Stovintis elastingas. Bangų trukdžiai
Į elastingą terpę patalpintas svyruojantis kūnas yra iš jo į visas puses sklindančių virpesių šaltinis. Virpesių sklidimo terpėje procesas vadinamas banga.
Kai banga sklinda, terpės dalelės nejuda kartu su banga, o svyruoja aplink savo pusiausvyros padėtis. Kartu su banga iš dalelės į dalelę perduodama tik vibracinio judėjimo būsena ir jos energija. Todėl pagrindinė visų bangų savybė, nepaisant jų prigimties, yra energijos perdavimas neperduodant materijos.
Bangos gali būti skersinės (svyravimai vyksta plokštumoje, statmenoje sklidimo krypčiai) ir išilginės (kondensacija ir terpės dalelių išleidimas vyksta sklidimo kryptimi).
Kai dvi vienodos bangos, turinčios vienodą amplitudę ir periodus, sklinda viena kitos link, stovinčios bangos kyla, kai jos persidengia. Stovinčias bangas gali sukelti atspindys nuo kliūčių. Tarkime, kad emiteris siunčia bangą kliūtims (kritimo banga). Nuo jos atsispindinti banga bus uždėta ant krintančios bangos. Stovinčios bangos lygtį galima gauti pridedant krintančios bangos lygtį
(Labai svarbus trukdžių atvejis pastebimas, kai dedamos dvi priešingai sklindančios vienodos amplitudės plokštumos bangos. Atsiradęs virpesių procesas vadinamas stovinčia banga. Praktiškai stovinčios bangos kyla atsispindėjus nuo kliūčių.)
Ši lygtis vadinama bangų lygtimi. Bet kuri šią lygtį tenkinanti funkcija apibūdina tam tikrą bangą.
Bangos lygtis
yra išraiška, kuri suteikia šališkumas
svyruojantis taškas kaip jo koordinačių funkcija ( x, y, z) ir laikas t.
Ši funkcija turi būti periodinė tiek laiko, tiek koordinačių atžvilgiu (banga yra sklindantis svyravimas, todėl periodiškai pasikartojantis judėjimas). Be to, taškai, esantys l atstumu vienas nuo kito, vibruoja taip pat.
- Tai plokštumos bangų lygtis.
Lygtis (5.2.3) turės tokią pačią formą, jei vibracijos sklinda išilgai ašies y arba z
IN bendras vaizdas plokštumos bangų lygtis parašyta taip:
Išraiškos (5.2.3) ir (5.2.4) yra keliaujančios bangos lygtys .
(5.2.3) lygtis apibūdina bangą, sklindančią didėjimo kryptimi x. Priešinga kryptimi sklindanti banga turi tokią formą:
Supažindinkime bangos numeris , arba vektorine forma:
kur yra bangos vektorius ir yra bangos paviršiaus normalioji.
Nuo tada. Iš čia. Tada plokštumos bangų lygtis bus parašyta taip:
sferinės bangos lygtis:
Kur A lygi amplitudei atstumu nuo šaltinio lygi vienetui.
BANGOS VEKTORIAUS- vektorius k, kuris nustato plokščiosios monochromatinės sklidimo kryptį ir erdvinį periodą. bangos
kur yra pastovi bangos amplitudė ir fazė, yra apskritas dažnis, r- spindulio vektorius. Modulis V.V. paskambino bangos numeris k= , Kur - erdvinis periodas arba bangos ilgis. E. kryptimi. įvyksta greičiausiai bangos fazės pokytis, todėl ji imama sklidimo kryptimi. Fazės judėjimo šia kryptimi greitis arba fazės greitis nustatomas pagal bangos skaičių .. c.
Labai svarbus trukdžių atvejis įvyksta tada, kai uždedamos vienodos amplitudės plokštumos bangos. Atsiradęs virpesių procesas vadinamas stovinti banga.
Beveik stovinčios bangos kyla, kai bangos atsispindi nuo kliūčių. Ant kliūties krentanti banga ir jos link einanti atsispindėjusi banga, besiklojančios viena ant kitos, suteikia stovinčią bangą.
Panagrinėkime dviejų vienodos amplitudės sinusoidinių plokštuminių bangų, sklindančių priešingomis kryptimis, trukdžių rezultatą.
Dėl samprotavimo paprastumo darykime prielaidą, kad abi bangos sukelia svyravimus toje pačioje fazėje pradžioje.
Šių svyravimų lygtys yra tokios formos:
Sudėjus abi lygtis ir transformuojant rezultatą, naudojant sinusų sumos formulę gauname:
- stovinčios bangos lygtis.
Palyginus šią lygtį su harmoninių virpesių lygtimi, matome, kad gaunamų virpesių amplitudė yra lygi:
Nuo , ir tada .
Terpės taškuose, kur , nėra vibracijų, t.y. . Šie taškai vadinami stovinčios bangos mazgai.
Taškuose, kur , svyravimų amplitudė turi didžiausia vertė, lygus. Šie taškai vadinami stovinčios bangos antimazgai. Antinodų koordinatės randamos iš sąlygos, nes , Tai.
Iš čia:
Panašiai mazgų koordinatės randamos iš sąlygos:
Kur:
Iš mazgų ir antimazgų koordinačių formulių išplaukia, kad atstumas tarp gretimų antimazgų, taip pat atstumai tarp gretimų mazgų yra lygus . Antimazgai ir mazgai pasislenka vienas kito atžvilgiu ketvirtadaliu bangos ilgio.
Palyginkime stovinčios ir keliaujančios bangos virpesių prigimtį. Keliaujančioje bangoje kiekvienas taškas patiria svyravimus, kurių amplitudė nesiskiria nuo kitų taškų amplitudės. Tačiau įvairių taškų svyravimai atsiranda su skirtingos fazės.
Stovinčioje bangoje visos terpės dalelės, esančios tarp dviejų gretimų mazgų, svyruoja toje pačioje fazėje, bet skirtingomis amplitudėmis. Einant per mazgą, virpesių fazė staigiai pasikeičia , nes ženklas pasikeičia.
Grafiškai stovinčią bangą galima pavaizduoti taip:
Laiko momentu, kai , visi terpės taškai turi didžiausius poslinkius, kurių kryptį lemia ženklas . Šie poslinkiai paveiksle parodyti vientisomis rodyklėmis.
Po ketvirčio laikotarpio, kai , visų taškų poslinkiai yra lygūs nuliui. Dalelės praeina per liniją skirtingu greičiu.
Praėjus dar ketvirčiui laikotarpio, kai , dalelės vėl turės didžiausią poslinkį, bet priešinga kryptimi (punktyrinės rodyklės).
Aprašant svyravimo procesus elastingose sistemose, svyruojančiu dydžiu galima laikyti ne tik poslinkį, bet ir dalelių greitį, taip pat santykinę terpės deformaciją.
Norėdami rasti stovinčios bangos greičio kitimo dėsnį, diferencijuojame pagal stovinčios bangos poslinkio lygtį, o norėdami rasti deformacijos kitimo dėsnį – pagal stovinčios bangos lygtį.
Analizuodami šias lygtis, matome, kad greičio mazgai ir antimazgai sutampa su poslinkio mazgais ir antimazgais; deformacijos mazgai ir antimazgai atitinkamai sutampa su greičio ir poslinkio antimazgais ir mazgais.
Stygų vibracijos
Įtemptoje stygoje, pritvirtintoje abiejuose galuose, sužadinus skersinius virpesius, susidaro stovinčios bangos, o mazgai turi būti išdėstyti tose vietose, kur styga fiksuojama. Todėl stygoje sužadinami tik tokie virpesiai, kurių pusė ilgio atitinka sveikąjį skaičių kartų per stygos ilgį.
Tai reiškia tokią sąlygą:
kur yra eilutės ilgis.
Arba kitaip. Šie bangos ilgiai atitinka dažnius, kur yra bangos fazinis greitis. Jos dydį lemia stygos įtempimo jėga ir jos masė.
At - pagrindinis dažnis.
At - natūralių dažnių virpesių stygos arba obertonai.
Doplerio efektas
Panagrinėkime paprasčiausius atvejus, kai bangų šaltinis ir stebėtojas terpės atžvilgiu juda ta pačia tiesia linija:
1. Garso šaltinis juda terpės atžvilgiu greičiu , garso imtuvas yra ramybės būsenoje.
Šiuo atveju svyravimo periodu garso banga nutols nuo šaltinio per atstumą, o pats šaltinis – atstumu, lygiu .
Jei šaltinis pašalinamas iš imtuvo, t.y. judėti bangos sklidimo krypčiai priešinga kryptimi, tada bangos ilgis .
Jeigu garso šaltinis priartinamas prie imtuvo, t.y. judėti bangos sklidimo kryptimi, tada .
Imtuvo suvokiamas garso dažnis yra:
Pakeiskime jų reikšmes abiem atvejais:
Atsižvelgiant į tai, kad kur yra šaltinio virpesių dažnis, lygybė bus tokia forma:
Šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalinkime iš , tada:
2. Garso šaltinis yra nejudantis, o imtuvas juda terpės atžvilgiu dideliu greičiu.
Šiuo atveju bangos ilgis terpėje nesikeičia ir vis tiek yra lygus. Tuo pačiu metu dvi iš eilės amplitudės, kurios skiriasi laiku vienu svyravimų periodu, pasiekusios judantį imtuvą, skirsis laike momentais, kai banga susitinka su imtuvu tam tikrą laikotarpį, kurio reikšmė yra didesnė ar mažesnė. priklausomai nuo to, ar imtuvas tolsta, ar artėja prie šaltinio garso. Laikui bėgant garsas nukeliauja, o imtuvas – per atstumą. Šių dydžių suma suteikia mums bangos ilgį:
Imtuvo suvokiamas svyravimų periodas yra susijęs su šių svyravimų dažniu santykiu:
Vietoj to, pakeitę išraišką lygybe (1), gauname:
Nes , kur yra šaltinio virpesių dažnis ir , tada:
3. Garso šaltinis ir imtuvas juda terpės atžvilgiu. Sujungę rezultatus, gautus dviem ankstesniais atvejais, gauname:
Garso bangos
Jei ore sklindančių elastinių bangų dažnis svyruoja nuo 20 iki 20 000 Hz, tai pasiekusios žmogaus ausį sukelia garso pojūtį. Todėl bangos, esančios šiame dažnių diapazone, vadinamos garsu. Vadinamos elastingos bangos, kurių dažnis mažesnis nei 20 Hz infragarsas . Vadinamos bangos, kurių dažnis didesnis nei 20 000 Hz ultragarsu. Žmogaus ausis negirdi ultragarso ir infragarso.
Garso pojūčiams būdingas aukštis, tembras ir garsumas. Garso aukštis nustatomas pagal vibracijos dažnį. Tačiau garso šaltinis skleidžia ne vieną, o visą dažnių spektrą. Tam tikrame garse esančių vibracijų dažnių rinkinys vadinamas jo akustinis spektras. Vibracijos energija paskirstoma tarp visų akustinio spektro dažnių. Garso aukštis nustatomas pagal vieną – pagrindinį dažnį, jei šis dažnis sudaro žymiai didesnį energijos kiekį nei kitų dažnių dalis.
Jei spektras susideda iš daugelio dažnių, esančių dažnių diapazone nuo iki , tai toks spektras vadinamas kietas(pavyzdys – triukšmas).
Jei spektras susideda iš diskrečiųjų dažnių virpesių rinkinio, tai toks spektras vadinamas valdė(pavyzdys – muzikos garsai).
Garso akustinis spektras, priklausomai nuo jo pobūdžio ir energijos pasiskirstymo tarp dažnių, lemia garso pojūčio unikalumą, vadinamą garso tembru. Skirtingi muzikos instrumentai turi skirtingą akustinį spektrą, t.y. skiriasi garso tembru.
Garso intensyvumą apibūdina įvairūs dydžiai: terpės dalelių virpesiai, jų greičiai, slėgio jėgos, įtempiai jose ir kt.
Jis apibūdina kiekvieno iš šių dydžių virpesių amplitudę. Tačiau kadangi šie dydžiai yra tarpusavyje susiję, patartina įvesti vieną energijos charakteristiką. Ši charakteristika bet kokio tipo bangoms buvo pasiūlyta 1877 m. N.A. Umovovas.
Mintimis iškirpkime platformą iš keliaujančios bangos priekio. Per tą laiką ši sritis pasislinks atstumu , kur yra bangos greitis.
Pažymėkime svyruojančios terpės tūrio vieneto energija. Tada viso tūrio energija bus lygi .
Šią energiją laikui bėgant perdavė banga, sklindanti per teritoriją.
Padalinę šią išraišką iš ir , gauname energiją, kurią banga perduoda per ploto vienetą per laiko vienetą. Šis dydis žymimas raide ir vadinamas Umov vektorius
Garso laukui vektorius Umov vadinamas garso stiprumu.
Garso intensyvumas yra fizinė garso stiprumo charakteristika. Vertiname subjektyviai, kaip apimtis garsas. Žmogaus ausis suvokia garsus, kurių stiprumas viršija tam tikrą minimalią vertę, skirtingą skirtingiems dažniams. Ši vertė vadinama klausos slenkstis garsas. Hz dydžio vidutiniams dažniams klausos slenkstis yra maždaug .
Esant labai dideliam garso intensyvumui, garsą suvokia kiti lytėjimo organai nei ausis ir sukelia skausmą ausyse.
Intensyvumo vertė, kuriai esant tai įvyksta, vadinama skausmo slenkstis. Skausmo slenkstis, kaip ir klausos slenkstis, priklauso nuo dažnio.
Žmogus turi gana sudėtingą garsų suvokimo aparatą. Garso virpesiai surenkami ausies kakleliu ir per klausos kanalą patenka į ausies būgnelį. Jo vibracijos perduodamos į nedidelę ertmę, vadinamą sraigė. Sraigės viduje yra daug skaidulų, turinčių skirtingą ilgį ir įtampą, taigi ir skirtingus natūralius vibracijos dažnius. Veikiant garsui, kiekviena iš skaidulų rezonuoja į toną, kurio dažnis sutampa su natūraliu pluošto dažniu. Klausos aparato rezonansinių dažnių rinkinys nustato garso virpesių sritį, kurią mes suvokiame.
Mūsų ausų subjektyviai vertinamas garsumas didėja daug lėčiau nei garso bangų intensyvumas. Nors intensyvumas didėja eksponentiškai, tūris didėja eksponentiškai. aritmetinė progresija. Tuo remiantis garsumo lygis nustatomas kaip konkretaus garso intensyvumo santykio su garsu, kuris laikomas originaliu, santykio logaritmas.
Garsumo lygio vienetas vadinamas baltas. Taip pat naudojami mažesni vienetai - decibelų(10 kartų mažiau nei balta).
kur yra garso sugerties koeficientas.
Garso sugerties koeficiento reikšmė didėja proporcingai garso dažnio kvadratui, todėl žemi garsai keliauja toliau nei aukšti.
Architektūrinėje akustikoje didelėms patalpoms reikšmingas vaidmuo vaidina atgarsis arba aidi kambariai. Garsai, patiriantys daugybę atspindžių nuo gaubiančių paviršių, klausytojo suvokiami gana ilgą laiką. Tai padidina mus pasiekiančio garso stiprumą, tačiau jei aidėjimas yra per ilgas, atskiri garsai persidengia vienas su kitu ir kalba nebebus suvokiama aiškiai. Todėl salių sienos yra padengtos specialiomis garsą sugeriančiomis medžiagomis, mažinančiomis aidėjimą.
Garso virpesių šaltinis gali būti bet koks vibruojantis kūnas: varpo liežuvis, kamertonas, smuiko styga, oro stulpelis pučiamuosiuose instrumentuose ir kt. tie patys kūnai taip pat gali tarnauti kaip garso imtuvai, kai jie juda veikiami aplinkos vibracijų.
Ultragarsas
Norint gauti kryptį, t.y. arti plokščiosios bangos, emiterio matmenys turi būti daug kartų didesni už bangos ilgį. Garso bangos ore yra iki 15 m ilgio skystuose ir kietuose kūnuose bangos ilgis yra dar ilgesnis. Todėl praktiškai neįmanoma pastatyti radiatorių, kuris sukurtų tokio ilgio nukreiptą bangą.
Ultragarso virpesių dažnis viršija 20 000 Hz, todėl jų bangos ilgis yra labai trumpas. Mažėjant bangos ilgiui, mažėja ir difrakcijos vaidmuo bangos sklidimo procese. Todėl ultragarso bangos gali būti gaminamos nukreiptų spindulių pavidalu, panašiai kaip šviesos pluoštai.
Ultragarso bangoms sužadinti naudojami du reiškiniai: atvirkštinis pjezoelektrinis efektas Ir magnetostrikcija.
Atvirkštinis pjezoelektrinis efektas yra tai, kad kai kurių kristalų plokštelė (rochelle druska, kvarcas, bario titanatas ir kt.), veikiant elektriniam laukui, šiek tiek deformuojasi. Įdėdami jį tarp metalinių plokščių, kurioms taikoma kintamoji įtampa, galite sukelti priverstiniai svyravimaiįrašų. Šios vibracijos perduodamos aplinką ir generuoti jame ultragarso bangą.
Magnetostrikcija – tai feromagnetinių medžiagų (geležies, nikelio, jų lydinių ir kt.) poveikis. magnetinis laukas deformuota. Todėl įdėjus feromagnetinį strypą į kintamąjį magnetinį lauką, galima sužadinti mechaninius virpesius.
Didelės akustinių greičių ir pagreičių vertės, taip pat gerai išvystyti ultragarsinių virpesių tyrimo ir priėmimo metodai leido juos panaudoti sprendžiant daugelį techninių problemų. Išvardinkime kai kuriuos iš jų.
1928 metais sovietų mokslininkas S.Ya. Sokolovas pasiūlė ultragarsą naudoti defektų nustatymo tikslams, t.y. metalo gaminiuose paslėptų vidinių defektų, tokių kaip ertmės, įtrūkimai, laisvumas, šlako intarpai ir kt., aptikimui. Jei defekto dydis viršija ultragarso bangos ilgį, ultragarso impulsas atsispindi nuo defekto ir grįžta atgal. Siunčiant į gaminį ultragarso impulsus ir registruojant atspindėtus aido signalus, galima ne tik aptikti gaminių defektus, bet ir spręsti apie šių defektų dydį bei vietą. Šiuo metu šis metodas plačiai naudojamas pramonėje.
Kryptiniai ultragarsiniai spinduliai buvo plačiai pritaikyti vietos nustatymo tikslams, t.y. aptikti vandenyje esančius objektus ir nustatyti atstumą iki jų. Ultragarsinės vietos idėją pirmasis pasiūlė puikus prancūzų fizikas P. Langevinas ir buvo jo sukurtas per Pirmąjį pasaulinį karą povandeniniams laivams aptikti. Šiuo metu sonaro principais aptinkami ledkalniai, žuvų būriai ir kt. Šiais metodais galima nustatyti ir jūros gylį po laivo dugnu (echolotas).
Ultragarso bangos didelė amplitudėŠiuo metu plačiai naudojama kietų medžiagų mechaninio apdorojimo, smulkių objektų (laikrodžio mechanizmų dalių, vamzdynų ir kt.) valymo, į skystį dedamų, degazavimo ir kt.
Ultragarso bangos, sukeldamos stiprias slėgio pulsacijas terpėje jų prasilenkimo metu, sukelia daugybę specifinių reiškinių: skystyje suspenduotų dalelių šlifavimą (dispersiją), emulsijų susidarymą, difuzijos procesų pagreitėjimą, aktyvavimą. cheminės reakcijos, poveikis biologiniams objektams ir kt.
6.1 Stovinčios bangos elastingoje terpėje
Pagal superpozicijos principą, kai elastingoje terpėje vienu metu sklinda kelios bangos, atsiranda jų superpozicija, o bangos viena kitos netrukdo: terpės dalelių svyravimai yra vektorinė svyravimų suma, kurią dalelės padarytų. jei kiekviena banga sklistų atskirai .
Bangos, sukuriančios terpės virpesius, kurių fazių skirtumai yra pastovūs kiekviename erdvės taške, vadinami nuoseklus.
Pridėjus koherentines bangas, atsiranda reiškinys trukdžių, kuris susideda iš to, kad kai kuriuose erdvės taškuose bangos stiprina viena kitą, o kituose – susilpnina. Svarbus trukdžių atvejis pastebimas, kai dedamos dvi to paties dažnio ir amplitudės priešingai sklindančios plokštumos bangos. Šiuo atveju kylančios vibracijos vadinamos stovinti banga. Dažniausiai stovinčios bangos kyla, kai nuo kliūties atsispindi keliaujanti banga. Šiuo atveju krintanti banga ir jos link atsispindėjusi banga, pridėjus, suteikia stovinčią bangą.
Gauname stovinčios bangos lygtį. Paimkime dvi plokštumos harmonines bangas, sklindančias viena link kitos išilgai ašies X ir kurių dažnis ir amplitudė yra vienodi:
Kur – terpės taškų svyravimų fazė, praeinant pirmajai bangai;
– terpėje esančių taškų svyravimų fazė, praeinant antrajai bangai.
Fazių skirtumas kiekviename ašies taške X tinklas nepriklausys nuo laiko, t.y. bus pastovus:
Todėl abi bangos bus nuoseklios.
Terpės dalelių vibracija, atsirandanti pridedant nagrinėjamų bangų, bus tokia:
Paverskime kampų kosinusų sumą pagal taisyklę (4.4) ir gaukime:
Pergrupuodami veiksnius gauname:
Norėdami supaprastinti išraišką, atskaitos tašką pasirenkame taip, kad fazių skirtumas ir laiko skaičiavimo pradžia, kad fazių suma būtų lygi nuliui: .
Tada bangų sumos lygtis bus tokia:
Lygtis (6.6) vadinama stovinčios bangos lygtis. Tai rodo, kad stovinčios bangos dažnis yra lygus keliaujančios bangos dažniui, o amplitudė, skirtingai nei keliaujančios bangos, priklauso nuo atstumo nuo pradžios:
. (6.7)
Atsižvelgiant į (6.7), stovinčios bangos lygtis yra tokia:
. (6.8)
Taigi terpės taškai svyruoja dažniu, sutampančiu su slenkančios bangos dažniu ir amplitude a, priklausomai nuo taško padėties ašyje X. Atitinkamai, amplitudė kinta pagal kosinuso dėsnį ir turi savo maksimumus ir minimumus (6.1 pav.).
|
Norėdami vizualiai parodyti amplitudės minimumų ir maksimumų vietą, pagal (5.29) bangos skaičių pakeičiame jo reikšme:
Tada amplitudės išraiška (6.7) įgis tokią formą
(6.10)
Iš to tampa aišku, kad poslinkio amplitudė yra didžiausia , t.y. taškuose, kurių koordinatės tenkina sąlygą:
, (6.11)
Kur
Iš čia gauname taškų, kuriuose poslinkio amplitudė yra didžiausia, koordinates:
; (6.12)
Vadinami taškai, kuriuose terpės virpesių amplitudė yra didžiausia bangos antinodai.
Bangos amplitudė lygi nuliui taškuose, kur . Tokių taškų koordinatės, vadinamos bangų mazgai, atitinka sąlygą:
, (6.13)
Kur
Iš (6.13) aišku, kad mazgų koordinatės turi šias reikšmes:
, (6.14)
Fig. 6.2 paveiksle parodytas apytikslis stovinčios bangos vaizdas, pažymėtos mazgų ir antimazgų vietos. Galima pastebėti, kad kaimyniniai mazgai ir poslinkio antimazgai yra nutolę vienas nuo kito tokiu pačiu atstumu.
|
Raskime atstumą tarp gretimų antimazgų ir mazgų. Iš (6.12) gauname atstumą tarp antimazgų:
(6.15)
Atstumas tarp mazgų gaunamas iš (6.14):
(6.16)
Iš gautų ryšių (6.15) ir (6.16) aišku, kad atstumas tarp gretimų mazgų, taip pat tarp gretimų antimazgų yra pastovus ir lygus ; mazgai ir antimazgai yra pasislinkę vienas kito atžvilgiu (6.3 pav.).
Iš bangos ilgio apibrėžimo galime parašyti stovinčios bangos ilgio išraišką: ji lygi pusei keliaujančios bangos ilgio:
Parašykime, atsižvelgdami į (6.17), mazgų ir antimazgų koordinačių išraiškas:
, (6.18)
, (6.19)
Stovėjusios bangos amplitudę lemiantis veiksnys, eidamas per nulinę reikšmę, keičia savo ženklą, dėl to skirtingose mazgo pusėse vykstančių virpesių fazė skiriasi . Vadinasi, visi taškai, esantys priešingose mazgo pusėse, svyruoja priešfazėje. Visi taškai, esantys tarp gretimų mazgų, svyruoja fazėje.
|
Mazgai sąlyginai padalija aplinką į autonomines sritis, kuriose harmonines vibracijas atliekami savarankiškai. Nėra judesio perdavimo tarp regionų, todėl nėra energijos srauto tarp regionų. Tai reiškia, kad išilgai ašies trikdžių neperduodama. Štai kodėl banga vadinama stovinčia banga.
Taigi stovinčioji banga susidaro iš dviejų priešingos krypties vienodo dažnio ir amplitudės slenkančių bangų. Kiekvienos iš šių bangų Umov vektoriai yra vienodo dydžio ir priešingos krypties, o sudėjus jie duoda nulį. Vadinasi, stovinti banga neperduoda energijos.
6.2 Stovėjusių bangų pavyzdžiai
6.2.1 Stovinčios bangos stygoje
Panagrinėkime ilgio eilutę L, fiksuotas abiejuose galuose (6.4 pav.).
Išilgai eilutės pastatykime ašį X kad kairiajame eilutės gale būtų koordinatė x=0, o teisingas - x = L. Virpesiai atsiranda eilutėje, aprašyta lygtimi:
Užrašykime nagrinėjamos eilutės ribines sąlygas. Kadangi jo galai yra fiksuoti, tada taškuose su koordinatėmis x=0 Ir x = L be dvejonių:
(6.22)
Raskime stygų svyravimų lygtį pagal parašytas ribines sąlygas. Parašykime lygtį (6.20) kairiajam eilutės galui, atsižvelgdami į (6.21):
Santykis (6.23) patenkinamas bet kuriuo metu t dviem atvejais:
1. . Tai įmanoma, jei eilutėje () nėra vibracijų. Ši byla nedomina ir mes jos nenagrinėsime.
2. . Čia yra fazė. Šis atvejis leis mums gauti stygų virpesių lygtį.
Pakeiskime gautą fazės reikšmę į ribinę sąlygą (6.22) dešiniajame eilutės gale:
. (6.25)
Atsižvelgiant į tai
, (6.26)
iš (6.25) gauname:
Vėlgi, iškyla du atvejai, kai santykis (6.27) tenkinamas. Mes nenagrinėsime atvejo, kai eilutėje nėra vibracijų ().
Antruoju atveju lygybė turi būti įvykdyta:
ir tai įmanoma tik tada, kai sinuso argumentas yra sveikojo skaičiaus kartotinis:
Atsisakome vertės, nes šiuo atveju ir tai reikštų nulinį eilutės ilgį ( L = 0) arba bangos skaičius k=0. Atsižvelgiant į bangos skaičiaus ir bangos ilgio ryšį (6.9), aišku, kad tam, kad bangos skaičius būtų lygus nuliui, bangos ilgis turėtų būti begalinis, o tai reikštų, kad nėra svyravimų.
Iš (6.28) aišku, kad bangos skaičius, kai svyruoja abiejuose galuose fiksuota eilutė, gali turėti tik tam tikras atskiras reikšmes:
Atsižvelgdami į (6.9), rašome (6.30) tokia forma:
iš kurios gauname galimų bangos ilgių eilutėje išraišką:
Kitaip tariant, per stygos ilgį L turi tilpti į sveikąjį skaičių n pusės bangos:
Atitinkamus virpesių dažnius galima nustatyti pagal (5.7):
Čia yra bangos fazinis greitis, priklausomai nuo (5.102) nuo stygos linijinio tankio ir stygos įtempimo jėgos:
Pakeitę (6.34) į (6.33), gauname išraišką, apibūdinančią galimus eilutės virpesių dažnius:
, (6.36)
Dažniai vadinami natūralūs dažniai stygos. Dažnis (at n = 1):
(6.37)
paskambino pagrindinis dažnis(arba pagrindinis tonas) stygos. Dažnis nustatytas n>1 yra vadinami obertonai arba harmonikų. Harmoninis skaičius yra n-1. Pavyzdžiui, dažnis:
atitinka pirmąją harmoniką ir dažnį:
atitinka antrąją harmoniką ir kt. Kadangi eilutę galima pavaizduoti kaip diskrečią sistemą su begaliniu laisvės laipsnių skaičiumi, kiekviena harmonika yra mada stygų vibracijos. Bendruoju atveju stygų virpesiai reiškia režimų superpoziciją.
Kiekviena harmonika turi savo bangos ilgį. Pagrindiniam tonui (su n= 1) bangos ilgis:
atitinkamai pirmajai ir antrai harmonikai (at n= 2 ir n= 3) bangos ilgiai bus:
6.5 paveiksle parodytas kelių vibracijos režimų, kuriuos atlieka styga, išvaizda.
Taigi, eilutė su fiksuotais galais realizuojasi rėmuose klasikinė fizika išskirtinis atvejis yra diskretiškas virpesių dažnių (arba bangų ilgių) spektras. Elastinis strypas su vienu arba abiem prispaustais galais ir oro stulpelio virpesiais vamzdžiuose elgiasi taip pat, kaip bus aptarta tolesniuose skyriuose.
6.2.2 Pradinių sąlygų įtaka judėjimui
ištisinė eilutė. Furjė analizė
Stygos su užspaustais galais virpesiai, be diskretiško virpesių dažnių spektro, turi dar vieną svarbus turtas: specifinė stygos virpesių forma priklauso nuo virpesių sužadinimo būdo, t.y. nuo pradinių sąlygų. Pažiūrėkime atidžiau.
Lygtis (6.20), apibūdinanti vieną stovinčios bangos režimą stygoje, yra specialus diferencialinės bangos lygties (5.61) sprendimas. Kadangi stygos vibracija susideda iš visų galimų režimų (stygai – begalinis skaičius), tada bendras sprendimas bangos lygtis (5.61) susideda iš begalinis skaičius privatūs sprendimai:
, (6.43)
Kur i– vibracijos režimo numeris. Išraiška (6.43) rašoma atsižvelgiant į tai, kad eilutės galai yra fiksuoti:
taip pat atsižvelgiant į dažnio ryšį i-tas režimas ir jo bangos numeris:
(6.46)
Čia – bangos skaičius i mada;
– 1-ojo režimo bangos numeris;
Raskime kiekvieno svyravimo režimo pradinės fazės reikšmę. Dėl to šiuo metu t = 0 suteikime eilutei funkcijos aprašytą formą f 0 (x), išraišką gauname iš (6.43):
. (6.47)
Fig. 6.6 paveiksle pateiktas funkcijos aprašytos eilutės formos pavyzdys f 0 (x).
|
Vienu metu t = 0 styga dar yra ramybės būsenoje, t.y. visų jo taškų greitis lygus nuliui. Iš (6.43) randame eilutės taškų greičio išraišką:
ir, pakeičiant jį t = 0, gauname eilutės taškų greičio pradiniu laiko momentu išraišką:
. (6.49)
Kadangi pradiniu laiko momentu greitis lygus nuliui, tai išraiška (6.49) bus lygi nuliui visiems eilutės taškams, jei . Iš to išplaukia, kad pradinė visų režimų fazė taip pat yra lygi nuliui (). Atsižvelgiant į tai, išraiška (6.43), apibūdinanti eilutės judėjimą, yra tokia:
, (6.50)
ir išraiška (6.47), apibūdinanti pradinė forma stygos, atrodo taip:
. (6.51)
Stovinčiąją bangą eilutėje apibūdina funkcija, kuri yra periodinė per intervalą , kur ji lygi dviem eilutės ilgiams (6.7 pav.):
Tai matyti iš to, kad periodiškumas intervale reiškia:
Vadinasi,
kuri mus veda į išraišką (6.52).
Nuo matematinė analizė Yra žinoma, kad bet kurią periodinę funkciją galima labai tiksliai išplėsti į Furjė eilutę:
, (6.57)
kur , , yra Furjė koeficientai.
7 skyrius. Mechaninės bangos
Bangos. Bangos lygtis
Be jau svarstytų judesių, beveik visose fizikos srityse randamas dar vienas judesių tipas - bangos. Išskirtinis bruožas Išskirtinis šis judėjimas yra tai, kad bangoje sklinda ne pačios materijos dalelės, o jų būsenos pokyčiai (perturbacijos).
Laikui bėgant erdvėje plintantys sutrikimai vadinami bangos . Bangos yra mechaninės ir elektromagnetinės.
Elastinės bangosyra plintantys tamprios terpės sutrikimai.
Tamprios terpės sutrikimas – tai bet koks šios terpės dalelių nukrypimas nuo pusiausvyros padėties. Sutrikimai atsiranda dėl terpės tam tikroje vietoje deformacijos.
Visų taškų, kuriuos banga pasiekė tam tikru laiku, rinkinys sudaro paviršių, vadinamą bangos frontas .
Pagal fronto formą bangos skirstomos į sferines ir plokščias. Kryptis nustatomas bangos fronto sklidimas statmenas bangos frontui, vadinamas sija . Sferinei bangai spinduliai yra radialiai besiskiriantis spindulys. Plokštumos bangai spinduliai yra lygiagrečių linijų spindulys.
Bet kurioje mechaninėje bangoje vienu metu egzistuoja du judėjimo tipai: terpės dalelių virpesiai ir trikdžių sklidimas.
Banga, kurioje terpės dalelių svyravimai ir trikdžių sklidimas vyksta viena kryptimi, vadinama išilginis (7.2 pav A).
Banga, kurioje terpės dalelės svyruoja statmenai trikdžių sklidimo krypčiai, vadinama skersinis (7.2 pav. b).
Išilginėje bangoje trikdžiai reiškia terpės suspaudimą (arba retėjimą), o skersinėje bangoje – kai kurių terpės sluoksnių poslinkius (kirpimus), palyginti su kitais. Išilginės bangos gali sklisti visose terpėse (skystose, kietose ir dujinėse), o skersinės – tik kietose.
Kiekviena banga sklinda tam tikru greičiu . Pagal bangos greitis υ suprasti trikdymo plitimo greitį. Bangos greitį lemia terpės, kurioje banga sklinda, savybės. IN kietosios medžiagos Išilginių bangų greitis yra didesnis už skersinių bangų greitį.
Bangos ilgisλ yra atstumas, per kurį banga sklinda per laiką, lygų virpesių periodui jos šaltinyje. Kadangi bangos greitis yra pastovi reikšmė (tam tikros terpės), bangos nukeliautas atstumas lygus greičio ir jos sklidimo laiko sandaugai. Taigi bangos ilgis
Iš (7.1) lygties matyti, kad dalelės, atskirtos viena nuo kitos intervalu λ, svyruoja toje pačioje fazėje. Tada galime pateikti tokį bangos ilgio apibrėžimą: bangos ilgis yra atstumas tarp dviejų artimiausių taškų, svyruojančių toje pačioje fazėje.
Išveskime plokštumos bangos lygtį, kuri leidžia bet kuriuo metu nustatyti bet kurio bangos taško poslinkį. Tegul banga sklinda išilgai spindulio iš šaltinio tam tikru greičiu v.
Šaltinis sužadina paprastus harmoninius virpesius, o bet kurio bangos taško poslinkis bet kuriuo metu nustatomas pagal lygtį
S = Asinωt (7,2)
Tada terpės taškas, esantis x atstumu nuo bangos šaltinio, taip pat atliks harmoninius svyravimus, tačiau su tam tikro dydžio vėlavimu, t.y. laikas, reikalingas virpesiams sklisti nuo šaltinio iki šio taško. Svyruojančio taško poslinkis pusiausvyros padėties atžvilgiu bet kuriuo metu bus aprašytas ryšiu
Tai yra plokštumos bangos lygtis. Ši banga pasižymi šiais parametrais:
· S – tamprios terpės taško, iki kurio pasiekė svyravimas, poslinkis iš pusiausvyros padėties;
· ω - ciklinis šaltinio generuojamų virpesių dažnis, kuriuo svyruoja ir terpės taškai;
· υ - bangos sklidimo greitis (fazės greitis);
· x – atstumas iki terpės taško, kurį pasiekė virpesiai ir kurio poslinkis lygus S;
· t – laikas, skaičiuojamas nuo svyravimų pradžios;
Į (7.3) išraišką įvedus bangos ilgį λ, plokštumos bangos lygtį galima parašyti taip:
(7. 4)
|
Bangų trukdžiai. Stovinčios bangos. Stovinčios bangos lygtis
Stovinčios bangos susidaro dėl dviejų to paties dažnio ω ir amplitudės A priešpriešinio sklidimo plokštuminių bangų interferencijos.
Įsivaizduokime, kad taške S yra vibratorius, iš kurio spinduliu SO sklinda plokštuminė banga. Taške O pasiekusi kliūtį banga atsispindės ir eis priešinga kryptimi, t.y. Išilgai pluošto sklinda dvi keliaujančios plokštumos bangos: pirmyn ir atgal. Šios dvi bangos yra nuoseklios, nes jas generuoja tas pats šaltinis ir, uždengtos viena ant kitos, trukdys viena kitai.
Dėl trukdžių atsirandanti terpės svyravimo būsena vadinama stovinčia banga.
Parašykime pirmyn ir atgal sklindančių bangų lygtį:
tiesiai - ; atvirkščiai -
kur S 1 ir S 2 yra savavališko SO spindulio taško poslinkis. Atsižvelgiant į sumos sinuso formulę, gautas poslinkis yra lygus
Taigi stovinčios bangos lygtis turi formą
Cosωt daugiklis rodo, kad visi SO pluošto terpės taškai atlieka paprastus harmoninius virpesius su dažniu. Išraiška vadinama stovinčios bangos amplitude. Kaip matote, amplitudę lemia taško padėtis ant spindulio SO (x).
Didžiausia vertė amplitudės turės taškus, kuriems
Arba (n = 0, 1, 2,…)
iš kur arba (4.70)
stovinčios bangos antimazgai .
Minimali vertė, lygus nuliui, turės tuos taškus, už kuriuos
Arba (n = 0, 1, 2,….)
iš kur arba (4.71)
Taškai, turintys tokias koordinates, vadinami stovinčios bangos mazgai . Palyginus (4.70) ir (4.71) išraiškas, matome, kad atstumas tarp gretimų antimazgų ir gretimų mazgų lygus λ/2.
Paveiksle ištisinė linija rodo terpės svyruojančių taškų poslinkį tam tikru laiko momentu, punktyrinė kreivė – tų pačių taškų padėtį per T/2. Kiekvienas taškas svyruoja amplitude, nulemta jo atstumo nuo vibratoriaus (x).
Skirtingai nuo keliaujančios bangos, stovinčioje bangoje energijos perdavimas nevyksta. Energija tiesiog pereina iš potencialo (esant maksimaliam taškų poslinkiui terpėje iš pusiausvyros padėties) į kinetinę (taškams pereinant per pusiausvyros padėtį) ribose tarp mazgų, kurie lieka nejudantys.
Visi stovinčios bangos taškai tarp mazgų svyruoja toje pačioje fazėje, o priešingose mazgo pusėse – antifazėje.
Stovinčios bangos kyla, pavyzdžiui, įtemptoje stygoje, pritvirtintoje abiejuose galuose, kai joje sužadinami skersiniai virpesiai. Be to, tvirtinimo vietose yra stovinčios bangos mazgai.
Jei oro stulpelyje, kurio vienas galas yra atviras, nustatoma stovinčioji banga (garso banga), tada atvirame gale susidaro antimazgas, o priešingame gale – mazgas.
Garsas. Doplerio efektas
Išilginės tamprios bangos, sklindančios dujose, skystyje ir kietose medžiagose, yra nematomos. Tačiau tam tikromis sąlygomis jie gali būti išgirsti. Taigi, jei sužadinsime ilgos plieninės liniuotės, įspaustos į spaustuką, virpesius, negirdėsime jos generuojamų bangų. Bet jei sutrumpinsime išsikišusią liniuotės dalį ir taip padidinsime jos svyravimų dažnį, pamatysime, kad liniuotė pradės skambėti.
Elastinės bangos, sukeliančios žmonėms klausos pojūčius, vadinamos garso bangos arba tiesiog garsas.
Žmogaus ausis geba suvokti elastingumą mechaninės bangos kurių dažnis ν nuo 16Hz iki 20000Hz. Tampriosios bangos, kurių dažnis ν<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20000Hz – ultragarsas.
Dažniai nuo 16 Hz iki 20 000 Hz vadinami garso dažniais. Bet koks kūnas (kietas, skystas ar dujinis), kuris vibruoja garso dažniu, sukuria aplinkoje garso bangą.
Dujose ir skysčiuose garso bangos sklinda išilginio suspaudimo ir retėjimo bangų pavidalu. Suspaudimas ir terpės retėjimas, atsirandantis dėl garso šaltinio virpesių (stygos, kamertono kojelės, balso stygos ir kt.), po kurio laiko pasiekia žmogaus ausį ir, priversdamas ausies būgnelį atlikti priverstines vibracijas, sukelia tam tikrus klausos garsus. pojūčiai žmoguje.
Vakuume garso bangos negali sklisti, nes nėra ko vibruoti. Tai galima patikrinti paprasta patirtimi. Jei po stikliniu oro siurblio dangteliu pastatysime elektrinį skambutį, tada išpumpuojant orą pastebėsime, kad garsas vis silpnės, kol visiškai sustos.
Garsas dujose. Yra žinoma, kad perkūnijos metu pirmiausia matome žaibo pliūpsnį ir tik tada išgirstame griaustinio dundesį. Šis delsimas atsiranda dėl to, kad garso greitis ore yra daug mažesnis už šviesos greitį. Garso greitį ore pirmasis išmatavo prancūzų mokslininkas Marinas Mersenas 1646 m. Esant +20ºС temperatūrai jis lygus 343 m/s, t.y. 1235 km/val.
Garso greitis priklauso nuo terpės temperatūros. Kylant temperatūrai jis didėja, o mažėjant – mažėja.
Garso greitis nepriklauso nuo dujų, kuriomis sklinda šis garsas, tankio. Tačiau tai priklauso nuo jo molekulių masės. Kuo didesnė dujų molekulių masė, tuo mažesnis garso greitis joje. Taigi, esant temperatūrai
0 ºС garso greitis vandenilyje yra 1284 m/s, o in anglies dvideginio– 259 m/s.
Garsas skysčiuose. Garso greitis skysčiuose paprastai yra didesnis nei garso greitis dujose. Garso greitis vandenyje pirmą kartą buvo išmatuotas 1826 m. Eksperimentai buvo atlikti Ženevos ežere Šveicarijoje. Viename laive jie padegė paraką ir tuo pačiu trenkė į vandenį nuleistą varpą. Šio varpo garsas, naudojant specialų ragelį, taip pat nuleistą į vandenį, buvo užfiksuotas kitoje valtyje, kuri buvo 14 km atstumu nuo pirmosios. Remiantis laiko skirtumu tarp šviesos blyksnio ir garso signalo atvykimo, buvo nustatytas garso greitis vandenyje. Esant 8 ºС temperatūrai, jis pasirodė lygus 1435 m/s.
Skysčiuose garso greitis paprastai mažėja didėjant temperatūrai. Vanduo yra šios taisyklės išimtis. Jame garso greitis didėja kylant temperatūrai ir pasiekia maksimumą esant 74 ºС temperatūrai, o toliau kylant temperatūrai – mažėja.
Reikia pasakyti, kad žmogaus ausis blogai „veikia“ po vandeniu. Dauguma garsas atsispindi nuo ausies būgnelio ir todėl klausos pojūčiai neskambina. Būtent tai vienu metu suteikė mūsų protėviams pagrindą laikyti povandeninį pasaulį „tylos pasauliu“. Taigi posakis „kvailas kaip žuvis“. Tačiau Leonardo da Vinci taip pat pasiūlė klausytis povandeninių garsų priglaudus ausį prie į vandenį nuleisto irklo. Naudodami šį metodą galite pastebėti, kad žuvys iš tikrųjų yra gana kalbios.
Garsas kietose medžiagose. Garso greitis kietose medžiagose yra dar didesnis nei skysčiuose. Tik čia reikėtų atsižvelgti į tai, kad tiek išilginės, tiek skersinės bangos. Šių bangų greitis, kaip žinome, yra skirtingas. Pavyzdžiui, pliene skersinės bangos sklinda 3300 m/s, o išilginės – 6100 m/s greičiu. Faktas yra tas, kad garso greitis yra tvirtas kūnas daugiau nei ore, galite patikrinti taip. Jei jūsų draugas atsitrenks į vieną bėgio galą, o jūs įkišite ausį prie kito galo, bus išgirsti du smūgiai. Garsas pirmiausia pasieks jūsų ausį per bėgelį, o tada per orą.
Žemė turi gerą laidumą. Todėl senais laikais apgulties metu tvirtovės sienose būdavo statomi „klausytojai“, kurie pagal žemės sklindantį garsą galėdavo nustatyti, ar priešas kapsto sienas, ar ne. Padėjus ausį prie žemės, buvo galima aptikti ir priešo kavalerijos artėjimą.
Be girdimų garsų, žemės pluta Taip pat plinta infragarso bangos, kurių žmogaus ausis nebegali suvokti. Tokios bangos gali kilti žemės drebėjimų metu.
Galingos infragarso bangos, sklindančios tiek žemėje, tiek ore, atsiranda ugnikalnių išsiveržimų ir sprogimų metu atominės bombos. Infragarso šaltiniai taip pat gali būti oro sūkuriai atmosferoje, krovinių išmetimai, ginklų šūviai, vėjas ir tekantys kalnagūbriai. jūros bangos, veikiantys reaktyviniai varikliai ir kt.
Ultragarso žmogaus ausis taip pat nesuvokia. Tačiau, pavyzdžiui, kai kurie gyvūnai sugeba jį išspinduliuoti ir užfiksuoti šikšnosparniai ir delfinai. Technologijoje ultragarsui gauti naudojami specialūs prietaisai.