.
Viskas! Vienu ypu (aukštis) visi teiginiai buvo įrodyti iš karto.
Ir atsiminkite: norint išspręsti lygiašonio trikampio uždavinį, dažnai labai naudinga nuleisti aukštį iki lygiašonio trikampio pagrindo ir padalyti į du vienodus stačiuosius trikampius.
Lygiašonio trikampio ženklai
Priešingi teiginiai taip pat teisingi:
Beveik visus šiuos teiginius vėl galima įrodyti „vienu ypu“.
1. Taigi, tegul v yra lygus ir.
Paimkime aukštį. Tada
2. a) Dabar įleiskite kokį nors trikampį vienodo aukščio ir pusiausvyros.
2. b) Ir jei aukštis ir mediana yra vienodi? Viskas beveik tas pats, nieko sudėtingesnio!
- ant dviejų kojų |
2. c) Bet jei nėra aukščio, kuris nuleistas iki lygiašonio trikampio pagrindo, tada iš pradžių stačiųjų trikampių nėra. Blogai!
Tačiau yra išeitis - perskaitykite ją kitame teorijos lygyje, nes čia įrodymas yra sudėtingesnis, bet kol kas tiesiog atminkite, kad jei mediana ir pusiausvyra sutampa, tada trikampis taip pat bus lygiašonis, o aukštis vis dar sutampa su šiais bisektoriumi ir mediana.
Apibendrinti:
- Jei trikampis yra lygiašonis, tada kampai prie pagrindo yra lygūs, o aukštis, pusiausvyra ir mediana, nubrėžta į pagrindą, yra vienodi.
- Jeigu kokiame nors trikampyje yra du lygūs kampai arba kai kurios dvi iš trijų tiesių (pusiauris, mediana, aukštis) sutampa, tai toks trikampis yra lygiašonis.
Lygiašonis trikampis. Trumpas aprašymas ir pagrindinės formulės
Lygiašonis trikampis yra trikampis, turintis dvi lygias kraštines.
Lygiašonio trikampio ženklai:
- Jei trikampis turi du vienodus kampus, tada jis yra lygiašonis.
- Jei kokiame nors trikampyje sutampa:
a) aukštis ir bisektorius arba
b) aukštis ir mediana arba
in) mediana ir pusiausvyra,
nubrėžtas į vieną kraštinę, tada toks trikampis yra lygiašonis.
LIKUSIEJI 2/3 STRAIPSNIŲ PRIEINAMI TIK YOUCLEVER STUDENTIAMS!
Tapk YouClever studentu,
Pasiruoškite OGE arba NAUDOKITE matematiką už „puodelį kavos per mėnesį“,
Taip pat gaukite neribotą prieigą prie „YouClever“ vadovėlio, „100gia“ mokymo programos (sprendimų knygos), neribotą bandomąjį USE ir OGE, 6000 užduočių su sprendimų analize ir kitas YouClever ir 100gia paslaugas.
Lygiašonio trikampio savybės išreiškia tokias teoremas.
1 teorema. Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs.
2 teorema. Lygiašonio trikampio pusė, nubrėžta į pagrindą, yra mediana ir aukštis.
3 teorema. Lygiašonio trikampio mediana, nubrėžta į pagrindą, yra pusiausvyra ir aukštis.
4 teorema. Lygiašonio trikampio aukštis, nubrėžtas į pagrindą, yra pusiausvyra ir mediana.
Įrodykime vieną iš jų, pavyzdžiui, 2.5 teoremą.
Įrodymas. Apsvarstykite lygiašonį trikampį ABC, kurio pagrindas BC, ir įrodykite, kad ∠ B = ∠ C. Tegu AD yra trikampio ABC pusiausvyra (1 pav.). Trikampiai ABD ir ACD yra lygūs pagal pirmąjį trikampių lygybės ženklą (AB = AC pagal sąlygą, AD yra bendroji kraštinė, ∠ 1 = ∠ 2, nes AD yra pusiausvyra). Iš šių trikampių lygybės išplaukia, kad ∠ B = ∠ C. Teorema įrodyta.
Naudodami 1 teoremą nustatome tokią teoremą.
5 teorema. Trečiasis trikampių lygybės kriterijus. Jeigu vieno trikampio trys kraštinės atitinkamai lygios trims kito trikampio kraštinėms, tai tokie trikampiai yra lygūs (2 pav.).
komentuoti. 1 ir 2 pavyzdžiuose nustatyti sakiniai išreiškia atkarpai statmeno bisektoriaus savybes. Iš šių pasiūlymų matyti, kad trikampio kraštinių statmenosios pusės susikerta viename taške.
1 pavyzdysĮrodykite, kad plokštumos taškas, esantis vienodu atstumu nuo atkarpos galų, yra ant šios atkarpos statmenos pusės.
Sprendimas. Tegul taškas M yra vienodu atstumu nuo atkarpos AB galų (3 pav.), t.y. AM = VM.
Tada ΔAMV yra lygiašonis. Per atkarpos AB tašką M ir vidurio tašką O nubrėžkime tiesę p. Pagal konstrukciją atkarpa MO yra lygiašonio trikampio AMB mediana, taigi (3 teorema), o aukštis, t.y. tiesė MO, yra statmena atkarpos AB.
2 pavyzdysĮrodykite, kad kiekvienas atkarpos statmenojo bisektoriaus taškas yra vienodu atstumu nuo jos galų.
Sprendimas. Tegu p yra statmenas atkarpos AB pusiaukampis, o taškas O – atkarpos AB vidurio taškas (žr. 3 pav.).
Apsvarstykite savavališką tašką M, esantį tiesėje p. Nubrėžkime segmentus AM ir VM. Trikampiai AOM ir VOM yra lygūs, nes jų kampai viršūnėje O yra tiesūs, kojelė OM yra bendra, o kojelė OA yra lygi kojai OB pagal sąlygą. Iš trikampių AOM ir BOM lygybės išplaukia, kad AM = BM.
3 pavyzdys Trikampyje ABC (žr. 4 pav.) AB \u003d 10 cm, BC \u003d 9 cm, AC \u003d 7 cm; trikampyje DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Palyginkite trikampius ABC ir DEF. Raskite atitinkamai vienodus kampus.
Sprendimas. Šie trikampiai yra lygūs pagal trečiąjį kriterijų. Atitinkamai, lygūs kampai: A ir E (jie yra priešais lygias kraštines BC ir FD), B ir F (yra priešais lygias puses AC ir DE), C ir D (jie yra priešais lygias kraštines AB ir EF).
4 pavyzdys 5 paveiksle AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Raskite kampą D.
Sprendimas. Apsvarstykite trikampius ABC ir ADC. Trečiajame požymyje jie yra lygūs (AB = DC, BC = AD pagal sąlygą, o šoninė AC yra įprasta). Iš šių trikampių lygybės išplaukia, kad ∠ B = ∠ D, bet kampas B yra 100°, taigi kampas D yra 100°.
5 pavyzdys Lygiašonio trikampio ABC su pagrindu AC išorinis kampas viršūnėje C yra 123°. Raskite kampą ABC. Atsakymą pateikite laipsniais.
Vaizdo sprendimas.