Bir altıgenin çevrelediği çemberin yarıçapı nasıl bulunur? Düzenli altıgen ve özellikleri
Çokgenler konusu şu adreste yer almaktadır: Okul müfredatı ama buna yeterince dikkat etmeyin. Bu arada, ilginçtir ve bu özellikle normal bir altıgen veya altıgen için geçerlidir - sonuçta birçok doğal nesneler. Bunlar petekleri ve daha fazlasını içerir. Bu form pratikte çok iyi uygulanmaktadır.
Tanım ve yapı
Düzgün altıgen, altı kenarı eşit uzunlukta ve aynı sayıda eşit açıya sahip bir düzlem şeklidir.
Bir çokgenin iç açılarının toplamı formülünü hatırlarsak
bu şekilde 720 ° 'ye eşit olduğu ortaya çıktı. Peki, şeklin tüm açıları eşit olduğundan, her birinin 120 ° 'ye eşit olduğunu hesaplamak kolaydır.
Altıgen çizmek çok basit, tek ihtiyacınız olan bir pusula ve bir cetvel.
Adım adım talimatlar şöyle görünecektir:
İstenirse, eşit yarıçaplı beş daire çizerek çizgisiz yapabilirsiniz.
Bu şekilde elde edilen şekil düzgün bir altıgen olacaktır ve bu aşağıda ispatlanabilir.
Özellikler basit ve ilginç
Normal bir altıgenin özelliklerini anlamak için onu altı üçgene ayırmak mantıklıdır:
Bu, gelecekte ana özellikleri olan özelliklerini daha net bir şekilde görüntülemeye yardımcı olacaktır:
- sınırlı daire çapı;
- yazılı dairenin çapı;
- Meydan;
- çevre.
Sınırlandırılmış daire ve inşa olasılığı
Bir altıgenin etrafında bir daire ve dahası sadece bir tane tanımlamak mümkündür. Bu şekil doğru olduğundan, bunu oldukça basit bir şekilde yapabilirsiniz: içeride iki bitişik açıdan bir açıortay çizin. O noktasında kesişirler ve aralarındaki kenarla birlikte bir üçgen oluştururlar.
Altıgenin kenarı ile bisektörler arasındaki açıların her biri 60° olacaktır, dolayısıyla bir üçgenin, örneğin AOB'nin ikizkenar olduğunu kesinlikle söyleyebiliriz. Ve üçüncü açı da 60° olacağı için eşkenardır. OA ve OB segmentlerinin eşit olduğunu takip eder, bu da dairenin yarıçapı olarak hizmet edebilecekleri anlamına gelir.
Bundan sonra, bir sonraki tarafa geçebilir ve ayrıca C noktasından bir açıortay çizebilirsiniz. Başka bir eşkenar üçgen ortaya çıkacak ve AB tarafı aynı anda iki taraf için ortak olacak ve OS, aynı dairenin geçtiği bir sonraki yarıçap olacak. Toplamda bu tür altı üçgen olacak ve O noktasında ortak bir tepe noktasına sahip olacaklar. Daireyi tanımlamanın mümkün olacağı ve bunun yalnızca bir olduğu ve yarıçapının altıgenin kenarına eşit olduğu ortaya çıktı. :
Bu yüzden pusula ve cetvel yardımı ile bu figürü oluşturmak mümkündür.
Pekala, bu dairenin alanı standart olacaktır:
yazılı daire
Çevrelenmiş dairenin merkezi, yazılı olanın merkeziyle çakışıyor. Bunu doğrulamak için O noktasından altıgenin kenarlarına dik doğrular çizebiliriz. Altıgeni oluşturan üçgenlerin yükseklikleri olacaklar. Ve ikizkenar üçgen yükseklik, dayandığı tarafa göre medyandır. Dolayısıyla, bu yükseklik, yazılı dairenin yarıçapı olan dik açıortaydan başka bir şey değildir.
Yükseklik eşkenar üçgen basitçe hesaplanır:
h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2
Ve R=a ve r=h olduğundan,
r=R(√3)/2.
Böylece yazılı daire, düzgün bir altıgenin kenarlarının merkezlerinden geçer.
Alanı şöyle olacaktır:
S=3πa²/4,
yani açıklananın dörtte üçü.
Çevre ve alan
Çevre ile her şey açık, bu kenarların uzunluklarının toplamı:
P=6a, veya P=6R
Ancak alan, altıgenin bölünebileceği altı üçgenin toplamına eşit olacaktır. Bir üçgenin alanı, taban ile yüksekliğin çarpımının yarısı olarak hesaplandığından, o zaman:
S \u003d 6 (a / 2) (a (√3) / 2) \u003d 6a² (√3) / 4 \u003d 3a² (√3) / 2 veya
S=3R²(√3)/2
Bu alanı yazılı dairenin yarıçapı üzerinden hesaplamak isteyenler şu şekilde yapılabilir:
S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)
Eğlenceli yapılar
Kenarları köşeleri birinden birleştirecek olan bir altıgen içine bir üçgen yazılabilir:
Toplamda iki tane olacak ve birbirlerine dayatmaları Davut Yıldızını verecek. Bu üçgenlerin her biri eşkenardır. Bunu doğrulamak kolaydır. AC tarafına bakarsanız, aynı anda iki üçgene aittir - BAC ve AEC. İlkinde AB \u003d BC ve aralarındaki açı 120 ° ise, geri kalanların her biri 30 ° olacaktır. Bundan mantıksal sonuçlar çıkarabiliriz:
- sin30°=1/2 olduğundan, ABC'nin B köşesinden yüksekliği altıgenin kenarının yarısına eşit olacaktır. Bunu doğrulamak isteyenlere Pisagor teoremine göre yeniden hesaplamaları tavsiye edilebilir, buraya mükemmel bir şekilde uyar.
- AC tarafı, yine aynı teorem kullanılarak hesaplanan yazılı dairenin iki yarıçapına eşit olacaktır. Yani AC=2(a(√3)/2)=а(√3).
- ABC, CDE ve AEF üçgenlerinin iki kenarı ve aralarındaki açı eşittir ve dolayısıyla AC, CE ve EA kenarlarının eşitliği izler.
Birbirleriyle kesişen üçgenler yeni bir altıgen oluşturur ve bu da düzenlidir. Kanıtlamak kolaydır:
Böylece, şekil normal bir altıgenin işaretlerini karşılar - altı eşit kenarı ve açısı vardır. Köşelerdeki üçgenlerin eşitliğinden, yeni altıgenin kenarının uzunluğunu çıkarmak kolaydır:
d=а(√3)/3
Ayrıca, çevresinde açıklanan dairenin yarıçapı olacaktır. Yazılı olanın yarıçapı, ABC üçgeni göz önüne alındığında kanıtlanmış olan büyük altıgenin kenarının yarısı olacaktır. Yüksekliği tam olarak kenarın yarısıdır, bu nedenle ikinci yarı, küçük altıgen içine yazılan dairenin yarıçapıdır:
r₂=а/2
S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2
Davut yıldızının içindeki altıgenin alanının, yıldızın yazılı olduğu büyük olanınkinden üç kat daha küçük olduğu ortaya çıktı.
Teoriden pratiğe
Altıgenin özellikleri hem doğada hem de insan faaliyetinin çeşitli alanlarında çok aktif olarak kullanılmaktadır. Her şeyden önce, bu cıvatalar ve somunlar için geçerlidir - pahları hesaba katmazsanız, birinci ve ikinci şapkalar normal bir altıgenden başka bir şey değildir. Anahtarların boyutu, yazılı dairenin çapına, yani zıt yüzler arasındaki mesafeye karşılık gelir.
Uygulamasını ve altıgen karoları buldu. Dörtgen olandan çok daha az yaygındır, ancak onu döşemek daha uygundur: bir noktada dört değil, üç karo birleşir. Kompozisyonlar çok ilginç olabilir:
Beton parke levhaları da üretilmektedir.
Altıgenin doğadaki yaygınlığı basit bir şekilde anlatılmıştır. Böylece, aynı çapa sahiplerse, daireleri ve topları bir düzleme sıkıca oturtmak en kolay yoldur. Bu nedenle petekler böyle bir şekle sahiptir.
matematiksel özellikler
Düzgün bir altıgenin bir özelliği, kenarının ve çevrelenmiş dairenin yarıçapının eşitliğidir, çünkü
Bütün açılar 120°'dir.
Yazılı dairenin yarıçapı:
Düzgün bir altıgenin çevresi:
Düzenli bir altıgenin alanı aşağıdaki formüllerle hesaplanır:
Düzlemi döşeyen altıgenler, yani düzlemi boşluklar ve üst üste binmeler olmadan doldurarak sözde parke oluşturabilirler.
Altıgen parke (altıgen parke)- yan yana yerleştirilmiş eşit düzenli altıgenlerle düzlemin mozaiklenmesi.
Altıgen parke ikili ve üçgen parkedir: bitişik altıgenlerin merkezlerini birleştirirseniz, çizilen parçalar üçgen bir parke verir. Altıgen bir parkenin Schläfli sembolü (6,3)'tür, bu da parkenin her bir köşesinde üç altıgenin birleştiği anlamına gelir.
Altıgen parke, düzlemdeki en yoğun daire yığınıdır. İki boyutlu Öklid uzayında, en iyi dolgu, dairelerin merkezlerini, her dairenin diğer altı daireyle çevrelendiği düzenli altıgenlerden oluşan bir parkenin köşelerine yerleştirmektir. Bu ambalajın yoğunluğu . 1940 yılında bu dolgunun en yoğun olduğu kanıtlandı.
Bir kenarı olan normal bir altıgen, evrensel bir örtüdür, yani herhangi bir çap kümesi, bir kenarı olan normal bir altıgenle (Pal's lemma) kaplanabilir.
Pergel ve cetvel kullanılarak düzgün bir altıgen oluşturulabilir. Öklid tarafından Elementler, Kitap IV, Teorem 15'te önerilen yapım yöntemi aşağıdadır.
Doğada, teknolojide ve kültürde düzenli altıgen
düzlemin düzenli altıgenlere bölünmesini gösterin. Altıgen şekli diğerlerinden daha fazla duvarlarda tasarruf etmenizi sağlar, yani bu tür hücrelere sahip peteklere daha az balmumu harcanır.
Bazı karmaşık kristaller ve moleküller grafit gibi altıgen bir kristal kafese sahiptir.
Bulutlardaki mikroskobik su damlacıklarının toz parçacıkları tarafından çekilip donmasıyla oluşur. Bu durumda ortaya çıkan ve ilk başta çapı 0,1 mm'yi geçmeyen buz kristalleri, havadaki nemin üzerlerine yoğunlaşması sonucu aşağı düşerek büyürler. Bu durumda altı köşeli kristal formlar oluşur. Su moleküllerinin yapısından dolayı kristalin ışınları arasında sadece 60° ve 120° açılar mümkündür. Ana su kristali, düzlemde düzenli bir altıgen şeklindedir. Daha sonra böyle bir altıgenin tepelerinde yeni kristaller biriktirilir, üzerlerinde yeni kristaller biriktirilir ve böylece çeşitli kar tanesi yıldızları elde edilir.
Oxford Üniversitesi'nden bilim adamları, laboratuvarda böyle bir altıgenin ortaya çıkışını simüle edebildiler. Araştırmacılar böyle bir oluşumun nasıl gerçekleştiğini öğrenmek için 30 litrelik bir şişe suyu bir döner tablanın üzerine yerleştirdiler. Satürn'ün atmosferini ve olağan dönüşünü modelledi. İçine, bilim adamları kaptan daha hızlı dönen küçük halkalar yerleştirdiler. Bu, deneycilerin yeşil boya ile görselleştirdiği minyatür girdaplar ve jetler oluşturdu. Halka ne kadar hızlı dönerse, girdaplar o kadar büyüdü ve yakındaki akıntının dairesel bir şekilden sapmasına neden oldu. Böylece, deneyin yazarları çeşitli şekiller - ovaller, üçgenler, kareler ve tabii ki istenen altıgen - elde etmeyi başardılar.
Eski bir volkanik patlamanın sonucu olarak oluşan, birbirine bağlı yaklaşık 40.000 bazalt (nadiren andezit) sütundan oluşan doğal bir anıt. Kuzey İrlanda'nın kuzeydoğusunda, Bushmills şehrinin 3 km kuzeyinde yer almaktadır.
Sütunların tepeleri, uçurumun dibinde başlayan ve deniz yüzeyinin altında kaybolan bir tür sıçrama tahtası oluşturur. Sütunların çoğu altıgen olup, bazılarının dört, beş, yedi veya sekiz köşesi vardır. En yüksek sütun yaklaşık 12 metre yüksekliğindedir.
Yaklaşık 50-60 milyon yıl önce, Paleojen döneminde, Antrim bölgesi, erimiş bazalt yataklardan geçerek geniş lav platoları oluşturduğunda yoğun volkanik aktiviteye maruz kaldı. Hızlı soğutma ile maddenin hacmi azaldı (bu, çamur kuruduğunda gözlenir). Yatay sıkıştırma, altıgen sütunların karakteristik yapısıyla sonuçlandı.
Somunun enine kesiti düzgün bir altıgen şeklindedir.
Normal bir altıgenin neye benzediğini biliyor musunuz?
Bu soru tesadüfen sorulmadı. 11. sınıftaki çoğu öğrenci bunun cevabını bilmiyor.
Düzgün bir altıgen, tüm kenarların ve tüm açıların da eşit olduğu bir altıgendir..
Demir somun. Kar tanesi. Arıların yaşadığı petek hücresi. Benzen molekülü. Bu nesnelerin ortak noktası nedir? - Hepsinin düzenli bir altıgen şekle sahip olması.
Pek çok okul çocuğu, normal bir altıgen için görevler gördüklerinde kaybolur ve bunları çözmek için bazı özel formüllerin gerekli olduğuna inanırlar. Öyle mi?
Düzgün bir altıgenin köşegenlerini çizin. Altı eşkenar üçgenimiz var.
Bir eşkenar üçgenin alanının olduğunu biliyoruz.
O zaman normal bir altıgenin alanı altı kat daha büyüktür.
Düzgün bir altıgenin kenarı neresidir?
Lütfen düzgün bir altıgenin merkezinden herhangi bir köşeye olan uzaklığının normal altıgenin kenarına eşit ve aynı olduğunu unutmayın.
Bu, düzgün bir altıgenin çevrelediği bir dairenin yarıçapının, kenarına eşit olduğu anlamına gelir..
Düzgün bir altıgenin içine çizilmiş bir dairenin yarıçapını bulmak kolaydır.
O eşittir.
Artık herhangi birini kolayca çözebilirsiniz KULLANIM görevleri, normal bir altıgenin göründüğü.
Kenarı düzgün bir altıgenin içine çizili çemberin yarıçapını bulun.
Böyle bir dairenin yarıçapı .
Cevap: .
Yarıçapı 6 olan bir daire içine çizilmiş düzgün altıgenin kenarı kaç cm'dir?
Düzgün bir altıgenin bir kenarının, çevresine çizilen dairenin yarıçapına eşit olduğunu biliyoruz.
Dörtten fazla köşesi olan en ünlü şekil normal altıgendir. Geometride, genellikle problemlerde kullanılır. Ve hayatta, peteklerin kesiminde tam olarak bu var.
Yanlıştan ne farkı var?
İlk olarak, bir altıgen, 6 köşesi olan bir şekildir. İkincisi, dışbükey veya içbükey olabilir. İlki, dört köşenin diğer ikisinden geçen düz bir çizginin bir tarafında yer almasıyla farklılık gösterir.
Üçüncüsü, normal bir altıgen, tüm kenarlarının eşit olmasıyla karakterize edilir. Ayrıca şeklin her bir köşesi de aynı değere sahiptir. Tüm açılarının toplamını belirlemek için şu formülü kullanmanız gerekir: 180º * (n - 2). Burada n, şeklin köşe sayısı yani 6'dır. Basit bir hesap 720º değerini verir. Yani her açı 120 derecedir.
Günlük aktivitelerde, bir kar tanesi ve bir somunda düzenli bir altıgen bulunur. Kimyagerler bunu benzen molekülünde bile görüyorlar.
Problemleri çözerken hangi özellikleri bilmeniz gerekir?
Yukarıda belirtilenlere eklenmelidir:
- şeklin merkezden çizilen köşegenleri onu eşkenar olan altı üçgene ayırır;
- düzgün bir altıgenin kenarı, etrafındaki sınırlı dairenin yarıçapı ile çakışan bir değere sahiptir;
- böyle bir şekil kullanarak düzlemi doldurmak mümkündür ve aralarında boşluk veya üst üste binme olmaz.
Tanıtılan notasyon
Geleneksel olarak, düzenli bir geometrik şeklin kenarı Latin harfi "a" ile gösterilir. Problemleri çözmek için alan ve çevre de gereklidir, bunlar sırasıyla S ve P'dir. Düzgün bir altıgenin içine bir daire çizilir veya etrafı çevrelenir. Ardından yarıçapları için değerler girilir. Sırasıyla r ve R harfleriyle gösterilirler.
Bazı formüller şunları içerir: iç köşe, semiperimeter ve apothem (çokgenin merkezinden herhangi bir kenarın orta noktasına dik olan). Harfler onlar için kullanılır: α, p, m.
Bir şekli tanımlayan formüller
Çevrelenmiş bir dairenin yarıçapını hesaplamak için şuna ihtiyacınız vardır: r= (a * √3) / 2 ve r = m. Yani apothem için aynı formül geçerli olacaktır.
Bir altıgenin çevresi tüm kenarların toplamı olduğu için aşağıdaki gibi belirlenecektir: P = 6 * a. Kenarın çevrelenmiş dairenin yarıçapına eşit olduğu göz önüne alındığında, çevre için normal bir altıgen için böyle bir formül vardır: P \u003d 6 * R. Yazılı dairenin yarıçapı için verilenden, a arasındaki ilişki ve r türetilmiştir. O zaman formül aşağıdaki formu alır: Р = 4 r * √3.
Düzenli bir altıgenin alanı için bu kullanışlı olabilir: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.
Görevler
1 numara. Durum. Her kenarı 4 cm olan düzgün bir altıgen prizma vardır, içine hacminin belirlenmesi gereken bir silindir yazılmıştır.
Çözüm. Bir silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı olarak tanımlanır. İkincisi, prizmanın kenarına denk gelir. Ve düzgün bir altıgenin kenarına eşittir. Yani silindirin yüksekliği de 4 cm'dir.
Tabanının alanını bulmak için altıgen içine yazılmış dairenin yarıçapını hesaplamanız gerekir. Bunun formülü yukarıda gösterilmiştir. Yani r = 2√3 (cm). Ardından dairenin alanı: S \u003d π * r 2 \u003d 3.14 * (2√3) 2 \u003d 37.68 (cm2).
Cevap. V \u003d 150,72 cm3.
2 numara. Durum. Düzgün bir altıgenin içine çizilmiş bir çemberin yarıçapını hesaplayınız. Bir kenarının √3 cm olduğu biliniyor, çevresi ne kadar olur?
Çözüm. Bu görev, yukarıdaki formüllerden ikisinin kullanılmasını gerektirir. Ayrıca, değiştirilmeden uygulanmaları gerekir, sadece tarafın değerini yerine koyun ve hesaplayın.
Böylece, yazılı dairenin yarıçapı 1,5 cm, çevre için aşağıdaki değerin doğru olduğu ortaya çıkıyor: 6√3 cm.
Cevap. r = 1,5 cm, Р = 6√3 cm.
3 numara. Durum.Çevrel çemberin yarıçapı 6 cm dir.Bu durumda düzgün altıgenin bir kenarının değeri kaç olur?
Çözüm. Altıgen içine çizilmiş bir dairenin yarıçapı formülünden, kenarın hesaplanması gereken formül kolayca elde edilir. Yarıçapın iki ile çarpıldığı ve üçün köküne bölündüğü açıktır. Paydadaki irrasyonellikten kurtulmak gerekir. Bu nedenle, eylemlerin sonucu şu şekli alır: (12 √3) / (√3 * √3), yani 4√3.
Cevap. bir = 4√3 cm.
Yakınınızda bir kalem var mı? Bölümüne bir bakın - normal bir altıgen veya aynı zamanda bir altıgen olarak da adlandırılır. Bir somunun kesiti, bir altıgen satranç alanı, bazı karmaşık karbon molekülleri (örneğin grafit), bir kar tanesi, bir petek ve diğer nesneler de bu şekle sahiptir. Son zamanlarda devasa bir düzgün altıgen keşfedildi. Doğanın yaratımları için bu özel şekle sahip yapıları bu kadar sık kullanması garip gelmiyor mu? Hadi daha yakından bakalım.
Düzgün bir altıgen, altı eşit kenara ve eşit açılara sahip bir çokgendir. İtibaren okul kursu aşağıdaki özelliklere sahip olduğunu biliyoruz:
- Kenarlarının uzunluğu, çevrelenmiş dairenin yarıçapına karşılık gelir. Hepsinden yalnızca normal bir altıgen bu özelliğe sahiptir.
- Açılar birbirine eşittir ve her birinin büyüklüğü 120 ° 'dir.
- Bir altıgenin çevresi, çevresine çizilen dairenin yarıçapı biliniyorsa Р=6*R, içine daire çizilmişse Р=4*√(3)*r formülü kullanılarak bulunabilir. R ve r, çevrelenmiş ve yazılı dairelerin yarıçaplarıdır.
- Bir düzgün altıgenin kapladığı alan şu şekilde belirlenir: S=(3*√(3)*R 2)/2. Yarıçap bilinmiyorsa, bunun yerine kenarlardan birinin uzunluğunu koyarız - bildiğiniz gibi, çevrelenmiş dairenin yarıçapının uzunluğuna karşılık gelir.
Düzenli bir altıgenin bir tane vardır ilginç özellik Doğada bu kadar geniş bir dağılıma sahip olduğu için, uçağın herhangi bir yüzeyini örtüşme ve boşluk olmadan doldurabilir. Kenarı 1/√(3)'e eşit olan normal bir altıgenin evrensel bir lastik olduğu, yani bir birim çapında herhangi bir seti kapsayabileceği sözde Pal lemma bile vardır.
Şimdi düzgün bir altıgenin yapılışını düşünün. En kolayı pusula, kurşun kalem ve cetvel kullanmayı içeren birkaç yol vardır. Önce pusula ile keyfi bir daire çiziyoruz, ardından bu daire üzerinde keyfi bir yere nokta koyuyoruz. Pusulanın çözümünü değiştirmeden bu noktaya ucu koyup daire üzerinde bir sonraki çentiği işaretliyoruz, 6 puanın hepsini alana kadar bu şekilde devam ediyoruz. Şimdi sadece onları düz bölümlerle birbirine bağlamak kalıyor ve istenen şekil ortaya çıkıyor.
Uygulamada, büyük bir altıgen çizmeniz gereken zamanlar vardır. Örneğin, iki seviyeli bir alçıpan tavanda, merkezi avizenin bağlantı noktasının etrafına, alt seviyeye altı küçük lamba takmanız gerekir. Bu boyutta bir pusula bulmak çok ama çok zor olacak. Bu durumda nasıl devam edilir? Büyük bir daire nasıl çizilir? Çok basit. İstenilen uzunlukta güçlü bir iplik almanız ve uçlarından birini kalemin karşısına bağlamanız gerekir. Şimdi geriye sadece ipin ikinci ucunu doğru noktada tavana bastıracak bir asistan bulmak kalıyor. Tabii ki, bu durumda, küçük hatalar mümkündür, ancak bunların bir yabancı tarafından fark edilmesi pek olası değildir.