Aritmetinis sprendimo metodas. Matematinių uždavinių sprendimas
Mūsų pamokos tikslas
Didysis matematikas Henri Poincaré sakė, kad „matematika yra menas duoti skirtingus dalykus tuo pačiu pavadinimu“. Šiame žaismingame aforizme slypi gili prasmė.
Darbas su vadovėliu.
Kai uždavinys sprendžiamas algebriniu būdu, pirmiausia į matematikos kalbą išverčiama uždavinio sąlyga. Tokio vertimo pagrindas, pirmasis jo žingsnis, yra raidės, žyminčios kokį nors nežinomą kiekį, įvedimas.
Dėl vertimo paprastai gaunama lygybė, kurioje yra raidė. Ši lygybė, kaip jau žinote, vadinama lygtis .
Aritmetinis uždavinio sprendimas:
Yra keturi vaikai. 2000 m. kiekvieno iš jų amžius yra 2 metais mažesnis, tai reiškia, kad bendras jų amžius yra 2 · 4 = 8 (metai) mažesnis. Taigi 2000 m. dvyniams buvo 50 – 8 = 42 (metai).
Jei visi jie būtų jaunesni, tai 2000 metais būtų buvę
kartu 42 - 3 2 = 36 (metai). Taigi, jauniausias 2000 m
36: 4 \u003d 9 (metai), o seniausias - 9 + 3 \u003d 12 (metai).
Algebrinis uždavinių sprendimo būdas
Šeimoje yra dvi dvynių poros, gimusios trejų metų skirtumu. 2012 metais visiems kartu sukako 50 metų. Kiek kiekvienam iš dvynių buvo metų 2010 m.?
Algebrinis uždavinio sprendimas:
Pažymėti X jaunesnių dvynių amžius 2010 m. Tada vyresnieji dvyniai šiais metais buvo x+ 3 metai. 2012 m., t.y po 2 metų, jaunesni dvyniai buvo x+ 2 metai, ir vyresni - iki x+ 5 metai.
Pagal problemos būklę bendras dvynių amžius 2012 m
50 metų. Reiškia, ( X + 2) + ( X + 2) + ( X + 5) + ( X + 5) = 50.
Taigi, lygtis sudaroma.
Norint rasti nežinomą skaičių x, reikia išspręsti šią lygtį.
Darbo knyga № 79
Seminaras
Darbo knygelė Nr.80
x op x op
12 op 12 op
(x - 12) op (x + 12) op
3 (x - 12) = (x + 12)
Darbo knygelė Nr.81
x + 8 = 3x
Seminaras
Vadovėlis Nr.336
Pažymėkite x žmonių. - buvo 1 vagone,
tada 2 automobilyje buvo (x + 14) žmonių.
Pagal problemos būklę dviejuose automobiliuose buvo 86 žmonės.
Parašykite lygtį: x + (x + 14) = 86
1 lygtis
2 lygtis
Pažymėkite x žmonių. - buvo 2 automobilyje,
Padarykime lygtį: x + (x - 14) \u003d 86
Vadovėlis Nr.337
Tegu x žymi lapų skaičių pirmame pakete,
Tada buvo 4 lapai 2 pakuotėse.
Pagal problemos būklę dviejose pakuotėse buvo 350 lapų.
Sudarykite lygtį: x + 4x = 350
1 lygtis
2 lygtis
Pažymėkime x lapų skaičių antroje pakuotėje. Parašykite lygtį: x + x: 4 \u003d 350
Vadovėlis Nr.343
Pažymėkime Petios amžių x metais,
tada tėvo amžius yra 3 metai, o senelio - 6 metai.
Pagal problemos būklę bendras Petios, tėvo ir senelio amžius yra 110 metų.
Taigi 6x + 3x + x = 110
1 lygtis
2 lygtis
Padarykime lygtį: 110 - (6x + 3x) \u003d x
3 lygtis
Padarykime lygtį: 110 - 6x \u003d 3x + x
Vadovėlis Nr.345
lygtis
Vadovėlis Nr.338
(x + 11): 2 = x + 2
teisingai
(x + 3) + x = 21; 21 – (x + 3) = x;
x + 1,5x = 15; 15 - 1,5x \u003d x;
Nr.336, 337, 343, 345 Žodžiu: 103-104 p.
Siųsti savo gerą darbą žinių bazėje yra paprasta. Naudokite žemiau esančią formą
Studentai, magistrantai, jaunieji mokslininkai, kurie naudojasi žinių baze savo studijose ir darbe, bus jums labai dėkingi.
Publikuotas http://www.allbest.ru/
Įvadas
1.1 Tekstinio uždavinio samprata
1.2 Aritmetinių uždavinių tipai
1.3 Problemos vaidmuo matematikoje
1.4 Tekstinių uždavinių sprendimo etapai ir jų įgyvendinimo būdai
1.5 Kai kurie žodinių uždavinių sprendimo būdai
2.4 Interesų užduotys
2.5 Bendradarbiavimo užduotys
Išvada
Literatūra
Įvadas
Galima išmokyti studentus spręsti gana daug įvairių problemų, tačiau tikras pasitenkinimas bus tik tada, kai savo mokiniams galėsime perduoti ne tik žinias, bet ir proto lankstumą. W.U. pjovėjas
Gebėjimas spręsti problemas yra vienas pagrindinių lygio rodiklių matematinė raida, plėtros gylis mokomoji medžiaga. Nuo pirmųjų dienų mokykloje vaikas susiduria su užduotimi. Nuo pat mokymosi pradžios iki pabaigos matematinė problema visada padeda mokiniui susikurti teisingas matematines sąvokas, geriau suprasti įvairius jį supančio gyvenimo santykių aspektus, leidžia pritaikyti studijuojamas teorines pozicijas. Žodiniai uždaviniai yra svarbi matematikos mokymo priemonė. Jų pagalba mokiniai įgyja darbo su dydžiais patirties, suvokia tarpusavio ryšį, įgyja matematikos taikymo praktinių uždavinių sprendimui patirties. Aritmetinių metodų naudojimas sprendžiant uždavinius ugdo išradingumą ir sumanumą, gebėjimą kelti klausimus, į juos atsakyti, tai yra ugdo natūralią kalbą. Aritmetiniai tekstinių uždavinių sprendimo metodai leidžia ugdyti gebėjimą analizuoti problemines situacijas, sudaryti sprendimo planą, atsižvelgiant į žinomų ir nežinomų dydžių ryšį (atsižvelgiant į problemos tipą), interpretuoti kiekvieno veiksmo rezultatą rėmuose. uždavinio teiginį, patikrinkite sprendimo teisingumą sudarydami ir spręsdami atvirkštinę problemą, tai yra, suformuokite ir ugdykite svarbius bendruosius ugdymosi įgūdžius.
Aritmetiniai tekstinių uždavinių sprendimo metodai moko vaikus iki pirmųjų abstrakcijų, leidžia ugdyti loginę kultūrą ir gali prisidėti prie moksleivių vystymosi. estetinis pojūtis susijusių su problemų sprendimu ir matematikos studijomis, pirmiausia sužadinti susidomėjimą problemos sprendimo ieškojimu, o vėliau – studijuojamu dalyku.
Tekstinės užduotys daugeliui moksleivių tradiciškai yra sunki medžiaga. Praktikoje dauguma dėstytojų mažai dėmesio skiria problemų sprendimui.Mokiniai dažnai nemoka atpažinti norimų ir duomenų, nustatyti ryšio tarp į problemą įtrauktų dydžių; sudaryti sprendimo planą, patikrinti gautą rezultatą.
Mano tikslas baigiamasis darbas- mokytis tekstinių uždavinių aritmetinio sprendimo mokymo metodų, atsižvelgti į tekstinio uždavinio struktūrą, uždavinių sprendimo aritmetiniu metodu etapus, parodyti sunkumus sprendžiant uždavinius, gebėjimą įveikti šiuos sunkumus, naudotis aritmetinis tekstinių uždavinių sprendimo metodas iš asmeninės praktikos.
Tyrimo objektas – ugdymo procesas matematikos pamokose.
Darbo užduotys:
- analizuoti psichologinę ir pedagoginę literatūrą šia tema; studijuoti mokslinę ir metodinę literatūrą, skirtą mokyti spręsti tekstinius uždavinius;
- apsvarstyti tekstinės užduoties ypatybes ir darbo su ja metodiką;
- parodyti aritmetinio metodo panaudojimą sprendžiant tekstinius uždavinius.
Darbo struktūra. Mano darbą sudaro įvadas, skyriai „Tekstinio uždavinio charakteristikos ir darbo su ja metodai“ ir „Moksleivių mokymas aritmetiniu būdu spręsti tekstinius uždavinius“, pabaiga. Pirmame skyriuje nagrinėjau tekstinio uždavinio sampratą, uždavinių tipus, ką reiškia spręsti uždavinį, uždavinio sprendimo aritmetiniais metodais etapus trupmenos, procentų skaičiavimo užduotys, bendram darbui ; užduotys sprendžiamos lentelių pagalba, aritmetinis vidurkis uždaviniuose. Stengiausi parodyti mokinių mokymo spręsti tekstinius uždavinius metodiką, jų vietą ugdymo procese klasėje. Savo darbe noriu parodyti specifinį aritmetinių metodų taikymą sprendžiant tekstinius uždavinius, pasitelkiant asmeninę patirtį.
Literatūros šia tema yra pakankamai. Analizuodama kai kuriuos iš jų, norėčiau atkreipti dėmesį į S. Lukyanovos knygą „Teksto uždavinių skaičiavimo aritmetiniais būdais“ kūrimas. 5-6 klasėse Autorius apsvarsto apie 200 skirtingo sudėtingumo problemų, kurių daugumai siūlomas sprendimas (kai kuriems – keliais būdais), kurių kiekvienas įgyvendinamas tik aritmetinių operacijų pagalba.Knygoje " Mokymasis spręsti tekstinius uždavinius. Knyga mokytojui“, autorius Shevkin A.V., pasiūlymai aprašyti išsamiai, sugrąžindami prie geriausios tradicijos matematikos ugdymą, apie būtinybę ankstyvoje mokymosi stadijoje atsisakyti lygčių naudojimo ir grįžti prie platesnio aritmetinių metodų naudojimo uždaviniams spręsti, koreguojant tradicinę mokymo metodiką ir stengiantis išvengti būdingų jos taikymo trūkumų. AT studijų vadovas Fridmanas L.M. „Matematikos dalykų uždaviniai. Istorija, teorija, metodika“ teigia, kad sprendžiant problemas įvairių metodų pageidautina pasirinkti tokį, kuris apima platesnį uždavinių spektrą ir yra daug problemų, kurias lengviau išspręsti aritmetiškai nei algebriškai, taip pat yra tokių, kurios algebrai visiškai neprieinamos, nors ir nesukelia sunkumų. aritmetika.
Darbe panaudojau edukacinio metodinio laikraščio „Matematika“ Nr.23 – 2005 (Leidyklos „Rugsėjo pirmoji“) medžiagas „Netradicinės pamokos. Matematika 5-11 langelių. (M.E. Kozina, M.E. Fadeeva – Volgogradas, 2008), Rekomendacijos 5-6 klasėms, Didaktinė medžiaga 5-6 klasėms (M.K. Potapovas, A.V. Ševkinas) ir kt.
I skyrius. Tekstinės problemos charakteristikos ir darbo su ja metodai
sprendimas žodinis uždavinys aritmetika
Matematika – mąstymo įrankis, jos arsenale gausu užduočių, kurios tūkstančius metų prisidėjo prie žmonių mąstymo formavimo, gebėjimo spręsti nestandartines problemas, garbingai išsisukti iš sunkių situacijų.
Dirbti su tekstinės užduotys reikia skirti daug laiko, atkreipiant vaikų dėmesį į įvairių problemos sprendimo būdų ieškojimą ir palyginimą, matematinių modelių konstravimą, mokėjimą pateikti savo samprotavimus sprendžiant uždavinius.
1.1 Tekstinio uždavinio samprata
Sprendžiant tekstinius uždavinius gaunama turtinga medžiaga mokinių tobulėjimui ir ugdymui. Šios užduotys suformuluotos natūralia kalba, todėl jos vadinamos tekstinėmis užduotimis. Dažniausiai jie apibūdina kiekybinę kai kurių reiškinių, įvykių pusę, todėl dažnai vadinami siužetais. Spręsdami uždavinius, mokiniai įgyja naujų matematinių žinių, ruošiasi praktinei veiklai. Užduotys prisideda prie jų tobulėjimo loginis mąstymas. Didelė svarba turi mokinių asmenybės ugdymo problemų sprendimą. Todėl svarbu, kad mokytojas giliai suprastų tekstinę problemą, jos struktūrą, gebėtų įvairiai spręsti tokias problemas. „Užduotis yra reikalavimas arba klausimas, į kurį reikia atsakyti, remiantis užduotyje nurodytomis sąlygomis ir į jas atsižvelgus“, – sakė L.M. Friedmanas savo darbe „Matematikos brėžinių uždaviniai“.
Tekstinė užduotis yra tam tikros situacijos aprašymas natūralia kalba su reikalavimu kiekybiškai apibūdinti bet kurį šios situacijos komponentą, nustatyti, ar yra ar nėra kažkokio ryšio tarp jos komponentų, arba nustatyti šio ryšio tipą. . Tekstinės užduotys gali būti abstraktaus turinio, kai tekste skaičių santykis aprašomas žodžiu (Rasti du skaičius, jei vienas iš jų yra 18 didesnis už kitą, o jų suma yra 80) arba su konkrečiu siužetu (Bilietas patekti į stadioną kainavo 160 rublių.. Po to, kai sumažinus starto mokestį žiūrovų skaičius išaugo 50%, o pajamos padidėjo 25% (kiek kainuoja bilietas sumažinus startinį mokestį?).
Kiekviena užduotis yra sąlygos ir tikslo vienovė. Jei vieno iš šių komponentų trūksta, užduoties nėra. Labai svarbu tai turėti omenyje, kad problemos tekstą būtų galima analizuoti taip vieningai. Tai reiškia, kad problemos būklės analizė turi būti koreliuojama su problemos klausimu ir, atvirkščiai, problemos klausimas turi būti analizuojamas kryptingai su sąlyga. Jų negalima suplėšyti, nes jie yra viena visuma.
Matematinė problema yra susijusi lakoniška istorija, kurioje įvedamos vienų dydžių reikšmės, o siūloma rasti kitų. nežinomos vertės kiekiai, priklausantys nuo duomenų ir susieti su jais tam tikrais sąlygoje nurodytais santykiais.
Bet kuri tekstinė užduotis susideda iš dviejų dalių: sąlygos ir reikalavimai (klausimas), sąlygos ir reikalavimai yra tarpusavyje susiję.
Sąlyga atitinka informaciją apie objektus ir kai kuriuos dydžius, apibūdinančius objekto duomenis, apie žinomas ir nežinomas šių dydžių vertes, apie ryšius tarp jų.
Užduočių reikalavimai yra nuoroda, ką reikia rasti. Jis gali būti išreikštas liepiamuoju ar klausiamuoju sakiniu („Rasti dviratininkų greitį arba „Kiek kilometrų turistas nuėjo kiekvieną iš trijų dienų?“). Užduočiai gali būti keliami keli reikalavimai.
Apsvarstykite problemą: iš 1 kg 200 g vilnos numegztas megztinis, kepurė ir šalikas. Šalikai prireikė 100 g daugiau vilnos nei kepurei ir 400 g mažiau nei megztiniui. Kiek vilnos buvo sunaudota kiekvienam daiktui?
Užduočių objektai: šalikas, kepurė, megztinis. Dėl šių objektų yra tam tikrų teiginių ir reikalavimų.
Teiginiai: Megztinis, kepurė, šalikas megztas iš 1200 g vilnos.
Šalikai išleidome 100 g daugiau nei kepurei.
Kepurei buvo išleista 400 g mažiau nei megztiniui.
Reikalavimai: Kiek vilnos sunaudojote megztiniui?
Kiek vilnos sunaudojote kepurei?
Kiek vilnos sunaudojote skarai?
Užduotyje yra trys nežinomos dydžių reikšmės, iš kurių viena įtraukta į uždavinio reikalavimą. Ši vertė vadinama norima verte.
Kartais užduotys formuojamos taip, kad dalis sąlygos arba visa sąlyga įtraukiama į vieną sakinį su užduoties reikalavimu.
Realiame gyvenime dažnai iškyla įvairiausių probleminių situacijų. Jų pagrindu suformuluotose užduotyse gali būti perteklinės informacijos, ty informacijos, kuri nereikalinga užduoties reikalavimams įvykdyti.
Remiantis gyvenime iškylančiomis probleminėmis situacijomis, gali būti formuluojamos ir užduotys, kuriose nepakanka informacijos reikalavimams įvykdyti. Taigi užduotyje: „Kiek litrų vandens yra kiekvienoje statinėje, jei pirmojoje yra 48 litrais daugiau nei kitoje? - nepakanka duomenų atsakyti į jos klausimą. Norint išspręsti šią problemą, būtina ją papildyti trūkstamais duomenimis.
Tą pačią problemą galima laikyti pakankamo duomenų kiekio problema, priklausomai nuo turimų ir lemiamų verčių.
Atsižvelgiant į problemą siaurąja šios sąvokos prasme, joje galima išskirti šiuos sudedamuosius elementus:
1. Žodinis siužeto pristatymas, kuriame aiškiai arba paslėpta forma nurodomas funkcinis ryšys tarp dydžių, kurių skaitinės reikšmės įtrauktos į problemą.
2. Uždavinio tekste nurodytų kiekių ar skaitinių duomenų skaitinės reikšmės.
Užduotis, dažniausiai formuluojama kaip klausimas, kurioje siūloma išsiaiškinti vieno ar kelių dydžių nežinomas reikšmes. Šios vertės vadinamos pageidaujamomis.
Mokytojas, suprasdamas užduoties vaidmenį ir vietą mokinio ugdyme ir auklėjime, į problemos parinkimą ir jos sprendimo metodų pasirinkimą turi žvelgti pagrįstai ir aiškiai žinoti, kokį darbą turi duoti mokinys sprendžiant duotą problemą. jam.
1.2 Aritmetinių uždavinių tipai
Visi aritmetiniai uždaviniai pagal joms spręsti atliekamų veiksmų skaičių skirstomi į paprastus ir sudėtinius. Uždavinys, kurio sprendimui reikia vieną kartą atlikti aritmetinį veiksmą, vadinamas paprastu. Užduotis, kuriai išspręsti reikia kelių veiksmų, vadinama sudėtine užduotimi.
Paprastos užduotys matematikos mokymo sistemoje vaidina nepaprastai svarbus vaidmuo. Sprendžiant paprastus uždavinius, suformuojama viena iš pagrindinių pradinio matematikos kurso sąvokų - aritmetinių operacijų sąvoka ir daugybė kitų sąvokų. Gebėjimas apsispręsti paprastos užduotys yra parengiamoji stadija, skirta mokiniams įsisavinti gebėjimą spręsti sudėtines problemas, nes sudėtinės problemos sprendimas yra sumažintas iki daugelio paprastų uždavinių sprendimo. Sprendžiant paprastas problemas, įvyksta pirmoji pažintis su problema ir jos komponentais. Spręsdami paprastas problemas, vaikai įvaldo pagrindinius problemos sprendimo būdus.
Sudėtinė problema apima keletą paprastų uždavinių, sujungtų taip, kad norimos iš kai kurių paprastų problemų būtų naudojami kaip duomenys kitoms. Sudėtinės problemos sprendimas sumažinamas iki jos padalijimo į keletą paprastų uždavinių ir jų nuoseklaus sprendimo. Taigi, norint išspręsti sudėtinę problemą, reikia sukurti duomenų ir pageidaujamo ryšio sistemą, pagal kurią pasirinkti, o tada atlikti aritmetines operacijas.
Sudėtinės problemos sprendimo fiksavimas sudarant ant jo išraišką leidžia studentams sutelkti dėmesį į loginę problemos darbo pusę, matyti jos sprendimo eigą kaip visumą. Tuo pačiu vaikai mokosi užsirašyti problemos sprendimo planą ir sutaupyti laiko.
Sudėtinio uždavinio sprendime atsirado kažkas iš esmės naujo, palyginti su paprasto uždavinio sprendimu: čia nustatomas ne vienas ryšys, o keli, pagal kuriuos kuriamos aritmetinės operacijos. Todėl atliekamas specialus darbas supažindinant vaikus su sudėtine problema, ugdant jų gebėjimus spręsti sudėtines problemas.
1.3 Problemos vaidmuo matematikoje
Matematikoje reikšmingą vietą užima žodiniai uždaviniai. Svarstant aritmetinių operacijų prasmę, ryšį tarp veiksmų ir komponentų ryšį su veiksmų rezultatais, neabejotinai pasitelkiami atitinkami nesudėtingi uždaviniai (vienu aritmetiniu veiksmu išsprendžiamos problemos). Tekstinės užduotys yra viena iš būtiniausių lėšų supažindinti vaikus su matematiniais ryšiais, yra naudojami suprasti dalį ir padėti formuoti daugybę geometrinių sąvokų, taip pat apsvarstyti algebros elementus.
Veikdamos kaip specifinė žinių formavimo medžiaga, užduotys suteikia galimybę teoriją susieti su praktika, mokymąsi – su gyvenimu. Problemų sprendimas formuoja vaikams praktinius įgūdžius, reikalingus kiekvienam žmogui Kasdienybė. Pavyzdžiui, paskaičiuokite pirkimo kainą, paskaičiuokite, kiek laiko reikia išvykti, kad nepraleistumėte traukinio ir pan.
Užduočių panaudojimas kaip konkretus pagrindas diegti naujas žinias ir pritaikyti vaikų jau turimas žinias vaidina itin svarbų vaidmenį formuojant vaikų materialistinės pasaulėžiūros elementus. Spręsdamas uždavinius, studentas įsitikina, kad daugelio matematinių sąvokų šaknys yra realiame gyvenime, žmonių praktikoje. Per problemų sprendimą vaikai susipažįsta su svarbiomis pažinimo ir ugdomasis požiūris faktus. Daugelio užduočių turinys atspindi vaikų ir suaugusiųjų darbus, mūsų šalies pasiekimus šalies ūkio, technologijų, mokslo ir kultūros srityse.
Pats problemų sprendimo tam tikra metodika procesas labai teigiamai veikia moksleivių protinį vystymąsi, nes tam reikia atlikti psichines operacijas: analizę ir sintezę, konkretizavimą ir abstrakciją, palyginimą, apibendrinimą. Taigi, spręsdamas bet kokią problemą, studentas atlieka analizę: atskiria klausimą nuo sąlygos, išryškina duomenis ir norimus skaičius; nubrėždamas sprendimo planą, jis atlieka sintezę, naudodamas konkretizavimą (protiškai nubrėžia problemos sąlygą), o po to abstrakciją (atitraukiant dėmesį nuo konkrečios situacijos, pasirenka aritmetinius veiksmus); daugkartinis tam tikro tipo uždavinių sprendimas studentas apibendrina žinias apie ryšius tarp duomenų ir to, ko siekiama tokio tipo uždaviniuose, ko pasekoje apibendrinamas tokio tipo uždavinių sprendimo būdas.
Užduotys yra naudinga priemonė ugdant vaikų loginį mąstymą, gebėjimą analizuoti ir sintezuoti, apibendrinti, abstrahuoti ir konkretizuoti, atskleisti esamas sąsajas tarp nagrinėjamų reiškinių. Problemų sprendimas yra mąstymą lavinanti pratimas. Be to, problemų sprendimas prisideda prie kantrybės, užsispyrimo, valios ugdymo, padeda sužadinti susidomėjimą pačiu sprendimo paieškos procesu ir leidžia patirti gilų pasitenkinimą, susijusį su sėkmingu sprendimu.
Matematikos pagrindų įsisavinimas neįsivaizduojamas neišsprendus ir neanalizavus problemos, kuri yra viena iš svarbias nuorodas matematikos žinių grandinėje tokio pobūdžio veikla ne tik aktyvina matematikos studijas, bet ir atveria kelią giliam jos supratimui. Darbas su tam tikros matematinės problemos sprendimo eigos supratimu suteikia impulsą vaiko mąstymo raidai. Problemų sprendimas negali būti laikomas tikslu savaime, į juos reikia žiūrėti kaip į priemonę gilinantis tyrinėjimus teorinės nuostatos o kartu ir mąstymo ugdymo priemonė, supančios tikrovės supratimo būdas, pasaulio supratimo kelias. Be to, reikia nepamiršti, kad problemų sprendimas ugdo teigiamas vaikų charakterio savybes ir lavina jas estetiškai.
1.4 Sprendimo žingsniai testo užduotys ir kaip juos padaryti
Problemos ir jų sprendimas užima itin reikšmingą vietą moksleivių ugdyme tiek laiko, tiek ir įtakos vaiko protiniam vystymuisi požiūriu. Problemos sprendimas yra rezultatas, tai yra atsakymas į problemos reikalavimą, rezultato radimo procesas. Be to, šis procesas vertinamas dviem būdais: rezultato radimo metodu ir tų veiksmų seka, kuriuos lemiantis atlieka vienu ar kitu būdu. Tai yra, šiuo atveju problemos sprendimas suprantamas kaip visa žmogaus veikla, problemų sprendimas. Pagrindiniai tekstinių uždavinių sprendimo būdai yra aritmetinis ir algebrinis. Spręsti uždavinį aritmetiniu būdu reiškia rasti atsakymą į uždavinio reikalavimą, atliekant aritmetinius veiksmus su skaičiais.
Problemų sprendimas yra kiek neįprastas darbas, būtent protinis darbas. O norint išmokti bet kokį darbą, pirmiausia reikia nuodugniai išstudijuoti medžiagą, su kuria teks dirbti, įrankius, su kuriais šis darbas atliekamas.
Taigi, norint išmokti spręsti problemas, reikia suprasti, kas jos yra, kaip jos išdėstytos, iš ko sudedamosios dalys jie susideda iš to, kokios priemonės naudojamos problemoms spręsti.
Apsvarstykite pavyzdį: „Tam tikras žmogus metams pasamdė darbininką, pažadėjo jam duoti 12 rublių ir kaftaną. Bet jis, išdirbęs 7 mėnesius, norėjo išeiti ir paprašė padoraus atlyginimo su kaftanu. Savininkas jam davė vertą 5 rublių atsiskaitymą ir kaftaną. Kyla klausimas, kokia buvo to kaftano kaina?
Problemos sprendimas: darbuotojas negavo 12 - 5 = 7 (rubliai) už 12 - 7 = 5 (mėnesius),
todėl už vieną mėnesį jam buvo mokama 7: 5 = 1,4 (rublio),
ir per 7 mėnesius jis gavo 7 * 1,4 = 9,8 (rublio),
tada kaftanas kainavo 9,8 - 5 = 4,8 (rubliai).
Atsakymas: kaftano kaina yra 4,8 rubliai.
Tą pačią problemą galima išspręsti įvairiais aritmetiniais būdais. Jie skiriasi vienas nuo kito samprotavimo logika, atliekama sprendžiant problemą.
Išplėstoje formoje tekstinės problemos sprendimas gali būti pavaizduotas kaip seka šių etapų seka:
1) užduoties analizė;
2) modelio kūrimas;
3) sprendimo paieška (sprendimo plano sudarymas);
4) sprendimo įrašas;
5) sprendimo patikrinimas;
6) problemos tyrimas ir jos sprendimas;
7) atsakymo formulavimas;
8) edukacinė ir pažintinė problemos analizė ir jos sprendimas.
Dažniausiai įgyvendinami tik keturi etapai: problemos analizė, sprendimo plano sudarymas, sprendimo rašymas, atsakymo formulavimas ir visuose etapuose sustoja tik sprendžiant sudėtingas, problemines užduotis ar užduotis, turinčias tam tikrą apibendrinančią – teorinę vertę.
Užduoties analizė visada nukreipta į jos reikalavimą.
Etapo tikslai: - suprasti problemoje aprašytą situaciją;
Išryškinti sąlygas ir reikalavimus;
Įvardykite žinomus ir ieškomus objektus;
Pasirinkite visus ryšius (priklausomybes) tarp jų.
Norėdami suprasti užduoties turinį, išskirti sąlygas ir reikalavimus, turite užduoti specialius klausimus:
1. Apie ką užduotis?
2. Ką reikia rasti problemoje?
3. Ką reiškia tam tikri žodžiai problemos tekste?
4. Kas nežinoma užduotyje?
5. Ko siekiama?
Apsvarstykite pavyzdį: „Du berniukai eina keliu ta pačia kryptimi. Iš pradžių atstumas tarp jų buvo 2 km, bet kadangi priekyje einančio vaikino greitis siekia 4 km/h, o antrojo – 5 km/h, antrasis lenkia pirmąjį. Nuo judesio pradžios, kol antrasis berniukas pasiveja pirmąjį, tarp jų šuo bėga 8 km/h greičiu. Nuo vaikino, einančio iš paskos, ji bėga prie priekyje einančio, nubėgusi grįžta atgal ir taip bėga, kol berniukai yra šalia. Kiek toli šuo nubėgs visą šį laiką?
Problemos analizė: 1) Su kuo susijusi ši problema?
Dviejų berniukų ir šuns judėjimo problema. Kiekvienam judėjimo dalyviui jis apibūdinamas greičiu, laiku ir nuvažiuotu atstumu.
2) Ko reikia norint rasti problemą?
Užduotis – surasti atstumą, kurį šuo bėgs visą laiką nuo judesio pradžios iki tol, kol berniukai bus šalia, t.y. antrasis nepasivija pirmojo.
3) Kas yra žinoma problemoje apie kiekvieno jos dalyvio judėjimą?
Problemoje žinoma: a) berniukai eina ta pačia kryptimi;
b) iki judėjimo pradžios atstumas tarp berniukų buvo 2 km;
c) pirmo priekyje einančio berniuko greitis 4 km/h;
d) antro iš paskos einančio berniuko greitis yra 5 km/h;
e) greitį, kuriuo šuo bėga, 8 km/h;
f) judėjimo laikas, kai atstumas tarp vaikinų buvo 2 km iki susitikimo.
4) Kas nežinoma užduotyje?
Problemoje nežinoma: a) laikas, per kurį antrasis berniukas pasivys pirmąjį (visų jos dalyvių judėjimo laikas);
b) kaip greitai artėja berniukai;
c) šuns nubėgtą atstumą (tai reikia rasti užduotyje).
5) Kas yra norima: skaičius, kiekio reikšmė, kažkoks ryšys?
Norima reikšmė yra kiekio reikšmė – atstumas, kurį šuo nubėgo per laiką nuo berniukų judėjimo pradžios iki susitikimo momento.
Didelę pagalbą suprasti užduotį suteikia technika – užduoties teksto perfrazavimas. Tai yra, viskas, kas nereikalinga (neesminė), išmeta iš problemos teksto, o kai kurių sąvokų aprašymai pakeičiami atitinkamais terminais, ir atvirkščiai, kai kurie terminai pakeičiami atitinkamų sąvokų turinio aprašymu.
Užduoties teksto perfrazavimas – užduoties teksto transformavimas į formą, patogią sprendinio planui rasti. Perfrazavimo rezultatas turėtų būti pagrindinių situacijų išryškinimas. Kad būtų lengviau suprasti problemą, galite ją užrašyti lentelės arba scheminio brėžinio pavidalu. Tiek lentelė, tiek schematinis brėžinys yra pagalbiniai užduoties modeliai. Jie naudojami kaip tekstinės problemos analizės fiksavimo forma ir yra pagrindinė priemonė ieškant jos sprendimo plano. Sukūrę pagalbinį modelį, turite patikrinti:
1) ar modelyje parodyti visi užduoties objektai;
2) ar atsispindi visi santykiai tarp objektų;
3) ar pateikti visi skaitiniai duomenys;
4) ar yra klausimas (reikalavimas) ir ar jis teisingai nurodo, ko siekiama.
Problemos sprendimo plano radimas
Etapo tikslai: užmegzti ryšį tarp duomenų ir šaltinio objektų;
apibūdinti veiksmų seką.
Problemos sprendimo planas – tai tik sprendimo idėja, jo idėja. Gali atsitikti taip, kad rasta idėja yra klaidinga. Tada vėl reikia grįžti prie problemos analizės ir pradėti viską iš naujo.
Vienas iš labiausiai žinomų metodų ieškant plano, kaip išspręsti uždavinį aritmetiniu būdu, yra problemos analizė iš teksto arba pagalbinio jo modelio. Problemos analizė atliekama samprotavimo grandinės forma, kuri gali prasidėti tiek nuo problemos duomenų, tiek nuo jos klausimų. Nagrinėdamas problemą nuo duomenų iki klausimo, sprendėjas problemos tekste išskiria du duomenis ir, remdamasis žiniomis apie jų tarpusavio ryšį (tokias žinias reikėtų gauti analizuojant problemą), nustato, kurį nežinomąjį galima rasti iš šiuos duomenis ir kurių pagalba aritmetinis veiksmas. Tada, laikydamas šį nežinomąjį duomenimis, sprendėjas vėl išskiria du tarpusavyje susijusius duomenis, nustato nežinomąjį, kurį iš jų galima rasti ir kokio veiksmo pagalba ir pan., kol išsiaiškins, kuris veiksmas veda prie ieškomo objekto gavimo. problema. Analizuojant problemą nuo klausimo iki duomenų, reikia atkreipti dėmesį į problemos klausimą ir nustatyti (remiantis problemos analizės metu gauta informacija), ką pakanka žinoti norint atsakyti į šį klausimą. Kodėl reikia peržiūrėti sąlygas ir išsiaiškinti, ar yra tam reikiamų duomenų. Jei tokių duomenų nėra arba yra tik vienas, tada nustatykite, ką reikia žinoti norint rasti trūkstamus duomenis (trūkstamus duomenis) ir pan. Tada sudaromas problemos sprendimo planas. Motyvavimas atliekamas m Atvirkštinė tvarka. Analizė pagal problemos tekstą: „Turistas traukiniu, kuris važiavo 56 km/h greičiu, keliavo 6 valandas. Po to jam teko važiuoti 4 kartus daugiau nei važiavo. Koks visas turisto kelias?
Motyvuojant iš duomenų į klausimą: žinoma: turistas traukiniu keliavo 6 valandas;
traukinio greitis 56 km/h.
Iš šių duomenų galite sužinoti turisto nuvažiuotą atstumą per 6 valandas (greitį padauginkite iš laiko). Žinodami nuvažiuoto atstumo dalį ir tai, kad likęs atstumas yra 4 kartus didesnis, galite rasti, kam ji lygi (nuvažiuotą atstumą reikia padauginti iš 4 (padidinti 4 kartus)). Žinodami, kiek kilometrų turistas nuvažiavo ir kiek jam liko nueiti, visą taką galite rasti pridėję rastus tako atkarpas.
Taigi veiksmai: 1) atstumas, kurį turistas įveikė traukiniu;
2) atstumą, kurį jam liko nuvažiuoti; . 3) iki galo.
Klausimo prie duomenų samprotavimas: Problemoje būtina žinoti visą turisto kelią. Mes nustatėme, kad kelias susideda iš dviejų dalių. Tai reiškia, kad užduoties reikalavimui įvykdyti pakanka žinoti, kiek kilometrų turistas nuvažiavo ir kiek kilometrų jam liko keliauti. Abu nežinomi. Norint sužinoti nuvažiuotą atstumą, pakanka žinoti laiką ir greitį, kuriuo turistas keliavo. Problemoje tai žinoma. Padauginę greitį iš laiko, sužinome kelią, kurį nuėjo turistas. Likusį kelią galima rasti padidinus nuvažiuotą atstumą 4 kartus (padauginus iš 4). Taigi, pirmiausia galite sužinoti nueitą kelią, tada likusį, o po to, papildydami, rasite visą kelią.
Problemos sprendimo plano įgyvendinimas:
Etapo tikslas: atlikti visus veiksmus pagal planą, rasti atsakymą į užduoties reikalavimą.
Teksto uždaviniams, kurie sprendžiami aritmetiniu būdu, naudojami šie metodai:
Veiksmų įrašas (su paaiškinimu, be paaiškinimo, su klausimais);
Įrašymas kaip išraiška.
a) Sprendimo dėl veiksmų įrašymas su kiekvieno atlikto veiksmo paaiškinimu: 1) 56 * 6 \u003d 336 (km) - turistas nukeliavo per 6 valandas.
2) 336 * 4 = 1344 (km) - turistui belieka praeiti;
3) 336 + 1344 = 1680 (km) - turistas turėjo praeiti.
Jei paaiškinimai pateikiami žodžiu (arba iš viso neteikiami), tada įrašas bus toks: 1) 56 * 6 = 336 (km);
2) 336 * 4 = 1344 (km);
3) 336 + 1344 = 1680 (km)
b) Sprendimo dėl veiksmų įrašymas su klausimais:
1) Kiek kilometrų turistas nuvažiavo traukiniu?
56 * 6 = 336 (km)
2) Kiek kilometrų turistui liko nuvažiuoti?
336 * 4 = 1344 (km)
3) Kiek kilometrų turėjo nukeliauti turistas?
336 + 1344 = 1680 (km)
Patikrinkite problemos sprendimą:
Etapo tikslas: nustatyti sprendimo teisingumą ar klaidingumą.
Yra žinomi keli būdai, padedantys nustatyti, ar problema išspręsta teisingai. Apsvarstykite pagrindinius:
1. Rezultato ir problemos sąlygų atitikimo nustatymas. Tam rastas rezultatas įrašomas į problemos tekstą ir, remiantis samprotavimais, nustatoma, ar šiuo atveju nekyla prieštaravimų.
2. Problemos sprendimas kitaip.
Tegul koks nors rezultatas gaunamas kažkaip išsprendus problemą. Jei jo sprendimas kitu būdu duoda tą patį rezultatą, tada problema išspręsta teisingai.
1.5 Kai kurie tekstinių uždavinių sprendimo būdai.
Remiantis matematinės reikšmės panašumu ir skirtingų sprendimo būdų pakeičiamumu, visus aritmetinius metodus galima sujungti į šias grupes:
1) redukavimo į vienetą, redukavimo į bendrą matą, atvirkštinio redukavimo į vienetą būdas, santykių metodas;
2) būdas išspręsti problemas nuo „pabaigos“;
3) nežinomųjų pašalinimo būdas (vieno nežinomo pakeitimas kitu, nežinomųjų lyginimas, duomenų palyginimas, dviejų sąlygų palyginimas atimant, dviejų sąlygų sujungimas į vieną); atspėjimo būdas;
4) proporcingas padalijimas, panašumas ar dalių radimas;
5) vienos problemos pavertimo kita metodas (sudėtingos problemos išskaidymas į paprastas, parengiamąsias; nežinomųjų sumažinimas iki tokių reikšmių, kurių santykis tampa žinomas; savavališko skaičiaus vienam iš nežinomų dydžių nustatymo metodas) .
Be šių metodų, patartina atsižvelgti į aritmetinio vidurkio metodą, pertekliaus metodą, žinomo ir nežinomo permutavimo metodą, „klaidingų“ taisyklių metodą.
Kadangi dažniausiai neįmanoma iš anksto nustatyti, kuris iš metodų yra naikinantis, numatyti, kuris iš jų leis priimti paprasčiausią ir studentui suprantamiausią sprendimą, studentus reikėtų supažindinti su skirtingais metodais ir suteikti galimybę pasirinkti, kurį iš jų. naudoti sprendžiant konkrečią problemą.
Nežinomas pašalinimo metodas
Šis metodas naudojamas, kai problema yra keletas nežinomų dalykų. Tokią problemą galima išspręsti vienu iš penkių būdų: 1) vieną nežinomą pakeičiant kitu; 2) nežinomųjų palyginimas; 3) dviejų sąlygų palyginimas atėmimo būdu; 4) duomenų palyginimas; 5) kelių sąlygų sujungimas į vieną.
Pritaikius vieną iš aukščiau pateiktų metodų, vietoj kelių nežinomųjų lieka vienas, kurį galima rasti. Apskaičiavę jį, naudokite priklausomybės sąlygos duomenis, kad surastumėte kitus nežinomus dalykus.
Pažvelkime atidžiau į kai kuriuos metodus.
1. Vieno nežinomo pakeitimas kitu
Technikos pavadinimas atskleidžia jos idėją: remiantis priklausomybėmis (daugybinėmis arba skirtingomis), kurios pateikiamos pagal problemos sąlygą, per vieną iš jų reikia išreikšti visus nežinomuosius.
Užduotis. Sergejus ir Andrejus iš viso turi 126 pašto ženklus. Sergejus turi 14 taškų daugiau nei Andrejus. Kiek pašto ženklų turėjo kiekvienas berniukas?
Trumpas sąlygos aprašymas:
Sergejus -? pašto ženklų, dar 14 pašto ženklų
Andrius -? antspaudai
Iš viso -- 126 pašto ženklai
1 sprendimas
(didesnio nežinomo pakeitimas mažesniu)
1) Tegul Sergejus turi tiek pašto ženklų, kiek ir Andrejus. Tada bendras antspaudų skaičius būtų 126 – 14 = 112 (ženklų).
2) Kadangi dabar berniukai turi tiek pat antspaudų, sužinosime, kiek antspaudų iš pradžių turėjo Andrejus: 112: 2 = 56 (ženklai).
3) Atsižvelgiant į tai, kad Sergejus turi 14 balų daugiau nei Andrejus, gauname: 56 + 14 = 70 (balų).
2 sprendimas
(mažesnį nežinomą pakeičiant didesniu)
1) Tegul Andrejus turi tiek pat pašto ženklų, kiek ir Sergejus. Tada bendras antspaudų skaičius būtų 126 + 14 = 140 (antspaudai).
2) Kadangi dabar berniukai turi tiek pat pašto ženklų, sužinosime, kiek antspaudų iš pradžių turėjo Sergejus: 140: 2 = 70 (ženklų).
3) Atsižvelgiant į tai, kad Andrejus turėjo 14 balų mažiau nei Sergejus, gauname: 70 - 14 = 56 (balai).
Atsakymas: Sergejus turėjo 70 balų, o Andrejus – 56 balus.
Kad mokiniai geriausiai įsisavintų metodą, kaip mažesnį nežinomąjį pakeisti didesniu, prieš jį svarstydami, su studentais būtina išsiaiškinti tokį faktą: jei skaičius A yra didesnis už skaičių B C vienetais, tada Norint palyginti skaičius A ir B, būtina:
a) iš skaičiaus A atimkite skaičių C (tada abu skaičiai yra lygūs skaičiui B);
b) prie skaičiaus B pridėkite skaičių C (tada abu skaičiai yra lygūs skaičiui A).
Mokinių gebėjimas pakeisti didesnį nežinomąjį mažesniu ir atvirkščiai, dar labiau prisideda prie gebėjimo pasirinkti nežinomąjį ir per jį išreikšti kitus dydžius rengiant lygtį ugdymo.
2. Nežinomųjų palyginimas
Užduotis. Keturiose lentynose buvo 188 knygos. Antroje lentynoje knygų buvo 16 mažiau nei pirmoje, trečioje - 8 daugiau nei antroje, o ketvirtoje - 12 mažiau nei trečioje. Kiek knygų yra kiekvienoje lentynoje?
Užduočių analizė
Norėdami geriau suprasti priklausomybes tarp keturių nežinomų kiekių (knygų skaičiaus kiekvienoje lentynoje), naudojame schemą:
aš ______________________________________
II_____________________
III___________________________________
IV_______________________ _ _ _ _ _
Palyginus segmentus, kuriuose schematiškai pavaizduotas knygų skaičius kiekvienoje lentynoje, darome tokias išvadas: pirmoje lentynoje yra 16 knygų daugiau nei antroje; trečioje – 8 daugiau nei antroje; ketvirtoje - 12 - 8 = 4 (knygos) mažiau nei antroje. Todėl problemą galima išspręsti palyginus knygų skaičių kiekvienoje lentynoje. Norėdami tai padaryti, iš pirmos lentynos išimsime 16 knygų, iš trečiosios – 8, o į ketvirtą – 4 knygas. Tada visose lentynose bus tiek pat knygų, kaip ir antroje iš pradžių.
1) Kiek knygų yra visose lentynose po užduoties analizėje aprašytų operacijų?
188–16–8 + 4 = 168 (knygos)
2) Kiek knygų buvo antroje lentynoje?
168:4 = 42 (knygos)
3) Kiek knygų buvo pirmoje lentynoje?
42 + 16 = 58 (knygos)
4) Kiek knygų buvo trečioje lentynoje?
42 + 8 = 50 (knygos)
5) Kiek knygų buvo ketvirtoje lentynoje?
50–12 = 38 (knygos)
Atsakymas: Kiekvienoje iš keturių lentynų buvo po 58, 42, 50 ir 38 knygas.
komentuoti. Galite pasiūlyti studentams šią problemą išspręsti kitais būdais, jei palyginsime nežinomą skaičių knygų, kurios buvo pirmoje, antroje ar ketvirtoje lentynoje.
3. Dviejų sąlygų palyginimas atimant
Šia technika sprendžiamos problemos siužetas dažnai apima du proporcingus dydžius (prekių kiekis ir jo savikaina, darbuotojų skaičius ir jų atliktas darbas ir kt.). Sąlyga pateikia dvi vieno dydžio reikšmes ir kito dydžio dviejų skaitinių reikšmių skirtumą, proporcingą joms.
Užduotis. Už 4 kg apelsinų ir 5 kg bananų mokėjo 620 rublių, o kitą kartą už 4 kg apelsinų ir 3 kg bananų, nupirktų tomis pačiomis kainomis, mokėjo 500 rublių. Kiek kainuoja 1 kg apelsinų ir 1 kg bananų?
Trumpas sąlygos aprašymas:
4 kg programa. ir 5 kg draudimas. - 620 rublių,
4 kg programa. ir 3 kg draudimas. - 500 rublių.
1) Palyginkite dviejų pirkinių kainą. Ir pirmą, ir antrą kartą už tą pačią kainą įsigijo tiek pat apelsinų. Pirmą kartą jie mokėjo daugiau, nes pirko daugiau bananų. Pažiūrėkime, kiek kilogramų bananų buvo nupirkta daugiau pirmą kartą: 5 - 3 = 2 (kg).
2) Sužinokime, kiek jie sumokėjo daugiau pirmą kartą nei antrą kartą (tai yra, sužinosime, kiek kainavo 2 kg bananų): 620 - 500 = 120 (rublių).
3) Raskite 1 kg bananų kainą: 120: 2 = 60 (rubliai).
4) Žinodami pirmojo ir antrojo pirkinių savikainą, galime rasti 1 kg apelsinų kainą. Norėdami tai padaryti, pirmiausia randame pirktų bananų savikainą, tada apelsinų kainą, o tada 1 kg kainą. Mes turime: (620 - 60 * 5): 4 \u003d 80 (rubliai).
Atsakymas: 1 kg apelsinų kaina yra 80 rublių, o 1 kg bananų - 60 rublių.
4. Duomenų palyginimas
Šios technikos naudojimas leidžia palyginti duomenis ir taikyti atimties metodą. Galite palyginti duomenų reikšmes:
1) naudojant daugybą (lyginant juos su mažiausiu bendruoju kartotiniu);
2) naudojant padalijimą (lyginant juos su didžiausiais bendras daliklis).
Parodykime tai pavyzdžiu.
Užduotis. Už 4 kg apelsinų ir 5 kg bananų mokėjo 620 rublių, o kitą kartą už 6 kg apelsinų ir 3 kg bananų, nupirktų tomis pačiomis kainomis, mokėjo 660 rublių. Kiek kainuoja 1 kg apelsinų ir 1 kg bananų?
Trumpas sąlygos aprašymas:
4 kg programa. ir 5 kg draudimas. - 620 rublių,
6 kg programa. ir 3 kg draudimas. - 660 rublių.
Išlyginkime apelsinų ir bananų skaičių, palygindami juos su mažiausiu bendruoju kartotiniu: LCM(4;6) = 12.
1 sprendimas.
1) Padidinkime perkamų vaisių skaičių ir jų savikainą pirmuoju atveju 3 kartus, o antruoju - 2 kartus. Gauname tokį sąlygos sutrumpinimą:
12 kg programa. ir 15 kg draudimas. - 1860 rublių,
12 kg programa. ir 6 kg draudimas. - 1320 rublių.
2) Sužinokite, kiek daugiau bananų buvo nupirkta pirmą kartą: 15-6 = 9 (kg).
3) Kiek kainuoja 9 kg bananų? 1860 - 1320 = 540 (rubliai).
4) Raskite 1 kg bananų kainą: 540: 9 = 60 (rubliai).
5) Raskite 3 kg bananų kainą: 60 * 3 = 180 (rubliai).
6) Raskite 6 kg apelsinų kainą: 660 - 180 = 480 (rubliai).
7) Raskite 1 kg apelsinų kainą: 480: 6 = 80 (rubliai).
Sprendimas 2.
Išlyginkime apelsinų ir bananų skaičių, palygindami juos su didžiausiu bendruoju dalikliu: gcd (4; 6) = 2.
1) Kad išlygintume pirmą ir antrą kartą perkamų apelsinų skaičių, perkamų prekių kiekį ir jos savikainą pirmu atveju sumažiname 2 kartus, antruoju – 3 kartus. Paimkime užduotį, kurios būklės įrašas toks trumpas
2 kg programa. ir 2,5 kg draudimas. - 310 rublių,
2 kg programa. ir 1 kg draudimas. - 220 rublių.
2) Kiek dabar nuperkama daugiau bananų: 2,5 - 1 = 1,5 (kg).
3) Raskite, kiek kainuoja 1,5 kg bananų: 310 - 220 = 90 (rublių).
4) Raskite 1 kg bananų kainą: 90: 1,5 = 60 (rublių).
5) Raskite 1 kg apelsinų kainą: (660 - 60 * 3): 6 = 80 (rubliai).
Atsakymas: 1 kg apelsinų kaina yra 80 rublių, 1 kg bananų - 60 rublių.
Spręsdami problemas naudodami duomenų palyginimo metodą, tokios išsamios analizės ir įrašų galite nedaryti, o tik įrašyti atliktus pakeitimus palyginimui ir užrašyti juos lentelės pavidalu.
5. Kelių sąlygų sujungimas į vieną
Kartais jūs galite atsikratyti nereikalingų nežinomųjų, sujungę kelias sąlygas į vieną.
Užduotis. Turistai paliko stovyklą ir iš pradžių 4 valandas ėjo pėsčiomis, o po to dar 4 valandas tam tikru pastoviu greičiu važinėjo dviračiais ir pajudėjo 60 km nuo stovyklos. Antrą kartą jie paliko stovyklą ir iš pradžių 7 valandas važiavo dviračiais tuo pačiu greičiu, o po to pasuko į priešingą pusę ir 4 valandas judėdami pėsčiomis atsidūrė 50 km atstumu nuo stovyklos. Kaip greitai turistai važiavo dviračiais?
Problemoje yra du nežinomieji: greitis, kuriuo turistai važiavo dviračiais, ir greitis, kuriuo jie ėjo. Norėdami pašalinti vieną iš jų, galite sujungti dvi sąlygas į vieną. Tuomet turistų nuvažiuotas atstumas per 4 valandas, pirmą kartą žengiant į priekį pėsčiomis, yra lygus atstumui, kurį jie nukeliavo per 4 valandas, antrą kartą judant atgal. Todėl į šiuos atstumus nekreipiame dėmesio. Tai reiškia, kad atstumas, kurį turistai dviračiais įveiks per 4 + 7 =11 (valandų), bus 50 + 60 = 110 (km).
Tada dviračių turistų greitis: 110: 11 = 10 (km/h).
Atsakymas: Dviračiai važiuoja 10 km/h greičiu.
6. Priėmimo būdas
Prielaidos metodo naudojimas sprendžiant uždavinius daugumai mokinių nesukelia sunkumų. Todėl, kad studentai mechaniškai neįsimintų šio metodo žingsnių schemos ir nesuprastų su kiekvienu iš jų atliekamų veiksmų esmės, studentams pirmiausia turėtų būti parodytas bandomasis metodas („klaidinga taisyklė“ ir „klaidinga taisyklė“). senovės babiloniečiai“).
Taikant atrankos metodą, ypač "klaidingą taisyklę", vienam iš nežinomų dydžių suteikiama ("leidžiama") tam tikra reikšmė. Tada, naudodami visas sąlygas, jie suranda kito dydžio reikšmę. Gauta reikšmė lyginama su sąlygoje nurodyta. Jei gauta reikšmė skiriasi nuo pateiktosios sąlygoje, tai pirmoji nurodyta reikšmė neteisinga ir ją reikia padidinti arba sumažinti 1, o vėl randama kitos reikšmės reikšmė. Taigi reikia daryti tol, kol gausime kito dydžio reikšmę, pavyzdžiui, problemos sąlygoje.
Užduotis. Kasininkė turi 50 monetų po 50 kapeikų ir 10 kapeikų, viso 21 rublis. Atskirai sužinokite, kiek 50 000 monetų kasininkas turėjo. ir 10 tūkst.
1 sprendimas. (atrankos metodas)
Pasinaudokime „senųjų“ babiloniečių taisykle. Tarkime, kad kasininkas turi vienodas kiekvieno nominalo monetas, tai yra 25 vnt. Tada pinigų suma bus 50 * 25 + 10 * 25 \u003d 1250 + 250 \u003d 1500 (k.) arba 15 rublių. Bet esant 21 rubliui, ty daugiau nei gauta, 21 UAH - 15 rublių = 6 rubliai. Tai reiškia, kad reikia padidinti 50 kapeikų monetų skaičių ir sumažinti 10 kapeikų monetų skaičių, kol iš viso gausime 21 rublį. Monetų skaičiaus pokytį ir bendrą sumą įrašome į lentelę.
Monetų skaičius |
Monetų skaičius |
Pinigų suma |
Pinigų suma |
visas kiekis |
Mažiau arba didesnė nei sąlyga |
|
Mažiau nei 6 rubliai. |
||||||
Mažiau nei 5 rub.60 tūkst |
||||||
Kaip būklės |
Kaip matyti iš lentelės, kasininkė turėjo 40 monetų po 50 kapeikų ir 10 monetų po 10 kapeikų.
Kaip paaiškėjo 1 sprendime, jei kasininkas turėjo lygias 50 tūkst. ir po 10 tūkst., tada iš viso turėjo pinigų 15 rublių. Nesunku pastebėti, kad kiekvienas monetos pakeitimas yra 10 tūkst. už 50 tūkst monetą. padidina bendrą sumą 40 tūkst. Tai reiškia, kad reikia išsiaiškinti, kiek tokių pakeitimų reikia atlikti, tam pirmiausia surandame, kiek pinigų reikia padidinti bendrą sumą:
21 rub - 15 rub. = 6 rubliai. = 600 tūkst.
Raskime, kiek kartų reikia atlikti tokį pakeitimą: 600 k. : 40 k. = 15.
Tada po 50 tūkst. bus 25 +15 =40 (monetų), o liks 10 tūkst.
25 -- 15 = 10.
Patikrinimas patvirtina, kad bendra pinigų suma šiuo atveju yra 21 rublis.
Atsakymas: Kasininkė turėjo 40 monetų po 50 kapeikų ir 10 monetų po 10 kapeikų.
Kviečiame studentus rinktis skirtingos reikšmės 50 kapeikų monetų skaičių, būtina jas privesti prie minties, kad racionalumo požiūriu geriausia yra prielaida, kad kasininkė turėjo tik to paties nominalo monetas (pvz., visas 50 50 kapeikų ar visos 50 monetų po 10 k.). Dėl šios priežasties vienas iš nežinomųjų yra pašalinamas ir pakeičiamas kitu nežinomu.
7. Likučių metodas
Šis metodas turi tam tikrų panašumų su mąstymu sprendžiant problemas bandymų ir klaidų būdu. Likučių metodą naudojame sprendžiant judėjimo viena kryptimi uždavinius, ty kai reikia rasti laiką, per kurį pirmasis didesniu greičiu iš paskos judantis objektas pasivys antrąjį, turintį mažesnis greitis. Per 1 valandą pirmasis objektas priartėja prie antrojo atstumu, kuris yra lygus jų greičių skirtumui, tai yra, lygus greičio „likučiai“, kurį jis turi, palyginti su antrojo greičiu. Norint rasti laiką, per kurį pirmas objektas turi įveikti atstumą, kuris buvo tarp jo ir antrojo judėjimo pradžioje, reikia nustatyti, kiek kartų „likutis“ dedamas į šį atstumą.
Jei abstrahuosime nuo siužeto ir atsižvelgsime tik į matematinę problemos struktūrą, tai kalba apie du veiksnius (abiejų objektų judėjimo greitį) arba skirtumą tarp šių veiksnių ir dviejų produktų (atstumų, kuriuos jie įveikia) arba jų skirtumą. Nežinomi daugikliai (laikas) yra vienodi ir juos reikia rasti. Matematiniu požiūriu nežinomas veiksnys parodo, kiek kartų žinomų veiksnių skirtumas yra sandaugų skirtume. Todėl uždaviniai, kurie sprendžiami liekanų metodu, vadinami skaičių ieškant dviejų skirtumų uždaviniais.
Užduotis. Mokiniai nusprendė į albumą įklijuoti nuotraukas iš šventės. Jei kiekviename puslapyje jie priklijuos po 4 nuotraukas, albume neužteks vietos 20 nuotraukų. Jei kiekviename puslapyje priklijuosite 6 nuotraukas, 5 puslapiai liks laisvi. Kiek nuotraukų mokiniai ketina įdėti į albumą?
Užduočių analizė
Pirmojo ir antrojo klijavimo variantų nuotraukų skaičius išlieka toks pat. Pagal problemos būklę ji nežinoma, tačiau ją galima rasti, jei yra žinomas nuotraukų, kurios patalpintos viename puslapyje, ir puslapių skaičius albume.
Yra žinomas nuotraukų, kurios įklijuotos viename puslapyje, skaičius (pirmasis daugiklis). Albumo puslapių skaičius nežinomas ir lieka nepakitęs (antrasis daugiklis). Kadangi žinoma, kad antrą kartą 5 albumo puslapiai lieka laisvi, galite sužinoti, kiek dar nuotraukų galima įklijuoti į albumą: 6 * 5 = 30 (nuotraukų).
Taigi, padidinus nuotraukų skaičių viename puslapyje 6 - 4 = 2, įklijuotų nuotraukų skaičius padidėja 20 + 30 = 50.
Kadangi antrą kartą kiekviename puslapyje buvo įklijuotos dar dvi nuotraukos ir iš viso įklijuota dar 50 nuotraukų, albume randame puslapių skaičių: 50: 2 = 25 (p.).
Todėl iš viso buvo 4 * 25 + 20 = 120 nuotraukų.
Atsakymas: Albume buvo 25 puslapiai ir įklijuota 120 nuotraukų.
II skyrius. Mokyti moksleivius spręsti teksto aritmetinius uždavinius
Mokymus vedu sistemingo tekstinių uždavinių sprendimo metodų, nagrinėjant kiekvieną mokyklinio kurso temą.
2.1 Sąnarių judėjimo problemų sprendimas
Nuo 5 klasės mokiniai dažnai susiduria su šiomis problemomis. Taip pat į pradinė mokykla mokiniams suteikiama sąvoka „bendras greitis". Dėl to susidaro ne visai teisingos idėjos apie artėjimo greitį ir pašalinimo greitį (pradinėje mokykloje tokios terminijos nėra).Dažniausiai sprendžiant problemą mokiniai randa sumą. Šias problemas geriausia pradėti spręsti įvedus sąvokas: „artėjimo greitis“, „pašalinimo greitis“. Aiškumo dėlei galite naudoti rankų judesius, paaiškindami, kad kūnai gali judėti viena kryptimi ir skirtingomis kryptimis. Abiem atvejais gali būti artėjimo greitis ir pašalinimo greitis, tačiau skirtingais atvejais jie randami skirtingais būdais. Po to mokiniai užrašo šią lentelę:
1 lentelė.
Priartėjimo ir pašalinimo greičio nustatymo metodai
Analizuojant problemą, pateikiami šie klausimai
1. Rankų judesiais išsiaiškiname, kaip kūnai juda vienas kito atžvilgiu (viena kryptimi, skirtingomis).
2. Išsiaiškiname, koks veiksmas yra greitis (sudėti, atimti).
3. Nustatykite, koks tai greitis (privažiavimas, pašalinimas).
Užsirašykite problemos sprendimą.
Pavyzdys Nr. 1. Iš miestų A ir B, kurių atstumas yra 600 km, tuo pačiu metu vienas prieš kitą paliekamas sunkvežimis ir lengvasis automobilis. Lengvojo automobilio greitis siekia 100 km/h, o sunkvežimio – 50 km/h. Po kiek valandų jie susitiks?
Mokiniai rankomis parodo, kaip juda automobiliai, ir daro tokias išvadas:
a. automobiliai juda skirtingomis kryptimis;
b. greitis bus rastas pridedant;
in. kadangi jie juda vienas kito link, toks yra artėjimo greitis.
1. 100 + 50 = 150 (km/h) – uždarymo greitis.
2. 600: 150 = 4 (h) – judėjimo laikas prieš susirinkimą.
Atsakymas: po 4 val.
2 pavyzdys. Vyras ir berniukas vienu metu išėjo iš namų į vasarnamį ir eina tuo pačiu keliu. Vyro greitis siekia 5 km/h, o berniuko – 3 km/h. Kokiu atstumu jie bus vienas nuo kito po 3 valandų?
Rankų judesių pagalba išsiaiškiname:
a. berniukas ir vyras juda ta pačia kryptimi;
b. greitis yra skirtumas;
in. vyras eina greičiau, t.y., tolsta nuo berniuko (pašalinimo greitis).
1. 5 - 3 \u003d 2 (km / h) - pašalinimo greitis.
2. 2 * 2 \u003d 4 (km / h) - atstumas tarp vyro ir berniuko po 2 valandų
Atsakymas: 4 km.
2.2 Užduotys, išspręstos naudojant lenteles
Ruošdamiesi spręsti tokias problemas, galite sėkmingai naudoti signalų žemėlapius.
Skaičiavimas žodžiu turėtų būti atliekamas naudojant kiekvieno mokinio kortelės duomenis, kurie leidžia į darbą įtraukti visą klasę.
1 pavyzdys. Pirmasis berniukas turi 5 balais daugiau nei antrasis. Kaip sužinoti, kiek antspaudų turi antrasis?
Mokiniai pakelia kortelės numerį 1 ir paaiškina, kad prie pirmosios skaičiaus reikia pridėti 5, nes ji turi dar 5, akcentuojant intonaciją „pagal ... daugiau“.
2 pavyzdys. Antrasis berniukas turi 30 balų, o pirmasis - 3 kartus mažiau. Kiek pašto ženklų turi pirmasis berniukas?
Mokiniai turėtų laikyti 4 kortelę ir atsakyti: 10 balų, nuo 30:3 \u003d 10. Pagalbiniai žodžiai – „per... mažiau“.
Skaičiavimo žodžiu užduočių pasirinkimas turėtų būti įvairus, tačiau kiekvieną kartą mokinys turi paaiškinti, įvardydamas pagrindinius žodžius. Lentelėje geriau pabraukti pagrindinius žodžius.
3 pavyzdys. Raitelis 80 km įveikė per 5 valandas. Kiek laiko dviratininkas praleis šiame kelyje, jei jo greitis yra 24 km/h didesnis už motociklininko greitį?
Pildydamas lentelę, mokinys turi pabraukti pagrindinius žodžius ir paaiškinti, kad dviratininko greitis randamas pridedant 16 km/h ir 24 km/h. Tada, nustatydami funkcinį ryšį tarp reikšmių, mokiniai užpildo visas lentelės eilutes ir stulpelius. Po to, priklausomai nuo užduoties, mokinys arba atsako į klausimą, arba parengia sprendimą. Dirbdamas su lentele studentas turi suprasti, kad sprendžiant uždavinį visos eilutės ir stulpeliai turi būti užpildyti uždavinio duomenimis ir duomenimis, kurie atsiranda naudojant funkcinį ryšį tarp dydžių.
2.3. Skaičiaus dalies ir skaičiaus pagal dalį suradimo uždavinių sprendimas
Norint pasiruošti šių problemų sprendimui, vyksta trupmenos sampratos įsisavinimas. Skaičiuojant žodžiu, būtina užtikrinti, kad kiekvienas mokinys žinotų: a. kokį veiksmą rodo trupmeninė juosta;
b. o tai reiškia trupmeną.
Trupmeninė linija rodo padalijimo veiksmą, o trupmena 3/4 rodo, kad duota buvo padalinta į 4 lygias dalis ir paimtos 3 dalys. Tam pravartu naudoti vokus, kuriuos visi mokiniai ruošia padedami tėvų. Apskritimai įdėti į vokus: sveiki, perpjauti per pusę, į 3 lygias dalis, į 4; 6; 8 dalys. Kiekviena vieno rato dalis yra tos pačios spalvos. Naudodamiesi šia medžiaga mokiniai vizualiai mato, kaip gaunamos trupmenos.
Pavyzdžiui. Išdėstykite figūrą, vaizduojančią 5/6 trupmeną. Žinodamas dalelių spalvas, mokytojas mato mokinių padarytas klaidas ir analizuoja užduotį. Atsakydamas mokinys sako, kad apskritimas buvo padalintas iš 6 lygiomis dalimis ir paėmė 5 tokias dalis.
Tokių vokų buvimas leidžia vizualizuoti trupmenų su tais pačiais vardikliais pridėjimą ir trupmenos atėmimą iš vieneto. Kadangi visi mokiniai dalyvauja darbe, o pridėjimas yra aiškiai matomas, po dviejų pavyzdžių patys mokiniai suformuluoja trupmenų su tais pačiais vardikliais sudėjimo taisyklę.
Apsvarstykite atimtį. Iš 1 atimkite 1/4. Mokiniai ant stalo padeda ratą, bet pastebi, kad nuo jo dar nieko negalima nuimti. Tada jie siūlo supjaustyti apskritimą į 4 lygias dalis ir pašalinti vieną. Darome išvadą, kad 1 turi būti pakeista trupmena 4/4. Po 2-3 pavyzdžių mokiniai padaro savo išvadas.
Naudojant šią medžiagą, pateikiama pagrindinės trupmenos savybės samprata, kai jie priskiria 2/6 trupmenai 1/3 ir tt. Išdirbę šią medžiagą, imamės spręsti uždavinius.
1 pavyzdys. Sode auga 120 medžių. Beržai sudaro 2/3 visų medžių, o likusi dalis yra pušys. Kiek pušų buvo?
Klausimas: ką reiškia trupmena 2/3?
Atsakymas: Visas medžių skaičius buvo padalintas į 3 lygias dalis, o beržai sudaro 2 dalis.
40 * 2 \u003d 80 (kaimas) - buvo beržų.
120 - 80 \u003d 40 (kaimas) - buvo pušų.
II būdas:
120: 3 = 40 (der.) - sudaryti vieną dalį.
3 - 2 \u003d 1 (dalis) - pušys.
40 * 1 \u003d 40 (kaimas) - pušys.
...Panašūs dokumentai
Mokyti vaikus matematikos pamokose rasti būdą, kaip išspręsti tekstinį uždavinį. Aritmetinių uždavinių vaidmuo pradiniame matematikos kurse. Sąnario judėjimo uždavinių sprendimas, skaičiaus dalies ir skaičiaus po dalis radimas, procentai, bendram darbui.
baigiamasis darbas, pridėtas 2008-05-28
Darbo formų charakteristikos jaunesniųjų klasių moksleiviai matematikos pamokose. Įvairių darbo formų panaudojimas sprendžiant tekstinę problemą. Tekstinių uždavinių sprendimas pradinėje mokykloje. Moksleivių gebėjimų spręsti problemas formavimo lygio diagnostika.
baigiamasis darbas, pridėtas 2010-04-09
Tekstinės problemos samprata ir jos vaidmuo matematikos eigoje. Tekstinių uždavinių sprendimo būdai. Sudėtinių proporcinio skirstymo uždavinių sprendimo mokymo metodai. Mokymasis spręsti judėjimo problemas. Studentų gebėjimų lygio sprendžiant sudėtines problemas nustatymas.
Kursinis darbas, pridėtas 2010-08-20
Mokymų užduočių klasifikacija ir funkcijos. Metodiniai ypatumai sprendžiant nestandartines užduotis. Tekstinių uždavinių ir uždavinių su parametrais sprendimo ypatybės. Lygčių ir nelygybių sprendimo technika. Pedagoginis eksperimentas ir rezultatų analizė.
baigiamasis darbas, pridėtas 2010-02-24
Algebrinio tekstinių uždavinių sprendimo metodo esmė. Būdingos mokytojo metodinės klaidos dirbant su jomis. Tekstinių uždavinių sprendimas algebrinis metodas pagal G.G. Levitas ir V. Lebedevas. Jų sprendimo mokymo metodikos praktinio taikymo analizė.
Kursinis darbas, pridėtas 2010-09-30
Pradinėje mokykloje sprendžiamų tekstinių užduočių ypatumai. Metodinės technikos mokant moksleivius spręsti tekstinius uždavinius naudojant grafinį modeliavimą. Gebėjimo identifikuoti problemos tipą ir jos sprendimo būdą formavimo lygio tyrimas.
Kursinis darbas, pridėtas 2019-05-04
Problemos samprata ir jos sprendimas. Užduočių sprendimas išryškinant matematinio modeliavimo etapus. Analitinio-sintetinio samprotavimo vaidmuo formuojant įgūdžius spręsti algebriniu būdu. Matematinių modelių sudarymo įgūdžių formavimo užduotys.
baigiamasis darbas, pridėtas 2011-04-23
Kompetencijos ir kompetencijos sąvokos. Požiūriai į kompetencijomis grįsto požiūrio įgyvendinimą mokykloje. Pagrindinių ugdymosi kompetencijų klasifikacija ir turinys. Pagrindinės kompetencijos matematikos pamokose 5-6 kl. Kompetencijų formavimo pavyzdžiai.
baigiamasis darbas, pridėtas 2009-06-24
„Teksto užduoties“ samprata ir jos struktūra. Tekstinių uždavinių sprendimo procesas. Metodiniai metodai, naudojami mokant sprendimą. Studentų apibendrintų įgūdžių formavimas. Atlikite tekstinę užduotį naudodami sąsiuvinius su spausdintu pagrindu.
kursinis darbas, pridėtas 2012-03-16
Aritmetinių uždavinių svarba psichinis vystymasis vaikai. Matematinių problemų tipai ir jų klasifikacija. Vaikų užduočių esmės įsisavinimo ypatumai. Ikimokyklinukų mokymo spręsti problemas metodai ir etapai. Vaikų sudaryti aritmetiniai uždaviniai.
Bendrosios pastabos apie uždavinių sprendimą aritmetiniu metodu.
Nežinomybių radimo užduotys pagal veiksmų rezultatus.
Proporcinio padalijimo užduotys.
Procentų ir dalių užduotys.
Užduotys sprendžiamos atvirkščiai.
1. Aritmetinis metodas yra pagrindinis tekstinių uždavinių sprendimo būdas pradinėje mokykloje. Jis randa savo pritaikymą vidurinėje nuorodoje vidurinė mokykla. Šis metodas leidžia geriau suprasti ir įvertinti kiekvieno užduoties darbo etapo svarbą ir reikšmę.
Kai kuriais atvejais uždavinio sprendimas aritmetiniu metodu yra daug paprastesnis nei kitais metodais.
Papirkinėdamas savo paprastumu ir prieinamumu, aritmetinis metodas yra gana sudėtingas, o įvaldyti uždavinių sprendimo būdus šiuo metodu reikalauja rimto ir kruopštaus darbo. Didelė problemų tipų įvairovė neleidžia susidaryti universalaus požiūrio į problemų analizę, būdo jas išspręsti: problemos, net ir sujungtos į vieną grupę, turi visiškai skirtingus sprendimo būdus.
2 . Dėl užduočių Nežiniųjų radimas pagal jų skirtumą ir santykį apima problemas, kuriose reikia rasti šias reikšmes iš žinomo skirtumo ir dviejų tam tikro dydžio verčių koeficiento.
Algebrinis modelis:
Atsakymas pateikiamas pagal formules: X= ak / (k - 1), y \u003d a / (k - 1).
Pavyzdys. Greitojo traukinio antros klasės vagonuose yra 432 keleiviais daugiau nei kupė. Kiek keleivių yra rezervuotose sėdynėse ir kupė automobiliuose atskirai, jei salonuose yra 4 kartus mažiau keleivių nei rezervuotų vietų?
Sprendimas. Grafinis problemos modelis parodytas fig. keturi.
Ryžiai. keturi
Keleivių skaičius vagonuose bus laikomas 1 dalimi. Tada galite sužinoti, kiek dalių yra keleivių skaičiui antros klasės automobiliuose, o tada kiek dalių yra 432 keleiviams. Po to galite nustatyti keleivių skaičių, kuris sudaro 1 dalį (esančių kupė automobiliuose). Žinodami, kad antros klasės vagonuose yra 4 kartus daugiau keleivių, surandame jų skaičių.
1 4 \u003d 4 (h) - keleivių, esančių rezervuotų vietų automobiliuose, sąskaitos;
4 - 1 \u003d 3 (valandos) - priklauso skirtumui tarp keleivių skaičiaus rezervuotose sėdynėse ir salonuose;
432: 3 = 144 (p.) - skyriniuose automobiliuose;
144 4 \u003d 576 (p.) - rezervuotų vietų automobiliuose.
Šią problemą galima patikrinti sprendžiant kitu būdu, būtent:
1 4 \u003d 4 (h);
4-1 = 3 (h);
432: 3 = 144 (p.);
144 + 432 = 576 (p.).
Atsakymas: salonuose yra 144 keleiviai, 576 rezervuotose vietose.
Dėl užduočių nežiniųjų radimas dviem ar dviem liekanomis skirtumus, apima uždavinius, kuriuose nagrinėjami du tiesiogiai arba atvirkščiai proporcingi dydžiai, kad būtų žinomos dvi vieno dydžio reikšmės ir kito dydžio atitinkamų dydžių skirtumas, ir reikia rasti pačios šio kiekio reikšmės.
Algebrinis modelis:
Atsakymai randami pagal formules:
Pavyzdys. Du traukiniai važiavo vienodu greičiu – vienas 837 km, kitas 248 km, o pirmasis buvo kelyje 19 valandų ilgiau nei antrasis. Kiek valandų važiavo kiekvienas traukinys?
Sprendimas. Grafinis užduoties modelis parodytas 5 pav.
Ryžiai. 5
Norint atsakyti į problemos klausimą, kiek valandų važiavo tas ar kitas traukinys, reikia žinoti jo nuvažiuotą atstumą ir greitį. Atstumas nurodytas sąlygoje. Norėdami sužinoti greitį, turite žinoti atstumą ir laiką, kurio prireikė tam atstumui įveikti. Sąlyga sako, kad pirmasis traukinys važiavo 19 valandų ilgiau, o per šį laiką juo nuvažiuotą atstumą galima sužinoti. Jis nuėjo papildomai 19 valandų – akivaizdu, kad per tą laiką nuėjo papildomą atstumą.
837 - 248 \u003d 589 (km) - pirmasis traukinys nuvažiavo tiek kilometrų daugiau;
589: 19 = 31 (km/h) – pirmojo traukinio greitis;
837: 31 = 27 (h) - pirmasis traukinys buvo pakeliui;
4) 248: 31 = 8 (h) – antrasis traukinys buvo pakeliui.
Patikrinkime uždavinio sprendimą, nustatydami duomenų ir skaičių, gautų sprendžiant uždavinį, atitiktį.
Sužinoję, kiek laiko buvo pakeliui kiekvienas traukinys, sužinome, kiek valandų pirmasis traukinys buvo kelyje daugiau nei antrasis: 27 - 8 \u003d 19 (h). Šis skaičius atitinka nurodytą sąlygoje. Todėl problema išspręsta teisingai.
Šią problemą galima patikrinti sprendžiant ją kitu būdu. Visi keturi klausimai ir pirmieji trys veiksmai išlieka tie patys.
4) 27–19 = 8 (valandos).
Atsakymas: pirmasis traukinys buvo kelyje 31 val., antrasis – 8 val.
Užduotys ieškant trijų nežinomųjų už tris šių nežinomųjų sumas, paimtos poromis:
Algebrinis modelis:
Atsakymas pateikiamas pagal formules:
x =(a -b + c)/2, y = (a +b – c)/2, z = (b + Su -a)/ 2.
Pavyzdys. Anglų ir vokiečių kalbos Vokiečių ir ispanų kalbos mokosi 116, anglų ir ispanų – 46, anglų ir ispanų – 90 studentų. Kiek studentų atskirai mokosi anglų, vokiečių ir ispanų, jei žinoma, kad kiekvienas studentas mokosi tik vieną kalbą?
Sprendimas. Grafinis užduoties modelis parodytas 6 pav.
Kiek mokinių mokosi kiekvienos kalbos?
Grafinis uždavinio modelis rodo: susumavus sąlygoje pateiktą moksleivių skaičių (116 + 90 + 46), gautume dvigubai daugiau moksleivių, besimokančių anglų, vokiečių ir ispanų kalbomis. Padalinę jį iš dviejų, randame bendrą mokinių skaičių. Sužinoti besimokančių studentų skaičių Anglų kalba, pakanka iš šio skaičiaus atimti vokiečių ir ispanų kalbos mokinių skaičių. Panašiai randame likusius norimus skaičius.
Užrašykime sprendimą dėl veiksmų su paaiškinimais:
116 + 90 + 46 = 252 (mokykloje) - dvigubai daugiau mokinių, mokančių kalbas;
252: 2 = 126 (mokykla) - mokytis kalbų;
126 - 46 = 80 (mokykloje) - mokytis anglų kalbos;
126 - 90 = 36 (mokykloje) - mokytis vokiečių kalbos;
126 - 116 = 10 (mokykla) - mokykitės ispanų kalbos.
Šią problemą galima patikrinti sprendžiant ją kitu būdu.
116 – 46 = 70 (mokykloje) – tiek daugiau mokinių mokosi anglų kalbos nei ispanų;
90 + 70 = 160 (mokykloje) – dvigubai daugiau mokinių, besimokančių anglų kalbą;
160: 2 = 80 (mokykloje) - mokytis anglų kalbos;
90 - 80 = 10 (mokykloje) - išmok ispanų kalbos;
116 - 80 = 36 (mokykla) - mokykis vokiečių kalbos.
Atsakymas: anglų kalbos mokosi 80, vokiečių – 36, ispanų – 10 studentų.
3. Proporcinio padalijimo uždaviniai apima uždavinius, kai tam tikro dydžio tam tikrą reikšmę reikia padalyti į dalis proporcingai duotiesiems skaičiams. Kai kuriose iš jų dalys pateikiamos aiškiai, o kitose šios dalys turi būti atskirtos paimant vieną iš šio kiekio reikšmių vienai daliai ir nustatant, kiek tokių dalių patenka į kitas jo vertes.
Yra penkių tipų proporcinio padalijimo užduotys.
1) Užduotys, skirtos skaičiui padalyti į dalis, tiesiogiaiproporcinga sveikųjų arba trupmeninių skaičių serijai
Į užduotis šio tipoįtraukti užduotis, kuriose skaičius BET X 1, X 2 , x 3,..., X n tiesiogiai proporcingi skaičiams a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n .
Algebrinis modelis:
Atsakymas pateikiamas pagal formules:
Pavyzdys. Kelionių kompanija turi keturis poilsio centrus, kuriuose yra tokio pat pajėgumo pastatai. 1-ojo poilsio centro teritorijoje yra 6 pastatai, 2-asis - 4 korpusai, 3-asis - 5 korpusai, 4-asis - 7 korpusai. Kiek poilsiautojų gali būti apgyvendinta kiekvienoje bazėje, jei visose 4 bazėse telpa 2112 žmonių?
Sprendimas. Užduoties santrauka parodyta 7 paveiksle.
Ryžiai. 7
Norint atsakyti į problemos klausimą, kiek poilsiautojų gali būti apgyvendinta kiekvienoje bazėje, reikia žinoti, kiek poilsiautojų galima apgyvendinti viename pastate ir kiek pastatų yra kiekvienos bazės teritorijoje. Korpusų skaičius ant kiekvieno pagrindo nurodytas būklėje. Norint sužinoti kiek poilsiautojų galima apgyvendinti viename pastate, reikia žinoti kiek poilsiautojų gali apgyvendinti visose 4 bazėse (tai nurodyta sąlygoje) ir kiek pastatų yra visų 4 bazių teritorijoje. Pastarąjį galima nustatyti iš būklės žinant, kiek pastatų yra kiekvienos bazės teritorijoje.
Užrašykime sprendimą dėl veiksmų su paaiškinimais:
6 + 4 + 5 + 7 = 22 (c.) - yra 4 bazių teritorijoje;
2112: 22 = 96 (val.) - galima apgyvendinti viename pastate;
96 6 \u003d 576 (h) - gali būti dedamas ant pirmos bazės;
96 4 \u003d 384 (h) - gali būti dedamas ant antrojo pagrindo;
96 5 \u003d 480 (h) - gali būti dedamas ant trečio pagrindo;
96 7 \u003d 672 (h) - gali būti dedamas ant ketvirto pagrindo.
Apžiūra. Skaičiuojame, kiek poilsiautojų galima apgyvendinti 4 bazėse: 576 + 384 + 480 + 672 = 2 112 (val.). Nėra jokio neatitikimo su problemos būkle. Problema išspręsta teisingai.
Atsakymas: pirmoje bazėje gali apsistoti 576 poilsiautojai, antroje – 384 poilsiautojai, trečioje – 480 poilsiautojų, ketvirtoje – 672 poilsiautojai.
2) Uždaviniai, kaip padalyti skaičių į dalis, atvirkščiai proporcingą sveikųjų arba trupmeninių skaičių sekai
Tai apima užduotis, kuriose numeris BET(tam tikro kiekio vertė) turi būti padalintas į dalis x 1 i , x 2 , x 3 i , ..., X" atvirkščiai proporcingas skaičiams a 1b a 2 , a 3 ,..., a n .
Algebrinis modelis:
arba
x 1 : x 2 :X 3 :...:х„ = a 2 a 3 ...a n :a 1 a 3 ...a P :a 1 a 2 a 4 ...a n :...:a 1 a 2 ...a n -1
Atsakymas pateikiamas pagal formules:
kur S = a 2 a 3 ...a „+a l a i ... a n + a ] a 2 a 4 ...a n + ... + a 1 a 2 ...a n -1.
Pavyzdys. Keturis mėnesius kailių fermos pajamos iš kailių pardavimo siekė 1 925 000 rublių, o mėnesiams gauti pinigai buvo paskirstyti atvirkščiai proporcingai skaičiams 2, 3, 5, 4. Kokios yra ūkio pajamos m. kiekvieną mėnesį atskirai?
Sprendimas. Sąlygoje įvardintoms pajamoms nustatyti pateikiamos bendros keturių mėnesių pajamos, tai yra keturių reikiamų skaičių suma, taip pat reikiamų skaičių santykis. Norimos pajamos yra atvirkščiai proporcingos skaičiams 2, 3, 5, 4.
Pažymėti norimos pajamos atitinkamai per x, X 2 , X 3 , X 4 . Tada problemą galima trumpai parašyti, kaip parodyta 8 paveiksle.
Ryžiai. aštuoni
Žinodami dalių, kurios patenka į kiekvieną norimą skaičių, skaičių, randame dalių, kurios yra jų sumoje, skaičių. Iš duotų bendrų keturių mėnesių pajamų, tai yra iš norimų skaičių sumos ir šioje sumoje esančių dalių skaičiaus, sužinome vienos dalies vertę, o tada norimas pajamas.
Užrašykime sprendimą dėl veiksmų su paaiškinimais:
1. Norimos pajamos yra atvirkščiai proporcingos skaičiams 2, 3, 5, 4, tai reiškia, kad jos yra tiesiogiai proporcingos skaičiams, atvirkščiai, duomenims, tai yra, yra santykiai . Šiuos trupmeninių skaičių ryšius pakeičiame sveikųjų skaičių santykiais:
2. Žinant tai X yra 30 lygių dalių, X 2 – 20, X 3 – 12, X 4 – 15, suraskite, kiek dalių yra jų sumoje:
30 + 20 + 12 + 15 = 77 (valandos).
3. Kiek rublių už dalį?
1 925 000: 77 = 25 000 (r.).
4. Kokios yra ūkio pajamos pirmąjį mėnesį?
25 000 30 = 750 000 (r.).
5. Kokios ūkio pajamos antrą mėnesį?
25 000 20 = 500 000 (r.).
6. Kokios yra ūkio pajamos trečią mėnesį?
25 000–12 = 300 000 (p.).
7. Kokios yra ūkio pajamos ketvirtą mėnesį?
25 000–15 = 375 000 (p.).
Atsakymas: pirmą mėnesį ūkio pajamos buvo 750 000 rublių, antrą - 500 000 rublių, trečią - 300 000 rublių, ketvirtą - 375 000 rublių.
3) Skaičiaus padalijimo į dalis užduotys, kai kiekvienai norimų skaičių porai pateikiami atskiri santykiai
Šio tipo užduotys apima tas užduotis, kuriose numeris BET(tam tikro kiekio vertė) turi būti padalintas į dalis x 1, X 2 , x 3, ..., X", kai pateikiami norimų skaičių koeficientai, paimti poromis. Algebrinis modelis:
x 1: X 2 = a 1 : b 1, X 2 : X 3 = a 2 : b 2, x 3 : X 4 = a 3 : b 3 , ..., X n-1 : X n = a n -1 : b n-1 .
n = 4. Algebrinis modelis:
X X :X 2 = a 1 : b 1, X 2 :X 3= a 2 : b 2, X 3 : X 4 = 3: b 3 .
Taigi, X 1: X 2 : x 3: X 4 = a 1 a 2 a 3 : b 1 a 2 a 3 : b 1 b 2 a 3 : b 1 b 2 b 3 .
kur S = a 1 a 2 a 3 + b 1 a G a 3 + b 1 b 2 a 3 + b 1 b 2 b 3
Pavyzdys. Trijuose miestuose gyvena 168 000 gyventojų. Pirmojo ir antrojo miestų gyventojų skaičius yra santykis , o antrasis ir trečiasis miestai - atsižvelgiant į . Kiek gyventojų kiekviename mieste?
Sprendimas. Norimą gyventojų skaičių pažymėkime atitinkamai per X 1 , X 2 , X 3 . Tada problemą galima trumpai parašyti, kaip parodyta 9 paveiksle.
Ryžiai. 9
Gyventojų skaičiui nustatyti pateikiami trijų miestų gyventojų skaičiai, tai yra trijų norimų skaičių suma, taip pat individualūs ryšiai tarp norimų skaičių. Šiuos santykius pakeitę daugybe rodiklių, trijų miestų gyventojų skaičių išreiškiame lygiomis dalimis. Žinodami dalių, kurios patenka į kiekvieną norimą skaičių, skaičių, randame dalių, kurios yra jų sumoje, skaičių. Iš nurodyto bendro gyventojų skaičiaus trijuose miestuose, tai yra iš norimų skaičių sumos ir šioje sumoje esančių dalių skaičiaus, sužinome vienos dalies vertę, o tada norimą gyventojų skaičių.
Užrašykime sprendimą dėl veiksmų su paaiškinimais.
1. Trupmeninių skaičių santykį pakeičiame sveikųjų skaičių santykiu:
Antrojo miesto gyventojų skaičiui priskiriamas skaičius 15 (mažiausias skaičių 3 ir 5 bendras kartotinis).
Atitinkamai pakeiskite gautą ryšį:
X 1: X 2 \u003d 4: 3 \u003d (4–5): (3–5) \u003d 20: 15, x 2: x 3 \u003d 5: 7 \u003d (5–3): (7–3) \u003d 15:21.
Iš individualių santykių sudarome keletą santykių:
X 1: X 2 : X 3 = 20: 15: 21.
2. 20 + 15 + 21 \u003d 56 (h) - tiek lygių dalių atitinka skaičių 168 000;
3. 168 000: 56 \u003d 3 000 (f.) - sudaro vieną dalį;
4. 3 000 20 = 60 000 (moteris) – pirmame mieste;
5. 3 000 15 = 45 000 (moteris) – antrame mieste;
3 000 21 = 63 000 (moteris) – trečiame mieste.
Atsakymas: 60 000 gyventojų; 45 000 gyventojų; 63 000 gyventojų.
4) Užduotys, kaip padalinti skaičių į dalis proporcingai dviejų, trijų ir tt skaičių eilėms
Tokio tipo problemos apima problemas, kuriose numeris BET(tam tikro kiekio vertė) turi būti padalintas į dalis X 1, X 2 , X 3 ,..., X n proporcingai du, trys, ..., N skaičių eilės.
Dėl sudėtingų problemos sprendimo formulių bendras vaizdas Panagrinėkime ypatingą atvejį, kai n = 3 ir N = 2. Leisti X 1 X 2 , X 3 tiesiogiai proporcingi skaičiams a 1 , a 2 , a 3 ir atvirkščiai proporcingas skaičiams b 1 , b 2 , b 3 .
Algebrinis modelis:
(žr. šios pastraipos 1 punktą),
Pavyzdys. Du darbininkai gavo 1800 rublių. Vienas dirbo 3 dienas po 8 valandas, kitas 6 dienas po 6 valandas.Kiek uždirbo kiekvienas, jei už 1 valandą darbo gavo vienodai?
Sprendimas. Užduoties santrauka parodyta 10 pav.
Ryžiai.10
Norint sužinoti, kiek kiekvienas darbuotojas gavo, reikia žinoti, kiek rublių buvo sumokėta už 1 darbo valandą ir kiek valandų dirbo kiekvienas darbuotojas. Norėdami sužinoti, kiek rublių buvo sumokėta už 1 darbo valandą, turite žinoti, kiek jie sumokėjo už visą darbą (nurodyta sąlygoje) ir kiek valandų abu darbuotojai dirbo kartu. Norėdami sužinoti bendrą dirbtų valandų skaičių, turite žinoti, kiek valandų dirbo kiekvienas, o tam reikia žinoti, kiek dienų dirbo ir kiek valandų per dieną. Ši informacija įtraukta į sąlygą.
Užrašykime sprendimą dėl veiksmų su paaiškinimais:
8 3 \u003d 24 (h) - dirbo pirmasis darbuotojas;
6 6 \u003d 36 (h) - antrasis darbuotojas dirbo;
24 + 36 = 60 (val.) - abu darbuotojai dirbo kartu;
1800: 60 = 30 (p.) - darbuotojai gauna už 1 darbo valandą;
30 24 \u003d 720 (p.) - pirmasis uždirbtas darbuotojas;
30 36 \u003d 1080 (p.) - uždirbo antrasis darbuotojas. Atsakymas: 720 rublių; 1080 rublių
5) Kelių skaičių radimo užduotyspagal jų santykius ir sumą arba skirtumą (kai kurių iš jų sumą arba skirtumą)
Pavyzdys. Mokyklos administracija žaidimų aikštelei, šiltnamiui ir sporto salei įrengti išleido 49 000 rublių. Žaidimų aikštelės įranga kainuoja perpus pigiau nei šiltnamiai, o šiltnamiai – 3 kartus pigiau nei sporto salė ir žaidimų aikštelė kartu. Kiek pinigų buvo išleista kiekvienam iš šių įrenginių įrengti?
Sprendimas. Užduoties santrauka parodyta 11 pav.
Ryžiai. vienuolikaNorint sužinoti, kiek pinigų buvo išleista kiekvieno objekto įrangai, reikia žinoti, kiek dalių visų išleistų pinigų buvo kiekvieno objekto įrangai ir kiek rublių sudarė kiekviena dalis. Kiekvieno objekto įrangai išleistų pinigų dalių skaičius nustatomas pagal problemos būklę. Atskirai nustatę kiekvieno objekto įrangos dalių skaičių ir suradę jų sumą, apskaičiuojame vienos dalies vertę (rubliais).
Užrašykime sprendimą dėl veiksmų su paaiškinimais.
Priimame kaip 1 dalį pinigų, išleistų žaidimų aikštelės įrangai. Šiltnamio įrangai pagal būklę išleista 2 kartus daugiau, tai yra 1 2 = 2 (valandos); Žaidimų aikštelės ir sporto salės įrangai buvo išleista 3 kartus daugiau nei šiltnamiui, tai yra 2 3 = 6 (val.), todėl sporto salės įrangai buvo išleista 6 - 1 = 5 (val.).
1 dalis išleista žaidimų aikštelės įrengimui, 2 dalys šiltnamiams, 5 dalys sporto salei. Visas suvartojimas buvo 1 + 2 + + 5 = 8 (valandos).
8 dalys yra 49 000 rublių, viena dalis yra 8 kartus mažesnė už šią sumą: 49 000: 8 \u003d 6 125 (r.). Vadinasi, žaidimų aikštelės įrangai buvo išleista 6125 rubliai.
Šiltnamio įrangai išleista 2 kartus daugiau: 6 125 2 = 12 250 (r.).
Sporto salės įrangai išleistos 5 dalys: 6 125 5 = 30 625 (r.).
Atsakymas: 6 125 rubliai; 12 250 rublių; 30 625 rubliai
6) Užduotys pašalinti vieną iš nežinomųjų
Šios grupės problemos apima problemas, kuriose pateikiamos dviejų produktų su dviem pasikartojančiais koeficientais sumos ir reikia rasti šių veiksnių reikšmes. Algebrinis modelis
Atsakymas pateikiamas pagal formules:
Šios užduotys sprendžiamos duomenų koregavimo metodu, duomenų ir norimų koregavimo būdu, duomenų pakeitimo būdu, taip pat vadinamuoju „spėjimo“ metodu.
Pavyzdys. Drabužių fabrike 24 paltams ir 45 kostiumams sunaudota 204 m audinio, 24 paltams ir kostiumų 30 – 162 m. Kiek audinio sunaudojama vienam kostiumui ir kiek vienam paltui?
Sprendimas. Išspręskime problemą duomenų išlyginimo būdu. Trumpas užduoties aprašymas.
Mokymasis spręsti tekstinius uždavinius vaidina svarbų vaidmenį formuojant matematines žinias. Tekstinės užduotys suteikia daug erdvės mokinių mąstymui lavinti. Problemų sprendimo mokymai – tai ne tik teisingų atsakymų kai kuriose tipinėse situacijose gavimo technikos mokymas, bet kūrybiško požiūrio į sprendimus mokymas, protinės veiklos patirties įgijimas ir matematikos galimybių demonstravimas sprendžiant įvairias problemas. Tačiau 5-6 klasėse sprendžiant tekstinius uždavinius dažniausiai naudojama lygtis. Tačiau penktokų mąstymas dar nėra paruoštas formalioms procedūroms, atliekamoms sprendžiant lygtis. Aritmetinis uždavinių sprendimo metodas turi nemažai pranašumų, palyginti su algebriniu, nes kiekvieno veiksmų žingsnio rezultatas yra aiškesnis ir konkretesnis bei neperžengia penktokų patirties. Mokiniai geriau ir greičiau sprendžia problemas veiksmais, o ne lygtimis. Vaikų mąstymas yra konkretus, jį reikia lavinti konkrečiais objektais ir kiekiais, tada palaipsniui pereiti prie operacijos su abstrakčiais vaizdais.
Darbas su užduotimi apima kruopštų sąlygos teksto skaitymą, kiekvieno žodžio prasmės supratimą. Pateiksiu problemų, kurias galima lengvai ir paprastai išspręsti aritmetiniu būdu, pavyzdžius.
1 užduotis. Norėdami pagaminti uogienę, dviem dalims aviečių imamos trys dalys cukraus. Kiek kilogramų cukraus reikia paimti 2 kg 600 g aviečių?
Sprendžiant problemą „dalimis“, reikia išmokti vizualizuoti problemos būklę, t.y. geriau pasikliauti piešiniu.
- 2600:2=1300 (g) – tenka vienai uogienės daliai;
- 1300 * 3 = 3900 (g) - reikia paimti cukrų.
2 užduotis. Pirmoje lentynoje stovėjo 3 kartus daugiau knygų nei antroje. Dviejose lentynose kartu buvo 120 knygų. Kiek knygų buvo kiekvienoje lentynoje?
1) 1+3=4 (dalelės) – patenka į visas knygas;
2) 120:4=30 (knygos) - viena dalis (knygos antroje lentynoje);
3) 30 * 3 = 90 (knygos) - stovėjo pirmoje lentynoje.
3 užduotis. Fazanai ir triušiai sėdi narve. Iš viso yra 27 galvos ir 74 kojos. Sužinokite fazanų skaičių ir triušių skaičių narve.
Įsivaizduokite, kad ant narvo, kuriame sėdi fazanai ir triušiai, dangčio uždedame morką. Tada visi triušiai atsistos ant užpakalinių kojų, kad ją pasiektų. Tada:
- 27*2=54 (kojos) - stovės ant grindų;
- 74-54=20 (pėdos) – bus viršuje;
- 20:2=10 (triušiai);
- 27-10=17 (fazanai).
4 užduotis. Mūsų klasėje mokosi 30 mokinių. Į ekskursiją muziejuje vyko 23 žmonės, o į kiną – 21, o 5 žmonės nenuėjo nei į ekskursiją, nei į kiną. Kiek žmonių dalyvavo ir ekskursijoje, ir kino teatre?
Norėdami išanalizuoti būklę ir pasirinkti sprendimo planą, galite naudoti „Eulerio apskritimus“.
- 30-5 = 25 (asm.) - nuėjo į kiną ar ekskursiją,
- 25-23=2 (žmonės) – ėjo tik į kiną;
- 21-2=19 (žmonių) – ėjo į kiną ir į ekskursiją.
5 užduotis. Trys ančiukai ir keturi vikšrai sveria 2 kg 500 g, o keturi ančiukai ir trys vikšrai sveria 2 kg 400 g. Kiek sveria vienas žąsiukas?
- 2500+2400=2900 (g) - sveria septyni ančiukai ir septyni žąsiukai;
- 4900:7=700 (g) - vieno ančiuko ir vieno vikšro svoris;
- 700 * 3 \u003d 2100 (g) - 3 ančiukų ir 3 žąsiukų svoris;
- 2500-2100 \u003d 400 (g) - vikšro svoris.
6 užduotis. Dėl darželis nupirko 20 piramidžių: didelių ir mažų – po 7 ir 5 žiedus. Visos piramidės turi 128 žiedus. Kiek ten buvo didelių piramidžių?
Įsivaizduokite, kad iš visų didžiųjų piramidžių pašalinome du žiedus. Tada:
1) 20*5=100 (žiedai) – kairėje;
2) 128-100-28 (žiedai) - pašalinome;
3) 28:2=14 (didžiosios piramidės).
7 užduotis. 20 kg sveriančiame arbūze buvo 99% vandens. Kai jis šiek tiek susitraukė, vandens kiekis sumažėjo iki 98%. Nustatykite arbūzo masę.
Patogumui prie sprendimo bus pridėta stačiakampių iliustracija.
99% vandens | 1% sausosios medžiagos |
98% vandens | 2% sausosios medžiagos |
Šiuo atveju pageidautina, kad „sausųjų medžiagų“ stačiakampiai būtų lygūs, nes „sausųjų medžiagų“ masė arbūze išlieka nepakitusi.
1) 20:100=0,2 (kg) – „sausosios medžiagos“ masė;
2) 0,2:2=0,1 (kg) - sudaro 1% džiovinto arbūzo;
3) 0,1 * 100 \u003d 10 (kg) - arbūzo masė.
8 užduotis. Svečiai klausė: kiek kiekvienai iš trijų seserų metų? Vera atsakė, kad ji ir Nadia kartu buvo 28 metus, Nadia ir Lyuba kartu – 23 metus, o visoms trims – 38 metai. Kiek kiekvienai seseriai metų?
- 38-28=10 (metai) - Luba;
- 23-10=13 (metai) - Nadia;
- 28-13=15 (metai) - Vera.
Aritmetinis tekstinių uždavinių sprendimo metodas moko vaiką veikti sąmoningai, logiškai teisingai, nes taip sprendžiant didėja dėmesys klausimui „kodėl“ ir atsiranda didelis vystymosi potencialas. Tai prisideda prie mokinių tobulėjimo, domėjimosi problemų sprendimu ir pačiu matematikos mokslu formavimo.
Kad mokymasis būtų įmanomas, įdomus ir pamokantis, reikia labai atsargiai rinktis tekstinius uždavinius, apgalvoti įvairius jų sprendimo būdus, pasirenkant geriausius, lavinti loginį mąstymą, kuris būtinas ateityje sprendžiant geometrinius uždavinius.
Mokiniai gali išmokti spręsti problemas tik jas spręsdami. „Jei nori išmokti plaukti, drąsiai lipk į vandenį, o jei nori išmokti spręsti problemas, tada jas spręsk“, – knygoje „Matematinis atradimas“ rašo D. Poya.
Patirties apibendrinimas.
Tekstinės užduotys mokykliniame matematikos kurse.
Aritmetiniai uždavinių sprendimo būdai.
Soldatova Svetlana Anatolievna
pirmos kategorijos matematikos mokytojas
MOU Uglicho fizikos ir matematikos licėjus
2017 m
„... kol bandome susieti matematikos mokymą su gyvenimu, mums bus sunku apsieiti be tekstinių uždavinių – tradicinės matematikos mokymo priemonės buitinei metodikai“.
A. V. Ševkinas
Kasdieniame gyvenime mes nuolat susiduriame su terminu „užduotis“. Kiekvienas iš mūsų sprendžia tam tikras problemas, kurias vadiname užduotimis. Plačiąja to žodžio prasmeUžduotis – tai situacija, kuriai reikalingas tyrimas ir žmogaus sprendimas. .
Užduotys, kuriose objektai yra matematiniai (teoremų įrodinėjimas, skaičiavimo pratimai, tiriamos matematinės sampratos savybės ir ženklai, geometrinė figūra) dažnai vadinami.matematikos uždaviniai . Paprastai vadinamos matematinės problemos, kuriose yra bent vienas objektas, kuris yra tikras objektastekstą. Žodinių uždavinių vaidmuo yra didelis matematikos pradiniame ugdyme.
Spręsdami tekstinius uždavinius, mokiniai įgyja naujų matematinių žinių, ruošiasi praktinei veiklai. Užduotys prisideda prie jų loginio mąstymo ugdymo.
Yra įvairių tekstinių uždavinių sprendimo būdų: aritmetiniai, algebriniai, geometriniai, loginiai, praktiniai ir kt. Kiekvienas metodas pagrįstas įvairių tipų matematiniais modeliais. Pavyzdžiui, kadaalgebrinis metodas sprendžiant uždavinį, sudaromos lygtys arba nelygybės, sugeometrinis - sudaromos diagramos arba grafikai. Problemos sprendimaslogiška metodas prasideda nuo algoritmo sudarymo.
Reikėtų nepamiršti, kad beveik kiekviena pasirinkto metodo problema gali būti išspręsta naudojant skirtingus modelius. Taigi, naudojant algebrinį metodą, atsakymą į tos pačios problemos reikalavimą galima gauti sudarant ir sprendžiant visiškai skirtingas lygtis, naudojant loginį metodą – sukūrus skirtingus algoritmus. Aišku, kad šiais atvejais susiduriame ir su įvairiais konkrečios problemos sprendimo būdais, kuriuos vadinusprendimus.
Norėdami išspręsti užduotį aritmetinis metodas - reiškia rasti atsakymą į uždavinio reikalavimą, atliekant aritmetines operacijas su skaičiais. Viena ir ta pati problema daugeliu atvejų gali būti išspręsta skirtingais aritmetiniais metodais. Problema laikoma skirtingais būdais išspręsta, jei jos sprendimai skiriasi duomenų ir norimų, kuriais grindžiami sprendimai, ryšiais arba šių ryšių seka.
Tradicinėje rusų mokykloje mokant matematikos žodinės problemos visada buvo užimtos ypatinga vieta. Viena vertus, tekstinių užduočių naudojimo mokymosi procese praktika visose civilizuotose valstybėse kilusi iš Senovės Babilono molinių lentelių ir kitų senovinių rašytinių šaltinių, tai yra, jos šaknys yra susijusios. Kita vertus, Rusijai būdingas atidus mokytojų dėmesys tekstinėms užduotims yra beveik išimtinai rusiškas reiškinys.
Viena iš didelio dėmesio problemoms priežasčių yra ta, kad istoriškai ilgą laiką mokant vaikus aritmetikos buvo siekiama įvaldyti tam tikrus skaičiavimo įgūdžius, susijusius su praktiniais skaičiavimais. Tuo pačiu metu pagrindinė aritmetikos eilutė - skaičių eilutė - dar nebuvo sukurta, o skaičiavimai buvo mokomi per užduotis.
Antra priežastis, dėl kurios Rusijoje skiriamas didesnis dėmesys žodinių problemų vartojimui, yra ta, kad Rusijoje jos ne tik priimtos ir išplėtotos senamadiškas būdas tekstinių uždavinių pagalba perteikti matematines žinias ir samprotavimo būdus, bet taip pat išmokti formuoti svarbius bendruosius ugdymosi įgūdžius, susijusius su teksto analize, problemos ir klausimo sąlygų išryškinimu, sprendimo plano sudarymu, klausimo kėlimu ir sąlygų paieška. iš kurio galite gauti atsakymą į jį patikrindami rezultatą.
Iki 50-ųjų vidurioXXin. tekstinės užduotys buvo gerai susistemintos,sukurta išplėtota užduočių tipologija, įskaitant užduotis dalims, ieškant dviejų skaičių pagal jų sumą ir skirtumą, pagal jų santykį ir sumą (skirtumą), trupmenoms, procentams, bendram darbui, tirpalams ir lydiniams, tiesioginiams ir atvirkštinis proporcingumas ir kt.
Iki to laiko jų taikymo ugdymo procese metodika buvo gerai išvystyta, tačiau 60-ųjų pabaigoje vykdant matematinio ugdymo reformą požiūris į juos pasikeitė. Peržiūrėdami aritmetikos vaidmenį ir vietą mokyklinių dalykų sistemoje, siekdami didinti matematikos mokslinį pristatymą anksčiau įvedant lygtis ir funkcijas, matematikai metodininkai-matematikai manė, kad per daug laiko skiriama mokant aritmetikos metodus sprendžiant uždavinius. .
Tačiau būtent tekstiniai uždaviniai ir aritmetiniai jų sprendimo metodai paruošia vaiką algebros įsisavinimui. Ir kai taip atsitiks, algebra išmokys paprastesnių nei aritmetinių būdų išspręsti kai kurias (bet ne visas!) Užduotis. Kiti aritmetiniai sprendimai liks aktyviame studento bagaže. Pavyzdžiui, jei studentas buvo išmokytas padalyti skaičių tokiu santykiu, tada net vidurinėje mokykloje jis nepaskirstys skaičiaus 15 santykiu 2: 3, naudodamas lygtį, jis atliks aritmetines operacijas:
1) ,
2) ,
3) 15 – 6 = 9.
Noriu pastebėti, kad esu būtent tos moksleivių kartos atstovas, kurie buvo minėtos reformos dalyviai. 1968 m. lankiau mokyklą ir mano pirmos klasės vadovėlis vadinosi Aritmetika. Pasirodo, iš to pasimokėme paskutiniai. Antroje klasėje man buvo netikėta ir neįprasta, kad mano pirmokų merginų dalykas, atitinkamai ir vadovėlis, vadinosi „matematika“. Trečioje klasėje jau mokėmės „matematikos“. Vidurinėje grandyje ir atitinkamai vyresnėse klasėse pagrindinis tekstinių uždavinių sprendimo būdas buvo algebrinis. Aštuntojo dešimtmečio pabaigos reformos įtaką jaučiu iki šių dienų, nes. dalyvaujantys tėvai ugdymo procesas vaikų, dėl to, kad susiformavo tam tikras stereotipas, susidarė nuomonė, kad uždavinius reikia spręsti lygčių pagalba. Mamos ir tėčiai, nežinodami kitų metodų, atkakliai stengiasi namuose paaiškinti savaip, o tai ne visada išeina į naudą, net kartais tai tik apsunkina mokytojo darbą.
Jokiu būdu negalima sumenkinti algebrinio uždavinių sprendimo metodo, kuris yra universalus ir kartais vienintelis sprendžiant sudėtingesnes problemas, vertės. Be to, neretai būtent lygtis duoda užuominą ieškant sprendimo veiksmais. Tačiau praktika parodė, kad ankstyvas šio perspektyvaus, tolesnio panaudojimo mokymuose, problemų sprendimo metodo taikymas be pakankamo pasiruošimo yra neveiksmingas.
5-6 klasėse aritmetiniam tekstinių uždavinių sprendimo būdui reikia skirti maksimalų dėmesį ir neskubėti pereiti prie uždavinių sprendimo naudojant lygtį. Kai mokinys išmoko algebrinį būdą, beveik neįmanoma sugrąžinti jo prie „sprendimo veiksmų“. Sudarius lygtį, svarbiausia ją teisingai išspręsti, kad būtų išvengta skaičiavimo klaidos. Ir visiškai nereikia galvoti, kokios aritmetinės operacijos atliekamos sprendžiant, koks kiekvieno veiksmo rezultatas. O jei žingsnis po žingsnio atseksime lygties sprendimą, pamatysime tuos pačius veiksmus kaip ir aritmetiniame metode.
Labai dažnai galima pastebėti, kad vaikas nėra pasiruošęs spręsti uždavinio algebriniu būdu, kai įvedamas abstraktus kintamasis ir atsiranda frazė „tegul x ...“. Iš kur atsirado šis „X“, kokius žodžius reikia rašyti prie jo – šiame etape mokiniui neaišku. O taip nutinka todėl, kad tokio amžiaus vaikai išsiugdė vaizdinį-vaizdinį mąstymą. Ir lygtis yra abstraktus modelis. Taip, ir penktos, šeštos klasės vaikams lygčių sprendimo įrankių nėra. Istoriškai žmonės pradėjo naudoti lygtis, apibendrindami problemų sprendimus, kuriuose jie turėjo operuoti su tokiomis sąvokomis kaip „dalis“, „krūva“ ir kt. Vaikas turi eiti tuo pačiu keliu!
Sėkmingam darbui svarbu, kad mokytojas giliai suprastų tekstinę problemą, jos struktūrą, gebėtų įvairiai spręsti tokias problemas.
Prieš daugelį metų savo rankose turėjau seniai išleistą vadovą 5–8 klasių mokytojams moderni mokykla- 5-9 klasės) „Maskvos matematikos olimpiadų rinkinys (su sprendimais)“ 1967 m., kurio autorė Galina Ivanovna Zubelevičius. Didžioji dauguma užduočių joje išspręsta aritmetiškai, kas mane labai sudomino. Vėliau mano dėmesį patraukė du A.V. vadovėliai „Aritmetika, 6“, „Aritmetika, 6“. Ševkinas, ir to paties autoriaus mokytojo vadovas „Tekstinio uždavinio sprendimo mokymas 5-6 klasėse“. Šie šaltiniai buvo mano darbo šia tema pradžia. Siūlomos idėjos man pasirodė labai aktualios ir atitinkančios mano supratimą apie išdėstytą temą, būtent:
1) ankstyvoje mokymosi stadijoje atsisakymas naudoti lygtis ir grįžimas prie platesnio aritmetinių metodų naudojimo uždaviniams spręsti;
2) platesnis „istorinių“ problemų panaudojimas ir senoviniai jų sprendimo būdai;
3) chaotiško pasiūlymo studentams užduočių atsisakymas skirtingomis temomis ir apsvarstykite užduočių grandinę nuo paprasčiausių, prieinamų visiems studentams iki sudėtingų ir labai sudėtingų.
Žodinių uždavinių tipai pagal sprendimo būdą.
Tekstines užduotis galima sąlygiškai suskirstyti į aritmetines ir algebrines. Šis atskyrimas atsiranda dėl to, kad pasirinktas tam tikrai užduočiai būdingesnis (racionalesnis) sprendimo būdas.
Aritmetiniai uždaviniai slepia puikias galimybes mokyti moksleivius mąstyti savarankiškai, analizuoti neakivaizdžias gyvenimo situacijas. Aritmetika yra trumpiausias būdas suprasti gamtą, nes joje nagrinėjami paprasčiausi, pagrindiniai eksperimentiniai faktai (pavyzdžiui, perskaičiavimas
akmenys „pagal eilutes“ ir „pagal stulpelius“ visada veda į vieną
rezultatas):
5+5+5 = 3+3+3+3+3.
Panagrinėkime kai kurias užduočių rūšis.
„Už tiek pat buvo nupirktos dviejų klasių prekės, pirmoji klasė yra perpus mažesnė už antrąją. Jie buvo sumaišyti ir pusė mišinio parduota aukščiausia, likusi dalis – žemiausios klasės kaina. Kiek procentų pelno ar nuostolių buvo gauta pardavus?
Iš esmės tai yra tipinė problema, išspręsta įvedant savavališkus matavimo vienetus. Tačiau net ir esant šiai sąlygai, sprendiniui būtinų nežinomų dydžių veikimas čia aiškiai išreikštas.algebrinė charakteris. Be to, dažnai kyla problemų, kuriose, priešingai, aritmetinis sprendimo būdas yra daug paprastesnis nei algebrinis. Tai gali priklausyti nuo dviejų priežasčių. Kai kuriais atvejais perėjimas nuo žinomo prie nežinomo yra toks paprastas, kad lygčių formulavimas (perėjimas nuo nežinomo prie žinomo) sukeltų nereikalingų nepatogumų, kurie sulėtintų sprendimo procesą. Pavyzdžiui, tokia užduotis:
„Kartą velnias pasiūlė užsidirbti pinigų dykininkui. „Kai tik pervažiuosi šį tiltą“, – sakė jis, pinigai padvigubės. Gali kirsti kiek nori, bet po kiekvieno perėjimo duok man už tai 24 kapeikas. Loaferis sutiko ir... po trečio perėjimo liko be pinigų. Kiek pinigų jis turėjo iš pradžių?
Antroji – klasikinė problema, įdomi dėl paradoksalios sąlygos formulavimo. „Sintetinio“ sprendimo etapai jame, kaip ir ankstesnėje užduotyje, atsiskleidžia priešinga aprašytų įvykių eigai.
„Kiaušinių prekeivė pirmajam pirkėjui pardavė pusę viso jos krepšelyje esančių kiaušinių skaičiaus ir dar pusę kiaušinio; antrasis pirkėjas - pusė likučio ir dar pusė kiaušinio, trečioji - pusė likusios dalies ir dar pusė kiaušinio, po kurio jai nebeliko nieko. Kiek kiaušinių krepšelyje buvo pradžioje?
Kitais atvejais lygties formulavimas reikalauja savotiško samprotavimo, kurio savaime pakanka tikslui pasiekti. Tai aritmetiniai uždaviniai visa to žodžio prasme: jų algebrinis sprendimas ne lengvesnis, o sunkesnis ir dažniausiai siejamas su papildomų nežinomųjų įvedimu, kuriuos vėliau tenka atmesti ir pan.
Taigi, jei, pavyzdžiui, problema„Tanya pasakė: turiu 3 broliais daugiau nei seserų. Kiek daugiau brolių Tanjos šeimoje nei seserų? brolių skaičių žymėkite per x, seserų skaičių per y, tada lygtis bus x − (y − 1) = 3, bet jei jau spėjome, kad reikia rašyti y−1 (sesuo nesvarstė pati), tada jau aišku, kad ne 3 broliai, o tik 2 daugiau nei seserys.
Paimkime dar kelis pavyzdžius.
„Buvau prieš srovę ir, pravažiavęs po tiltu, pamečiau kepurę. Po 10 minučių tai pastebėjau ir su ta pačia jėga besisukdamas bei irkluodamas pasivijau kepurę 1 km žemiau tilto. Koks upės tėkmės greitis?
Sprendimas: 1 (60:(10+10))=3 (km/h)
„Kai atvažiavau į stotį, dažniausiai man siųsdavo mašiną. Atvažiavęs viena valanda anksčiau nuėjau pėsčiomis ir, sutikęs manęs atsiųstą mašiną, su juo atvykau į vietą 10 minučių anksčiau nei įprastai. Kiek kartų automobilis važiuoja greičiau nei aš einu?
Apsvarstykite šios problemos sprendimą šiais veiksmais:
1) 10:2=5 (min) – laikas, skirtas automobiliui laiku atvykti į stotį iš susitikimo vietos.
2) 60-5=55 (min) - laikas, kurį pėsčiasis praleidžia tam pačiam atstumui.
3) 55:5=11(kartų) automobilis važiuoja greičiau.
„Kateriu nuplaukti tam tikrą atstumą pasroviui užtrunka tris kartus trumpiau nei prieš srovę. Kiek kartų valties greitis didesnis už srovės greitį?
Esant šiai problemai, jūs turite atspėti, kad laikas nuo laiko pereiti.
Tai labai geri aritmetiniai uždaviniai: jiems reikia aiškaus atitinkamos konkrečios situacijos supratimo, o ne veiksmų pagal įsimintus formalius šablonus.
Štai dar vienas aritmetinio uždavinio pavyzdys, kurio sprendimui nereikia atlikti jokių „veiksmų“:
« Kažkoks išdykėlis iš deguto butelio šaukštą deguto įpylė į medaus indelį. Kruopščiai išmaišiau, o tada tą patį šaukštą mišinio iš indelio supyliau į butelį su derva. Tada jis tai padarė dar kartą. Kas pasirodė daugiau: medus butelyje su derva ar derva medaus indelyje? »
Norėdami išspręsti problemą, pakanka užduoti sau klausimą: kur dingo derva iš butelio, kurį išstūmė medus?
Tai nėra algebra, ne panašių terminų redukcija ir ne „perkėlimas iš vienos dalies į kitą su priešingu ženklu“. Būtent tokia logika siejama su įsivaizduojama, bet gana realią reikšmę turinčia tiriamųjų dydžių srityje, kurių plėtojimas ir tobulinimas yra įtrauktas į tiesioginius aritmetikos uždavinius.
Skirtumas tarp aritmetinių ir algebrinių uždavinių yra tarsi neryškus, nes priklauso nuo kiekybinių ženklų, kuriuos vertinant galima nesutikti, kaip ir negalima nubrėžti ribos tarp „keleto grūdelių“ ir „krūvos“. grūdai“.
Išsamiau pakalbėkime apie tekstinių problemų tipus ir jų sprendimo būdus. Apsvarstykite tas problemas, kurias daugelis yra linkę išspręsti lygčių pagalba, ir tuo pat metu jie turi paprastus ir kartais labai gražius veiksmų sprendimus.
1. Užduočių paieška pagal jų daugybinį santykį ir sumą arba skirtumą (į "dalis").
Susipažinimas su tokiomis problemomis turėtų prasidėti nuo tų, kur kalbame apie dalis gryna forma. Sprendžiant juos sukuriamas pagrindas sprendžiant uždavinius rasti du skaičius pagal jų santykį ir sumą (skirtumą). Studentai turi išmokti paimti tinkamą reikšmę 1 daliai, nustatyti, kiek tokių dalių patenka į kitą reikšmę, jų sumą (skirtumą).
a) Uogienei 2 dalims braškių imamos 3 dalys cukraus. Kiek cukraus reikia suvartoti 3 kg braškių?
b) Nusipirkau 2700 g džiovintų vaisių. Obuoliai - 4 dalys, kriaušės - 3 dalys, slyvos - 2 dalys. Kiek gramų obuolių, kriaušių ir slyvų atskirai?
c) Mergina perskaitė 3 kartus mažiau puslapių nei buvo likusi. Kiek puslapių yra knygoje, jei ji perskaitė 42 puslapiais mažiau?
Šios problemos sprendimą patartina pradėti nuo piešinio:
1) - 42 puslapiai.
2) - 1 dalis, arba tiek puslapių mergina perskaitė.
3) - knygoje.
Ateityje studentai galės spręsti sudėtingesnes problemas.
c) S.A. užduotis. Račinskis. Aš praleidau metus Maskvoje, kaime ir kelyje - ir, be to, Maskvoje 8 kartus daugiau laiko nei kelyje, o kaime - 8 kartus daugiau nei Maskvoje. Kiek dienų praleidau kelyje, Maskvoje ir kaime?
d) Nuimdami derlių valstybiniame ūkyje, mokiniai priskynė 2 kartus daugiau pomidorų nei agurkų, 3 kartus mažiau nei bulvių. Kiek daržovių mokiniai nuskynė atskirai, jei bulvių buvo priskinta 200 kg daugiau nei pomidorų?
e) Senelis sako anūkams: „Štai jums 130 riešutų. Padalinkite juos į 2 dalis, kad mažesnė dalis, padidinta 4 kartus, būtų lygi didesnei daliai, sumažintai 3 kartus.
f) Dviejų skaičių suma lygi 37,75. Jei pirmasis terminas padidinamas 5 kartus, o antrasis - 3 kartus, tada nauja suma bus lygi 154,25. Raskite šiuos skaičius.
Šiam tipui priklauso užduotys dėl skaičiaus padalijimo šiuo atžvilgiu.
2. Dviejų skaičių radimas pagal jų sumą ir skirtumą.
a) Dviejose pakuotėse yra 50 sąsiuvinių, o pirmoje pakuotėje yra dar 8 sąsiuviniai. Kiek sąsiuvinių yra kiekvienoje pakuotėje?
Spręsdamas tokio pobūdžio problemas, aš visada pradedu nuo piešinio. Tada siūlau suvienodinti reikšmes. Vaikinai siūlo du būdus: išimti iš pirmos pakuotės arba pridėti prie antrosios. Taigi nustatomi du pagrindiniai būdai: per padvigubintą mažesnį skaičių arba padvigubėjusį didesnį skaičių.
Išsiaiškinus šiuos metodus, tikslinga parodyti „seną“ tokio pobūdžio problemų sprendimo būdą. Po klausimo "Kaip suvienodinti sąsiuvinių krūvas nekeičiant bendro sąsiuvinių skaičiaus?" mokiniai spėja, kaip tai padaryti, ir daro išvadą: norėdami rasti mažesnį skaičių, iš pusės sumos reikia atimti pusę skirtumo, o norėdami rasti didesnį skaičių, turite pridėti pusę skirtumo prie pusės sumos . Stiprūs besimokantys gali tai pateisinti konvertuodami pažodines išraiškas:
,
Naudojant šis metodasŠi užduotis išspręsta vienu žingsniu:
b) Dviejų skaičių aritmetinis vidurkis yra 3, o jų pusės skirtumas lygus 1. Kokia mažesnio skaičiaus reikšmė?
– mažesnis skaičius.
Koregavimo metodas taip pat taikomas sprendžiant problemą:
c) 8 veršeliai ir 5 avys suvalgė 835 kg pašaro. Per tą laiką kiekvienam veršeliui buvo duota 28 kg daugiau pašaro nei avys. Kiek pašaro suėdė kiekvienas veršelis ir avis?
3. Užduotys ant „prielaidos“.
Šio tipo užduotys yra susietos su numatytais veiksmais su objektais ir kiekiais. Tradicinėje metodikoje šio tipo problemos turėjo ir kitus žinomiausių problemų pavadinimus: „mėlynas ir raudonas audinys“, „maišymas ΙΙ rūšies“. Manau, kad žinomiausia tarp „atspėti“ problemų yra senoji kinų problema.
a) Fazanai ir triušiai sėdi narve. Yra žinoma, kad jie turi 35 galvas ir 94 kojas. Sužinokite fazanų skaičių ir triušių skaičių.
Įsivaizduokite, kad narve sėdi tik fazanai. Kiek jie turi kojų?
Kodėl mažiau kojų? (Ne visi fazanai, tarp jų yra ir triušių). Kiek dar kojų?
Jei vieną fazaną pakeis triušis, kiek padidės kojų skaičius? (2)
Galite pasirinkti kitą būdą, įsivaizduodami, kad visi triušiai.
Labai įdomus dar vienas senųjų matematikos metodikos meistrų samprotavimas, keliantis didelį vaikų susidomėjimą.
– Įsivaizduokite, kad ant narvo, kuriame sėdi fazanai ir triušiai, dedame morką. Visi triušiai stovės ant užpakalinių kojų, kad pasiektų morką. Kiek pėdų šiuo metu bus ant žemės?
2 35 = 70 (n.)
– Bet problemos sąlygomis duota 94 kojos, kur likusios?
– Likusieji neskaičiuojami – tai priekinės triušių letenos.
– Kiek jų?
94–70 \u003d 24 (n.)
- Kiek triušių?
24:2
= 12
O fazanai?
35
– 12 = 23
Įvaldę samprotavimo algoritmą, vaikinai lengvai išsprendžia šias problemas:
b) Sumaišyta 135 svarai dviejų rūšių arbatos, kurios bendra kaina 540 rublių. Kiek svarų abiejų klasių buvo paimta atskirai, jei pirmos klasės svaras kainavo 5 rublius, o antros – 3 rublius?
c) Už 94 rublius. nusipirko 35 aršinus mėlynos ir raudonos spalvos audinio. Už mėlyno audinio aršiną mokėjo 2 rublius, o už raudono audinio aršiną – 4 rublius. Kiek aršinų abiejų audinių pirkote atskirai?
d) Savininkas nupirko 112 senų ir jaunų avių ir sumokėjo 49 rublius. 20 Altyn. Už seną aviną sumokėjo 15 altinių ir 4 poluškas, o už jauną aviną – 10 altinių. Kiek ir kokių avinų buvo nupirkta? Altynas - 3 kapeikos, pusė - ketvirtis kapeikos.
Problema iš I. V. straipsnio. Arnoldas „Aritmetinių uždavinių parinkimo ir sudarymo principai“ (1946) apie automobilius:
e)„Pravažiavęs pro stotį, pastebėjau stotyje stovintį prekinį traukinį su 31 vagonu ir išgirdau pokalbį tarp tepalo ir movos. Pirmasis sakė: „Iš viso reikėjo patikrinti 105 ašis“. Antrasis pastebėjo, kad keturašių automobilių kompozicijoje daug – tris kartus daugiau nei dviašių, likusieji triašiai. Kitame etape be nieko norėjau paskaičiuoti, kiek mašinų buvo šiame traukinyje. Kaip tai padaryti?"
Aritmetinis sprendimas yra paprastesnis nei algebrinis ir reikalauja aiškaus supratimo, kad dviašiai ir keturiaašiai automobiliai priskiriami (kiekybine prasme) į tam tikras grupes (po 4 automobilius). Įsivaizduojamas visų vagonų „pakeitimas“ triašiais – įprasta ir studentams jau gerai žinoma technika.
Pagalbinė priemonė gali būtigrafinis linijinis užduoties sąlygų rodymas.
4. Užduotys judėjimui.
Šios užduotys tradiciškai yra sunkios. Mokiniai turėtų turėti gerai suformuotas sąvokas, tokias kaip artėjimo greitis ir pašalinimo greitis. Kai mokiniai išmoks spręsti tokias problemas naudodami lygtį, jiems bus daug lengviau rasti atsakymą. Bet lengviau nereiškia geriau. Prieš daugelį metų vienas mano mokinys, gana stiprus matematikoje, entuziastingai ieškojo aritmetiniu būdu sprendžiant problemą, tuo metu, kai visa klasė ją sprendė lygties pagalba. Gerai prisiminiau jo man labai suprantamus žodžius: „Manęs nedomina lygtis“.
Pateiksiu kelių problemų sąlygas ir sprendimą.
a) Sena problema. Iš Maskvos į Tverę vienu metu išvyko du traukiniai. Pirmasis pralėkė 39 verstais ir į Tverą atvyko dviem valandomis anksčiau nei antrasis, kuris skriejo 26 verstais. Kiek mylių nuo Maskvos iki Tverės?
Sprendimas:
1) antrasis traukinys taip atsiliko.
2) - pašalinimo greitis.
3) pirmasis traukinys buvo pakeliui.
4) atstumas nuo Maskvos iki Tverės.
b) Iš Maskvos ta pačia kryptimi vienu metu pakilo du lėktuvai: vienas 350 km/h, kitas 280 km/h greičiu. Po dviejų valandų pirmasis greitį sumažino iki 230 km/val. Kokiu atstumu nuo Maskvos antrasis lėktuvas aplenks pirmąjį?
Sprendimas:
1) pašalinimo greitis.
2) - antrasis lėktuvas taip toli atsilieka.
3) artėjimo greitis.
4) per kiek laiko antrasis lėktuvas pasivys pirmąjį.
5) (km) – tokiu atstumu iki Maskvos antrasis lėktuvas pasivys pirmąjį.
c) Iš dviejų miestų, kurių atstumas yra 560 km, du automobiliai išvažiavo vienas į kitą ir susitiko po 4 valandų. Jei pirmojo automobilio greitis sumažinamas 15%, o antrojo automobilio greitis padidintas 20%, susitikimas taip pat įvyks po 4 valandų Raskite kiekvieno automobilio greitį.
Sprendimas:
Paimkime tai kaip 100% arba 1 pirmojo automobilio greitį.
1) artėjimo greitis.
2) - yra antrojo greitis nuo pirmojo greičio.
3) yra susijęs su artėjimo greičiu.
4) pirmojo automobilio greičio.
5) antrojo automobilio greičio.
d) Telegrafo stulpą traukinys pravažiuoja per ketvirtį minutės, o 0,7 km ilgio tiltą – per 50 sekundžių. Apskaičiuokite vidutinį traukinio greitį ir jo ilgį.
Sprendimas: Spręsdami šią problemą, mokiniai turėtų suprasti, kad pravažiuoti tiltą - pravažiuoti taką, lygus ilgiui tilto ir traukinio ilgio, eikite pro telegrafo stulpą – eikite keliu, lygiu traukinio ilgiui.
1) traukinys nuvažiuoja atstumą, lygų tilto ilgiui.
2) yra traukinio greitis.
3) traukinio ilgis.
e) Norint pereiti tarp dviejų prieplaukų, garlaiviui reikia 40 minučių daugiau nei laivui. Valties greitis – 40 km/h, garlaivio – 30 km/h. Raskite atstumą tarp prieplaukų.
Sprendimas: 40 min val
1) laivo vėlavimas.
2) - pašalinimo greitis
2) – Kelyje buvo valtis.
3) atstumas tarp prieplaukų.
Tai tik keletas iš daugybės judėjimo užduočių. Jų pavyzdžiu norėjau parodyti, kaip galima apsieiti be lygčių tol, kol mokiniuose nesusiformuoja gebėjimas jas spręsti. Natūralu, kad tokios užduotys yra pajėgios stipriems mokiniams, tačiau tai yra puiki galimybė jų matematiniam tobulėjimui.
5. Užduotys „baseinams“.
Tai dar viena užduotis, kuri vaikams kelia susidomėjimą ir sunkumus. Tai dar galima vadinti užduotimis bendram darbui, o kai kurios judėjimo užduotys galioja ir joms.
Šio tipo pavadinimą suteikia gerai žinoma sena problema:
a) Atėnų mieste buvo vandens telkinys, į kurį buvo nutiesti 3 vamzdžiai. Vienu iš vamzdžių baseiną galima užpildyti 1 val., kitu, plonesniu, 2 val., trečiu, dar plonesniu, 3 val. Taigi, sužinokite, per kokią valandos dalį visi trys vamzdžiai kartu užpildys baseiną?
Sprendimas:
1) (v./h) - užpildymo greitis per ΙΙ vamzdžio vamzdį.
2) (v./h) - užpildymo greitis per ΙΙΙ vamzdį.
3) (v./h) – bendras greitis.
4) (h) – rezervuarą užpildys 3 vamzdžiai.
Galite pasiūlyti vaikams kitą įdomų sprendimą:
Per 6 valandas 6 rezervuarai užpildomi per Ι vamzdį, 3 rezervuarai per ΙΙ vamzdį, 2 rezervuarai per ΙΙ vamzdį. Visi vamzdžiai per 6 valandas užpildys atitinkamai 11 rezervuarų, o vienam rezervuarui užpildyti reikės h.
Ši problema turi panašų sprendimą:
b) Liūtas avis suvalgė per vieną valandą, o vilkas – per dvi valandas, o šuo – per tris valandas. Kad ir kaip greitai, visi trys – liūtas, vilkas ir šuo – suėdė tą avį, skaičiuok. (XVII a. matematiniai rankraščiai).
c) Vienas vyras išgers puodelį gėrimo per 14 dienų, o su žmona išgers tą patį puodelį gėrimo per 10 dienų, o žinoma, per kiek dienų jo žmona ypač išgers tą patį puodelį. (iš Magnitskio aritmetikos)
Sprendimas:
1) (h) – gerti per dieną kartu.
) (h) – vyras geria per dieną.
3) (h) – žmona geria per dieną.
4) (d.) – žmonai reikės išgerti puodelį gėrimo.
d) Sena problema. Laukinė antis iš Pietų jūros į Šiaurės jūrą skrenda 7 dienas. Iš šiaurinės jūros į pietinę jūrą laukinė žąsis skrenda 9 dienas. Dabar laukinė antis ir laukinė žąsis išskrenda vienu metu. Po kiek dienų jie susitiks? (panašus sprendimas)
e) Du pėstieji vienu metu paliko taškus A ir B vienas kito link. Jie susitiko 40 minučių po išvykimo, o 32 minutes po susitikimo pirmasis atvyko į B. Kiek valandų po išvykimo iš B atvyko antrasis į A?
Sprendimas:
1) (way / min) - artėjimo greitis.
) (takai / min) - pirmojo pėsčiojo greitis.
3) (takai / min) - antrojo pėsčiojo greitis.
4) (min) – pakeliui buvo antras pėstysis.
90 min1,5 val
f) Laivas iš Nižnij Novgorodo į Astrachanę plaukia 5 dienas ir atgal 7 dienas. Kiek dienų plaustai plauks iš Nižnij Novgorodo į Astrachanę?
Sprendimas:
1) (būdas / diena) - greitis pasroviui.
) (būdas / diena) - greitis prieš srovę.
3) (būdas / diena) - du kartus didesnis už srovės greitį. Problema pirmą kartą buvo paskelbta Bendrojoje aritmetikoje.I. Niutonas, bet nuo to laiko neprarado savo aktualumo ir yra vienasvienas iš gražių aritmetinių uždavinių, kuris, nors ir gali būti išspręstas sudarant lygtį, yra daug gražiau – tai padaryti nuoseklaus samprotavimo pagalba. Teko stebėti, kaip dėl to glumina gimnazistai, įvesdami kelis kintamuosius, o tuo pat metu penktokai nesunkiai išsiaiškino sprendimą, jei jiems buvo pasiūlyta sprendimo idėja.
Pievoje žolė auga vienodai stora ir greitai. Yra žinoma, kad per 24 dienas visą žolę suėstų 70 karvių, per 60 dienų – 30 karvių. Kiek karvių suės visą pievos žolę per 96 dienas?
Šiame darbe pateikiami pavyzdžiai ir analizuojama tik dalis daugybės tekstinių problemų.
Baigdamas norėčiau pastebėti, kad reikia sveikinti įvairius problemų sprendimo būdus. BūtentProblemų sprendimas įvairiais būdais yra nepaprastai jaudinantis užsiėmimas skirtingų amžiaus grupių mokiniams. Susidomėjimas, smalsumas, kūrybiškumas, noras sulaukti sėkmės – tai patrauklūs veiklos aspektai.Jei mokinys matematikos pamokose susidoroja su tekstinėmis užduotimis, tai yra, gali atsekti ir paaiškinti savo sprendimo loginę grandinę, pateikti visų dydžių aprašymą, tada jis taip pat gali sėkmingai spręsti fizikos ir chemijos uždavinius, gali palyginti ir analizuoti. , transformuoti informaciją visų akademinių dalykų mokykliniame kurse.
Literatūra.
1. Arnoldas I.V. Aritmetinių uždavinių atrankos ir sudarymo principai // Izvestiya APN RSFSR. 1946. – Laida. 6 - S. 8-28.
2. Zubelevičius G. I. Maskvos matematikos olimpiados uždavinių rinkinys. – M.: Švietimas, 1971 m.
3. Ševkinas A. V. Mokymasis spręsti tekstinius uždavinius 5-6 klasėse. – M.: Gals plius, 1998 m.
4 . Ševkinas A.V. Kurso medžiaga „Tekstinės užduotys mokyklos kursas Matematika“: 1-4 paskaitos. - M .: Pedagoginis universitetas "Rugsėjo pirmoji", 2006. 88 p.