Grafiğin oluşturduğu şeklin alanını bulun. Kesin integral
Bir figürün alanını hesaplama Bu belki de alan teorisindeki en zor problemlerden biridir. Okul geometrisinde, örneğin üçgen, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, yamuk, daire vb. gibi temel geometrik şekillerin alanlarını bulmaları öğretilir. Bununla birlikte, genellikle daha karmaşık rakamların alanlarının hesaplanmasıyla uğraşmak zorundadır. Bu tür problemlerin çözümünde integral hesabı kullanmak çok uygundur.
Tanım.
eğrisel yamuk bazı şekil G denir, y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a ve x \u003d b çizgileriyle sınırlanır ve f (x) işlevi [a; b] ve üzerindeki işaretini değiştirmez (Şek. 1). Eğrisel bir yamuğun alanı S(G) ile gösterilebilir.
f(x) fonksiyonu için [a; b] ve karşılık gelen eğrisel yamuğun alanıdır.
Yani, y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a ve x \u003d b çizgileriyle sınırlanan G şeklinin alanını bulmak için, belirli integral ʃ a b f (x) dx.
Böylece, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
y = f(x) fonksiyonu [a; b], daha sonra eğrisel yamuğun alanı formülle bulunabilir S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
örnek 1
y \u003d x 3 çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın; y = 1; x = 2.
Çözüm.
Verilen çizgiler, üzerinde tarama yapılarak gösterilen ABC şeklini oluşturur. pilav. 2.
İstenilen alan, eğrisel yamuk DACE ile kare DABE'nin alanları arasındaki farka eşittir.
S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) formülünü kullanarak, integralin sınırlarını buluruz. Bunu yapmak için iki denklem sistemini çözüyoruz:
(y \u003d x 3,
(y = 1.
Böylece, x 1 \u003d 1 - alt limit ve x \u003d 2 - üst limitimiz var.
Yani, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (kare birimleri).
Cevap: 11/4 metrekare birimler
Örnek 2
y \u003d √x çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın; y = 2; x = 9.
Çözüm.
Verilen çizgiler, fonksiyonun grafiği ile yukarıdan sınırlanan ABC şeklini oluşturur.
y \u003d √x ve aşağıdan y \u003d 2 fonksiyonunun grafiği. pilav. 3.
İstenen alan S = ʃ a b (√x - 2)'ye eşittir. İntegrasyon sınırlarını buluyoruz: b = 9, a'yı bulmak için iki denklemli bir sistem çözüyoruz:
(y = √x,
(y = 2.
Böylece, x = 4 = a alt sınırdır.
Yani, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (kare birim).
Cevap: S = 2 2/3 sq. birimler
Örnek 3
y \u003d x 3 - 4x çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın; y = 0; x ≥ 0.
Çözüm.
x ≥ 0 için y \u003d x 3 - 4x fonksiyonunu çizelim. Bunu yapmak için y ' türevini buluyoruz:
y' = 3x 2 – 4, х = ±2/√3 ≈ 1.1'de y' = 0 kritik noktalardır.
Kritik noktaları reel eksen üzerinde gösterip türevin işaretlerini yerleştirirsek, fonksiyonun sıfırdan 2/√3'e düştüğünü ve 2/√3'ten artı sonsuza yükseldiğini elde ederiz. O halde x = 2/√3 minimum noktadır, y fonksiyonunun minimum değeri min = -16/(3√3) ≈ -3'tür.
Grafiğin koordinat eksenleri ile kesişme noktalarını belirleyelim:
x \u003d 0 ise, y \u003d 0, yani A (0; 0), Oy ekseni ile kesişme noktasıdır;
y \u003d 0 ise, x 3 - 4x \u003d 0 veya x (x 2 - 4) \u003d 0 veya x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, buradan x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (uygun değil çünkü x ≥ 0).
A(0; 0) ve B(2; 0) noktaları, grafiğin Ox ekseni ile kesişme noktalarıdır.
Verilen çizgiler, üzerinde tarama yapılarak gösterilen OAB şeklini oluşturur. pilav. dört.
y \u003d x 3 - 4x işlevi (0; 2) negatif bir değer aldığından, o zaman
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Elimizde: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2/2)| 0 2 \u003d -4, buradan S \u003d 4 metrekare. birimler
Cevap: S = 4 metrekare. birimler
Örnek 4
Parabol y \u003d 2x 2 - 2x + 1, düz çizgiler x \u003d 0, y \u003d 0 ve apsis x 0 \u003d ile noktada bu parabolün teğeti ile sınırlanan şeklin alanını bulun 2.
Çözüm.
İlk olarak, apsis x₀ \u003d 2 olan noktada y \u003d 2x 2 - 2x + 1 parabolüne teğetin denklemini oluşturuyoruz.
Türev y' = 4x - 2 olduğundan, x 0 = 2 için k = y'(2) = 6 elde ederiz.
Temas noktasının koordinatını bulun: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Bu nedenle, teğet denklemi şu şekildedir: y - 5 \u003d 6 (x - 2) veya y \u003d 6x - 7.
Çizgilerle sınırlanmış bir şekil oluşturalım:
y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.
Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabol. Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları: A(0; 1) - Oy ekseniyle; Öküz ekseni ile - kesişme noktası yoktur, çünkü 2x 2 - 2x + 1 = 0 denkleminin çözümü yoktur (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;
y b \u003d 1/2, yani B parabol noktasının tepe noktası B (1/2; 1/2) koordinatlarına sahiptir.
Böylece alanı belirlenecek şekil üzerinde tarama yapılarak gösterilir. pilav. 5.
Şunlara sahibiz: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.
Şu koşuldan D noktasının koordinatlarını bulun:
6x - 7 = 0, yani x \u003d 7/6, ardından DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.
S ADBC = 1/2 · DC · BC formülünü kullanarak DBC üçgeninin alanını buluyoruz. Böylece,
S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 metrekare birimler
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3/3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (kare birimleri).
Sonunda şunu elde ederiz: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (metrekare).
Cevap: S = 1 1/4 metrekare. birimler
Örnekleri inceledik verilen çizgilerle sınırlandırılmış şekillerin alanlarını bulma. Bu tür problemleri başarılı bir şekilde çözmek için, bir düzlemde fonksiyonların çizgilerini ve grafiklerini oluşturabilmeniz, çizgilerin kesişme noktalarını bulabilmeniz, alanı bulmak için bir formül uygulayabilmeniz gerekir; bu, belirli integralleri hesaplama yeteneği ve becerilerini ifade eder.
site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Görev bir okul görevidir, ancak buna rağmen, neredeyse% 100'ü yüksek matematik kursunuzda buluşacaktır. Bu yüzden bütün ciddiliği ile TÜM örnekleri ele alacağız ve yapılacak ilk şey kendinizi tanımaktır. başvuru Fonksiyon Grafikleri temel grafikler oluşturma tekniğini tazelemek. …Var? Harika! Tipik bir görev ifadesi aşağıdaki gibidir:
Örnek 10
.
Ve ilk büyük adım çözümler sadece oluşur çizim yapmak. Bununla birlikte, aşağıdaki sırayı öneriyorum: ilk her şeyi inşa etmek daha iyidir dümdüz(varsa) ve sadece sonrasında – paraboller, abartma, diğer fonksiyonların grafikleri.
Görevimizde: dümdüz ekseni tanımlar dümdüz eksene paralel ve parabol eksen etrafında simetriktir, bunun için birkaç referans noktası buluruz:
İstenilen rakamın taranması arzu edilir:
İkinci aşama için doğru şekilde oluştur ve doğru hesapla kesin integral. Segmentte, fonksiyonun grafiği bulunur eksen üzerinde, bu nedenle gerekli alan:
Cevap:
Görev tamamlandıktan sonra plana bakmakta fayda var.
ve cevabın gerçekçi olup olmadığına bakın.
Ve gölgeli hücrelerin sayısını "gözle" sayıyoruz - peki, yaklaşık 9 yazılacak, doğru görünüyor. 20 kare birimimiz olsaydı, o zaman, açıkçası, bir yerde bir hata yapılmış olduğu oldukça açıktır - 20 hücre açıkça, en fazla bir düzine olmak üzere inşa edilen rakama uymuyor. Cevabın olumsuz olduğu ortaya çıktıysa, görev de yanlış çözüldü.
Örnek 11
Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın ve eksen
Hızla ısınırız (mutlaka!) ve “ayna” durumunu düşünürüz - eğrisel yamuk bulunduğunda aks altında:
Örnek 12
Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın ve eksenleri koordine edin.
Çözüm: üssü oluşturmak için birkaç referans noktası bulun:
ve yaklaşık iki hücrelik bir alana sahip bir şekil alarak çizimi yürütün:
Eğrisel yamuk bulunursa daha yüksek değil eksen , o zaman alanı şu formülle bulunabilir: .
Bu durumda:
Cevap: - Şey, gerçeğe çok çok benziyor.
Pratikte, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemlerde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz:
Örnek 13
Çizgilerle sınırlanmış düz bir şeklin alanını bulun.
Çözüm: önce çizimi tamamlamanız gerekiyor, biz özellikle parabol ve çizginin kesişme noktalarıyla ilgileniyoruz, çünkü entegrasyon sınırları. Onları iki şekilde bulabilirsiniz. Birinci yol analitiktir. Denklemi yapalım ve çözelim:
böylece:
İtibar analitik yöntem, onun kesinlik, a kusur- içinde süre(ve bu örnekte biz bile şanslıyız). Bu nedenle birçok problemde nokta nokta çizgiler oluşturmak daha karlı olurken, integrasyonun sınırları “kendi kendine” bulunurmuş gibi bulunur.
Düz bir çizgi ile her şey açıktır, ancak bir parabol oluşturmak için köşesini bulmak uygundur, bunun için türevi alıp sıfıra eşitleriz:
- zirvenin bulunduğu yer burası. Ve parabolün simetrisinden dolayı, "sol-sağ" ilkesine göre kalan referans noktalarını bulacağız:
Bir çizim yapalım:
Ve şimdi çalışma formülü: eğer segmentte biraz sürekli işlev büyük veya eşit sürekli fonksiyonlar, daha sonra bu fonksiyonların ve çizgi bölümlerinin grafikleriyle sınırlanan şeklin alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:
Burada figürün nerede olduğunu düşünmek artık gerekli değil - eksenin üstünde veya altında, ancak kabaca konuşursak, iki grafikten hangisinin YUKARIDA olduğu önemlidir.
Örneğimizde, segmentte parabolün düz çizginin üzerinde yer aldığı açıktır ve bu nedenle,
Çözümün tamamlanması şöyle görünebilir:
Segmentte : , ilgili formüle göre:
Cevap:
Paragrafın başında ele alınan basit formüllerin formülün özel durumları olduğuna dikkat edilmelidir. . Eksen denklem tarafından verildiğinden, fonksiyonlardan biri sıfır olacaktır ve eğrisel yamuğun yukarıda mı yoksa aşağıda mı olduğuna bağlı olarak, formülü alırız.
Ve şimdi bağımsız bir çözüm için birkaç tipik görev
Örnek 14
Çizgilerle sınırlanan şekillerin alanını bulun:
Kitabın sonunda çizimler ve kısa yorumlarla çözüm
Ele alınan problemin çözümü sırasında bazen komik bir olay meydana gelir. Çizim doğru yapılmış, integral doğru çözülmüş ama dikkatsizlikten dolayı... yanlış şeklin alanını bulduİtaatkar kulun defalarca böyle yanıldı. İşte gerçek bir hayat vakası:
Örnek 15
Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın
Çözüm: basit bir çizim yapalım,
işin hilesi şu gerekli alan yeşil gölgeli(duruma dikkatlice bakın - rakamın nasıl sınırlı olduğu!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle, genellikle gri gölgeli şeklin alanını bulmanız gereken bir “aksaklık” meydana gelir! Özel bir sinsilik, çizginin eksene çekilebilmesi ve ardından istenen rakamı hiç görmeyeceğimizdir.
Bu örnek, içinde şeklin alanının iki belirli integral kullanılarak hesaplanması açısından da yararlıdır. Yok canım:
1) eksenin üzerindeki segmentte düz bir çizgi grafiği vardır;
2) eksenin üzerindeki segmentte bir hiperbol grafiği var.
Alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır:
Cevap:
Ve bağımsız bir çözüm için bilgilendirici bir örnek:
Örnek 16
Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın ve eksenleri koordine edin.
Bu nedenle, bu görevin önemli noktalarını sistematize ediyoruz:
ilk adımda Durumu DİKKATLİCE inceleyin - Bize HANGİ işlevler verilir? Hatalar burada bile olur, özellikle ark ile Teğet genellikle ark tanjantı ile karıştırılır. Bu arada, bu aynı zamanda ark tanjantının meydana geldiği diğer görevler için de geçerlidir.
Daha öteçizim DOĞRU yapılmalıdır. Önce daha iyi inşa et dümdüz(varsa), diğer fonksiyonların grafikleri (eğer varsa J). İkincisi, birçok durumda inşa etmek daha karlı nokta nokta- birkaç bağlantı noktası bulun ve bunları bir çizgiyle dikkatlice bağlayın.
Ancak burada aşağıdaki zorluklar bekleyebilir. İlk olarak, çizimden her zaman net değil entegrasyon sınırları- bu, kesirli olduklarında olur. Mathprofi.ru adresinde ilgili makale Kesişme noktalarından birinin çizimden net olmadığı bir parabol ve düz bir çizgi ile bir örnek düşündüm. Bu gibi durumlarda analitik yöntemi kullanmalısınız, denklemi oluşturuyoruz:
ve köklerini bulun:
– alt entegrasyon limiti, – üst sınır.
Çizim oluşturulduktan sonra, ortaya çıkan rakamı analiz edin - önerilen fonksiyonlara bir kez daha bakın ve BU'nun bir rakam olup olmadığını iki kez kontrol edin. Sonra şeklini ve yerini analiz ediyoruz, alan oldukça karmaşık ve sonra iki hatta üç parçaya bölünmesi gerekiyor.
Belirli bir integral oluşturuyoruz veya formüle göre birkaç integral , yukarıdaki tüm ana varyasyonları analiz ettik.
Belirli bir integrali çözüyoruz(s). Aynı zamanda, oldukça karmaşık olduğu ortaya çıkabilir ve ardından aşamalı bir algoritma uygularız: 1) ters türevi bulun ve türev alarak kontrol edin, 2) Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz.
Sonuç kontrol etmek için yararlıdır yazılım / çevrimiçi hizmetleri kullanarak veya hücrelere göre çizime göre basitçe “tahmin edin”. Ancak her ikisi de her zaman mümkün değildir, bu nedenle çözümün her aşamasına son derece özen gösteriyoruz!
Bu kursun pdf formatında eksiksiz ve güncel bir versiyonu,
yanı sıra diğer konularda kurslar bulunabilir.
Ayrıca yapabilirsiniz - basit, uygun fiyatlı, eğlenceli ve ücretsiz!
En iyi dileklerimle, Alexander Emelin
Bu dersimizde hesaplamayı öğreneceğiz. düz figürlerin alanları, denilen eğrisel yamuk .
Bu tür rakamların örnekleri aşağıdaki şekildedir.
Bir yandan, belirli bir integral kullanarak düz bir şeklin alanını bulmak son derece basittir. Yukarıdan belirli bir eğri ile sınırlanan şeklin alanından, aşağıdan - apsis ekseninden bahsediyoruz ( Öküz) ve solda ve sağda bazı düz çizgiler var. Basitlik şu ki eğrinin verildiği fonksiyonun belirli integrali ve böyle bir şeklin alanı var(eğrisel yamuk).
Bir şeklin alanını hesaplamak için ihtiyacımız var:
- Eğriyi tanımlayan fonksiyonun belirli integrali yukarıdan eğrisel yamuk sınırlayan . Ve işte ilk önemli nüans geliyor: eğrisel bir yamuk, yalnızca yukarıdan değil, aşağıdan da bir eğri ile sınırlanabilir . Bu durumda nasıl hareket edilir? Basit ama hatırlanması önemli: bu durumda integral eksi işaretiyle alınır .
- Entegrasyon sınırları a ve b, rakamı sol ve sağda bağlayan doğruların denklemlerinden bulduğumuz: x = a , x = b, nerede a ve b- sayılar.
Ayrı olarak, biraz daha nüans.
Eğrisel yamuğu yukarıdan (veya aşağıdan) sınırlayan eğri, sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyonun grafiği y = f(x) .
X değerleri segmente ait olmalıdır [a, b] . Yani, örneğin, bacağın bu segmente tam olarak oturduğu ve kapağın çok daha geniş olduğu bir mantar bölümü gibi çizgiler dikkate alınmaz.
Yan segmentler noktalara dönüşebilir . Çizimde böyle bir şekil gördüyseniz, bu sizi şaşırtmamalı, çünkü bu nokta her zaman x ekseninde kendi değerine sahiptir. Yani her şey entegrasyonun sınırlarına uygun.
Artık formüllere ve hesaplamalara geçebilirsiniz. Yani alan s eğrisel yamuk formülle hesaplanabilir
Eğer f(x) ≤ 0 (fonksiyonun grafiği eksenin altında bulunur Öküz), sonra kavisli bir yamuğun alanı formülle hesaplanabilir
Şeklin hem üst hem de alt sınırlarının sırasıyla fonksiyon olduğu durumlar da vardır. y = f(x) ve y = φ (x) , daha sonra böyle bir rakamın alanı formülle hesaplanır
. (3)
Sorunları birlikte çözüyoruz
Formül (1) kullanılarak bir şeklin alanının hesaplanabileceği durumlarla başlayalım.
örnek 1Öküz) ve doğrudan x = 1 , x = 3 .
Çözüm. Çünkü y = 1/x> 0 segmentinde , daha sonra eğrisel yamuğun alanı formül (1) ile bulunur:
.
Örnek 2 Düz çizgi fonksiyonunun grafiği ile sınırlanan şeklin alanını bulun x= 1 ve x ekseni ( Öküz ).
Çözüm. Formül (1) uygulamasının sonucu:
eğer o zaman s= 1/2; eğer öyleyse s= 1/3, vb.
Örnek 3 Fonksiyonun grafiği ile sınırlanan şeklin alanını bulun, x ekseni ( Öküz) ve doğrudan x = 4 .
Çözüm. Sorunun durumuna karşılık gelen şekil, sol segmentin bir noktaya dönüştüğü eğrisel bir yamuktur. Entegrasyon limitleri 0 ve 4'tür. Formül (1)'e göre eğrisel yamuğun alanını buluyoruz:
.
Örnek 4Çizgilerle sınırlanan ve 1. çeyrekte bulunan şeklin alanını bulun.
Çözüm. Formül (1)'i kullanmak için, örneğin koşulları tarafından verilen şeklin alanını bir üçgenin alanlarının toplamı olarak temsil ediyoruz. OAB ve eğrisel yamuk ABC. Bir üçgenin alanını hesaplarken OAB integrasyon sınırları noktaların apsisleridir Ö ve A ve şekil için ABC- noktaların apsisleri A ve C (A doğrunun kesiştiği noktadır AE ve paraboller ve C- parabolün eksenle kesiştiği nokta Öküz). Düz bir çizgi ve bir parabolün denklemlerini (bir sistem olarak) birlikte çözerek, elde ederiz (noktanın apsisi A) ve (çözüm için gerekli olmayan doğrunun ve parabolün başka bir kesişme noktasının apsisi). Benzer şekilde, elde ederiz, (noktaların apsisi C ve D). Şimdi şeklin alanını bulmak için her şeye sahibiz. Bulduk:
Örnek 5 Eğrisel bir yamuğun alanını bulun ACDB, eğer eğrinin denklemi CD ve apsis A ve B sırasıyla 1 ve 2.
Çözüm. Eğrinin bu denklemini Y ile ifade ederiz: Eğrisel yamuk alanı formül (1) ile bulunur:
.
Bir şeklin alanının formül (2) kullanılarak hesaplanabileceği durumlara geçelim.
Örnek 6 Parabol ve x ekseni ile sınırlanan şeklin alanını bulun ( Öküz ).
Çözüm. Bu şekil x ekseninin altında bulunur. Bu nedenle, alanını hesaplamak için formül (2) kullanıyoruz. İntegrasyon sınırları, apsisler ve parabolün eksen ile kesişme noktalarıdır. Öküz. Sonuç olarak,
Örnek 7 x ekseni arasındaki alanı bulun ( Öküz) ve iki komşu sinüs dalgası.
Çözüm. Bu şeklin alanı formül (2) ile bulunabilir:
.
Her terimi ayrı ayrı bulalım:
.
.
Sonunda alanı buluyoruz:
.
Örnek 8 Parabol ve eğri arasında kalan şeklin alanını bulun.
Çözüm. Doğruların denklemlerini Y cinsinden ifade edelim:
Formül (2)'ye göre alan şu şekilde elde edilecektir:
,
nerede a ve b- noktaların apsisi A ve B. Bunları denklemleri birlikte çözerek buluruz:
Sonunda alanı buluyoruz:
Ve son olarak, bir şeklin alanının formül (3) kullanılarak hesaplanabileceği durumlar vardır.
Örnek 9 Paraboller arasında kalan şeklin alanını bulun ve .
Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın.
Çözüm.
Verilen doğruların kesişme noktalarını buluyoruz. Bunu yapmak için denklem sistemini çözüyoruz:
Verilen doğruların kesişme noktalarının apsislerini bulmak için denklemi çözeriz:
Bulduk: x 1 = -2, x 2 = 4.
Böylece, bir parabol ve bir düz çizgi olan bu doğrular noktalarda kesişir. A(-2; 0), B(4; 6).
Bu çizgiler, alanı yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanan kapalı bir şekil oluşturur:
Newton-Leibniz formülüne göre şunları buluruz:
Bir elips tarafından sınırlanan bir alanın alanını bulun.
Çözüm.
I çeyreği için elips denkleminden elimizde . Buradan formüle göre elde ederiz.
ikameyi uygulayalım x = a günah t, dx = açünkü t dt. Yeni entegrasyon sınırları t = α ve t = β 0 = denklemlerinden belirlenir a günah t, a = a günah t. konulabilir α = 0 ve β = π /2.
Gerekli alanın dörtte birini buluyoruz
Buradan S = baba.
Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını buluny = - x 2 + x + 4 vey = - x + 1.
Çözüm.
Çizgilerin kesişme noktalarını bulun y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, çizgilerin koordinatlarını eşitleyerek: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 veya x 2 - 2x- 3 = 0. Kökleri bulun x 1 = -1, x 2 = 3 ve bunlara karşılık gelen koordinatlar y 1 = 2, y 2 = -2.
Şekil alan formülünü kullanarak,
Parabolün çevrelediği alanı buluny = x 2 + 1 ve doğrudanx + y = 3.
Çözüm.
Denklem sistemini çözme
kesişme noktalarının apsislerini bulun x 1 = -2 ve x 2 = 1.
varsayarsak y 2 = 3 - x ve y 1 = x 2 + 1, elde ettiğimiz formüle göre
Bernoulli lemniscate içinde bulunan alanı hesaplayınr 2 = a 2 çünkü 2 φ .
Çözüm.
Kutupsal koordinat sisteminde, eğrinin yayı ile sınırlanan şeklin alanı r = f(φ ) ve iki kutup yarıçapı φ 1 = ʅ ve φ 2 = ʆ , integral ile ifade edilir
Eğrinin simetrisinden dolayı öncelikle istenilen alanın dörtte birini belirliyoruz.
Bu nedenle, toplam alan S = a 2 .
Bir astroidin yay uzunluğunu hesaplayınx 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .
Çözüm.
Astroid denklemini formda yazıyoruz
(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .
koyalım x 1/3 = a 1/3 çünkü t, y 1/3 = a 1/3 günah t.
Buradan astroidin parametrik denklemlerini elde ederiz.
x = açünkü 3 t, y = a günah 3 t, (*)
nerede 0 ≤ t ≤ 2π .
Eğrinin (*) simetrisi göz önüne alındığında, yay uzunluğunun dörtte birini bulmak yeterlidir. L parametre değişikliğine karşılık gelen t 0'dan π /2.
alırız
dx = -3açünkü 2 t günah t dt, ölmek = 3a günah 2 tçünkü t dt.
Buradan buluyoruz
Ortaya çıkan ifadeyi 0'dan 0'a kadar olan aralıkta entegre etme π /2, alırız
Buradan L = 6a.
Arşimet sarmalının sınırladığı alanı bulunr = aφ ve kutup açılarına karşılık gelen iki yarıçap vektörüφ 1 veφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Çözüm.
Bir eğri ile sınırlanan alan r = f(φ ) formül ile hesaplanır, burada α ve β - kutup açısının değişim sınırları.
Böylece, elde ederiz
(*)
(*) den kutup ekseni ile sınırlanan alan ve Arşimet sarmalının ilk dönüşü ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Benzer şekilde, kutup ekseni tarafından sınırlanan alanı ve Arşimet spiralinin ikinci dönüşünü buluyoruz ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Gerekli alan, bu alanların farkına eşittir.
Bir eksen etrafında döndürülerek elde edilen bir cismin hacmini hesaplayınÖküz parabollerle sınırlandırılmış şekily = x 2 vex = y 2 .
Çözüm.
denklem sistemini çözelim
ve Al x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, buradan eğrilerin kesişme noktaları Ö(0; 0), B(on bir). Şekilde görüldüğü gibi, dönüş gövdesinin istenen hacmi, eksen etrafında dönme ile oluşturulan iki hacim arasındaki farka eşittir. Öküz eğrisel yamuk OCBA ve ODBA:
Eksenin sınırladığı alanı hesaplayınÖküz ve sinüzoidy = günahx segmentlerde: a); b) .
Çözüm.
a) Segmentte sin fonksiyonu x varsayarak, işareti ve dolayısıyla formülle korur y= günah x, bulduk
b) segmentinde, fonksiyon günah x işareti değiştirir. Problemin doğru çözümü için segmenti ikiye bölmek ve [ π , 2π ], her birinde işlevin işaretini koruduğu.
İşaret kuralına göre, segmentte [ π , 2π ] alanı eksi işaretiyle alınır.
Sonuç olarak, istenen alan eşittir
Elipsin dönüşünden elde edilen yüzey tarafından sınırlanan cismin hacmini belirleyinana eksen etrafındaa .
Çözüm.
Elipsin koordinat eksenleri etrafında simetrik olduğu göz önüne alındığında, eksen etrafında dönme ile oluşan hacmi bulmak yeterlidir. Öküz alan OAB, elips alanının dörtte birine eşit ve sonucu ikiye katlayın.
Devrim gövdesinin hacmini şu şekilde gösterelim: V x; sonra, formüle göre, 0 ve a- noktaların apsisi B ve A. Elips denkleminden buluruz. Buradan
Böylece, gerekli hacim eşittir. (Elips küçük eksen etrafında döndüğünde b, vücudun hacmi )
Parabollerin sınırladığı alanı buluny 2 = 2 piksel vex 2 = 2 p .
Çözüm.
İlk olarak, integrasyon aralığını belirlemek için parabollerin kesişme noktalarının koordinatlarını buluyoruz. Orijinal denklemleri dönüştürerek ve elde ederiz. Bu değerleri eşitleyerek, elde ederiz veya x 4 - 8p 3 x = 0.
x 4 - 8p 3 x = x(x 3 - 8p 3) = x(x - 2p)(x 2 + 2piksel + 4p 2) = 0.
Denklemlerin köklerini buluruz:
nokta olduğu gerçeği göz önüne alındığında A parabollerin kesişimi ilk çeyrekte, ardından integralin sınırları x= 0 ve x = 2p.
İstenilen alan formül ile bulunur
Kesin integral. Bir figürün alanı nasıl hesaplanır
Şimdi integral hesabın uygulamalarının değerlendirilmesine dönüyoruz. Bu derste, tipik ve en yaygın bir görevi analiz edeceğiz. Bir düzlem şeklinin alanını hesaplamak için belirli bir integral nasıl kullanılır. Son olarak, yüksek matematikte anlam arayanlar - bulsunlar. Asla bilemezsin. Gerçek hayatta, temel fonksiyonlara sahip bir yazlık kulübeye yaklaşmanız ve belirli bir integral kullanarak alanını bulmanız gerekecek.
Malzemede başarılı bir şekilde ustalaşmak için şunları yapmalısınız:
1) Belirsiz integrali en az orta düzeyde anlar. Bu nedenle, aptallar önce dersi okumalı Değil.
2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilir ve belirli integrali hesaplayabilir. Sayfadaki bazı integraller ile sıcak dostluk ilişkileri kurabilirsiniz. Kesin integral. Çözüm örnekleri.
Aslında, bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında çok fazla bilgiye ihtiyacınız yoktur. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizimin oluşturulmasını içerir., bu nedenle bilginiz ve çizim becerileriniz çok daha alakalı bir konu olacaktır. Bu bağlamda, ana temel fonksiyonların grafiklerinin hafızasını yenilemek ve en azından düz bir çizgi, bir parabol ve bir hiperbol oluşturabilmek faydalıdır. Bu, metodolojik materyal ve grafiklerin geometrik dönüşümleri üzerine bir makale yardımıyla yapılabilir (birçoğu buna ihtiyaç duyar).
Aslında herkes okuldan beri belirli bir integral kullanarak alanı bulma problemine aşinadır ve okul müfredatının biraz ilerisine gideceğiz. Bu makale hiç mevcut olmayabilir, ancak gerçek şu ki, sorun 100 vakadan 99'unda, bir öğrenci yüksek matematik dersinde ustalaşmak için nefret edilen bir kule tarafından coşkuyla eziyet edildiğinde ortaya çıkar.
Bu çalıştayın materyalleri basit, ayrıntılı ve minimum teori ile sunulmaktadır.
Eğrisel bir yamuk ile başlayalım.
eğrisel yamuk eksen, düz çizgiler ve bu aralıkta işaret değiştirmeyen bir doğru parçası üzerinde sürekli bir fonksiyonun grafiği ile sınırlandırılmış düz bir şekle denir. Bu rakamın bulunmasına izin verin Az değil apsis:
O zamanlar eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır. derste Kesin integral. Çözüm örnekleri Belirli bir integralin bir sayı olduğunu söyledim. Ve şimdi başka bir yararlı gerçeği belirtmenin zamanı geldi. Geometri açısından, belirli integral ALAN'dır..
Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin, belirli integrali ele alalım. İntegrant, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (isteyenler çizimi tamamlayabilir) ve belirli integralin kendisi, karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına sayısal olarak eşittir.
örnek 1
Bu tipik bir görev ifadesidir. Kararın ilk ve en önemli anı bir çizimin yapımıdır.. Ayrıca, çizim inşa edilmelidir SAĞ.
Bir plan oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: ilk tüm satırları (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca sonrasında- paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. İşlev grafikleri oluşturmak daha karlı nokta nokta, noktasal yapım tekniği ile referans malzemede bulunabilir Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Orada ayrıca dersimizle ilgili olarak çok yararlı olan materyalleri de bulabilirsiniz - bir parabolün nasıl hızlı bir şekilde oluşturulacağı.
Bu problemde, çözüm şöyle görünebilir.
Çizimi yapalım (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):
Eğrisel bir yamuk açmayacağım, burada hangi alandan bahsettiğimiz açık. Çözüm şöyle devam ediyor:
Segmentte, fonksiyonun grafiği bulunur eksen üzerinde, bu yüzden:
Cevap:
Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler , derse bakın Kesin integral. Çözüm örnekleri.
Görev tamamlandıktan sonra çizime bakmak ve cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman yararlıdır. Bu durumda, “gözle” çizimdeki hücre sayısını sayıyoruz - peki, yaklaşık 9 yazılacak, bu doğru gibi görünüyor. Diyelim ki cevabımız olsaydı: 20 birim kare, o zaman, açıkçası, bir yerde bir hata yapıldı - 20 hücre, söz konusu şekle açıkça uymuyor, en fazla bir düzine. Cevabın olumsuz olduğu ortaya çıktıysa, görev de yanlış çözüldü.
Örnek 2
Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını ve ekseni hesaplayın
Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Eğrisel yamuk bulunursa ne yapmalı aks altında mı?
Örnek 3
Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın ve eksenleri koordine edin.
Çözüm: Bir çizim yapalım:
Eğrisel yamuk bulunursa aks altında(ya da en azından daha yüksek değil verilen eksen), daha sonra alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:
Bu durumda:
Dikkat! İki tür görevi karıştırmayın:
1) Herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse, negatif olabilir.
2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse, alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle eksi, az önce ele alınan formülde görünür.
Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemlerde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçilir.
Örnek 4
Çizgilerle sınırlanmış düz bir şeklin alanını bulun.
Çözüm: İlk önce çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde bir çizim oluştururken, en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ve doğrunun kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. Birinci yol analitiktir. Denklemi çözüyoruz:
Dolayısıyla, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırı.
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak en iyisidir..
Çizgileri nokta nokta inşa etmek çok daha karlı ve hızlı olurken, entegrasyonun sınırları “kendi kendine” bulunurmuş gibi bulunur. Çeşitli çizelgeler için noktadan noktaya yapım tekniği, yardım bölümünde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya dişli yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (bunlar kesirli veya irrasyonel olabilir) limitleri bulma analitik yönteminin bazen uygulanması gerekir. Ve biz de böyle bir örnek ele alacağız.
Görevimize dönüyoruz: önce düz bir çizgi ve ancak o zaman bir parabol oluşturmak daha mantıklı. Bir çizim yapalım:
Noktasal yapı ile tekrar ediyorum, entegrasyonun sınırları çoğunlukla “otomatik olarak” bulunur.
Ve şimdi çalışma formülü: Aralıkta sürekli bir fonksiyon varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar, daha sonra bu fonksiyonların ve düz çizgilerin grafikleriyle sınırlanan şeklin alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:
Burada figürün nerede olduğunu düşünmek artık gerekli değil - eksenin üstünde veya altında ve kabaca konuşursak, hangi grafiğin YUKARIDA olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi AŞAĞIDA.
İncelenen örnekte, segmentte parabolün düz çizginin üzerinde yer aldığı açıktır ve bu nedenle,
Çözümün tamamlanması şöyle görünebilir:
İstenen rakam, yukarıdan bir parabol ve aşağıdan bir düz çizgi ile sınırlandırılmıştır.
Segmentte , ilgili formüle göre:
Cevap:
Aslında, alt yarı düzlemde eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bakınız basit örnek No. 3), formülün özel bir halidir. . Eksen denklem tarafından verildiğinden ve fonksiyonun grafiği bulunduğundan daha yüksek değil eksenler, o zaman
Ve şimdi bağımsız bir çözüm için birkaç örnek
Örnek 5
Örnek 6
Çizgilerle çevrelenen şeklin alanını bulun.
Belirli bir integral kullanarak alan hesaplama problemlerini çözerken bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplamalar doğruydu, ancak dikkatsizlikten dolayı ... yanlış şeklin alanını buldu, itaatkar hizmetkarın birkaç kez böyle batırdı. İşte gerçek bir hayat vakası:
Örnek 7
Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , , , .
Çözüm: Önce bir çizim yapalım:
…Eh, çizim saçma sapan çıktı, ama her şey okunaklı görünüyor.
Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli.(duruma dikkatlice bakın - rakamın nasıl sınırlı olduğu!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle, genellikle yeşil gölgeli şeklin alanını bulmanız gereken bir “aksaklık” meydana gelir!
Bu örnek, içinde şeklin alanının iki belirli integral kullanılarak hesaplanması açısından da yararlıdır. Yok canım:
1) Eksenin üzerindeki segmentte düz bir çizgi grafiği vardır;
2) Eksenin üzerindeki segmentte bir hiperbol grafiği var.
Alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:
Cevap:
Daha anlamlı bir göreve geçelim.
Örnek 8
Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın,
Denklemleri bir "okul" biçiminde sunalım ve nokta nokta bir çizim yapalım:
Üst sınırımızın “iyi” olduğu çizimden görülebilir: .
Ama alt sınır nedir? Bunun bir tamsayı olmadığı açık, ama ne? Belki ? Ancak çizimin kusursuz bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede, öyle olabilir. Veya kök. Ya grafiği hiç doğru alamadıysak?
Bu gibi durumlarda, analitik olarak entegrasyonun sınırlarını genişletmek için ek zaman harcamak gerekir.
Doğrunun ve parabolün kesişme noktalarını bulalım.
Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:
,
Yok canım, .
Diğer çözüm önemsizdir, asıl şey ikame ve işaretlerde kafa karıştırmamaktır, buradaki hesaplamalar en kolayı değildir.
segmentte , ilgili formüle göre:
Cevap:
Dersin sonunda, iki görevi daha zor olarak ele alacağız.
Örnek 9
Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ,
Çözüm: Bu şekli çizimde çizin.
Kahretsin, programı imzalamayı ve resmi yeniden yapmayı unuttum, üzgünüm, hotz değil. Çekiliş değil kısacası gün bugün =)
Nokta nokta inşaat için sinüzoidin görünümünü bilmek gerekir (ve genel olarak bilmek yararlıdır) tüm temel fonksiyonların grafikleri), bazı sinüs değerlerinin yanı sıra, içinde bulunabilirler. trigonometrik tablo. Bazı durumlarda (bu durumda olduğu gibi), üzerinde grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının prensipte doğru bir şekilde gösterilmesi gereken şematik bir çizim yapılmasına izin verilir.
Burada entegrasyon limitleri ile ilgili herhangi bir sorun yoktur, bunlar doğrudan şu koşuldan kaynaklanır: - "x" sıfırdan "pi"ye değişir. Bir karar daha veriyoruz:
Segmentte, fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:
- Yer değiştirmeye yörüngenin başlangıç ve bitiş noktalarını birleştiren vektör denir Yolun başlangıcını ve sonunu birleştiren vektöre denir
- Yörünge, yol uzunluğu, yer değiştirme vektörü Başlangıç konumunu bağlayan vektör
- Bir çokgenin alanını köşelerinin koordinatlarından hesaplama Köşe formülünün koordinatlarından bir üçgenin alanı
- Kabul Edilebilir Değer Aralığı (ODZ), teori, örnekler, çözümler