Визначення непарної. Властивості функцій
Функція- Це одне з найважливіших математичних понять. Функція – залежність змінної увід змінної x, якщо кожному значенню хвідповідає єдине значення у. Змінну хназивають незалежною змінною чи аргументом. Змінну уназивають залежною змінною. Усі значення незалежної змінної (змінної x) утворюють область визначення функції. Усі значення, які набуває залежна змінна (змінна y), утворюють область значень функції.
Графіком функціїназивають безліч усіх точок координатної площини, абсциси яких рівні значенням аргументу, а ординати - відповідним значенням функції, тобто по осі абсцис відкладаються значення змінної x, а по осі ординат відкладаються значення змінної y. Для побудови графіка функції потрібно знати характеристики функції. Основні характеристики функції будуть розглянуті далі!
Для побудови графіка функції рекомендуємо використовувати нашу програму - Побудова графіків функцій онлайн. Якщо під час вивчення матеріалу на даній сторінці у Вас виникнуть запитання, Ви завжди можете задати їх на нашому форумі. Також на форумі Вам допоможуть вирішити завдання з математики, хімії, геометрії, теорії ймовірності та багатьох інших предметів!
Основні характеристики функцій.
1) Область визначення функції та область значень функції.
Область визначення функції - це безліч всіх допустимих дійсних значень аргументу x(змінною x), при яких функція y = f(x)визначено.
Область значень функції - це безліч усіх дійсних значень y, що приймає функцію.
В елементарної математики вивчаються функції лише з безлічі дійсних чисел.
2) Нулі функції.
Значення х, за яких y=0, називається нулями функції. Це абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох.
3) Проміжки знакостійності функції.
Проміжки знаковості функції – такі проміжки значень x, на яких значення функції yабо тільки позитивні, або тільки негативні, називаються проміжками знакостійності функції.
4) Монотонність функції.
Зростаюча функція (у певному проміжку) - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.
Зменшуюча функція (у деякому проміжку) - функція, яка має більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції.
5) парність (непарність) функції.
Четна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якого х f(-x) = f(x). Графік парної функціїсиметричний щодо осі ординат.
Непарна функція - функція, у якої область визначення симетрична щодо початку координат та для будь-якого хв галузі визначення справедлива рівність f(-x) = - f(x). Графік непарної функціїсиметричний щодо початку координат.
Парна функція
1) Область визначення симетрична щодо точки (0; 0), тобто якщо точка aналежить області визначення, то точка -aтакож належить області визначення.
2) Для будь-якого значення x f(-x)=f(x)
3) Графік парної функції симетричний щодо осі Оу.
Непарна функціямає такі властивості:
1) Область визначення симетрична щодо точки (0; 0).
2) для будь-якого значення x, що належить області визначення, виконується рівність f(-x)=-f(x)
3) Графік непарної функції симетричний щодо початку координат (0; 0).
Не всяка функція є парною чи непарною. Функції загального вигляду не є ні парними, ні непарними.
6) Обмежена та необмежена функції.
Функція називається обмеженою, якщо існує таке додатне число M, що | f (x) | ≤ M для всіх значень x. Якщо такої кількості немає, то функція - необмежена.
7) Періодичність функції.
Функція f(x) - періодична, якщо існує таке відмінне від нуля число T, що для будь-якого x з області визначення функції має місце: f(x+T) = f(x). Таке найменше числоназивається періодом функції. Усе тригонометричні функціїє періодичними. (Тригонометричні формули).
Функція fназивається періодичною, якщо існує таке число, що за будь-якого xв галузі визначення виконується рівність f(x)=f(x-T)=f(x+T). T- Це період функції.
Будь-яка періодична функція має безліч періодів. Насправді зазвичай розглядають найменший позитивний період.
Значення періодичної функції через проміжок, що дорівнює періоду, повторюються. Це використовують при побудові графіків.
Приховати Показати
Способи завдання функції
Нехай функція визначається формулою: y=2x^(2)-3 . Призначаючи будь-які значення незалежної змінної x можна обчислити, користуючись даною формулою відповідні значення залежної змінної y . Наприклад, якщо x=-0,5, то, користуючись формулою, отримуємо, що відповідне значення y дорівнює y=2 \cdot(-0,5)^(2)-3=-2,5.
Взявши будь-яке значення, прийняте аргументом x у формулі y=2x^(2)-3 можна обчислити тільки одне значення функції, яке йому відповідає. Функцію можна подати у вигляді таблиці:
x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Користуючись даною таблицею, можна розібрати, що значення аргументу −1 буде відповідати значення функції −3 ; а значення x=2 буде відповідати y=0 і т.д. Також важливо знати, що кожному значенню аргументу таблиці відповідає лише одне значення функції.
Ще функції можна задати, використовуючи графіки. За допомогою графіка встановлюється яке значення функції співвідноситься з певним значенням x. Найчастіше це буде наближене значення функції.
Парна та непарна функція
Функція є парною функцієюколи f(-x)=f(x) для будь-якого x з області визначення. Така функція буде симетрична щодо осі Oy.
Функція є непарною функцієюколи f(-x)=-f(x) для будь-якого x з області визначення. Така функція буде симетрична щодо початку координат O(0;0) .
Функція є ні парної, ні непарноїі називається функцією загального вигляду, коли вона не має симетрії щодо осі або початку координат.
Досліджуємо на парність наведену нижче функцію:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) з симетричною областю визначення щодо початку координат. f(-x)= 3 \cdot(-x)^(3)-7 \cdot(-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).
Отже, функція f(x)=3x^(3)-7x^(7) є непарною.
Періодична функція
Функція y=f(x) , в області визначення якої для будь-якого x виконується рівність f(x+T)=f(x-T)=f(x) називається періодичною функцією з періодом T \neq 0 .
Повторення графіка функції на будь-якому відрізку осі абсцис, який має довжину T .
Проміжки, де функція позитивна, тобто f(x) > 0 - відрізки осі абсцис, які відповідають точкам графіка функції, що лежать від осі абсцис.
f(x) > 0 на (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)
Проміжки, де функція негативна, тобто f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))
Обмеженість функції
Обмеженою знизуприйнято називати функцію y=f(x), x \in X тоді, коли існує таке число A для якого виконується нерівність f(x) \geq A для будь-якого x \in X .
Приклад обмеженої знизу функції: y=\sqrt(1+x^(2)) оскільки y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 для будь-якого x .
Обмеженої зверхуназивається функція y=f(x), x \in X тоді, коли існує таке число B для якого виконується нерівність f(x) \neq B для будь-якого x \in X .
Приклад обмеженої знизу функції: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]оскільки y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 для будь-якого x \in [-1;1] .
Обмеженоюприйнято називати функцію y = f (x), x \ in X тоді, коли існує таке число K> 0, для якого виконується нерівність \ left | f(x) \right | \neq K для будь-якого x \in X .
Приклад обмеженої функції: y=\sin x обмежена по всій числовій осі, так як \Left | \sin x \right | \neq 1.
Зростаюча та спадна функція
Про функцію, що зростає на розглянутому проміжку, прийнято говорити як про зростаючої функціїтоді, коли більшому значенню x відповідатиме більше значення функції y=f(x) . Звідси виходить, що взявши з проміжку, що розглядається, два довільних значення аргументу x_(1) і x_(2) , причому x_(1) > x_(2) , буде y(x_(1)) > y(x_(2)) .
Функція, що зменшується на проміжку, що розглядається, називається спадною функцієютоді, коли більшому значенню x відповідатиме менше значення функції y(x) . Звідси виходить, що взявши з проміжку, що розглядається, два довільних значень аргументу x_(1) і x_(2) , причому x_(1) > x_(2) , буде y(x_(1))< y(x_{2}) .
Корінням функціїприйнято називати точки, в яких функція F = y (x) перетинає вісь абсцис (вони виходять в результаті розв'язування рівняння y (x) = 0).
а) Якщо при x > 0 парна функція зростає, то зменшується вона за x< 0
б) Коли при x > 0 парна функція зменшується, то зростає вона за x< 0
в) Коли при x > 0 непарна функція зростає, то зростає і при x< 0
г) Коли непарна функція зменшуватиметься при x > 0 , то вона зменшуватиметься і при x< 0
Екстремуми функції
Точкою мінімуму функції y=f(x) прийнято називати таку точку x=x_(0) , у якої її околиця матиме інші точки (крім самої точки x=x_(0) ), і тоді буде виконуватися нерівність f(x) > f (x_(0)). y_(min) - позначення функції у точці min.
Точкою максимуму функції y=f(x) прийнято називати таку точку x=x_(0) , у якої її околиця матиме інші точки (крім самої точки x=x_(0) ), і тоді буде виконуватися нерівність f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Необхідна умова
Відповідно до теореми Ферма: f"(x)=0 тоді, коли у функції f(x) , що диференційована в точці x_(0) , з'явиться екстремум у цій точці.
Достатня умова
- Коли похідна знак змінюється з плюсу на мінус, то x_(0) буде точкою мінімуму;
- x_(0) - буде точкою максимуму тільки тоді, коли у похідної змінюється знак з мінусу плюс при переході через стаціонарну точку x_(0) .
Найбільше та найменше значення функції на проміжку
Кроки обчислень:
- Шукається похідна f"(x);
- Знаходяться стаціонарні та критичні точки функції та вибирають належні відрізку;
- Знаходяться значення функції f(x) у стаціонарних та критичних точкахта кінцях відрізка. Найменше з отриманих результатів буде найменшим значеннямфункції, а більше найбільшим.
Визначення 1. Функція називається парної
(непарною
), якщо разом з кожним значенням змінної
значення – хтакож належить
і виконується рівність
Таким чином, функція може бути парною або непарною тільки тоді, коли її область визначення симетрична щодо початку координат на числовій прямій (числа хі – ходночасно належать
). Наприклад, функція
не є парною і непарною, оскільки її область визначення
не симетрична щодо початку координат.
Функція
парна, оскільки
симетрична щодо початку координат і.
Функція
непарна, оскільки
і
.
Функція
не є парною і непарною, тому що хоча
та симетрична щодо початку координат, рівності (11.1) не виконуються. Наприклад.
Графік парної функції симетричний щодо осі Оу, так як якщо точка
теж належить графіку. Графік непарної функції симетричний щодо початку координат, оскільки якщо
належить графіку, то й точка
теж належить графіку.
За доказом парності або непарності функції бувають корисні такі твердження.
Теорема 1. а) Сума двох парних (непарних) функцій є функція парна (непарна).
б) Добуток двох парних (непарних) функцій є функція парна.
в) Добуток парної та непарної функцій є функція непарна.
г) Якщо f– парна функція на множині Х, а функція g
визначено на безлічі
, то функція
– парна.
д) Якщо f- непарна функція на безлічі Х, а функція g
визначено на безлічі
і парна (непарна), то функція
– парна (непарна).
Доведення. Доведемо, наприклад, б) та г).
б) Нехай
і
– парні функції. Тоді тому. Аналогічно розглядається випадок непарних функцій
і
.
г) Нехай f – парна функція. Тоді.
Інші твердження теореми доводяться аналогічно. Теорему доведено.
Теорема 2. Будь-яку функцію
, задану на безлічі Х, симетричному щодо початку координат, можна подати у вигляді суми парної та непарної функцій.
Доведення. функцію
можна записати у вигляді
.
Функція
– парна, оскільки
, а функція
- Непарна, оскільки. Таким чином,
, де
– парна, а
- Непарна функції. Теорему доведено.
Визначення 2. Функція
називається періодичної
якщо існує число
, таке, що за будь-якого
числа
і
також належать області визначення
та виконуються рівності
Така кількість Tназивається періодом
функції
.
З визначення 1 випливає, що якщо Т– період функції
, те й число - Ттеж
є періодом функції
(оскільки при заміні Тна – Трівність зберігається). За допомогою методу математичної індукції можна показати, що якщо Т– період функції f, то й
, також є періодом. Звідси випливає, що й функція має період, вона має нескінченно багато періодів.
Визначення 3. Найменший із позитивних періодів функції називається її основним періодом.
Теорема 3. Якщо Т- Основний період функції f, то інші періоди кратні йому.
Доведення. Припустимо неприємне, тобто що існує період функції f
(>0), не кратний Т. Тоді, розділивши на Тіз залишком, отримаємо
, де
. Тому
тобто – період функції f, причому
, а це суперечить тому, що Т- Основний період функції f. З отриманого протиріччя випливає твердження теореми. Теорему доведено.
Добре відомо, що тригонометричні функції є періодичними. Основний період
і
дорівнює
,
і
. Знайдемо період функції
. Нехай
- Період цієї функції. Тоді
(так як
.
абоилиили
.
Значення T, що визначається з першої рівності, не може бути періодом, оскільки залежить від х, тобто. є функцією від х, а чи не постійним числом. Період визначається з другої рівності:
. Періодів нескінченно багато, при
найменший позитивний період виходить за
:
. Це – основний період функції
.
Прикладом складнішої періодичної функції є функція Діріхле
Зауважимо, що якщо T- Раціональне число, то
і
є раціональними числами при раціональному хта ірраціональними при ірраціональному х. Тому
за будь-якого раціонального числа T. Отже, будь-яке раціональне число Tє періодом функції Діріхле. Зрозуміло, що основного періоду цієї функції немає, оскільки є позитивні раціональні числа, скільки завгодно близькі до нуля (наприклад, раціональне число можна зробити вибором nяк завгодно близьким до нуля).
Теорема 4. Якщо функція f
задана на безлічі Хі має період Т, а функція g
задана на безлічі
, то складна функція
теж має період Т.
Доведення. Маємо, тому
тобто твердження теореми доведено.
Наприклад, оскільки cos
x
має період
, то й функції
мають період
.
Визначення 4. Функції, що не є періодичними, називаються неперіодичними .
- (матем.) Функція у = f(x) називається парною, якщо вона не змінюється, коли незалежне змінне змінює тільки знак, тобто якщо f(x) = f(x). Якщо ж f(x) = f(x), то функція f(x) називається непарною. Наприклад, у = cosx, у = x2 ...
F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія
Функція, що задовольняє рівність f(x) = f(x). Див. парні та непарні функції … Велика Радянська Енциклопедія
F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія
F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія
F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія
F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія
Спеціальні функції, введені французьким математиком Е. Матьє (E. Mathieu) у 1868 р. при вирішенні завдань про коливання еліптичної мембрани. М. ф. застосовуються також при вивченні поширення електромагнітних хвиль в еліптичному циліндрі. Велика Радянська Енциклопедія
Запит "sin" перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит "sec" перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит «Сінус» перенаправляється сюди; див. також інші значення … Вікіпедія
Залежність змінної y від перемінно x, коли кожен значенню x відповідає єдине значення y називається функцією. Для позначення використовують запис y=f(x). Кожна функція має ряд основних властивостей, таких як монотонність, парність, періодичність та інші.
Розглянь докладніше властивість парності.
Функція y=f(x) називається парною, якщо вона задовольняє наступним двом умовам:
2. Значення функції в точці х, що належить області визначення функції, має дорівнювати значення функції в точці -х. Тобто для будь-якої точки х з області визначення функції повинна виконуватися наступна рівність f(x) = f(-x).
Графік парної функції
Якщо побудувати графік парної функції, він буде симетричний щодо осі Оу.
Наприклад, функція y=x^2 є парною. Перевіримо це. Область визначення вся числова вісь, отже, вона симетрична щодо точки Про.
Візьмемо довільне х=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Отже f(x) = f(-x). Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже функція парна. Нижче наведено графік функції y=x^2.
На малюнку видно, що графік симетричний щодо осі Оу.
Графік непарної функції
Функція y=f(x) називається непарною, якщо вона задовольняє наступним двом умовам:
1. Область визначення даної функції має бути симетрична щодо точки О. Тобто якщо деяка точка a належить області визначення функції, то відповідна точка -a теж повинна належати області визначення заданої функції.
2. Для будь-якої точки х, з області визначення функції має виконуватися така рівність f(x) = -f(x).
Графік непарної функції симетричний щодо точки Про - початку координат. Наприклад, функція y=x^3 є непарною. Перевіримо це. Область визначення вся числова вісь, отже, вона симетрична щодо точки Про.
Візьмемо довільне х=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Отже f(x) = -f(x). Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже, функція непарна. Нижче наведено графік функції y=x^3.
На малюнку наочно представлено, що непарна функція y=x^3 симетрична щодо початку координат.