Визначення збіжності низки за ознакою даламбер. Числові ряди: визначення, властивості, ознаки збіжності, приклади, рішення
Ознака збіжності Даламбера Радикальна ознака збіжності Коші Інтегральна ознака збіжності Коші
Однією з поширених ознак порівняння, що у практичних прикладах, є ознака Даламбера. Ознаки Коші зустрічаються рідше, але також дуже популярні. Як завжди, постараюся викласти матеріал просто, доступно та зрозуміло. Тема не найскладніша, і всі завдання певною мірою трафаретні.
Жан Лерон Даламбер – знаменитий французький математик 18-го століття. Взагалі, Даламбер спеціалізувався на диференціальних рівнянняхі на підставі своїх досліджень займався баллістикою, щоб у Його Величності краще літали гарматні ядра. Заодно й про числові лави не забув, недаремно потім шеренги наполеонівських військ так чітко сходилися і розходилися.
Перед тим як сформулювати саму ознаку, розглянемо важливе питання:
Коли потрібно застосовувати ознаку збіжності Даламбер?
Спочатку почнемо із повторення. Згадаймо випадки, коли потрібно застосовувати найходовіший гранична ознака порівняння. Гранична ознака порівняння застосовується тоді, коли у загальному члені ряду:
1) У знаменнику знаходиться багаточлен.
2) Багаточлени знаходяться і в чисельнику, і в знаменнику.
3) Один або обидва багаточлени можуть бути під коренем.
Основні передумови застосування ознаки Даламбера такі:
1) До загального члена ряду («начинку» ряду) входить якесь число в ступеня, наприклад, , і так далі. Причому, зовсім не важливо, де ця штуковина розташовується, у чисельнику чи знаменнику – важливо, що вона там присутня.
2) До загального члена ряду входить факторіал. Із факторіалами ми схрестили шпаги ще на уроці. Числова послідовність та її межа. Втім, не завадить знову розкинути скатертину-самобранку:
…
…
! При використанні ознаки Даламбера нам доведеться розписувати факторіал докладно. Як і в попередньому пункті факторіал може розташовуватися вгорі або внизу дробу.
3) Якщо в загальному члені ряду є «ланцюжок множників», наприклад, . Цей випадок трапляється рідко, але! При дослідженні такого ряду часто припускаються помилки – див. Приклад 6.
Разом із ступенями чи (і) факторіалами в начинці ряду часто зустрічаються багаточлени, це не змінює справи – потрібно використовувати ознаку Даламбера.
Крім того, у загальному члені ряду може зустрітися одночасно і ступінь та факторіал; може зустрітися два факторіали, два ступені, важливо щоб там знаходилося хоч щось ізрозглянутих пунктів – і це передумова використання ознаки Даламбера.
Ознака Даламбера: Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо існує межа відношення наступного члена до попереднього: , то:
а) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться за .
б) При ряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться за .
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати іншу ознаку. Найчастіше одиниця виходить у тому випадку, коли ознака Даламбера намагаються застосувати там, де потрібно використовувати граничну ознаку порівняння.
У кого досі проблеми з межами або нерозуміння меж, зверніться до уроку Межі. Приклади рішень. Без розуміння межі та вміння розкривати невизначеність далі, на жаль, не просунутися.
А зараз довгоочікувані приклади.
Приклад 1
Ми, що у спільному члені низки ми маємо , але це правильна передумова те, що треба використовувати ознака Даламбера. Спочатку повне рішення та зразок оформлення, коментарі нижче.
Використовуємо ознаку Даламбер:
сходиться.
(1) Складаємо ставлення наступного члена до попереднього: . З умови бачимо, що загальний член ряду . Для того, щоб отримати наступний член ряду необхідно замість підставити: .
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу. За певного досвіду рішення цей крок можна пропускати.
(3) У чисельнику розкриваємо дужки. У знаменнику виносимо четвірку зі ступеня.
(4) Скорочуємо на . Константу виносимо за межі. У чисельнику в дужках наводимо подібні доданки.
(5) Невизначеність усувається стандартним способом – розподілом чисельника та знаменника на «ен» у старшому ступені.
(6) Почленно ділимо чисельники на знаменники, і вказуємо доданки, які прагнуть нуля.
(7) Спрощуємо відповідь і робимо позначку, що з висновком про те, що за ознакою Даламбера досліджуваний ряд сходиться.
У розглянутому прикладі у загальному члені низки ми зустрівся многочлен 2-го ступеня. Що робити, якщо там багаточлен 3-го, 4-го або вищого ступеня? Справа в тому, що якщо дано багаточлен вищого ступеня, то виникнуть труднощі з розкриттям дужок. В цьому випадку можна застосовувати "турбо"-метод рішення.
Приклад 2
Візьмемо схожий ряд і досліджуємо його на збіжність
Спочатку повне рішення, потім коментарі:
Використовуємо ознаку Даламбер:
Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.
(1) Складаємо відношення.
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу.
(3) Розглянемо вираз у чисельнику та вираз у знаменнику. Ми бачимо, що в чисельнику потрібно розкривати дужки і зводити в четвертий ступінь: чого робити зовсім не хочеться. Крім того, для тих, хто не знайомий з біномом Ньютона, це завдання взагалі може виявитися нездійсненним. Проаналізуємо старші ступеня: якщо ми вгорі розкриємо дужки, то отримаємо старший ступінь. Внизу у нас такий самий старший ступінь: . За аналогією з попереднім прикладом, очевидно, що з почленном розподілі чисельника і знаменника у нас межі вийде одиниця. Або, як кажуть математики, багаточлени та – одного порядку зростання. Таким чином, можна обвести ставлення простим олівцем і відразу вказати, що ця штука прагне одиниці. Аналогічно розправляємося з другою парою багаточленів: і вони теж одного порядку зростання, та його ставлення прагне одиниці.
Насправді, таку «халтуру» можна було провернути і в Прімері №1, але для багаточлена 2-го ступеня таке рішення виглядає все-таки несолидно. Особисто я роблю так: якщо є багаточлен (або багаточлени) першого або другого ступеня, я використовую «довгий» спосіб вирішення Прикладу 1. Якщо трапляється багаточлен 3-го та більш високих ступенів, я використовую «турбо»-метод за зразком Прикладу 2.
Приклад 3
Дослідити ряд на збіжність
Повне рішенняі зразок оформлення в кінці уроку про числові послідовності.
(4) Скорочуємо все, що можна скоротити.
(5) Константу виносимо за знак межі. У чисельнику розкриваємо дужки.
(6) Невизначеність усуваємо стандартним способом – розподілом чисельника та знаменника на «ен» у старшому ступені.
Приклад 5
Дослідити ряд на збіжність
Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку
Приклад 6
Дослідити ряд на збіжність
Іноді зустрічаються ряди, які у своїй начинці містять ланцюг множників, цей тип ряду ми ще не розглядали. Як дослідити ряд із «ланцюжком» множників? Використовувати ознаку Даламбер. Але спочатку для розуміння того, що відбувається, розпишемо ряд докладно:
З розкладання ми бачимо, що у кожного наступного члена ряду додається додатковий множник у знаменнику, тому якщо загальний член ряду , то наступний член ряду:
. Ось тут часто автоматично припускаються помилки, формально за алгоритмом записуючи, що
Зразковий зразок рішення може мати такий вигляд:
Використовуємо ознаку Даламбер:
Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.
Перед початком роботи з цією темою раджу подивитися розділ з термінологією числових рядів. Особливо варто звернути увагу до поняття загального члена ряду. Якщо у вас є сумніви щодо правильності вибору ознаки збіжності, раджу глянути тему "Вибір ознаки збіжності числових рядів" .
Ознака Д"Аламбера (або ознака Даламбера) використовується для дослідження збіжності рядів, загальний член яких строго більше за нуль, тобто $u_n > 0$. Такі ряди називають суворо позитивними. У стандартних прикладах ознака "Аламбера" використовують у граничній формі.
Ознака Д"Аламбера (у граничній формі)
Якщо ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ суворо позитивний і $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L, $ $ то при $L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (і за $L=\infty$) ряд розходиться.
Формулювання досить просте, але залишається відкритим наступне питання: що буде, якщо $ L = 1 $? Відповіді це питання ознака Д"Аламбера дати неспроможна. Якщо $L=1$, то ряд може як сходитися, і розходитися.
Найчастіше у стандартних прикладах ознака Д"Аламбера застосовується, якщо у вираженні загального члена ряду присутні багаточлен від $n$ (багаточлен може бути і під коренем) і ступінь виду $a^n$ або $n!$. Наприклад, $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (див. приклад №1) або $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "!} візитна картка"Ознаки Д"Аламбера.
Що означає вираз "n!"? показати\сховати
Запис "n!" (читається "ен факторіал") позначає твір усіх натуральних чиселвід 1 до n, тобто.
$$ n! = 1 \ cdot2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot n $ $
За визначенням вважається, що $0!=1!=1$. Наприклад знайдемо 5!:
$ $ 5! = 1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 = 120. $$
Крім того, нерідко ознака Д"Аламбера використовують для з'ясування збіжності ряду, загальний член якого містить добуток такої структури: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1))(2\ cdot 5 cdot 8 cdot ldots cdot (3n-1)) $.
Приклад №1
Дослідити ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ на збіжність.
Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. Оскільки за $n≥ 1$ маємо $3n+7 > 0$, $5^n>0$ і $2n^3-1 > 0$, то $u_n > 0$. Отже наш ряд є строго позитивним.
$$ 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\left(2n^3-1\right))(\left(2(n+1)^3-1\right )(3n+7))=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\left (2n^3-1\right))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2( n+1)^3-1\right))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ left(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\right)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \right))(\left(2\left(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\right)^3-\frac(1)(n^3)\right)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10) (n)\right)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\right))(\left(2\left(1+\frac(1)(n)\right)^3 -\frac(1)(n^3)\right)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 ) = 5. $$
Оскільки $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$, то відповідно до заданого ряду розходиться.
Чесно кажучи, ознака Д"Аламбера - не єдиний варіант у даній ситуації. Можна використовувати, наприклад, радикальний ознака Коші. Однак застосування радикальної ознаки Коші вимагатиме знання (або доказу) додаткових формул. Тому використання ознаки Д"Аламбера в цій ситуації зручніше.
Відповідь: ряд розходиться.
Приклад №2
Дослідити ряд $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ на сходимость.!}
Оскільки нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}
Загальний член низки містить многочлен під коренем, тобто. $\sqrt(4n+5)$, і факторіал $(3n-2)!$. Наявність факторіалу у стандартному прикладі – майже стовідсоткова гарантія застосування ознаки Д”Аламбера.
Щоб застосувати цю ознаку, нам доведеться знайти межу відношення $\frac(u_(n+1))(u_n)$. Щоб записати $u_(n+1)$, потрібно у формулу $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}
$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}
Оскільки $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, то формулу для $u_(n+1)$ можна записати по- іншому:
$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}
Цей запис зручний для подальшого вирішення, коли нам доведеться скорочувати дріб під межею. Якщо рівність з факторіалами вимагає пояснень, прошу розкрити примітку нижче.
Як ми отримали рівність $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? показати\сховати
Запис $(3n+1)!$ означає добуток всіх натуральних чисел від 1 до $3n+1$. Тобто. цей вираз можна записати так:
$$ (3n+1)!=1cdot 2cdotldotscdot(3n+1). $$
Безпосередньо перед числом $3n+1$ стоїть число, на одиницю менше, тобто. число $ 3n + 1-1 = 3n $. А безпосередньо перед числом $ 3n $ стоїть число $ 3n-1 $. Ну а безпосередньо перед числом $3n-1$ маємо число $3n-1-1=3n-2$. Перепишемо формулу для $(3n+1)!$:
$$ (3n+1)!=1cdot2cdotldotscdot(3n-2)cdot(3n-1)cdot 3ncdot (3n+1) $$
Що являє собою твір $1cdot2cdotldotscdot(3n-2)$? Цей добуток дорівнює $(3n-2)!$. Отже, вираз для $(3n+1)!$ можна переписати у такій формі:
$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$
Цей запис зручний для подальшого вирішення, коли нам доведеться скорочувати дріб під межею.
Обчислимо значення $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$:
$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9)))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}
Оскільки $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно
Жан Лерон Даламбер – знаменитий французький математик 18-го століття. Взагалі Даламбер спеціалізувався на диференціальних рівняннях і на підставі своїх досліджень займався баллістикою, щоб у Його Величності краще літали гарматні ядра. Заодно й про числові лави не забув, недаремно потім шеренги наполеонівських військ так чітко сходилися і розходилися.
Перед тим як сформулювати саму ознаку, розглянемо важливе питання:
Коли потрібно застосовувати ознаку збіжності Даламбер?
Спочатку почнемо із повторення. Згадаймо випадки, коли потрібно застосовувати найходовіший гранична ознака порівняння. Гранична ознака порівняння застосовується тоді, коли у загальному члені ряду:
1) У знаменнику знаходиться багаточлен.
2) Багаточлени знаходяться і в чисельнику, і в знаменнику.
3) Один або обидва багаточлени можуть бути під коренем.
Основні передумови застосування ознаки Даламбера такі:
1) До загального члена ряду («начинку» ряду) входить якесь число в ступеня, наприклад, , і так далі. Причому, зовсім не важливо, де ця штуковина розташовується, у чисельнику чи знаменнику – важливо, що вона там присутня.
2) До загального члена ряду входить факторіал. Що таке факторіал? Нічого складного, факторіал – це просто згорнутий запис твору:
…
…
! При використанні ознаки Даламбера нам доведеться розписувати факторіал докладно. Як і в попередньому пункті факторіал може розташовуватися вгорі або внизу дробу.
3) Якщо в загальному члені ряду є «ланцюжок множників», наприклад, . Цей випадок трапляється рідко, але! При дослідженні такого ряду часто припускаються помилки – див. Приклад 6.
Разом із ступенями чи (і) факторіалами в начинці ряду часто зустрічаються багаточлени, це не змінює справи – потрібно використовувати ознаку Даламбера.
Крім того, у загальному члені ряду може зустрітися одночасно і ступінь та факторіал; може зустрітися два факторіали, два ступені, важливо щоб там знаходилося хоч щосьз розглянутих пунктів – і це передумова використання ознаки Даламбера.
Ознака Даламбера: Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо існує межа відношення наступного члена до попереднього: , то:
а) При ряд сходиться
б) При ряд розходиться
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати іншу ознаку. Найчастіше одиниця виходить у тому випадку, коли ознака Даламбера намагаються застосувати там, де потрібно використовувати граничну ознаку порівняння.
У кого досі проблеми з межами або нерозуміння меж, зверніться до теми Межі. Приклади рішень. Без розуміння межі та вміння розкривати невизначеність далі, на жаль, не просунутися. А зараз довгоочікувані приклади.
Приклад 1
Ми, що у спільному члені низки ми маємо , але це правильна передумова те, що треба використовувати ознака Даламбера. Спочатку повне рішення та зразок оформлення, коментарі нижче.
Використовуємо ознаку Даламбер:
сходиться.
(1) Складаємо ставлення наступного члена до попереднього: . З умови бачимо, що загальний член ряду . Для того, щоб отримати наступний член ряду необхідно замість підставити: .
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу. За певного досвіду рішення цей крок можна пропускати.
(3) У чисельнику розкриваємо дужки. У знаменнику виносимо четвірку зі ступеня.
(4) Скорочуємо на . Константу виносимо за межі. У чисельнику в дужках наводимо подібні доданки.
(5) Невизначеність усувається стандартним способом – розподілом чисельника та знаменника на «ен» у старшому ступені.
(6) Почленно ділимо чисельники на знаменники, і вказуємо доданки, які прагнуть нуля.
(7) Спрощуємо відповідь і робимо позначку, що з висновком про те, що за ознакою Даламбера досліджуваний ряд сходиться.
У розглянутому прикладі у загальному члені низки ми зустрівся многочлен 2-го ступеня. Що робити, якщо там багаточлен 3-го, 4-го або вищого ступеня? Справа в тому, що якщо дано багаточлен вищого ступеня, то виникнуть труднощі з розкриттям дужок. В цьому випадку можна застосовувати "турбо"-метод рішення.
Приклад 2
Візьмемо схожий ряд і досліджуємо його на збіжність
Спочатку повне рішення, потім коментарі:
Використовуємо ознаку Даламбер:
Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.
(1) Складаємо відношення.
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу.
(3) Розглянемо вираз у чисельнику та вираз у знаменнику. Ми бачимо, що в чисельнику потрібно розкривати дужки і зводити в четвертий ступінь: чого робити зовсім не хочеться. Крім того, для тих, хто не знайомий з біномом Ньютона, це завдання взагалі може виявитися нездійсненним. Проаналізуємо старші ступеня: якщо ми вгорі розкриємо дужки, то отримаємо старший ступінь. Внизу у нас такий самий старший ступінь: . За аналогією з попереднім прикладом, очевидно, що з почленном розподілі чисельника і знаменника у нас межі вийде одиниця. Або, як кажуть математики, багаточлени та – одного порядку зростання. Таким чином, можна обвести ставлення простим олівцем і відразу вказати, що ця штука прагне одиниці. Аналогічно розправляємося з другою парою багаточленів: і вони теж одного порядку зростання, та його ставлення прагне одиниці.
Насправді, таку «халтуру» можна було провернути і в Прімері №1, але для багаточлена 2-го ступеня таке рішення виглядає все-таки несолидно. Особисто я роблю так: якщо є багаточлен (або багаточлени) першого або другого ступеня, я використовую «довгий» спосіб вирішення Прикладу 1. Якщо трапляється багаточлен 3-го та більш високих ступенів, я використовую «турбо»-метод за зразком Прикладу 2.
Приклад 3 .
Розглянемо типові приклади з факторіалами:
Приклад 4 Дослідити ряд на збіжність
До загального члена ряду входить і ступінь, і факторіал. Зрозуміло, як день, що тут треба використати ознаку Даламбера. Вирішуємо.
Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.
(1) Складаємо відношення. Повторюємо ще раз. За умовою загальний член низки: . Щоб отримати наступний член ряду, замість потрібно підставити, таким чином: .
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу.
(3) Відщипуємо сімку від ступеня. Факторіали розписуємо докладно. Як це зробити – див. початок уроку.
(4) Скорочуємо все, що можна скоротити.
(5) Константу виносимо за знак межі. У чисельнику розкриваємо дужки.
(6) Невизначеність усуваємо стандартним способом – розподілом чисельника та знаменника на «ен» у старшому ступені.
Приклад 5Дослідити ряд на збіжність Повне рішення нижче.
Приклад 6Дослідити ряд на збіжність
Іноді зустрічаються ряди, які у своїй начинці містять ланцюг множників, цей тип ряду ми ще не розглядали. Як дослідити ряд із «ланцюжком» множників? Використовувати ознаку Даламбер. Але спочатку для розуміння того, що відбувається, розпишемо ряд докладно:
З розкладання ми бачимо, що у кожного наступного члена ряду додається додатковий множник у знаменнику, тому якщо загальний член ряду , то наступний член ряду:
. Ось тут часто автоматично припускаються помилки, формально за алгоритмом записуючи, що
Зразковий зразок рішення може виглядати так: Використовуємо ознаку Даламбера:
Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.
РАДИКАЛЬНИЙ ОЗНАК КОШІ
Огюстен Луї Коші – ще знаменитіший французький математик. Біографію Коші вам може розповісти будь-який студент технічної спеціальності. У наймальовничіших фарбах. Не випадково це прізвище висічено на першому поверсі Ейфелевої вежі.
Ознака збіжності Коші для позитивних числових рядів чимось нагадує щойно розглянутий ознака Даламбера.
Радикальна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо є межа: , то:
а) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться за .
б) При ряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться за .
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати іншу ознаку. Цікаво відзначити, що якщо ознака Коші не дає нам відповіді на питання про збіжність ряду, то ознака Даламбера теж не дасть нам відповіді. Але якщо ознака Даламбера дає відповіді, то ознака Коші цілком може «спрацювати». Тобто ознака Коші є в цьому сенсі сильнішою ознакою.
Коли потрібно використовувати радикальну ознаку Коші?Радикальна ознака Коші зазвичай використовує у тих випадках, коли загальний член ряду ПОВНІСТТЮзнаходиться в ступеню, залежить від «ен». Або коли корінь «добре» витягується із загального члена низки. Є ще екзотичні випадки, але ними голову не забиватимемо.
Приклад 7Дослідити ряд на збіжність
Ми бачимо, що загальний член ряду повністю перебуває під ступенем, який залежить від , отже, потрібно використовувати радикальний ознака Коші:
Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.
(1) Оформляємо загальний член ряду під корінь.
(2) Переписуємо те саме, тільки вже без кореня, використовуючи властивість ступенів.
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник, вказуючи, що
(4) В результаті у нас вийшла невизначеність. Тут можна було піти довгим шляхом: звести в куб, звести в куб, потім розділити чисельник і знаменник на ен у старшому ступені. Але в даному випадку є більш ефективне рішення: можна поділити чисельник і знаменник прямо під ступенем-константою. Для усунення невизначеності ділимо чисельник та знаменник на (старший ступінь).
(5) Власне виконуємо почленное поділ, і вказуємо доданки, які прагнуть нуля.
(6) Доводимо відповідь до пуття, помічаємо, що й робимо висновок про те, що ряд розходиться.
А ось простіший приклад для самостійного вирішення:
Приклад 8 Дослідити ряд на збіжність
І ще кілька типових прикладів.
Повне рішення та зразок оформлення нижче.
Приклад 9
Дослідити ряд на збіжність
Використовуємо радикальний ознака Коші:
Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.
(1) Поміщаємо загальний член ряду під корінь.
(2) Переписуємо те саме, але вже без кореня, при цьому розкриваємо дужки, використовуючи формулу скороченого множення: .
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник і вказуємо, що .
(4) Отримано невизначеність виду. Тут можна у дужці почленно поділити чисельник на знаменник на «ен» у старшому ступені. Щось подібне у нас зустрічалося під час вивчення другої чудової межі. Але тут ситуація інша. Якби коефіцієнти при старших ступенях були однаковими, наприклад: , то фокус із почленним розподілом вже не пройшов, і треба було використовувати другий чудовий межа. Але у нас ці коефіцієнти різні(5 і 6), тому можна (і потрібно) ділити почленно (до речі, навпаки – друга чудова межа при різнихкоефіцієнтах при старших ступенях вже не прокочує).
(5) Власне виконуємо почленное поділ і вказуємо, які доданки в нас прагнуть нуля.
(6) Невизначеність усунена, залишилася найпростіша межа: .Чому в нескінченно великийступеня прагне до нуля? Тому що основа ступеня задовольняє нерівності. Якщо у кого є сумніви у справедливості межі, то я не полінуюся, візьму до рук калькулятор:
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
… і т.д. до нескінченності - тобто, в межі:
(7) Вказуємо, як і робимо висновок у тому, що ряд сходиться.
Приклад 10 Дослідити ряд на збіжність
Це приклад самостійного рішення.
Іноді на вирішення пропонується провокаційний приклад, наприклад: . Тут у показнику ступеня ні «ен»тільки константа. Тут необхідно звести в квадрат чисельник і знаменник (вийдуть багаточлени), а далі дотримуватися алгоритму зі статті Ряди для чайників. У подібному прикладі спрацювати має або необхідну ознаку збіжності низки або граничну ознаку порівняння.
ІНТЕГРАЛЬНИЙ ОЗНАК КОШІ
Розчарую тих, хто погано засвоїв матеріал першого курсу. Для того щоб застосовувати інтегральну ознаку Коші необхідно більш-менш впевнено вміти знаходити похідні, інтеграли, а також мати навички обчислення невласного інтегралупершого роду. У підручниках з математичного аналізу інтегральний ознака Коші дано математично суворо, сформулюємо ознака дуже примітивно, але зрозуміло. І одразу приклади для пояснення.
Інтегральна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд. Цей ряд сходиться чи розходиться
Приклад 11 Дослідити ряд на збіжність
Майже класика. Натуральний логарифм і якась бяка.
Основною передумовою використання інтегральної ознаки Кошіє те що, що у члені низки є певна функція та її похідна. З теми Похіднави напевно запам'ятали найпростішу табличну річ: , і в нас саме такий канонічний випадок.
Як використовувати інтегральну ознаку? Спочатку беремо значок інтеграла і переписуємо зі «лічильника» ряду верхній та нижній межі: . Потім під інтегралом переписуємо «начинку» ряду з літерою «хе»: . Чогось не вистачає ..., ах, так, ще в чисельнику потрібно приліпити піктограму диференціала: .
Тепер потрібно вирахувати невласний інтеграл. При цьому можливі два випадки:
1) Якщо з'ясується, що інтеграл сходиться, то сходитиметься і наш ряд.
2) Якщо з'ясується, що інтеграл розходиться, наш ряд теж буде розходитися.
Повторюся, якщо матеріал запущений, читання параграфа буде важким і малозрозумілим, оскільки застосування ознаки по суті зводиться до обчислення невласного інтегралупершого роду.
Повне рішення та оформлення прикладу має виглядати приблизно так:
Використовуємо інтегральну ознаку:
Таким чином, досліджуваний ряд розходитьсяразом із відповідним невласним інтегралом.
Приклад 12 Дослідити ряд на збіжність
Рішення та зразок оформлення наприкінці уроку
У розглянутих прикладах логарифм також міг бути під коренем, це змінило б способу рішення.
І ще два приклади на закуску
Приклад 13 Дослідити ряд на збіжність
За загальними «параметрами» загальний член низки начебто підходить для використання граничної ознаки порівняння. Потрібно лише розкрити дужки і одразу здати на кандидата гранично порівняти даний ряд із рядом, що сходить. Втім, я трохи злукавив, дужки можна і не розкривати, але все одно рішення через граничну ознаку порівняння виглядатиме досить химерно.
Тому ми використовуємо інтегральну ознаку Коші:
Підінтегральна функція безперервна на
сходитьсяразом із відповідним невласним інтегралом.
! Примітка:отримане число –не є сумою ряду!
Приклад 14 Дослідити ряд на збіжність
Рішення та зразок оформлення в кінці розділу, який добігає кінця.
З метою остаточного та безповоротного засвоєння теми числових рядів відвідайте теми.
Рішення та відповіді:
Приклад 3:Використовуємо ознаку Даламбер:
Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.
Примітка: Можна було використовувати і «турбо»-метод рішення: відразу обвести олівцем ставлення, вказати, що воно прагне одиниці і зробити позначку: «одного порядку зростання».
Приклад 5: Використовуємо ознаку Даламбера: Т.ч., досліджуваний ряд сходиться.
Приклад 8:
Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.
Приклад 10:
Використовуємо радикальну ознаку Коші.
Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.
Примітка: Тут основа ступеня , тому
Приклад 12: Використовуємо інтегральну ознаку
Отримано кінцеве число, отже, досліджуваний ряд сходиться
Приклад 14: Використовуємо інтегральну ознаку
Підінтегральна функція безперервна на .
Таким чином, досліджуваний ряд розходитьсяразом із відповідним невласним інтегралом.
Примітка: Ряд також можна дослідити за допомогоюграничної ознаки порівняння
. Для цього необхідно розкрити дужки під коренем і порівняти досліджуваний ряд з рядом, що розходиться.
Знакорядні ряди. Ознака Лейбниця. Приклади рішень
Щоб зрозуміти приклади цього уроку необхідно добре орієнтуватися в позитивних числових рядах: розуміти, що таке ряд, знати необхідну ознаку збіжності низки, вміти застосовувати ознаки порівняння, ознака Даламбера, ознаки Коші. Тему можна порушити практично з нуля, послідовно вивчивши статті Ряди для чайниківі Ознака Даламбер. Ознаки Коші. Логічно цей урок є третім за рахунком, і він дозволить не тільки розібратися в рядах, що знайдуть чергування, а й закріпити вже пройдений матеріал! Якийсь новизни буде небагато, і освоїти ряди, що знак чергуються, не складе великої праці. Все просто та доступно.
Що таке ряд ряд, що чергується?Це зрозуміло чи майже зрозуміло вже із самої назви. Відразу найпростіший приклад. Розглянемо ряд і розпишемо його докладніше:
А зараз буде вбивчий коментар. У членів ряду, що чергується, чергуються знаки: плюс, мінус, плюс, мінус, плюс, мінус і т.д. до нескінченності.
Знак черга забезпечує множник: якщо парне, то буде знак «плюс», якщо непарне – знак «мінус». На математичному жаргоні ця штуковина називається «мигалкою». Таким чином, ряд, що чергується, «пізнається» по мінус одиночці в ступені «ен».
У практичних прикладах знак чергування членів низки може забезпечувати як множник , а й його рідні брати: , , , …. Наприклад:
Підводним каменем є «обманки»: , , і т.п. – такі множники не забезпечують зміну знаку. Зрозуміло, що з будь-якому натуральному : , , . Ряди з обманками підсовують не тільки особливо обдарованим студентам, вони іноді виникають «самі собою» в ході рішення функціональних рядів.
Як дослідити ряд, що чергається, на збіжність?Використовувати ознаку Лейбніца. Про німецького гіганта думки Готфріда Вільгельма Лейбніца я розповідати нічого не хочу, оскільки, крім математичних праць, він накотив кілька томів з філософії. Небезпечно для мозку.
Ознака Лейбніца: Якщо члени ряду знакочередующегося монотонноспадають за модулем, то ряд сходиться. Або у два пункти:
2) Члени низки убувають по модулю: . Причому зменшуються монотонно.
Якщо виконано обидваумови, то ряд сходиться.
Коротку довідку про модуль наведено в методичціГарячі формули шкільного курсу математики , але для зручності ще раз:
Що означає «за модулем»? Модуль, як ми пам'ятаємо зі школи, "з'їдає" знак "мінус". Повернемося до ряду. Подумки зітремо гумкою всі знаки і подивимося на числа. Ми побачимо, що кожен наступнийчлен ряду меншеніж попередній. Таким чином, наступні фрази позначає те саме:
- Члени ряду без урахування знакуспадають.
- Члени ряду зменшуються за модулем.
- Члени ряду зменшуються за абсолютною величиною.
– Модульзагального члена ряду прагне нуля: Кінець довідки
Тепер трохи поговоримо про монотонність. Монотонність – це нудна постійність.
Члени ряду суворо монотонноспадають за модулем, якщо КОЖНИЙ НАСТУПНИЙ член ряду за модулемМЕНШЕ, ніж попередній: . Для ряду виконана строга монотонність зменшення, її можна розписати докладно:
А можна сказати коротше: кожен наступний член ряду за модулемменше, ніж попередній: .
Члени ряду нестрого монотонноспадають по модулю, якщо КОЖНИЙ НАСТУПНИЙ член ряду по модулю НЕ БІЛЬШЕ попереднього: . Розглянемо ряд із факторіалом: Тут має місце нестрога монотонність, тому що перші два члени ряду однакові за модулем. Тобто кожен наступний член ряду за модулемне більше попереднього: .
У разі теореми Лейбніца повинна виконуватися монотонність спадання (неважливо, строга чи нестрога). У цьому члени низки можуть навіть деякий час зростати за модулем, але «хвіст» ряду обов'язково має бути монотонно спадаючим. Не треба лякатися того, що я нагородив, практичні приклади все розставлять на свої місця:
Приклад 1Дослідити ряд на збіжність
У загальний член ряду входить множник , а значить, потрібно використовувати ознаку Лейбниця
1) Перевірка низки на знак чергування. Зазвичай у цьому пункті рішення низку розписують докладно і виносять вердикт «Ряд є знакочередним».
2) Чи зменшуються члени ряду по модулю? Необхідно вирішити межу, яка найчастіше є дуже простою.
- Члени ряду не спадають по модулю. До речі, відпала потреба в міркуваннях про монотонність спадання. Висновок: ряд розходиться.
Як розібратися, чому одно? Дуже просто. Як відомо, модуль знищує мінуси, тому для того щоб скласти , потрібно просто прибрати з даху проблисковий маячок. У разі загальний член ряду . Тупо прибираємо «мигалку»: .
Приклад 2 Дослідити ряд на збіжність
Використовуємо ознаку Лейбніца:
1) Ряд є знакочередним.
2) - члени ряду спадають за модулем. Кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній: таким чином, спад монотонно.
Висновок: ряд сходиться.
Все було б дуже просто – але це ще не кінець рішення!
Якщо ряд сходиться за ознакою Лейбніца, то також кажуть, що ряд сходиться умовно.
Якщо сходиться і ряд, складений із модулів: , то кажуть, що ряд сходиться абсолютно.
Тому на порядку денному другий етап вирішення типового завдання – дослідження ряду, що чергується, на абсолютну збіжність.
Не винен я – така вже теорія числових рядів =)
Досліджуємо наш ряд на абсолютну збіжність.
Складемо ряд із модулів – знову просто прибираємо множник, який забезпечує знак чергування: – розходиться (гармонічний ряд).
Таким чином, наш ряд не є абсолютно схожим.
Досліджуваний ряд сходиться лише умовно.
Зауважте, що у Прикладі №1 не потрібно проводити дослідження не абсолютну збіжність, оскільки ще першому кроці зроблено висновок у тому, що ряд розходиться.
Збираємо цеберки, лопатки, машинки і виходимо з пісочниці, щоб дивитися на світ широко розплющеними очима з кабіни мого екскаватора:
Приклад 3 Дослідити ряд на збіжність Використовуємо ознаку Лейбниця:
1)
Цей ряд є знакочередним.
2) - члени ряду спадають за модулем. Кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній: , отже, спад монотонно. Висновок: Ряд сходиться.
Аналізуючи начинку ряду, приходимо до висновку, що тут потрібно використовувати граничну ознаку порівняння. Дужки у знаменнику зручніше розкрити:
Порівняємо даний ряд з рядом, що сходить. Використовуємо граничну ознаку порівняння.
Отримано кінцеве число, відмінне від нуля, отже, ряд сходиться разом із рядом . Досліджуваний ряд сходиться абсолютно.
Приклад 4 Дослідити ряд на збіжність
Приклад 5 Дослідити ряд на збіжність
Це приклади самостійного рішення. Повне рішення та зразок оформлення наприкінці розділу.
Як бачите, ряди, що чергуються, - це просто і занудно! Але не поспішайте закривати сторінку, всього через пару екранів ми розглянемо випадок, який багатьох ставить у глухий кут. А поки що пара прикладів для тренування та повторення.
Приклад 6 Дослідити ряд на збіжність
Використовуємо ознаку Лейбниця.
1) Ряд є знакочередним.
2)
Члени ряду зменшуються за модулем. Кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній, отже, спад монотонно. Висновок: ряд сходиться.
Зверніть увагу, що я не докладно розписав члени ряду. Їх завжди бажано розписувати, але від непереборної лінощів у «важких» випадках можна обмежитися фразою «Ряд є знакочередним». До речі, не потрібно ставитись до цього пункту формально, завжди перевіряємо(хоча б у думках) що ряд справді знак чергується. Побіжний погляд підводить, і помилка допускається «на автоматі». Пам'ятайте про «обманки», якщо вони є, то їх потрібно позбутися, отримавши «звичайний» ряд з позитивними членами.
Друга тонкість стосується фрази про монотонність, її теж максимально скоротив. Так робити можна, і майже завжди ваше завдання зарахують. Скажу зовсім погану річ – особисто я часто взагалі мовчу про монотонність і такий номер проходить. Але будьте готові розписати детально, аж до докладних ланцюжків нерівностей (див. приклад на початку уроку). Крім того, іноді монотонність буває суворою, і за цим теж слід стежити, щоб замінити слово «менше» на слово «не більше».
Досліджуємо ряд на абсолютну збіжність:
Очевидно, що потрібно використовувати радикальну ознаку Коші:
Таким чином, низка сходиться. Досліджуваний ряд сходиться абсолютно.
Приклад 7Дослідити ряд на збіжність
Це приклад для самостійного вирішення. Нерідко зустрічаються ряди, що знакують черги, які викликають труднощі.
Приклад 8Дослідити ряд на збіжність
Використовуємо ознаку Лейбніца:
1) Ряд є знакочередним.
Справа в тому, що не існує стандартних звичайних прийомів для вирішення таких меж. Куди прагне така межа? До нуля, до нескінченності? Тут важливо, ЩО на нескінченності росте швидше– чисельник чи знаменник.
ПРИМІТКА: поняття порядку зростання функції докладно висвітлено у статтіМетоди розв'язання меж . У нас межі послідовностейале це не змінює суті.
Якщо чисельник при зростає швидше за факторіал, то . Якщо, на нескінченності факторіал зростає швидше чисельника, він, навпаки – «утягне» межа на нуль: . А може ця межа дорівнює якомусь відмінному від нуля числу?
Спробуємо записати кілька перших членів низки:
можна підставити якийсь багаточлен тисячного ступеня, це знову ж таки не змінить ситуацію – рано чи пізно факторіал все одно «пережене» і такий страшний багаточлен. Факторіал вищого порядку зростанняніж будь-яка статечна послідовність.
– Факторіал росте швидше, ніж добуток будь-якої кількостіпоказових та статечних послідовностей (наш випадок).
– Будь-якапоказова послідовність зростає швидше, ніж будь-яка статечна послідовність, наприклад: , . Показова послідовність вищого порядку зростанняніж будь-яка статечна послідовність. Аналогічно факторіалу, показова послідовність «перетягує» добуток будь-якої кількості будь-яких статечних послідовностей або багаточленів: .
- А чи є щось «крутіше» факторіалу? Є! Ступінно-показова послідовність («ен» у ступені «ен») зростає швидше за факторіал. Насправді зустрічається рідко, але інформація зайвої нічого очікувати. Кінець довідки
Таким чином, другий пункт дослідження (ви ще пам'ятаєте? =)) можна записати так:
2) , оскільки вищого порядку зростання, ніж .
Члени ряду зменшуються за модулем, починаючи з деякого номера, при цьому, кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній, таким чином, спад монотонно.
Висновок: ряд сходиться.
Ось тут якраз той цікавий випадок, коли члени ряду спочатку ростуть по модулю, через що у нас склалася помилкова первісна думка про межу. Але, починаючи з деякого номера "ен", факторіал обганяється чисельник, і «хвіст» ряду стає монотонно спадним, що є принципово важливим для виконання умови теореми Лейбніца. Чому саме і це «ен», дізнатися досить складно.
По відповідній теоремі з абсолютної збіжності ряду випливає і умовна збіжність ряду. Висновок: Досліджуваний ряд сходиться абсолютно.
І насамкінець пара прикладів для самостійного рішення. Один із тієї ж опери (перечитайте довідку), але простіше. Інший для гурманів – на закріплення інтегральної ознаки збіжності.
Приклад 9Дослідити ряд на збіжність
Приклад 10Дослідити ряд на збіжність
Після якісного опрацювання числових позитивних та знакозмінних рядів із чистою совістю можна перейти до функціональним рядам, які не менш монотонні та одноманітні цікаві.
Рішення та відповіді:
Приклад 4: Використовуємо ознаку Лейбніца:
1) Цей ряд є знакочередним.
2)
Члени ряду не спадають за модулем. Висновок: Ряд розходиться.. , при цьому, кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній, таким чином, спад монотонно.
Таким чином, ряд розходиться разом із відповідним невласним інтегралом. Досліджуваний ряд сходиться лише умовно.
Перед тим як сформулювати саму ознаку, розглянемо важливе питання:
Коли потрібно застосовувати ознаку збіжності Даламбер?
Основні передумови застосування ознаки Даламбера такі:
1) До загального члена ряду («начинку» ряду) входить якесь число в ступеня, наприклад, , і так далі. Причому, зовсім не важливо, де ці функції розташовується, чисельнику чи знаменнику – важливо, що вони там присутні.
2) До загального члена ряду входить факторіал. Що таке факторіал?
…
…
! При використанні ознаки Даламбера нам доведеться розписувати факторіал докладно. Як і в попередньому пункті факторіал може розташовуватися вгорі або внизу дробу.
3) Якщо в загальному члені ряду є «ланцюжок множників», наприклад, . Цей випадок трапляється рідко.
Разом із ступенями чи (і) факторіалами в начинці ряду часто зустрічаються багаточлени, це не змінює справи – потрібно використовувати ознаку Даламбера.
Крім того, у загальному члені ряду може зустрітися одночасно і ступінь та факторіал; може зустрітися два факторіали, два ступені, важливо щоб там знаходилося хоч щосьз розглянутих пунктів – і це передумова використання ознаки Даламбера.
Ознака Даламбера: Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо існує межа відношення наступного члена до попереднього: , то:
а) При ряд сходиться
б) При ряд розходиться
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати іншу ознаку. Найчастіше одиниця виходить у тому випадку, коли ознака Даламбера намагаються застосувати там, де потрібно використовувати граничну ознаку порівняння.
Без розуміння межі та вміння розкривати невизначеність далі, на жаль, не просунутися.
Приклад:
Рішення:Ми, що у спільному члені низки ми маємо , але це правильна передумова те, що треба використовувати ознака Даламбера.
Використовуємо ознаку Даламбер:
сходиться.
Радикальна ознака Коші.
Ознака збіжності Коші для позитивних числових рядів чимось нагадує щойно розглянутий ознака Даламбера.
Радикальна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо є межа: , то:
а) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться за .
б) При ряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться за .
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати іншу ознаку.
! Цікаво відзначити, що якщо ознака Коші не дає нам відповіді на питання про збіжність ряду, то ознака Даламбера теж не дасть нам відповіді. Але якщо ознака Даламбера дає відповіді, то ознака Коші цілком може «спрацювати». Тобто ознака Коші є в цьому сенсі сильнішою ознакою.
!!! Коли потрібно використовувати радикальну ознаку Коші?Радикальна ознака Коші зазвичай використовує у тих випадках, коли загальний член ряду ПОВНІСТТЮзнаходиться в ступеню, залежить від «ен». Або коли корінь «добре» витягується із загального члена низки. Є ще екзотичні випадки, але ними голову не забиватимемо.
Приклад:Дослідити ряд на збіжність
Рішення:Ми бачимо, що загальний член ряду повністю перебуває під ступенем, який залежить від , отже, потрібно використовувати радикальний ознака Коші:
Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.
Інтегральна ознака Коші.
Для того щоб застосовувати інтегральну ознаку Коші необхідно більш-менш впевнено вміти знаходити похідні, інтеграли, а також мати навички обчислення невласного інтегралупершого роду.
Сформулюю своїми словами (для простоти розуміння).
Інтегральна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд. Цей ряд сходиться чи розходиться разом із відповідним невласним інтегралом.
! !! Основною передумовою використання інтегральної ознаки Кошіє те що, що у члені низки є певна функція та її похідна.
Приклад:Дослідити ряд на збіжність
Рішення:З теми Похіднави напевно запам'ятали найпростішу табличну річ: , і в нас саме такий канонічний випадок.
Як використовувати інтегральну ознаку? Спочатку беремо значок інтеграла і переписуємо зі «лічильника» ряду верхній та нижній межі: . Потім під інтегралом переписуємо «начинку» ряду з літерою «ікс»: .
Тепер потрібно вирахувати невласний інтеграл. При цьому можливі два випадки:
1) Якщо з'ясується, що інтеграл сходиться, то сходитиметься і наш ряд.
2) Якщо з'ясується, що інтеграл розходиться, наш ряд теж буде розходитися.
Використовуємо інтегральну ознаку:
Підінтегральна функція безперервна на
Таким чином, досліджуваний ряд розходитьсяразом із відповідним невласним інтегралом.
Приклад:Дослідити збіжність ряду
Рішення:насамперед перевіряємо необхідна ознака збіжності ряду. Це не формальність, а чудовий шанс розправитися з прикладом «малою кров'ю».
Числова послідовністьвищого порядку зростаннячим , тому , тобто необхідну ознаку збіжності виконано, і ряд може, як сходитися, і розходитися.
Таким чином, потрібно використовувати будь-яку ознаку. Але який? Гранична ознака порівнянняявно не підходить, оскільки в загальний член ряду затесався логарифм, ознаки Даламбера та Кошітакож не призводять до результату. Якби у нас був, то сяк-так можна було б вивернутися через інтегральна ознака.
«Огляд місця події» наводить на думку про ряд, що розходиться (випадок узагальненого гармонійного ряду), але знову ж таки виникає питання, як врахувати логарифм у чисельнику?
Залишається найперша ознака порівняння, заснований на нерівностях, яка часто не береться до уваги і припадає пилом на дальній полиці. Розпишемо ряд докладніше:
Нагадую, що – необмежено зростаюча числова послідовність:
І, починаючи з номера, буде виконано нерівність:
тобто, члени ряду будуть ще більшевідповідних членів розбіжного
ряду.
У результаті ряду нічого не залишається, як теж розходитися.
Східність чи розбіжність числового ряду залежить від його «нескінченного хвоста» (залишку). У нашому випадку ми можемо не брати до уваги той факт, що нерівність неправильна для перших двох номерів – це не впливає на зроблений висновок.
Чистове оформлення прикладу має виглядати приблизно так:
Порівняємо цей ряд з рядом, що розходиться.
Для всіх номерів, починаючи з , виконано нерівність , отже, за ознакою порівняння досліджуваний ряд розходиться.
Знакорядні ряди. Ознака Лейбниця. Приклади розв'язків.
Що таке ряд ряд, що чергується?Це зрозуміло чи майже зрозуміло вже із самої назви. Відразу найпростіший приклад.
Розглянемо ряд і розпишемо його докладніше:
Знак черга забезпечує множник: якщо парне, то буде знак «плюс», якщо непарне – знак «мінус»
У практичних прикладах знак чергування членів низки може забезпечувати як множник , а й його рідні брати: , , , …. Наприклад:
Підводним каменем є «обманки»: , , і т.п. – такі множники не забезпечують зміну знаку. Зрозуміло, що з будь-якому натуральному : , , .
Як дослідити ряд, що чергається, на збіжність?Використовувати ознаку Лейбніца.
Ознака Лейбніца: Якщо в ряді, що чергається, виконуються дві умови: 1) члени ряду монотонно спадають за абсолютною величиною . 2) межа загального члена за модулем дорівнює нулю , то ряд сходиться, і модуль суми цього ряду не перевищує модуля першого члена.
Коротка довідка про модуль:
Що означає «за модулем»? Модуль, як ми пам'ятаємо зі школи, "з'їдає" знак "мінус". Повернемося до ряду . Подумки зітремо гумкою всі знаки і подивимося на числа. Ми побачимо, що кожен наступнийчлен ряду меншеніж попередній.
Тепер трохи про монотонність.
Члени ряду суворо монотонноспадають за модулем, якщо КОЖНИЙ НАСТУПНИЙ член ряду за модулемМЕНШЕ, ніж попередній: . Для ряду виконано строгу монотонність спадання, її можна розписати докладно:
А можна сказати коротше: кожен наступний член ряду за модулемменше, ніж попередній: .
Члени ряду нестрого монотонноспадають по модулю, якщо КОЖНИЙ НАСТУПНИЙ член ряду по модулю НЕ БІЛЬШЕ попереднього: . Розглянемо ряд із факторіалом: Тут має місце нестрога монотонність, тому що перші два члени ряду однакові за модулем. Тобто кожен наступний член ряду за модулемне більше попереднього: .
У разі теореми Лейбніца повинна виконуватися монотонність спадання (неважливо, строга чи нестрога). У цьому члени низки можуть навіть деякий час зростати за модулем, але «хвіст» ряду обов'язково має бути монотонно спадаючим.
Приклад:Дослідити ряд на збіжність
Рішення:У загальний член ряду входить множник , а значить, потрібно використовувати ознаку Лейбниця
1) Перевірка ряду на монотонне зменшення.
1<2<3<…, т.е. n+1>n –перша умова не виконується
2) - Друга умова теж не виконана.
Висновок: ряд розходиться.
Визначення:Якщо ряд сходиться за ознакою Лейбніца і ряд, складений із модулів: теж сходиться, то кажуть, що ряд сходиться абсолютно.
Якщо ряд сходиться за ознакою Лейбніца, а ряд, складений із модулів: розходиться, то кажуть, що ряд сходиться умовно.
Якщо ряд, складений із модулів сходиться, то сходиться і цей ряд.
Тому знак чергою схожий ряд необхідно досліджувати на абсолютну або умовну збіжність.
Приклад:
Рішення:Використовуємо ознаку Лейбніца:
1) Кожен наступний член ряду за модулем менше, ніж попередній: – перша умова виконана.
2) – друга умова також виконана.
Висновок: ряд сходиться.
Перевіримо на умовну чи абсолютну збіжність.
Складемо ряд із модулів – знову просто прибираємо множник, який забезпечує знак чергування:
- Розходиться (гармонічний ряд).
Таким чином, наш ряд не є абсолютно схожим.
Досліджуваний ряд сходиться умовно.
Приклад:Дослідити ряд на умовну чи абсолютну збіжність
Рішення:Використовуємо ознаку Лейбніца:
1) Спробуємо записати кілька перших членів низки:
…?!
2)
Справа в тому, що не існує стандартних звичайних прийомів для вирішення таких меж. Куди прагне така межа? До нуля, до нескінченності? Тут важливо, ЩО на нескінченності росте швидше– чисельник чи знаменник.
Якщо чисельник при зростає швидше за факторіал, то . Якщо, на нескінченності факторіал росте швидше за чисельника, то він, навпаки – «утягне» межу на нуль: . А може ця межа дорівнює якомусь відмінному від нуля числу? або . Замість можна підставити якийсь багаточлен тисячного ступеня, це знову ж таки не змінить ситуацію – рано чи пізно факторіал все одно «пережене» і такий страшний багаточлен. Факторіал вищого порядку зростання.
– Факторіал росте швидше, ніж добуток будь-якої кількостіпоказових та статечних послідовностей(Наш випадок).
– Будь-якапоказова послідовність зростає швидше, ніж будь-яка статечна послідовність, наприклад: , . Показова послідовність вищого порядку зростанняніж будь-яка статечна послідовність. Аналогічно факторіалу, показова послідовність «перетягує» добуток будь-якої кількості будь-яких статечних послідовностей або багаточленів: .
– А чи є щось «сильніше» за факторіал? Є! Ступінно-показова послідовність («ен» у ступені «ен») зростає швидше за факторіал. Насправді зустрічається рідко, але інформація зайвої нічого очікувати.
Кінець довідки
Таким чином, другий пункт дослідження можна записати так:
2) , оскільки більш високого порядку зростання, ніж .
Члени ряду зменшуються за модулем, починаючи з деякого номера, при цьому, кожен наступний член ряду по модулю менше, ніж попередній, таким чином, спад монотонно.
Висновок: ряд сходиться
Ось тут якраз той цікавий випадок, коли члени ряду спочатку ростуть по модулю, через що у нас склалася помилкова первісна думка про межу. Але, починаючи з деякого номера "ен", факторіал обганяє чисельник, і «хвіст» ряду стає монотонно спадним, що є принципово важливим для виконання умови теореми Лейбніца. Чому саме і це «ен», дізнатися досить складно.
Досліджуємо ряд на абсолютну чи умовну збіжність:
А тут уже працює ознака Даламбер:
Використовуємо ознаку Даламбер:
Таким чином, низка сходиться.
Досліджуваний ряд сходиться абсолютно.
Розібраний приклад можна вирішити іншим способом (використовуємо достатню ознаку збіжності ряду, що чергується).
Достатня ознака збіжності знак чередуючого ряду:Якщо ряд складений із абсолютних величин членів даного ряду, сходиться, то сходиться і цей ряд.
Другий спосіб:
Дослідити ряд на умовну чи абсолютну збіжність
Рішення : Досліджуємо ряд на абсолютну збіжність:
Використовуємо ознаку Даламбер:
Таким чином, низка сходиться.
З достатньої ознаки збіжності знакочередующегося ряду, сходиться і ряд.
Висновок: Досліджуваний ряд сходиться абсолютно.
Для обчислення суми ряду із заданою точністюбудемо використовувати наступну теорему:
Нехай ряд, що чергується, ряд задовольняє умовам ознаки Лейбниця і нехай – його nчасткова сума. Тоді ряд сходиться і похибка при наближеному обчисленні суми Sпо абсолютній величині не перевищує модуля першого відкинутого члена:
Функціональні лави. Ступінні ряди.
Область збіжності ряду.
Для успішного освоєння теми потрібно добре розумітися на звичайних числових рядах.
Ознаки збіжності рядів.
Ознака Даламбер. Ознаки Коші
Працюйте, працюйте - а розуміння прийде потім
Ж.Л. Даламбер
Усіх вітаю з початком навчального року! Сьогодні 1 вересня, і я вирішив на честь свята познайомити читачів з тим, що ви давно з нетерпінням чекали і прагнули дізнатися ознаками збіжності числових позитивних рядів. Свято Першого вересня та мої привітання завжди актуальні, нічого страшного, якщо насправді за вікном літо, ви ж зараз втретє перездаєте іспит, навчайтеся, якщо зайшли на цю сторінку!
Для тих, хто тільки починає вивчати ряди, рекомендую спочатку ознайомитися зі статтею Числові ряди для чайників. Власне, цей візок є продовженням банкету. Отже, сьогодні на уроці ми розглянемо приклади та рішення з тем:
Однією з поширених ознак порівняння, що у практичних прикладах, є ознака Даламбера. Ознаки Коші зустрічаються рідше, але також дуже популярні. Як завжди, постараюся викласти матеріал просто, доступно та зрозуміло. Тема не найскладніша, і всі завдання певною мірою трафаретні.
Ознака збіжності Даламбера
Жан Лерон Даламбер – знаменитий французький математик 18-го століття. Взагалі Даламбер спеціалізувався на диференціальних рівняннях і на підставі своїх досліджень займався баллістикою, щоб у Його Величності краще літали гарматні ядра. Заодно й про числові лави не забув, недаремно потім шеренги наполеонівських військ так чітко сходилися і розходилися.
Перед тим як сформулювати саму ознаку, розглянемо важливе питання:
Коли потрібно застосовувати ознаку збіжності Даламбер?
Спочатку почнемо із повторення. Згадаймо випадки, коли потрібно застосовувати найходовіший гранична ознака порівняння. Гранична ознака порівняння застосовується тоді, коли у загальному члені ряду:
1) У знаменнику знаходиться багаточлен.
2) Багаточлени знаходяться і в чисельнику, і в знаменнику.
3) Один або обидва багаточлени можуть бути під коренем.
4) Багаточленів та коренів, зрозуміло, може бути і більше.
Основні передумови застосування ознаки Даламбера такі:
1) До загального члена ряду («начинку» ряду) входить якесь число в ступені, наприклад, , , і так далі. Причому, зовсім не важливо, де ця штуковина розташовується, у чисельнику чи знаменнику – важливо, що вона там присутня.
2) До загального члена ряду входить факторіал. З факторіалами ми схрестили шпаги ще на уроці Числова послідовність та її межа. Втім, не завадить знову розкинути скатертину-самобранку:
…
…
! При використанні ознаки Даламбера нам доведеться розписувати факторіал докладно. Як і в попередньому пункті факторіал може розташовуватися вгорі або внизу дробу.
3) Якщо в загальному члені ряду є «ланцюжок множників», наприклад, . Цей випадок трапляється рідко, але! При дослідженні такого ряду часто припускаються помилки – див. Приклад 6.
Разом із ступенями чи (і) факторіалами в начинці ряду часто зустрічаються багаточлени, це не змінює справи – потрібно використовувати ознаку Даламбера.
Крім того, у загальному члені ряду може зустрітися одночасно і ступінь та факторіал; може зустрітися два факторіали, два ступені, важливо щоб там знаходилося хоч щосьз розглянутих пунктів – і це передумова використання ознаки Даламбера.
Ознака Даламбера: Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо існує межа відношення наступного члена до попереднього: , то:
а) При ряд сходиться
б) При ряд розходиться
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати іншу ознаку. Найчастіше одиниця виходить у тому випадку, коли ознака Даламбера намагаються застосувати там, де потрібно використовувати граничну ознаку порівняння.
У кого досі проблеми з межами або нерозуміння меж, зверніться до уроку Межі. Приклади рішень. Без розуміння межі та вміння розкривати невизначеність далі, на жаль, не просунутися.
А зараз довгоочікувані приклади.
Приклад 1
Ми, що у спільному члені низки ми маємо , але це правильна передумова те, що треба використовувати ознака Даламбера. Спочатку повне рішення та зразок оформлення, коментарі нижче.
Використовуємо ознаку Даламбер:
сходиться.
(1) Складаємо ставлення наступного члена до попереднього: . З умови бачимо, що загальний член ряду . Для того щоб отримати наступний член ряду потрібно ЗАМІСТЬ підставити: .
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу. За певного досвіду рішення цей крок можна пропускати.
(3) У чисельнику розкриваємо дужки. У знаменнику виносимо четвірку зі ступеня.
(4) Скорочуємо на . Константу виносимо за межі. У чисельнику в дужках наводимо подібні доданки.
(5) Невизначеність усувається стандартним способом – розподілом чисельника та знаменника на «ен» у старшому ступені.
(6) Почленно ділимо чисельники на знаменники, і вказуємо доданки, які прагнуть нуля.
(7) Спрощуємо відповідь і робимо позначку, що з висновком про те, що за ознакою Даламбера досліджуваний ряд сходиться.
У розглянутому прикладі у загальному члені низки у нас зустрівся багаточлен 2-го ступеня. Що робити, якщо там багаточлен 3-го, 4-го або вищого ступеня? Справа в тому, що якщо дано багаточлен вищого ступеня, то виникнуть труднощі з розкриттям дужок. В цьому випадку можна застосовувати "турбо"-метод рішення.
Приклад 2
Візьмемо схожий ряд і досліджуємо його на збіжність
Спочатку повне рішення, потім коментарі:
Використовуємо ознаку Даламбер:
Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.
(1) Складаємо відношення.
(3) Розглянемо вираз у чисельнику та вираз у знаменнику. Ми бачимо, що в чисельнику потрібно розкривати дужки і зводити в четвертий ступінь: чого робити зовсім не хочеться. А для тих, хто не знайомий з біномом Ньютона, це завдання виявиться ще складнішим. Проаналізуємо старші ступені: якщо ми зверху розкриємо дужки , то отримаємо старший ступінь . Внизу у нас такий самий старший ступінь: . За аналогією з попереднім прикладом, очевидно, що з почленном розподілі чисельника і знаменника у нас межі вийде одиниця. Або, як кажуть математики, багаточлени і – одного порядку зростання. Таким чином, цілком можна обвести ставлення простим олівцем і відразу вказати, що ця штука прагне одиниці. Аналогічно розправляємося з другою парою багаточленів: і вони теж одного порядку зростання, та його ставлення прагне одиниці.
Насправді, таку «халтуру» можна було провернути і в Прімері № 1, але для багаточлена 2-го ступеня таке рішення виглядає все-таки несолидно. Особисто я роблю так: якщо є багаточлен (або багаточлени) першого або другого ступеня, я використовую «довгий» спосіб розв'язання Прикладу 1. Якщо трапляється багаточлен 3 і більш високих ступенів, я використовую «турбо»-метод на зразок Прикладу 2.
Приклад 3
Дослідити ряд на збіжність
Розглянемо типові приклади з факторіалами:
Приклад 4
Дослідити ряд на збіжність
До загального члена ряду входить і ступінь, і факторіал. Зрозуміло, як день, що тут треба використати ознаку Даламбера. Вирішуємо.
Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.
(1) Складаємо відношення. Повторюємо ще раз. За умовою загальний член ряду: . Щоб отримати наступний член ряду, замість потрібно підставити, таким чином: .
(2) Позбавляємося чотириповерховості дробу.
(3) Відщипуємо сімку від ступеня. Факторіали розписуємо докладно. Як це зробити – див. початок уроку або статтю про числові послідовності.
(4) Скорочуємо все, що можна скоротити.
(5) Константу виносимо за знак межі. У чисельнику розкриваємо дужки.
(6) Невизначеність усуваємо стандартним способом – розподілом чисельника та знаменника на «ен» у старшому ступені.
Приклад 5
Дослідити ряд на збіжність
Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку
Приклад 6
Дослідити ряд на збіжність
Іноді зустрічаються ряди, які у своїй начинці містять ланцюг множників, цей тип ряду ми ще не розглядали. Як дослідити ряд із «ланцюжком» множників? Використовувати ознаку Даламбер. Але спочатку для розуміння того, що відбувається, розпишемо ряд докладно:
З розкладання ми бачимо, що у кожного наступного члена ряду додається додатковий множник у знаменнику, тому якщо загальний член ряду , то наступний член ряду:
. Ось тут часто автоматично припускаються помилки, формально за алгоритмом записуючи, що
Зразковий зразок рішення може мати такий вигляд:
Використовуємо ознаку Даламбер:
Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.
Радикальна ознака Коші
Огюстен Луї Коші – ще знаменитіший французький математик. Біографію Коші вам може розповісти будь-який студент технічної спеціальності. У наймальовничіших фарбах. Не випадково це прізвище висічено на першому поверсі Ейфелевої вежі.
Ознака збіжності Коші для позитивних числових рядів чимось нагадує щойно розглянутий ознака Даламбера.
Радикальна ознака Коші:Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо є межа: , то:
а) При ряд сходиться. Зокрема, ряд сходиться за .
б) При ряд розходиться. Зокрема, ряд розходиться за .
у При ознака не дає відповіді. Потрібно використовувати іншу ознаку. Цікаво відзначити, що якщо ознака Коші не дає нам відповіді на питання про збіжність низки, то ознака Даламбер теж не дасть відповіді. Але якщо ознака Даламбера дає відповіді, то ознака Коші цілком може «спрацювати». Тобто ознака Коші є в цьому сенсі сильнішою ознакою.
Коли потрібно використовувати радикальну ознаку Коші?Радикальний ознака Коші зазвичай використовує у випадках, коли корінь «добре» витягується із загального члена ряду. Як правило, цей перець перебуває в ступені, яка залежить від. Є ще екзотичні випадки, але ними голову не забиватимемо.
Приклад 7
Дослідити ряд на збіжність
Ми бачимо, що дріб повністю знаходиться під ступенем, який залежить від «ен», а отже, потрібно використовувати радикальний ознака Коші:
Таким чином, досліджуваний ряд розходиться.
(1) Оформляємо загальний член ряду під корінь.
(2) Переписуємо те саме, тільки вже без кореня, використовуючи властивість ступенів.
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник, вказуючи, що
(4) В результаті у нас вийшла невизначеність. Тут можна було піти довгим шляхом: звести до куба, звести до куба, потім розділити чисельник і знаменник на «ен» у кубі. Але в даному випадку є ефективніше рішення: цей прийом можна використовувати прямо під ступенем-константою. Для усунення невизначеності ділимо чисельник і знаменник на (старший ступінь багаточленів).
(5) Виконуємо почленное поділ, і вказуємо доданки, які прагнуть нуля.
(6) Доводимо відповідь до пуття, помічаємо, що й робимо висновок про те, що ряд розходиться.
А ось простіший приклад для самостійного вирішення:
Приклад 8
Дослідити ряд на збіжність
І ще кілька типових прикладів.
Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку
Приклад 9
Дослідити ряд на збіжність
Використовуємо радикальний ознака Коші:
Таким чином, досліджуваний ряд сходиться.
(1) Поміщаємо загальний член ряду під корінь.
(2) Переписуємо те саме, але вже без кореня, при цьому розкриваємо дужки, використовуючи формулу скороченого множення: .
(3) У показнику почленно ділимо чисельник на знаменник і вказуємо, що .
(4) Отримано невизначеність виду, і тут теж можна виконувати розподіл прямо під ступенем. Але з однією умовою:коефіцієнти при старших ступенях багаточленів мають бути різними. У нас вони різні (5 та 6), і тому можна (і потрібно) розділити обидва поверхи на . Якщо ж ці коефіцієнти однаковінаприклад (1 і 1): , то такий фокус не проходить і потрібно використовувати друга чудова межа. Якщо пам'ятаєте, ці тонкощі розглядалися в останньому пункті статті Методи розв'язання меж.
(5) Власне виконуємо почленное поділ і вказуємо, які доданки в нас прагнуть нуля.
(6) Невизначеність усунена, у нас залишилася найпростіша межа: . Чому в нескінченно великийступеня прагне до нуля? Тому що основа ступеня задовольняє нерівності. Якщо у кого є сумніви у справедливості межі , то я не полінуся, візьму в руки калькулятор:
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
… і т.д. до нескінченності - тобто, в межі:
Прямо таки нескінченно спадна геометрична прогресіяна пальцях =)
!
Ніколи не використовуйте цей прийом як доказ! Бо якщо щось очевидне, це ще не означає, що це правильно.
(7) Вказуємо, як і робимо висновок у тому, що ряд сходиться.
Приклад 10
Дослідити ряд на збіжність
Це приклад самостійного рішення.
Іноді на вирішення пропонується провокаційний приклад, наприклад: . Тут у показнику ступеня ні «ен»тільки константа. Тут необхідно звести в квадрат чисельник і знаменник (вийдуть багаточлени), а далі дотримуватися алгоритму зі статті Ряди для чайників. У подібному прикладі спрацювати має або необхідну ознаку збіжності низки або граничну ознаку порівняння.
Інтегральна ознака Коші
Або просто інтегральна ознака. Розчарую тих, хто погано засвоїв матеріал першого курсу. Для того щоб застосовувати інтегральну ознаку Коші необхідно більш-менш впевнено вміти знаходити похідні, інтеграли, а також мати навички обчислення невласного інтегралупершого роду.
У підручниках з математичного аналізу інтегральна ознака Кошідано математично суворо, але надто вже поморочено, тому я сформулюю ознаку не надто суворо, але зрозуміло:
Розглянемо позитивний числовий ряд. Якщо існує невласний інтеграл, то ряд сходиться чи розходиться разом із цим інтегралом.
І одразу приклади для пояснення:
Приклад 11
Дослідити ряд на збіжність
Майже класика. Натуральний логарифм і якась бяка.
Основною передумовою використання інтегральної ознаки Кошіє те що, що у загальному члені низки містяться множники, схожі деяку функцію та її похідну. З теми