Дробно ірраціональні. Найпростіші раціональні рівняння
Сьогодні ми розберемося, як вирішувати дробові раціональні рівняння.
Подивимося: із рівнянь
(1) 2х + 5 = 3(8 – х),
(3)
(4)
дробовими раціональними рівняннями є лише (2) та (4), а (1) та (3) це цілі рівняння.
Пропоную розв'язати рівняння (4), а потім сформулювати правило.
Оскільки рівняння дробове, то треба знайти спільний знаменник. У цьому рівнянні вираз 6(х – 12)(х – 6). Потім ми множимо обидві частини рівняння на спільний знаменник:
Після скорочення отримуємо ціле рівняння:
6 (х - 6) 2 - 6 (х - 12) 2 = 5 (х - 12) (х - 6).
Розв'язавши це рівняння треба обов'язково перевірити чи не перетворюють отримане коріння на нуль знаменники дробів у вихідному рівнянні.
Розкриваємо дужки:
6х 2 - 72х + 216 - 6х 2 + 144х - 864 = 5х 2 - 90х + 360, спрощуємо рівняння: 5х 2 - 162х + 1008 = 0.
Знаходимо коріння рівняння
D = 6084, √D = 78,
х 1 = (162 - 78) / 10 = 84/10 = 8,4 і х 2 = (162 + 78) / 10 = 240/10 = 24.
При х = 8,4 і 24 загальний знаменник 6(х – 12)(х – 6) ≠ 0, отже, ці числа є корінням рівняння (4).
Відповідь: 8,4; 24.
Вирішивши запропоноване рівняння, приходимо до наступних положенням:
1) Знаходимо спільний знаменник.
2) Помножуємо обидві частини рівняння на загальний знаменник.
3) Вирішуємо отримане ціле рівняння.
4) Перевіряємо, які з коренів перетворюють загальний знаменник на нуль і виключаємо їх із рішення.
Подивимося тепер з прикладу, як працюють отримані становища.
Вирішити рівняння:
1) Загальний знаменник: х 2 – 1
2) Примножуємо обидві частини рівняння на загальний знаменник, отримуємо ціле рівняння: 6 – 2(х + 1) = 2(х 2 – 1) – (х + 4)(х – 1)
3) Вирішуємо рівняння: 6 - 2х - 2 = 2х 2 - 2 - х 2 - 4х + х + 4
х 2 – х – 2 = 0
х 1 = - 1 та х 2 = 2
4) При х = -1, загальний знаменник х 2 - 1 = 0. Число -1 коренем не є.
При х = 2 загальний знаменник х 2 – 1 ≠ 0. Число 2 – корінь рівняння.
Відповідь: 2.
Як бачите, наші становища працюють. Не бійтеся, у вас все вийде! Найголовніше правильно знайдіть спільний знаменникі акуратно виконайте перетворення. Сподіваємося, що при вирішенні дробових раціональних рівнянь у вас завжди будуть правильні відповіді. Якщо у вас залишилися питання або ви хочете попрактикуватися у вирішенні подібних рівнянь, записуйтесь на уроки до автора цієї статті, репетитора Валентини Галиневської.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Рівняння» ми ввели вище в § 7. Спочатку нагадаємо, що таке раціональне вираження. Це - алгебраїчний вираз, Складене з чисел і змінної х за допомогою операцій складання, віднімання, множення, поділу та зведення в ступінь з натуральним показником.
Якщо r(х) – раціональний вираз, то рівняння r(х) = 0 називають раціональним рівнянням.
Втім, практично зручніше користуватися дещо ширшим тлумаченням терміну «раціональне рівняння»: це рівняння виду h(x) = q(x), де h(x) і q(x) - раціональні висловлювання.
Досі ми могли вирішити не будь-яке раціональне рівняння, а тільки таке, яке в результаті різних перетворень та міркувань зводилося до лінійному рівнянню. Тепер наші можливості значно більші: ми зуміємо вирішити раціональне рівняння, яке зводиться не тільки до лінійно-
му, а й до квадратного рівняння.
Нагадаємо, як ми вирішували раціональні рівняння раніше, і спробуємо сформулювати алгоритм розв'язання.
приклад 1.Вирішити рівняння
Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді
При цьому, як завжди, ми користуємося тим, що рівності А = В і А - В = 0 виражають одну і ту ж залежність між А і В. Це дозволило нам перенести член в ліву частину рівняння з протилежним знаком.
Виконаємо перетворення лівої частини рівняння. Маємо
Згадаймо умови рівності дробинулю: тоді, і тільки тоді, коли одночасно виконуються два співвідношення:
1) чисельник дробу дорівнює нулю (а = 0); 2) знаменник дробу відмінний від нуля).
Прирівнявши нулю чисельник дробу в лівій частині рівняння (1), отримаємо
Залишилося перевірити виконання другої зазначеної вище умови. Співвідношення означає рівняння (1), що . Значення х 1 = 2 і х 2 = 0,6 зазначеним співвідношенням задовольняють і тому є корінням рівняння (1), а разом з тим і корінням за даного рівняння.
1) Перетворимо рівняння до виду
2) Виконаємо перетворення лівої частини цього рівняння:
(одночасно змінили знаки в чисельнику та
дроби).
Таким чином, задане рівняння набуває вигляду
3) Розв'яжемо рівняння х 2 - 6x + 8 = 0. Знаходимо
4) Для знайдених значень перевіримо виконання умови . Число 4 цій умові задовольняє, а число 2 - ні. Значить, 4 – корінь заданого рівняння, а 2 – сторонній корінь.
Відповідь: 4.
2. Вирішення раціональних рівнянь методом введення нової змінної
Метод введення нової змінної вам знайомий, ми не раз ним користувалися. Покажемо на прикладах, як він застосовується під час вирішення раціональних рівнянь.
приклад 3.Розв'язати рівняння х 4 + х 2 – 20 = 0.
Рішення. Введемо нову змінну у = х2. Так як х 4 = (х 2) 2 = у 2 то задане рівняння можна переписати у вигляді
у 2 + у – 20 = 0.
Це – квадратне рівняння, коріння якого знайдемо, використовуючи відомі формули; отримаємо у 1 = 4, у 2 = - 5.
Але у = х 2, отже, завдання звелося вирішення двох рівнянь:
x 2 = 4; х 2 =-5.
З першого рівняння знаходимо друге рівняння немає коренів.
Відповідь: .
Рівняння виду ах 4 + bx 2 +c = 0 називають біквадратним рівнянням («бі» - два, тобто як би «двічі квадратне» рівняння). Щойно вирішене рівняння було саме біквадратним. Будь-яке біквадратне рівняння вирішується так само, як рівняння з прикладу 3: вводять нову змінну у = х 2 вирішують отримане квадратне рівняння щодо змінної у, а потім повертаються до змінної х.
приклад 4.Вирішити рівняння
Рішення. Зауважимо, що тут двічі зустрічається те саме вираз х 2 + Зх. Отже, має сенс запровадити нову змінну у = х 2 + Зх. Це дозволить переписати рівняння у більш простому та приємному вигляді (що, власне кажучи, і становить мету введення нової змінної- і запис спрощення
ється, і структура рівняння стає більш ясною):
А тепер скористаємося алгоритмом розв'язання раціонального рівняння.
1) Перенесемо всі члени рівняння в одну частину:
= 0
2) Перетворимо ліву частину рівняння
Отже, ми перетворили задане рівняння на вигляд
3) З рівняння - 7у 2 + 29у -4 = 0 знаходимо (ми з вами вже вирішили досить багато квадратних рівнянь, тому завжди наводити в підручнику докладні викладки, напевно, не варто).
4) Виконаємо перевірку знайденого коріння за допомогою умови 5 (у - 3) (у + 1). Обидва корені цій умові задовольняють.
Отже, квадратне рівняння щодо нової змінної у вирішено:
Оскільки у = х 2 + Зх, а у, як ми встановили, набуває двох значень: 4 і , - нам ще належить вирішити два рівняння: х 2 + Зх = 4; х 2 + Зх =. Корінням першого рівняння є числа 1 і - 4, корінням другого рівняння - числа
У розглянутих прикладах метод запровадження нової змінної був, як люблять висловлюватися математики, адекватний ситуації, т. е. добре їй відповідав. Чому? Та тому, що один і той же вираз явно зустрічався в записі рівняння кілька разів і був сенс позначити цей вираз новою літерою. Але так буває не завжди, іноді нова змінна «виявляється» лише у процесі перетворень. Саме так буде справа в наступному прикладі.
Приклад 5.Вирішити рівняння
х(х-1)(x-2)(x-3) = 24.
Рішення. Маємо
х(х - 3) = х 2 - 3х;
(х - 1) (x - 2) = x 2-Зx +2.
Отже, задане рівняння можна переписати як
(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24
Ось тепер нова змінна "проявилася": у = х 2 - Зх.
З її допомогою рівняння можна переписати у вигляді у (у + 2) = 24 і далі у 2 + 2у - 24 = 0. Корінням цього рівняння є числа 4 і -6.
Повертаючись до вихідної змінної х, отримуємо два рівняння х 2 - Зх = 4 та х 2 - Зх = - 6. З першого рівняння знаходимо х 1 = 4, х 2 = - 1; друге рівняння не має коріння.
Відповідь: 4, - 1.
Як відомо (див. § 2 попереднього розділу), рівняння виду
де раціональні функції, принаймні одна з яких дрібно-раціональна, називається дрібно-раціональним рівнянням з одним невідомим.
Для вирішення рівняння (1) перенесемо в ліву частину, виконаємо необхідні тотожні перетворенняі запишемо задане рівняння у вигляді
де і багаточлени від
Рівняння (2) є наслідком рівняння (1). Дійсно, якщо є рішення рівняння (1), то Виконаємо над цією рівністю всі ті перетворення, які ми виконували над рівнянням Отримаємо рівність а це і означає, що є рішення рівняння (2).
Однак рівняння (2) не обов'язково рівносильне рівнянню (1). При перетворенні рівняння (1) безліч допустимих значень невідомого може змінитися, причому воно не може звузитися, але може розширитися,
і тоді рівняння (2) матиме рішення, сторонні рівняння (1). Це станеться тоді, коли в процесі перетворення рівняння деякі дробові вирази взаємно знищуються або проводиться скорочення. алгебраїчних дробівна множники, до яких входить невідоме
Наприклад, виконуючи у рівнянні
вказані перетворення, отримаємо
Рівняння (4) не дорівнює рівнянню (3). Справді, воно має коріння Другий є стороннім для рівняння (3), бо за вираз немає сенсу. Сталося це тому, що при перетворенні рівняння (3) взаємно знищилися доданки
Перетворюючи інше рівняння
Скоротивши дріб будемо мати
Рівняння (6) має корінь, який не задовольняє рівнянню (5), тому що ліва частина його втрачає сенс при тому, що рівняння (6) не рівносильне рівнянню (5). Сталося це тому, що в процесі перетворення заданого рівняння ми скорочували алгебраїчну дріб на
Таким чином, рівняння (2) є наслідком рівняння (1), але не обов'язково рівносильне йому; звідси випливає, що рішення рівняння (1) слід шукати серед рішень рівняння (2). Рішення ж рівняння (2) можуть бути лише ті значення при яких дорівнює нулю, тобто лише рішення рівняння означає, рішення рівняння (1) треба шукати серед рішень рівняння
Отже, для вирішення рівняння (1) достатньо визначити всі коріння рівняння і потім шляхом безпосередньої підстановки їх у рівняння (1) з'ясувати, які є корінням заданого рівняння (1).
Викладені нами міркування можна коротко сформулювати у вигляді наступного правила на вирішення дробно-раціональних рівнянь.
Для вирішення дробово-раціональних рівнянь
з одним невідомим потрібно:
1) перенести всі члени його до лівої частини;
2) виконати необхідні тотожні перетворення та записати задане рівняння у вигляді
де і багаточлени від
3) розв'язати рівняння
4) шляхом підстановки рішень рівняння до початкового рівняння визначити, які їх задовольняють заданому рівнянню.
приклад. Вирішити рівняння
Перенісши всі члени до лівої частини і привівши їх до спільного знаменника, отримаємо:
Прирівнявши чисельник лівої частини нулю, матимемо рівняння
Перше з цих рішень стороннім для заданого рівняння, а друге задовольняє йому.
Зауважимо, що в шкільній практицічасто при вирішенні дробово-раціональних рівнянь обидві частини заданого рівняння множать на загальний знаменник всіх дробів алгебри, що входять в ліву і праву частини рівняння, а потім вирішують отримане таким чином рівняння. Очевидно, що отримане рівняння алгебри є наслідком заданого рівняння, але не рівносильно йому.
Тому, знайшовши рішення цього рівняння алгебри, треба підстановкою їх в задане рівняння визначити, які з них будуть рішеннями заданого рівняння.
Розв'язання дробово-раціональних рівнянь
Довідковий посібник
Раціональні рівняння – це рівняння, у яких і ліва, і права частини є раціональними виразами.
(Нагадаємо: раціональними виразами називають цілі та дробові вирази без радикалів, що включають дії додавання, віднімання, множення або поділу - наприклад: 6x; (m – n)2; x/3y тощо)
Дробно-раціональні рівняння, як правило, наводяться до вигляду:
Де P(x) та Q(x) - багаточлени.
Для вирішення подібних рівнянь помножити обидві частини рівняння Q(x), що може призвести до появи сторонніх коренів. Тому при вирішенні дробово-раціональних рівнянь необхідна перевірка знайденого коріння.
Раціональне рівняння називається цілим, або алгебраїчним, якщо в ньому немає поділу на вираз, що містить змінну.
Приклади цілого раціонального рівняння:
5x - 10 = 3 (10 - x)
3x
- = 2x - 10
4
Якщо раціональному рівнянні є розподіл на вираз, що містить змінну (x), то рівняння називається дробово-раціональним.
Приклад дробового раціонального рівняння:
15
x + - = 5x - 17
x
Дробові раціональні рівняння зазвичай вирішуються так:
1) знаходять спільний знаменник дробів та множать на нього обидві частини рівняння;
2) вирішують ціле рівняння, що вийшло;
3) виключають з його коріння ті, які перетворюють на нуль загальний знаменник дробів.
Приклади розв'язання цілих та дробових раціональних рівнянь.
Приклад 1. Розв'яжемо ціле рівняння
x - 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
Рішення:
Знаходимо найменший спільний знаменник. Це 6. Ділимо 6 на знаменник і отриманий результат множимо на чисельник кожного дробу. Отримаємо рівняння, що дорівнює цьому:
3(x – 1) + 4x 5х
------ = --
6 6
Оскільки в лівій та правій частинах однаковий знаменник, його можна опустити. Тоді у нас вийде простіше рівняння:
3(x - 1) + 4x = 5х.
Вирішуємо його, розкривши дужки і звівши подібні члени:
3х - 3 + 4х = 5х
3х + 4х - 5х = 3
Приклад вирішено.
Приклад 2. Розв'яжемо дробове раціональне рівняння
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x (x – 5)
Знаходимо спільний знаменник. Це x(x – 5). Отже:
х 2 - 3х x - 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)
Тепер знову звільняємося від знаменника, оскільки він є однаковим для всіх виразів. Зводимо подібні члени, прирівнюємо рівняння до нуля та отримуємо квадратне рівняння:
х 2 - 3x + x - 5 = x + 5
х 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0
х 2 - 3x - 10 = 0.
Розв'язавши квадратне рівняння, знайдемо його коріння: –2 та 5.
Перевіримо, чи є ці числа корінням вихідного рівняння.
При x = –2 загальний знаменник x(x – 5) не перетворюється на нуль. Отже, –2 є коренем вихідного рівняння.
При x = 5 загальний знаменник перетворюється на нуль, і дві висловлювання з трьох втрачають сенс. Отже, число 5 перестав бути коренем вихідного рівняння.
Відповідь: x = -2
Ще приклади
приклад 1.
x 1 = 6, x 2 = - 2,2.
Відповідь: -2,2;6.
приклад 2.
Раціональні рівняння - це рівняння, що містять у собі раціональні вирази.
Визначення 1
Раціональними висловлюваннями у своїй є висловлювання, які можна записати як звичайного дробувиду $\frac(m)(n)$, при цьому $m$ і $n$ - цілі числа і $n$ не може дорівнювати нулю. До раціональних виразів відносяться не тільки вирази, що містять дроби виду $ \ frac (2) (3) $, але і вирази, що містять тільки цілі числа, так як будь-яке ціле число можна подати у вигляді неправильного дробу.
Тепер розглянемо докладніше, що таке раціональні рівняння.
Як ми вже згадали вище, раціональні рівняння - це рівняння, що містять у собі раціональні вирази та змінні.
Відповідно до того, на якому саме місці стоїть змінна в раціональному рівнянні, воно може бути або дробовим раціональним рівнянням, або цілим раціональним рівнянням.
Дробні рівняння можуть містити дріб зі змінною тільки в якійсь одній частині рівняння, тоді як цілі рівняння не містять виразів зі змінною.
Цілі раціональні рівняння приклади: $ 5x + 2 = 12 $; $3y=-7(-4y + 5)$; $7a-14 = 256 $.
Дробно-раціональні рівняння приклади: $ frac (3x-2) (x + 3) + frac (1) (2) = frac (5) (x) $; $ frac (7) (2y-3) = 5 $;
Варто зазначити, що дробно-раціональними рівняннями називаються лише рівняння, що містять дріб у знаменнику, оскільки рівняння, що містять дробові вирази без змінних, легко зводяться до лінійних цілих рівнянь.
Як розв'язувати раціональні рівняння?
Залежно від того, чи маєте ви справу з цілим раціональним рівнянням або з дробовим, застосовуються різні алгоритми для вирішення.
Алгоритм розв'язання цілих раціональних рівнянь
- Спочатку необхідно визначити найменший загальний знаменник для всієї рівності.
- Потім потрібно визначити множники, куди потрібно примножити кожен член рівності.
- Наступний етап - приведення до спільного знаменника всієї рівності.
- Нарешті, здійснення пошуку коренів отриманої цілої раціональної рівності.
Приклад 1
Розв'яжіть рівняння: $\frac(5x+9)(2)=\frac(x)(4)$
Спочатку знайдемо загальний множник - у разі це число $4$. Для того, щоб позбутися знаменника, домножимо ліву частину на $\frac(2)(2)$, отримуємо:
$10x+18=x$ - отримане рівняння є лінійним, його корінь $x=-2$.
Як розв'язувати дробово-раціональні рівняння?
У випадку з дробовими раціональними рівняннями порядок вирішення схожий на алгоритм для вирішення цілих раціональних, тобто зберігаються пункти 1-4, але після знаходження передбачуваних коренів у разі використання нерівносильних перетворень коріння потрібно перевірити, підставивши рівняння.
Приклад 2
Розв'яжіть дробово-раціональне рівняння: $\frac(x-3)(x-5)+\frac(1)(x)=\frac(x+5)(x \cdot (x-5))$
Для того щоб привести дріб до спільного знаменника, тут це $x \cdot (x-5)$, домножимо кожен дріб на одиницю, представлену у вигляді необхідного для приведення до спільного знаменника множника:
$\frac((x-3) \cdot x)((x-5)\cdot x)+\frac(1 \cdot (x-5))(x \cdot (x-5))=\frac( x+5)(x \cdot (x-5))$
Тепер, коли весь дріб має спільний знаменник, його можна позбутися:
$(x-3) \cdot x+(x-5)=x+5$
$x^2 - 3x+x-5 = x+5$
Скористаємося теоремою Вієта для вирішення квадратного рівняння, що вийшло:
$\begin(cases) x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \\ \end(cases)$
$\begin(cases) x_1=5 \\ x_2=-2 \\ \end(cases)$
Так як перетворення, що використовувалося для спрощення рівняння, не є рівносильним, отримані коріння необхідно перевірити у вихідному рівнянні, для цього підставимо їх:
$\frac(-2-3)(-2-5) +\frac(1)(-2)=\frac(-2+5)((-2) \cdot (-2-5))$
$\frac(5)(7)-\frac(1)(2)=\frac(3)(14)$
$\frac(3)(14)=\frac(3)(14)$ - отже, корінь $x_2=-2$ - правильний.
$\frac(5-3)(5-5) +\frac(1)(5)=\frac(5+5)((-2) \cdot (5-5))$
Тут відразу видно, що у знаменнику утворюється нуль, отже, корінь $x_1=5$ - сторонній.
Необхідно пам'ятати, що у разі, якщо рівняння, що містить у лівій або правій частині вираз виду $\frac(m)(n)$ дорівнює нулю, дорівнює нулю може бути лише чисельник дробу. Це відбувається через те, що, якщо десь у знаменнику утворюється нуль, корінь, що перевіряється, не є коренем рівняння, тому що вся рівність втрачає сенс у цьому випадку. Коріння, що приводить знаменник до нуля, називаються сторонніми.
Якщо дробно-раціональне рівняння має досить складну форму, для його подальшого спрощення і рішення можна використовувати заміну частини рівняння на нову змінну, напевно, ви вже бачили приклади таких дробово-раціональних рівнянь:
Приклад 3
Розв'яжіть рівняння:
$\frac(1)(x^2+3x-3)+\frac(2)(x^2+3x+1)=\frac(7)(5)$
Для спрощення рішення введемо змінну $t= x^2+3x$:
$\frac(1)(t-3)+\frac(2)(t+1)=\frac(7)(5)$
Загальний знаменник тут $5 \cdot (t-3)(t+1)$, домножимо на необхідні множники всі частини рівняння, щоб позбутися від нього:
$\frac(5(t+1))(5(t-3)(t+1))+\frac(2 \cdot 5(t-3))(5(t+1)(t-3) )=\frac(7(t+1)(t-3))(5(t-3)(t+1))$
$5(t+1)+10(t-3)=7(t+1)(t-3)$
$5t+5+10t-30=7(t^2-3t+t-3)$
$15t-25=7t^2-14t-21$
Через дискримінант обчислимо коріння:
$t_1=4;t_2=\frac(1)(7)$
Оскільки ми використовували нерівносильні перетворення, необхідно перевірити отримане коріння в знаменнику, вони повинні задовольняти умову $5(t-3)(t+1)≠0$. Обидва корені відповідають цій умові.
Тепер підставимо отримане коріння замість $ t $ і отримаємо два рівняння:
$x^2+3x=4$ і $x^2+3x=\frac(1)(7)$.
За теоремою Вієта коріння першого рівняння $x_1=-4; x_2=1$, коріння другого ж обчислимо через дискримінант і маємо $x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(\frac(67)(7)))(2)$.
Усі коріння рівняння становитимуть: $x_1=-4; x_2=1, x_(3,4)=\frac(-3±\sqrt(\frac(67)(7)))(2)$.
Перетворення для спрощення форми рівняння
Як ви вже могли побачити вище, для вирішення раціональних рівнянь використовують різноманітні перетворення.
Розрізняють перетворення рівнянь двох видів: рівносильні (тотожні) та нерівносильні.
Перетворення називаються рівносильними, якщо вони призводять до рівняння нового виду, коріння якого таке саме, як у початкового.
Тотожні перетворення, які можна використовувати для зміни виду початкового рівняння без будь-яких перевірок надалі, є наступними:
- Множення або розподіл всього рівняння на якесь число, відмінне від нуля;
- Перенесення частин рівняння з лівої частини на праву і навпаки.
Нерівносильними перетвореннями називаються перетворення, у яких можуть виникнути сторонні коріння. До нерівносильних перетворень відносять:
- Зведення обох частин рівняння квадрат;
- Звільнення від знаменників, що містять змінну;
Коріння раціональних рівнянь, розв'язаних за допомогою нерівносильних перетворень, необхідно перевіряти підстановкою у вихідне рівняння, тому що при нерівносильних перетвореннях можуть з'явитися сторонні корені. Не завжди нерівносильні перетворення призводять до появи сторонніх коренів, але все ж таки необхідно це враховувати.
Розв'язання раціональних рівнянь зі ступенями більше двох
Найчастіше використовуваними методами на вирішення рівнянь зі ступенями більше двох є метод заміни змінної, розглянутий нами вище з прикладу дробно-раціонального рівняння, і навіть метод розкладання на множники.
Розглянемо докладніше спосіб розкладання на множники.
Нехай дано рівняння виду $ P (x) = 0 $, при цьому $ P (x) $ - багаточлен, ступінь якого більше двох. Якщо дане рівняння можливо розкласти на множники так, що воно набуває вигляду $P_1(x)P_2(x)P_3(x). )=0, P_2(x)=0, P_3(x)=0...P_n(x)=0$.
Для тих, хто не пам'ятає: вільний член рівняння - це член рівнянь, що не містить при собі як множник змінну. При цьому знайшовши один із коренів такого рівняння, його можна використовувати для подальшого розкладання рівняння на множники.
Приклад 5
Розв'яжіть рівняння:
Дільниками вільного члена будуть числа $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12$ та $±24$. При їх перевірці коренем виявився $x=2$. Це означає, що цей многочлен можна розкласти з допомогою цього кореня: $(x-2)(x^2+6+12)=0$.
Багаточлен у другій парі дужок коренів немає коренів, отже, єдиним коренем цього рівняння буде $x=2$.
Іншим типом рівнянь зі ступенем більше двох є бі квадратні рівняння виду $ax^4+bx^2+ c=0$. Такі рівняння вирішуються шляхом заміни $ x ^ 2 $ на $ y $, застосувавши її, отримуємо рівняння виду $ ay ^ 2 + y + c = 0 $, а після цього отримане значення нової змінної використовують для обчислення вихідної змінної.
Також існує ще один тип рівнянь, званий зворотним. Такі рівняння мають такий вигляд: $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$. Таку назву вони мають через повторення коефіцієнтів при старших ступенях та молодших.
- Переміщенням наз-ся вектор, що з'єднує початкову і кінцеву точки траєкторії Вектор, що з'єднує початок і кінець шляху називається
- Траєкторія, довжина шляху, вектор переміщення Вектор, що з'єднує початкове положення
- Обчислення площі багатокутника за координатами його вершин Площа трикутника за координатами вершин формула
- Область допустимих значень (ОДЗ), теорія, приклади, рішення