Які існують числа, крім натуральних. Процедури та функції - методи класу
Ця стаття присвячена темі "Справжні числа". У статті дається визначення дійсних чисел, ілюструється їхнє положення на координатній прямій, розглядаються способи завдання дійсних чисел числовими виразами.
Визначення дійсних чисел
Цілі та дробові числа разом становлять раціональні числа. У свою чергу, раціональні та ірраціональні числастановлять дійсні числа. Як визначити, що таке дійсні числа?
Визначення 1
Справжні числа- це раціональні та ірраціональні числа. Безліч дійсних чисел позначається через R.
Це визначення можна записати інакше з урахуванням наступного:
- Раціональні числа можна подати у вигляді кінцевого десяткового дробу або нескінченного періодичного десяткового дробу.
- Ірраціональні числа є нескінченними неперіодичними десятковими дробами.
Справжні числа- числа, які можна записати у вигляді кінцевого або нескінченного (періодичного або неперіодичного) десяткового дробу.
Справжні числа - це будь-які раціональні та ірраціональні числа. Наведемо приклади таких чисел: 0; 6; 458; 1863; 0,578; - 3 8; 26 5; 0, 145 (3); log 5 12 .
Нуль також є дійсним числом. Відповідно до визначення, існують як позитивні, і негативні дійсні числа. Нуль є єдиним дійсним числом, яке не є позитивним і не негативним.
Ще одна назва для дійсних чисел – речові числа. Ці числа дозволяють описувати значення безперервно змінюється без введення еталонного (одиничного) значення цієї величини.
Координатна пряма та дійсні числа
Кожній точці не координатної прямої відповідає певне та єдине дійсне число. Іншими словами, дійсні числа займають всю координатну пряму, а між точками кривої та числами є взаємно-однозначна відповідність.
Подання дійсних чисел
Під визначення діючих чисел потрапляють:
- Натуральні числа.
- Цілі числа.
- Десяткові дроби.
- Прості дроби.
- Змішані числа.
Також дійсні числа часто подаються у вигляді виразів зі ступенями, корінням та логарифмами. Сума, різниця добутку та приватне дійсних чисел також є дійсними числами.
Значення будь-якого виразу, складеного з дійсних чисел, також буде дійсним числом.
Наприклад, значення виразів sin 2 3 π · e - 2 8 5 · 10 log 3 2 і t g 6 7 6 693 - 8 π 3 2 - дійсні числа.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Поняття дійсного числа: дійсне число- (Речове число), всяке неотрицательное чи негативне число чи нуль. За допомогою дійсних чисел виражають виміри кожної фізичної величини.
Речове, або дійсне числовиникло з необхідності вимірювань геометричної та фізичної величинсвіту. Крім того, для проведення операцій вилучення кореня, обчислення логарифму, розв'язання рівнянь алгебри тощо.
Натуральні числа утворилися з розвитком рахунку, а раціональні з потребою управляти частинами цілого, то дійсні числа (дійсні) використовуються для вимірювань безперервних величин. Т.ч., розширення запасу чисел, що розглядаються, призвело до безлічі речових чисел, які крім раціональних чисел складається з інших елементів, званих ірраціональні числа.
Безліч дійсних чисел(позначається R) - це безліч раціональних та ірраціональних чисел зібрані разом.
Справжні числа ділять нараціональніі ірраціональні.
Безліч дійсних чисел позначають і часто називають речовоїабо числовий прямий. Речові числа складаються з найпростіших об'єктів: цілихі раціональних чисел.
Число, яке можна записати як відношення, деm- ціле число, а n- натуральне число, єраціональним числом.
Будь-яке раціональне число легко уявити як кінцевий дріб або нескінченний періодичний десятковий дріб.
приклад,
Нескінченний десятковий дріб, це десятковий дріб, у якого після коми є нескінченне числоцифр.
Числа, які не можна представити у вигляді ірраціональними числами.
Приклад:
Будь-яке ірраціональне число легко уявити як нескінченну неперіодичну десяткову дріб.
приклад,
Раціональні та ірраціональні числа створюють безліч дійсних чисел.Всім дійсним числамвідповідає одна точка координатної прямої, яка називається числова пряма.
Для числових множин використовуються позначення:
- N- безліч натуральних чисел;
- Z- безліч цілих чисел;
- Q- безліч раціональних чисел;
- R- безліч дійсних чисел.
Теорія нескінченних десяткових дробів.
Речовина визначається як нескінченний десятковий дріб, тобто:
±a 0 ,a 1 a 2 …a n …
де ± є один із символів + або −, знак числа,
a 0 - ціле позитивне число,
a 1 ,a 2 ,…a n ,… — послідовність десяткових знаків, тобто. елементів числової множини {0,1,…9}.
Нескінченний десятковий дріб можна пояснити як число, яке на числовому прямому знаходиться між раціональними точками типу:
±a 0 ,a 1 a 2 …a nі ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n)для всіх n=0,1,2,…
Порівняння дійсних чисел як нескінченних десяткових дробів відбувається порозрядно. Наприклад, припустимо дані 2 позитивні числа:
α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …
β = + b 0, b 1 b 2 … b n …
Якщо a 0 0,то α<β ; якщо a 0 >b 0то α>β . Коли a 0 = b 0переходимо до порівняння наступного розряду. І т.д. Коли α≠β , значить після кінцевої кількості кроків зустрінеться перший розряд n, такий що a n ≠b n. Якщо a n n, то α<β ; якщо a n >b nто α>β .
Але при цьому треба звернути увагу на те, що число a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n .Тому якщо запис одного з порівнюваних чисел, починаючи з деякого розряду, це періодичний десятковий дріб, у якого в періоді стоїть 9, то його потрібно замінити на еквівалентний запис, з нулем у періоді.
Арифметичні операції з нескінченними десятковими дробамице безперервне продовження відповідних операцій із раціональними числами. Наприкладсумою речових чисел α і β є дійсне число α+β , яке задовольняє такі умови:
∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a′′)∧ (b′⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a'+b'⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)
Аналогічно визначає операція множення нескінченних десяткових дробів.
Розуміння чисел, особливо натуральних чисел, одна із найстаріших математичних " умінь " . Багато цивілізації, навіть сучасні, приписували числам деякі містичні характеристики через їхню величезну важливість в описі природи. Хоча сучасна наукаі математика не підтверджують ці "чарівні" властивості, значення теорії чисел є незаперечним.
Історично спочатку з'явилося безліч натуральних чисел, потім незабаром до них додалися дроби та позитивні ірраціональні числа. Нуль та негативні числабули введені після цих підмножин безлічі дійсних чисел. Остання безліч, безліч комплексних чисел, з'явилося лише з розвитком сучасної науки.
У сучасній математиці числа вводять над історичному порядку, хоча у досить близькому щодо нього.
Натуральні числа $\mathbb(N)$
Безліч натуральних чисел часто позначається як $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, і часто його доповнюють нулем, позначаючи $\mathbb(N)_0$.
У $\mathbb(N)$ визначено операції додавання (+) і множення ($\cdot$) з наступними властивостями для будь-яких $a,b,c\in \mathbb(N)$:
1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ безліч $\mathbb(N)$ замкнуто щодо операцій складання та множення
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ комутативність
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)$ асоціативність
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивність
5. $a\cdot 1=a$ є нейтральним елементом для множення
Оскільки безліч $\mathbb(N)$ містить нейтральний елемент для множення, але не для додавання, додавання нуля до цієї множини забезпечує включення до нього нейтрального елемента для додавання.
Крім цих двох операцій, на безлічі $\mathbb(N)$ визначено відносини "менше" ($
1. $a b$ трихотомія
2. якщо $a\leq b$ і $b\leq a$, то $a=b$ антисиметрія
3. якщо $a\leq b$ і $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивність
4. якщо $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
5. якщо $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$
Цілі числа $\mathbb(Z)$
Приклади цілих чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
Рішення рівняння $a+x=b$, де $a$ і $b$ - відомі натуральні числа, а $x$ - невідоме натуральне число, вимагає введення нової операції - віднімання(-). Якщо існує натуральне число $x$, що задовольняє цього рівняння, $x=b-a$. Однак, це конкретне рівняння не обов'язково має рішення на множині $\mathbb(N)$, тому практичні міркування вимагають розширення множини натуральних чисел таким чином, щоб увімкнути рішення такого рівняння. Це призводить до введення безлічі цілих чисел: $ \ mathbb (Z) = \ lbrace 0,1, -1,2, -2,3, -3 ... \ rbrace $.
Оскільки $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, логічно припустити, що введені раніше операції $+$ і $\cdot$ і відносини $ 1. $0+a=a+0=a$ існує нейтральний елемент для додавання
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ існує протилежне число $-a$ для $a$
Властивість 5.
5. якщо $0\leq a$ і $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$
Безліч $\mathbb(Z) $ замкнуте також і щодо операції віднімання, тобто $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.
Раціональні числа $\mathbb(Q)$
Приклади раціональних чисел:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
Тепер розглянемо рівняння виду $a \ cdot x = b $, де $ a $ і $ b $ - відомі цілі числа, а $ x $ - невідоме. Щоб рішення було можливим, необхідно ввести операцію поділу ($:$), і рішення набуває вигляду $x=b:a$, тобто $x=\frac(b)(a)$. Знову виникає проблема, що $x$ який завжди належить $\mathbb(Z)$, тому безліч цілих чисел необхідно розширити. Таким чином вводиться безліч раціональних чисел $\mathbb(Q)$ з елементами $\frac(p)(q)$, де $p\in \mathbb(Z)$ і $q\in \mathbb(N)$. Безліч $\mathbb(Z)$ є підмножиною, в якому кожен елемент $q=1$, отже $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ і операції додавання та множення поширюються і на це безліч за такими правилами, які зберігають усі вищеперелічені властивості і на множині $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
Поділ вводиться таким чином:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
На множині $\mathbb(Q)$ рівняння $a\cdot x=b$ має єдине рішення для кожного $a\neq 0$ (розподіл на нуль не визначено). Це означає, що існує зворотний елемент $\frac(1)(a)$ or $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a) \ cdot a = a) $
Порядок множини $\mathbb(Q)$ можна розширити таким чином:
$\frac(p_1)(q_1)
Безліч $\mathbb(Q)$ має одне важлива властивість: між будь-якими двома раціональними числами перебуває нескінченно багато інших раціональних чисел, отже, немає двох сусідніх раціональних чисел, на відміну множин натуральних і цілих чисел.
Ірраціональні числа $\mathbb(I)$
Приклади ірраціональних чисел:
$\sqrt(2) \approx 1.41422135...$
$\pi \approx 3.1415926535...$
Зважаючи на те, що між будь-якими двома раціональними числами знаходиться безліч інших раціональних чисел, легко можна зробити помилковий висновок, що безліч раціональних чисел настільки щільне, що немає необхідності в його подальшому розширенні. Навіть Піфагор свого часу зробив таку помилку. Проте, його сучасники спростували цей висновок щодо рішень рівняння $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на безлічі раціональних чисел. Для розв'язання такого рівняння необхідно запровадити поняття квадратного кореня, і тоді розв'язання цього рівняння має вигляд $x=\sqrt(2)$. Рівняння типу $x^2=a$, де $a$ - відоме раціональне число, а $x$ - невідоме, який завжди має рішення безлічі раціональних чисел, і знову виникає у розширенні множини. Виникає безліч ірраціональних чисел, і такі числа як $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... належать цій множині.
Дійсні числа $\mathbb(R)$
Об'єднанням множин раціональних та ірраціональних чисел є безліч дійсних чисел. Оскільки $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, знову логічно припустити, що введені арифметичні операції та відносини зберігають свої властивості на новій множині. Формальне підтвердження цього дуже складно, тому вищезгадані властивості арифметичних операцій та відносини на безлічі дійсних чисел вводяться як аксіоми. В алгебрі такий об'єкт називається полем, тому кажуть, що множина дійсних чисел є впорядкованим полем.
Для того, щоб визначення безлічі дійсних чисел було повним, необхідно ввести додаткову аксіому, що розрізняє безлічі $\mathbb(Q)$ і $\mathbb(R)$. Припустимо, що $S$ - непусте підмножина безлічі дійсних чисел. Елемент $b\in \mathbb(R)$ називається верхньою межею множини $S$, якщо $\forall x\in S$ справедливо $x\leq b$. Тоді кажуть, що множина $S$ обмежена зверху. Найменша верхня межа множини $S$ називається супремум і позначається $\sup S$. Аналогічно вводяться поняття нижньої межі, множини, обмеженої знизу, та інфінуму $\inf S$ . Тепер недостатня аксіома формулюється так:
Будь-яке непусте і обмежене зверху підмножина безлічі дійсних чисел має супремум.
Також можна довести, що поле дійсних чисел, визначене вищезазначеним чином, є єдиним.
Комплексні числа$\mathbb(C)$
Приклади комплексних чисел:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ де $i = \sqrt(-1)$ або $i^2 = -1$
Безліч комплексних чисел є всі впорядковані пари дійсних чисел, тобто $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, на якому операції складання та множення визначені наступним чином:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Існує кілька форм запису комплексних чисел, у тому числі найпоширеніша має вигляд $z=a+ib$, де $(a,b)$ - пара дійсних чисел, а число $i=(0,1)$ називається уявною одиницею.
Легко показати, що $i^2=-1$. Розширення безлічі $\mathbb(R)$ на безліч $\mathbb(C)$ дозволяє визначити квадратний коріньз негативних чисел, що і спричинило введення безлічі комплексних чисел. Також легко показати, що підмножина безлічі $\mathbb(C)$, задана як $\mathbb(C)_0=\lbrace(a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, задовольняє всім аксіомам для дійсних чисел, отже $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, або $R\subset\mathbb(C)$.
Алгебраїчна структура множини $\mathbb(C)$ щодо операцій складання та множення має наступні властивості:
1. комутативність складання та множення
2. асоціативність складання та множення
3. $0+i0$ - нейтральний елемент для складання
4. $1+i0$ - нейтральний елемент для множення
5. множення дистрибутивно по відношенню до додавання
6. існує єдиний зворотний елемент як до складання, так множення.
З величезного різноманіття всіляких множинособливий інтерес представляють так звані числові множини, тобто, множини, елементами яких є числа. Зрозуміло, що для зручної роботи з ними необхідно вміти їх записувати. З позначень та принципів запису числових множин ми і почнемо цю статтю. А далі розглянемо, як числові множини зображуються на координатній прямій.
Навігація на сторінці.
Запис числових множин
Почнемо із прийнятих позначень. Як відомо, для позначення множин використовуються заголовні буквилатинської абетки. Числові множини, як окремий випадокмножин, позначаються також. Наприклад, можна говорити про числові множини A, H, W і т.п. Особливу важливість мають безліч натуральних, цілих, раціональних, дійсних, комплексних чисел і т.п., для них були прийняті свої позначення:
- N – множина всіх натуральних чисел;
- Z – безліч цілих чисел;
- Q – безліч раціональних чисел;
- J – безліч ірраціональних чисел;
- R – безліч дійсних чисел;
- C – безліч комплексних чисел.
Звідси зрозуміло, що не варто позначати безліч, що складається, наприклад, з двох чисел 5 і -7 як Q , це позначення буде вводити в оману, тому що буквою Q зазвичай позначають безліч раціональних всіх чисел. Для позначення зазначеної числової множини краще використовувати якусь іншу «нейтральну» букву, наприклад, A .
Якщо вже ми заговорили про позначення, то тут нагадаємо і про позначення порожньої множини, тобто множини, що не містить елементів. Його позначають знаком ∅.
Також нагадаємо про позначення приналежності та неналежності елемента безлічі. Для цього використовують знаки ∈ – належить та ∉ – не належить. Наприклад, запис 5∈N означає, що число 5 належить множині натуральних чисел, а 5,7∉Z – десятковий дріб 5,7 не належить множині цілих чисел.
І ще нагадаємо про позначення, прийняті для включення однієї множини до іншої. Зрозуміло, що всі елементи множини N входять до множини Z , таким чином числова множина N включено в Z , це позначається як NZ . Також можна використовувати запис Z⊃N , який означає, що безліч усіх цілих чисел включає безліч N . Відносини не включено та не включає позначаються відповідно знаками ⊄ та . Також використовуються знаки нестрогого включення виду ⊆ та ⊇, що означають відповідно включено або збігається та включає або збігається.
Для позначення поговорили, переходимо до опису числових множин. При цьому торкнемося лише основних випадків, які найчастіше використовуються на практиці.
Почнемо з числових множин, що містять кінцеву та невелику кількість елементів. Числові множини, що складаються з кінцевого числа елементів, зручно описувати, перераховуючи всі їх елементи. Всі елементи-числа записуються через кому і полягають у , що узгоджується із загальними правилами опису множин. Наприклад, безліч, що складається з трьох чисел 0 −0,25 і 4/7 можна описати як (0, −0,25, 4/7) .
Іноді, коли число елементів числової множини досить велике, але елементи підпорядковуються деякою закономірності, для опису використовують крапку. Наприклад, безліч всіх непарних чисел від 3 до 99 включно можна записати як (3, 5, 7, …, 99).
Так ми плавно підійшли до опису числових множин, кількість елементів яких нескінченна. Іноді їх можна описати, використовуючи все теж багатокрапка. Наприклад опишемо безліч всіх натуральних чисел: N=(1, 2. 3, …) .
Також користуються описом числових множин за допомогою вказівки властивостей його елементів. У цьому застосовують позначення (x| властивості) . Наприклад, запис (n| 8·n+3, n∈N) задає безліч таких натуральних чисел, які при розподілі на 8 дають залишок 3 . Це безліч можна описати як (11,19, 27, …) .
У окремих випадках числові множини з нескінченним числом елементів є відомі множини N , Z , R , тощо. або числові проміжки. А в основному числові множини видаються як об'єднанняскладових окремих числових проміжків і числових множин з кінцевим числом елементів (про які ми говорили трохи вище).
Покажемо приклад. Нехай числове безліч становлять числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , усі числа відрізка [−5, −1,3] та числа відкритого числового променя (7, +∞) . В силу визначення об'єднання множин вказану числову множину можна записати як {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такий запис фактично означає множину, що містить у собі всі елементи множин (−10, −9, −8,56, 0) , [−5, −1,3] та (7, +∞) .
Аналогічно, поєднуючи різні числові проміжки та множини окремих чисел, можна описати будь-яке числове безліч (що складається з дійсних чисел). Тут стає зрозуміло, чому були введені такі види числових проміжків як інтервал, напівінтервал, відрізок, відкритий числовий проміньі числовий промінь: всі вони в поєднанні з позначеннями множин окремих чисел дозволяють описувати будь-які числові множини через їх об'єднання.
Зверніть увагу, що при записі числової множини складові його числа та числові проміжки впорядковуються за зростанням. Це не обов'язкова, але бажана умова, тому що впорядковане числове безліч простіше уявити та зобразити на координатній прямій. Також зазначимо, що у подібних записах не використовуються числові проміжки із загальними елементами, оскільки такі записи можна замінити об'єднанням числових проміжків без спільних елементів. Наприклад, об'єднання числових множин із загальними елементами [−10, 0] та (−5, 3) є напівінтервал [−10, 3) . Це ж стосується і об'єднання числових проміжків з однаковими граничними числами, наприклад, об'єднання (3, 5]∪(5, 7] є безліч (3, 7] , на цьому ми окремо зупинимося, коли будемо вчитися знаходити перетин і об'єднання числових множин.
Зображення числових множин на координатній прямій
Насправді зручно користуватися геометричними образами числових множин – їх зображеннями на . Наприклад, при розв'язанні нерівностей, в яких необхідно враховувати ОДЗ, доводиться зображати числові множини, щоб знайти їх перетин та/або об'єднання. Тож корисно буде добре розібратися з усіма нюансами зображення числових множин на координатній прямій.
Відомо, що між точками координатної прямої та дійсними числами існує взаємно однозначна відповідність, що означає, що сама координатна пряма являє собою геометричну модель множини всіх дійсних чисел R . Таким чином, щоб зобразити безліч усіх дійсних чисел, треба накреслити координатну пряму зі штрихуванням на її протязі:
А часто навіть не вказують початок відліку та одиничний відрізок:
Тепер поговоримо про зображення числових множин, що є деякою кінцевою кількістю окремих чисел. Наприклад, зобразимо числову множину (−2, −0,5, 1,2) . Геометричним чином даної множини, що складається з трьох чисел −2 , −0,5 та 1,2 будуть три точки координатної прямої з відповідними координатами:
Зазначимо, що зазвичай потреб практики немає необхідності виконувати креслення точно. Часто досить схематичного креслення, що має на увазі необов'язкове витримування масштабу, при цьому важливо лише зберігати взаємне розташуванняточок відносно один одного: будь-яка точка з меншою координатою повинна бути лівішою від точки з більшою координатою. Попереднє креслення схематично виглядатиме так:
Окремо з різних числових множин виділяють числові проміжки (інтервали, напівінтервали, промені і т.д.), що представляють їх геометричні образи, ми докладно розібралися в розділі . Тут не повторюватимемося.
І залишається зупинитися лише на зображенні числових множин, що є об'єднанням кількох числових проміжків і множин, що складаються з окремих чисел. Тут немає нічого хитрого: за змістом об'єднання в цих випадках на координатній прямій потрібно зобразити всі складові множини цієї числової множини. Як приклад покажемо зображення числової множини (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪
(log 2 5, 5)∪(17, +∞) :
І зупинимося ще досить поширених випадках, коли зображуване числове безліч є всі безліч дійсних чисел, крім однієї чи кількох точок. Такі множини частенько задаються умовами типу x≠5 чи x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 тощо. У цих випадках геометрично вони є всю координатну пряму, за винятком відповідних точок. Іншими словами, з координатної прямої потрібно «виколоти» ці точки. Їх зображують кружальцями із порожнім центром. Для наочності зобразимо числову множину, що відповідає умовам (Це безліч по суті є):
Підведемо підсумок. В ідеалі інформація попередніх пунктів повинна сформувати такий самий погляд на запис і зображення числових множин, як і погляд на окремі числові проміжки: запис числової множини відразу має давати його образ на координатній прямій, а по зображенню на координатній прямій ми повинні бути легко описати відповідне числове безліч через об'єднання окремих проміжків та множин, що складаються з окремих чисел.
Список літератури.
- Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
Поняття дійсного числа: дійсне число- (Речове число), всяке неотрицательное чи негативне число чи нуль. За допомогою дійсних чисел виражають виміри кожної фізичної величини.
Речове, або дійсне числовиникло з необхідності вимірів геометричної та фізичної величин світу. Крім того, для проведення операцій вилучення кореня, обчислення логарифму, розв'язання рівнянь алгебри тощо.
Натуральні числа утворилися з розвитком рахунку, а раціональні з потребою управляти частинами цілого, то дійсні числа (дійсні) використовуються для вимірювань безперервних величин. Т.ч., розширення запасу чисел, що розглядаються, призвело до безлічі речових чисел, які крім раціональних чисел складається з інших елементів, званих ірраціональні числа.
Безліч дійсних чисел(позначається R) - це безліч раціональних та ірраціональних чисел зібрані разом.
Справжні числа ділять нараціональніі ірраціональні.
Безліч дійсних чисел позначають і часто називають речовоїабо числовий прямий. Речові числа складаються з найпростіших об'єктів: цілихі раціональних чисел.
Число, яке можна записати як відношення, деm- ціле число, а n- натуральне число, єраціональним числом.
Будь-яке раціональне число легко уявити як кінцевий дріб або нескінченний періодичний десятковий дріб.
приклад,
Нескінченний десятковий дріб, це десятковий дріб, у якого після коми є нескінченна кількість цифр.
Числа, які не можна представити у вигляді ірраціональними числами.
Приклад:
Будь-яке ірраціональне число легко уявити як нескінченну неперіодичну десяткову дріб.
приклад,
Раціональні та ірраціональні числа створюють безліч дійсних чисел.Всім дійсним числам відповідає одна точка координатної прямої, яка називається числова пряма.
Для числових множин використовуються позначення:
- N- безліч натуральних чисел;
- Z- безліч цілих чисел;
- Q- безліч раціональних чисел;
- R- безліч дійсних чисел.
Теорія нескінченних десяткових дробів.
Речовина визначається як нескінченний десятковий дріб, тобто:
±a 0 ,a 1 a 2 …a n …
де ± є один із символів + або −, знак числа,
a 0 - ціле позитивне число,
a 1 ,a 2 ,…a n ,… — послідовність десяткових знаків, тобто. елементів числової множини {0,1,…9}.
Нескінченний десятковий дріб можна пояснити як число, яке на числовому прямому знаходиться між раціональними точками типу:
±a 0 ,a 1 a 2 …a nі ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n)для всіх n=0,1,2,…
Порівняння дійсних чисел як нескінченних десяткових дробів відбувається порозрядно. Наприклад, припустимо дані 2 позитивні числа:
α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …
β = + b 0, b 1 b 2 … b n …
Якщо a 0 0,то α<β ; якщо a 0 >b 0то α>β . Коли a 0 = b 0переходимо до порівняння наступного розряду. І т.д. Коли α≠β , значить після кінцевої кількості кроків зустрінеться перший розряд n, такий що a n ≠b n. Якщо a n n, то α<β ; якщо a n >b nто α>β .
Але при цьому треба звернути увагу на те, що число a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n .Тому якщо запис одного з порівнюваних чисел, починаючи з деякого розряду, це періодичний десятковий дріб, у якого в періоді стоїть 9, то його потрібно замінити на еквівалентний запис, з нулем у періоді.
Арифметичні операції з нескінченними десятковими дробами це безперервне продовження відповідних операцій із раціональними числами. Наприкладсумою речових чисел α і β є дійсне число α+β , яке задовольняє такі умови:
∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a′′)∧ (b′⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a'+b'⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)
Аналогічно визначає операція множення нескінченних десяткових дробів.
- Переміщенням наз-ся вектор, що з'єднує початкову і кінцеву точки траєкторії Вектор, що з'єднує початок і кінець шляху називається
- Траєкторія, довжина шляху, вектор переміщення Вектор, що з'єднує початкове положення
- Обчислення площі багатокутника за координатами його вершин Площа трикутника за координатами вершин формула
- Область допустимих значень (ОДЗ), теорія, приклади, рішення