Знайти площу фігури утвореної графіком. Визначений інтеграл
Обчислення площі фігури– це, мабуть, одне з найскладніших завдань теорії площ. У шкільній геометрії вчать знаходити площі основних геометричних фігур таких як, наприклад, трикутник, ромб, прямокутник, трапеція, коло тощо. Однак найчастіше доводиться стикатися з обчисленням площ складніших фігур. Саме під час вирішення таких завдань дуже зручно використовувати інтегральне числення.
Визначення.
Криволінійною трапецієюназивають деяку фігуру G, обмежену лініями y = f(x), у = 0, х = а та х = b, причому функція f(x) безперервна на відрізку [а; b] і не змінює на ньому свій знак (Рис. 1).Площу криволінійної трапеції можна позначити S(G).
Певний інтеграл а b f(x)dx для функції f(x), що є безперервною і невід'ємною на відрізку [а; b], і є площу відповідної криволінійної трапеції.
Тобто, щоб знайти площу фігури G, обмеженою лініями y = f(x), у = 0, х = а та х = b, необхідно обчислити певний інтеграл ʃ а b f(x)dx.
Таким чином, S(G) = а b f(x)dx.
У разі якщо функція y = f(x) не позитивна на [а; b], то площа криволінійної трапеції може бути знайдена за формулою S(G) = -b b(x)dx.
приклад 1.
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями у = х3; у = 1; х = 2.
Рішення.
Задані лінії утворюють фігуру АВС, яка показана штрихуванням на Рис. 2.
Шукана площа дорівнює різниці між площами криволінійної трапеції DACE та квадрата DABE.
Використовуючи формулу S = b b(x)dx = S(b) – S(a), знайдемо межі інтегрування. Для цього вирішимо систему двох рівнянь:
(у = х 3
(У = 1.
Таким чином, маємо х 1 = 1 – нижню межу та х = 2 – верхню межу.
Отже, S = S DACE - S DABE = 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 / 4 | 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. од.).
Відповідь: 11/4 кв. од.
приклад 2.
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями у = √х; у = 2; х = 9.
Рішення.
Задані лінії утворюють фігуру АВС, яка обмежена зверху графіком функції
у = √х, а знизу графіком функції у = 2. Отримана фігура показана штрихуванням на Рис. 3.
Площу, що шукається, дорівнює S = ʃ а b (√x – 2). Знайдемо межі інтегрування: b = 9, для знаходження а, розв'яжемо систему двох рівнянь:
(у = √х,
(У = 2.
Таким чином, маємо, що х = 4 = а – це нижня межа.
Отже, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√х| 4 9 - 2х | 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. од.).
Відповідь: S = 2 2/3 кв. од.
приклад 3.
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями у = х 3 - 4х; у = 0; х ≥ 0.
Рішення.
Побудуємо графік функції у = х 3 – 4х при х ≥ 0. Для цього знайдемо похідну у':
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критичні точки.
Якщо зобразити критичні точки на числовій осі і розставити знаки похідної, то отримаємо, що функція зменшується від нуля до 2/3 і зростає від 2/3 до плюс нескінченності. Тоді х = 2/√3 – точка мінімуму, мінімальне значення функції min = -16/(3√3) ≈ -3.
Визначимо точки перетину графіка з осями координат:
якщо х = 0, то у = 0, отже, А(0; 0) – точка перетину з віссю Оу;
якщо у = 0, то х 3 - 4х = 0 або х (х 2 - 4) = 0, або х (х - 2) (х + 2) = 0, звідки х 1 = 0, х 2 = 2, х 3 = -2 (не підходить, тому що х ≥ 0).
Точки А(0; 0) та В(2; 0) – точки перетину графіка з віссю Ох.
Задані лінії утворюють фігуру ОАВ, яка показана штрихуванням на Рис. 4.
Так як функція у = х 3 - 4х приймає на (0; 2) негативне значення, то
S = | 0 2 (x 3 - 4x) dx |.
Маємо: 0 2 (x 3 - 4х) dx = (x 4 / 4 - 4х 2 / 2) | 0 2 = -4, звідки S = 4 кв. од.
Відповідь: S = 4 кв. од.
приклад 4.
Знайти площу фігури, обмеженої параболою у = 2х 2 – 2х + 1, прямими х = 0, у = 0 і щодо до даної параболі в точці з абсцисою х 0 = 2.
Рішення.
Спочатку складемо рівняння дотичної до параболи у = 2х 2 – 2х + 1 у точці з абсцисою х₀ = 2.
Оскільки похідна y' = 4x – 2, то за х 0 = 2 отримаємо k = y'(2) = 6.
Знайдемо ординату точки дотику: у 0 = 2 · 2 2 - 2 · 2 + 1 = 5.
Отже, рівняння дотичної має вигляд: у - 5 = 6 (х - 2) або у = 6х - 7.
Побудуємо фігуру, обмежену лініями:
у = 2х 2 - 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х - 7.
Г у = 2х 2 - 2х + 1 - парабола. Крапки перетину з осями координат: А(0; 1) – з віссю Оу; з віссю Ох – немає точок перетину, т.к. рівняння 2х 2 – 2х + 1 = 0 немає рішень (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, тобто вершина параболи точка має координати В(1/2; 1/2).
Отже, фігура, площу якої потрібно визначити, показана штрихуванням на Рис. 5.
Маємо: S О A В D = S OABC - S ADBC.
Знайдемо координати точки D із умови:
6х - 7 = 0, тобто. х = 7/6, отже DC = 2 - 7/6 = 5/6.
Площа трикутника DBC знайдемо за формулою S ADBC = 1/2 · DC · BC. Таким чином,
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. од.
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2х + 1)dx = (2x 3 /3 – 2х 2 /2 + х)| 0 2 = 10/3 (кв. од.).
Остаточно отримаємо: S О A В D = S OABC - S ADBC = 10/3 - 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. од.).
Відповідь: S = 1 1/4 кв. од.
Ми розібрали приклади знаходження площ фігур, обмежених заданими лініями. Для успішного вирішення подібних завдань потрібно вміти будувати на площині лінії та графіки функцій, знаходити точки перетину ліній, застосовувати формулу для знаходження площі, що має на увазі наявність умінь та навичок обчислення певних інтегралів.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Завдання це шкільна, але, незважаючи на те, що майже 100% зустрінеться у вашому курсі вищої математики. Тому з усією серйозністюпоставимося до всіх прикладів, і перше, що потрібно зробити - це ознайомитися з Додатком Графіки функцій , щоб освіжити у пам'яті техніку побудови елементарних графіків …Є? Чудово! Типове формулювання завдання звучить так:
Приклад 10
.
І перший найважливіший етап рішенняскладається саме в побудові креслення. При цьому я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати все прямі(якщо вони є) і тільки потім – параболи, гіперболи, графіки інших функцій
У нашому завданні: прямавизначає вісь , пряміпаралельні осі та параболасиметрична щодо осі, для неї знаходимо кілька опорних точок:
Шукану фігуру бажано штрихувати:
Другий етапполягає в тому, щоб правильно скластиі правильно обчислитивизначений інтеграл. На відрізку графік функції розташований над віссютому шукана площа:
Відповідь:
Після того, як завдання виконано, корисно поглянути на креслення
і прикинути, чи реалістична вийшла відповідь.
І ми «на око» підраховуємо кількість заштрихованих клітин – ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшло, скажімо, 20 квадратних одиниць, то, очевидно, десь припущено помилку – у побудовану фігуру 20 клітин явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.
Приклад 11
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями і віссю
Швиденько розминаємось (обов'язково!) і розглядаємо «дзеркальну» ситуацію – коли криволінійна трапеція розташована під віссю:
Приклад 12
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями і координатними осями.
Рішення: знайдемо кілька опорних точок для побудови експоненти:
і виконаємо креслення, отримуючи фігуру площею близько двох клітин:
Якщо криволінійна трапеція розташована Не вищеосі , її площа можна знайти по формуле: .
В даному випадку:
Відповідь: - Ну що ж, дуже і дуже схоже на правду
На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній напівплощині, а тому від найпростіших шкільних завдань ми переходимо до більш змістовних прикладів:
Приклад 13
Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .
Рішення: спочатку потрібно виконати креслення, при цьому нас особливо цікавлять точки перетину параболи і прямої , оскільки тут будуть перебувати межі інтегрування. Знайти їх можна двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Складемо і розв'яжемо рівняння:
таким чином:
Гідністьаналітичного способу полягає в його точності, а недолік– у тривалості(І в цьому прикладі нам ще пощастило). Тож у багатьох завданнях буває вигідніше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою».
З прямої все зрозуміло, а ось для побудови параболи зручно знайти її вершину, для цього візьмемо похідну і прирівняємо її до нуля:
- Саме в цій точці і буде вершина. І, в силу симетрії параболи, решту опорних точок знайдемо за принципом «вліво-вправо»:
Виконаємо креслення:
А тепер робоча формула:якщо на відрізку деяка безперервнафункція більше або дорівнює безперервнийфункції , то площа фігури, обмеженої графіками цих функцій та відрізками прямих , можна знайти за такою формулою:
Тут уже не треба думати, де розташована постать - над віссю чи під віссю, а, грубо кажучи, важливо, який із двох графіків Вище.
У нашому прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому потрібно відняти
Завершення рішення може мати такий вигляд:
На відрізку : , за відповідною формулою:
Відповідь:
Слід зазначити, що прості формули, розглянуті на початку параграфа – це окремі випадки формули. . Оскільки вісь задається рівнянням , то одна з функцій буде нульовою, і в залежності від того, вище або нижче лежить криволінійна трапеція, ми отримаємо формулу або
А зараз пара типових завдань для самостійного вирішення
Приклад 14
Знайти площу фігур, обмежених лініями:
Рішення з кресленнями та короткими коментарями наприкінці книги
У ході розв'язання задачі іноді трапляється кумедний казус. Креслення виконано правильно, інтеграл вирішено правильно, але через неуважність… знайдено площу не тієї фігури, саме так кілька разів помилявся ваш покірний слуга. Ось реальний випадок із життя:
Приклад 15
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями
Рішення: виконаємо нехитрий креслення,
хитрість якого полягає в тому, що потрібна площа заштрихована зеленим кольором(уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована сірим кольором! Особлива підступність полягає в тому, що пряму можна недокреслити до осі, і тоді ми не побачимо потрібну фігуру.
Цей приклад ще й корисний тим, що в ньому площа фігури вважається двома певними інтегралами. Дійсно:
1) на відрізку над віссю розташований графік прямий;
2) на відрізку над віссю розташований графік гіперболи.
Цілком зрозуміло, що площі можна (і потрібно) скласти:
Відповідь:
І пізнавальний приклад для самостійного вирішення:
Приклад 16
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , та координатними осями.
Отже, систематизуємо важливі моменти цієї задачі:
На першому кроціУважно вивчаємо умову - які функції нам дано? Помилки бувають навіть тут, зокрема, арк дотангенс найчастіше приймають за арктангенс. Це, до речі, стосується й інших завдань, де зустрічається арккотангенс.
Даліслід ПРАВИЛЬНО виконати креслення. Спочатку краще збудувати прямі(якщо є), потім графіки інших функцій (якщо вони є J). Останні у багатьох випадках вигідніше будувати крапково– знайти кілька опорних точок та акуратно з'єднати їх лінією.
Але тут можуть чатувати такі труднощі. По-перше, з креслення не завжди зрозумілі межі інтегрування- Так буває, коли вони дрібні. На mathprofi.ru в відповідної статтія розглянув приклад з параболою та прямою , де з креслення не зрозуміла одна з точок їхнього перетину. У таких випадках слід використовувати аналітичний метод, який складає рівняння:
і знаходимо його коріння:
– нижня межа інтегрування, – верхня межа.
Після того, як креслення побудовано, аналізуємо отриману фігуру – ще раз окидаємо поглядом запропоновані функції і перевіряємо ще раз, ТА ЧИ це фігура. Потім аналізуємо її форму та розташування, буває, що площа досить складна і тоді її слід розділити на дві, а то й на три частини.
Складаємо певний інтегралабо кілька інтегралів за формулою , всі основні варіації ми розібрали вище.
Вирішуємо певний інтеграл(и). При цьому він може виявитись досить складним, і тоді застосовуємо поетапний алгоритм: 1) знаходимо первісну та перевіряємо її диференціюванням, 2) використовуємо формулу Ньютона-Лейбніца.
Результат корисно перевіритиза допомогою програмного забезпечення / онлайн сервісів або просто «прикинути» за кресленням по клітинах. Але й те, й інше не завжди можна здійснити, тому вкрай уважно ставимося до кожного етапу рішення!
Повну та свіжу версію цього курсу у pdf-форматі,
а також курси з інших тем можна знайти.
Також ви можете – просто, доступно, весело та безкоштовно!
З найкращими побажаннями, Олександр Ємелін
На цьому уроці будемо вчитися обчислювати площі плоских фігурякі називаються криволінійними трапеціями .
Приклади таких фігур – на малюнку нижче.
З одного боку, знайти площу плоскої фігури за допомогою певного інтеграла дуже просто. Йдеться про площу фігури, яку зверху обмежує деяка крива, знизу – вісь абсцис ( Ox), а ліворуч і праворуч - деякі прямі. Простота у тому, що певний інтеграл функції, якій задана крива, і є площа такої фігури(Криволінійної трапеції).
Для обчислення площі фігури нам знадобляться:
- Певний інтеграл від функції, що задає криву яка обмежує криволінійну трапецію зверху. І тут виникає перший суттєвий нюанс: криволінійна трапеція може бути обмежена кривою не тільки зверху, а й знизу . Як діяти у цьому випадку? Просто, але важливо запам'ятати: інтеграл у разі береться зі знаком мінус .
- Межі інтегрування aі b, які знаходимо з рівнянь прямих, що обмежують фігуру ліворуч і праворуч: x = a , x = b, де aі b- Числа.
Окремо ще про деякі нюанси.
Крива, яка обмежує криволінійну трапецію зверху (або знизу) має бути графіком безперервної та невід'ємної функції y = f(x) .
Значення "ікса" повинні належати відрізку [a, b]. Тобто не враховуються такі, наприклад, лінії, як розріз гриба, у якого ніжка цілком вписується в цей відрізок, а капелюшок набагато ширший.
Бічні відрізки можуть вироджуватись у крапки . Якщо ви побачили таку фігуру на кресленні, це не повинно вас бентежити, тому що ця точка завжди має своє значення на осі "іксів". А значить із межами інтегрування все гаразд.
Тепер можна переходити до формул та обчислень. Отже, площа sкриволінійної трапеції може бути обчислена за формулою
Якщо ж f(x) ≤ 0 (графік функції розташований нижче осі Ox), то площа криволінійної трапеціїможе бути обчислена за формулою
Є ще випадки, коли і верхня, і нижня межі фігури – функції, відповідно y = f(x) і y = φ (x) , то площа такої фігури обчислюється за формулою
. (3)
Вирішуємо завдання разом
Почнемо з випадків, коли площа фігури може бути розрахована за формулою (1).
приклад 1.Ox) та прямими x = 1 , x = 3 .
Рішення. Так як y = 1/x> 0 на відрізку , то площу криволінійної трапеції знаходимо за формулою (1):
.
приклад 2.Знайти площу фігури, обмеженої графіком функції x= 1 і віссю абсцис ( Ox ).
Рішення. Результат застосування формули (1):
Якщо то s= 1/2; якщо то s= 1/3 і т.д.
приклад 3.Знайти площу фігури, обмеженої графіком функції , віссю абсцис ( Ox) і прямий x = 4 .
Рішення. Фігура, що відповідає умові завдання - криволінійна трапеція, у якої лівий відрізок виродився у крапку. Межами інтегрування служать 0 і 4. Оскільки за формулою (1) знаходимо площу криволінійної трапеції:
.
приклад 4.Знайти площу фігури, обмеженої лініями , , і що у 1-ї чверті.
Рішення. Щоб скористатися формулою (1), представимо площу фігури, заданої умовами прикладу, у вигляді суми площ трикутника OABта криволінійної трапеції ABC. При обчисленні площі трикутника OABмежами інтегрування є абсциси точок Oі A, а для фігури ABC- абсциси точок Aі C (Aє точкою перетину прямою OAі параболи, а C- точкою перетину параболи з віссю Ox). Вирішуючи спільно (як систему) рівняння прямої та параболи, отримаємо (абсцис точки A) та (абсцису іншої точки перетину прямої та параболи, яка для вирішення не потрібна). Аналогічно отримаємо, (абсциси точок Cі D). Тепер у нас є все для знаходження площі фігури. Знаходимо:
Приклад 5.Знайти площу криволінійної трапеції ACDBякщо рівняння кривої CDта абсциси Aі Bвідповідно 1 та 2.
Рішення. Виразимо дане рівняння кривої через ігрек: Площа криволінійної трапеції знаходимо за формулою (1):
.
Переходимо до випадків, коли площа фігури може бути обчислена за формулою (2).
Приклад 6.Знайти площу фігури, обмеженою параболою та віссю абсцис ( Ox ).
Рішення. Ця фігура розташована нижче осі абсцис. Тож обчислення її площі скористаємося формулою (2). Межами інтегрування є абсциси та точок перетину параболи з віссю Ox. Отже,
Приклад 7.Знайти площу, укладену між віссю абсцис ( Ox) та двома сусідніми хвилями синусоїди.
Рішення. Площу цієї фігури можемо знайти за формулою (2):
.
Знайдемо окремо кожен доданок:
.
.
Остаточно знаходимо площу:
.
Приклад 8.Знайти площу фігури, укладеної між параболою та кривою .
Рішення. Виразимо рівняння ліній через ігрек:
Площу за формулою (2) отримаємо як
,
де aі b- абсциси точок Aі B. Знайдемо їх, вирішуючи спільно рівняння:
Остаточно знаходимо площу:
І, нарешті, випадки, коли площа фігури може бути розрахована за формулою (3).
Приклад 9.Знайти площу фігури, укладеної між параболами та .
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями.
Рішення.
Знаходимо точки перетину заданих ліній. Для цього розв'язуємо систему рівнянь:
Для знаходження абсцис точок перетину заданих ліній розв'язуємо рівняння:
Знаходимо: x 1 = -2, x 2 = 4.
Отже, дані лінії, що являють собою параболу та пряму, перетинаються в точках A(-2; 0), B(4; 6).
Ці лінії утворюють замкнуту фігуру, площу якої обчислюємо за зазначеною вище формулою:
За формулою Ньютона-Лейбніца знаходимо:
Знайти площу області, обмеженої еліпсом.
Рішення.
З рівняння еліпса для I квадранта маємо. Звідси за формулою отримуємо
Застосуємо підстановку x = a sin t, dx = a cos t dt. Нові межі інтегрування t = α і t = β визначаються із рівнянь 0 = a sin t, a = a sin t. Можна покласти α = 0 і β = π /2.
Знаходимо одну четверту шуканої площі
Звідси S = πab.
Знайти площу фігури, обмеженою лініямиy = - x 2 + x + 4 таy = - x + 1.
Рішення.
Знайдемо точки перетину ліній y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, прирівнюючи ординати ліній: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 або x 2 - 2x- 3 = 0. Знаходимо коріння x 1 = -1, x 2 = 3 та відповідні їм ординати y 1 = 2, y 2 = -2.
За формулою площі фігури отримуємо
Визначити площу, обмежену параболоюy = x 2 + 1 та прямийx + y = 3.
Рішення.
Вирішуючи систему рівнянь
знаходимо абсциси точок перетину x 1 = -2 та x 2 = 1.
Вважаючи y 2 = 3 - xі y 1 = x 2 + 1, на підставі формули отримуємо
Обчислити площу, укладену всередині лемніскати Бернулліr 2 = a 2 cos 2 φ .
Рішення.
У полярній системі координат площа фігури, обмежена дугою кривою r = f(φ ) та двома полярними радіусами φ 1 = ʅ і φ 2 = ʆ , висловиться інтегралом
З огляду на симетрію криву визначаємо спочатку одну четверту шуканої площі
Отже, вся площа дорівнює S = a 2 .
Обчислити довжину дуги астроідиx 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .
Рішення.
Запишемо рівняння астроїди у вигляді
(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .
Покладемо x 1/3 = a 1/3 cos t, y 1/3 = a 1/3 sin t.
Звідси отримуємо параметричні рівняння астроіди
x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, (*)
де 0 ≤ t ≤ 2π .
Через симетрію криву (*) достатньо знайти одну четверту частину довжини дуги L, що відповідає зміні параметра tвід 0 до π /2.
Отримуємо
dx = -3a cos 2 t sin t dt, dy = 3a sin 2 t cos t dt.
Звідси знаходимо
Інтегруючи отриманий вираз у межах від 0 до π /2, отримуємо
Звідси L = 6a.
Знайти площу, обмежену спіраллю Архімедаr = aφ та двома радіусами-векторами, які відповідають полярним кутамφ 1 іφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Рішення.
Площа, обмежена кривою r = f(φ ) обчислюється за формулою , де α і β - межі зміни полярного кута.
Таким чином, отримуємо
(*)
З (*) випливає, що площа, обмежена полярною віссю та першим витком спіралі Архімеда ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Аналогічним чином знаходимо площу, обмежену полярною віссю та другим витком спіралі Архімеда ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Шукана площа дорівнює різниці цих площ
Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осіOx фігури, обмеженої параболамиy = x 2 іx = y 2 .
Рішення.
Розв'яжемо систему рівнянь
і отримаємо x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, звідки точки перетину кривих O(0; 0), B(1; 1). Як видно на малюнку, об'єм тіла обертання, що шукається, дорівнює різниці двох об'ємів, утворених обертанням навколо осі Oxкриволінійних трапецій OCBAі ODBA:
Обчислити площу, обмежену віссюOx та синусоїдоюy = sinx на відрізках: а); б).
Рішення.
а) На відрізку функція sin xзберігає знак, і тому за формулою , вважаючи y= sin x, знаходимо
б) На відрізку , функція sin xзмінює знак. Для коректного розв'язання задачі необхідно відрізок розділити на два і [ π , 2π ], у кожному з яких функція зберігає знак.
За правилом знаків, на відрізку [ π , 2π ] площа береться зі знаком мінус.
У результаті, потрібна площа дорівнює
Визначити об'єм тіла, обмеженого поверхнею, отриманою від обертання еліпсанавколо великої осіa .
Рішення.
Враховуючи, що еліпс симетричний щодо осей координат, достатньо знайти об'єм, утворений обертанням навколо осі Oxплощі OAB, що дорівнює одній чверті площі еліпса, і отриманий результат подвоїти.
Позначимо об'єм тіла обертання через V x; тоді на підставі формули маємо , де 0 і a- абсциси точок Bі A. З рівняння еліпса знаходимо. Звідси
Таким чином, об'єм, що шукається, дорівнює . (При обертанні еліпса навколо малої осі b, обсяг тіла дорівнює )
Знайти площу, обмежену параболамиy 2 = 2 px іx 2 = 2 py .
Рішення.
Спочатку знайдемо координати точок перетину параболу, щоб визначити відрізок інтегрування. Перетворюючи вихідні рівняння, отримуємо і . Прирівнюючи ці значення, отримаємо або x 4 - 8p 3 x = 0.
x 4 - 8p 3 x = x(x 3 - 8p 3) = x(x - 2p)(x 2 + 2px + 4p 2) = 0.
Знаходимо коріння рівнянь:
Враховуючи той факт, що точка Aперетину парабол знаходиться в першій чверті, то межі інтегрування x= 0 і x = 2p.
Шукану площу знаходимо за формулою
Визначений інтеграл. Як обчислити площу фігури
Переходимо до розгляду додатків інтегрального обчислення. На цьому уроці ми розберемо типове та найбільш поширене завдання – як за допомогою певного інтегралу обчислити площу плоскої фігури. Нарешті ті, хто шукає значення у вищій математиці - і знайдуть його. Хіба мало. Доведеться ось у житті наближати дачну ділянку елементарними функціями і знаходити її площу за допомогою певного інтегралу.
Для успішного освоєння матеріалу необхідно:
1) Розбиратися у невизначеному інтегралі хоча б на середньому рівні. Таким чином, чайникам для початку слід ознайомитись з уроком Не.
2) Вміти застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца та обчислювати певний інтеграл. Налагодити теплі дружні стосунки із певними інтегралами можна на сторінці Визначений інтеграл. Приклади рішень.
Насправді, для того щоб знаходити площу фігури не треба так багато знань з невизначеного і певного інтегралу. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтегралу» завжди передбачає побудову кресленняТому набагато актуальнішим питанням будуть ваші знання та навички побудови креслень. У зв'язку з цим корисно освіжити в пам'яті графіки основних елементарних функцій, а, як мінімум, вміти будувати пряму, параболу та гіперболу. Зробити це можна (багатьом – потрібно) за допомогою методичного матеріалу та статті про геометричні перетворення графіків.
Власне, із завданням знаходження площі за допомогою певного інтеграла всі знайомі ще зі школи, і ми мало підемо вперед від шкільної програми. Цієї статті взагалі могло б і не бути, але справа в тому, що завдання зустрічається в 99 випадків зі 100, коли студент страждає від ненависної вежі із захопленням освоює курс вищої математики.
Матеріали даного практикуму викладено легко, докладно і з мінімумом теорії.
Почнемо з криволінійної трапеції.
Криволінійною трапецієюназивається плоска фігура, обмежена віссю , прямими і графіком безперервної на відрізку функції , яка не змінює знак на цьому проміжку. Нехай ця фігура розташована не нижчеосі абсцис:
Тоді площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу. Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний зміст. На уроці Визначений інтеграл. Приклади рішенья говорив, що певний інтеграл це число. А зараз настав час констатувати ще один корисний факт. З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА.
Тобто, певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа деякої фігури. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині криву, що знаходиться вище за осі (бажаючі можуть виконати креслення), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.
Приклад 1
Це типове формулювання завдання. Перший та найважливіший момент рішення – побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.
При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім– параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати крапково, з технікою поточкової побудови можна ознайомитись у довідковому матеріалі Графіки та властивості елементарних функцій. Там же можна знайти дуже корисний стосовно нашого уроку матеріал – як швидко побудувати параболу.
У цій задачі рішення може виглядати так.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):
Штрихувати криволінійну трапецію я не буду, тут очевидно, про яку площу йдеться. Рішення продовжується так:
На відрізку графік функції розташований над віссютому:
Відповідь:
У кого виникли труднощі з обчисленням певного інтегралу та застосуванням формули Ньютона-Лейбніца , зверніться до лекції Визначений інтеграл. Приклади рішень.
Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на око» підраховуємо кількість клітинок у кресленні – ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.
Приклад 2
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , та віссю
Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.
Що робити, якщо криволінійна трапеція розташована під віссю?
Приклад 3
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями і координатними осями.
Рішення: Виконаємо креслення:
Якщо криволінійна трапеція розташована під віссю(або, принаймні, Не вищеданої осі), то її площу можна знайти за формулою:
В даному випадку:
Увага! Не слід плутати два типи завдань:
1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, то він може бути негативним.
2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.
На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній напівплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.
Приклад 4
Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .
Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення Загалом кажучи, при побудові креслення у завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи та прямий. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:
Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.
Цим способом краще, наскільки можна, не користуватися.
Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Техніка поточкової побудови для різних графіків детально розглянута у довідці Графіки та властивості елементарних функцій. Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). І такий приклад ми теж розглянемо.
Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:
Повторюся, що за поточечному побудові межі інтегрування найчастіше з'ясовуються «автоматом».
А тепер робоча формула: Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнюєдеякої безперервної функції , то площа фігури, обмеженої графіками даних функцій і прямими , можна знайти за формулою:
Тут уже не треба думати, де розташована постать - над віссю або під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який – НИЖЧЕ.
У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти
Завершення рішення може мати такий вигляд:
Потрібна фігура обмежена параболою зверху і прямою знизу.
На відрізку , за відповідною формулою:
Відповідь:
Насправді шкільна формула для площі криволінійної трапеції у нижній напівплощині (див. простенький приклад №3) – окремий випадок формули . Оскільки вісь задається рівнянням, а графік функції розташований Не вищеосі , то
А зараз пара прикладів для самостійного вирішення
Приклад 5
Приклад 6
Знайти площу фігури, обмеженою лініями , .
У ході вирішення завдань на обчислення площі за допомогою певного інтегралу іноді трапляється кумедний казус. Креслення виконано правильно, розрахунки – правильно, але через неуважність… знайдено площу не тієї фігури, саме так кілька разів лажався ваш покірний слуга. Ось реальний випадок із життя:
Приклад 7
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , , .
Рішення: Спочатку виконаємо креслення:
…Ех, креслення хрінонький вийшов, але начебто все розбірливо.
Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!
Цей приклад корисний і тим, що в ньому площа фігури вважається за допомогою двох певних інтегралів. Дійсно:
1) На відрізку над віссю розташований графік прямий;
2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.
Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:
Відповідь:
Переходимо ще до одного змістовного завдання.
Приклад 8
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями ,
Представимо рівняння в «шкільному» вигляді і виконаємо поточковий креслення:
З креслення видно, що верхню межу ми «хороший»: .
Але чому дорівнює нижня межа?! Зрозуміло, що це ціле число, але яке? Може бути ? Але де гарантія, що креслення виконано з ідеальною точністю, цілком може виявитися . Або корінь. А якщо ми взагалі неправильно збудували графік?
У таких випадках доводиться витрачати додатковий час та уточнювати межі інтегрування аналітично.
Знайдемо точки перетину прямої та параболи.
Для цього розв'язуємо рівняння:
,
Справді, .
Подальше рішення тривіально, головне, не заплутатися у підстановках та знаках, обчислення тут не найпростіші.
На відрізку , за відповідною формулою:
Відповідь:
Ну, і на закінчення уроку, розглянемо два завдання складніше.
Приклад 9
Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , ,
Рішення: Зобразимо цю фігуру на кресленні
Блін, забув графік підписати, а переробляти картинку, вибачте, не хоче. Чи не креслярський, коротше, сьогодні день =)
Для поточкового побудови необхідно знати зовнішній вигляд синусоїди (і взагалі корисно знати графіки всіх елементарних функцій), а також деякі значення синуса, їх можна знайти в тригонометричної таблиці. У ряді випадків (як у цьому) допускається побудова схематичного креслення, на якому принципово правильно повинні бути відображені графіки та межі інтегрування.
З межами інтегрування тут проблем немає, вони випливають з умови: – «ікс» змінюється від нуля до «пі». Оформлюємо подальше рішення:
На відрізку графік функції розташований над віссю, тому: