Правильний тетраедр (піраміда). Правильний тетраедр (піраміда) Через змішане твір векторів
З основної формули для обсягу тетраедра
де S– площа будь-якої грані, а H- Опущена на неї висота, можна вивести ще цілий ряд формул, що виражають обсяг через різні елементи тетраедра. Наведемо ці формули для тетраедра ABCD.
(2) ,
де ∠ ( AD,ABC) – кут між ребром ADта площиною грані ABC;
(3) ,
де ∠ ( ABC,ABD) – кут між гранями ABCі ABD;
де | AB,CD| - Відстань між протилежними ребрами ABі CD, ∠ (AB,CD) - Кут між цими ребрами.
Формули (2)–(4) можна використовуватиме знаходження величин кутів між прямими і площинами; особливо корисна формула (4), за допомогою якої можна знаходити відстань між прямими, що схрещуються. ABі CD.
Формули (2) та (3) аналогічні формулі S = (1/2)ab sin Cдля площі трикутника. Формулі S = rpаналогічна формула
де r– радіус вписаної сфери тетраедра, Σ – його повна поверхня (сума площ усіх граней). Є й гарна формула, що зв'язує обсяг тетраедра з радіусом Rйого описаної сфери ( формула Крелле):
де Δ – площа трикутника, сторони якого чисельно дорівнюють творам протилежних ребер ( AB× CD, AC× BD,AD× BC). З формули (2) та теореми косінусів для тригранних кутів (див. Сферична тригонометрія) можна вивести формулу, аналогічну формулі Герона для трикутників.
Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ стереометрія, завдання про піраміду). Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. У задачах замість символу "квадратний корінь" застосовується функція sqrt(), у якій sqrt - символ квадратного кореня, а дужках зазначено підкорене вираз.Для простих підкорених виразів можна використовувати знак "√". Правильний тетраедр- це правильна трикутна піраміда, у якої всі грані є рівносторонніми трикутниками.У правильного тетраедра всі двогранні кути при ребрах і тригранні кути при вершинах рівні
У тетраедра 4 грані, 4 вершини та 6 ребер.
Основні формули для правильного тетраедра наведені у таблиці.
Де:
S - Площа поверхні правильного тетраедра
V - обсяг
h - висота, опущена на основу
r - радіус вписаного в тетраедр кола
R - радіус описаного кола
a - довжина ребра
Практичні приклади
Завдання.Знайдіть площу поверхні трикутної піраміди, у якої кожне ребро дорівнює √3
Рішення.
Оскільки всі ребра трикутної піраміди рівні – вона є правильною. Площа поверхні правильної трикутної піраміди дорівнює S = a 2 √3.
Тоді
S = 3√3
Відповідь: 3√3
Завдання.
Усі ребра правильної трикутної піраміди дорівнюють 4 см. Знайдіть об'єм піраміди
Рішення.
Оскільки у правильній трикутній піраміді висота піраміди проектується в центр основи, який одночасно є центром описаного кола, то
AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3/3
Таким чином, висота піраміди OM може бути знайдена з прямокутного трикутника AOM
AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3/3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3
Об'єм піраміди знайдемо за формулою V = 1/3 Sh
При цьому площу основи знайдемо за формулою S = √3/4 a 2
V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3
Відповідь: 16√2 / 3 см
Визначення тетраедра
Тетраедр– найпростіше багатогранне тіло, гранями та основою якого є трикутники.
Онлайн-калькулятор
Тетраедр має чотири грані, кожна з яких утворена трьома сторонами. Вершин у тетраедра чотири, з кожної виходить по три ребра.
Це тіло поділяється на кілька видів. Нижче наведено їхню класифікацію.
- Рівногранний тетраедр- у нього всі грані є однаковими трикутниками;
- Ортоцентричний тетраедр- Усі висоти, проведені з кожної вершини на протилежну грань, є однаковими по довжині;
- Прямокутний тетраедр- ребра, що виходять з однієї вершини, утворюють один з одним кут 90 градусів;
- Каркасний;
- Пропорційний;
- Інцентричний.
Формули обсягу тетраедра
Обсяг цього тіла можна знайти декількома способами. Розберемо їх докладніше.
Через змішаний твір векторів
Якщо тетраедр побудований на трьох векторах з координатами:
A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a x , a y , a z )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x , b y , b z )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c x , c y , c z ) ,
тоді обсяг цього тетраедра це змішаний добуток цих векторів, тобто такий визначник:
Об'єм тетраедра через визначникV = 1 6 ⋅ ∣ a x a y z b x b y b z c x c y c z ∣ V = \ frac (1) (6) \ cdot \ begin (vmatrix) a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z \ )V =6 1 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a x b x c x a y b y c y a z b z c z ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
Завдання 1Відомі координати чотирьох вершин октаедра. A(1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9), B (8, 7, 3) B (8,7,3) B (8, 7, 3), C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1, 2, 3), D (7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 ). Знайдіть його обсяг.
Рішення
A(1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B (8,7,3) B (8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1, 2, 3)
D (7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 )
Першим кроком є визначення координат векторів, на яких побудовано це тіло.
Для цього необхідно знайти кожну координату вектора шляхом віднімання відповідних координат двох точок. Наприклад, координати вектора A B → \overrightarrow(AB) A Bтобто вектора, спрямованого від точки A A Aдо точки B B B, це різниці відповідних координат точок B B Bі A A A:
A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )
A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C=
(1
−
1
,
2
−
4
,
3
−
9
)
=
(0
,
−
2
,
−
6
)
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D=
(7
−
1
,
1
2
−
4
,
1
−
9
)
=
(6
,
8
,
−
8
)
Тепер знайдемо змішаний добуток даних векторів, для цього складемо визначник третього порядку, приймаючи при цьому, що A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= a, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= c.
∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (−2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ (−6) ⋅ (−2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmat a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\\end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\\end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2) cdot6 - 7 cdot (-6) cdot8 - 3 cdot0 cdot (-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a x b x cx ay by cy az bz cz ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 7 0 6 3 − 2 8 − 6 − 6 − 8 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8
Тобто обсяг тетраедра дорівнює:
V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y z b x b y b z c x c y c z ∣ = 1 6 ⋅ ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 1(6) ⋅ 268 ≈ 44. (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end(vmatrix)=\frac(1)(6)\cdot \begin(vmatrix) 7 & 3 & - 6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=\frac(1)(6)\cdot268\approx44.8\text( см)^3
Відповідь
44.8 см 3 . 44.8\text(см) ^3.
Формула обсягу рівногранного тетраедра з його боку
Ця формула справедлива лише для обчислення обсягу рівногранного тетраедра, тобто такого тетраедра, у якого всі грані є правильними однаковими трикутниками.
Об'єм рівногранного тетраедраV = 2 ⋅ a 3 12 V=\frac(\sqrt(2)\cdot a^3)(12)
a a
Завдання 2Визначити обсяг тетраедра, якщо дана його сторона, що дорівнює 11 см 11\text( см)
Рішення
a = 11 a = 11
Підставляємо a a
V = 2 ⋅ a 3 12 = 2 ⋅ 1 1 3 12 ≈ 156.8 см 3 V=\frac(\sqrt(2)\cdot a^3)(12)=\frac(\sqrt(2)\cdot 11^ 3) (12) \ approx156.8 \ text (см) ^ 3
Відповідь
156.8 см 3 . 156.8 text (см) ^3.