Bir üçgenin alanını nasıl bulabilirsiniz. Bir çokgenin alanını köşelerinin koordinatlarından hesaplama Köşe formülünün koordinatlarından bir üçgenin alanı
Üçgen, ilkokulda aşina olduğumuz en yaygın geometrik şekillerden biridir. Bir üçgenin alanı nasıl bulunur sorusu geometri derslerinde her öğrencinin karşı karşıya kaldığı bir sorudur. Peki, verilen bir şeklin alanını bulmanın özellikleri nelerdir? Bu yazıda, böyle bir görevi tamamlamak için gerekli temel formülleri ele alacağız ve ayrıca üçgen türlerini analiz edeceğiz.
üçgen türleri
Bir üçgenin alanını tamamen farklı şekillerde bulabilirsiniz, çünkü geometride üç açı içeren birden fazla şekil türü vardır. Bu türler şunları içerir:
- geniş.
- Eşkenar (doğru).
- Sağ üçgen.
- İkizkenar.
Mevcut üçgen türlerinin her birine daha yakından bakalım.
Böyle bir geometrik şekil, geometrik problemlerin çözümünde en yaygın olarak kabul edilir. İsteğe bağlı bir üçgen çizmek gerektiğinde, bu seçenek kurtarmaya gelir.
Dar bir üçgende, adından da anlaşılacağı gibi, tüm açılar dardır ve toplamları 180°'dir.
Böyle bir üçgen de çok yaygındır, ancak dar açılı olandan biraz daha az yaygındır. Örneğin, üçgenleri çözerken (yani, birkaç kenarını ve açısını biliyorsunuz ve kalan öğeleri bulmanız gerekiyor), bazen açının geniş olup olmadığını belirlemeniz gerekiyor. Kosinüs negatif bir sayıdır.
Açılardan birinin değerinde 90°'yi aşar, bu nedenle kalan iki açı küçük değerler alabilir (örneğin, 15° hatta 3°).
Bu tür bir üçgenin alanını bulmak için, daha sonra konuşacağımız bazı nüansları bilmeniz gerekir.
Düzenli ve ikizkenar üçgenler
Düzgün çokgen, tüm kenarları ve açıları birbirine eşit olan n tane açı içeren bir şekildir. Bu doğru üçgen. Bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180° olduğundan, üç açının her biri 60°'dir.
Sağ üçgen, özelliğinden dolayı eşkenar figür olarak da adlandırılır.
Ayrıca, düzenli bir üçgene yalnızca bir daire çizilebileceğini ve onun etrafında yalnızca bir daire çizilebileceğini ve merkezlerinin bir noktada bulunduğunu belirtmekte fayda var.
Eşkenar tipe ek olarak, ondan biraz farklı olan bir ikizkenar üçgen de ayırt edilebilir. Böyle bir üçgende, iki kenar ve iki açı birbirine eşittir ve üçüncü kenar (eşit açıların bitişik olduğu) tabandır.
Şekil, D ve F açıları eşit olan ve DF tabanı olan bir DEF ikizkenar üçgenini göstermektedir.
sağ üçgen
Bir dik üçgen bu şekilde adlandırılır çünkü açılarından biri dik açıdır, yani 90°'ye eşittir. Diğer iki açının toplamı 90°'dir.
90 ° 'lik bir açının karşısında uzanan böyle bir üçgenin en büyük tarafı hipotenüs, diğer iki tarafı ise bacaklardır. Bu tür üçgenler için Pisagor teoremi geçerlidir:
Bacak uzunluklarının karelerinin toplamı hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.
Şekil, hipotenüsü AC ve bacakları AB ve BC olan bir BAC dik üçgenini göstermektedir.
Dik açılı bir üçgenin alanını bulmak için bacaklarının sayısal değerlerini bilmeniz gerekir.
Verilen şeklin alanını bulmak için formüllere geçelim.
Alanı bulmak için temel formüller
Geometride, çoğu üçgen türünün alanını bulmak için uygun olan iki formül ayırt edilebilir, yani dar açılı, geniş açılı, düzenli ve ikizkenar üçgenler. Her birini analiz edelim.
yan ve yükseklik
Bu formül, düşündüğümüz şeklin alanını bulmak için evrenseldir. Bunu yapmak için, kenarın uzunluğunu ve ona çizilen yüksekliğin uzunluğunu bilmek yeterlidir. Formülün kendisi (tabanın ve yüksekliğin çarpımının yarısı) aşağıdaki gibidir:
A, verilen üçgenin kenarı ve H üçgenin yüksekliğidir.
Örneğin, dar açılı bir ACB üçgeninin alanını bulmak için, AB tarafını CD yüksekliğiyle çarpmanız ve elde edilen değeri ikiye bölmeniz gerekir.
Ancak bu şekilde bir üçgenin alanını bulmak her zaman kolay değildir. Örneğin, bu formülü geniş açılı bir üçgen için kullanmak için, kenarlarından birine devam etmeniz ve ancak o zaman ona bir yükseklik çizmeniz gerekir.
Uygulamada, bu formül diğerlerinden daha sık kullanılır.
İki taraf ve bir köşe
Bu formül, bir önceki gibi, çoğu üçgen için uygundur ve anlamıyla, bir üçgenin kenar ve yüksekliğini bulma formülünün bir sonucudur. Yani, söz konusu formül bir öncekinden kolayca çıkarılabilir. İfadesi şöyle görünür:
S = ½*sinO*A*B,
A ve B üçgenin kenarları ve O, A ve B kenarları arasındaki açıdır.
Bir açının sinüsünün, seçkin Sovyet matematikçisi V. M. Bradis'in adını taşıyan özel bir tabloda görüntülenebileceğini hatırlayın.
Şimdi sadece istisnai üçgen türleri için uygun olan diğer formüllere geçelim.
Bir dik üçgenin alanı
Bir üçgende yükseklik çizme ihtiyacını içeren evrensel formüle ek olarak, dik açı içeren bir üçgenin alanı bacaklarından bulunabilir.
Yani, dik açı içeren bir üçgenin alanı, bacaklarının çarpımının yarısıdır veya:
burada a ve b bir dik üçgenin bacaklarıdır.
sağ üçgen
Bu tür geometrik şekiller, alanının kenarlarından yalnızca birinin belirtilen değeriyle bulunabilmesiyle ayırt edilir (çünkü normal bir üçgenin tüm kenarları eşittir). Bu nedenle, “kenarlar eşit olduğunda bir üçgenin alanını bulma” göreviyle tanışmışsanız, aşağıdaki formülü kullanmanız gerekir:
S = A 2 *√3 / 4,
burada A bir eşkenar üçgenin kenarıdır.
Heron'un formülü
Bir üçgenin alanını bulmak için son seçenek Heron formülüdür. Bunu kullanmak için şeklin üç kenarının uzunluklarını bilmeniz gerekir. Heron'un formülü şöyle görünür:
S = √p (p - a) (p - b) (p - c),
burada a, b ve c verilen üçgenin kenarlarıdır.
Bazen görev verilir: "düzenli bir üçgenin alanı, kenarının uzunluğunu bulmaktır." Bu durumda, normal bir üçgenin alanını bulmak için zaten bildiğimiz formülü kullanmanız ve ondan kenar değerini (veya karesini) türetmeniz gerekir:
A 2 \u003d 4S / √3.
Sınav sorunları
GIA'nın matematikteki görevlerinde birçok formül vardır. Ek olarak, kareli kağıt üzerinde bir üçgenin alanını bulmak oldukça sık gereklidir.
Bu durumda, şeklin kenarlarından birine yüksekliği çizmek, uzunluğunu hücrelere göre belirlemek ve alanı bulmak için evrensel formülü kullanmak en uygunudur:
Bu nedenle, makalede sunulan formülleri inceledikten sonra, herhangi bir üçgenin alanını bulmakta sorun yaşamayacaksınız.
17. yüzyılda Fransız matematikçiler R. Descartes (1596-1650) ve P. Fermat (1601-1665) tarafından önerilen koordinat yöntemi, geometrik kavramları cebirsel dile çevirmenizi sağlayan güçlü bir araçtır. Bu yöntem bir koordinat sistemi kavramına dayanmaktadır. Dikdörtgen bir koordinat sisteminde köşelerinin koordinatlarına göre bir çokgenin alanının hesaplanmasını ele alacağız.
Bir üçgenin alanı
Teorem 1. Üçgenin alanı ise
sonra eşitlik
bir üçgenin alanının belirleyicisi olarak adlandırılacaktır.
Kanıt. Üçgenin köşeleri ilk koordinat çeyreğinde yer alsın. İki durum mümkündür.
Dava 1. Üçgenin köşelerinin konumunun yönü (veya veya veya), saat ibresi sonunun hareket yönü ile çakışmaktadır (Şekil 1.30).
Şekil bir yamuk olduğundan.
Benzer şekilde, bunu buluyoruz
Cebirsel dönüşümleri gerçekleştirmiş olmak
şunu anladık:
(1.9) eşitliğinde alanın bir determinantı vardır, dolayısıyla ifadenin önünde eksi işareti vardır, çünkü.
Bunu gösterelim. Gerçekten, burada
(tabanı ve yüksekliği olan bir dikdörtgenin alanı, tabanları ve yüksekliği olan dikdörtgenlerin alanlarının toplamından daha büyüktür; (Şekil 1.30), nereden
2. durum. Durum 1'de belirtilen yönler, akrep ibresi ucunun hareket yönünün tersidir (Şekil 1.31).
şekil bir yamuk olduğundan ve
nerede. Gerçekten, burada
Teorem, üçgenin köşeleri birinci koordinat çeyreğinde bulunduğunda kanıtlanır.
Modül kavramını kullanarak, eşitlikler (1.9) ve (1.10) aşağıdaki gibi yazılabilir:
Açıklama 1. Şekil 1.30 ve 1.31'de gösterilen en basit köşe düzenini göz önünde bulundurarak formül (1.8) türettik; ancak, formül (1.8) herhangi bir köşe düzenlemesi için geçerlidir.
Şekil 1.32'de gösterilen durumu düşünün.
Bu nedenle, basit geometrik dönüşümler gerçekleştirdikten sonra:
yine neyi, nerede
Bir n-gon'un alanı
Çokgen dışbükey veya dışbükey olmayabilir, köşeler saat yönünde numaralandırılmışsa köşelerin numaralandırma sırası negatif olarak kabul edilir. Kendinden kesişen kenarları olmayan bir çokgene basit denir. basit için n-gon aşağıdaki tutar
Teorem 2. Bir asal alanı ise n-gon, nerede, sonra eşitlik
asal alanın determinantı olarak adlandırılacak n-gon.
Kanıt. İki durum mümkündür.
Dava 1. n-gon - dışbükey. (1.11) formülünü matematiksel tümevarım yöntemiyle ispatlayalım.
Çünkü zaten kanıtlanmıştır (Teorem 1). için geçerli olduğunu varsayıyoruz. n-Meydan; bir dışbükey için geçerli olduğunu kanıtlayalım ( n+1)-gon.
Çokgene bir tepe noktası daha ekleyelim (Şekil 1.33).
Böylece formül ( n+1)-gon ve dolayısıyla matematiksel tümevarım koşulları, yani bir dışbükey durumu için formül (1.11) karşılanır. n-gon kanıtlanmıştır.
2. durum. n-gon - dışbükey olmayan.
Herhangi bir dışbükey olmayan n-gon, içinde bir köşegen çizilebilir ve bu nedenle dışbükey olmayan bir durum için durum 2'nin kanıtı n-gon bir dışbükey için kanıta benzer n-gon.
Açıklama 2. için ifadeleri hatırlamak kolay değildir. Bu nedenle, değerlerini hesaplamak için sütuna birinci, ikinci, üçüncü, ..., koordinatlarını yazmak uygundur. n inci ve tekrar ilk köşeler n-gon ve şemaya göre çarpma işlemini gerçekleştirin:
(1.12) sütunundaki işaretler şema (1.13)'te belirtildiği gibi düzenlenmelidir.
Açıklama 3. Bir üçgen için sütun (1.12) derlerken herhangi bir tepe noktasından başlayabilirsiniz.
Açıklama 4. Sütun (1.12) derlenirken n-gon () köşelerin koordinatlarını yazma sırasını izlemelisiniz n-gon (baypasın hangi köşeden başlayacağı kayıtsızdır). Yani alan hesabı n-gon "kaba" bir çizimin yapımıyla başlamalıdır.