Будь-яке дійсне число є раціональним. Числа
Поняття дійсного числа: дійсне число- (Речове число), всяке неотрицательное чи негативне число чи нуль. За допомогою дійсних чисел виражають виміри кожної фізичної величини.
Речове, або дійсне числовиникло з необхідності вимірювань геометричної та фізичної величинсвіту. Крім того, для проведення операцій вилучення кореня, обчислення логарифму, розв'язання рівнянь алгебри тощо.
Натуральні числа утворилися з розвитком рахунку, а раціональні з потребою керувати частинами цілого, то речові числа (дійсні) використовуються для вимірювання безперервних величин. Т.ч., розширення запасу чисел, що розглядаються, призвело до безлічі речових чисел, які крім раціональних чисел складається з інших елементів, званих ірраціональні числа.
Безліч дійсних чисел(позначається R) - це безліч раціональних та ірраціональних чисел зібрані разом.
Справжні числа ділять нараціональніі ірраціональні.
Безліч дійсних чисел позначають і часто називають речовоїабо числовий прямий. Речові числа складаються з найпростіших об'єктів: цілихі раціональних чисел.
Число, яке можна записати як відношення, деm- ціле число, а n - натуральне число, єраціональним числом.
Будь-яке раціональне число легко уявити як кінцевий дріб або нескінченний періодичний десятковий дріб.
приклад,
Нескінченна десятковий дріб , це десятковий дріб, у якого після коми є нескінченне числоцифр.
Числа, які не можна представити у вигляді ірраціональними числами .
Приклад:
Будь-яке ірраціональне число легко уявити як нескінченну неперіодичну десяткову дріб.
приклад,
Раціональні та ірраціональні числа створюють безліч дійсних чисел.Всім дійсним числам відповідає одна точка координатної прямої, яка називається числова пряма.
Для числових множин використовуються позначення:
- N- безліч натуральних чисел;
- Z- безліч цілих чисел;
- Q- безліч раціональних чисел;
- R- безліч дійсних чисел.
Теорія нескінченних десяткових дробів.
Речовина визначається як нескінченний десятковий дріб, тобто:
±a 0 ,a 1 a 2 …a n …
де ± є один із символів + або −, знак числа,
a 0 - ціле позитивне число,
a 1 ,a 2 ,…a n ,… — послідовність десяткових знаків, тобто. елементів числової множини {0,1,…9}.
Нескінченний десятковий дріб можна пояснити як число, яке на числовому прямому знаходиться між раціональними точками типу:
±a 0 ,a 1 a 2 …a nі ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n)для всіх n=0,1,2,…
Порівняння дійсних чисел як нескінченних десяткових дробів відбувається порозрядно. Наприклад, припустимо дані 2 позитивні числа:
α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …
β = + b 0, b 1 b 2 … b n …
Якщо a 0 0,то α<β ; якщо a 0 >b 0то α>β . Коли a 0 = b 0переходимо до порівняння наступного розряду. І т.д. Коли α≠β , значить після кінцевої кількості кроків зустрінеться перший розряд n, такий що a n ≠b n. Якщо a n n, то α<β ; якщо a n >b nто α>β .
Але при цьому треба звернути увагу на те, що число a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n .Тому якщо запис одного з порівнюваних чисел, починаючи з деякого розряду, це періодичний десятковий дріб, у якого в періоді стоїть 9, то його потрібно замінити на еквівалентний запис, з нулем у періоді.
Арифметичні операції з нескінченними десятковими дробами це безперервне продовження відповідних операцій із раціональними числами. Наприкладсумою речових чисел α і β є дійсне число α+β , яке задовольняє такі умови:
∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a′′)∧ (b′⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a'+b'⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)
Аналогічно визначає операція множення нескінченних десяткових дробів.
Ця стаття присвячена вивченню теми Раціональні числаНижче наведено визначення раціональних чисел, дано приклади, розказано про те, як визначити, чи є число раціональним, чи ні.
Раціональні числа. Визначення
Перш ніж дати дефініцію раціональних чисел пригадаємо, які ще є безліч чисел, і як вони пов'язані між собою.
Натуральні числа, разом із протилежними їм і числом нуль утворюють безліч цілих чисел. Своєю чергою, сукупність цілих дробових чисел утворює безліч раціональних чисел.
Визначення 1. Раціональні числа
Раціональні числа - числа, які можна представити у вигляді позитивного звичайного дробу a b негативного звичайного дробу - a b або числа нуль.
Таким чином, можна залишити ряд властивостей раціональних чисел:
- Будь-яке натуральне число є раціональним числом. Вочевидь, кожне натуральне число n можна як дробу 1 n .
- Будь-яке ціле число, включаючи число 0 є раціональним числом. Дійсно, будь-яке ціле позитивне і ціле негативне число легко представляється у вигляді відповідно позитивного або негативного звичайного дробу. Наприклад, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
- Будь-яка позитивна чи негативна звичайний дріб a b є раціональним числом. Це слід безпосередньо з цього вище визначення.
- Будь-яке змішане числоє раціональним. Дійсно, адже змішане число можна уявити у вигляді звичайного неправильного дробу.
- Будь-який кінцевий або періодичний десятковий дріб можна подати у вигляді звичайного дробу. Тому кожен періодичний або кінцевий десятковий дріб є раціональним числом.
- Нескінченні та неперіодичні десяткові дроби не є раціональними числами. Їх неможливо уявити у формі звичайних дробів.
Наведемо приклади раціональних чисел. Числа 5, 105, 358, 1100055 є натуральними, позитивними та цілими. Справді, це раціональні числа. Числа - 2 , - 358 , - 936 є цілі негативні числа, і вони також раціональні відповідно до визначення. Звичайні дроби 3 5 , 8 7 , - 35 8 є прикладами раціональних чисел.
Наведене вище визначення раціональних чисел можна сформулювати коротше. Ще раз дамо відповідь на запитання, що таке раціональне число.
Визначення 2. Раціональні числа
Раціональні числа – це такі числа, які можна представити у вигляді дробу ± z n , де z – ціле число, n – натуральне число.
Можна показати, що дане визначеннярівносильно попередньому визначенню раціональних чисел. Щоб зробити це, пригадаємо, що риса дробу дорівнює знаку поділу. З урахуванням правил і властивостей поділу цілих чисел можна записати такі справедливі нерівності:
0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n .
Таким чином, можна записати:
z n = z n , при і z > 0 0 , при і z = 0 - z n , при і z< 0
Власне, цей запис і є доказом. Наведемо приклади раціональних чисел, виходячи з другому визначенні. Розглянемо числа - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 та - 1 3 5 . Всі ці числа є раціональними, тому що їх можна записати у вигляді дробу з цілим чисельником і натуральним знаменником: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10 000 , 8 5 .
Наведемо ще одну еквівалентну форму визначення раціональних чисел.
Визначення 3. Раціональні числа
Раціональне число - це таке число, яке можна записати у вигляді кінцевого або нескінченного періодичного десяткового дробу.
Дане визначення безпосередньо випливає з першого визначення цього пункту.
Підіб'ємо підсумок і сформулюємо резюме за цим пунктом:
- Позитивні та негативні дробові та цілі числа становлять безліч раціональних чисел.
- Кожне раціональне число можна у вигляді звичайного дробу, чисельник якого є цілим числом, а знаменник - натуральним числом.
- Кожне раціональне число можна також подати у вигляді десяткового дробу: кінцевого або нескінченного періодичного.
Який із чисел є раціональним?
Як ми вже з'ясували, будь-яке натуральне число, ціле число, правильний і неправильний звичайний дріб, періодичний і кінцевий десятковий дріб є раціональними числами. Озброївшись цими знаннями можна легко визначити, чи є якесь число раціональним.
Однак на практиці часто доводиться мати справу не з числами, а з числовими виразами, які містять коріння, ступеня та логарифми. У деяких випадках відповідь на запитання "Чи раціонально число?" є далеко не очевидним. Розглянемо методи відповіді це питання.
Якщо число задано у вигляді виразу, що містить лише раціональні числа та арифметичні діїміж ними, то результат виразу – раціональне число.
Наприклад, значення виразу 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) є раціональним числом і дорівнює 18 .
Таким чином, спрощення складного числового виразу дозволяє визначити, чи раціонально задане їм число.
Тепер розберемося зі знаком кореня.
Виявляється, що число m n , задане у вигляді кореня ступеня n від числа m раціонально лише тоді, коли m є n -ою ступенем якогось натурального числа.
Звернемося, наприклад. Число 2 не є раціональним. Тоді як 9,81 - раціональні числа. 9 та 81 - повні квадрати чисел 3 та 9 відповідно. Числа 199 , 28 , 15 1 є раціональними числами, оскільки числа під знаком кореня є повними квадратами будь-яких натуральних чисел.
Тепер візьмемо більше складний випадок. Чи є раціональним число 243 5? Якщо звести 3 в п'яту ступінь, виходить 243 тому вихідне вираз можна переписати так: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Отже, це числораціонально. Тепер візьмемо число 1215. Це число нераціонально, тому що не існує натурального числа, зведення якого на п'яту ступінь дасть 121 .
Для того, щоб дізнатися, чи є логарифм якогось числа a на підставі b раціональним числом, необхідно застосувати метод від протилежного. Наприклад, дізнаємося, чи раціонально число log 2 5 . Припустимо, що це число раціонально. Якщо це так, то його можна записати у вигляді звичайного дробу log 2 5 = m n. За властивостями логарифму та властивостями ступеня справедливі наступні рівності:
5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m
Очевидно, остання рівність неможлива так як у лівій та правій частинах знаходяться відповідно непарна і парне числа. Отже, зроблене припущення є невірним, і число log 2 5 не є раціональним числом.
Варто зазначити, що при визначенні раціональності та ірраціональності чисел не варто приймати раптових рішень. Наприклад, результат твору ірраціональних чисел який завжди є ірраціональним числом. Наочний приклад: 2 · 2 = 2.
Також існують ірраціональні числа, зведення яких у ірраціональний ступінь дає раціональне число. У ступеня виду 2 log 2 3 основа та показник ступеня є ірраціональними числами. Однак саме число раціональне: 2 log 2 3 = 3 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
У цій статті зібрані основні відомості про дійсні числа. Спочатку дано визначення дійсних чисел і наведемо приклади. Далі показано положення дійсних чисел координатної прямої. На закінчення розібрано, як дійсні числа задаються у вигляді числових виразів.
Навігація на сторінці.
Визначення та приклади дійсних чисел
Дійсні числа у вигляді виразів
З визначення дійсних чисел зрозуміло, що дійсними числами є:
- будь-яке натуральне число;
- будь-яке ціле число;
- будь-який звичайний дріб (як позитивний, так і негативний);
- будь-яке змішане число;
- будь-який десятковий дріб (позитивний, негативний, кінцевий, нескінченний періодичний, нескінченний неперіодичний).
Але дуже часто дійсні числа можна бачити у вигляді і т.п. Більше того, сума, різниця, добуток і приватне дійсних чисел також є дійсними числами (дивіться дії з дійсними числами). Наприклад, - це дійсні числа.
А якщо піти далі, то з дійсних чисел за допомогою арифметичних знаків, знаків кореня, ступенів, логарифмічних, тригонометричних функційі т.п. можна складати всілякі числові вирази, значення яких також будуть дійсними числами. Наприклад, значення виразів і є дійсні числа.
На закінчення цієї статті зауважимо, що наступним етапом розширення поняття числа є перехід від дійсних чисел до комплексним числам.
Список літератури.
- Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.
- Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
- Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).
Copyright by cleverstudents
Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати у будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.