Znajdź obszar figury utworzonej przez wykres. Określona całka
Obliczanie powierzchni figury Jest to prawdopodobnie jeden z najtrudniejszych problemów w teorii obszaru. W geometrii szkolnej uczy się ich znajdowania obszarów podstawowych kształtów geometrycznych, takich jak na przykład trójkąt, romb, prostokąt, trapez, koło itp. Często jednak mamy do czynienia z obliczaniem obszarów bardziej złożonych figur. Właśnie w rozwiązywaniu takich problemów bardzo wygodne jest stosowanie rachunku całkowego.
Definicja.
Trapez krzywoliniowy wywoływana jest pewna figura G, ograniczona liniami y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a i x \u003d b, a funkcja f (x) jest ciągła w segmencie [a; b] i nie zmienia swojego znaku na nim (rys. 1). Obszar trapezu krzywoliniowego można oznaczyć przez S(G).
Całka oznaczona ʃ a b f(x)dx dla funkcji f(x), która jest ciągła i nieujemna na odcinku [a; b] i jest obszarem odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.
Oznacza to, że aby znaleźć obszar figury G ograniczony liniami y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a i x \u003d b, konieczne jest obliczenie całki oznaczonej ʃ a b f (x) dx.
W ten sposób, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Jeżeli funkcja y = f(x) nie jest dodatnia na [a; b], to obszar trapezu krzywoliniowego można znaleźć za pomocą wzoru S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
Przykład 1
Oblicz obszar figury ograniczony liniami y \u003d x 3; y = 1; x = 2.
Rozwiązanie.
Podane linie tworzą figurę ABC, którą pokazuje kreskowanie na Ryż. 2.
Pożądana powierzchnia jest równa różnicy pomiędzy powierzchniami krzywoliniowego trapezu DACE i kwadratu DABE.
Korzystając ze wzoru S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), wyznaczamy granice całkowania. Aby to zrobić, rozwiązujemy układ dwóch równań:
(y \u003d x 3,
(r = 1.
Tak więc mamy x 1 \u003d 1 - dolną granicę i x \u003d 2 - górną granicę.
Tak więc S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (jednostki kwadratowe).
Odpowiedź: 11/4 kw. jednostki
Przykład 2
Oblicz obszar figury ograniczony liniami y \u003d √x; y = 2; x = 9.
Rozwiązanie.
Podane linie tworzą figurę ABC, która jest ograniczona od góry wykresem funkcji
y \u003d √x, a od dołu wykres funkcji y \u003d 2. Wynikową liczbę pokazano przez kreskowanie Ryż. 3.
Pożądany obszar jest równy S = ʃ a b (√x - 2). Znajdźmy granice całkowania: b = 9, aby znaleźć a, rozwiązujemy układ dwóch równań:
(y = √x,
(r = 2.
Mamy więc, że x = 4 = a jest dolną granicą.
Zatem S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (jednostki kwadratowe).
Odpowiedź: S = 2 2/3 kw. jednostki
Przykład 3
Oblicz obszar figury ograniczony liniami y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.
Rozwiązanie.
Wykreślmy funkcję y \u003d x 3 - 4x dla x ≥ 0. Aby to zrobić, znajdujemy pochodną y ':
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 przy х = ±2/√3 ≈ 1,1 są punktami krytycznymi.
Jeśli narysujemy punkty krytyczne na osi rzeczywistej i umieścimy znaki pochodnej, otrzymamy, że funkcja maleje od zera do 2/√3 i rośnie od 2/√3 do plus nieskończoności. Wtedy x = 2/√3 jest punktem minimum, minimalna wartość funkcji y to min = -16/(3√3) ≈ -3.
Wyznaczmy punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych:
jeśli x \u003d 0, to y \u003d 0, co oznacza, że A (0; 0) jest punktem przecięcia z osią Oy;
jeśli y \u003d 0, to x 3 - 4x \u003d 0 lub x (x 2 - 4) \u003d 0 lub x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, skąd x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (nieodpowiednie, ponieważ x ≥ 0).
Punkty A(0;0) i B(2;0) to punkty przecięcia wykresu z osią Ox.
Podane linie tworzą figurę OAB, którą pokazuje kreskowanie na Ryż. cztery.
Ponieważ funkcja y \u003d x 3 - 4x przyjmuje (0; 2) wartość ujemną, to
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Mamy: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, skąd S \u003d 4 metry kwadratowe. jednostki
Odpowiedź: S = 4 kw. jednostki
Przykład 4
Znajdź obszar figury ograniczony parabolą y \u003d 2x 2 - 2x + 1, linie proste x \u003d 0, y \u003d 0 i styczną do tej paraboli w punkcie z odciętą x 0 \u003d 2.
Rozwiązanie.
Najpierw tworzymy równanie stycznej do paraboli y \u003d 2x 2 - 2x + 1 w punkcie z odciętą x₀ \u003d 2.
Ponieważ pochodna y' = 4x - 2, to dla x 0 = 2 otrzymujemy k = y'(2) = 6.
Znajdź rzędną punktu dotykowego: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Dlatego równanie styczne ma postać: y - 5 \u003d 6 (x - 2) lub y \u003d 6x - 7.
Zbudujmy figurę ograniczoną liniami:
y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.
Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: A(0; 1) - z osią Oy; z osią Wół - nie ma punktów przecięcia, ponieważ równanie 2x 2 - 2x + 1 = 0 nie ma rozwiązań (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;
y b \u003d 1/2, to znaczy wierzchołek punktu paraboli B ma współrzędne B (1/2; 1/2).
Tak więc figura, której obszar ma zostać określony, jest pokazywana przez kreskowanie Ryż. 5.
Mamy: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.
Znajdź współrzędne punktu D z warunku:
6x - 7 = 0, czyli x \u003d 7/6, następnie DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.
Obszar trójkąta DBC znajdujemy za pomocą wzoru S ADBC = 1/2 · DC · BC. W ten sposób,
S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 mkw. jednostki
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (jednostki kwadratowe).
Wreszcie otrzymujemy: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (jednostki kwadratowe).
Odpowiedź: S = 1 1/4 kw. jednostki
Przejrzeliśmy przykłady znajdowanie obszarów figur ograniczonych podanymi liniami. Aby skutecznie rozwiązywać takie problemy, trzeba umieć budować proste i wykresy funkcji na płaszczyźnie, znajdować punkty przecięcia prostych, stosować wzór na znalezienie pola, co implikuje umiejętność i umiejętności obliczania określonych całek.
strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
Zadanie ma charakter szkolny, ale mimo to prawie w 100% zrealizujesz na swoim toku matematyki wyższej. Dlatego z całą powagą potraktujemy WSZYSTKIE przykłady, a pierwszą rzeczą do zrobienia jest zapoznanie się z aplikacja Wykresy funkcji odświeżyć technikę konstruowania grafów elementarnych. …Jest? Doskonały! Typowa instrukcja zadania wygląda następująco:
Przykład 10
.
I pierwszy ważny krok rozwiązania składa się tylko z budowanie rysunku. Biorąc to pod uwagę, polecam następującą kolejność: pierwszy lepiej wszystko zbudować proste(jeśli istnieje) i tylko po – parabole, hiperbola, wykresy innych funkcji.
W naszym zadaniu: proste definiuje oś proste równolegle do osi i parabola jest symetryczny względem osi , dla którego znajdujemy kilka punktów odniesienia:
Pożądane jest wyklucie pożądanej figury:
Druga faza jest komponować poprawnie oraz obliczyć poprawnie określona całka. Na segmencie znajduje się wykres funkcji nad osią, więc wymagany obszar to:
Odpowiadać:
Po wykonaniu zadania warto spojrzeć na plan
i zobacz, czy odpowiedź jest realistyczna.
A my "na oko" liczymy liczbę zacienionych komórek - cóż, zostanie wpisanych około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli powiedzmy 20 jednostek kwadratowych, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek oczywiście nie pasuje do skonstruowanej figury, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.
Przykład 11
Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami i oś
Szybko się rozgrzewamy (koniecznie!) i rozważamy sytuację „lustrzaną” - kiedy znajduje się trapez krzywoliniowy pod osią:
Przykład 12
Oblicz obszar figury ograniczony liniami i osiami współrzędnych.
Rozwiązanie: znajdź kilka punktów odniesienia do konstruowania wykładnika:
i wykonaj rysunek, uzyskując figurę o powierzchni około dwóch komórek:
Jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy nie wyżej oś , to jej obszar można określić wzorem: .
W tym przypadku:
Odpowiadać: - cóż, bardzo, bardzo podobny do prawdy.
W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego przechodzimy od najprostszych problemów szkolnych do bardziej znaczących przykładów:
Przykład 13
Znajdź obszar płaskiej figury ograniczony liniami , .
Rozwiązanie: najpierw trzeba uzupełnić rysunek, podczas gdy nas szczególnie interesują punkty przecięcia paraboli i prostej, ponieważ będzie granice integracji. Możesz je znaleźć na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny. Zróbmy i rozwiążmy równanie:
zatem:
Godność metoda analityczna polega na jej precyzja, a wada- w Trwanie(i w tym przykładzie nadal mamy szczęście). Dlatego w wielu problemach bardziej opłaca się konstruować linie punkt po punkcie, podczas gdy granice integracji odnajdujemy jakby „samo z siebie”.
Przy linii prostej wszystko jest jasne, ale aby zbudować parabolę, wygodnie jest znaleźć jej wierzchołek, w tym celu bierzemy pochodną i przyrównujemy ją do zera:
- to jest punkt, w którym będzie znajdować się szczyt. A ze względu na symetrię paraboli pozostałe punkty odniesienia znajdziemy zgodnie z zasadą „lewo-prawo”:
Zróbmy rysunek:
A teraz działająca formuła: jeśli w przedziale trochę ciągły funkcjonować większe lub równe ciągły funkcje, wówczas obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji i odcinków linii można znaleźć za pomocą wzoru:
Tutaj nie trzeba już zastanawiać się, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią, ale z grubsza mówiąc, ma znaczenie, który z dwóch wykresów jest POWYŻEJ.
W naszym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej i dlatego konieczne jest odjęcie od
Zakończenie rozwiązania może wyglądać tak:
Na segmencie: , zgodnie z odpowiednim wzorem:
Odpowiadać:
Należy zauważyć, że proste formuły rozważane na początku akapitu są szczególnymi przypadkami formuły . Ponieważ oś jest podana przez równanie, to jedna z funkcji będzie wynosić zero i w zależności od tego, czy trapez krzywoliniowy leży powyżej czy poniżej, otrzymujemy wzór albo
A teraz kilka typowych zadań do samodzielnego rozwiązania
Przykład 14
Znajdź obszar figur ograniczony liniami:
Rozwiązanie z rysunkami i krótkimi komentarzami na końcu książki
W trakcie rozwiązywania rozważanego problemu zdarza się czasem zabawny incydent. Rysunek wykonany poprawnie, całka rozwiązana poprawnie, ale przez nieuwagę... znalazł obszar niewłaściwej figury, tak kilka razy pomylił się twój posłuszny sługa. Oto prawdziwy przypadek:
Przykład 15
Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami
Rozwiązanie: zróbmy prosty rysunek,
trik polega na tym, że wymagany obszar jest zacieniowany na zielono(uważnie spójrz na stan - jak liczba jest ograniczona!). Ale w praktyce, z powodu nieuwagi, często pojawia się „usterka”, w której musisz znaleźć obszar sylwetki zacieniony na szaro! Szczególną podstępnością jest to, że linię prostą można podciągnąć do osi, a wtedy w ogóle nie zobaczymy pożądanej figury.
Ten przykład jest również przydatny, ponieważ w nim obszar figury jest obliczany za pomocą dwóch całek oznaczonych. Naprawdę:
1) na odcinku powyżej osi znajduje się wykres linii prostej;
2) na odcinku nad osią znajduje się wykres hiperboli.
Jest całkiem jasne, że obszary można (i należy) dodać:
Odpowiadać:
I pouczający przykład niezależnego rozwiązania:
Przykład 16
Oblicz obszar figury ograniczony liniami , i osiami współrzędnych.
Tak więc systematyzujemy ważne punkty tego zadania:
Na pierwszym kroku UWAŻNIE przestudiuj stan - JAKIE funkcje są nam dane? Błędy zdarzają się nawet tutaj, w szczególności arc do Tangens jest często mylony z arcus tangens. Nawiasem mówiąc, dotyczy to również innych zadań, w których występuje arc tangens.
Dalej rysunek musi być wykonany PRAWIDŁOWO. Lepiej najpierw zbudować proste(jeśli istnieją), to wykresy innych funkcji (jeśli są J). Te ostatnie są w wielu przypadkach bardziej opłacalne w budowie punkt po punkcie- znajdź kilka punktów zaczepienia i ostrożnie połącz je linią.
Ale tutaj mogą czaić się następujące trudności. Po pierwsze, nie zawsze wynika to z rysunku granice integracji- dzieje się tak, gdy są ułamkowe. Na mathprofi.ru at odpowiedni artykuł Rozważałem przykład z parabolą i linią prostą, gdzie jeden z ich punktów przecięcia nie jest widoczny na rysunku. W takich przypadkach należy skorzystać z metody analitycznej, sporządzamy równanie:
i znajdź jego korzenie:
– dolna granica integracji, – Górna granica.
Po zbudowaniu rysunku, przeanalizuj wynikową figurę - jeszcze raz spójrz na proponowane funkcje i dwukrotnie sprawdź, czy TO jest figurą. Następnie analizujemy jego kształt i położenie, zdarza się, że teren jest dość skomplikowany i wtedy należy go podzielić na dwie lub nawet trzy części.
Składamy całkę oznaczoną lub kilka całek według wzoru , przeanalizowaliśmy wszystkie główne odmiany powyżej.
Rozwiązujemy całkę oznaczoną(s). Jednocześnie może się to okazać dość skomplikowane i wtedy stosujemy algorytm fazowy: 1) znajdź pierwotną i sprawdź ją przez zróżnicowanie, 2) Używamy wzoru Newtona-Leibniza.
Wynik jest przydatny do sprawdzenia za pomocą oprogramowania / usług online lub po prostu „oszacuj” według rysunku według komórek. Ale nie zawsze obie są możliwe, dlatego bardzo uważnie śledzimy każdy etap decyzji!
Kompletna i aktualna wersja tego kursu w formacie pdf,
jak również kursy na inne tematy można znaleźć.
Możesz też - prosty, niedrogi, zabawny i darmowy!
Z najlepszymi życzeniami, Alexander Emelin
W tej lekcji nauczymy się obliczać obszary figur płaskich, które nazywają się trapezy krzywoliniowe .
Przykłady takich figur znajdują się na poniższym rysunku.
Z jednej strony wyznaczenie pola figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej jest niezwykle proste. Mówimy o obszarze figury, który jest ograniczony od góry pewną krzywą, od dołu - osią odciętych ( Wół), a po lewej i prawej stronie znajduje się kilka linii prostych. Prostota polega na tym całka oznaczona funkcji, do której podana jest krzywa, i jest pole takiej figury(trapez krzywoliniowy).
Aby obliczyć powierzchnię figury, potrzebujemy:
- Całka oznaczona funkcji definiującej krzywą , który ogranicza trapez krzywoliniowy od góry. I tu pojawia się pierwszy znaczący niuans: trapez krzywoliniowy może być ograniczony krzywą nie tylko od góry, ale także od dołu . Jak postępować w takim przypadku? Proste, ale ważne do zapamiętania: całka w tym przypadku jest przyjmowana ze znakiem minus .
- Granice integracji a oraz b, które znajdujemy z równań linii, które ograniczały figurę po lewej i prawej stronie: x = a , x = b, gdzie a oraz b- liczby.
Oddzielnie trochę więcej niuansów.
Krzywa ograniczająca trapez krzywoliniowy od góry (lub od dołu) musi być wykres funkcji ciągłej i nieujemnej tak = f(x) .
Wartości X muszą należeć do segmentu [a, b] . Oznacza to, że nie są brane pod uwagę np. linie jako odcinek grzyba, w którym noga idealnie pasuje do tego segmentu, a kapelusz jest znacznie szerszy.
Segmenty boczne mogą ulegać degeneracji w punkty . Jeśli widziałeś taką figurę na rysunku, nie powinno cię to mylić, ponieważ ten punkt zawsze ma swoją wartość na osi x. Więc wszystko jest w porządku z granicami integracji.
Teraz możesz przejść do formuł i obliczeń. Więc obszar s trapez krzywoliniowy można obliczyć ze wzoru
Jeśli f(x) ≤ 0 (wykres funkcji znajduje się poniżej osi Wół), następnie obszar zakrzywionego trapezu można obliczyć według wzoru
Zdarzają się również przypadki, gdy zarówno górna, jak i dolna granica figury są odpowiednio funkcjami tak = f(x) oraz tak = φ (x) , wtedy powierzchnia takiej figury jest obliczana według wzoru
. (3)
Razem rozwiązujemy problemy
Zacznijmy od przypadków, w których powierzchnię figury można obliczyć za pomocą wzoru (1).
Przykład 1Wół) i bezpośredni x = 1 , x = 3 .
Rozwiązanie. Dlatego tak = 1/x> 0 na odcinku , to obszar trapezu krzywoliniowego znajduje się wzorem (1):
.
Przykład 2 Znajdź obszar figury ograniczony wykresem funkcji , linia prosta x= 1 i oś x ( Wół ).
Rozwiązanie. Wynik zastosowania wzoru (1):
Jeśli następnie s= 1/2; Jeśli następnie s= 1/3 itd.
Przykład 3 Znajdź obszar figury ograniczony wykresem funkcji, oś x ( Wół) i bezpośredni x = 4 .
Rozwiązanie. Figura odpowiadająca stanowi problemu to trapez krzywoliniowy, w którym lewy odcinek zdegenerował się w punkt. Granice całkowania wynoszą 0 i 4. Ponieważ zgodnie ze wzorem (1) znajdujemy obszar trapezu krzywoliniowego:
.
Przykład 4 Znajdź obszar figury ograniczony liniami , i znajdujący się w 1. kwartale.
Rozwiązanie. Aby użyć wzoru (1), przedstawiamy obszar figury podany przez warunki przykładu jako sumę obszarów trójkąta OAB i trapez krzywoliniowy ABC. Przy obliczaniu pola trójkąta OAB granicami integracji są odcięte punkty O oraz A, a dla figury ABC- odcięte punkty A oraz C (A jest punktem przecięcia linii OA i parabole oraz C- punkt przecięcia paraboli z osią Wół). Rozwiązując łącznie (jako układ) równania prostej i paraboli, otrzymujemy (odciętą punktu A) i (odcięta innego punktu przecięcia prostej i paraboli, która nie jest potrzebna do rozwiązania). Podobnie otrzymujemy , (odcięta punktów C oraz D). Teraz mamy wszystko, aby znaleźć obszar figury. Znaleźliśmy:
Przykład 5 Znajdź obszar trapezu krzywoliniowego ACDB, jeśli równanie krzywej płyta CD i odcięta A oraz B odpowiednio 1 i 2.
Rozwiązanie. Wyrażamy to równanie krzywej przez Y: Obszar trapezu krzywoliniowego określa wzór (1):
.
Przejdźmy do przypadków, w których powierzchnię figury można obliczyć za pomocą wzoru (2).
Przykład 6 Znajdź obszar figury ograniczony parabolą i osią x ( Wół ).
Rozwiązanie. Ta liczba znajduje się poniżej osi X. Dlatego do obliczenia jego powierzchni posługujemy się wzorem (2). Granicami integracji są odcięte i punkty przecięcia paraboli z osią Wół. W konsekwencji,
Przykład 7 Znajdź obszar między osią x ( Wół) i dwie sąsiednie fale sinusoidalne.
Rozwiązanie. Obszar tej figury można znaleźć za pomocą wzoru (2):
.
Znajdźmy każdy termin osobno:
.
.
Wreszcie znajdujemy obszar:
.
Przykład 8 Znajdź obszar figury zawarty między parabolą a krzywą.
Rozwiązanie. Wyraźmy równania prostych w postaci Y:
Powierzchnia zgodnie ze wzorem (2) zostanie uzyskana jako
,
gdzie a oraz b- odcięte punkty A oraz B. Znajdujemy je, rozwiązując wspólnie równania:
Wreszcie znajdujemy obszar:
I wreszcie zdarzają się przypadki, w których obszar figury można obliczyć za pomocą wzoru (3).
Przykład 9 Znajdź obszar figury zawarty między parabolami oraz .
Oblicz powierzchnię figury ograniczonej liniami.
Rozwiązanie.
Znajdujemy punkty przecięcia podanych linii. Aby to zrobić, rozwiązujemy układ równań:
Aby znaleźć odcięte punkty przecięcia podanych linii, rozwiązujemy równanie:
Znaleźliśmy: x 1 = -2, x 2 = 4.
Tak więc te linie, które są parabolą i linią prostą, przecinają się w punktach A(-2; 0), B(4; 6).
Linie te tworzą zamkniętą figurę, której powierzchnia jest obliczana przy użyciu powyższego wzoru:
Zgodnie z formułą Newtona-Leibniza znajdujemy:
Znajdź obszar obszaru ograniczonego elipsą.
Rozwiązanie.
Z równania elipsy dla kwadrantu I mamy . Stąd, zgodnie ze wzorem, otrzymujemy
Zastosujmy podstawienie x = a grzech t, dx = a sałata t dt. Nowe granice integracji t = α oraz t = β są wyznaczane z równań 0 = a grzech t, a = a grzech t. Można umieścić α = 0 i β = π /2.
Znajdujemy jedną czwartą wymaganego obszaru
Stąd S = pab.
Znajdź obszar figury ograniczony liniamitak = - x 2 + x + 4 itak = - x + 1.
Rozwiązanie.
Znajdź punkty przecięcia linii tak = -x 2 + x + 4, tak = -x+ 1, zrównując rzędne linii: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 lub x 2 - 2x- 3 = 0. Znajdź pierwiastki x 1 = -1, x 2 = 3 i odpowiadające im rzędne tak 1 = 2, tak 2 = -2.
Korzystając ze wzoru na obszar figury, otrzymujemy
Znajdź obszar otoczony parabolątak = x 2 + 1 i bezpośrednix + tak = 3.
Rozwiązanie.
Rozwiązywanie układu równań
znajdź odcięte punkty przecięcia x 1 = -2 i x 2 = 1.
Zarozumiały tak 2 = 3 - x oraz tak 1 = x 2 + 1, na podstawie otrzymanego wzoru
Oblicz obszar zawarty w lemniskacie Bernoulliegor 2 = a 2 sałata 2 φ .
Rozwiązanie.
W układzie współrzędnych biegunowych obszar figury ograniczony łukiem krzywej r = f(φ ) i dwa promienie biegunowe φ 1 = ʅ oraz φ 2 = ʆ , jest wyrażona przez całkę
Ze względu na symetrię krzywej najpierw określamy jedną czwartą pożądanego obszaru
Dlatego całkowita powierzchnia wynosi S = a 2 .
Oblicz długość łuku astroidyx 2/3 + tak 2/3 = a 2/3 .
Rozwiązanie.
Równanie astroidy zapisujemy w postaci
(x 1/3) 2 + (tak 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .
Włóżmy x 1/3 = a 1/3 cos t, tak 1/3 = a 1/3 grzechu t.
Stąd otrzymujemy równania parametryczne astroidy
x = a bo 3 t, tak = a grzech 3 t, (*)
gdzie 0 ≤ t ≤ 2π .
Ze względu na symetrię krzywej (*) wystarczy znaleźć jedną czwartą długości łuku L odpowiadający zmianie parametru t od 0 do π /2.
dostajemy
dx = -3a bo 2 t grzech t dt, dy = 3a grzech 2 t sałata t dt.
Stąd znajdujemy
Całkowanie otrzymanego wyrażenia w zakresie od 0 do π /2, dostajemy
Stąd L = 6a.
Znajdź obszar ograniczony spiralą Archimedesar = a oraz dwa wektory promienia odpowiadające kątom biegunowymφ 1 orazφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Rozwiązanie.
Obszar ograniczony krzywą r = f(φ ) oblicza się ze wzoru , gdzie α oraz β - granice zmiany kąta biegunowego.
W ten sposób otrzymujemy
(*)
Z (*) wynika, że obszar ograniczony przez oś biegunową i pierwszy obrót spirali Archimedesa ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Podobnie znajdujemy obszar ograniczony przez oś biegunową i drugi obrót spirali Archimedesa ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Pożądany obszar jest równy różnicy tych obszarów
Oblicz objętość ciała uzyskaną przez obrót wokół osiWół figura ograniczona parabolamitak = x 2 orazx = tak 2 .
Rozwiązanie.
Rozwiążmy układ równań
i dostać x 1 = 0, x 2 = 1, tak 1 = 0, tak 2 = 1, skąd punkty przecięcia krzywych O(0; 0), B(jedenaście). Jak widać na rysunku, pożądana objętość korpusu obrotowego jest równa różnicy między dwiema objętościami utworzonymi przez obrót wokół osi Wół trapezy krzywoliniowe OCBA oraz ODBA:
Oblicz obszar ograniczony osiąWół i sinusoidatak = grzechx na segmentach: a); b) .
Rozwiązanie.
a) Na odcinku funkcja sin x zachowuje znak, a więc formułę , zakładając tak= grzech x, znaleźliśmy
b) Na odcinku funkcja sin x zmiany znak. Aby poprawnie rozwiązać problem, konieczne jest podzielenie segmentu na dwa i [ π , 2π ], w każdym z których funkcja zachowuje swój znak.
Zgodnie z zasadą znaków na odcinku [ π , 2π ] jest brane ze znakiem minus.
W rezultacie pożądany obszar jest równy
Określ objętość ciała ograniczonego powierzchnią uzyskaną z obrotu elipsywokół głównej osia .
Rozwiązanie.
Biorąc pod uwagę, że elipsa jest symetryczna względem osi współrzędnych, wystarczy znaleźć objętość utworzoną przez obrót wokół osi Wół powierzchnia OAB, równy jednej czwartej powierzchni elipsy i podwoić wynik.
Oznaczmy objętość ciała obrotowego przez V x; wtedy na podstawie wzoru mamy , gdzie 0 i a- odcięte punkty B oraz A. Z równania elipsy znajdujemy . Stąd
Zatem wymagana objętość jest równa . (Kiedy elipsa obraca się wokół małej osi) b, objętość ciała wynosi )
Znajdź obszar ograniczony parabolamitak 2 = 2 px orazx 2 = 2 py .
Rozwiązanie.
Najpierw znajdujemy współrzędne punktów przecięcia paraboli w celu wyznaczenia przedziału całkowania. Przekształcając oryginalne równania otrzymujemy i . Przyrównując te wartości, otrzymujemy lub x 4 - 8p 3 x = 0.
x 4 - 8p 3 x = x(x 3 - 8p 3) = x(x - 2p)(x 2 + 2px + 4p 2) = 0.
Znajdujemy pierwiastki równań:
Biorąc pod uwagę fakt, że punkt A przecięcie paraboli znajduje się w pierwszej ćwiartce, potem granice całkowania x= 0 i x = 2p.
Pożądany obszar znajduje się we wzorze
Określona całka. Jak obliczyć powierzchnię figury
Przejdziemy teraz do rozważenia zastosowań rachunku całkowego. W tej lekcji przeanalizujemy typowe i najczęstsze zadanie. Jak wykorzystać całkę oznaczoną do obliczenia powierzchni figury płaskiej?. Wreszcie ci, którzy szukają sensu w wyższej matematyce - niech go znajdą. Nigdy nie wiesz. W prawdziwym życiu będziesz musiał przybliżyć letni domek z podstawowymi funkcjami i znaleźć jego powierzchnię za pomocą pewnej całki.
Aby skutecznie opanować materiał, musisz:
1) Zrozum całkę nieoznaczoną przynajmniej na poziomie średniozaawansowanym. Dlatego manekiny powinny najpierw przeczytać lekcję Nie.
2) Umieć zastosować wzór Newtona-Leibniza i obliczyć całkę oznaczoną. Na stronie możesz nawiązać ciepłe, przyjacielskie relacje z pewnymi całkami Określona całka. Przykłady rozwiązań.
W rzeczywistości, aby znaleźć obszar figury, nie potrzebujesz tak dużej wiedzy o całce nieoznaczonej i oznaczonej. Zadanie „oblicz pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z budową rysunku, więc Twoja wiedza i umiejętności rysowania będą o wiele bardziej istotnym zagadnieniem. W związku z tym warto odświeżyć pamięć wykresów głównych funkcji elementarnych i przynajmniej móc zbudować linię prostą, parabolę i hiperbolę. Można to zrobić (wielu tego potrzebuje) za pomocą materiału metodologicznego i artykułu o geometrycznych przekształceniach grafów.
Właściwie każdy od czasów szkoły zna problem znajdowania obszaru za pomocą całki oznaczonej i nieco wyprzedzimy szkolny program nauczania. Ten artykuł może w ogóle nie istnieje, ale faktem jest, że problem pojawia się w 99 przypadkach na 100, gdy studenta dręczy znienawidzona wieża z entuzjazmem opanowując kurs matematyki wyższej.
Materiały z tego warsztatu są przedstawione prosto, szczegółowo i z minimum teorii.
Zacznijmy od trapezu krzywoliniowego.
Trapez krzywoliniowy nazywana jest płaską figurą ograniczoną osią , liniami prostymi oraz wykresem funkcji ciągłej na odcinku, który nie zmienia znaku na tym przedziale. Niech ta figura zostanie zlokalizowana nie mniej odcięta:
Następnie obszar trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równy pewnej całce. Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne. Na lekcji Określona całka. Przykłady rozwiązań Powiedziałem, że całka oznaczona jest liczbą. A teraz czas na kolejny przydatny fakt. Z punktu widzenia geometrii całka oznaczona to POWIERZCHNIA.
To znaczy, całka oznaczona (jeśli istnieje) odpowiada geometrycznie powierzchni jakiejś figury. Rozważmy na przykład całkę oznaczoną . Całka określa krzywą na płaszczyźnie, która znajduje się nad osią (chętni mogą uzupełnić rysunek), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa powierzchni odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.
Przykład 1
To jest typowa instrukcja zadania. Pierwszym i najważniejszym momentem decyzji jest budowa rysunku. Ponadto rysunek musi być zbudowany PRAWO.
Podczas budowania planu polecam następującą kolejność: pierwszy lepiej skonstruować wszystkie linie (jeśli są) i tylko po- parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Tworzenie wykresów funkcji jest bardziej opłacalne punkt po punkcie, techniką konstrukcji punktowej można znaleźć w materiale referencyjnym Wykresy i własności funkcji elementarnych. Można tam również znaleźć materiał bardzo przydatny w związku z naszą lekcją - jak szybko zbudować parabolę.
W tym problemie rozwiązanie może wyglądać tak.
Zróbmy rysunek (zauważ, że równanie definiuje oś):
Nie wylęgnę trapezu krzywoliniowego, wiadomo o jakim obszarze tutaj mówimy. Rozwiązanie jest kontynuowane w ten sposób:
Na segmencie znajduje się wykres funkcji nad osią, dlatego:
Odpowiadać:
Kto ma trudności z obliczeniem całki oznaczonej i zastosowaniem wzoru Newtona-Leibniza? , zapoznaj się z wykładem Określona całka. Przykłady rozwiązań.
Po zakończeniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku „na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, zostanie wpisanych około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek wyraźnie nie pasuje do danej liczby, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.
Przykład 2
Oblicz obszar figury ograniczony liniami , i osią
To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.
Co zrobić, jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osią?
Przykład 3
Oblicz obszar figury ograniczony liniami i osiami współrzędnych.
Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:
Jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osią(Lub przynajmniej nie wyżej podaną oś), to jej pole można obliczyć wzorem:
W tym przypadku:
Uwaga! Nie myl tych dwóch rodzajów zadań:
1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, to może być ona ujemna.
2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, to obszar jest zawsze dodatni! Dlatego w rozważanej formule pojawia się minus.
W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.
Przykład 4
Znajdź obszar płaskiej figury ograniczony liniami , .
Rozwiązanie: Najpierw musisz uzupełnić rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zadaniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia linii. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i prostej. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny. Rozwiązujemy równanie:
Stąd dolna granica integracji , górna granica integracji .
Jeśli to możliwe, najlepiej nie używać tej metody..
O wiele bardziej opłacalne i szybsze jest budowanie linii punkt po punkcie, a granice integracji odkrywane są „samo z siebie”. Technika konstrukcji punkt po punkcie dla różnych wykresów została szczegółowo omówiona w pomocy Wykresy i własności funkcji elementarnych. Niemniej jednak, analityczna metoda znajdowania granic nadal czasami musi być stosowana, jeśli na przykład wykres jest wystarczająco duży lub konstrukcja gwintowana nie ujawniła granic integracji (mogą być ułamkowe lub irracjonalne). I rozważymy również taki przykład.
Wracamy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:
Powtarzam, że przy konstrukcji punktowej granice integracji najczęściej odkrywane są „automatycznie”.
A teraz działająca formuła: Jeśli w interwale jest jakaś ciągła funkcja większe lub równe jakaś funkcja ciągła, to obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji i liniami prostymi można znaleźć za pomocą wzoru:
Tutaj nie trzeba już myśleć o tym, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią i, z grubsza mówiąc, ma znaczenie, który wykres jest POWYŻEJ(w stosunku do innego wykresu), a który jest PONIŻEJ.
W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej i dlatego konieczne jest odjęcie od
Zakończenie rozwiązania może wyglądać tak:
Pożądana figura jest ograniczona parabolą od góry i prostą linią od dołu.
Na segmencie , zgodnie z odpowiednim wzorem:
Odpowiadać:
W rzeczywistości formuła szkolna dla obszaru trapezu krzywoliniowego w dolnej połowie płaszczyzny (patrz prosty przykład nr 3) jest szczególnym przypadkiem formuły . Ponieważ oś jest określona równaniem , a wykres funkcji znajduje się nie wyżej osie, to
A teraz kilka przykładów samodzielnego rozwiązania
Przykład 5
Przykład 6
Znajdź obszar figury ograniczony liniami , .
W trakcie rozwiązywania zadań obliczania pola za pomocą pewnej całki zdarza się czasem zabawny incydent. Rysunek został wykonany poprawnie, obliczenia były poprawne, ale z powodu nieuwagi ... znalazł obszar niewłaściwej figury, tak twój posłuszny sługa kilka razy schrzanił sprawę. Oto prawdziwy przypadek:
Przykład 7
Oblicz obszar figury ograniczony liniami , , , .
Rozwiązanie: Najpierw zróbmy rysunek:
…Ech, rysunek wyszedł gównianie, ale wszystko wydaje się czytelne.
Postać, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko.(uważnie spójrz na stan - jak liczba jest ograniczona!). Ale w praktyce, z powodu nieuwagi, często pojawia się „usterka”, w której musisz znaleźć obszar sylwetki zacieniony na zielono!
Ten przykład jest również przydatny, ponieważ w nim obszar figury jest obliczany za pomocą dwóch całek oznaczonych. Naprawdę:
1) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres linii prostej;
2) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres hiperboli.
Jest całkiem oczywiste, że obszary można (i należy) dodać, dlatego:
Odpowiadać:
Przejdźmy do jeszcze jednego znaczącego zadania.
Przykład 8
Oblicz obszar figury ograniczony liniami,
Przedstawmy równania w formie „szkolnej” i wykonajmy rysunek punkt po punkcie:
Z rysunku widać, że nasza górna granica jest „dobra”: .
Ale jaka jest dolna granica? Oczywiste jest, że nie jest to liczba całkowita, ale co? Może ? Ale gdzie jest gwarancja, że rysunek jest wykonany z idealną dokładnością, może się tak okazać. Albo korzeń. A co, jeśli w ogóle nie uzyskaliśmy prawidłowego wykresu?
W takich przypadkach trzeba poświęcić dodatkowy czas i analitycznie doprecyzować granice integracji.
Znajdźmy punkty przecięcia prostej i paraboli.
Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie:
,
Naprawdę, .
Dalsze rozwiązanie jest banalne, najważniejsze jest, aby nie pomylić się w podstawieniach i znakach, obliczenia tutaj nie należą do najłatwiejszych.
Na segmencie , zgodnie z odpowiednim wzorem:
Odpowiadać:
Cóż, na zakończenie lekcji rozważymy dwa zadania trudniejsze.
Przykład 9
Oblicz obszar figury ograniczony liniami , ,
Rozwiązanie: Narysuj tę figurę na rysunku.
Cholera, zapomniałem podpisać harmonogram i przerobić zdjęcie, przepraszam, nie hotz. Nie rysunek, w skrócie, dzisiaj jest dzień =)
W przypadku konstrukcji punkt po punkcie konieczne jest poznanie wyglądu sinusoidy (i ogólnie warto wiedzieć wykresy wszystkich funkcji elementarnych), a także niektóre wartości sinus, można je znaleźć w: tabela trygonometryczna. W niektórych przypadkach (jak w tym przypadku) dopuszcza się skonstruowanie schematu, na którym wykresy i granice całkowania muszą być w zasadzie poprawnie wyświetlane.
Nie ma tu problemów z granicami całkowania, wynikają one bezpośrednio z warunku: - "x" zmienia się od zera do "pi". Podejmujemy kolejną decyzję:
Na segmencie wykres funkcji znajduje się nad osią, dlatego: