Koks yra pagrindo perimetras. Kaip rasti apskritimo perimetrą: naudojant skersmenį ir spindulį

Apskritimas yra uždara kreivė, kurios visi taškai yra vienodu atstumu nuo centro. Ši figūra yra plokščia. Todėl problemos sprendimas, kurio klausimas yra, kaip rasti apskritimo perimetrą, yra gana paprastas. Visi galimi metodai, mes apsvarstysime šiandieniniame straipsnyje.

Figūrų aprašymai

Be gana paprasto aprašomojo apibrėžimo, yra dar trys matematinės apskritimo charakteristikos, kuriose savaime yra atsakymas į klausimą, kaip rasti apskritimo perimetrą:

• Susideda iš taškų A ir B bei visų kitų, iš kurių AB matyti stačiu kampu. Šios figūros skersmuo yra lygus nagrinėjamo segmento ilgiui.
• Apima tik taškus X, kad santykis AX/BX būtų pastovus ir nelygus vienetui. Jei ši sąlyga neįvykdyta, tai nėra ratas.
• Jį sudaro taškai, kurių kiekvienam galioja ši lygybė: atstumų iki kitų dviejų kvadratų suma yra duotoji vertė, kuri visada yra didesnė nei pusė atkarpos tarp jų ilgio.

Terminija

Ne visi mokykloje turėjo geras mokytojas matematikos. Todėl atsakymą į klausimą, kaip rasti apskritimo perimetrą, apsunkina ir tai, kad ne visi žino pagrindines geometrines sąvokas. Spindulys – atkarpa, jungianti figūros centrą su kreivės tašku. ypatinga byla trigonometrijoje yra vienetinis apskritimas. Akordas yra linijos atkarpa, jungianti du kreivės taškus. Pavyzdžiui, jau svarstoma AB patenka į šį apibrėžimą. Skersmuo yra styga, einanti per centrą. Skaičius π lygus vienetinio puslankio ilgiui.

Pagrindinės formulės

Geometrinės formulės tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimų, leidžiančių apskaičiuoti pagrindines apskritimo charakteristikas:

1. Ilgis lygus skaičiaus π ir skersmens sandaugai. Formulė dažniausiai rašoma taip: C = π*D.
2. Spindulys yra pusė skersmens. Jį taip pat galima apskaičiuoti apskaičiuojant apskritimo dalijimą iš dvigubo skaičiaus π. Formulė atrodo taip: R = C/(2* π) = D/2.
3. Skersmuo lygus apskritimui, padalytam iš π arba dvigubo spindulio. Formulė gana paprasta ir atrodo taip: D = C/π = 2*R.
4. Apskritimo plotas lygus skaičiaus π ir spindulio kvadrato sandaugai. Panašiai šioje formulėje gali būti naudojamas skersmuo. Šiuo atveju plotas bus lygus skaičiaus π ir skersmens kvadrato sandaugos dalijimui iš keturių. Formulę galima parašyti taip: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

Kaip rasti apskritimo perimetrą pagal skersmenį

Kad būtų lengviau paaiškinti, raidėmis pažymime figūros charakteristikas, reikalingas skaičiavimui. Tegul C yra norimas ilgis, D yra jo skersmuo, o pi yra maždaug 3,14. Jei turime tik vieną žinomą kiekį, tada problema gali būti laikoma išspręsta. Kodėl tai reikalinga gyvenime? Tarkime, nuspręsime apvalų baseiną aptverti tvora. Kaip apskaičiuoti reikiamą stulpelių skaičių? Ir čia į pagalbą ateina galimybė apskaičiuoti apskritimo perimetrą. Formulė yra tokia: C = π D. Mūsų pavyzdyje skersmuo nustatomas pagal baseino spindulį ir reikiamą atstumą iki tvoros. Pavyzdžiui, tarkime, kad mūsų namų dirbtinis rezervuaras yra 20 metrų pločio, o mes ketiname pastatyti stulpus dešimties metrų atstumu nuo jo. Gauto apskritimo skersmuo 20 + 10 * 2 = 40 m. Ilgis 3,14 * 40 = 125,6 metro. Mums reikės 25 kolonų, jei tarpas tarp jų yra apie 5 m.

Ilgis per spindulį

Kaip visada, pradėkime nuo charakteristikų priskyrimo raidžių apskritimams. Tiesą sakant, jie yra universalūs, todėl matematikai iš skirtingos salys nebūtina mokėti vienas kito kalbą. Tarkime, kad C yra apskritimo perimetras, r yra jo spindulys, o π yra maždaug 3,14. Formulė šiuo atveju atrodo taip: C = 2*π*r. Akivaizdu, kad tai yra visiškai teisinga lygybė. Kaip jau supratome, apskritimo skersmuo yra lygus dvigubam jo spinduliui, todėl ši formulė atrodo taip. Gyvenime šis metodas taip pat dažnai gali praversti. Pavyzdžiui, pyragą kepame specialioje slankiojančioje formoje. Kad jis nesusiteptų, mums reikia dekoratyvinio įvyniojimo. Bet kaip iškirpti norimo dydžio apskritimą. Čia į pagalbą ateina matematika. Tie, kurie žino, kaip sužinoti apskritimo perimetrą, iš karto pasakys, kad skaičių π reikia padauginti iš dvigubo figūros spindulio. Jei jo spindulys yra 25 cm, ilgis bus 157 centimetrai.

Užduočių pavyzdžiai

Jau apsvarstėme keletą praktinių įgytų žinių, kaip sužinoti apskritimo perimetrą, atvejus. Tačiau dažnai mums rūpi ne jie, o tikri. matematikos uždaviniai esančiame vadovėlyje. Juk mokytojas už juos skiria taškus! Taigi pažvelkime į problemą padidėjęs sudėtingumas. Tarkime, kad apimtis 26 cm.Kaip rasti tokios figūros spindulį?

Sprendimo pavyzdys

Pirmiausia užsirašykime, kas mums duota: C \u003d 26 cm, π \u003d 3,14. Taip pat atsiminkite formulę: C = 2* π*R. Iš jo galite išgauti apskritimo spindulį. Taigi R= C/2/π. Dabar pereikime prie tiesioginio skaičiavimo. Pirma, padalykite ilgį iš dviejų. Gauname 13. Dabar reikia padalyti iš skaičiaus π reikšmės: 13 / 3,14 \u003d 4,14 cm Svarbu nepamiršti teisingai užrašyti atsakymo, tai yra su matavimo vienetais, kitaip visa praktiška tokių problemų prasmė prarandama. Be to, už tokį neatidumą galima gauti vienu balu mažesnį balą. Ir kad ir kaip tai erzintų, jūs turite taikstytis su tokia padėtimi.

Žvėris nėra toks baisus, kaip nupiešta

Taigi mes supratome tokią iš pirmo žvilgsnio sudėtingą užduotį. Kaip paaiškėjo, tereikia suprasti terminų prasmę ir atsiminti kelias paprastas formules. Matematika nėra tokia baisi, tereikia šiek tiek pasistengti. Taigi geometrija laukia jūsų!

Apskritimas yra taškų, vienodu atstumu nutolusių nuo vieno taško, kuris, savo ruožtu, yra šio apskritimo centras, serija. Apskritimas taip pat turi savo spindulį, lygų šių taškų atstumui nuo centro.

Apskritimo ilgio ir jo skersmens santykis yra vienodas visiems apskritimams. Šis santykis yra skaičius, kuris yra matematinė konstanta, kuri žymima graikiška raide π .

Apskritimo perimetro nustatymas

Apskritimą galite apskaičiuoti naudodami šią formulę:

L= π D = 2 π r

r- apskritimo spindulys

D- apskritimo skersmuo

L- perimetras

π - 3.14

Užduotis:

Apskaičiuokite apskritimą kurių spindulys yra 10 centimetrų.

Apskritimo dyno apskaičiavimo formulė atrodo kaip:

L= π D = 2 π r

čia L yra apskritimas, π yra 3,14, r yra apskritimo spindulys, D yra apskritimo skersmuo.

Taigi, apskritimo, kurio spindulys yra 10 centimetrų, perimetras yra:

L = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 centimetro

Apskritimas yra geometrinė figūra, kuri yra visų nutolusių nuo plokštumos taškų rinkinys duotas taškas, kuris vadinamas jo centru, tam tikru atstumu, nelygu nuliui, ir vadinamas spinduliu. Jau senovėje mokslininkai žinojo, kaip įvairiu tikslumu nustatyti jo ilgį: mokslo istorikai mano, kad pirmoji apskritimo apskritimo apskaičiavimo formulė buvo sudaryta apie 1900 m. prieš Kristų senovės Babilone.

Su tokiomis geometrinėmis figūromis kaip apskritimai susiduriame kasdien ir visur. Būtent jo forma turi išorinį ratų paviršių, kuriuose sumontuotos įvairios transporto priemonės. Ši detalė, nepaisant savo išorinio paprastumo ir nepretenzingumo, yra laikoma vienu didžiausių žmonijos išradimų, ir įdomu tai, kad Australijos vietiniai gyventojai ir Amerikos indėnai iki europiečių atvykimo visiškai neįsivaizdavo, kas tai yra.

Tikėtina, kad patys pirmieji ratai buvo rąstų gabalai, kurie buvo pritvirtinti ant ašies. Pamažu tobulėjo ratų konstrukcija, jų konstrukcija tapo vis sudėtingesnė, o jų gamybai reikėjo naudoti daug įvairių įrankių. Pirmiausia atsirado ratai, susidedantys iš medinio ratlankio ir stipinų, o vėliau, siekiant sumažinti jų išorinio paviršiaus susidėvėjimą, pradėti jį apmušti metalinėmis juostelėmis. Norint nustatyti šių elementų ilgius, reikia naudoti apskritimo apskaičiavimo formulę (nors praktikoje greičiausiai meistrai tai darė „iš akies“ arba tiesiog apjuosė ratą juostele ir nupjovė reikiamą jos dalis).

Reikėtų pažymėti, kad ratas naudojamas jokiu būdu ne tik transporto priemonėse. Pavyzdžiui, puodžiaus ratas turi savo formą, taip pat technikoje plačiai naudojamų krumpliaračių krumpliaračių elementus. Nuo seniausių laikų vandens malūnų statyboje buvo naudojami ratai (seniausi mokslininkams žinomi tokio pobūdžio statiniai buvo pastatyti Mesopotamijoje), taip pat verpimo ratai, kuriais buvo gaminami siūlai iš gyvulinės vilnos ir augalinio pluošto.

apskritimai dažnai randamas statybose. Jų forma gana plačiai paplitę apvalūs langai, labai būdingi romaniniam architektūros stiliui. Šių konstrukcijų gamyba yra labai sudėtinga užduotis ir reikalauja aukštų įgūdžių, taip pat specialaus įrankio. Viena iš apvalių langų atmainų – laivuose ir lėktuvuose įrengti iliuminatoriai.

Taigi projektavimo inžinieriams dažnai tenka spręsti apskritimo perimetro nustatymo, įvairių mašinų, mechanizmų ir agregatų kūrimo problemą, taip pat architektams ir dizaineriams. Nuo numerio π tam reikalingas yra begalinis, tada šio parametro absoliučiu tikslumu nustatyti neįmanoma, todėl skaičiuojant atsižvelgiama į tą jo laipsnį, kuris konkrečiu atveju yra būtinas ir pakankamas.

Perimetras žymimas raide C ir apskaičiuojamas pagal formulę:

C = 2πR,
kur R - apskritimo spindulys.

Apskritimo perimetrą išreiškiančios formulės išvedimas

Takas C ir C' yra spindulių R ir R' apskritimų ilgiai. Į kiekvieną iš jų įrašome taisyklingą n kampą ir žymime P n ir P "n jų perimetrus, o a n ir a" n jų kraštus. Naudodami taisyklingojo n kampo kraštinės apskaičiavimo formulę a n = 2R sin (180°/n) gauname:
P n \u003d n a n \u003d n 2R sin (180 ° / n),
P "n \u003d n a" n \u003d n 2R "sin (180 ° / n).
Vadinasi,
P n / P" n \u003d 2R / 2R". (vienas)
Ši lygybė galioja bet kuriai n reikšmei. Dabar skaičių n didinsime neribotą laiką. Kadangi P n → C, P" n → C", n → ∞, santykio P n / P" n riba yra lygi C / C". Kita vertus, dėl lygybės (1) ši riba yra lygi 2R / 2R". Taigi, C / C" = 2R / 2R". Iš šios lygybės išplaukia, kad C / 2R = C" / 2R", t.y. apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis yra vienodas visiems apskritimams.Šis skaičius paprastai žymimas graikiška raide π („pi“).
Iš lygybės C / 2R = π gauname R spindulio apskritimo apskritimo apskaičiavimo formulę:
С = 2πR.

Arkos ilgis

Kadangi viso apskritimo ilgis yra 2πR, tai 1° lanko ilgis l yra 2πR / 360 = πR / 180.
Štai kodėl apskritimo lanko, kurio laipsnio matas α, ilgis l išreiškiamas formule
l = (πR / 180) α.

Daugelis mus supančio pasaulio objektų yra apvalūs. Tai ratai, apvalios langų angos, vamzdžiai, įvairūs indai ir daug daugiau. Apskritimo perimetrą galite apskaičiuoti žinodami jo skersmenį arba spindulį.

Tam yra keletas apibrėžimų geometrinė figūra.

• Tai uždara kreivė, susidedanti iš taškų, kurie yra vienodu atstumu nuo nurodyto taško.
• Tai kreivė, susidedanti iš taškų A ir B, kurie yra atkarpos galai, ir visų taškų, iš kurių A ir B matomi stačiu kampu. Šiuo atveju segmentas AB yra skersmuo.
• Tam pačiam segmentui AB ši kreivė apima visus taškus C taip, kad santykis AC/BC būtų pastovus ir nelygus 1.
• Tai kreivė, susidedanti iš taškų, kuriems teisinga: jei atstumų nuo vieno taško kvadratus pridėsite prie dviejų kitų taškų A ir B, gausite pastovų skaičių, didesnį nei 1/2 atkarpos, jungiančios A ir B. B. Šis apibrėžimas yra kilęs iš Pitagoro teoremos.

Pastaba! Yra ir kitų apibrėžimų. Apskritimas yra sritis apskritime. Apskritimo perimetras yra jo ilgis. Pagal įvairius apibrėžimus, apskritimas gali apimti pačią kreivę, kuri yra jo riba, arba jos ne.

Apskritimo apibrėžimas

Formulės

Kaip apskaičiuoti apskritimo perimetrą naudojant spindulį? Tai atliekama naudojant paprastą formulę:

kur L yra norima vertė,

π yra skaičius pi, maždaug lygus 3,1413926.

Paprastai norint rasti norimą reikšmę, pakanka naudoti π iki antrojo skaičiaus po kablelio, tai yra 3,14, tai suteiks norimą tikslumą. Skaičiuoklėse, ypač inžineriniuose, gali būti mygtukas, kuris automatiškai įveda skaičiaus π reikšmę.

Žymėjimas

Norėdami sužinoti skersmenį, yra ši formulė:

Jei L jau žinoma, galite lengvai sužinoti spindulį arba skersmenį. Norėdami tai padaryti, L turi būti padalintas atitinkamai iš 2π arba π.

Jei apskritimas jau pateiktas, turite suprasti, kaip iš šių duomenų rasti apskritimą. Apskritimo plotas yra S = πR2. Iš čia randame spindulį: R = √(S/π). Tada

L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).

Apskaičiuoti plotą pagal L taip pat lengva: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)

Apibendrinant galime pasakyti, kad yra trys pagrindinės formulės:

• per spindulį – L = 2πR;
• per skersmenį - L = πD;
• per apskritimo plotą – L = 2√(Sπ).

Pi

Be skaičiaus π nebus įmanoma išspręsti nagrinėjamos problemos. Skaičius π pirmą kartą buvo rastas kaip apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis. Tai darė senovės babiloniečiai, egiptiečiai ir indai. Jie tai nustatė gana tiksliai – jų rezultatai nuo dabar žinomos π reikšmės skyrėsi ne daugiau kaip 1%. Konstanta buvo aproksimuota tokiomis trupmenomis kaip 25/8, 256/81, 339/108.

Be to, šios konstantos reikšmė buvo nagrinėjama ne tik geometrijos, bet ir matematinės analizės per eilių sumas požiūriu. Šios konstantos žymėjimą su graikiška raide π pirmą kartą panaudojo Williamas Jonesas 1706 m. ir išpopuliarėjo po Eulerio darbo.

Dabar žinoma, kad ši konstanta yra begalinė neperiodinė dešimtainis, jis yra neracionalus, tai yra, jo negalima pavaizduoti kaip dviejų sveikųjų skaičių santykio. 2011 m., pasitelkę skaičiavimus superkompiuteriuose, jie sužinojo 10 trilijonų konstantos ženklą.

Tai yra įdomu! Norint įsiminti keletą pirmųjų skaičiaus π simbolių, buvo išrastos įvairios mnemoninės taisyklės. Kai kurie leidžia saugoti didelis skaičius skaičiai, pavyzdžiui, vienas prancūziškas eilėraštis padės atsiminti pi iki 126 simbolių.

Jei jums reikia apskritimo, internetinė skaičiuoklė jums padės tai padaryti. Tokių skaičiuotuvų yra daug, jiems tereikia įvesti spindulį arba skersmenį. Vieni turi abu šiuos variantus, kiti rezultatą skaičiuoja tik per R. Kai kurie skaičiuotuvai norimą reikšmę gali apskaičiuoti skirtingu tikslumu, reikia nurodyti skaičių po kablelio skaičių. Be to, naudodamiesi internetiniais skaičiuotuvais galite apskaičiuoti apskritimo plotą.

Tokius skaičiuotuvus lengva rasti bet kurioje paieškos sistemoje. Taip pat yra mobiliųjų programų, kurios padės išspręsti problemą, kaip rasti apskritimo perimetrą.

Naudingas vaizdo įrašas: apimtis

Praktinis naudojimas

Spręsti tokią problemą dažniausiai prireikia inžinieriams ir architektams, tačiau kasdieniame gyvenime gali praversti ir reikalingų formulių žinojimas. Pavyzdžiui, pyragą, iškeptą 20 cm skersmens formoje, reikia apvynioti popierine juostele.Tada nebus sunku rasti šios juostelės ilgį:

L \u003d πD = 3,14 * 20 \u003d 62,8 cm.

Kitas pavyzdys: reikia pastatyti tvorą aplink apskritą baseiną tam tikru atstumu. Jei baseino spindulys yra 10 m, o tvorą reikia statyti 3 m atstumu, tai gautam apskritimui R bus 13 m. Tada jo ilgis:

L = 2πR = 2 * 3,14 * 13 \u003d 81,68 m.

Naudingas vaizdo įrašas: apskritimas - spindulys, skersmuo, apimtis

Rezultatas

Apskritimo perimetrą galima nesunkiai apskaičiuoti iš paprastos formulės, įskaitant skersmenį arba spindulį. Norimą reikšmę taip pat galite rasti per apskritimo sritį. Šią problemą padės išspręsti internetiniai skaičiuotuvai ar mobiliosios aplikacijos, kuriose reikia įvesti vieną skaičių – skersmenį arba spindulį.

Susisiekus su

Apskritimas yra lenkta linija, kuri gaubia apskritimą. Geometrijoje figūros yra plokščios, todėl apibrėžimas reiškia dvimatį vaizdą. Daroma prielaida, kad visi šios kreivės taškai yra vienodu atstumu nuo apskritimo centro.

Apskritimas turi keletą charakteristikų, kurių pagrindu atliekami su šia geometrine figūra susiję skaičiavimai. Tai apima: skersmenį, spindulį, plotą ir apskritimą. Šios charakteristikos yra tarpusavyje susijusios, tai yra, joms apskaičiuoti pakanka informacijos apie bent vieną iš komponentų. Pavyzdžiui, žinodami tik geometrinės figūros spindulį naudodami formulę, galite rasti apskritimą, skersmenį ir jos plotą.

• Apskritimo spindulys yra atkarpa apskritimo viduje, sujungta su jo centru.
• Skersmuo yra linijos segmentas apskritimo viduje, jungiantis jo taškus ir einantis per centrą. Tiesą sakant, skersmuo yra du spinduliai. Būtent taip atrodo jo skaičiavimo formulė: D=2r.
• Yra dar vienas apskritimo komponentas – styga. Tai tiesi linija, jungianti du apskritimo taškus, bet ne visada eina per centrą. Taigi styga, einanti per ją, dar vadinama skersmeniu.

Kaip rasti apskritimo perimetrą? Išsiaiškinkime dabar.

Apimtis: formulė

Šiai savybei apibūdinti pasirinkta lotyniška raidė p. Archimedas taip pat įrodė, kad apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis yra vienodas visiems apskritimams: tai yra skaičius π, kuris apytiksliai lygus 3,14159. π apskaičiavimo formulė atrodo taip: π = p/d. Pagal šią formulę p reikšmė lygi πd, tai yra apskritimui: p= πd. Kadangi d (skersmuo) yra lygus dviem spinduliams, tą pačią apskritimo formulę galima parašyti kaip p=2πr. Panagrinėkime formulės taikymą naudodami paprastus uždavinius kaip pavyzdį:

1 užduotis

Caro varpo papėdėje skersmuo yra 6,6 metro. Koks yra varpo pagrindo perimetras?

1. Taigi apskritimo apskaičiavimo formulė yra p= πd
2. Mes pakeičiame esamą reikšmę formulėje: p \u003d 3,14 * 6,6 \u003d 20,724

Atsakymas: Varpo pagrindo perimetras yra 20,7 metro.

2 užduotis

Dirbtinis Žemės palydovas sukasi 320 km atstumu nuo planetos. Žemės spindulys yra 6370 km. Koks yra palydovo žiedinės orbitos ilgis?

1. 1. Apskaičiuokite Žemės palydovo žiedinės orbitos spindulį: 6370+320=6690 (km)
2. 2. Apskaičiuokite palydovo žiedinės orbitos ilgį pagal formulę: P=2πr
3. 3.P=2*3.14*6690=42013.2

Atsakymas: Žemės palydovo žiedinės orbitos ilgis yra 42013,2 km.

Perimetro matavimo metodai

Apskritimo perimetro apskaičiavimas praktikoje nėra dažnai naudojamas. To priežastis – apytikslė skaičiaus π reikšmė. Kasdieniame gyvenime apskritimo ilgiui nustatyti naudojamas specialus prietaisas – kreivmetras. Apskritime pažymėtas savavališkas atskaitos taškas ir prietaisas nuo jo nukreipiamas griežtai išilgai linijos, kol jie vėl pasiekia šį tašką.

Kaip rasti apskritimo perimetrą? Jums tereikia turėti omenyje paprastas skaičiavimo formules.