Lygiašonio trikampio ženklai, sudedamieji elementai ir savybės. Lygiašonis trikampis
Savybės lygiašonis trikampis išreikškite šias teoremas.
1 teorema. Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs.
2 teorema. Lygiašonio trikampio pusė, nubrėžta į pagrindą, yra mediana ir aukštis.
3 teorema. Lygiašonio trikampio mediana, nubrėžta į pagrindą, yra pusiausvyra ir aukštis.
4 teorema. Lygiašonio trikampio aukštis, nubrėžtas į pagrindą, yra pusiausvyra ir mediana.
Įrodykime vieną iš jų, pavyzdžiui, 2.5 teoremą.
Įrodymas. Panagrinėkime lygiašonį trikampį ABC, kurio pagrindas BC, ir įrodykime, kad ∠ B = ∠ C. Tegu AD yra trikampio ABC pusiausvyra (1 pav.). Trikampiai ABD ir ACD yra lygūs pagal pirmąjį trikampių lygybės ženklą (AB = AC pagal sąlygą, AD yra bendroji kraštinė, ∠ 1 = ∠ 2, nes AD yra pusė). Iš šių trikampių lygybės išplaukia, kad ∠ B = ∠ C. Teorema įrodyta.
Naudojant 1 teoremą, nustatoma tokia teorema.
5 teorema. Trečiasis trikampių lygybės kriterijus. Jei vieno trikampio trys kraštinės atitinkamai lygios kito trikampio trims kraštinėms, tai tokie trikampiai yra sutapti (2 pav.).
komentuoti. 1 ir 2 pavyzdžiuose nustatyti sakiniai išreiškia atkarpos statmeno bisektoriaus savybes. Iš šių pasiūlymų matyti, kad statmenos trikampio kraštinės pusės susikerta viename taške.
1 pavyzdys.Įrodykite, kad plokštumos taškas, esantis vienodais atstumais nuo atkarpos galų, yra ant šios atkarpos statmenos pusės.
Sprendimas. Tegul taškas M yra vienodu atstumu nuo atkarpos AB galų (3 pav.), ty AM = BM.
Tada Δ AMV yra lygiašonis. Per atkarpos AB tašką M ir vidurio tašką O nubrėžkime tiesę p. Pagal konstrukciją atkarpa MO yra lygiašonio trikampio AMB mediana, taigi (3 teorema), o aukštis, t.y. tiesė MO, yra statmena atkarpos AB.
2 pavyzdys.Įrodykite, kad kiekvienas atkarpos statmenos pusės taškas yra vienodu atstumu nuo jos galų.
Sprendimas. Tegu p yra statmenas atkarpos AB pusiaukampis, o taškas O – atkarpos AB vidurio taškas (žr. 3 pav.).
Apsvarstykite savavališką tašką M, esantį tiesėje p. Nubrėžkime atkarpas AM ir BM. Trikampiai AOM ir BOM yra lygūs, nes jų kampai viršūnėje O yra statūs, kojelė OM yra bendra, o kojelė OA yra lygi kojai OB pagal sąlygą. Iš trikampių AOM ir BOM lygybės išplaukia, kad AM = BM.
3 pavyzdys. Trikampyje ABC (žr. 4 pav.) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; trikampyje DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Palyginkite trikampius ABC ir DEF. Raskite atitinkamus vienodus kampus.
Sprendimas. Šie trikampiai yra lygūs pagal trečiąjį kriterijų. Atitinkamai lygūs kampai: A ir E (yra priešais lygias kraštines BC ir FD), B ir F (yra priešais lygias kraštines AC ir DE), C ir D (yra priešais lygias puses AB ir EF).
4 pavyzdys. 5 paveiksle AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Raskite kampą D.
Sprendimas. Apsvarstykite trikampius ABC ir ADC. Jie yra lygūs pagal trečiąjį kriterijų (AB = DC, BC = AD pagal sąlygą ir šoninė AC yra įprasta). Iš šių trikampių lygybės išplaukia, kad ∠ B = ∠ D, bet kampas B lygus 100°, o tai reiškia, kad kampas D lygus 100°.
5 pavyzdys. Lygiašonio trikampio ABC su pagrindu AC išorinis kampas viršūnėje C yra 123°. Raskite kampo ABC dydį. Atsakymą pateikite laipsniais.
Video sprendimas.
Pirmieji mūsų civilizacijos istorikai – senovės graikai – mini Egiptą kaip geometrijos gimtinę. Sunku su jais nesutikti, žinant, kokiu nuostabiu tikslumu buvo pastatyti milžiniški faraonų kapai. Abipusis susitarimas piramidžių plokštumos, jų proporcijos, orientacija į pagrindinius taškus – pasiekti tokį tobulumą būtų neįsivaizduojama nežinant geometrijos pagrindų.
Pats žodis „geometrija“ gali būti išverstas kaip „žemės matavimas“. Be to, žodis „žemė“ nėra planetos dalis saulės sistema, bet kaip lėktuvas. Techninės priežiūros zonų žymėjimas Žemdirbystė, greičiausiai, yra labai originalus geometrinių figūrų, jų tipų ir savybių mokslo pagrindas.
Trikampis yra paprasčiausia erdvinė planimetrijos figūra, turinti tik tris taškus – viršūnes (jų ne mažiau). Pamatų pagrindas, galbūt todėl jame atrodo kažkas paslaptingo ir senovinio. Viską matanti akis trikampio viduje yra vienas iš anksčiausiai žinomų okultinių ženklų, o jos pasiskirstymo geografija ir laiko tarpas yra tiesiog nuostabūs. Nuo senovės egiptiečių, šumerų, actekų ir kitų civilizacijų iki modernesnių okultizmo mylėtojų bendruomenių, išsibarsčiusių visame pasaulyje.
Kas yra trikampiai?
Paprastas skalės trikampis yra uždaras geometrinė figūra, susidedantis iš trijų skirtingo ilgio segmentų ir trys kampai, kurių nė vienas nėra tiesioginis. Be to, yra keletas specialių tipų.
Smailaus trikampio visi kampai yra mažesni nei 90 laipsnių. Kitaip tariant, visi tokio trikampio kampai yra smailieji.
Stačiakampis trikampis, dėl kurio mokiniai visada verkė dėl teoremų gausos, turi vieną 90 laipsnių kampą arba, kaip dar vadinama, tiesią liniją.
Bukas trikampis išsiskiria tuo, kad vienas iš jo kampų yra bukas, tai yra, jo dydis yra didesnis nei 90 laipsnių.
Lygiakraštis trikampis turi tris vienodo ilgio kraštines. Tokioje figūroje visi kampai taip pat lygūs.
Ir galiausiai lygiašonis trikampis turi tris kraštines, dvi lygias viena kitai.
Skiriamieji bruožai
Lygiašonio trikampio savybės lemia ir pagrindinį, pagrindinį jo skirtumą – dviejų jo kraštinių lygybę. Šios lygios pusės paprastai vadinamos klubais (arba, dažniau, šonais), o trečioji pusė vadinama „pagrinda“.
Nagrinėjamame paveiksle a = b.
Antrasis lygiašonio trikampio kriterijus išplaukia iš sinusų teoremos. Kadangi kraštinės a ir b yra lygios, jų priešingų kampų sinusai yra lygūs:
a/sin γ = b/sin α, iš kur turime: sin γ = sin α.
Iš sinusų lygybės išplaukia kampų lygybė: γ = α.
Taigi antrasis lygiašonio trikampio ženklas yra dviejų kampų, esančių šalia pagrindo, lygybė.
Trečias ženklas. Trikampyje yra tokie elementai kaip aukštis, pusiausvyra ir mediana.
Jei sprendžiant uždavinį paaiškėja, kad nagrinėjamame trikampyje bet kurie du iš šių elementų sutampa: aukštis su pusiaukampine; bisektorius su mediana; mediana su aukščiu – tikrai galime daryti išvadą, kad trikampis yra lygiašonis.
Geometrinės figūros savybės
1. Lygiašonio trikampio savybės. Viena iš skiriamųjų figūros savybių yra kampų, esančių šalia pagrindo, lygybė:
<ВАС = <ВСА.
2. Dar viena savybė buvo aptarta aukščiau: lygiašonio trikampio mediana, pusiausvyra ir aukštis sutampa, jei jie statomi nuo jo viršūnės iki pagrindo.
3. Bisektorių lygybė iš viršūnių pagrinde:
Jei AE yra kampo BAC pusiausvyra, o CD yra kampo BCA pusiausvyra, tada: AE = DC.
4. Lygiašonio trikampio savybės taip pat numato aukščių, nubrėžtų iš pagrindo viršūnių, lygybę.
Jei iš viršūnių A ir C statysime trikampio ABC (kur AB = BC) aukščius, tai gautos atkarpos CD ir AE bus lygios.
5. Medianos, nubrėžtos iš kampų prie pagrindo, taip pat bus lygios.
Taigi, jei AE ir DC yra medianos, tai yra, AD = DB ir BE = EC, tada AE = DC.
Lygiašonio trikampio aukštis
Kraštinių ir kampų lygybė su jais suteikia tam tikrų ypatybių apskaičiuojant nagrinėjamos figūros elementų ilgius.
Aukštis lygiašoniame trikampyje padalija figūrą į 2 simetriškus stačiuosius trikampius, kurių hipotenzės yra šonuose. Aukštis šiuo atveju nustatomas pagal Pitagoro teoremą kaip koja.
Trikampio visos trys kraštinės gali būti lygios, tada jis bus vadinamas lygiakraštis. Lygiakraščio trikampio aukštis nustatomas panašiai, tik skaičiavimams pakanka žinoti tik vieną reikšmę – šio trikampio kraštinės ilgį.
Aukštį galite nustatyti kitu būdu, pavyzdžiui, žinodami pagrindą ir kampą šalia jo.
Lygiašonio trikampio mediana
Nagrinėjamo trikampio tipą dėl jo geometrinių ypatybių galima išspręsti gana paprastai naudojant minimalų pradinių duomenų rinkinį. Kadangi lygiašonio trikampio mediana yra lygi ir jo aukščiui, ir bisektoriui, jos nustatymo algoritmas nesiskiria nuo šių elementų apskaičiavimo procedūros.
Pavyzdžiui, galite nustatyti medianos ilgį pagal žinomą šoninę pusę ir viršūnės kampo dydį.
Kaip nustatyti perimetrą
Kadangi dvi nagrinėjamos planimetrinės figūros kraštinės visada yra lygios, perimetrui nustatyti pakanka žinoti pagrindo ilgį ir vienos iš kraštinių ilgį.
Panagrinėkime pavyzdį, kai reikia nustatyti trikampio perimetrą naudojant žinomą pagrindą ir aukštį.
Perimetras lygus pagrindo ir dvigubo šoninės ilgio sumai. Šoninė pusė, savo ruožtu, apibrėžiama naudojant Pitagoro teoremą kaip stačiojo trikampio hipotenuzė. Jo ilgis lygus aukščio kvadrato ir pusės pagrindo kvadrato sumos kvadratinei šakniai.
Lygiašonio trikampio plotas
Paprastai lygiašonio trikampio ploto apskaičiavimas nesukelia sunkumų. Žinoma, mūsų atveju taikoma universali taisyklė, pagal kurią nustatomas trikampio plotas kaip pusė pagrindo ir jo aukščio sandaugos. Tačiau lygiašonio trikampio savybės vėlgi palengvina užduotį.
Tarkime, kad aukštis ir kampas prie pagrindo yra žinomi. Būtina nustatyti figūros plotą. Tai galima padaryti tokiu būdu.
Kadangi bet kurio trikampio kampų suma yra 180°, kampo dydį nustatyti nesunku. Toliau, naudojant proporciją, sudarytą pagal sinusų teoremą, nustatomas trikampio pagrindo ilgis. Viskas, pagrindas ir aukštis – pakankamai duomenų plotui nustatyti – yra.
Kitos lygiašonio trikampio savybės
Aplink lygiašonį trikampį apibrėžto apskritimo centro padėtis priklauso nuo viršūnės kampo dydžio. Taigi, jei lygiašonis trikampis yra smailus, apskritimo centras yra figūros viduje.
Aplink bukusį lygiašonį trikampį apibrėžto apskritimo centras yra už jo ribų. Ir galiausiai, jei kampas viršūnėje yra 90°, centras yra tiksliai pagrindo viduryje, o apskritimo skersmuo eina per patį pagrindą.
Norint nustatyti apie lygiašonį trikampį apibrėžto apskritimo spindulį, pakanka kraštinės ilgį padalyti iš dvigubo pusės viršūnės kampo kosinuso.
Tarp visų trikampių yra du specialūs tipai: stačiakampiai ir lygiašoniai trikampiai. Kodėl šie trikampių tipai tokie ypatingi? Na, pirma, tokie trikampiai itin dažnai pasirodo kaip pagrindiniai pirmosios dalies Vieningo valstybinio egzamino problemų veikėjai. Antra, uždavinius apie stačiuosius ir lygiašonius trikampius išspręsti daug lengviau nei kitus geometrijos uždavinius. Jums tereikia žinoti keletą taisyklių ir savybių. Visi įdomiausi dalykai aptariami atitinkamoje temoje, bet dabar pažvelkime į lygiašonius trikampius. Ir visų pirma, kas yra lygiašonis trikampis? Arba, kaip sako matematikai, koks yra lygiašonio trikampio apibrėžimas?
Pažiūrėkite, kaip tai atrodo:
Kaip ir stačiakampis trikampis, lygiašonis trikampis turi specialius kraštinių pavadinimus. Vadinamos dvi lygios pusės pusės, ir trečioji šalis – pagrindu.
Ir vėl atkreipkite dėmesį į paveikslėlį:
Tai, žinoma, gali būti taip:
Būk atsargus: šoninė pusė – viena iš dviejų lygių kraštinių lygiašoniame trikampyje ir pagrindas yra trečioji šalis.
Kodėl lygiašonis trikampis yra toks geras? Norėdami tai suprasti, nubrėžkime aukštį iki pagrindo. Ar prisimeni, koks yra aukštis?
Kas nutiko? Iš vieno lygiašonio trikampio gauname du stačiakampius.
Tai jau gerai, bet tai atsitiks bet kuriame, net pačiame „įstrižiausiame“ trikampyje.
Kuo skiriasi lygiašonio trikampio paveikslas? Pažiūrėk dar kartą:
Na, pirma, žinoma, šiems keistam matematikams neužtenka tik pamatyti – jie tikrai turi įrodyti. Priešingu atveju staiga šie trikampiai šiek tiek skiriasi, bet mes juos laikysime vienodais.
Tačiau nesijaudinkite: šiuo atveju įrodyti yra beveik taip pat lengva, kaip pamatyti.
Gal pradėkime? Pažiūrėkite atidžiai, mes turime:
Ir tai reiškia! Kodėl? Taip, mes tiesiog rasime ir, ir iš Pitagoro teoremos (tuo pačiu prisimindami, kad)
Ar tu tuo tikras? Na, dabar turime
O iš trijų pusių – lengviausias (trečiasis) trikampių lygybės ženklas.
Na, mūsų lygiašonis trikampis padalintas į du vienodus stačiakampius.
Pažiūrėkite, kaip tai įdomu? Paaiškėjo, kad:
Kaip matematikai dažniausiai apie tai kalba? Eikime eilės tvarka:
(Atminkite, kad mediana yra linija, nubrėžta iš viršūnės, dalijančios kraštinę per pusę, o bisektorius yra kampas.)
Na, čia mes aptarėme, ką gero galima pamatyti, jei pateikiamas lygiašonis trikampis. Mes padarėme išvadą, kad lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs, o aukštis, pusiausvyra ir mediana, nubrėžta į pagrindą, sutampa.
O dabar kyla kitas klausimas: kaip atpažinti lygiašonį trikampį? Tai yra, kaip sako matematikai, kas yra lygiašonio trikampio ženklai?
O pasirodo, kad tereikia visus teiginius „apversti“ atvirkščiai. Žinoma, taip nutinka ne visada, bet lygiašonis trikampis vis tiek yra puikus dalykas! Kas atsitinka po „apyvartos“?
Na, žiūrėk:
Jei aukštis ir mediana sutampa, tada:
Jei aukštis ir bisektorius sutampa, tada:
Jei pusiausvyra ir mediana sutampa, tada:
Na, nepamirškite ir naudokite:
- Jei jums duotas lygiašonis trikampis trikampis, drąsiai nubrėžkite aukštį, gaukite du stačiuosius trikampius ir išspręskite užduotį apie stačiakampį trikampį.
- Jei tai duota du kampai yra lygūs, tada trikampis tiksliai lygiašonis ir jūs galite nubrėžti aukštį ir... (Namas, kurį pastatė Džekas...).
- Jei paaiškėja, kad aukštis padalintas per pusę, tada trikampis yra lygiašonis su visomis iš to sekančiomis premijomis.
- Jei paaiškėja, kad aukštis padalija kampą tarp aukštų - tai taip pat lygiašonis!
- Jei bisektorius dalija kraštinę pusiau arba mediana padalija kampą, tai taip pat atsitinka tik lygiašoniame trikampyje
Pažiūrėkime, kaip tai atrodo užduotyse.
1 problema(paprasčiausias)
Trikampyje kraštinės ir yra lygios, a. Rasti.
Mes nusprendžiame:
Pirmiausia piešinys.
Koks čia pagrindas? Be abejo,.
Prisiminkime, kas būtų, jei tada ir.
Atnaujintas brėžinys:
Pažymėkime pagal. Kokia yra trikampio kampų suma? ?
Mes naudojame:
tai atsakymas: .
Nesunku, tiesa? Man net nereikėjo reguliuoti aukščio.
2 problema(Taip pat nėra labai sudėtinga, bet temą reikia pakartoti)
Trikampyje,. Rasti.
Mes nusprendžiame:
Trikampis yra lygiašonis! Nubrėžiame aukštį (tai yra triukas, su kuriuo dabar viskas bus nuspręsta).
Dabar „išbraukime iš gyvenimo“, tiesiog pažiūrėkime į jį.
Taigi, mes turime:
Prisiminkime kosinusų lentelės reikšmes (na, arba pažiūrėkime į cheat sheet...)
Belieka tik surasti: .
Atsakymas: .
Atkreipkite dėmesį, kad mes čia Labai reikalingos žinios apie stačiuosius trikampius ir „lentelės“ sinusus bei kosinusus. Labai dažnai taip nutinka: temos „Lygiašonis trikampis“ ir uždaviniuose eina kartu, bet nelabai draugiškai su kitomis temomis.
Lygiašonis trikampis. Vidutinis lygis.
Šie dvi vienodos pusės yra vadinami pusės, A trečioji kraštinė yra lygiašonio trikampio pagrindas.
Pažiūrėkite į paveikslėlį: ir - šonus, - lygiašonio trikampio pagrindą.
Naudokime vieną paveikslėlį, kad suprastume, kodėl taip nutinka. Nubrėžkime aukštį iš taško.
Tai reiškia, kad visi atitinkami elementai yra lygūs.
Viskas! Vienu ypu (aukštis) jie įrodė visus teiginius iš karto.
Ir atminkite: norint išspręsti lygiašonio trikampio uždavinį, dažnai labai naudinga nuleisti aukštį iki lygiašonio trikampio pagrindo ir padalyti jį į du vienodus stačiuosius trikampius.
Lygiašonio trikampio ženklai
Priešingi teiginiai taip pat teisingi:
Beveik visi šie teiginiai vėl gali būti įrodyti „vienu ypu“.
1. Taigi, įsileisti pasirodė lygūs ir.
Patikrinkime aukštį. Tada
2. a) Dabar įleiskite kokį nors trikampį aukštis ir bisektorius sutampa.
2. b) O jei aukštis ir mediana sutampa? Viskas beveik taip pat, ne daugiau sudėtinga!
![]() |
- iš dviejų pusių |
2. c) Bet jei nėra aukščio, kuris nuleistas iki lygiašonio trikampio pagrindo, tada iš pradžių stačiųjų trikampių nėra. Blogai!
Tačiau yra išeitis - perskaitykite ją kitame teorijos lygyje, nes įrodymas čia yra sudėtingesnis, tačiau kol kas tiesiog atminkite, kad jei mediana ir bisektorius sutampa, tada trikampis taip pat pasirodys lygiašonis, ir aukštis vis tiek sutaps su šiomis pusiau ir mediana.
Apibendrinkime:
- Jei trikampis yra lygiašonis, tada kampai prie pagrindo yra lygūs, o aukštis, pusiausvyra ir mediana, nubrėžta į pagrindą, sutampa.
- Jei kokiame nors trikampyje yra du lygūs kampai arba kai kurios dvi iš trijų tiesių (pusiauris, mediana, aukštis) sutampa, tai toks trikampis yra lygiašonis.
Lygiašonis trikampis. Trumpas aprašymas ir pagrindinės formulės
Lygiašonis trikampis yra trikampis, turintis dvi lygias kraštines.
Lygiašonio trikampio ženklai:
- Jei tam tikrame trikampyje du kampai yra lygūs, tada jis yra lygiašonis.
- Jei kokiame nors trikampyje jie sutampa:
A) aukštis ir bisektorius arba
b) aukštis ir mediana arba
V) mediana ir pusiausvyra,
nubrėžtas į vieną kraštinę, tada toks trikampis yra lygiašonis.
LIKUSIEJI 2/3 STRAIPSNIŲ PRIEINAMI TIK YOUCLEVER STUDENTIAMS!
Tapk YouClever studentu,
Pasiruoškite vieningam valstybiniam arba vieningam matematikos valstybiniam egzaminui už „puodelį kavos per mėnesį“,
Taip pat gausite neribotą prieigą prie „YouClever“ vadovėlio, „100gia“ paruošimo programos (sprendėjų knygos), neriboto bandomojo Vieningo valstybinio egzamino ir Vieningo valstybinio egzamino, 6000 problemų su sprendimų analizės ir kitų YouClever ir 100gia paslaugų.