Снежинка коха алгоритм построения. Программы на Pascal (Паскаль): снежинка и кривая Коха, фракталы
Геометрическая фигура снежинка Коха выглядит так
Рисуют снежинку Коха так
А есть еще и пирамида Коха
Более подробно можно узнать по какой схеме рисуется снежинка Коха из нижеприведенного видео. Кто-то может и поймет, я пас.
Для начала рассмотрим эту снежинку Коха. Лучше всего нам покажет схема, приведенная внизу.
То есть для рисования данной снежинки нужно воспользоваться отдельными геометрическими фигурами, из которых и состоит этот геометрический фрактал.
Основой нашего рисунка является равносторонний треугольник. Каждая сторона разделяется на три отрезка, от которых строятся следующие, поменьше, равносторонние треугольники. С полученными треугольниками проводится та же операция и так несколько раз.
Снежинка Коха - то фигура одна из первых исследованных учеными фракталов. Снежинка получается из трех копий кривой Коха, информация об этом открытии появилась в 1904 году в статье шведского математика Хельге фон Коха. По сути, кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную линию ни в одной точке. Кривая Коха простая в своей конструкции.
Пример, фото-рисунка картинки снежинки Коха с поэтапным черчением.
На этой схеме можно подробно рассмотреть линии, с которых потом получится снежинка Коха.
А это уже интерпретация новой снежинки на основе снежинки Коха.
Прежде чем понять как рисовать снежинку Коха , надо определить что это вообще такое.
Так вот, снежинкой Коха называют геометрическое изображение - фрактал.
Полное определение понятия снежинка Коха дано на картинке ниже.
Тема: Фракталы.
1.Введение. Краткая историческая справка о фракталах. 2.Фракталы – элементы геометрии в природе.
3.Объекты, обладающие фрактальными свойствами, в природе. 4.Определение терминологии «фракталы».
5.Классы фракталов.
6.Описание фрактальных процессов. 7.Процедуры получения фрактальных множеств.
8.1 Ломаная Коха (процедура получения).
8.2 Снежинка Коха (Фрактал Коха).
8.3 Губки Менгера.
9. Примеры применения фракталов.
Введение. Краткая историческая справка о фракталах.
Фракталы – молодой раздел дискретной математики.
В 1904 году швед Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной – кривая Коха.
В 1918 году француз Жюлиа описал целое семейство фракталов.
В 1938 году Пьер Леви опубликовал статью «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому».
В 1982 Бенуа Мандельброта опубликовал книгу «Фрактальная геометрия природы».
С помощью простых конструкций и формул получаются изображения. Появилась «фрактальная живопись».
С 1993 г. Из-во World Scientific издаёт журнал «Фракталы».
Фракталы – элементы геометрии в природе.
Фракталы - средства для описания таких объектов как модели горных хребтов, изрезанной береговой линии, систем кровообращения множества капилляров и сосудов, кроны деревьев, каскадных водопадов, морозные узоры на стекле.
Или такие: лист папоротника, облака, клякса.
Изображения таких предметов можно представить с помощью фрактальной графики.
Объекты, обладающие фрактальными свойствами, в природе.
КораллыМорские звезды и ежиМорские раковины
Цветы и растения (брокколи , капуста )Плоды (ананас )
Кроны деревьев и листья растений Кровеносная система и бронхи людей и животных В неживой природе:
Границы географических объектов (стран, областей, городов)Береговые линии Горные хребты Снежинки Облака Молнии
Образующиеся на стеклах узорыКристаллы Сталактиты, сталагмиты , геликтиты .
Определение терминологии «фракталы».
Фракталы - это геометрические фигуры, которые удовлетворяют одному или нескольким из следующих свойств:
Обладает сложной нетривиальной структурой при любом увеличении (на всех масштабах);Является (приближённо) самоподобной.
Обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью или превосходящей топологическую;Может быть построена рекурсивными процедурами.
Для регулярных фигур таких, как окружность , эллипс , график гладкой функции небольшой фрагмент в очень крупном масштабе похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, для всех масштабов мы увидим одинаково сложные картины.
Классы фракталов
Фрактал – структура, состоящая из частей (субструктур), подобных целому.
Часть фракталов, как элементов природы, можно отнести к классу геометрических (конструктивных) фракталов.
Остальная часть может быть отнесена к классу динамических фракталов (алгебраических).
Процедуры получения фрактальных множеств.
Это простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых: задают произвольную ломаную с конечным числом звеньев – генератор. Далее, заменяют в ней каждый отрезок генератор. Затем вновь заменяют в ней каждый отрезок генератором и так до бесконечности.
Изображено: деление единичного отрезка на 3 части (а), единичной квадратной площадки на 9 частей (б), единичного куба на 27 частей (в) и на 64 части (г). Число частей n, коэффициент масштабирования - k, а размерность пространства - d. Имеем следующие соотношения: n = kd,
если n = 3, k = 3, то d = 1; если n = 9, k = 3, то d = 2; если n = 27, k = 3, то d = 3.
если n = 4, k = 4, то d = 1; если n = 16, k = 4, то d = 2; если n = 64, k = 4, то d = 3. Размерность пространства выражается целыми числами: d = 1, 2, 3; для n = 64, величина d равна
Показано пять шагов построения ломаной Коха: отрезок единичной длины (а), делится на три части (k = 3), из четырех частей (n = 4) – ломаная (б); каждый прямой отрезок делится на три части (k2 = 9) и из 16 частей (n2 = 16) – ломаная (в); процедура повторяется для k3 = 27 и n3 = 64 – ломаная (г); для k5 = 243 и n5 = 1024 – ломаную (д).
Размерность
Это дробная, или фрактальная размерность.
Ломаная Коха, предложенная Гельгом фон Кохом в 1904 г., выступает в роли фрактала, который подходит для моделирования изрезанности береговой линии. Мандельброт в алгоритм построения береговой линии внес элемент случайности, который, однако, не повлиял на основной вывод в отношении длины береговой линии. Поскольку предел
длина береговой линии за счет бесконечной изрезанности берега стремится к бесконечности.
Процедура сглаживания береговой линии при переходе от более детального масштаба к менее детальному, т.е.
Снежинка Коха (фрактал Коха)
В Качестве основы построения можно брать не отрезки единичной длины, а равносторонний треугольник, на каждую сторону которого распространить процедуру умножения изрезанности. В этом случае получим снежинку Коха (рис.), причем трех видов: вновь образующиеся треугольники направлены только наружу от предыдущего треугольника (а) и (б); только внутрь (в); случайным образом либо наружу, либо внутрь (г) и (д). Как можно задавать процедуру построения фрактала Коха.
Рис. Снежинка Коха
На рис. показаны две векторные диаграммы; числа, стоящие над стрелками, видимо, вызовут вопрос: что бы они значили? Вектор 0 совпадает с положительным направлением оси абсцисс, так как его фазовый множитель exp (i2πl/6) при l = 0 сохраняет его направление. Вектор 1 повернут относительно вектора 0 на угол 2π/6, когда l= 1. Вектор 5 имеет фазовый множитель exp (i2π5/6), l = 5. Последний вектор имеет тот же фазовый множитель, что и первый (l = 0). Целые числа l характеризуют угол фазового множителя единичного вектора.
Первый шаг (рис.), задает рекурсивную процедуру для всех последующих шагов и, в частности, для второго шага (рис.). Как перейти от набора чисел φ1 = {0 1 5 0} к φ2 = {0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0}? Ответ: через прямое перемножение матриц, когда каждый элемент одной матрицы умножается на исходную матрицу. Поскольку в данном случае мы имеем дело с одномерным массивом, т.е. матрицы представляют собой векторы, то здесь производится умножение каждого элемента одной матрицы-вектора на все элементы другой матрицы-вектора. Кроме того, элементы матрицы-вектора φ1 состоят из показательных функций exp (i2πl/6), следовательно,10 при перемножении числа h нужно будет складывать по mod (6), а не умножать.
В Бостоне была необыкновенно теплая зима, но мы все-таки дождались первого снегопада. Наблюдая за снегопадом в окно, я задумался о снежинках и о том, что их структуру совсем непросто описать математически. Существует однако одна, особого рода снежинка, известная как снежинка Коха, которая может быть описана сравнительно просто. Сегодня мы рассмотрим, как её форма может быть построена с помощью Среды разработки приложений COMSOL Multiphysics.
Создание снежинки Коха
Как мы уже упоминали в нашем блоге, фракталы могут быть использованы в . Снежинка Коха является фракталом, который примечателен тем, что для его построения существует очень простой итерационный процесс:
- Начнем с равностороннего треугольника, который фактически является нулевой итерации снежинки Коха.
- Найдем центральную точку на каждом ребре текущей снежинки.
- В центре каждого ребра, добавим выступающий наружу равносторонний треугольник со стороной равной 1/3 длины текущего ребра.
- Определим следующую итерацию снежинки Коха, чтобы оказаться снаружи с внешней стороны предыдущей снежинки и всех добавленных треугольников.
- Повторим шаги 2-4 столько раз, сколько потребуется.
Данная процедура иллюстрируется на рисунке ниже для первых четырех итераций отрисовки снежинки.
Первые четыре итерации снежинки Коха. Изображение от Wxs — собственная работа. Лицензия CC BY-SA 3.0 , в Wikimedia Commons .
Построение геометрии снежинки Коха
Поскольку теперь мы знаем, какой алгоритм использовать, то давайте посмотрим, как создать такую структуру с помощью Среды разработки приложений COMSOL Multiphysics. Мы откроем новый файл и создадим двумерный объект геометрическая часть (geometry part) в узле Глобальные определения . Для этого объекта зададим пять входных параметров: длина стороны равностороннего треугольника; х – и y – координаты средней точки основания; и компоненты вектора нормали, направленной от середины основания к противолежащей вершине, как показано на рисунках ниже.
Пять параметров, используемых для задания размера, положения и ориентации равностороннего треугольника.
Задание входных параметров геометрической части.
Полигональный примитив используется для построения равностороннего треугольника.
Объект может поворачиваться вокруг центра нижнего ребра.
Объект можно переместить относительно начала отсчета.
Теперь, когда мы определили геометрическую часть, используем его один раз в разделе Геометрия . Этот одиночный треугольник эквивалентен нулевой итерации снежинки Коха, и теперь давайте используем Среду разработки приложений для создания снежинок более сложной формы.
Разметка пользовательского интерфейса приложения в Среде разработки приложений
Приложение имеет очень простой пользовательский интерфейс. Оно содержит только два компонента, с которыми пользователь может взаимодействовать: Ползунок (Слайдер) (отмеченный как 1 на рисунке ниже), с помощью которого можно задавать число итераций нужных для создания снежинки, и Кнопка (метка 2), по нажатию которой создается и отображается получившаяся геометрия. Имеются также Текстовая надпись (метка 3) и Отображение (Показ) данных (метка 4), которые показывают число заданных итераций, а также окно Графики (метка 5), в котором выводится итоговая геометрия.
Приложение имеет одну единственную форму с пятью компонентами.
В приложении есть два Определения (Declarations) , одно из которых определяет целое значение, называемое Iterations , и, по умолчанию, равное нулю, но которое может быть изменено пользователем. Определяется также 1D-массив чисел двойной точности с именем Center . Единственный элемент в массиве имеет значение 0.5, которое используется для нахождения центральной точки каждого ребра. Это значение никогда не изменяется.
Настройки для двух Определений.
Компонент "Слайдер" в пользовательском интерфейсе контролирует значение целого числа, параметра Iterations . Скриншот ниже показывает настройки "Слайдера" и значений, которые задаются как целые числа в диапазоне между 0 и 5. Тот же источник (как и для слайдера) также выбран для компонента Отображение данных (Data Display) для отображения на экране приложения числа заданных итераций. Мы ограничиваем потенциального пользователя пятью итерациями, поскольку используемый алгоритм неоптимальный и является не очень эффективным, но достаточно простым для реализации и демонстрации.
Настройки для компонента "Слайдер".
Далее, посмотрим на настройки для нашей кнопки, показанные на скриншоте ниже. При нажатии кнопки запускаются на исполнение две команды. Сначала вызывается метод CreateSnowFlake . Затем в графическом окне выводится получившаяся геометрия.
Настройки кнопки.
Мы сейчас посмотрели на пользовательский интерфейс нашего приложения и могли заметить, что создание любой геометрии снежинки должно произойти посредством вызываемого метода. Давайте посмотрим на программный код этого метода, с добавленной слева нумерацией строк и строковыми константами, выделенными красным цветом:
1 model.geom("geom1" ).feature().clear(); 2 model.geom("geom1" ).create("pi1" , "PartInstance" ); 3 model.geom("geom1" ).run("fin" ); 4 for (int iter = 1; iter "geom1" ).getNEdges()+1; 6 UnionList = "pi" + iter; 7 for (int edge = 1; edge "geom1" ).getNEdges(); edge++) { 8 String newPartInstance = "pi" + iter + edge; 9 model.geom("geom1" ).create(newPartInstance, "PartInstance" ).set("part" , "part1" ); 10 with(model.geom("geom1" ).feature(newPartInstance)); 11 setEntry("inputexpr" , "Length" , toString(Math.pow(1.0/3.0, iter))); 12 setEntry("inputexpr" , "px" , model.geom("geom1" ).edgeX(edge, Center)); 13 setEntry("inputexpr" , "py" , model.geom("geom1" ).edgeX(edge, Center)); 14 setEntry("inputexpr" , "nx" , model.geom("geom1" ).edgeNormal(edge, Center)); 15 setEntry("inputexpr" , "ny" , model.geom("geom1" ).edgeNormal(edge, Center)); 16 endwith(); 17 UnionList = newPartInstance; 18 } 19 model.geom("geom1" ).create("pi" +(iter+1), "Union" ).selection("input" ).set(UnionList); 20 model.geom("geom1" ).feature("pi" +(iter+1)).set("intbnd" , "off" ); 21 model.geom("geom1" ).run("fin" ); 22 }
Давайте пройдемся по коду "построчно", чтобы понять, какую функцию выполняет каждая строка:
- Очищаем все существующие геометрические последовательности, так чтобы мы смогли начать с нуля.
- Создаем один экземпляр объекта — нашего "треугольника", используя размер, ориентацию и расположение по умолчанию. Это наша снежинка нулевого порядка с меткой-идентификатором pi1 .
- Финализируем геометрию. Данная операция требуется для обновления всех индексов геометрии.
- Начнем процесс перебора всех заданных итераций снежинки, используя определение Iterations , как условие для остановки.
- Определяем пустой массив строк, UnionList . Каждый элемент массива содержит метку-идентификатор различных геометрических объектов. Длина этого массива равна числу ребер в последней итерации плюс один.
- Определяем первый элемент в массиве UnionList . Он является меткой-идентификатором результата предыдущей итерации. Имейте в виду, что нулевая итерация уже создана в строках 1-3. Целочисленное значение iter автоматически преобразуется в строку и добавится в конец строки "pi" .
- Перебираем число ребер в ранее сгененрированной снежинке.
- Задаем метку идентификатора для нового экземпляра объекта, обращающегося с геометрической части (part instance) "треугольник", который создается на этом ребре. Заметьте, что целочисленные значения iter и edge последовательно добавляются в конец строки pi , метки-идентификатора экземпляра объекта.
- Создаем экземпляр объекта "треугольник" и присваиваем ему метку-идентификатор, которая только что была задана.
- Указываем, что строки 11-15 относятся к текущему экземпляру объекта (part instance), используя оператор with()/endwith() .
- Определяем длину стороны треугольника. Нулевой порядок имеет длину стороны равную единице, так что n- я итерация имеет длину стороны (1/3) n . Функция toString() требуется для приведения (преобразования) типов данных — числа с плавающей точкой в строку.
- Задаем x -координату нового треугольника, как центральную точку стороны последней итерации. Метод edgeX задокументирован в . Напомним, что Center устанавливается равным 0.5.
- Задаем y -координату.
- Задаем x -компоненту вектора нормали треугольника. Метод edgeNormal также задокументирован в Справочном руководстве по программированию в среде COMSOL (COMSOL Programming Reference Manual) .
- Задаем y -компоненту вектора нормали.
- Закрываем оператор with()/endwith() .
- Добавляем метку-идентификатор текущего треугольника к списку всех объектов.
- Закрываем перебор всех ребер.
- Создаем Boolean Union (логическое объединение) всех объектов в геометрическую последовательность. Присваиваем метке новое значение piN , где N есть номер следующей итерации. Вокруг (iter+1) требуются круглые скобки, так чтобы увеличенное значение iter преобразовалось в строку.
- Указываем, что внутренние границы конечного объекта не сохраняются.
- Финализируем геометрию. Последняя операция обновляет все индексы геометрии для следующей итерации снежинки.
- Закрываем цикл итераций создания снежинки.
Таким образом, мы охватили все аспекты и элементы нашего приложения. Давайте посмотрим на результаты!
Наше простое приложение для построения снежинки Коха.
Мы могли бы расширить наше приложение для записи геометрии в файл, или даже для выполнения дополнительных анализов напрямую. Например, мы могли бы спроектировать фрактальную антенну . Если вас заинтересовала конструкция антенны, познакомьтесь с нашим примером , или даже сделайте ее макет с нуля .
Попробуйте Самостоятельно
Если вы хотите построить это приложение самостоятельно, но еще не до конца Среды разработки приложений, то следующие ресурсы могут оказаться вам полезными:
- Скачайте руководство Введение в Среду разработки приложений на английском языке
- Просмотрите эти видеоролики и узнайте, как использовать
- Прочитайте эти топики, чтобы познакомиться с тем, как приложения моделирования используются в
После того как вы преодолели этот материал, вы увидите, как функционал приложения может быть расширен для изменения размера снежинки, экспорта созданной геометрии, оценки площади и периметра и многого другого.
Какое приложение вы бы хотели создать в среде COMSOL Multiphysics? за помощью.
Кривая или линия геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 Параметрические определения 3 Кривая Жордана … Википедия
Дельтоида Дельтоида (кривая Штейнера) плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой втрое больше радиуса первой. Название кривая получила за сходство с греческой… … Википедия
Брахистохрона (от греч. βράχιστος кратчайший и χρόνος время) кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в 1696 году Иоганном Бернулли. Заключается она в следующем: Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки А и В,… … Википедия
- (далее кривая) наиболее общее (но не чрезмерно) определение кривой, введённое Урысоном в 1921. Это определение обобщает определение Кантора на произвольную размерность. Определение формулируется следующим образом: Кривой называется связное… … Википедия
Общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства) Содержание 1 Свойства 2 Примеры 3 Обобщения … Википедия
Кривая Леви фрактал. Предложен французским математиком П. Леви. Получается, если взять половину квадрата вида /, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в … Википедия
При различных параметрах Кривая погони кривая, представляющая собой решение задачи о «погоне», которая ставится следующим образом. Пусть … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Кривая (значения). Кривая или линия геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 … Википедия
Кривые Безье или Кривые Бернштейна Безье были разработаны в 60 х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье (Pierre Bézier) из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Кастельжо (Paul de Faget de Casteljau) из компании «Ситроен» … Википедия
Построение кривой Минковского Кривая Минковского классический геометрический фрактал, предложенный Минковским. Инициатором является отрезок, а генератором является ломаная из восьм … Википедия
Книги
- , Секованов В.С. Категория: Математика Серия: Геометрия Издатель: URSS , Производитель: URSS ,
- Элементы теории фрактальных множеств , В. С. Секованов , В настоящем учебном пособии представлена краткая историческая справка о развитии нового направления современной математики - фрактальной геометрии. Указаны сферы применения фрактальных… Категория: Геометрия Издатель:
Называемую снежинкой Коха .
Кривая Коха
Построение
Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.
Свойства
Вариации и обобщения
Возможны обобщения кривой Коха, также использующие при построении подстановку ломаной из четырёх равных отрезков, но имеющей иную геометрию. Они имеют хаусдорфову размерность от 1 до 2. В частности, если вместо деления отрезка 1:1:1 использовать золотое сечение (φ:1:φ), то получившаяся кривая имеет отношение к мозаикам Пенроуза .
Также можно построить «Снежинку Коха» на сторонах равностороннего трегоугольника.
Вслед за подходом Коха были разработаны варианты с прямыми углами (квадратичная), других углов (Чезаро ) или кругов и их расширения на высшие размерности (сферическая снежинка):
Фрактал Cesaro
Квадратичная кривая 1-го типа
Первые 2 итерации
Квадратичная кривая 2-го типа
Первые 2 итерации. Фрактальная размерность 1,5 (точно посередине между размерностью 1 и 2), поэтому часто используется при изучении физических свойств нецелых фрактальных объектов
Поверхность Коха
Расширения кривой Коха на 3D (первые 3 итерации)
Квадратичная поверхность 1-го типа
Квадратичная поверхность (анимация)
Квадратичная поверхность 2-го типа
сферическая снежинка Хэйнса (большой зелёный объект)
Снежинка Коха
Снежинка Коха, построенная в виде замкнутой кривой на базе равностороннего треугольника , впервые была описана шведским математиком Хельге фон Кохом в 1904 году . В некоторых работах она получила название «остров Коха» .
Было доказано, что эта фрактальная кривая обладает рядом любопытных свойств. К примеру, длина её периметра равна бесконечности, что, однако, не мешает ему охватывать конечную площадь , величина которой равна 8/5 площади базового треугольника . Вследствие этого факта некоторые прикладные методики и параметры плоских фигур, такие как, например, краевой индекс (отношение периметра к корню из площади), при работе со снежинкой Коха оказываются неприменимыми .
Возможно также построение так называемой антиснежинки Коха, алгоритм генерирования которой заключается в вырезании на каждом этапе всё новых и новых треугольников из исходного. Иными словами рёбра базовой формы модифицируются внутрь, а не наружу. В результате полученная фигура охватывает бесконечное множество несвязанных областей, суммарная площадь которых равна 2/5 от площади треугольника нулевой итерации .
Примечания
Ссылки
L-системаL-система или система Линденмайера - это параллельная система переписывания и вид формальной грамматики. L-система состоит из алфавита символов, которые могут быть использованы для создания строк, набора порождающих правил, которые задают правила подстановки вместо каждого символа, начальной строки («аксиомы»), с которой начинается построение, и механизма перевода образованной строки в геометрические структуры. L-системы предложил и развивал в 1968 Аристид Линденмайер, венгерский биолог и ботаник из Утрехтского университета. Линденмайер использовал L-системы для описания поведения клеток растений и моделирования процесса развития растения. L-системы использовались также для моделирования морфологии различных организмов и могут быть использованы для генерации самоподобных фракталов, таких как системы итерируемых функций.
Конечное правило подразделенияВ математике конечное правило подразделения - это рекурсивный способ деления многоугольника и других двумерных фигур на всё меньшие и меньшие части. Правила подразделения в этом смысле является обобщением фракталов. Вместо повторения одного и того же узора снова и снова здесь имеются небольшие изменения на каждом шаге, что позволяет получить более богатые структуры, сохраняя при этом поддержку элегантного стиля фракталов. Правила подразделения используются в архитектуре, биологии и информатике, а также при изучении гиперболических многообразий. Подстановки плиток являются хорошо изученным видом правил подразделения.
Кривая ПеаноКрива́я Пеа́но - общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства). Другое название - заполняющая пространство кривая.
Названа в честь Джузеппе Пеано (1858-1932), первооткрывателя такого рода кривых, в частном смысле кривой Пеано называется конкретная кривая, которую нашёл Пеано.
Кривая СерпинскогоКривые Серпинского - это рекурсивно определённая последовательность непрерывных замкнутых плоских фрактальных кривых, открытых Вацлавом Серпинским. Кривая в пределе при полностью заполняет единичный квадрат, так что предельная кривая, также называемая кривой Серпинского , является примером заполняющих пространство кривых.
Поскольку кривая Серпинского заполняет пространство, её размерность Хаусдорфа (в пределе при
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
) равна
2
{\displaystyle 2}
.
Евклидова длина кривой
т. е. она растёт экпоненциально по n {\displaystyle n} , а предел при n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } площади области, заключённой кривой S n {\displaystyle S_{n}} , составляет 5 / 12 {\displaystyle 5/12} квадрата (в Евклидовой метрике).
Размерность МинковскогоРазмерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве равна
lim ε → 0 ln (N ε) − ln (ε) {\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{-\ln(\varepsilon)}}} ,где - минимальное число множеств диаметра , которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.
Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.
Теория хаосаТео́рия ха́оса - математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос (динамический хаос, детерминированный хаос). Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной. Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления обычно принято использовать название теория динамического хаоса.
Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, некоторые виды аритмий сердца, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические, психологические (культурно-исторические и интер-культуральные) и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием.
Теория хаоса - область исследований, связывающая математику и физику.
ФракталФракта́л (лат. fractus - дроблёный, сломанный, разбитый) - множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.
Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.
Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:
Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.
Является самоподобным или приближённо самоподобным.
Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.
Фрактальная размерностьФракта́льная разме́рность (англ. fractal dimension ) - один из способов определения размерности множества в метрическом пространстве. Фрактальную размерность n -мерного множества можно определить с помощью формулы:
D = − lim ε → 0 ln (N ε) ln (ε) {\displaystyle D=-\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{\ln(\varepsilon)}}} , где N ε {\displaystyle N_{\varepsilon }} - минимальное число n -мерных «шаров» радиуса ε {\displaystyle \varepsilon } , необходимых для покрытия множества.Фрактальная размерность может принимать не целое числовое значение.
Основная идея «дробной» (англ. fractured ) размерности имеет долгую историю в области математики, но именно сам термин введён в оборот Бенуа Мандельбротом в 1967 году в его статье о самоподобии, в которой он описал «дробную» (англ. fractional ) размерность. В этой статье Мандельброт ссылался на предыдущую работу Льюиса Фрайя Ричардсона, описывающую противоречащую здравому смыслу идею о том, что измеренная длина береговой линии зависит от длины мерной палки (шеста) (см. Рис. 1). Следуя этому представлению, фрактальная размерность береговой линии соответствует отношению числа шестов (в определенном масштабе), нужных для измерения длины береговой линии, к выбранному масштабу шеста. Есть несколько формальных математических определений [⇨] фрактальной размерности, которые строятся на этой базовой концепции, об изменении в элементе с изменением в масштабе.
Одним из элементарных примеров является фрактальная размерность снежинки Коха. Её топологическая размерность равна 1, но это ни в коем случае не спрямляемая кривая, поскольку длина кривой между любыми двумя точками снежинки Коха - бесконечность. Никакая сколько угодно малая часть кривой не является отрезком прямой. Скорее, снежинка Коха состоит из бесконечного числа сегментов, соединённых под разными углами. Фрактальную размерность кривой можно объяснить интуитивно, предполагая, что фрактальная линия - это объект слишком детальный (подробный), чтобы быть одномерным, но недостаточно сложный, чтобы быть двумерным. Поэтому её размерность лучше описывать не обычной топологической размерностью 1, но её фрактальной размерностью, равной в этом случае числу, лежащему в интервале между 1 и 2.
Характеристики | ||
---|---|---|
Простейшие фракталы | ||
Странный аттрактор | ||
L-система | ||
Бифуркационные фракталы | ||
Случайные фракталы | ||
Люди | ||
Связанные темы |
Определения | |
---|---|
Преобразованные | |
Неплоские | |