Розподіл позитивних та негативних чисел. Множення позитивних та негативних чисел
У цій статті дається докладний огляд поділу чисел з різними знаками. Спочатку наведено правило розподілу чисел із різними знаками. Нижче розібрано приклади поділу позитивних чиселна негативні та негативних чиселна позитивні.
Навігація на сторінці.
Правило розподілу чисел із різними знаками
У статті розподіл цілих чисел було отримано правило розподілу цілих чисел із різними знаками. Його можна поширити і на раціональні числа, і на дійсні числа, повторивши всі міркування із зазначеної статті.
Отже, правило поділу чисел з різними знакамимає таке формулювання: щоб розділити позитивне число на негативне або негативне число на позитивне, треба розділити розподіленого на модуль дільника, і перед отриманим числом поставити знак мінус.
Запишемо це правило поділу за допомогою букв. Якщо числа a та b мають різні знаки, то справедлива формула a:b=−|a|:|b| .
З озвученого правила зрозуміло, що результатом розподілу чисел із різними знаками є негативне число. Дійсно, оскільки модуль діленого і модуль дільника є позитивнішим за число, то їх приватне є позитивним числом, а знак мінус робить це число негативним.
Зазначимо, що розглянуте правило зводить розподіл чисел із різними знаками до поділу позитивних чисел.
Можна навести інше формулювання правила поділу чисел з різними знаками: щоб розділити число a на число b потрібно число a помножити на число b −1, зворотне числу b . Тобто, a:b=a·b −1 .
Це правило можна використовувати, коли є можливість виходити за межі множини цілих чисел (оскільки далеко не кожне ціле число має зворотне). Іншими словами, воно застосовується на безлічі раціональних, а також на безлічі дійсних чисел.
Зрозуміло, це правило поділу чисел із різними знаками дозволяє від поділу перейти до множення.
Це правило використовується при розподілі негативних чисел .
Залишилося розглянути, як це правило поділу чисел з різними знаками застосовується під час вирішення прикладів.
Приклади поділу чисел із різними знаками
Розглянемо рішення кількох характерних прикладів поділу чисел із різними знаками, щоб засвоїти принцип застосування правил попереднього пункту.
приклад.
Розділіть від'ємне число −35 на позитивне число 7 .
Рішення.
Правило поділу чисел з різними знаками наказує спочатку знайти модулі діленого та дільника. Модуль числа −35 дорівнює 35 а модуль числа 7 дорівнює 7 . Тепер нам потрібно розділити модуль діленого на модуль дільника, тобто треба розділити 35 на 7 . Згадавши, як виконується розподіл натуральних чисел, отримуємо 35:7=5. Залишився останній крок правила розподілу чисел з різними знаками – поставити мінус перед отриманим числом, маємо −5.
Ось усі рішення: .
Можна було виходити з іншого формулювання правила розподілу чисел із різними знаками. І тут спочатку знаходимо число, зворотне дільнику 7 . Цим числом є звичайний дріб 1/7. Таким чином, . Залишилося виконати множення чисел із різними знаками: . Очевидно, ми дійшли такого самого результату.
Відповідь:
(−35):7=−5 .
приклад.
Обчисліть частки 8:(−60) .
Рішення.
За правилом поділу чисел з різними знаками маємо 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Отриманому виразу відповідає негативний звичайний дріб (дивіться знак поділу як риса дробу), можна провести скорочення дробу на 4 .
Запишемо рішення коротко: .
Відповідь:
.
При розподілі дробових раціональних чисел з різними знаками їх зазвичай поділяється і дільник представляють у вигляді звичайних дробів. Це пов'язано з тим, що з числами в іншому записі (наприклад, у десятковому) не завжди зручно виконувати поділ.
приклад.
Рішення.
Модуль діленого дорівнює , а модуль дільника дорівнює 0(23) . Щоб провести розподіл модуля поділеного на модуль дільника, перейдемо до звичайним дробам.
Здійснимо переведення змішаного числа у звичайний дріб: , а також
Тепер давайте розберемося з множенням та поділом.
Припустимо, що нам потрібно помножити +3 на -4. Як це зробити?
Давайте розглянемо такий випадок. Три людини залізли у борги, і у кожного по 4 долари боргу. Чому дорівнює загальний обов'язок? Для того, щоб його знайти, треба скласти всі три борги: 4 долари + 4 долари + 4 долари = 12 доларів. Ми з вами вирішили, що додавання трьох чисел 4 позначається як 3×4. Оскільки в даному випадку ми говоримо про обов'язок, перед 4 стоїть знак «-». Ми знаємо, що загальний борг дорівнює 12 доларам, тому тепер наше завдання має вигляд 3х(-4)=-12.
Ми отримаємо той самий результат, якщо за умовою завдання кожна з чотирьох осіб має борг по 3 долари. Інакше кажучи, (+4)х(-3)=-12. А оскільки порядок співмножників значення не має, отримуємо (-4)х(+3)=-12 та (+4)х(-3)=-12.
Давайте узагальнюємо результати. При перемноженні одного позитивного та одного негативного числа результат завжди буде негативним числом. Чисельна величина відповіді буде такою самою, як і у разі позитивних чисел. Твір (+4) х (+3) = +12. Присутність знака "-" впливає лише на знак, але не впливає на чисельну величину.
А як перемножити два негативні числа?
На жаль, на цю тему дуже важко придумати відповідний приклад із життя. Легко собі уявити борг у сумі 3 або 4 долари, але неможливо уявити -4 або -3 людини, які залізли в борги.
Мабуть, ми підемо іншим шляхом. У множенні за зміни знака одного з множників змінюється знак твору. Якщо ми змінюємо знаки в обох множників, ми маємо двічі змінити знак твору, Спершу з позитивного на негативний, а потім навпаки, з негативного на позитивний, тобто у твору буде початковий знак.
Отже, цілком логічно, хоча трохи дивно, що (-3) х (-4) = +12.
Положення знакапри множенні змінюється таким чином:
- позитивне число х позитивне число = позитивне число;
- від'ємне число х позитивне число = від'ємне число;
- позитивне число х від'ємне число = від'ємне число;
- від'ємне число х від'ємне число = позитивне число.
Інакше кажучи, перемножуючи два числа з однаковими знаками, ми отримуємо позитивне число. Перемножуючи два числа з різними знаками, ми маємо негативне число.
Таке саме правило справедливе й у дії протилежного множенню – для .
Ви легко можете в цьому переконатись, провівши зворотні операції множення. Якщо в кожному з прикладів, наведених вище, ви помножите приватне на дільник, то отримаєте ділене, і переконайтеся, що воно має той самий знак, наприклад (-3) х (-4) = (+12).
Оскільки скоро зима, то пора вже подумати про те, у що перевзути свого залізного коня, щоб не ковзати по льоду і почуватися впевнено на зимових дорогах. Можна, наприклад, взяти шини йокогама на сайті: mvo.ru або якісь інші, головне, щоб якісний, більше інформації і ціни ви можете дізнатися на сайті Mvo.ru.
На цьому уроці ми повторимо правила додавання позитивних і негативних чисел. Також навчимося множити числа з різними знаками та дізнаємося правила знаків для множення. Розглянемо приклади множення позитивних та негативних чисел.
Властивість множення на нуль залишається вірним у разі негативних чисел. Нуль помножити на будь-яке число – буде нуль.
Список літератури
- Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика 6. – К.: Мнемозіна, 2012.
- Мерзляк А.Г., Полонський В.В., Якір М.С. Математика 6 клас. – Гімназія. 2006.
- Депман І.Я., Віленкін Н.Я. За сторінками підручника з математики. - М: Просвітництво, 1989.
- Рурукін О.М., Чайковський І.В. Завдання з курсу математики 5-6 клас. - М: ЗШ МІФІ, 2011.
- Рурукін О.М., Сочілов С.В., Чайковський К.Г. Математика 5-6. Посібник для учнів 6-х класів заочної школи МІФІ. - М: ЗШ МІФІ, 2011.
- Шеврін Л.М., Гейн А.Г., Коряков І.О., Волков М.В. Математика: Підручник-співрозмовник для 5-6 класів середньої школи. - М: Просвітництво, Бібліотека вчителя математики, 1989.
Домашнє завдання
- Інтернет-портал Mnemonica.ru().
- Інтернет-портал Youtube.com().
- Інтернет-портал School-assistant.ru().
- Інтернет-портал Bymath.net().
§ 1 Розмноження позитивних і негативних чисел
У цьому уроці познайомимося з правилами множення та поділу позитивних та негативних чисел.
Відомо, що будь-який твір можна подати у вигляді суми однакових доданків.
Доданок -1 потрібно скласти 6 разів:
(-1)+(-1)+(-1) +(-1) +(-1) + (-1) =-6
Значить твір -1 і 6 -6.
Числа 6 і -6 протилежні числа.
Таким чином, можна зробити висновок:
При множенні -1 на натуральне число вийде протилежне число.
Для негативних чисел, як і для позитивних, виконується переміщувальний закон множення:
Якщо натуральне число помножити на -1, також вийде протилежне число
При множенні будь-якого неотрицательного числа на 1 вийде це число.
Наприклад:
Для негативних чисел це твердження теж вірне: -5 ∙1 = -5; -2 ∙ 1 = -2.
При множенні будь-якого числа на 1 вийде це число.
Ми переконалися, що з множенні мінус 1 на натуральне число вийде протилежне йому число. При множенні негативного числа це твердження теж справедливе.
Наприклад: (-1) ∙ (-4) = 4.
Також -1 ∙ 0 = 0, число 0 протилежне саме собі.
При множенні будь-якого числа мінус 1 вийде протилежне йому число.
Перейдемо до інших випадків множення. Знайдемо добуток чисел -3 та 7.
Негативний множник -3 можна замінити творами -1 та 3. Тоді можна застосувати поєднаний закон множення:
1 ∙ 21 = -21, тобто. добуток мінус 3 і 7 дорівнює мінус 21.
При множенні двох чисел із різними знаками виходить негативне число, модуль якого дорівнює добутку модулів множників.
А чому дорівнює добуток чисел з однаковими знаками?
Ми знаємо, що з множенні двох позитивних чисел вийде позитивне число. Знайдемо добуток двох негативних чисел.
Замінимо один із множників твором із множником мінус 1.
Застосуємо виведене нами правило, при множенні двох чисел з різними знаками виходить негативне число, модуль якого дорівнює добутку модулів множників,
вийде -80.
Сформулюємо правило:
При множенні двох чисел з однаковими знаками виходить позитивне число, модуль якого дорівнює добутку модулів множників.
§ 2 Розподіл позитивних і негативних чисел
Перейдемо до поділу.
Підбором знайдемо коріння таких рівнянь:
y ∙ (-2) = 10. 5 ∙ 2 = 10, отже х = 5; 5 ∙ (-2) = -10, отже а = 5; -5 ∙ (-2) = 10, отже y = -5.
Запишемо розв'язки рівнянь. У кожному рівнянні невідомий множник. Невідомий множник знаходимо, розділивши твір на відомий множник, значення невідомих множників ми вже підібрали.
Проаналізуємо.
При розподілі чисел з однаковими знаками (а це перше і друге рівняння) виходить позитивне число, модуль якого дорівнює частці модулів ділимого і дільника.
При розподілі чисел з різними знаками (це третє рівняння) виходить негативне число, модуль якого дорівнює частці модулів ділимого і дільника. Тобто. при розподілі позитивних і негативних чисел знак частки визначається за тими самими правилами, що знак твору. А приватний модуль дорівнює приватному модулів діленого і дільника.
Таким чином, ми сформулювали правила множення та поділу позитивних та негативних чисел.
Список використаної литературы:
- Математика. 6 клас: поурочні плани до підручника І.І. Зубарєвої, А.Г. Мордковича// автор-упорядник Л.А. Топілін. - Мнемозіна, 2009.
- Математика. 6 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ. І.І. Зубарєва, А.Г. Мордкович. – К.: Мнемозіна, 2013.
- Математика. 6 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ./Н.Я. Віленкін, В.І. Жохов, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд. - М.: Мнемозіна, 2013.
- Довідник з математики - http://lyudmilanik.com.ua
- Довідник для учнів у середній школі http://shkolo.ru
У цій статті дамо визначення поділу негативного числа на негативне, сформулюємо та обґрунтуємо правило, наведемо приклади поділу негативних чисел та розберемо хід їх вирішення.
Розподіл негативних чисел. Правило
Нагадаємо, у чому суть операції поділу. Дана дія є знаходження невідомого множника по відомому творута відомому іншому множнику. Число з називається приватним від розподілу чисел a і b, якщо вірний добуток c · b = a. При цьому, a b = c .
Правило поділу негативних чисел
Приватне розподілення одного від'ємного числа на інше від'ємне число дорівнює частці від поділу модулів цих чисел.
Нехай a та b - негативні числа. Тоді
a ÷ b = a ÷ b .
Це правило зводить розподіл двох негативних чисел до поділу позитивних чисел. Воно справедливе як цілих чисел, але й раціональних і дійсних чисел. Результат поділу негативного числа на негативне є позитивне число.
Наведемо ще одне формулювання даного правила, що підходить для раціональних і дійсних чисел. Вона дається за допомогою взаємно-зворотних чисел і говорить: для поділу негативного числа a на число undefined помножити на число b - 1, зворотне до числа b .
a ÷ b = a · b - 1 .
Це правило, що зводить розподіл до множення, можна застосовувати й у розподілу чисел з різними знаками.
Рівність a b = a · b - 1 можна довести, використовуючи властивість множення дійсних чисел і визначення взаємно зворотних чисел. Запишемо рівності:
a · b - 1 · b = a · b - 1 · b = a · 1 = a .
З огляду на визначення операції розподілу, ця рівність доводить, що є приватне від розподілу числа на число b.
Перейдемо до прикладів.
Почнемо з найпростіших випадків, переходячи до більш складних.
Приклад 1. Як ділити негативні числа
Розділимо - 18 на -3.
Модулі дільника і поділеного відповідно дорівнюють 3 і 18 . Запишемо:
18 ÷ - 3 = - 18 ÷ - 3 = 18 ÷ 3 = 6 .
Приклад 2. Як ділити негативні числа
Розділимо - 5 на -2.
Аналогічно записуємо за правилом:
5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Такий самий результат вийде, якщо використовувати друге формування правила зі зворотним числом.
5 ÷ - 2 = - 5 · - 1 2 = 5 · 1 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Для дробових раціональних чисел найзручніше представляти їх у вигляді звичайних дробів. Однак можна ділити і кінцеві десяткові дроби.
Приклад 3. Як ділити негативні числа
Розділимо - 0,004 на -0,25.
Спочатку записуємо модулі цих чисел: 0, 004 та 0, 25 .
Тепер можна вибрати один із двох способів:
- Розділити десяткові дроби стовпчиком.
- Перейти до звичайних дробів і виконати поділ.
Розберемо обидва способи.
1. Виконуючи поділ десяткових дробівстовпчиком, перенесемо кому на дві цифри праворуч.
Відповідь: - 0,004 ÷ 0,25 = 0,016
2. Тепер наведемо рішення з переведенням десяткових дробів у прості.
0, 004 = 4 1000; 0 , 25 = 25 100 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 · 100 25 = 4 250 = 0 , 016
Отримані результати збігаються.
На закінчення зазначимо, що якщо ділене та дільник є ірраціональними числамиі задаються у віжі коріння, ступенів, логарифмів і т.д., результат поділу записується у вигляді числового виразу, приблизне значення якого обчислюється у разі потреби.
Приклад 4. Як ділити негативні числа
Обчислимо частки від розподілу чисел - 0 , 5 і - 5 .
0 , 5 ÷ - 5 = - 0 , 5 ÷ - 5 = 0 , 5 ÷ 5 = 1 2 · 1 5 = 1 2 5 = 5 10 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter