Кількість граней чотирикутної піраміди. Правильна трикутна піраміда (правильна піраміда з трикутником у основі)
У цьому уроці наведено визначення та властивості правильної трикутної піраміди та її окремого випадку – тетраедра (див. нижче). Посилання на приклади розв'язання задач наведено наприкінці уроку.
Визначення
Правильна трикутна піраміда- це піраміда, основою якої є правильний трикутник, а вершина проектується до центру основи.
На малюнку позначено:
ABC - підставапіраміди
OS - Висота
KS - Апофема
OK - радіус кола, вписаного в основу
AO - радіус кола, описаного навколо основи правильної трикутної піраміди
SKO - двогранний кут між основою та гранню піраміди (у правильній піраміді вони рівні)
Важливо. У правильній трикутній піраміді довжина ребра (на малюнку AS, BS, CS) може бути не дорівнює довжині сторони основи (на малюнку AB, AC, BC). Якщо довжина ребра правильної трикутної піраміди дорівнює довжині сторони основи, така піраміда називається тетраедром (див. нижче).
Властивості правильної трикутної піраміди:
- бічні ребра правильної піраміди рівні
- всі бічні грані правильної піраміди є рівнобедреними трикутниками
- у правильну трикутну піраміду можна як вписати, так і описати навколо неї сферу
- якщо центри вписаної та описаної навколо правильної трикутної піраміди, сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює π (180 градусів), а кожен з них відповідно дорівнює π/3 (пі ділити на 3 або 60 градусів).
- площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему
- вершина піраміди проектується на основу в центр правильного рівностороннього трикутника, який є центром вписаного кола та точкою перетину медіан
Формули для правильної трикутної піраміди
Формула об'єму правильної трикутної піраміди:
V - обсяг правильної піраміди, що має в основі правильний (рівносторонній) трикутник
h - висота піраміди
a - довжина сторони основи піраміди
R - радіус описаного кола
r - радіус вписаного кола
Оскільки правильна трикутна піраміда є окремим випадком правильної піраміди, то формули, які вірні для правильної піраміди, вірні і для правильної трикутної - див. формули для правильної піраміди .
Приклади розв'язання задач:
Тетраедр
Приватним випадком правильної трикутної піраміди є тетраедр.
Тетраедр- це правильний багатогранник (правильна трикутна піраміда), у якої всі грані є правильними трикутниками.
У тетраедра:
- Усі грані рівні
- 4 грані, 4 вершини та 6 ребер
- Усі двогранні кути при ребрах і всі тригранні кути при вершинах рівні
Медіана тетраедра- це відрізок, що з'єднує вершину з точкою перетину медіан протилежної грані (медіан рівностороннього трикутника, що протилежить вершині)
Бімедіана тетраедра- це відрізок, що з'єднує середини ребер, що схрещуються (що з'єднує середини сторін трикутника, що є однією з граней тетраедра)
Висота тетраедра- це відрізок, що з'єднує вершину з точкою протилежної грані і перпендикулярний до цієї грані (тобто є висотою, проведеною від будь-якої грані, також збігається з центром описаного кола).
Тетраедрмає наступні властивостями:
- Усі медіани та бімедіани тетраедра перетинаються в одній точці
- Ця точка ділить медіани щодо 3:1, рахуючи від вершини.
- Ця точка ділить бімедіани навпіл
Глава 1. Теоретичне вивченнявидів перерізів та методів їх побудови у правильній чотирикутної піраміди
Піраміда (др.-грец. Πυραμίς, рід. П. πυραμίδος) - багатогранник, основа якого - багатокутник, а інші грані - трикутники, що мають спільну вершину. За кількістю кутів основи розрізняють піраміди трикутні, чотирикутні і т. д. Піраміда є окремим випадком конуса.
Початок геометрії піраміди було покладено в Стародавньому Єгиптіі Вавилоні, проте активний розвиток набув Стародавню Грецію. Першим, хто встановив, чому дорівнює обсяг піраміди, був Демокріт, а довів Євдокс Кнідський. Давньогрецький математик Евклід систематизував знання про піраміду у XII томі своїх «Початок», а також вивів перше визначення піраміди: тілесна фігура, обмежена площинами, які від однієї площини сходяться в одній точці.
Елементи піраміди
· Апофема – висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини;
· Бічні грані - трикутники, що сходяться у вершині піраміди;
· Бічні ребра - загальні сторони бічних граней;
· Вершина піраміди - точка, що з'єднує бічні ребра і не лежить у площині основи;
· Висота - відрізок перпендикуляра, проведеного через вершину піраміди до площини її основи (кінцями цього відрізка є вершина піраміди та основа перпендикуляра);
· діагональний переріз піраміди - переріз піраміди, що проходить через вершину та діагональ основи;
· Основа - багатокутник, якому не належить вершина піраміди.
Властивості піраміди:
Кількість граней піраміди дорівнює її кількості вершин.
Будь-який багатогранник у якого кількість граней дорівнює кількості вершин є пірамідою. Загальна кількість вершин у піраміді дорівнює n+1, де n – кількість вершин на підставі.
Якщо всі бічні ребра рівні, то:
§ біля основи піраміди можна описати коло, причому вершина піраміди проектується в її центр;
§ бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути.
§ також вірно і зворотне, тобто якщо бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути або якщо біля основи піраміди можна описати коло, причому вершина піраміди проектується до її центру, то всі бічні ребра піраміди рівні.
Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то:
§ в основу піраміди можна вписати коло, причому вершина піраміди проектується в її центр;
§ висоти бічних граней рівні;
§ площа бічної поверхні дорівнює половині добутку периметра основи на висоту бічної грані.
Види перерізів у правильній чотирикутній піраміді:
· Діагональний переріз піраміди;
- апофема- Висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з її вершини (крім того, апофемою є довжина перпендикуляра, який опущений з середини правильного багатокутникана одну з його сторін);
- бічні грані (ASB, BSC, CSD, DSA) - трикутники, що сходяться у вершині;
- бічні ребра ( AS , BS , CS , DS ) - загальні сторони бічних граней;
- вершина піраміди (т. S) - точка, яка з'єднує бічні ребра і яка не лежить у площині основи;
- висота ( SO ) - відрізок перпендикуляра, який проведений через вершину піраміди до площини її основи (кінцями такого відрізка будуть вершина піраміди та основа перпендикуляра);
- діагональний переріз піраміди- перетин піраміди, який проходить через вершину та діагональ основи;
- основа (ABCD) багатокутник, якому не належить вершина піраміди.
Властивості піраміди.
1. Коли всі бічні ребра мають однакову величину, тоді:
- біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди проектуватиметься в центр цього кола;
- бічні ребра утворюють з площиною основи однакові кути ;
- крім того, вірне і протилежне, тобто. коли бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, або коли біля основи піраміди можна описати коло і вершина піраміди проектуватиметься в центр цього кола, отже, всі бічні ребра піраміди мають однакову величину.
2. Коли бічні грані мають кут нахилу до площини основи однієї величини, тоді:
- біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
- висоти бічних граней мають рівну довжину;
- площа бічної поверхні дорівнює ½ добутку периметра основи на висоту бічної грані.
3. Біля піраміди можна описати сферуу тому випадку, якщо в основі піраміди лежить багатокутник, навколо якого можна описати коло (необхідне і достатня умова). Центром сфери стане точка перетину площин, що проходять через середини ребер піраміди перпендикулярно їм. З цієї теореми робимо висновок, що як у всякої трикутної, так і у будь-якої правильної піраміди можна описати сферу.
4. У піраміду можна вписати сферу в тому випадку, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в 1-ій точці (необхідна та достатня умова). Ця точка стане центром сфери.
Найпростіша піраміда.
За кількістю кутів основи піраміди ділять на трикутні, чотирикутні тощо.
Піраміда буде трикутної, чотирикутний, і так далі, коли основою піраміди буде трикутник, чотирикутник і так далі. Трикутна піраміда є чотиригранником. тетраедр. Чотирикутна - п'ятигранник і так далі.