Визначення середньої арифметичної за способом моментів. Властивості середньої арифметичної
Де А – умовний нуль, рівний варіанті з максимальною частотою (середина інтервалу з максимальною частотою), h – крок інтервалу,
Призначення сервісу. За допомогою онлайн-калькулятора обчислюється середнє за способом моментів. Результат рішення оформляється у форматі Word.
Інструкція. Для отримання рішення необхідно заповнити вихідні дані та вибрати параметри звіту для оформлення Word.
Алгоритм знаходження середньої за способом моментів
Приклад. Витрати робочого дня на однорідну технологічну операцію розподілялися між робітниками так:
Потрібно визначити середню величинувитрат робочого часу та середньоквадратичне відхилення за способом моментів; коефіцієнт варіації; моду та медіану.Таблиця до розрахунку показників.
Групи | Середина інтервалу, x i | Кількість, f i | x i · f i | Накопичена частота, S | (x-x) 2 · f |
5 - 10 | 7.5 | 20 | 150 | 20 | 4600.56 |
15 - 20 | 17.5 | 25 | 437.5 | 45 | 667.36 |
20 - 25 | 22.5 | 50 | 1125 | 95 | 1.39 |
25 - 30 | 27.5 | 30 | 825 | 125 | 700.83 |
30 - 35 | 32.5 | 15 | 487.5 | 140 | 1450.42 |
35 - 40 | 37.5 | 10 | 375 | 150 | 2200.28 |
150 | 3400 | 9620.83 |
Мода
де x 0 - Початок модального інтервалу; h – величина інтервалу; f 2 -Частота, що відповідає модальному інтервалу; f 1 - Передмодальна частота; f3 – післямодальна частота.
Вибираємо як початок інтервалу 20, тому що саме на цей інтервал припадає найбільша кількість.
Найчастіше зустрічається значення ряду – 22.78 хв.
Медіана
Медіанним є інтервал 20 – 25, т.к. у цьому інтервалі накопичена частота S, більша за медіанний номер (медіанним називається перший інтервал, накопичена частота S якого перевищує половину загальної суми частот).
Таким чином, 50% одиниць сукупності будуть меншими за величиною 23 хв.
.
Знаходимо А = 22.5 крок інтервалу h = 5.
Середній квадрат відхилень за способом моментів.
x ц | x * i | x * i f i | 2 f i |
7.5 | -3 | -60 | 180 |
17.5 | -1 | -25 | 25 |
22.5 | 0 | 0 | 0 |
27.5 | 1 | 30 | 30 |
32.5 | 2 | 30 | 60 |
37.5 | 3 | 30 | 90 |
5 | 385 |
хв.
Середнє квадратичне відхилення.
хв.
Коефіцієнт варіації- міра відносного розкиду значень сукупності: показує, яку частку середнього значення цієї величини становить її середній розкид.
Оскільки v>30%, але v<70%, то вариация умеренная.
приклад
Для оцінки низки розподілів знайдемо такі показники:Середня виважена
Середнє значення досліджуваної ознаки за способом моментів.
де А - умовний нуль, що дорівнює варіанті з максимальною частотою (середина інтервалу з максимальною частотою), h - крок інтервалу.
Середня арифметична має цілу низку властивостей, які більш повно розкривають її сутність і спрощують розрахунок:
1. Твір середньої у сумі частот завжди дорівнює сумі творів варіант на частоти, тобто.
2.Середня арифметична суми величин, що варіюють, дорівнює сумі середніх арифметичних цих величин:
3.Алгебраїчна сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої дорівнює нулю:
4.Сума квадратів відхилень варіантів від середньої менше, ніж сума квадратів відхилень від будь-якої іншої довільної величини , тобто:
5. Якщо всі варіанти ряду зменшити або збільшити на те саме число, то середня зменшиться на це ж число:
6. Якщо всі варіанти ряду зменшити або збільшити в раз, то середня також зменшиться або збільшиться в раз:
7. Якщо всі частоти (ваги) збільшити або зменшити в раз, то середня арифметична не зміниться:
Цей спосіб ґрунтується на використанні математичних властивостей середньої арифметичної величини. У цьому випадку середня величина обчислюється за формулою: , де i - величина рівного інтервалу або будь-яке постійне число, що не дорівнює 0; m 1 – момент першого порядку, який розраховується за такою формулою: ; А – будь-яке постійне число.
18 СЕРЕДНЯ ГАРМОНІЧНА ПРОСТА І Зважена.
Середня гармонійнавикористовується у випадках, коду невідомі частоти (fi), а відомий обсяг досліджуваної ознаки (xi * fi = Mi).
За прикладом 2 визначимо середню заробітну плату 2001р.
У вихідній інформації 2001р. немає даних про кількість працівників, проте її неважко розрахувати як ставлення фонду оплати праці до середньої зарплати.
Тоді 2769,4 руб., Тобто. середня зарплата 2001р. -2769,4 руб.
В даному випадку використана середня гармонійна:
де М i -фонд оплати праці в окремому цеху; x i - зарплата в окремому цеху.
Отже, середня гармонійна застосовується тоді, коли невідомий один із співмножників, але відомий твір «М».
Середня гармонійна використовується для розрахунку середньої продуктивності праці, середнього відсотка виконання норм, середньої зарплати та ін.
Якщо твори «М» рівні між собою, то використовується середня гармонійна проста: де n – число варіант.
СЕРЕДНЯ ГЕОМЕТРИЧНА І СЕРЕДНЯ ХРОНОЛОГІЧНА.
Середня геометрична використовується для аналізу динаміки явищ та дозволяє визначити середній коефіцієнт зростання. При розрахунку середньої геометричної індивідуальні значення ознаки зазвичай є відносними показниками динаміки, побудованими у вигляді ланцюгових величин, як відношення кожного рівня ряду до попереднього рівня.
, - Ланцюгові коефіцієнти зростання;
n – число ланцюгових коефіцієнтів зростання.
Якщо вихідні дані дані станом певні дати, то середній рівень ознаки визначається за формулою середньої хронологічної. Якщо проміжками між датами (моментами) рівні, то середній рівень визначається за формулою середньої хронологічної прості.
Розглянемо її розрахунок на конкретних прикладах.
приклад. Є такі дані про залишки вкладів населення банках Росії у першому півріччі 1997 р. (на початок місяця):
Середній залишок вкладів населення за перше півріччя 1997 (за формулою середньої хронологічної простий) склав.
А – умовна середня (найчастіше повторюється в варіаційному ряду)
а – умовне відхилення від умовної середньої (ранг)
i – інтервал
1-ий етап - визначення середини груп;
Другий етап - ранжування груп: 0 присвоюється групі, частота народження врианти в якій - максимальна. Тобто. у разі 7-11 (частота -32). Вгору цієї групи ранжування виробляється додаючи (-1). Вниз – збільшення (+1).
Третій етап - визначення умовної моди (умовна середня). А це середина модального інтервалу. У разі модальним інтервалом є 7 -11, в такий спосіб А = 9.
Четвертий етап - визначення інтервалу. Інтервал у всіх групах ряду однаковий і дорівнює 5. i = 5/
5-й етап - визначення загальної кількості спостережень. n = ∑p = 103.
Підставляємо отримані дані у формулу:
Завдання для самостійної роботи
Використовуючи дані згрупованого варіаційного ряду, розрахуйте середню арифметичну за способом моментів.
Варіант №1
Варіант №2
Варіант №3
Варіант №4
Варіант №5
Варіант №6
Варіант №7
Варіант №8
Варіант №9
Варіант №10
Варіант №11
Варіант №12
Завдання №4 Визначення моди та медіани у не згрупованому варіаційному ряду з непарною кількістю варіант
Терміни стаціонарного лікування хворих дітей у днях: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20.
Для визначення моди у варіаційному ряду ранжування ряду необов'язкове. Однак, перш ніж визначати медіану, необхідно побудувати варіаційний ряд у порядку зростання або зменшення.
12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20.
Мода = 16. Т.к. варіант 16 зустрічається найбільше число разів (3 рази).
Якщо варіант, що мають найбільшу частоту народження кілька, то в варіаційному ряду може бути зазначено дві і більше Моди.
Медіана поряд з непарною кількістю визначається за формулою:
8 – це порядковий номер медіани в ранжованому варіаційному ряду,
т.ч. Ме = 17.
Завдання №5 Визначення моди та медіани у не згрупованому варіаційному ряду з парною кількістю варіант.
На основі даних, наведених у завданні, потрібно знайти моду та медіану
Терміни стаціонарного лікування хворих дітей у днях: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20, 11
Будуємо ранжований варіаційний ряд:
11, 12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20
У нас є два серединні числа 16 і 17. У такому випадку медіана знаходиться як середня арифметична між ними. Me = 16,5.
Метод моментівприрівнює моменти теоретичного розподілу до моментів емпіричного розподілу (розподілу, побудованого за спостереженнями). З отриманих рівнянь є оцінки параметрів розподілу. Наприклад, для розподілу з двома параметрами перші два моменти (середнє та дисперсія розподілу, відповідно, m і s) будуть прирівняні першим двом емпіричним (вибірковим) моментам (середньому та дисперсії вибірки, відповідно), і потім буде проведено оцінювання.Де А – умовний нуль, рівний варіанті з максимальною частотою (середина інтервалу з максимальною частотою), h – крок інтервалу,
Призначення сервісу. За допомогою онлайн-калькулятора обчислюється середнє за способом моментів. Результат рішення оформляється у форматі Word.
Інструкція. Для отримання рішення необхідно заповнити вихідні дані та вибрати параметри звіту для оформлення Word.
Алгоритм знаходження середньої за способом моментів
Приклад. Витрати робочого дня на однорідну технологічну операцію розподілялися між робітниками так:
Потрібно визначити середню величину витрат робочого часу та середньоквадратичне відхилення за способом моментів; коефіцієнт варіації; моду та медіану.Таблиця до розрахунку показників.
Групи | Середина інтервалу, x i | Кількість, f i | x i · f i | Накопичена частота, S | (x-x) 2 · f |
5 - 10 | 7.5 | 20 | 150 | 20 | 4600.56 |
15 - 20 | 17.5 | 25 | 437.5 | 45 | 667.36 |
20 - 25 | 22.5 | 50 | 1125 | 95 | 1.39 |
25 - 30 | 27.5 | 30 | 825 | 125 | 700.83 |
30 - 35 | 32.5 | 15 | 487.5 | 140 | 1450.42 |
35 - 40 | 37.5 | 10 | 375 | 150 | 2200.28 |
150 | 3400 | 9620.83 |
Мода
де x 0 - Початок модального інтервалу; h – величина інтервалу; f 2 -Частота, що відповідає модальному інтервалу; f 1 - Передмодальна частота; f3 – післямодальна частота.
Вибираємо як початок інтервалу 20, тому що саме на цей інтервал припадає найбільша кількість.
Найчастіше зустрічається значення ряду – 22.78 хв.
Медіана
Медіанним є інтервал 20 – 25, т.к. у цьому інтервалі накопичена частота S, більша за медіанний номер (медіанним називається перший інтервал, накопичена частота S якого перевищує половину загальної суми частот).
Таким чином, 50% одиниць сукупності будуть меншими за величиною 23 хв.
.
Знаходимо А = 22.5 крок інтервалу h = 5.
Середній квадрат відхилень за способом моментів.
x ц | x * i | x * i f i | 2 f i |
7.5 | -3 | -60 | 180 |
17.5 | -1 | -25 | 25 |
22.5 | 0 | 0 | 0 |
27.5 | 1 | 30 | 30 |
32.5 | 2 | 30 | 60 |
37.5 | 3 | 30 | 90 |
5 | 385 |
хв.
Середнє квадратичне відхилення.
хв.
Коефіцієнт варіації- міра відносного розкиду значень сукупності: показує, яку частку середнього значення цієї величини становить її середній розкид.
Оскільки v>30%, але v<70%, то вариация умеренная.
приклад
Для оцінки низки розподілів знайдемо такі показники:Середня виважена
Середнє значення досліджуваної ознаки за способом моментів.
де А - умовний нуль, що дорівнює варіанті з максимальною частотою (середина інтервалу з максимальною частотою), h - крок інтервалу.
Розрахунки середньої арифметичної можуть бути громіздкими, якщо варіанти (значення ознаки) і ваги мають дуже великі або дуже малі значення і не може сам процес підрахунку. Тоді для простоти рахунку використовується ряд властивостей середньої арифметичної:
1) якщо зменшити (збільшити) всі варіанти на будь-яке довільне число А, то нова середня зменшиться (збільшиться) на те ж число А, Т. е. зміниться на ± А;
2) якщо зменшити всі варіанти (значення ознаки) в однакове число разів ( До), то середня зменшиться в стільки ж разів, а при збільшенні ( До) раз - збільшиться в ( До) раз;
3) якщо зменшити або збільшити ваги (частоти) всіх варіантів на яке-небудь постійне число А, то середня арифметична не зміниться;
4) сума відхилень всіх варіантів від загальної середньої дорівнює нулю.
Перелічені властивості середньої арифметичної дозволяють у разі потреби спрощувати розрахунки шляхом заміни абсолютних частот відносними, зменшувати варіанти (значення ознаки) на якесь число А, скорочувати їх у Дораз і розраховувати середню арифметичну зі зменшених варіант, а потім переходити до середньої початкового ряду.
Спосіб обчислення середньої арифметичної з використанням її властивостей відомий у статистиці як «Спосіб умовного нуля», або «умовною середньою», або як "Спосіб моментів".
Коротко цей спосіб можна записати у вигляді формули
Якщо зменшені варіанти (значення ознаки ), позначити через , то наведену формулу можна переписати у вигляді .
При використанні формули для спрощення обчислення середньої арифметичної зваженої інтервального ряду при визначенні величини будь-якого числа Авикористовують такі прийоми визначення.
Величина Адорівнює величині:
1) першого значення середньої величини інтервалу (продовжимо з прикладу завдання, де млн дол., а .
Розрахунок середньої із зменшених варіант
Інтервали | Середнє значення інтервалу | Число заводів, f | твір | |
До 2 | 1,5 | 0 (1,5–1,5) | ||
2–3 | 2,5 | 1 (2,5–1,5) | ||
3–4 | 3,5 | 2 (3,5–1,5) | ||
4–5 | 4,5 | 3 (4,5–1,5) | ||
5–6 | 5,5 | 4 (5,5–1,5) | ||
Понад 6 | 6,5 | 5 (6,5–1,5) | ||
Разом: | 3,7 | – |
,
2) величину Аберемо рівну величину середнього значення інтервалу з найбільшою частотою повторень, в даному випадку А= 3,5 при ( f= 30), чи значення серединної варіанти, чи найбільшої варіанти (у разі найбільше значення ознаки Х= 6,5) і поділено на розмір інтервалу (у цьому прикладі 1).
Розрахунок середньої при А = 3,5, f = 30, До= 1 тому ж прикладі.
Розрахунок середнім способом моментів
Інтервали | Середнє значення інтервалу | Число заводів, f | твір | |
До 2 | 1,5 | (1,5 – 3,5) : 1 = –2 | –20 | |
2–3 | 2,5 | (2,5 – 3,5) : 1 = –1 | –20 | |
3–4 | 3,5 | (3,5 – 3,5) : 1 = 0 | ||
4–5 | 4,5 | (4,5 – 3,5) : 1 = 1 | ||
5–6 | 5,5 | (5,5 – 3,5) : 1 = 2 | ||
Понад 6 | 6,5 | (6,5 – 3,5) : 1 = 3 | ||
Разом: | 3,7 | – |
; ; ;
Спосіб моментів, умовного нуля або умовної середньої полягає в тому, що при скороченому способі розрахунку середньої арифметичної ми вибираємо такий момент, щоб у новому ряду однієї зі значень ознаки, тобто прирівнюємо і звідси вибираємо величину Аі До.
Треба мати на увазі, що якщо ( Х – А) : До, де До- рівна величина інтервалу, то отримані нові варіанти утворюють в рівноінтервальному ряду ряди натуральних чисел (1, 2, 3 і т. д.) позитивних і негативних вниз від нуля. Середню арифметичну з цих нових варіантів називають моментом першого порядку та виражають формулою
.
Щоб визначити величину середньої арифметичної потрібно величину моменту першого порядку помножити на величину того інтервалу ( До), на який ділимо всі варіанти, і додати до отриманого твору величину варіанти ( А), яку вичитали.
;
Таким чином, способом моментів чи умовного нуля розрахувати середню арифметичну з варіаційного ряду, якщо ряд рівноінтервальний, значно легший.
Мода
Мода - є величина ознаки (варіанту), що найчастіше повторюється в досліджуваній сукупності.
Для дискретних рядів розподілу модою буде значення варіанти із найбільшою частотою.
приклад.При визначенні плану виробництва чоловічих туфель фабрикою було здійснено вивчення купівельного попиту за результатами продажу. Розподіл проданого взуття характеризувався такими показниками:
Найбільшим попитом користувалося взуття 41 розміру та становило 30% від проданої кількості. У цьому ряду розподілу М 0 = 41.
Для інтервальних рядів розподілу з рівними інтервалами мода визначається за формулою
.
Насамперед, необхідно знайти інтервал, у якому перебуває мода, т. е. модальний інтервал.
У варіаційному ряду з рівними інтервалами модальний інтервалвизначається за найбільшою частотою, в рядах з нерівними інтервалами – найбільшою щільністю розподілу, де: – величина нижньої межі інтервалу, що містить моду; - Частота модального інтервалу; – частота інтервалу, що передує модальному, тобто передмодального; - Частота інтервалу, наступного за модальним, тобто післямодального.
Приклад розрахунку моди в інтервальному ряді
Дано угруповання підприємств за чисельністю промислово-виробничого персоналу. Знайти моду. У нашій задачі найбільше підприємств (30) має угруповання з чисельністю працюючих від 400 до 500 осіб. Отже, цей інтервал є модальним інтервалом розповсюдження ряду з рівними інтервалами. Введемо такі позначення:
Підставимо ці значення у формулу обчислення моди і зробимо розрахунок:
Таким чином, ми визначили значення модальної величини ознаки, укладеної в цьому інтервалі (400-500), тобто. М 0 = 467 чол.
У багатьох випадках при характеристиці сукупності як узагальнюючий показник віддається перевага моді, а не середньої арифметичної. Так, щодо цін на ринку фіксується і вивчається в динаміці не середня ціна на певну продукцію, а модальна. При вивченні попиту населення на певний розмір взуття або одягу цікавить визначення модального номера, а не середній розмір, який взагалі не має значення. Якщо середня арифметична близька за значенням до моди, вона типова.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ РІШЕННЯ
Завдання 1
На сортонасінній станції щодо якості насіння пшениці було отримано таке визначення насіння за відсотком схожості:
Визначити моду.
Завдання 2
При реєстрації цін у години найбільш жвавої торгівлі в окремих продавців було зареєстровано такі ціни фактичного продажу (дол. за кг):
Картопля: 0,2; 0,12; 0,12; 0,15; 0,2; 0,2; 0,2; 0,15; 0,15; 0,15; 0,15; 0,12; 0,12; 0,12; 0,15.
Яловичина: 2; 2,5; 2; 2; 1,8; 1,8; 2; 2,2; 2,5; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 2,2; 2; 2; 2; 2.
Які ціни на картопля та яловичину є модальними?
Завдання 3
Є дані про заробітну плату 16 слюсарів цеху. Знайти модальний розмір заробітної плати.
У доларах: 118; 120; 124; 126; 130; 130; 130; 130; 132; 135; 138; 140; 140; 140; 142; 142.
Розрахунок медіани
Медіаною у статистиці називається варіанта, розташована в середині варіаційного ряду. Якщо дискретний ряд розподілу має непарне число членів ряду, то медіаною буде варіанта, що знаходиться в середині ранжованого ряду, тобто до суми частот додати 1 і все розділити на 2 результат і дасть порядковий номер медіани.
Якщо у варіаційному ряду парне число варіант, тоді медіаною буде половина суми двох серединних варіантів.
Для знаходження медіани в інтервальному варіаційному ряду визначаємо спочатку медіанний інтервал накопичених частот. Таким інтервалом буде така, кумулятивна (накопичена) частота якого дорівнює або перевищує половину суми частот. Накопичені частоти утворюються шляхом поступового підсумовування частот, починаючи з інтервалу з найменшим значенням ознаки.
Розрахунок медіани в інтервальному варіаційному ряді
Інтервали | Частоти ( f) | Кумулятивні (накопичені) частоти |
60–70 | 10 (10) | |
70–80 | 40 (10+30) | |
80–90 | 90 (40+50) | |
90–100 | 15 (90+60) | |
100–110 | 295 (150+145) | |
110–120 | 405 (295+110) | |
120–130 | 485 (405+80) | |
130–140 | 500 (485+15) | |
Сума: | ∑f = 500 |
Половина суми накопичених частот у прикладі дорівнює 250 (500: 2). Отже, медіанним інтервалом буде інтервал зі значенням 100–110.
До цього інтервалу сума накопичених частот становила 150. Отже, щоб отримати значення медіани, необхідно додати ще 100 одиниць (250 – 150). При визначенні значення медіани передбачається, що значення ознаки у межах інтервалу розподіляється рівномірно. Отже, якщо 145 одиниць, що знаходяться в цьому інтервалі, рівномірно розподілити в інтервалі, дорівнює 10, то 100 одиницям буде відповідати величина:
10: 145 '100 = 6,9.
Додавши отриману величину до мінімальної межі медіанного інтервалу, отримаємо значення медіани:
Або медіану в варіаційному інтервальному ряду можна обчислити за такою формулою:
,
де - Величина нижньої межі медіанного інтервалу (); - Величина медіанного інтервалу ( = 10); - Сума частот ряду (чисельність ряду 500); – сума накопичених частот в інтервалі, що передує медіанному (= 150); - Частота медіанного інтервалу ( = 145).