Integralinio ilgo logaritmo formulės išvedimas. Kas yra logaritmas? Logaritmų sprendimas
Antidarinių lentelė.
Neapibrėžto integralo savybės leidžia rasti jo antidarinį naudojant žinomą funkcijos diferencialą. Taigi, naudojant lygybes ir galima rasti iš pagrindinių išvestinių lentelės elementarios funkcijos sudaryti antidarinių lentelę.
Leiskite jums priminti darinių lentelė, užrašykime tai diferencialų pavidalu.
Pavyzdžiui, suraskime neapibrėžtą integralą galios funkcija.
Naudojant diferencialinę lentelę , todėl iš neapibrėžtinio integralo savybių turime . Štai kodėl
arba kitame įraše
Raskime laipsnio funkcijos antidarinių aibę p = -1. Mes turime . Mes kreipiamės į natūraliojo logaritmo skirtumų lentelę
, vadinasi,
. Štai kodėl
.
Tikiuosi supratote principą.
Antidarinių (neapibrėžtų integralų) lentelė.
Formulės iš kairiojo lentelės stulpelio vadinamos pagrindinėmis antiderivatinėmis priemonėmis. Dešiniajame stulpelyje pateiktos formulės nėra pagrindinės, bet labai dažnai naudojamos ieškant neapibrėžtųjų integralų. Juos galima patikrinti diferencijuojant.
Tiesioginė integracija.
Tiesioginė integracija pagrįsta neapibrėžtų integralų savybių naudojimu , , integravimo taisyklės
ir antidarinių lentelės.
Paprastai integrandą pirmiausia reikia šiek tiek transformuoti, kad būtų galima naudoti pagrindinių integralų ir integralų savybių lentelę.
Pavyzdys.
Raskite integralą .
Sprendimas.
Koeficientas 3 gali būti paimtas iš po integralinio ženklo pagal savybę:
Transformuokime integrand funkcija(pagal trigonometrines formules):
Kadangi sumos integralas yra lygus integralų sumai, tai
Atėjo laikas atsiversti antidarinių lentelę:
Atsakymas:
.
Pavyzdys.
Raskite funkcijos antidarinių aibę
Sprendimas.
Mes kreipiamės į antidarinių lentelę eksponentinė funkcija: . Tai yra,
.
Jei naudosime integravimo taisyklę , tada mes turime:
Taigi antidarinių lentelė kartu su savybėmis ir integravimo taisykle leidžia rasti daug neapibrėžtų integralų. Tačiau ne visada įmanoma transformuoti integrando funkciją, kad būtų galima naudoti antidarinių lentelę.
Pavyzdžiui, antidarinių lentelėje nėra logaritminės funkcijos integralo, arcsinuso, arkosino, arktangento ir arkotangento, liestinės ir kotangentinės funkcijos. Norėdami juos rasti, naudokite specialius metodus. Bet daugiau apie tai kitame skyriuje:
Antidarinių („integralų“) lentelė. Integralų lentelė. Lentelinis ne apibrėžtieji integralai. (Paprasčiausi integralai ir integralai su parametru). Integravimo pagal dalis formulės. Niutono-Leibnizo formulė.
Antidarinių („integralų“) lentelė. Lentelinis neapibrėžtieji integralai. (Paprasčiausi integralai ir integralai su parametru). |
|
Galios funkcijos integralas. |
Galios funkcijos integralas. |
Integralas, kuris redukuojasi į galios funkcijos integralą, jei x varomas diferencialo ženklu. |
|
|
Eksponentinio integralas, kur a yra pastovus skaičius. |
Integruotas kompleksas eksponentinė funkcija. |
Eksponentinės funkcijos integralas. |
Integralas, lygus natūraliajam logaritmui. |
Integralas: „Ilgas logaritmas“. |
Integralas: „Ilgas logaritmas“. |
|
Integralas: „Aukštas logaritmas“. |
Integralas, kai x skaitiklyje yra po diferencialo ženklu (konstanta po ženklu gali būti pridėta arba atimta), galiausiai yra panašus į integralą, lygų natūraliajam logaritmui. |
Integralas: „Aukštas logaritmas“. |
|
Kosinuso integralas. |
Sinuso integralas. |
Integralas lygus tangentei. |
Integralas lygus kotangentui. |
Integralas lygus ir arcsinui, ir arkosinusui |
|
Integralas lygus ir arcsinui, ir arkosinusui. |
Integralas, lygus ir arctangentui, ir arkotangentui. |
Integralas lygus kosekantei. |
Integralas lygus sekantui. |
Integralas lygus arceckantui. |
Integralas lygus arkosekantui. |
Integralas lygus arceckantui. |
Integralas lygus arceckantui. |
Integralas lygus hiperboliniam sinusui. |
Integralas lygus hiperboliniam kosinusui. |
|
|
Integralas lygus hiperboliniam sinusui, kur sinhx yra hiperbolinis sinusas anglų kalba. |
Integralas lygus hiperboliniam kosinusui, kur sinhx yra hiperbolinis sinusas anglų kalba. |
Integralas lygus hiperbolinei tangentei. |
Integralas lygus hiperboliniam kotangentui. |
Integralas lygus hiperboliniam sekantui. |
Integralas lygus hiperbolinei kosekantei. |
Integravimo pagal dalis formulės. Integracijos taisyklės.
Integravimo pagal dalis formulės. Niutono-Leibnizo formulė. |
|
Produkto (funkcijos) integravimas konstanta: |
|
Funkcijų sumos integravimas: |
|
neapibrėžti integralai: |
|
Integravimo pagal dalis formulė apibrėžtieji integralai: |
|
Niutono-Leibnizo formulė apibrėžtieji integralai: |
Kur F(a), F(b) yra antidarinių vertės atitinkamai taškuose b ir a. |
Darinių lentelė. Lenteliniai dariniai. Produkto darinys. Dalinio išvestinė. Darinys sudėtinga funkcija.
Jei x yra nepriklausomas kintamasis, tada:
Darinių lentelė. Lentelės dariniai."lentelės vedinys" - taip, deja, būtent taip jų ieškoma internete |
|
Galios funkcijos išvestinė |
|
|
Rodiklio išvestinė |
|
Eksponentinės funkcijos išvestinė |
Logaritminės funkcijos išvestinė |
|
Funkcijos natūraliojo logaritmo išvestinė |
|
|
|
Kosekanto vedinys |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lanko kotangento išvestinė |
|
|
|
Arccosecant vedinys |
|
|
|
|
|
|
Diferencijavimo taisyklės. Produkto darinys. Dalinio išvestinė. Sudėtingos funkcijos išvestinė. |
|
Produkto (funkcijos) išvestinė iš konstantos: |
|
Sumos išvestinė (funkcijos): |
|
Produkto darinys (funkcijos): |
|
Dalinio (funkcijų) išvestinė: |
|
Sudėtingos funkcijos išvestinė: |
|
Logaritmų savybės. Pagrindinės logaritmų formulės. Dešimtainis (lg) ir natūralusis logaritmas (ln).
|
|
|
|
|
Pagrindinė logaritminė tapatybė |
|
Parodykime, kaip bet kurią formos a b funkciją galima padaryti eksponentinę. Kadangi e x formos funkcija vadinama eksponentine, tai |
|
Bet kuri a b formos funkcija gali būti pavaizduota dešimties laipsniu |
|
Natūralusis logaritmas ln (logaritmas iki bazės e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0
Taylor serija. Taylor serijos funkcijos išplėtimas.
Pasirodo, kad dauguma praktiškai susidurta matematinės funkcijos gali būti pavaizduotos bet kokiu tikslumu arti tam tikro taško laipsnių eilučių pavidalu, kuriose yra kintamojo laipsniai didėjančia tvarka. Pavyzdžiui, šalia taško x=1:
Naudojant seriją, vadinamą Teiloro eilės, mišrios funkcijos, kuriose yra, tarkime, algebrinių, trigonometrinių ir eksponentinių funkcijų, gali būti išreikštos grynai algebrinėmis funkcijomis. Naudodami serijas dažnai galite greitai diferencijuoti ir integruoti.
Taylor serija, esanti šalia taško a, yra tokia:
1)
, kur f(x) yra funkcija, turinti visų eilių išvestines, kai x=a. R n – likęs terminas Taylor serijoje nustatomas pagal išraišką
2)
Eilutės k-asis koeficientas (prie x k) nustatomas pagal formulę
3) Ypatingas Taylor serijos atvejis yra Maclaurin (= McLaren) serija (išsiplėtimas vyksta aplink tašką a=0)
esant a=0
serijos nariai nustatomi pagal formulę
Taylor serijos naudojimo sąlygos.
1. Kad funkcija f(x) būtų išplėsta į Teiloro eilutę intervale (-R;R), būtina ir pakanka, kad Teiloro (Maklaurino (=McLaren)) formulės likęs narys. funkcija linkusi į nulį kaip k →∞ nurodytame intervale (-R;R).
2. Būtina, kad taške, šalia kurio statysime Teiloro eilutę, būtų duotosios funkcijos išvestinės.
Taylor serijos savybės.
Jei f yra analitinė funkcija, tai jos Taylor serija bet kuriame f apibrėžimo srities taške suartėja su f tam tikroje a kaimynystėje.
Yra be galo diferencijuojamų funkcijų, kurių Teiloro eilutė suartėja, bet tuo pat metu skiriasi nuo funkcijos bet kurioje a kaimynystėje. Pavyzdžiui:
Taylor serijos naudojamos apytiksliai (apytiksliai - mokslinis metodas, kuris susideda iš kai kurių objektų pakeitimo kitais, viena ar kita prasme artimais originaliems, bet paprastesnėmis) funkcijomis daugianariais. Visų pirma, linearizacija ((iš linearis - tiesinė), vienas iš uždarų netiesinių sistemų apytikslio atvaizdavimo metodų, kuriame netiesinės sistemos tyrimas pakeičiamas tiesinės sistemos analize, tam tikra prasme lygiaverte pradinei. .) lygtys atsiranda išplečiant Taylor seriją ir atimant visus terminus, viršijančius pirmąją eilę.
Taigi beveik bet kuri funkcija gali būti pavaizduota kaip polinomas tam tikru tikslumu.
Kai kurių bendrų galios funkcijų išplėtimo pavyzdžiai Maclaurin serijose (= McLaren, Taylor 0 taško apylinkėse) ir Taylor 1 taško apylinkėse. Pirmieji pagrindinių funkcijų išplėtimo terminai Taylor ir McLaren serijose.
Kai kurių įprastų galios funkcijų išplėtimo Maclaurin serijoje pavyzdžiai (= McLaren, Taylor netoli taško 0)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kai kurių įprastų Taylor serijos išplėtimų, esančių netoli 1 punkto, pavyzdžiai
|
|
|
Kas yra logaritmas?
Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)
Kas yra logaritmas? Kaip išspręsti logaritmus? Šie klausimai glumina daugelį abiturientų. Tradiciškai logaritmų tema laikoma sudėtinga, nesuprantama ir bauginančia. Ypač lygtys su logaritmais.
Tai visiškai netiesa. absoliučiai! Netikite manimi? gerai. Dabar vos per 10–20 minučių jūs:
1. Suprasite kas yra logaritmas.
2. Išmokite apsispręsti visa klasė eksponentinės lygtys. Net jei nieko apie juos negirdėjote.
3. Išmokite skaičiuoti paprastus logaritmus.
Be to, tam jums tereikia žinoti daugybos lentelę ir kaip skaičių pakelti į laipsnį...
Jaučiu, kad tau kyla abejonių... Na, gerai, pažymėk laiką! Pirmyn!
Pirmiausia savo galvoje išspręskite šią lygtį:
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.