Daugiakampio vidinių kampų sumos teorema. taisyklingas daugiakampis
Trikampis, kvadratas, šešiakampis – šias figūras žino beveik visi. Tačiau ne visi žino, kas yra taisyklingas daugiakampis. Bet tai yra tas pats Taisyklingasis daugiakampis vadinamas tas, kurio kampai ir kraštinės yra vienodi. Tokių figūrų yra labai daug, tačiau jos visos turi tas pačias savybes, joms taikomos tos pačios formulės.
Taisyklingų daugiakampių savybės
Bet koks taisyklingas daugiakampis, nesvarbu, ar tai būtų kvadratas, ar aštuonkampis, gali būti įrašytas į apskritimą. Ši pagrindinė savybė dažnai naudojama kuriant figūrą. Be to, apskritimas taip pat gali būti įrašytas į daugiakampį. Tokiu atveju sąlyčio taškų skaičius bus lygus jo pusių skaičiui. Svarbu, kad apskritimas, įrašytas į taisyklingą daugiakampį, turėtų su juo bendrą centrą. Šie geometrines figūras kurioms taikomos tos pačios teoremos. Bet kuri taisyklingo n kampo kraštinė susieta su ją apibrėžiančio apskritimo spinduliu R. Todėl ją galima apskaičiuoti naudojant tokią formulę: a = 2R ∙ sin180°. Per jį galite rasti ne tik daugiakampio šonus, bet ir perimetrą.
Kaip rasti taisyklingo daugiakampio kraštinių skaičių
Bet kuris susideda iš tam tikro skaičiaus segmentų, lygių vienas kitam, kurie, susijungę, sudaro uždarą liniją. Šiuo atveju visi suformuotos figūros kampai turi tą pačią vertę. Daugiakampiai skirstomi į paprastus ir sudėtingus. Pirmąją grupę sudaro trikampis ir kvadratas. Sudėtingi daugiakampiai turi daugiau kraštinių. Juose taip pat yra žvaigždės formos figūros. Sudėtingų taisyklingų daugiakampių kraštinės randamos jas nubrėžus apskritimu. Pateikime įrodymą. Nubrėžkite taisyklingą daugiakampį su savavališku kraštinių skaičiumi n. Apibūdinkite apskritimą aplink jį. Nurodykite spindulį R. Dabar įsivaizduokite, kad pateiktas koks nors n-kampis. Jei jo kampų taškai yra ant apskritimo ir yra lygūs vienas kitam, tada kraštines galima rasti pagal formulę: a = 2R ∙ sinα: 2.
Įbrėžto stačiojo trikampio kraštinių skaičiaus nustatymas
Lygiakraštis trikampis yra taisyklingas daugiakampis. Jam taikomos tos pačios formulės kaip ir kvadratui bei n kampui. Trikampis bus laikomas teisingu, jei jo kraštinės yra vienodos. Šiuo atveju kampai yra 60⁰. Sukurkite trikampį, kurio kraštinės ilgis yra a. Žinodami jo medianą ir aukštį, galite sužinoti jo kraštų vertę. Norėdami tai padaryti, naudosime metodą, kaip rasti pagal formulę a \u003d x: cosα, kur x yra mediana arba aukštis. Kadangi visos trikampio kraštinės yra lygios, gauname a = b = c. Tada teisingas toks teiginys: a = b = c = x: cosα. Panašiai galite rasti lygiašonio trikampio kraštinių vertę, tačiau x bus nurodytas aukštis. Tuo pačiu metu jis turėtų būti projektuojamas griežtai ant figūros pagrindo. Taigi, žinodami aukštį x, randame kraštinę a lygiašonis trikampis pagal formulę a \u003d b \u003d x: cosα. Suradę a reikšmę, galite apskaičiuoti pagrindo c ilgį. Taikykime Pitagoro teoremą. Ieškosime pusės bazės c reikšmės: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Tada c = 2xtanα. Tokiu paprastu būdu galite rasti bet kurio įrašyto daugiakampio kraštinių skaičių.
Į apskritimą įbrėžto kvadrato kraštinių skaičiavimas
Kaip ir bet kuris kitas įbrėžtas taisyklingas daugiakampis, kvadratas turi vienodas kraštines ir kampus. Jam taikomos tos pačios formulės kaip ir trikampiui. Kvadrato kraštines galite apskaičiuoti naudodami įstrižainės reikšmę. Panagrinėkime šį metodą išsamiau. Yra žinoma, kad įstrižainė dalija kampą pusiau. Iš pradžių jo vertė buvo 90 laipsnių. Taigi po padalijimo susidaro du.Jų kampai prie pagrindo bus lygūs 45 laipsnių. Atitinkamai, kiekviena kvadrato kraštinė bus lygi, tai yra: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kur e yra kvadrato įstrižainė arba pagrindas po padalijimo susidaręs stačiakampis trikampis. Nėra vienintelis kelias ieškant kvadrato kraštinių. Įbrėžkime šią figūrą į apskritimą. Žinodami šio apskritimo spindulį R, randame kvadrato kraštinę. Apskaičiuosime taip a4 = R√2. Taisyklingų daugiakampių spinduliai apskaičiuojami pagal formulę R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), kur a yra kraštinės ilgis.
Kaip apskaičiuoti n kampo perimetrą
N kampo perimetras yra visų jo kraštinių suma. Tai lengva apskaičiuoti. Norėdami tai padaryti, turite žinoti visų pusių vertybes. Kai kuriems daugiakampių tipams yra specialios formulės. Jie leidžia daug greičiau rasti perimetrą. Yra žinoma, kad bet kuris taisyklingas daugiakampis turi lygias kraštines. Todėl, norint apskaičiuoti jo perimetrą, pakanka žinoti bent vieną iš jų. Formulė priklausys nuo figūros kraštinių skaičiaus. Apskritai tai atrodo taip: P \u003d an, kur a yra kraštinės vertė, o n yra kampų skaičius. Pavyzdžiui, norėdami rasti įprasto aštuonkampio, kurio kraštinė yra 3 cm, perimetrą, turite jį padauginti iš 8, tai yra, P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Šešiakampiui, kurio kraštinė yra 5 cm, apskaičiuojame taip: P = 5 ∙ 6 = 30 cm. Ir taip kiekvienam daugiakampiui.
Lygiagretainio, kvadrato ir rombo perimetro radimas
Atsižvelgiant į tai, kiek kraštinių turi taisyklingas daugiakampis, apskaičiuojamas jo perimetras. Tai labai palengvina užduotį. Išties, skirtingai nuo kitų figūrų, šiuo atveju nebūtina ieškoti visų jos pusių, užtenka vienos. Tuo pačiu principu randame keturkampių perimetrą, tai yra kvadratą ir rombą. Nepaisant to, kad tai yra skirtingi skaičiai, jų formulė yra ta pati P = 4a, kur a yra pusė. Paimkime pavyzdį. Jei rombo ar kvadrato kraštinė yra 6 cm, tada perimetrą randame taip: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Lygiagretainis turi tik priešingas kraštines. Todėl jo perimetras randamas naudojant kitą metodą. Taigi, turime žinoti figūros ilgį a ir plotį b. Tada taikome formulę P \u003d (a + c) ∙ 2. Lygiagretainis, kurio visos kraštinės ir kampai tarp jų yra lygūs, vadinamas rombu.
Lygiakraščio ir stačiakampio trikampio perimetro radimas
Teisingo perimetrą galima rasti pagal formulę P \u003d 3a, kur a yra kraštinės ilgis. Jei jis nežinomas, jį galima rasti per medianą. AT taisyklingas trikampis tik dvi pusės yra lygios. Pagrindą galima rasti per Pitagoro teoremą. Kai žinomos visų trijų pusių reikšmės, apskaičiuojame perimetrą. Jį galima rasti taikant formulę P \u003d a + b + c, kur a ir b yra lygios kraštinės, o c yra pagrindas. Prisiminkite, kad lygiašoniame trikampyje a \u003d b \u003d a, taigi, a + b \u003d 2a, tada P \u003d 2a + c. Pavyzdžiui, lygiašonio trikampio kraštinė yra 4 cm, raskite jo pagrindą ir perimetrą. Apskaičiuojame hipotenuzės vertę pagal Pitagoro teoremą c \u003d √a 2 + in 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Dabar apskaičiuojame perimetrą P \u003d \u003d \u0030. u003d 13,65 cm.
Kaip rasti taisyklingo daugiakampio kampus
Taisyklingas daugiakampis mūsų gyvenime pasitaiko kiekvieną dieną, pavyzdžiui, paprastas kvadratas, trikampis, aštuonkampis. Atrodytų, kad nėra nieko lengviau, kaip susikurti šią figūrą patiems. Bet tai tik iš pirmo žvilgsnio. Norint sukurti bet kurį n kampą, reikia žinoti jo kampų reikšmę. Bet kaip juos rasti? Net senovės mokslininkai bandė statyti taisyklingus daugiakampius. Jie spėjo juos sutalpinti į ratus. Ir tada ant jo buvo pažymėti reikalingi taškai, sujungti tiesiomis linijomis. Dėl paprastos figūros statybos problema išspręsta. Gautos formulės ir teoremos. Pavyzdžiui, Euklidas savo garsiajame darbe „Pradžia“ užsiėmė 3, 4, 5, 6 ir 15 gonų uždavinių sprendimu. Jis rado būdų, kaip juos sukonstruoti ir rasti kampus. Pažiūrėkime, kaip tai padaryti 15 gon. Pirmiausia reikia apskaičiuoti jo vidinių kampų sumą. Būtina naudoti formulę S = 180⁰(n-2). Taigi, mums suteikiamas 15 kampų, o tai reiškia, kad skaičius n yra 15. Mes pakeičiame mums žinomus duomenis į formulę ir gauname S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Mes radome visų 15 kampų vidinių kampų sumą. Dabar turime sužinoti kiekvieno iš jų vertę. Iš viso kampų yra 15. Skaičiuojame 2340⁰: 15 = 156⁰. Tai reiškia, kad kiekvienas vidinis kampas yra 156⁰, dabar naudodami liniuotę ir kompasą galite sukurti įprastą 15 kampų. Bet kaip su sudėtingesniais n-gonais? Šimtmečius mokslininkai stengėsi išspręsti šią problemą. Jį tik XVIII amžiuje rado Carlas Friedrichas Gaussas. Jis sugebėjo sukurti 65537-gon. Nuo tada problema oficialiai laikoma visiškai išspręsta.
n kampų radianais apskaičiavimas
Žinoma, yra keletas būdų, kaip rasti daugiakampių kampus. Dažniausiai jie skaičiuojami laipsniais. Bet jūs taip pat galite juos išreikšti radianais. Kaip tai padaryti? Būtina elgtis taip. Pirmiausia išsiaiškinkite pusių skaičių taisyklingas daugiakampis, tada iš jo atimkite 2. Taigi, gauname reikšmę: n - 2. Rastą skirtumą padauginkite iš skaičiaus n ("pi" \u003d 3,14). Dabar lieka tik padalyti gautą sandaugą iš kampų skaičiaus n-kampyje. Apsvarstykite šiuos skaičiavimus naudodami tos pačios penkiolikos pusių pavyzdį. Taigi, skaičius n yra 15. Taikykime formulę S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Žinoma, tai nėra vienintelis būdas apskaičiuoti kampą radianais. Galite tiesiog padalyti kampo dydį laipsniais iš skaičiaus 57,3. Juk tiek laipsnių tolygu vienam radianui.
Kampų vertės laipsniais apskaičiavimas
Be laipsnių ir radianų, galite pabandyti rasti taisyklingo daugiakampio kampų vertę gradais. Tai daroma tokiu būdu. Iš viso kampų skaičiaus atimkite 2, gautą skirtumą padalinkite iš taisyklingo daugiakampio kraštinių skaičiaus. Rastą rezultatą padauginame iš 200. Beje, toks kampų matavimo vienetas kaip laipsniai praktiškai nenaudojamas.
Išorinių n kampų kampų skaičiavimas
Bet kuriam įprastam daugiakampiui, be vidinio, galite apskaičiuoti ir išorinį kampą. Jo vertė nustatoma taip pat, kaip ir kitų figūrų. Taigi, norėdami rasti taisyklingo daugiakampio išorinį kampą, turite žinoti vidinio kampo vertę. Be to, mes žinome, kad šių dviejų kampų suma visada yra 180 laipsnių. Todėl skaičiavimus atliekame taip: 180⁰ atėmus vidinio kampo vertę. Mes randame skirtumą. Jis bus lygus kampo, esančio šalia jo, vertei. Pavyzdžiui, vidinis kvadrato kampas yra 90 laipsnių, taigi išorinis kampas bus 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Kaip matome, jį rasti nėra sunku. Išorinis kampas gali būti atitinkamai nuo +180⁰ iki -180⁰.
tavo daugiakampis. Pavyzdžiui, jei reikia rasti taisyklingo daugiakampio, turinčio 15 kraštinių, kampus, į lygtį prijunkite n=15. Gausite S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰.
Tada gautą vidinių kampų sumą padalinkite iš jų skaičiaus. Pavyzdžiui, daugiakampyje kampų skaičius yra kraštinių skaičius, tai yra 15. Taip gausite, kad kampas yra 2340⁰/15=156⁰. Kiekvienas daugiakampio vidinis kampas yra 156⁰.
Jei jums patogiau skaičiuoti daugiakampio kampus radianais, elkitės taip. Iš kraštinių skaičiaus atimkite skaičių 2 ir gautą skirtumą padauginkite iš skaičiaus P (Pi). Tada padalykite gaminį iš daugiakampio kampų skaičiaus. Pavyzdžiui, jei jums reikia apskaičiuoti įprasto 15 kampų kampus, atlikite tai: P * (15-2) / 15 \u003d 13 / 15P arba 0,87P arba 2,72 (bet, pavyzdžiui, skaičius P išlieka nepakitęs). Arba tiesiog padalinkite kampo dydį laipsniais iš 57,3 – tiek yra viename radiane.
Taip pat galite pabandyti apskaičiuoti taisyklingo daugiakampio kampus laipsniais. Norėdami tai padaryti, iš kraštinių skaičiaus atimkite skaičių 2, gautą skaičių padalinkite iš kraštinių skaičiaus ir gautą rezultatą padauginkite iš 200. Šis kampų matavimo vienetas šiandien beveik nenaudojamas, tačiau jei nuspręsite skaičiuoti kampus kruša, nepamirškite, kad kruša skirstoma į metrines sekundes ir minutes (100 sekundžių per minutę).
Galbūt jums reikia apskaičiuoti įprasto daugiakampio išorinį kampą, tokiu atveju tai padarykite. Atimkite vidinį kampą iš 180⁰ - kaip rezultatas, gausite gretimo, tai yra, išorinio kampo vertę. Jo vertė gali būti nuo -180⁰ iki +180⁰.
Jei jums pavyko išsiaiškinti taisyklingo daugiakampio kampus, galite lengvai jį sukurti. Nubrėžkite vieną tam tikro ilgio kraštą ir naudodamiesi transporteriu atidėkite nuo jos norimą kampą. Išmatuokite lygiai tokį patį atstumą (visos įprasto daugiakampio kraštinės yra lygios) ir vėl atidėkite norimą kampą. Tęskite, kol pusės susidurs.
Šaltiniai:
- kampas taisyklingame daugiakampyje
Laikoma, kad daugiakampis yra apibrėžtas, jei visos jo kraštinės liečia jame įrašytą apskritimą. Galite apibūdinti tik taisyklingą daugiakampį, ty tokį, kurio visos kraštinės yra lygios. Net senovės architektai susidūrė su tokios problemos sprendimu, kai reikėjo suprojektuoti, pavyzdžiui, koloną. Šiuolaikinės technologijos leidžia tai padaryti su minimaliu laiku, tačiau veikimo principas išlieka toks pat kaip ir klasikinėje geometrijoje.
Jums reikės
- - kompasas;
- - transporteris;
- - liniuotė;
- -popierius.
Instrukcija
Nubrėžkite apskritimą su duotu . Apibrėžkite jo centrą kaip O ir nubrėžkite vieną iš spindulių, kad būtų galima pradėti statyti. Norint apibūdinti aplink jį esantį daugiakampį, reikia vienintelio jo parametro – kraštinių skaičiaus. Pažymėkite jį kaip n.
Atminkite, bet kurio apskritimo kampas. Tai 360°. Pagal tai galima apskaičiuoti kampus sektorių, kurių kraštinės sujungs apskritimo centrą su sąlyčio taškais su daugiakampio kraštinėmis. Šių sektorių skaičius lygus daugiakampio kraštinių skaičiui, tai yra n. Raskite kampą α pagal formulę α = 360°/n.
Naudodami transporterį, atidėkite gautą kampo vertę nuo spindulio ir nubrėžkite per jį kitą spindulį. Kad skaičiavimai būtų tikslūs, naudokite skaičiuotuvą ir apvalinkite reikšmes tik išimtiniais atvejais. Iš šio naujo spindulio vėl atidėkite sektoriaus kampą ir nubrėžkite kitą liniją tarp centro ir apskritimo linijos. Tuo pačiu būdu pastatykite visus kampus.
Pastaba. Šioje medžiagoje pateikiama teorema ir jos įrodymas, taip pat keletas problemų, iliustruojančių teoremos taikymą išgaubto daugiakampio kampų sumai praktiniais pavyzdžiais.
Išgaubto daugiakampio kampo sumos teorema
.Įrodymas.
Norėdami įrodyti teoremą apie išgaubto daugiakampio kampų sumą, naudojame jau įrodytą teoremą, kad trikampio kampų suma yra 180 laipsnių.
Tegu A 1 A 2... A n yra duotasis išgaubtas daugiakampis, o n > 3. Iš viršūnės A 1 nubrėžkite visas daugiakampio įstrižaines. Ją padalija į n – 2 trikampius: Δ A 1 A 2 A 3 , Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Daugiakampio kampų suma yra tokia pati kaip visų šių trikampių kampų suma. Kiekvieno trikampio kampų suma yra 180°, o trikampių skaičius yra (n - 2). Todėl išgaubto n kampo A 1 A 2... A n kampų suma lygi 180° (n – 2).
Užduotis.
Išgaubtame daugiakampyje trys kampai yra 80 laipsnių, o likusieji yra 150 laipsnių. Kiek kampų yra išgaubtame daugiakampyje?
Sprendimas.
Teorema sako: Išgaubto n kampo kampų suma yra 180° (n-2) .
Taigi mūsų atveju:
180(n-2)=3*80+x*150, kur
Pagal uždavinio sąlygą mums duoti 3 kampai po 80 laipsnių, o kitų kampų skaičius mums dar nežinomas, todėl jų skaičių žymime x.
Tačiau iš kairiosios pusės įrašo daugiakampio kampų skaičių nustatėme kaip n, kadangi trijų iš jų reikšmes žinome iš uždavinio sąlygos, akivaizdu, kad x=n-3.
Taigi lygtis atrodys taip:
180 (n-2) = 240 + 150 (n-3)
Išsprendžiame gautą lygtį
180n – 360 = 240 + 150n – 450
180n–150n = 240 + 360–450
Atsakymas: 5 viršūnės
Užduotis.
Kiek viršūnių gali turėti daugiakampis, jei kiekvienas kampas yra mažesnis nei 120 laipsnių?
Sprendimas.
Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame teoremą apie išgaubto daugiakampio kampų sumą.
Teorema sako: Išgaubto n kampo visų kampų suma yra 180° (n-2) .
Taigi mūsų atveju pirmiausia reikia įvertinti problemos ribines sąlygas. Tai yra, darykite prielaidą, kad kiekvienas kampas yra lygus 120 laipsnių. Mes gauname:
180n – 360 = 120n
180n - 120n = 360 (šią išraišką apsvarstysime atskirai žemiau)
Remdamiesi gauta lygtimi, darome išvadą: kai kampai yra mažesni nei 120 laipsnių, daugiakampio kampų skaičius yra mažesnis nei šeši.
Paaiškinimas:
Remiantis išraiška 180n – 120n = 360 , jei atimta dešinė pusė yra mažesnė nei 120n, skirtumas turėtų būti didesnis nei 60n. Taigi padalijimo koeficientas visada bus mažesnis nei šeši.
Atsakymas: daugiakampių viršūnių skaičius bus mažesnis nei šeši.
Užduotis
Daugiakampis turi tris 113 laipsnių kampus, o likusieji yra lygūs vienas kitam, o jų laipsnio matas yra sveikas skaičius. Raskite daugiakampio viršūnių skaičių.
Sprendimas.
Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame teoremą apie išgaubto daugiakampio išorinių kampų sumą.
Teorema sako: Išgaubto n kampo visų išorinių kampų suma yra 360° .
Šiuo būdu,
3*(180-113)+(n-3)x=360
dešinėje išraiškos pusėje yra išorinių kampų suma, kairėje pusėje trijų kampų suma yra žinoma pagal sąlygą, o likusio laipsnio matas (jų skaičius atitinkamai n-3, nes trys kampai yra žinomas) žymimas x.
159 yra suskaidomas tik į du veiksnius 53 ir 3, o 53 yra pirminis skaičius. Tai yra, nėra kitų veiksnių porų.
Taigi n-3 = 3, n=6, tai yra, daugiakampio kampų skaičius yra šeši.
Atsakymas: šeši kampai
Užduotis
Įrodykite, kad išgaubtas daugiakampis gali turėti ne daugiau kaip tris smailiuosius kampus.
Sprendimas
Kaip žinote, išgaubto daugiakampio išorinių kampų suma yra 360 0 . Įrodykime prieštaravimu. Jei išgaubtasis daugiakampis turi bent keturis smailius vidinius kampus, tai tarp jo išorinių kampų yra ne mažiau kaip keturi bukieji, o tai reiškia, kad visų daugiakampio išorinių kampų suma yra didesnė nei 4 * 90 0 = 360 0 . Turime prieštaravimą. Teiginys pasitvirtino.
2 vaizdo pamoka: Daugiakampiai. Problemų sprendimas
Paskaita: Poligonas. Išgaubto daugiakampio kampų suma
Daugiakampiai– tokios figūros mus supa visur – tai ir korių forma, kurioje bitės laiko medų, architektūrinės struktūros ir dar daugiau.
Kaip minėta anksčiau, daugiakampiai yra formos, turinčios daugiau nei du kampus. Jie susideda iš uždaros trūkinės linijos.
Be to, daugiakampių kampai gali būti išoriniai ir vidiniai. Pavyzdžiui, žvaigždė yra figūra, turinti 10 kampų, iš kurių vieni yra išgaubti, kiti įgaubti:
Išgaubtų daugiakampių pavyzdžiai:
Atkreipkite dėmesį, kad paveikslėlyje pavaizduoti taisyklingi daugiakampiai – jie yra išsamiai išnagrinėti mokyklos kursas matematika.
Bet kuris daugiakampis turi tiek pat viršūnių, kiek ir kraštinių skaičius. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad kaimyninės viršūnės yra tos, kurios turi vieną bendrą pusę. Pavyzdžiui, trikampis turi visas gretimas viršūnes.
Kuo daugiau kampų turi įprastas daugiakampis, tuo didesnis jų laipsnio matas. Tačiau išgaubto daugiakampio kampo laipsnio matas negali būti didesnis arba lygus 180 laipsnių.
Norėdami nustatyti bendrą daugiakampio laipsnio matą, turite naudoti formulę.
Daugiakampiai. Daugiakampių tipai. Vidinis ir išorinis išgaubto daugiakampio kampai. Išgaubto n kampo vidinių kampų suma (teorema). Išgaubto n kampo išorinių kampų suma (teorema). Taisyklingi daugiakampiai. Apskritimas apie taisyklingąjį daugiakampį (teorema, išvada 1.2)
Išgaubto daugiakampio vidinis kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, kurį sudaro jo kraštinės, susiliejančios toje viršūnėje. Išorinis išgaubto daugiakampio kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, esantis greta vidinio kampo toje viršūnėje. vidinis kampas išorinis kampas
Teorema. Išgaubto daugiakampio vidinių kampų suma yra (n - 2) · 180 o, kur n yra daugiakampio kraštinių skaičius. Duota: išgaubtas n-kampis. Įrodykite: α = (n – 2) 180 o Įrodymas n kampo viduje paimkite savavališką tašką O ir sujunkite jį su visomis viršūnėmis. Daugiakampis bus padalintas į n trikampių, kurių bendra viršūnė O. Kiekvieno trikampio kampų suma lygi 180 o, todėl visų trikampių kampų suma lygi 180 o n. Į šią sumą, be visų daugiakampio vidinių kampų sumos, įeina trikampių kampų, esančių viršūnėje O, suma, lygi 360 o. Taigi, visų daugiakampio vidinių kampų suma yra 180 o n - 360 o \u003d (n - 2) 180 o. Taigi, n \u003d (n - 2) 180 o. Ch.t.d. apie
Teorema. Išgaubto daugiakampio išorinių kampų suma, paimta po vieną kiekvienoje viršūnėje, nepriklauso nuo n ir yra lygi 360, kur n yra n kampo kraštinių skaičius. Įrodymas. Kadangi daugiakampio išorinis kampas yra greta atitinkamo vidinio kampo, o gretimų kampų suma lygi 180, tai daugiakampio išorinių kampų suma yra: . Išorinis ir vidinis vidinis Taigi išgaubto daugiakampio išorinių kampų suma, paimta po vieną kiekvienoje viršūnėje, nepriklauso nuo n ir yra lygi 360 o, kur n yra n kampo kraštinių skaičius. Ch.t.d.
Teorema. Bet kurį taisyklingą daugiakampį galima įrašyti apskritimu, be to, tik vieną. Įrodymas. Tegul А1,А2,…,А n yra taisyklingas daugiakampis, О yra apibrėžtojo apskritimo centras. ОА1А2 =ОА2А3= ОАnА1, todėl šių trikampių aukščiai, nubrėžti iš viršūnės О, taip pat lygūs ОН1=ОН2=…=ОНn. Todėl apskritimas su todėl apskritimu, kurio centras O ir spindulys OH1, eina per taškus H1, H2, ..., Hn ir šiuose taškuose liečia daugiakampio kraštines, t.y. apskritimas įrašytas duotame daugiakampyje. Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 An
Įrodykime, kad yra tik vienas įbrėžtas apskritimas. Tarkime, kad yra kitas įbrėžtas apskritimas, kurio centras O ir spindulys OA. Tada jo centras yra vienodu atstumu nuo daugiakampio kraštinių, t.y. taškas O1 yra ant kiekvieno daugiakampio kampų pusės, todėl sutampa su šių pusių sankirtos tašku O. Šio apskritimo spindulys lygus atstumui nuo taško O iki daugiakampio kraštinių, t.y. lygus OH1.Įrodyta teorema. Išvada 1 Į taisyklingąjį daugiakampį įbrėžtas apskritimas liečia daugiakampio kraštines jų vidurio taškuose. Išvada 2 Apskritimo, apibrėžto apie taisyklingąjį daugiakampį, centras sutampa su apskritimo, įrašyto į tą patį daugiakampį, centru.