Cevrimici hesap makinesi. Eşitsizlikleri çözme: doğrusal, kare ve kesirli
Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Şiddetle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok fazla..." olanlar için)
Ne "kare eşitsizliği"? Soru değil!) Alırsanız hiç ikinci dereceden denklem ve içindeki işareti değiştirin "=" (eşit) herhangi bir eşitsizlik simgesine ( > ≥ < ≤ ≠ ), ikinci dereceden bir eşitsizlik elde ederiz. Örneğin:
1. x2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x2 ≤ 4
Neyse anladınız...)
Burada denklemleri ve eşitsizlikleri bilerek bağladım. Gerçek şu ki, çözümün ilk adımı hiç kare eşitsizliği - bu eşitsizliğin yapıldığı denklemi çözün. Bu nedenle - ikinci dereceden denklemlerin çözülememesi, otomatik olarak eşitsizliklerde tam bir başarısızlığa yol açar. İpucu açık mı?) Varsa, ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğine bakın. Orada her şey ayrıntılı. Ve bu derste eşitsizliklerle ilgileneceğiz.
Çözüme hazır eşitsizlik şu şekildedir: sol - kare üç terimli balta 2 +bx+c, sağda - sıfır. Eşitsizlik işareti kesinlikle herhangi bir şey olabilir. İlk iki örnek burada bir karara hazırız.Üçüncü örneğin hala hazırlanması gerekiyor.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
y=k/y fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyonun grafiği, matematikte hiperbol olarak adlandırılan bir çizgidir. Hiperbolün genel görünümü aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. (Grafik, k'nin bire eşit olduğu, y eşittir k'nin x'e bölünmesini sağlayan bir fonksiyonu gösterir.)
Grafiğin iki bölümden oluştuğu görülmektedir. Bu parçalara hiperbolün dalları denir. Ayrıca, hiperbolün her bir dalının, yönlerden birinde koordinat eksenlerine daha da yaklaştığını belirtmekte fayda var. Bu durumda koordinat eksenlerine asimptot denir.
Genel olarak, bir fonksiyonun grafiğinin sonsuzca yaklaştığı, ancak ulaşmadığı herhangi bir düz çizgiye asimptot denir. Bir parabol gibi bir hiperbolün simetri eksenleri vardır. Yukarıdaki şekilde gösterilen hiperbol için bu, y=x düz çizgisidir.
Şimdi iki genel hiperbol durumuyla ilgilenelim. k ≠ 0 için y = k/x fonksiyonunun grafiği, dalları k>0 için birinci ve üçüncü koordinat açılarında veya ikinci ve dördüncü koordinat açılarında bulunan bir hiperbol olacaktır, çatal<0.
k>0 için y = k/x fonksiyonunun temel özellikleri
k>0 için y = k/x fonksiyonunun grafiği
5. x>0 için y>0; y6. Fonksiyon hem (-∞;0) aralığında hem de (0;+∞) aralığında azalır.
10. Fonksiyonun aralığı iki açık aralıktır (-∞;0) ve (0;+∞).
k için y = k/x fonksiyonunun temel özellikleri<0
k için y = k/x fonksiyonunun grafiği<0
1. (0;0) noktası hiperbolün simetri merkezidir.
2. Koordinat eksenleri - hiperbolün asimptotları.
4. Fonksiyonun kapsamı, x=0 hariç tümü x'tir.
5. x0 için y>0.
6. Fonksiyon hem (-∞;0) aralığında hem de (0;+∞) aralığında artar.
7. İşlev, aşağıdan veya yukarıdan sınırlı değildir.
8. Fonksiyonun ne en büyük ne de en küçük değerleri vardır.
9. Fonksiyon (-∞;0) aralığında ve (0;+∞) aralığında süreklidir. x=0 noktasında bir boşluk var.
y (x) = ex türevi fonksiyonun kendisine eşit olan .Üs, veya olarak gösterilir.
e numarası
Üs derecesinin tabanı, e numarası. Bu irrasyonel bir sayıdır. yaklaşık olarak eşittir
e ≈ 2,718281828459045...
e sayısı dizinin limiti ile belirlenir. Bu sözde ikinci harika limit:
.
Ayrıca, e sayısı bir dizi olarak temsil edilebilir:
.
Katılımcı çizelgesi
Üs grafiği, y = e x .Grafik üssü gösterir, eölçüde X.
y (x) = ex
Grafik, üssün monoton olarak arttığını göstermektedir.
formüller
Temel formüller, tabanı e olan üstel fonksiyonla aynıdır.
;
;
;
Üstel bir fonksiyonun üs aracılığıyla keyfi bir derece tabanına sahip ifadesi:
.
Özel değerler
y olsun (x) = ex. O zamanlar
.
Üs Özellikleri
Üs, derece bazında üstel bir fonksiyonun özelliklerine sahiptir. e > 1 .
Tanım alanı, değerler kümesi
y üssü (x) = ex tüm x için tanımlı.
Kapsamı:
- ∞ < x + ∞
.
Anlamları kümesi:
0
< y < + ∞
.
Aşırılıklar, artış, azalma
Üs, monoton artan bir fonksiyondur, bu nedenle ekstremumu yoktur. Ana özellikleri tabloda sunulmaktadır.
Ters fonksiyon
Üssün tersi doğal logaritmadır.
;
.
Üssün türevi
Türev eölçüde X eşittir eölçüde X
:
.
n. mertebenin türevi:
.
Formüllerin türetilmesi > > >
integral
Karışık sayılar
Karmaşık sayılarla işlemler yapılır Euler formülleri:
,
hayali birim nerede:
.
Hiperbolik fonksiyonlar cinsinden ifadeler
;
;
.
Trigonometrik fonksiyonlar cinsinden ifadeler
;
;
;
.
Güç serisi genişletme
Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Yüksek Öğretim Kurumlarının Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, Lan, 2009.
Tüm yeni video derslerden haberdar olmak için sitemizin youtube kanalına.
İlk olarak, derecelerin temel formüllerini ve özelliklerini hatırlayalım.
Bir sayının çarpımı a kendi başına n kez olur, bu ifadeyi a … a=a n şeklinde yazabiliriz.
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. bir n bir m = bir n + m
4. (bir n) m = bir nm
5. bir n b n = (ab) n
7. bir n / a m \u003d bir n - m
Güç veya üstel denklemler- bunlar, değişkenlerin kuvvetlerde (veya üslerde) olduğu ve tabanın bir sayı olduğu denklemlerdir.
Üstel denklem örnekleri:
Bu örnekte, 6 sayısı tabandır, her zaman alttadır ve değişken x derece veya ölçü.
Daha fazla üstel denklem örneği verelim.
2 x *5=10
16x-4x-6=0
Şimdi üstel denklemlerin nasıl çözüldüğüne bakalım.
Basit bir denklem alalım:
2 x = 2 3
Böyle bir örnek akılda bile çözülebilir. x=3 olduğu görülebilir. Sonuçta, sol ve sağ tarafların eşit olması için x yerine 3 sayısını koymanız gerekir.
Şimdi bu kararın nasıl verilmesi gerektiğine bakalım:
2 x = 2 3
x = 3
Bu denklemi çözmek için kaldırdık aynı gerekçe(yani ikililer) ve kalanları yazdı, bunlar derecelerdir. Aradığımız cevabı aldık.
Şimdi çözümümüzü özetleyelim.
Üstel denklemi çözmek için algoritma:
1. Kontrol etmeniz gerekiyor aynısı Sağda ve solda denklemin tabanları olsun. Gerekçeler aynı değilse, bu örneği çözmek için seçenekler arıyoruz.
2. Bazlar aynı olduktan sonra, kıyaslanmak derece ve elde edilen yeni denklemi çözün.
Şimdi birkaç örnek çözelim:
Basitten başlayalım.
Sol ve sağ taraftaki tabanlar 2 sayısına eşittir, bu da tabanı atıp derecelerini eşitleyebileceğimiz anlamına gelir.
x+2=4 En basit denklem ortaya çıktı.
x=4 - 2
x=2
Cevap: x=2
Aşağıdaki örnekte tabanların farklı olduğunu görebilirsiniz, bunlar 3 ve 9'dur.
3 3x - 9x + 8 = 0
Başlamak için, dokuzu sağ tarafa aktarıyoruz, şunu elde ediyoruz:
Şimdi aynı üsleri yapmanız gerekiyor. 9=3 2 olduğunu biliyoruz. (a n) m = a nm güç formülünü kullanalım.
3 3x \u003d (3 2) x + 8
9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 alıyoruz
3 3x \u003d 3 2x + 16 şimdi sol ve sağ taraftaki tabanların aynı ve üçe eşit olduğu açıktır, bu da onları atıp dereceleri eşitleyebileceğimiz anlamına gelir.
3x=2x+16 en basit denklemi elde etti
3x-2x=16
x=16
Cevap: x=16.
Aşağıdaki örneğe bakalım:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
Öncelikle üslere bakıyoruz, üsler farklı iki ve dört. Ve aynı olmamız gerekiyor. Dörtlü (a n) m = a nm formülüne göre dönüştürüyoruz.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Ayrıca a n a m = a n + m formülünü de kullanırız:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Denkleme ekleyin:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Ancak diğer 10 ve 24 sayıları bize müdahale ediyor, onlarla ne yapmalı? Yakından bakarsanız, sol tarafta 2 2x tekrarladığımızı görebilirsiniz, işte cevap - 2 2x'i parantezlerin dışına koyabiliriz:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Parantez içindeki ifadeyi hesaplayalım:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Tüm denklemi 6'ya böleriz:
4=2 2 düşünün:
2 2x \u003d 2 2 taban aynıdır, onları atın ve dereceleri eşitleyin.
2x \u003d 2 en basit denklem olduğu ortaya çıktı. 2'ye bölersek,
x = 1
Cevap: x=1.
Denklemi çözelim:
9 x - 12*3 x +27= 0
Hadi dönüştürelim:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Denklemi elde ederiz:
3 2x - 12 3x +27 = 0
Tabanlarımız aynı, üçe eşit.Bu örnekte, ilk üçlünün ikinciden (sadece x) iki kat (2x) dereceye sahip olduğu açıktır. Bu durumda karar verebilirsiniz ikame yöntemi. Derecesi en küçük olan sayı şu şekilde değiştirilir:
Sonra 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
t ile denklemde tüm dereceleri x'lerle değiştiririz:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
İkinci dereceden bir denklem elde ederiz. Diskriminant aracılığıyla çözeriz, şunu elde ederiz:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Değişkene Geri Dön x.
1'i alıyoruz:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
Yani,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Bir kök bulundu. t 2'den ikincisini arıyoruz:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Cevap: x 1 \u003d 2; x2 = 1.
Sitede YARDIM KARAR VER bölümünden merak ettiğiniz soruları sorabilirsiniz, size kesinlikle cevap vereceğiz.
Gruba katılmak
Eski çağlardan beri pratik problemlerin çözümünde değerlerin ve niceliklerin karşılaştırılması gerekli olmuştur. Aynı zamanda, homojen miktarları karşılaştırmanın sonuçlarını ifade eden daha fazla ve daha az, daha yüksek ve daha düşük, daha hafif ve daha ağır, daha sessiz ve daha yüksek, daha ucuz ve daha pahalı vb. Gibi kelimeler ortaya çıktı.
Az ve çok kavramları, nesnelerin sayılması, niceliklerin ölçülmesi ve karşılaştırılması ile bağlantılı olarak ortaya çıktı. Örneğin, antik Yunan matematikçileri, herhangi bir üçgenin kenarının diğer iki kenarın toplamından daha az olduğunu ve üçgenin büyük kenarının daha büyük açının karşısında olduğunu biliyorlardı. Arşimet, bir dairenin çevresini hesaplarken, herhangi bir dairenin çevresinin, çapın yedide birinden daha az, ancak çapın yetmişbirinden fazla olan bir fazlalık ile çapın üç katına eşit olduğunu buldu.
> ve b işaretlerini kullanarak sayılar ve miktarlar arasındaki ilişkileri sembolik olarak yazın. İki sayının işaretlerden biriyle bağlantılı olduğu girişler: > (büyüktür), İlköğretim sınıflarında da sayısal eşitsizliklerle karşılaştınız. Eşitsizliklerin doğru olabileceğini veya olmayabileceğini biliyorsunuz. Örneğin, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) geçerli bir sayısal eşitsizlik, 0.23 > 0.235 geçersiz bir sayısal eşitsizliktir.
Bilinmeyenleri içeren eşitsizlikler, bilinmeyenlerin bazı değerleri için doğru, bazıları için yanlış olabilir. Örneğin, 2x+1>5 eşitsizliği x = 3 için doğrudur, ancak x = -3 için yanlıştır. Bilinmeyen bir eşitsizlik için görevi belirleyebilirsiniz: eşitsizliği çözün. Pratikte eşitsizlikleri çözme problemleri, denklem çözme problemlerinden daha az sıklıkta ortaya çıkmaz ve çözülür. Örneğin, birçok ekonomik sorun, doğrusal eşitsizlik sistemlerinin incelenmesine ve çözümüne indirgenmiştir. Matematiğin birçok dalında eşitsizlikler denklemlerden daha yaygındır.
Bazı eşitsizlikler, örneğin bir denklemin kökü gibi belirli bir nesnenin varlığını kanıtlamak veya çürütmek için tek yardımcı araç olarak hizmet eder.
Sayısal eşitsizlikler
Tam sayıları ve ondalık sayıları karşılaştırabilirsiniz. Paydaları aynı fakat payları farklı olan adi kesirleri karşılaştırma kurallarını bilir; payları aynı ama paydaları farklı. Burada, farklarının işaretini bularak herhangi iki sayıyı nasıl karşılaştıracağınızı öğreneceksiniz.
Sayıların karşılaştırılması pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, bir ekonomist planlanan göstergeleri gerçek olanlarla karşılaştırır, bir doktor bir hastanın sıcaklığını normal ile karşılaştırır, bir tornacı işlenmiş bir parçanın boyutlarını bir standartla karşılaştırır. Tüm bu durumlarda bazı sayılar karşılaştırılır. Sayıların karşılaştırılması sonucunda sayısal eşitsizlikler ortaya çıkar.
Tanım. a-b farkı pozitifse a sayısı b sayısından büyüktür. a-b farkı negatifse a sayısı b sayısından küçüktür.
a, b'den büyükse, şunu yazarlar: a > b; a, b'den küçükse, o zaman şunu yazarlar: a Böylece, a > b eşitsizliği, a - b farkının pozitif olduğu anlamına gelir, yani. a - b > 0. Eşitsizliği a Aşağıdaki üç bağıntıdan herhangi iki a ve b sayısı için a > b, a = b, a Teorem. a > b ve b > c ise, a > c.
Teorem. Eşitsizliğin her iki tarafına da aynı sayı eklenirse eşitsizliğin işareti değişmez.
Sonuçlar. Herhangi bir terim, bu terimin işaretini tersine değiştirerek eşitsizliğin bir bölümünden diğerine aktarılabilir.
Teorem. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı pozitif sayı ile çarpılırsa eşitsizliğin işareti değişmez. Eşitsizliğin her iki tarafı da aynı negatif sayı ile çarpılırsa eşitsizliğin işareti tam tersi olur.
Sonuçlar. Eşitsizliğin her iki kısmı da aynı pozitif sayıya bölünürse eşitsizliğin işareti değişmez. Eşitsizliğin her iki kısmı da aynı negatif sayıya bölünürse eşitsizliğin işareti tam tersi olur.
Sayısal eşitliklerin terim terimle toplanabileceğini ve çarpılabileceğini biliyorsunuz. Ardından, eşitsizliklerle benzer eylemleri nasıl gerçekleştireceğinizi öğreneceksiniz. Eşitsizlikleri terim terim toplama ve çarpma yeteneği pratikte sıklıkla kullanılır. Bu eylemler, ifade değerlerini değerlendirme ve karşılaştırma sorunlarını çözmenize yardımcı olur.
Çeşitli problemleri çözerken, genellikle eşitsizliklerin sol ve sağ kısımlarını eklemek veya terim ile çarpmak gerekir. Bazen eşitsizliklerin toplandığı veya çarpıldığı söylenir. Örneğin, bir turist ilk gün 20 km'den fazla, ikinci gün 25 km'den fazla yürüdüyse, iki gün içinde 45 km'den fazla yürüdüğü söylenebilir. Benzer şekilde, bir dikdörtgenin uzunluğu 13 cm'den ve genişliği 5 cm'den az ise, bu dikdörtgenin alanının 65 cm2'den az olduğu iddia edilebilir.
Bu örnekler göz önüne alındığında, aşağıdaki eşitsizliklerin toplanması ve çarpılması ile ilgili teoremler:
Teorem. Aynı işaretin eşitsizliklerini toplarken, aynı işaretin eşitsizliğini elde ederiz: eğer a > b ve c > d ise, o zaman a + c > b + d.
Teorem. Sol ve sağ kenarları pozitif olan aynı işaretin eşitsizliklerini çarparken, aynı işaretin bir eşitsizliği elde edilir: a > b, c > d ve a, b, c, d pozitif sayılarsa, o zaman ac > bd.
> (büyüktür) ve 1/2, 3/4 b, c ile eşitsizlikler Kesin eşitsizlik işaretleri > ve ile birlikte Aynı şekilde, \(a \geq b \) eşitsizliği, a sayısının daha büyük olduğu anlamına gelir b'den veya b'ye eşit, yani b'den küçük değil.
\(\geq \) işaretini veya \(\leq \) işaretini içeren eşitsizliklere katı olmayan denir. Örneğin, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) katı eşitsizlikler değildir.
Kesin eşitsizliklerin tüm özellikleri, katı olmayan eşitsizlikler için de geçerlidir. Dahası, eğer katı eşitsizlikler için işaretler > zıt olarak kabul edildiyse ve bir dizi uygulamalı problemi çözmek için bir denklem veya bir denklem sistemi şeklinde bir matematiksel model çizmeniz gerektiğini biliyorsunuz. Ayrıca, birçok problemi çözmek için matematiksel modellerin bilinmeyenli eşitsizlikler olduğunu öğreneceksiniz. Bir eşitsizliği çözme kavramını tanıtacağız ve verilen bir sayının belirli bir eşitsizliğin çözümü olup olmadığının nasıl kontrol edileceğini göstereceğiz.
Formun eşitsizlikleri
\(ax > b, \(a ve b'ye sayılar verilen ve x'in bilinmeyen) dörtlü balta denir bir bilinmeyenli doğrusal eşitsizlikler.
Tanım. Bir bilinmeyenli bir eşitsizliğin çözümü, bu eşitsizliğin gerçek bir sayısal eşitsizliğe dönüştüğü bilinmeyenin değeridir. Bir eşitsizliği çözmek, onun tüm çözümlerini bulmak ya da hiçbirinin olmadığını ortaya koymak demektir.
Denklemleri en basit denklemlere indirgeyerek çözdünüz. Benzer şekilde, eşitsizlikleri çözerken, özelliklerin yardımıyla onları en basit eşitsizlikler biçimine indirgeme eğilimindedir.
İkinci dereceden eşitsizliklerin tek değişkenli çözümü
Formun eşitsizlikleri
\(ax^2+bx+c >0 \) ve \(ax^2+bx+c burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve \(a \neq 0 \) olarak adlandırılır tek değişkenli ikinci dereceden eşitsizlikler.
eşitsizliğin çözümü
\(ax^2+bx+c >0 \) veya \(ax^2+bx+c \) işlevi, \(y= ax^2+bx+c \) fonksiyonunun pozitif olduğu yerlerde boşlukları bulmak olarak düşünülebilir. veya negatif değerler Bunu yapmak için, \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) fonksiyonunun grafiğinin koordinat düzleminde nasıl bulunduğunu analiz etmek yeterlidir: parabolün dallarının nereye yönlendirildiği - yukarı veya aşağı , parabolün x ekseniyle kesişip kesişmediği ve kesişiyorsa hangi noktalarda kesiştiği.
Tek değişkenli ikinci dereceden eşitsizlikleri çözme algoritması:
1) \(ax^2+bx+c\) kare üç terimlinin diskriminantını bulun ve üç terimin kökleri olup olmadığını öğrenin;
2) Üç terimlinin kökleri varsa, bunları x ekseni üzerinde işaretleyin ve işaretli noktalardan, dalları a > 0'da yukarıya veya 0'da aşağı veya 0'da aşağıya doğru yönlendirilmiş şematik bir parabol çizin 3) üzerinde boşluklar bulun nokta parabollerinin x ekseninin üzerinde (eğer \(ax^2+bx+c >0 \) eşitsizliğini çözüyorlarsa) veya x ekseninin altında (eşitsizliği çözüyorlarsa) bulunduğu x ekseni
\(ax^2+bx+c Eşitsizliklerin aralık yöntemiyle çözümü
işlevi düşünün
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
Bu fonksiyonun etki alanı tüm sayıların kümesidir. Fonksiyonun sıfırları -2, 3, 5 sayılarıdır. Fonksiyonun tanım kümesini \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) aralıklarına bölerler. ) \) ve \( (5; +\infty)\)
Belirtilen aralıkların her birinde bu fonksiyonun işaretlerinin neler olduğunu bulalım.
(x + 2)(x - 3)(x - 5) ifadesi üç faktörün ürünüdür. Bu faktörlerin her birinin dikkate alınan aralıklardaki işareti tabloda belirtilmiştir:
Genel olarak, fonksiyonun formül tarafından verilmesine izin verin.
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
burada x bir değişkendir ve x 1 , x 2 , ..., x n eşit sayılar değildir. x 1 , x 2 , ..., x n sayıları fonksiyonun sıfırlarıdır. Tanım alanının fonksiyonun sıfırlarına bölündüğü aralıkların her birinde, fonksiyonun işareti korunur ve sıfırdan geçerken işareti değişir.
Bu özellik, formun eşitsizliklerini çözmek için kullanılır.
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) burada x 1 , x 2 , ..., x n eşit sayılar değildir
düşünülen yöntem eşitsizlikleri çözmeye aralıklar yöntemi denir.
Aralık yöntemiyle eşitsizliklerin çözümüne örnekler verelim.
Eşitsizliği çözün:
\(x(0.5-x)(x+4) Açıkçası, f(x) = x(0.5-x)(x+4) fonksiyonunun sıfırları \frac(1)(2) , \; x=-4 \)Fonksiyonun sıfırlarını gerçek eksene çiziyoruz ve her aralıktaki işareti hesaplıyoruz:
Fonksiyonun sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu aralıkları seçip cevabı yazıyoruz.
Cevap:
\(x \in \sol(-\infty; \; 1 \sağ) \cup \left[ 4; \; +\infty \sağ) \)
- Yer değiştirmeye yörüngenin başlangıç ve bitiş noktalarını birleştiren vektör denir Yolun başlangıcını ve sonunu birleştiren vektöre denir
- Yörünge, yol uzunluğu, yer değiştirme vektörü Başlangıç konumunu bağlayan vektör
- Bir çokgenin alanını köşelerinin koordinatlarından hesaplama Köşe formülünün koordinatlarından bir üçgenin alanı
- Kabul Edilebilir Değer Aralığı (ODZ), teori, örnekler, çözümler