Bulmak çünkü. Sinüs (sin x) ve kosinüs (cos x) - özellikler, grafikler, formüller
4 için KULLANIN? Mutluluktan uçmuyor musun?
Soru ilginç dedikleri gibi ... Yapabilirsin, 4'ü geçebilirsin! Ve aynı zamanda patlamayın ... Ana koşul, düzenli olarak pratik yapmaktır. İşte matematikte sınav için temel hazırlık. Birleşik Devlet Sınavının ders kitaplarında okumayacağınız tüm sırları ve gizemleriyle... Bu bölümü inceleyin, çeşitli kaynaklardan daha fazla görev çözün - ve her şey yoluna girecek! Temel bölümün "Siz ve üçünüz için yeterli!" sizin için herhangi bir soruna neden olmaz. Ama aniden ... Bağlantıları takip edin, tembel olmayın!
Ve harika ve korkunç bir konuyla başlayacağız.
Trigonometri
Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Kesinlikle "çok değil ..." olanlar için
Ve "çok fazla..." olanlar için)
Bu konu öğrencilere pek çok problem vermektedir. En şiddetli biri olarak kabul edilir. Sinüs ve kosinüs nedir? Teğet ve kotanjant nedir? Sayı çemberi nedir? Bu zararsız soruları sormaya değer, çünkü bir kişi solgunlaşır ve sohbeti başka yöne çevirmeye çalışır ... Ama boşuna. Bunlar basit kavramlar. Ve bu konu diğerlerinden daha zor değil. Sadece bu soruların cevaplarını en başından itibaren net bir şekilde anlamanız gerekiyor. Bu çok önemli. Çözdüyseniz, trigonometriyi seveceksiniz. Yani,
Sinüs ve kosinüs nedir? Teğet ve kotanjant nedir?
Eski zamanlardan başlayalım. Endişelenmeyin, 20 asırlık trigonometrinin tamamını 15 dakikada geçeceğiz ve kendimiz için fark edilmeden 8. sınıftan bir geometri parçasını tekrar edeceğiz.
Kenarları olan bir dik üçgen çizin bir, b, c ve açı X. Işte bir tane.
Dik açı oluşturan taraflara bacak denildiğini hatırlatalım. a ve c- patenler. İki tane var. Diğer tarafa hipotenüs denir. İle birlikte- hipotenüs.
Üçgen ve üçgen, bir düşünün! Onunla ne yapmalı? Ama eski insanlar ne yapacaklarını biliyorlardı! Eylemlerini tekrar edelim. tarafını ölçelim içinde. Şekilde, sınav görevlerinde olduğu gibi hücreler özel olarak çizilmiştir. Yan içinde dört hücreye eşittir. TAMAM. tarafını ölçelim a.Üç hücre.
Şimdi kenar uzunluğunu bölelim a kenar uzunluğu başına içinde. Ya da dedikleri gibi, tavır alalım a ile içinde. AC= 3/4.
Alternatif olarak, paylaşabilirsiniz içindeüzerinde a. 4/3 elde ederiz. Olabilmek içinde bölünür İle birlikte. hipotenüs İle birlikte hücrelere göre saymayın, ancak 5'e eşittir. AC= 4/5. Kısaca kenarların uzunluklarını birbirine bölüp rakamlar elde edebilirsiniz.
Ne olmuş? Bu ilginç aktivitenin anlamı nedir? Şimdiye kadar hiçbiri. Dürüst olmak gerekirse aptalca bir iş.)
Ve şimdi bunu yapalım. Üçgeni genişletelim. Kenarları uzatalım nereye ve kimden, ancak üçgen dik açılı kalacak şekilde. Köşe X, elbette değişmez. Görmek için farenizi resmin üzerine getirin veya dokunun (tabletiniz varsa). Partiler a, b ve c dönüşmek m, n, k ve tabii ki kenarların uzunlukları değişecektir.
Ama onların ilişkisi değil!
Davranış ACÖyleydi: AC= 3/4 oldu m/n= 6/8 = 3/4. Diğer ilgili tarafların ilişkileri de değişmeyecek . Bir dik üçgende kenar uzunluklarını keyfi olarak değiştirebilir, artırabilir, azaltabilir, x açısını değiştirmeden – ilgili tarafların ilişkisi değişmeyecek . Kontrol edebilir veya eski insanların sözünü alabilirsiniz.
Şimdi bu çok önemli! Bir dik üçgende kenarların oranları hiçbir şekilde kenarların uzunluklarına bağlı değildir (aynı açı için). Bu o kadar önemlidir ki, tarafların ilişkileri özel isimlerini kazanmıştır. İsimleri tabiri caizse.) Tanışın.
x açısının sinüsü nedir ? Bu, karşı bacağın hipotenüse oranıdır:
sinx = klima
x açısının kosinüsü nedir ? Bu, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır:
İle birlikteosx= AC
x açısının tanjantı nedir ? Bu, karşı bacağın bitişik olana oranıdır:
tgx=AC
x açısının kotanjantı nedir ? Bu, bitişik bacağın karşı tarafa oranıdır:
ctgx = giriş/a
Her şey çok basit. Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant bazı sayılardır. Boyutsuz. Sadece sayılar. Her köşe için - kendi.
Neden kendimi bu kadar sıkıcı bir şekilde tekrar ediyorum? O zaman ne hatırlaman gerek. İronik olarak hatırla. Ezberleme kolaylaştırılabilir. "Uzaktan başlayalım ..." ifadesi tanıdık geliyor mu? Öyleyse uzaktan başlayın.
Sinüs açı orandır mesafe bacağın açısından hipotenüse. Kosinüs en yakının hipotenüse oranıdır.
Teğet açı orandır mesafe kateterin açısından en yakınına. Kotanjant- tersine.
Zaten daha kolay, değil mi?
Teğet ve kotanjantta sadece bacakların oturduğunu ve sinüs ve kosinüste hipotenüsün göründüğünü hatırlarsanız, o zaman her şey oldukça basit hale gelecektir.
Bütün bu muhteşem aileye - sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant da denir trigonometrik fonksiyonlar.
Ve şimdi dikkate alınması gereken bir soru.
Neden sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant diyoruz? köşe? Tarafların ilişkisinden bahsediyoruz, mesela ... Bunun ne alakası var köşe?
İkinci resme bakalım. İlki ile tamamen aynı.
Farenizi resmin üzerine getirin. açıyı değiştirdim X. onu büyüttü x'ten x'e Tüm ilişkiler değişti! Davranış AC 3/4 idi ve karşılık gelen oran teneke 6/4 oldu.
Ve diğer tüm ilişkiler farklılaştı!
Bu nedenle, kenarların oranları hiçbir şekilde uzunluklarına bağlı değildir (bir x açısında), ancak keskin bir şekilde bu açıya bağlıdır! Ve sadece ondan. Bu nedenle, sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant terimleri, köşe. Buradaki köşe ana köşedir.
Açının trigonometrik fonksiyonlarıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılı olduğu ironik bir şekilde anlaşılmalıdır. Her açının kendi sinüsü ve kosinüsü vardır. Ve neredeyse herkesin kendi teğeti ve kotanjantı vardır. Bu önemli. Bize bir açı verilirse sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant olduğuna inanılıyor. biliyoruz ! Ve tam tersi. Bir sinüs veya başka bir trigonometrik fonksiyon verildiğinde, o zaman açıyı biliriz.
Her açı için trigonometrik fonksiyonların yazıldığı özel tablolar vardır. Bradys tabloları çağrılır. Çok uzun zamandır yapılmışlar. Hesap makinelerinin ve bilgisayarların olmadığı zamanlar...
Elbette tüm açıların trigonometrik fonksiyonları ezberlenemez. Onları sadece birkaç açıdan tanımanız gerekiyor, daha sonra buna değineceğiz. Ama büyü Bir açı biliyorum, dolayısıyla onun trigonometrik fonksiyonlarını da biliyorum" - her zaman çalışır!
Böylece 8. sınıftan bir geometri parçasını tekrarladık. Sınav için ihtiyacımız var mı? Gerekli. İşte sınavdan tipik bir problem. 8. sınıfın yeterli olduğu çözüm için. Verilen resim:
Her şey. Daha fazla veri yok. BC bacağının uzunluğunu bulmamız gerekiyor.
Hücreler pek yardımcı olmuyor, üçgen bir şekilde yanlış yerleştirilmiş .... Bilerek, sanırım ... Bilgiden hipotenüsün uzunluğu var. 8 hücre. Nedense bir açı verilir.
Burada trigonometriyi hemen hatırlamalıyız. Bir açı var, yani onun tüm trigonometrik fonksiyonlarını biliyoruz. Dört işlevden hangisi eyleme geçirilmelidir? Ne bildiğimize bir bakalım, olur mu? Hipotenüsü, açıyı biliyoruz ama bulmamız gerekiyor. bitişik bu köşeye! Açıkçası, kosinüsün harekete geçirilmesi gerekiyor! İşte başlıyoruz. Sadece kosinüsün tanımına göre yazıyoruz (oran bitişik bacaktan hipotenüse):
cosC = BC/8
C açısı 60 derecedir ve kosinüsü 1/2'dir. Bunu bilmelisin, herhangi bir tablo olmadan! Yani:
1/2 = güneş/8
Temel lineer denklem. Bilinmeyen - güneş. Denklemleri nasıl çözeceğini kim unuttu, bağlantıda dolaşın, gerisini çözün:
güneş = 4
Eski insanlar, her açının kendi trigonometrik fonksiyonlarına sahip olduğunu fark ettiklerinde, makul bir soruları vardı. Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant bir şekilde birbiriyle ilişkili değil mi? Açının bir fonksiyonunu bilerek gerisini bulabilmek için mi? Açının kendisini hesaplamadan mı?
İşte böyle huzursuzlardı ...)
Bir açının trigonometrik fonksiyonları arasındaki bağlantı.
Elbette aynı açının sinüsü, kosinüsü, tanjantı ve kotanjantı birbiriyle ilişkilidir. İfadeler arasındaki herhangi bir bağlantı matematikte formüllerle verilir. Trigonometride çok sayıda formül vardır. Ama burada en temel olanlara bakacağız. Bu formüller denir: temel trigonometrik özdeşlikler.İşte buradalar:
Bu formüllerin demir bilmesi gerekir. Onlar olmadan trigonometride yapacak hiçbir şey yoktur. Bu temel kimliklerden üç yardımcı kimlik daha çıkar:
Son üç formülün hızla hafızadan düştüğü konusunda sizi hemen uyarıyorum. Nedense.) Elbette bu formülleri ilk üçünden türetebilirsiniz. Ama zor bir anda ... Anlıyorsunuz.)
Aşağıdakiler gibi standart görevlerde, bu unutulabilir formülleri aşmanın bir yolu vardır. Ve hataları büyük ölçüde azaltın unutkanlıktan ve hesaplarda da. Bu uygulama, Bölüm 555, "Bir açının trigonometrik fonksiyonları arasındaki ilişki" dersindedir.
Temel trigonometrik özdeşlikler hangi görevlerde ve nasıl kullanılır? En popüler görev, eğer bir başkası verilmişse, açının bazı fonksiyonlarını bulmaktır. Sınavda yıldan yıla böyle bir görev mevcuttur.) Örneğin:
x bir dar açı ve cosx=0.8 ise sinx'in değerini bulun.
Görev neredeyse basit. Sinüs ve kosinüsün olduğu bir formül arıyoruz. İşte o formül:
sin 2 x + cos 2 x = 1
Burada kosinüs yerine bilinen bir değeri, yani 0,8'i değiştiriyoruz:
günah 2 x + 0,8 2 = 1
Her zamanki gibi düşünüyoruz:
günah 2 x + 0,64 = 1
günah 2 x \u003d 1 - 0,64
Burada, neredeyse her şey. Sinüsün karesini hesapladık, geriye karekökü çıkarmak kaldı ve cevap hazır! 0.36'nın kökü 0.6'dır.
Görev neredeyse basit. Ama burada "neredeyse" kelimesi boşuna değil ... Gerçek şu ki, sinx = - 0.6 yanıtı da uygundur ... (-0.6) 2 de 0.36 olacaktır.
İki farklı cevap alınır. Ve birine ihtiyacın var. İkincisi yanlış. nasıl olunur!? Evet, her zamanki gibi.) Ödevi dikkatlice okuyun. Nedense diyor... x bir dar açı ise... Ve görevlerde, her kelimenin bir anlamı vardır, evet ... Bu cümle, çözüm için ek bilgidir.
Dar açı, 90°'den küçük bir açıdır. Ve bu tür açılarda tüm trigonometrik fonksiyonlar - hem sinüs hem de kosinüs ve kotanjant ile teğet - pozitif.Şunlar. olumsuz cevabı burada atıyoruz. hakkımız var
Aslında sekizinci sınıfların böyle inceliklere ihtiyacı yok. Yalnızca köşelerin yalnızca keskin olabileceği dik üçgenlerle çalışırlar. Ve mutlu olanlar, negatif açılar ve 1000 ° 'lik açılar olduğunu bilmiyorlar ... Ve tüm bu kabus açılarının hem artı hem de eksi ile kendi trigonometrik fonksiyonları var ...
Ancak lise öğrencileri için işareti dikkate almadan - hiçbir şekilde. Çok bilgi üzüntüyü çoğaltır, evet...) Ve doğru çözüm için görevin ek bilgiler içermesi gerekir (gerekirse). Örneğin, şu şekilde verilebilir:
Veya başka bir şekilde. Aşağıdaki örneklerde göreceksiniz.) Bu tür örnekleri çözmek için bilmeniz gerekir. verilen x açısının hangi çeyrekte düştüğü ve istenen trigonometrik fonksiyonun bu çeyrekte hangi işarete sahip olduğu.
Trigonometrinin bu temelleri, trigonometrik dairenin ne olduğu, bu daire üzerindeki açıların sayılması, bir açının radyan ölçüsü derslerde tartışılmaktadır. Bazen teğetlerin ve kotanjantların sinüs kosinüs tablosunu da bilmeniz gerekir.
Öyleyse, en önemli olanı not edelim:
Pratik İpuçları:
1. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarını hatırlayın. Çok kullanışlı.
2. Açıkça asimile ediyoruz: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant açılarla sıkı bir şekilde bağlantılıdır. Bir şey biliyoruz, bu yüzden başka bir şey biliyoruz.
3. Açıkça asimile ediyoruz: bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı temel trigonometrik kimliklerle birbirine bağlıdır. Bir işlevi biliyoruz, bu da (gerekli ek bilgilere sahipsek) diğerlerini hesaplayabileceğimiz anlamına gelir.
Ve şimdi her zamanki gibi karar verelim. İlk olarak, 8. sınıfın hacmindeki görevler. Ama lise öğrencileri de yapabilir...)
1. ctgA = 0.4 ise tgA'nın değerini hesaplayın.
2. β - dik üçgende açı. sinβ = 12/13 ise tgβ'nin değerini bulun.
3. tgx \u003d 4/3 ise, x akut açısının sinüsünü belirleyin.
4. Bir ifadenin değerini bulun:
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
5. Bir ifadenin değerini bulun:
(1-cosx)(1+cosx), sinx = 0,3 ise
Yanıtlar (noktalı virgülle ayrılmış, dağınık):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Olmuş? Harika! Sekizinci sınıflar zaten A'larını takip edebilirler.)
Her şey yolunda gitmedi mi? Görev 2 ve 3 bir şekilde pek ...? Sorun değil! Bu tür görevler için güzel bir teknik var. Her şeye pratik olarak, formüller olmadan karar verilir! Ve bu nedenle hatasız. Bu teknik, Bölüm 555'teki "Bir açının trigonometrik fonksiyonları arasındaki ilişki" dersinde açıklanmaktadır. Diğer tüm görevler de orada demonte edilmiştir.
Bunlar, Birleşik Devlet Sınavı gibi sorunlardı, ancak sadeleştirilmiş bir versiyonda. KULLANIM - hafif). Ve şimdi neredeyse aynı görevler, ancak tam teşekküllü bir biçimde. Bilgi yükü olan lise öğrencileri için.)
6. sinβ = 12/13 ise tgβ değerini bulun ve
7. tgx = 4/3 ise ve x (- 540°; - 450°) aralığına aitse sinx'i belirleyin.
8. ctgβ = 1 ise sinβ cosβ ifadesinin değerini bulun.
Yanıtlar (karmaşa içinde):
0,8; 0,5; -2,4.
Burada, 6. problemde, açı bir şekilde çok açık bir şekilde verilmemiştir... Ama 8. problemde, hiç ayarlanmamıştır! Bu bilerek). Ek bilgiler yalnızca görevden değil, kafadan da alınır.) Ancak karar verirseniz, bir doğru görev garanti edilir!
Ya karar vermediyseniz? Um... Pekala, Bölüm 555 burada yardımcı olacaktır. Orada, tüm bu görevlerin çözümleri ayrıntılı olarak anlatılıyor, anlamamak zor.
Bu derste çok sınırlı bir trigonometrik fonksiyon kavramı verilmektedir. 8. sınıf içinde. Yaşlıların soruları var...
Örneğin, eğer açı X(bu sayfadaki ikinci resme bakın) - aptallaştırın!? Üçgen parçalanacak! Ve nasıl olunur? Bacak olmayacak, hipotenüs olmayacak ... Sinüs gitti ...
Eski insanlar bu durumdan bir çıkış yolu bulmasaydı, şimdi cep telefonlarımız, televizyonumuz, elektriğimiz olmayacaktı. Evet evet! Trigonometrik fonksiyonları olmayan tüm bu şeylerin teorik temeli değnek olmadan sıfırdır. Ancak eski insanlar hayal kırıklığına uğratmadı. Nasıl çıktılar - bir sonraki derste.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Kosinüs temel trigonometrik fonksiyonlardan biridir. Kosinüs ohm keskin köşe bir dik üçgende, bitişik kenarın hipotenüse oranına denir. Kosinüsün tanımı bir dik üçgene bağlıdır, ancak genellikle kosinüsünün belirlenmesi gereken açı bir dik üçgende yer almaz. Herhangi birinin kosinüsünün değeri nasıl bulunur? köşe ?
Talimat
1. köşe bir dik üçgende, kosinüs tanımını kullanmanız ve bitişik bacağın hipotenüse oranını bulmanız gerekir: cos? = a/c, burada a bacağın uzunluğu, c hipotenüsün uzunluğu.
2. Eğer kosinüsü bulmanız gerekiyorsa köşe rastgele bir üçgende kosinüs teoremini kullanmanız gerekir: eğer açı darsa: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab); eğer açı genişse: cos? = (c2 - a2 - b2)/(2ab), burada a, b köşeye bitişik kenarların uzunlukları, c köşenin karşısındaki kenarın uzunluğudur.
3. Eğer kosinüsü bulmanız gerekiyorsa köşe keyfi bir geometrik şekilde, değeri belirlemeniz gerekir köşe derece veya radyan cinsinden ve kosinüs köşe bir mühendislik hesaplayıcısı, Bradis tabloları veya başka herhangi bir matematiksel uygulamanın desteğiyle değerine göre bulun.
Kosinüs açının temel trigonometrik fonksiyonudur. Vektörlerin farklı eksenler üzerindeki izdüşümlerini belirlerken kosinüsün nasıl belirleneceğini bilmek vektör cebirine uyacaktır.
Talimat
1. Kosinüs Bir açının ohm'u, açıya bitişik bacağın hipotenüse oranıdır. Dolayısıyla, bir ABC dik üçgeninde (ABC bir dik açıdır), BAC açısının kosinüsü AB'nin AC'ye oranına eşittir. ACB açısı için: cos ACB = BC/AC.
2. Ancak açı her zaman bir üçgene ait değildir; ayrıca, bir dik üçgenin parçası olamayacakları açık olan geniş açılar da vardır. Açının ışınlarla verildiği durumu ele alalım. Bu durumda açının kosinüsünü hesaplamak için aşağıdaki gibi ilerleyin. Köşeye bir koordinat sistemi iliştirilir, koordinat önsözü köşe noktasından hesaplanır, X ekseni köşenin bir kenarı boyunca gider, Y ekseni X eksenine dik olarak oluşturulur.Daha sonra birim yarıçaplı bir daire çizilir. merkez köşe tepe noktasında olacak şekilde inşa edilmiştir. Açının ikinci tarafı çemberi A noktasında keser. A noktasındaki dikmeyi X eksenine bırakın, dikeyin Ax ekseni ile kesişme noktasını işaretleyin. Sonra bir AAxO dik üçgeni elde edersiniz ve açının kosinüsü AAx/AO'dur. Çemberin bir birim yarıçapa sahip olması gerçeğinden, o zaman AO = 1 ve açının kosinüsü ilkel olarak AAx'e eşittir.
3. Geniş açı olması durumunda, tüm aynı yapılar gerçekleştirilir. Kosinüs geniş açı negatiftir, ancak aynı zamanda Ax'e eşittir.
İlgili videolar
Not!
Bazı açıların kosinüsleri Bradys tablolarında verilmiştir.
Sinüs, kosinüs, teğet gibi temsillerin günlük yaşamda sıklıkla bulunması pek olası değildir. Bununla birlikte, lisedeki oğlunuzla matematik problemlerini çözmek için oturduysanız, bu temsillerin ne olduğunu ve örneğin kosinüsü nasıl tespit edeceğinizi hatırlamak iyi olur.
Talimat
İlgili videolar
Genellikle geometrik (trigonometrik) problemlerde bunu tespit etmek gerekir. kosinüs açı üçgen, çünkü kosinüs açı, açının kendisinin değerini benzersiz bir şekilde belirlemenizi sağlar.
Talimat
1. Keşfetmek kosinüs açı üçgen kenar uzunlukları bilinen teoremi kullanmak mümkündür. kosinüs ov. Bu teoreme göre, keyfi bir üçgenin bir kenar uzunluğunun karesi, diğer 2 kenarın karelerinin toplamına eşittir, ancak bu kenarların uzunluklarının çarpımını şu şekilde ikiye katlamaz: kosinüs aralarındaki açı: a? = b? + c?-2 * b * c * cos?, burada: a, b, c - üçgenin kenarları (veya daha doğrusu uzunlukları),? - a kenarının karşısındaki açı (değeri) Yukarıdaki eşitlikten сos?'u bulmak kolaydır: сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c) Örnek 1. a, b , s kenarları sırasıyla 3, 4, 5 mm'ye eşit olan bir üçgendir. kosinüs büyük taraflar arasında çevrelenmiş açı Çözüm: Sorunun durumuna göre, elimizde: a \u003d 3, b \u003d 4, c \u003d 5. Kenarın karşısındaki açıyı a ile ? arasında gösterelim, sonra , yukarıda türetilen formüle göre, elimizde: cos? = (b? + c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5) )=(16+25-9)/40=32/40=0, 8Cevap: 0.8.
2. Üçgen bir dik üçgen ise, o zaman bulmak için kosinüs ve bir açının 2 kenarının uzunluğunu bilmek yeterlidir ( kosinüs dik açı 0'dır) Kenarları a, b, c olan dik açılı bir üçgen olsun, burada c hipotenüstür. Tüm seçeneklere bakalım: Örnek 2. Kenar uzunlukları a ve b (üçgenin bacakları) biliniyor c?=b?+a?,c=v(b?+a?)cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c )=(b?+b?+a? -a?)/(2*b*v(b?+a?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+a?) )=b/v(b?+a ?) Elde edilen formülün doğruluğunu kontrol etmek için örnek 1'deki değerleri yerine koyuyoruz, yani a \u003d 3, b \u003d 4. Sahip olmak temel hesaplamalar yaptıktan sonra şunu elde ederiz: çünkü? \u003d 0.8.
3. Benzeri bulunur kosinüs dikdörtgen şeklinde üçgen diğer durumlarda: Örnek 3. Ünlü a ve c (hipotenüs ve karşıt bacak), cos?b?=c?-a?,b=v(c?-a?)cos?=(b?+c?-)'yi bulun. ha?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?))=(2*c?-2*a ?)/(2*c*v(c?-a?))=v(c?-a?)/c İlk örnekteki a=3 ve c=5 değerlerini değiştirerek şunu elde ederiz: cos ?=0.8 .
4. Örnek 4. b ve c'yi biliyoruz (hipotenüs ve komşu bacak) cos'u bulun? kosinüs içinde üçgençok kolay bir formüle göre hesaplanır: cos?=b/s Türetilmiş formülün basitliği temel olarak açıklanır: gerçekten, köşeye bitişik mi? bacak, hipotenüsün bir izdüşümüdür, bu nedenle uzunluğu, hipotenüsün uzunluğu ile cos'un çarpımına eşittir.İlk örnekten b=4 ve c=5 değerlerini değiştirerek, şunu elde ederiz: cos?=0.8Yani , tüm formüllerimiz doğrudur.
İpucu 5: Dik üçgende dar açı nasıl belirlenir
Direkt olarak karbonik görünüşe göre üçgen, tarihsel açıdan en ünlü geometrik figürlerden biridir. Pisagor "pantolonları" yalnızca "Eureka!" Arşimet.
İhtiyacın olacak
- - bir üçgenin çizimi;
- - cetvel;
- - iletki.
Talimat
1. Her zamanki gibi, bir üçgenin köşelerinin köşeleri büyük Latin harfleriyle (A, B, C) ve karşı kenarları küçük Latin harfleriyle (a, b, c) veya oluşturan üçgen köşelerinin adlarıyla gösterilir. bu taraf (AC, BC, AB).
2. Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derecedir. dikdörtgen şeklinde üçgen bir açı (sağ) her zaman 90 derece olacaktır ve geri kalanı keskin olacaktır, yani hepsi 90 dereceden az. Dikdörtgenin hangi açısını bulmak için üçgen düz ise, üçgenin kenarını cetvelden destek alarak ölçün ve en büyüğünü belirleyin. Buna hipotenüs (AB) denir ve dik açının (C) karşısında yer alır. Kalan iki kenar dik açı oluşturur ve bacaklar (AC, BC) olarak adlandırılır.
3. Hangi açının dar olduğunu belirledikten sonra açıyı iletki ile ölçebilir veya matematiksel formüller yardımıyla hesaplayabilirsiniz.
4. İletki yardımıyla açının değerini belirlemek için üst kısmını (A harfi ile gösterilir) iletki ortasındaki cetvel üzerindeki özel bir işaretle hizalayın, AC ayağı üst kenarı ile çakışmalıdır. İletkinin yarım daire şeklindeki kısmında AB hipotenüsünün geçtiği noktayı işaretleyin. Bu noktadaki değer derece cinsinden açı değerine karşılık gelir. İletki üzerinde 2 değer belirtilmişse, o zaman keskin bir açı için daha küçük, küt bir açı için - büyük bir tane seçmek gerekir.
6. Elde edilen değeri Bradis referans tablolarında bulun ve elde edilen sayısal değerin hangi açıya karşılık geldiğini belirleyin. Anneannelerimiz bu yöntemi kullanırdı.
7. Günümüzde, trigonometrik formülleri hesaplama işlevine sahip bir hesap makinesi almak yeterlidir. Diyelim ki yerleşik Windows hesap makinesi. "Hesap Makinesi" uygulamasını başlatın, "Görünüm" menü öğesinde "Mühendislik" öğesini seçin. İstenen açının sinüsünü hesaplayın, diyelim ki sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0,5
8. Hesap makinesi ekranındaki INV düğmesine tıklayarak hesap makinesini ters işlev moduna geçirin, ardından yay fonksiyonunu hesaplamak için düğmeye tıklayın (ekranda eksi birinci dereceye kadar sin olarak işaretlenir). Hesaplama penceresinde başka bir yazı görünecektir: asind (0,5) = 30. Yani, istenilen açının değeri 30 derecedir.
Matematikteki kosinüs teoremi, genellikle bir açıyla üçüncü bir tarafı ve iki tarafı bulmanız gerektiğinde kullanılır. Bununla birlikte, bazen problemin durumu tam tersidir: Verilen 3 kenar ile bir açının algılanması gerekir.
Talimat
1. Size 2 kenar uzunluğu ve bir açısının değeri bilinen bir üçgen verildiğini hayal edin. Bu üçgenin tüm açıları birbirine eşit değildir ve kenarlarının boyutları da farklıdır. Köşe? bu şeklin tabanı olan AB olarak gösterilen üçgenin kenarının karşısında yer alır. Bu açıdan ve AC ve BC'nin geri kalan taraflarından, kosinüs teoremine göre üçgenin bilinmeyen tarafını bulmak mümkündür ve temelinde aşağıdaki formülü türetir: a ^ 2 \u003d b ^ 2 + c ^ 2-2bc * cos ?, burada a=BC, b=AB, c=AC Öte yandan kosinüs teoremine genelleştirilmiş Pisagor teoremi denir.
2. Şimdi şeklin üç tarafının da verildiğini, ancak aynı zamanda açısının da verildiğini hayal edin. Bilinmeyen Formülün a^2=b^2+c^2-2bc*cos? biçiminde olduğunu bilerek, bu ifadeyi açı istenen değer olacak şekilde dönüştürün: b^2+c^2=2bc*cos? ?+a ^2.Bundan sonra yukarıda gösterilen denklemi biraz farklı bir forma getirin: b^2+c^2-a^2=2bc*cos?.Bundan sonra bu ifade aşağıdakine dönüştürülmelidir: cos ?=?b^2+c ^2-a^2/2bc Geriye formüldeki sayıları yerine koymak ve hesaplamaları yapmak kalıyor.
3. ? ile gösterilen bir üçgenin açısının kosinüsünü bulmak için, ters kosinüs adı verilen ters trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade edilmelidir. M sayısının yay kosinüsü, açının kosinüsü olan ? açısının değeridir? m'ye eşittir. y=arccos m fonksiyonu azalıyor. Düşünün, diyelim ki bir açının kosinüsü nedir? bir 2'ye eşittir. Sonra köşe? ark kosinüsü cinsinden aşağıdaki gibi tanımlanabilir: \u003d arccos, m \u003d arccos 1/2 \u003d 60 °, burada m \u003d 1/2 Benzer şekilde, üçgenin kalan açılarını diğer 2 bilinmeyen tarafla tespit etmek mümkündür.
4. Açıların radyan cinsinden olması durumunda, aşağıdaki ilişkiyi kullanarak açıları dereceye çevirin:? radyan = 180 derece Mühendislik hesaplayıcılarının büyük çoğunluğunun açı birimlerini değiştirebilme özelliğiyle donatıldığını unutmayın.
Sinüs ve kosinüs, "düz çizgiler" olarak adlandırılan iki trigonometrik fonksiyondur. Hesaplamaya diğerlerinden daha sık getirilenler onlardır ve bugün bu sorunu çözmek için her birimizin geniş bir seçenek yelpazesine sahibiz. Aşağıda birkaç özellikle ilkel yöntem bulunmaktadır.
Talimat
1. Başka hesaplama yöntemleri yoksa iletki, kalem ve kağıt kullanın. Kosinüsün tanımlarından biri, bir dik üçgendeki dar açılarla verilir - değeri, bu açının karşısında uzanan bacağın uzunluğu ile hipotenüsün uzunluğu arasındaki orana eşittir. Açılardan birinin dik (90°) ve diğerinin kosinüsünü hesaplamak istediğiniz açıya eşit olduğu bir üçgen çizin. Bu durumda kenarların uzunluğu önemli değil - onları daha rahat ölçecek şekilde çizin. İstenilen bacağın ve hipotenüsün uzunluğunu ölçün ve herhangi bir rahat yöntemi kullanarak birinciyi ikinciye bölün.
2. İnternet erişiminiz varsa, Nigma arama motorunda yerleşik hesap makinesinin desteğiyle trigonometrik fonksiyonların değerlerini belirleme yeteneğinden yararlanın. Diyelim ki, 20 ° 'lik bir açının kosinüsünü hesaplamak istiyorsanız, http://nigma.ru ana hizmet sayfasını yükledikten sonra, arama sorgusu alanına "kosinüs 20 derece" yazın ve "Algıla! " buton. "Derece" kelimesini çıkarmanıza ve "kosinüs" kelimesini cos ile değiştirmenize izin verilir - her durumda, arama motoru sonucu 15 ondalık basamak doğruluğu ile gösterecektir (0.939692620785908).
3. İnternet erişimi yoksa, Windows işletim sistemiyle birlikte yüklenen standart hesap makinesi programını açın. Bu, örneğin, kazan ve r tuşlarına aynı anda basıp ardından calc komutunu girerek ve Tamam düğmesine tıklayarak yapılabilir. Trigonometrik fonksiyonları hesaplamak için, burada "mühendislik" veya "bilim adamı" (işletim sistemi sürümüne bağlı olarak) adında bir arayüz sağlanmıştır - hesap makinesi menüsünün "Görünüm" bölümünde gerekli öğeyi seçin. Ardından açı değerini derece cinsinden girin ve program arayüzünde cos düğmesine tıklayın.
İlgili videolar
İpucu 8: Bir dik üçgende açılar nasıl belirlenir
Bir dik üçgen, açılar ve kenarlar arasındaki belirli oranlarla karakterize edilir. Bazılarının değerlerini bilerek, diğerlerinin hesaplanmasına izin verilir. Bunun için, sırasıyla geometrinin aksiyomlarına ve teoremlerine dayanan formüller kullanılır.
Talimat
1. Dik üçgenin adından, açılarından birinin doğru olduğu açıktır. Bir dik üçgenin ikizkenar olup olmadığına bakılmaksızın, her zaman 90 dereceye eşit bir açısı vardır. Aynı anda ve ikizkenar olan bir dik üçgen verilirse, şeklin bir dik açıya sahip olduğu gerçeğine dayanarak, tabanında iki açı bulun. Bu açılar birbirine eşittir, dolayısıyla her birinin değeri şuna eşittir:? = 180 ° - 90 ° / 2 = 45 °
2. Yukarıdakilere ek olarak, üçgenin dik açılı olduğu ancak ikizkenar olmadığı başka bir durumu da kabul ediyoruz. Pek çok problemde, bir üçgendeki tüm açıların toplamının 180° olması gerektiğinden, bir üçgenin açısı 30° ve diğerinin 60°'dir. Bir dik üçgenin hipotenüsü ve bacağı verilirse, bu durumda açı bu 2 kenarın karşılıklılığından bulunabilir: sin ?=a/c, burada a üçgenin hipotenüsünün karşısındaki bacak, c ise dik kenardır. üçgenin hipotenüsü ) Ayrıca açı, kosinüs bulma formülüyle de saptanabilir: cos ?=b/c, burada b, üçgenin hipotenüsüne bitişik bacaktır
3. Sadece iki bacak biliniyorsa, o zaman açı? teğet formülü kullanılarak bulunabilir. Bu açının tanjantı, karşı bacağın bitişik olana oranına eşittir: tg ?=a/bŞöyle olur?=yay(a/b) Bir dik açı verildiğinde ve yukarıdaki yöntemle bulunan açılardan biri 2. daha ileride bulunur:?= 180°-(90°+?)
"Kosinüs" kelimesi, yazıldığında cos olarak gösterilen trigonometrik fonksiyonlardan birini ifade eder. Geometride doğru şekillerin parametrelerini bulma problemlerini çözerken bununla uğraşmak özellikle yaygındır. Bu tür problemlerde, çokgenlerin köşelerindeki açılar, her zaman olduğu gibi, Yunan alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir. Dik açılı bir üçgenden bahsediyorsak, o zaman bu tek harften bazen hangi köşelerin kastedildiğini bulmak mümkündür.
Talimat
1. harfi ile gösterilen açının değeri sorunun koşullarından biliniyorsa, o zaman alfa kosinüsüne karşılık gelen değeri bulmak için standart Windows hesap makinesini kullanabilirsiniz. İşletim sisteminin ana menüsünden başlatılır - Kazan düğmesine basın, menüdeki "Tüm Programlar" bölümünü açın, "Tipik" alt bölümüne ve ardından "Yardımcı Programlar" bölümüne gidin. Orada "Hesap Makinesi" satırını bulacaksınız - uygulamayı başlatmak için tıklayın.
2. Uygulama arayüzünü "mühendislik" (işletim sisteminin diğer sürümlerinde - "bilim adamı") seçeneğine geçirmek için Alt + 2 tuş bileşimine basın. Sonra açının değerini girin? ve fare imleciyle cos işaretli düğmeyi tıklayın - hesap makinesi işlevi hesaplayacak ve sonucu gösterecektir.
3. Bir açının kosinüsünü hesaplarsanız? bir dik üçgende gerekliyse, muhtemelen 2 dar açıdan biridir. Böyle bir üçgenin kenarlarının doğru bir şekilde belirlenmesiyle, hipotenüs (en uzun kenar) c harfiyle ve karşısındaki dik açı Yunanca ? harfiyle gösterilir. Diğer iki kenar (bacaklar) a ve b harfleriyle gösterilir ve bunların karşısındaki dar açılar ? ve?. Bir dik üçgenin dar açılarının büyüklükleri için, açının kendisinin büyüklüğünü bile bilmeden kosinüsü hesaplamanıza izin verecek ilişkiler vardır.
4. Bir dik üçgende b (köşeye bitişik bacak?) ve c (hipotenüs) kenarlarının uzunlukları biliniyorsa, kosinüsü hesaplamak için? bu bacağın uzunluğunu hipotenüsün uzunluğuna bölün: cos(?)=b/c.
5. Rastgele bir üçgende, açının kosinüsünün değeri? tüm kenarların uzunlukları koşullarda verilirse, bilinmeyen bir değer hesaplanabilir. Bunu yapmak için önce tüm kenarların uzunluklarının karesini alın, ardından köşeye bitişik 2 kenar için elde edilen değerler? toplayın ve karşı taraf için elde edilen değeri toplamdan çıkarın. Bundan sonra, elde edilen değeri köşeye bitişik uzunlukların çarpımının iki katına mı bölün? kenarlar - bu, açının istenen kosinüsü olacaktır?: cos(?)=(b?+c?-a?)/(2*b*c). Bu çözüm kosinüs teoreminden gelir.
Faydalı tavsiyeler
Kosinüsün matematiksel gösterimi cos'tur. Kosinüs değeri 1'den büyük ve -1'den küçük olamaz.
Gördüğünüz gibi, bu daire Kartezyen koordinat sisteminde inşa edilmiştir. Çemberin yarıçapı bire eşittir, çemberin merkezi orijinde iken, yarıçap vektörünün ilk konumu eksenin pozitif yönü boyunca sabitlenir (bizim örneğimizde bu yarıçaptır).
Dairenin her noktası iki sayıya karşılık gelir: eksen boyunca koordinat ve eksen boyunca koordinat. Nedir bu koordinat numaraları? Ve genel olarak, eldeki konuyla ne ilgisi var? Bunu yapmak için, dikkate alınan dik açılı üçgeni hatırlayın. Yukarıdaki şekilde iki tam dik üçgen görebilirsiniz. Bir üçgen düşünün. Dikdörtgendir çünkü eksene diktir.
Bir üçgenden neye eşittir? Doğru. Ek olarak, bunun birim çemberin yarıçapı olduğunu biliyoruz ve bu nedenle, . Bu değeri kosinüs formülümüzde değiştirin. İşte olanlar:
Ve bir üçgenden neye eşittir? Peki, tabii ki! Yarıçapın değerini bu formülde değiştirin ve şunu elde edin:
Peki çembere ait bir noktanın koordinatları nedir söyler misiniz? Olamaz mı? Ve eğer bunun farkına varırsanız ve sadece rakamlardan ibaretseniz? Hangi koordinata karşılık gelir? Tabii ki, koordinat! Hangi koordinata karşılık gelir? Bu doğru, koordinat! Böylece, nokta.
Ve o zaman ne eşit ve? Doğru, teğet ve kotanjantın uygun tanımlarını kullanalım ve a'yı elde edelim.
Ya açı daha büyükse? Burada, örneğin, bu resimdeki gibi:
Bu örnekte ne değişti? Hadi çözelim. Bunu yapmak için yine dik açılı bir üçgene dönüyoruz. Bir dik üçgen düşünün: bir açı (bir açıya bitişik olarak). Bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının değeri nedir? Bu doğru, trigonometrik fonksiyonların karşılık gelen tanımlarına bağlı kalıyoruz:
Gördüğünüz gibi, açının sinüsünün değeri hala koordinata karşılık geliyor; açının kosinüsünün değeri - koordinat; ve karşılık gelen oranlara teğet ve kotanjant değerleri. Böylece, bu ilişkiler yarıçap vektörünün herhangi bir dönüşüne uygulanabilir.
Yarıçap vektörünün başlangıç konumunun, eksenin pozitif yönü boyunca olduğundan daha önce bahsedilmişti. Şimdiye kadar bu vektörü saat yönünün tersine döndürdük, peki saat yönünde döndürürsek ne olur? Olağanüstü bir şey yok, ayrıca belirli bir boyutta bir açı elde edeceksiniz, ancak yalnızca negatif olacaktır. Böylece, yarıçap vektörünü saat yönünün tersine döndürürken, pozitif açılar ve saat yönünde döndürürken - olumsuz.
Böylece, yarıçap vektörünün daire etrafındaki tam dönüşünün veya olduğunu biliyoruz. Yarıçap vektörünü by veya by ile döndürmek mümkün müdür? Tabii ki yapabilirsin! Bu nedenle ilk durumda, yarıçap vektörü bir tam devir yapacak ve veya konumunda duracaktır.
İkinci durumda, yani yarıçap vektörü üç tam tur yapacak ve veya konumunda duracaktır.
Bu nedenle, yukarıdaki örneklerden, veya (herhangi bir tam sayıdır) ile farklılık gösteren açıların, yarıçap vektörünün aynı konumuna karşılık geldiği sonucuna varabiliriz.
Aşağıdaki şekil bir açıyı göstermektedir. Aynı görüntü köşeye karşılık gelir vb. Bu liste süresiz olarak devam ettirilebilir. Tüm bu açılar genel formül veya (herhangi bir tam sayıdır) ile yazılabilir.
Şimdi, temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilerek ve birim çemberi kullanarak, değerlerin neye eşit olduğunu cevaplamaya çalışın:
İşte size yardımcı olacak bir birim çember:
Herhangi bir zorluk var mı? O zaman çözelim. Yani şunu biliyoruz:
Buradan açının belirli ölçülerine karşılık gelen noktaların koordinatlarını belirliyoruz. Pekala, sırayla başlayalım: adresindeki köşe, koordinatları olan bir noktaya karşılık gelir, bu nedenle:
Bulunmuyor;
Ayrıca, aynı mantığa bağlı kalarak, içindeki köşelerin sırasıyla koordinatlı noktalara karşılık geldiğini öğreniyoruz. Bunu bilerek, karşılık gelen noktalardaki trigonometrik fonksiyonların değerlerini belirlemek kolaydır. Önce kendiniz deneyin, sonra cevapları kontrol edin.
Yanıtlar:
Bulunmuyor
Bulunmuyor
Bulunmuyor
Bulunmuyor
Böylece aşağıdaki tabloyu oluşturabiliriz:
Tüm bu değerleri hatırlamanıza gerek yok. Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonların değerleri arasındaki yazışmayı hatırlamak yeterlidir:
Ancak aşağıdaki tabloda verilen ve içindeki açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri, hatırlanmalı:
Korkmayın, şimdi örneklerden birini göstereceğiz. karşılık gelen değerlerin oldukça basit bir şekilde ezberlenmesi:
Bu yöntemi kullanmak için, açının () üç ölçüsü için sinüs değerlerini ve açının tanjantının değerini hatırlamak çok önemlidir. Bu değerleri bilmek, tüm tabloyu geri yüklemek oldukça kolaydır - kosinüs değerleri oklara göre aktarılır, yani:
Bunu bilerek, değerlerini geri yükleyebilirsiniz. Pay " " eşleşecek ve payda " " eşleşecektir. Kotanjant değerleri şekilde gösterilen oklara göre aktarılır. Bunu anlarsanız ve diyagramı oklarla hatırlarsanız, tablodan tüm değeri hatırlamanız yeterli olacaktır.
Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları
Bir daire üzerinde bir nokta (koordinatları) bulmak mümkün mü, dairenin merkezinin koordinatlarını, yarıçapını ve dönme açısını bilmek?
Tabii ki yapabilirsin! hadi dışarı çıkaralım bir noktanın koordinatlarını bulmak için genel formül.
Burada, örneğin, böyle bir dairemiz var:
Bize noktanın dairenin merkezi olduğu verildi. Çemberin yarıçapı eşittir. Noktayı derece derece döndürerek elde edilen noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.
Şekilden de görülebileceği gibi noktanın koordinatı parçanın uzunluğuna karşılık gelmektedir. Segmentin uzunluğu dairenin merkezinin koordinatına karşılık gelir, yani eşittir. Bir parçanın uzunluğu, kosinüs tanımı kullanılarak ifade edilebilir:
O zaman koordinat noktası için buna sahibiz.
Aynı mantıkla noktanın y koordinatının değerini buluyoruz. Böylece,
Dolayısıyla, genel olarak noktaların koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:
Çember merkezi koordinatları,
daire yarıçapı,
Yarıçap vektörünün dönüş açısı.
Gördüğünüz gibi, düşündüğümüz birim çember için, merkezin koordinatları sıfır ve yarıçap bire eşit olduğundan, bu formüller önemli ölçüde azaltılmıştır:
Peki, bir daire üzerinde nokta bulma pratiği yaparak bu formülleri deneyelim mi?
1. Bir noktayı çevirerek elde edilen birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulun.
2. Bir noktayı döndürerek elde edilen birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulun.
3. Bir noktayı çevirerek elde edilen birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulun.
4. Nokta - dairenin merkezi. Çemberin yarıçapı eşittir. İlk yarıçap vektörünün döndürülmesiyle elde edilen noktanın koordinatlarının bulunması gerekir.
5. Nokta - dairenin merkezi. Çemberin yarıçapı eşittir. İlk yarıçap vektörünün döndürülmesiyle elde edilen noktanın koordinatlarının bulunması gerekir.
Çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulmakta sorun mu yaşıyorsunuz?
Bu beş örneği çözün (veya çözümü iyi anlayın) ve onları nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz!
1.
Bu görülebilir. Ve başlangıç noktasının tam dönüşüne neyin karşılık geldiğini biliyoruz. Böylece istenilen nokta dönüşte olduğu gibi aynı konumda olacaktır. Bunu bilerek, noktanın istenen koordinatlarını buluruz:
2. Daire, merkezi bir noktada olan birimdir, yani basitleştirilmiş formüller kullanabiliriz:
Bu görülebilir. Başlangıç noktasının iki tam dönüşüne neyin karşılık geldiğini biliyoruz. Böylece istenilen nokta dönüşte olduğu gibi aynı konumda olacaktır. Bunu bilerek, noktanın istenen koordinatlarını buluruz:
Sinüs ve kosinüs tablo değerleridir. Değerlerini hatırlıyoruz ve alıyoruz:
Böylece istenilen noktanın koordinatları bulunur.
3. Daire, merkezi bir noktada olan birimdir, yani basitleştirilmiş formüller kullanabiliriz:
Bu görülebilir. Ele alınan örneği şekilde gösterelim:
Yarıçap, eksenle ve'ye eşit açılar yapar. Kosinüs ve sinüsün tablo değerlerinin eşit olduğunu bilerek ve buradaki kosinüsün negatif bir değer aldığını ve sinüsün pozitif olduğunu belirledikten sonra:
Konudaki trigonometrik fonksiyonları azaltmak için formüller çalışırken benzer örnekler daha ayrıntılı olarak analiz edilir.
Böylece istenilen noktanın koordinatları bulunur.
4.
Yarıçap vektörünün dönüş açısı (koşula göre)
Sinüs ve kosinüsün karşılık gelen işaretlerini belirlemek için, bir birim çember ve bir açı oluştururuz:
Gördüğünüz gibi değer, yani pozitif ve değer, yani negatif. Karşılık gelen trigonometrik fonksiyonların tablo değerlerini bilerek şunu elde ederiz:
Elde edilen değerleri formülümüzde yerine koyalım ve koordinatları bulalım:
Böylece istenilen noktanın koordinatları bulunur.
5. Bu sorunu çözmek için, genel formdaki formülleri kullanırız; burada
Çemberin merkezinin koordinatları (bizim örneğimizde,
Daire yarıçapı (koşula göre)
Yarıçap vektörünün dönme açısı (koşula göre).
Tüm değerleri formülde değiştirin ve şunu elde edin:
ve - tablo değerleri. Bunları hatırlıyor ve formülde değiştiriyoruz:
Böylece istenilen noktanın koordinatları bulunur.
ÖZET VE TEMEL FORMÜL
Bir açının sinüsü, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bir açının kosinüsü, bitişik (yakın) bacağın hipotenüse oranıdır.
Bir açının tanjantı, karşı (uzak) bacağın bitişik (yakın) açıya oranıdır.
Bir açının kotanjantı, bitişik (yakın) bacağın karşı (uzak) açıya oranıdır.
Kosinüs, aynı zamanda trigonometrinin ana fonksiyonlarından biri olan iyi bilinen bir trigonometrik fonksiyondur. Dik açılı bir üçgende bir açının kosinüsü, üçgenin bitişiğindeki bacağının üçgenin hipotenüsüne oranıdır. Çoğu zaman, kosinüsün tanımı tam olarak dikdörtgen tipte bir üçgenle ilişkilendirilir. Ancak, dikdörtgen tipte bir üçgende kosinüsü hesaplamanın gerekli olduğu açının, bu dikdörtgen tipte üçgende bulunmadığı da olur. O zaman ne yapmalı? Bir üçgenin açısının kosinüsü nasıl bulunur?
Dik açılı bir üçgende bir açının kosinüsünü hesaplamak istiyorsanız, her şey çok basit. Sadece bu sorunun çözümünün yattığı kosinüs tanımını hatırlamanız gerekiyor. Sadece bitişik bacak arasındaki aynı oranı ve üçgenin hipotenüsünü bulmanız gerekiyor. Aslında burada bir açının kosinüsünü ifade etmek zor değil. Formül şöyle görünür: - cosα = a/c, burada "a" bacağın uzunluğu ve "c" kenarı sırasıyla hipotenüsün uzunluğudur. Örneğin, bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü bu formül kullanılarak bulunabilir.
Rastgele bir üçgendeki bir açının kosinüsünün neye eşit olduğuyla ilgileniyorsanız, bu tür durumlarda kullanılması gereken kosinüs teoremi kurtarmaya gelir. Kosinüs teoremi, bir üçgenin bir kenarının karesinin, aynı üçgenin diğer kenarlarının karelerinin toplamına a priori eşit olduğunu, ancak bu kenarların aralarındaki açının kosinüsüyle çarpımının iki katı olmadığını belirtir. onlara.
- Bir üçgende dar bir açının kosinüsünü bulmanız gerekiyorsa, aşağıdaki formülü kullanmanız gerekir: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
- Bir üçgende geniş bir açının kosinüsünü bulmanız gerekiyorsa, aşağıdaki formülü kullanmanız gerekir: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). Formüldeki gösterimler - a ve b - istenen açıya bitişik kenarların uzunluklarıdır, c - istenen açının karşısındaki tarafın uzunluğu.
Ayrıca, bir açının kosinüsü sinüs teoremi kullanılarak hesaplanabilir. Bir üçgenin tüm kenarlarının, zıt açıların sinüsleriyle orantılı olduğunu söyler. Sinüs teoremini kullanarak, yalnızca iki kenarı ve bir kenarın karşısındaki açıyı veya iki açı ve bir kenarı bilerek bir üçgenin kalan öğelerini hesaplayabilirsiniz. Bir örnek düşünün. Sorun koşulları: a=1; b=2; c=3. "A" tarafının karşısındaki açı, - α ile gösterilir, ardından formüllere göre elimizde: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3²) -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Cevap 1.
Açının kosinüsünün bir üçgende değil, başka bir keyfi geometrik şekilde hesaplanması gerekiyorsa, o zaman her şey biraz daha karmaşık hale gelir. Açının değeri önce radyan veya derece olarak belirlenmeli ve ancak o zaman bu değerden kosinüs hesaplanmalıdır. Sayısal değere göre kosinüs, Bradis tabloları, mühendislik hesap makineleri veya özel matematiksel uygulamalar kullanılarak belirlenir.
Özel matematiksel uygulamalar, belirli bir şekildeki açıların kosinüslerinin otomatik olarak hesaplanması gibi işlevlere sahip olabilir. Bu tür uygulamaların güzelliği, doğru cevabı vermeleri ve kullanıcının zamanını bazen oldukça karmaşık sorunları çözmek için harcamamasıdır. Öte yandan, yalnızca problem çözme uygulamalarının sürekli kullanımıyla, üçgenlerdeki açıların kosinüslerini ve diğer rastgele şekilleri bulmak için matematiksel problemlerin çözümü ile çalışma becerileri kaybolur.
Okul çocuklarının en büyük zorluklarla baş ettikleri matematik dallarından biri trigonometridir. Şaşılacak bir şey yok: Bu bilgi alanında özgürce ustalaşmak için, uzamsal düşünmeye, formülleri kullanarak sinüsleri, kosinüsleri, teğetleri, kotanjantları bulma yeteneğine, ifadeleri basitleştirmeye ve hesaplamalarda pi sayısını kullanabilmeye ihtiyacınız var. Ek olarak, teoremleri ispatlarken trigonometriyi uygulayabilmeniz gerekir ve bu, ya gelişmiş bir matematiksel hafıza ya da karmaşık mantıksal zincirleri çıkarabilme becerisi gerektirir.
trigonometrinin kökenleri
Bu bilimle tanışma, açının sinüs, kosinüs ve tanjantının tanımıyla başlamalıdır, ancak önce trigonometrinin genel olarak ne yaptığını bulmanız gerekir.
Tarihsel olarak, dik üçgenler, matematik biliminin bu bölümünde çalışmanın ana amacı olmuştur. 90 derecelik bir açının varlığı, iki taraf ve bir açı veya iki açı ve bir taraf kullanılarak söz konusu şeklin tüm parametrelerinin değerlerinin belirlenmesine izin veren çeşitli işlemlerin gerçekleştirilmesini mümkün kılar. Geçmişte, insanlar bu modeli fark ettiler ve onu binaların inşasında, denizcilikte, astronomide ve hatta sanatta aktif olarak kullanmaya başladılar.
İlk aşama
Başlangıçta insanlar açıların ve kenarların ilişkisinden yalnızca dik üçgenler örneğinde bahsettiler. Ardından, matematiğin bu bölümünün günlük yaşamda kullanım sınırlarını genişletmeyi mümkün kılan özel formüller keşfedildi.
Bugün okulda trigonometri çalışması dik üçgenlerle başlıyor, ardından edinilen bilgiler öğrenciler tarafından fizikte kullanılıyor ve lisede başlayan soyut trigonometrik denklemleri çözüyor.
Küresel trigonometri
Daha sonra, bilim bir sonraki gelişme düzeyine ulaştığında, diğer kuralların geçerli olduğu ve bir üçgendeki açıların toplamının her zaman 180 dereceden fazla olduğu küresel geometride sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant formülleri kullanılmaya başlandı. Bu bölüm okulda incelenmez, ancak varlığını bilmek gerekir, çünkü en azından dünyanın yüzeyi ve diğer herhangi bir gezegenin yüzeyi dışbükeydir, bu da herhangi bir yüzey işaretinin "yay şeklinde" olacağı anlamına gelir. üç boyutlu uzay.
Küreyi ve ipliği alın. İpliği, gergin olması için dünya üzerindeki herhangi iki noktaya takın. Dikkat edin - bir yay şeklini almıştır. Jeodezi, astronomi ve diğer teorik ve uygulamalı alanlarda kullanılan küresel geometri işte bu tür formlarla ilgilenir.
sağ üçgen
Trigonometriyi kullanmanın yollarını biraz öğrendikten sonra, sinüs, kosinüs, tanjantın ne olduğunu, bunların yardımıyla hangi hesaplamaların yapılabileceğini ve hangi formüllerin kullanılacağını daha iyi anlamak için temel trigonometriye dönelim.
İlk adım, dik üçgenle ilgili kavramları anlamaktır. İlk olarak, hipotenüs 90 derecelik açının karşısındaki kenardır. O en uzun olanıdır. Pisagor teoremine göre sayısal değerinin diğer iki kenarın karelerinin toplamının köküne eşit olduğunu hatırlıyoruz.
Örneğin, iki kenar sırasıyla 3 ve 4 cm ise, hipotenüsün uzunluğu 5 cm olacaktır. Bu arada, eski Mısırlılar bunu yaklaşık dört buçuk bin yıl önce biliyorlardı.
Dik açı oluşturan kalan iki kenara bacak denir. Ayrıca dikdörtgen koordinat sisteminde bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olduğunu unutmamalıyız.
Tanım
Son olarak, geometrik tabanı sağlam bir şekilde anlayarak, bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantının tanımına dönebiliriz.
Bir açının sinüsü, karşı bacağın (yani istenen açının karşısındaki kenar) hipotenüse oranıdır. Bir açının kosinüsü, komşu bacağın hipotenüse oranıdır.
Ne sinüsün ne de kosinüsün birden büyük olamayacağını unutmayın! Neden? Niye? Hipotenüs varsayılan olarak en uzun olduğu için, bacak ne kadar uzun olursa olsun, hipotenüsten daha kısa olacaktır, bu da oranlarının her zaman birden az olacağı anlamına gelir. Bu nedenle, sorunun cevabında 1'den büyük bir değere sahip bir sinüs veya kosinüs alırsanız, hesaplamalarda veya muhakemede bir hata arayın. Bu cevap açıkça yanlıştır.
Son olarak, bir açının tanjantı, karşı kenarın bitişik kenara oranıdır. Aynı sonuç sinüsün kosinüs ile bölümünü verecektir. Bakın: formüle göre, kenarın uzunluğunu hipotenüse böleriz, ardından ikinci kenarın uzunluğuna böleriz ve hipotenüs ile çarparız. Böylece, teğet tanımındakiyle aynı oranı elde ederiz.
Kotanjant, sırasıyla, köşeye bitişik kenarın karşı kenara oranıdır. Birimi teğete bölersek aynı sonucu elde ederiz.
Böylece sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın tanımlarını ele aldık ve formüllerle ilgilenebiliriz.
En basit formüller
Trigonometride formüller olmadan kimse yapamaz - sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant onlarsız nasıl bulunur? Ve bu tam olarak sorunları çözerken gerekli olan şeydir.
Trigonometri çalışmaya başlarken bilmeniz gereken ilk formül, bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamının bire eşit olduğunu söyler. Bu formül, Pisagor teoreminin doğrudan bir sonucudur, ancak kenarı değil açının değerini bilmek istiyorsanız zaman kazandırır.
Pek çok öğrenci, okul problemlerini çözerken de çok popüler olan ikinci formülü hatırlayamaz: bir açının tanjantının karesinin toplamı, bir bölü açının kosinüsünün karesine eşittir. Daha yakından bakın: Sonuçta, bu ilk formüldeki ile aynı ifadedir, yalnızca kimliğin her iki tarafı da kosinüsün karesine bölünmüştür. Basit bir matematiksel işlemin trigonometrik formülü tamamen tanınmaz hale getirdiği ortaya çıktı. Unutmayın: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın ne olduğunu, dönüştürme kurallarını ve birkaç temel formülü bilerek, istediğiniz zaman bir kağıt üzerinde gerekli daha karmaşık formülleri bağımsız olarak türetebilirsiniz.
Çift açılı formüller ve bağımsız değişkenlerin eklenmesi
Öğrenmeniz gereken iki formül daha, açıların toplamı ve farkı için sinüs ve kosinüs değerleriyle ilgilidir. Aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Lütfen ilk durumda sinüs ve kosinüsün iki kez çarpıldığını ve ikinci durumda sinüs ve kosinüsün ikili çarpımının toplandığını unutmayın.
Çift açılı bağımsız değişkenlerle ilişkili formüller de vardır. Tamamen öncekilerden türetilmiştir - bir uygulama olarak, alfa açısını beta açısına eşit alarak onları kendiniz almaya çalışın.
Son olarak, çift açı formüllerinin sinüs, kosinüs, teğet alfa derecesini düşürmek için dönüştürülebileceğini unutmayın.
teoremler
Temel trigonometrideki iki ana teorem, sinüs teoremi ve kosinüs teoremidir. Bu teoremlerin yardımıyla sinüs, kosinüs ve tanjantı ve dolayısıyla şeklin alanını ve her bir kenarın boyutunu vb. Nasıl bulacağınızı kolayca anlayabilirsiniz.
Sinüs teoremi, üçgenin her bir kenarının uzunluğunu karşı açının değerine bölmemiz sonucunda aynı sayıyı elde ettiğimizi belirtir. Üstelik bu sayı, verilen üçgenin tüm noktalarını içeren çevrelenmiş dairenin iki yarıçapına eşit olacaktır.
Kosinüs teoremi, Pisagor teoremini herhangi bir üçgene yansıtarak genelleştirir. Görünüşe göre, iki tarafın karelerinin toplamından, çarpımlarını kendilerine bitişik açının çift kosinüsüyle çarpın - elde edilen değer üçüncü tarafın karesine eşit olacaktır. Böylece, Pisagor teoremi, kosinüs teoreminin özel bir durumu haline gelir.
Dikkatsizlikten kaynaklanan hatalar
Sinüs, kosinüs ve teğetin ne olduğunu bilsek bile, dalgınlıktan veya en basit hesaplamalardaki bir hatadan dolayı hata yapmak kolaydır. Bu tür hatalardan kaçınmak için en popüler olanları tanıyalım.
İlk olarak, nihai sonuç elde edilene kadar sıradan kesirleri ondalık sayılara dönüştürmemelisiniz - koşul aksini belirtmedikçe cevabı sıradan bir kesir olarak bırakabilirsiniz. Böyle bir dönüşüme hata denemez, ancak sorunun her aşamasında yazarın fikrine göre azaltılması gereken yeni köklerin ortaya çıkabileceği unutulmamalıdır. Bu durumda gereksiz matematiksel işlemlerle vakit kaybedersiniz. Bu, özellikle üç veya ikinin kökü gibi değerler için geçerlidir çünkü bunlar her adımda görevlerde bulunur. Aynısı "çirkin" sayıları yuvarlamak için de geçerlidir.
Ayrıca, kosinüs teoreminin herhangi bir üçgen için geçerli olduğuna, ancak Pisagor teoreminin geçerli olmadığına dikkat edin! Yanlışlıkla kenarların çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünü çıkarmayı unutursanız, yalnızca tamamen yanlış bir sonuç elde etmekle kalmaz, aynı zamanda konuyu tamamen yanlış anladığınızı da gösterirsiniz. Bu dikkatsiz bir hatadan daha kötü.
Üçüncüsü, sinüsler, kosinüsler, teğetler, kotanjantlar için 30 ve 60 derecelik açıların değerlerini karıştırmayın. Bu değerleri unutmayın, çünkü 30 derecenin sinüsü 60'ın kosinüsüne eşittir ve bunun tersi de geçerlidir. Bunları karıştırmak kolaydır, bunun sonucunda kaçınılmaz olarak hatalı bir sonuç alırsınız.
Başvuru
Pek çok öğrenci trigonometri çalışmaya başlamak için acele etmiyor çünkü uygulamalı anlamını anlamıyorlar. Bir mühendis veya astronom için sinüs, kosinüs, teğet nedir? Bunlar, uzak yıldızlara olan mesafeyi hesaplayabileceğiniz, bir göktaşının düşüşünü tahmin edebileceğiniz, başka bir gezegene araştırma sondası gönderebileceğiniz kavramlardır. Bunlar olmadan bir bina inşa etmek, bir araba tasarlamak, yüzeydeki yükü veya bir nesnenin yörüngesini hesaplamak imkansızdır. Ve bunlar sadece en bariz örnekler! Ne de olsa, müzikten ilaca kadar her yerde trigonometri şu veya bu şekilde kullanılıyor.
Nihayet
Yani sen sinüs, kosinüs, teğetsin. Bunları hesaplamalarda kullanabilir ve okul problemlerini başarıyla çözebilirsiniz.
Trigonometrinin özü, bilinmeyen parametrelerin üçgenin bilinen parametrelerinden hesaplanması gerektiği gerçeğine dayanır. Toplamda altı parametre vardır: üç kenarın uzunluğu ve üç açının büyüklüğü. Görevlerdeki tüm fark, farklı girdi verilerinin verilmesi gerçeğinde yatmaktadır.
Bacakların bilinen uzunluklarına veya hipotenüse göre sinüs, kosinüs, teğet nasıl bulunur, artık biliyorsunuz. Bu terimler bir orandan başka bir şey ifade etmediğinden ve oran bir kesir olduğundan, trigonometrik problemin asıl amacı sıradan bir denklemin veya bir denklem sisteminin köklerini bulmaktır. Ve burada sıradan okul matematiği size yardımcı olacak.