Sinuso ir trupmeninės laipsnio integralai. Trigonometrinių funkcijų integravimas
Pateikiamos pagrindinės trigonometrinės formulės ir pagrindiniai pakaitalai. Integravimo metodai trigonometrinės funkcijos- racionaliųjų funkcijų integravimas, sin x ir cos x laipsnio funkcijų sandauga, daugianario, eksponento ir sinuso arba kosinuso sandauga, atvirkštinių trigonometrinių funkcijų integravimas. Paveikti nestandartiniai metodai.
TurinysStandartiniai trigonometrinių funkcijų integravimo metodai
Bendras požiūris
Pirmiausia, jei reikia, integrandas turi būti transformuojamas taip, kad trigonometrinės funkcijos priklausytų nuo vieno argumento, kuris sutaptų su integravimo kintamuoju.
Pavyzdžiui, jei integrandas priklauso nuo nuodėmė (x+a) ir cos(x+b), tuomet turėtumėte atlikti transformaciją:
cos (x+b) = cos (x+a - (a-b)) = cos (x+a) cos (b-a) + nuodėmė(x+a) nuodėmė(b-a).
Tada atlikite pakeitimą z = x+a . Dėl to trigonometrinės funkcijos priklausys tik nuo integravimo kintamojo z .
Kai trigonometrinės funkcijos priklauso nuo vieno argumento, sutampančio su integravimo kintamuoju (tarkime, kad tai yra z ), tai yra, integrandą sudaro tik tipo funkcijos sin z,
cos z,
tgz,
ctgz, tuomet reikia pakeisti
.
Toks pakeitimas veda į racionalių arba neracionalių funkcijų integravimą (jei yra šaknys) ir leidžia apskaičiuoti integralą, jei jis yra integruotas į elementariąsias funkcijas.
Tačiau dažnai galima rasti ir kitų metodų, leidžiančių integralą apskaičiuoti trumpiau, remiantis integrando specifika. Žemiau pateikiama pagrindinių tokių metodų santrauka.
Sin x ir cos x racionaliųjų funkcijų integravimo metodai
Racionalios funkcijos iš nuodėmė x ir cos x yra funkcijos, gautos iš nuodėmė x,
cos x ir bet kokios konstantos, naudojant sudėjimo, atimties, daugybos, dalybos ir didinimo iki sveikojo skaičiaus laipsnius operacijas. Jie žymimi taip: R (sinx, cosx). Tai taip pat gali apimti liestines ir kotangentus, nes jie susidaro padalijus sinusą iš kosinuso ir atvirkščiai.
Racionalių funkcijų integralai turi tokią formą:
.
Racionalių trigonometrinių funkcijų integravimo metodai yra tokie.
1) Pakeitimas visada veda į integralą racionalioji trupmena. Tačiau kai kuriais atvejais yra pakeitimų (žr. toliau), dėl kurių skaičiavimai atliekami trumpiau.
2) Jei R (sinx, cosx) cos x → - cos x nuodėmė x.
3) Jei R (sinx, cosx) padaugintas iš -1 keičiant sin x → - sin x, tada pakaitalas t = cos x.
4) Jei R (sinx, cosx) nesikeičia kaip tuo pačiu metu keičiant cos x → - cos x, ir sin x → - sin x, tada pakaitalas t = tg x arba t= ctg x.
Pavyzdžiai:
,
,
.
Cos x ir sin x galios funkcijų sandauga
Formos integralai
yra racionalių trigonometrinių funkcijų integralai. Todėl jiems gali būti taikomi ankstesniame skyriuje aprašyti metodai. Žemiau aptariame metodus, pagrįstus tokių integralų specifika.
Jei m ir n racionalūs numeriai, tada vienas iš pakeitimų t = nuodėmė x arba t= cos x integralas redukuojasi į diferencialinio dvinario integralą.
Jei m ir n yra sveikieji skaičiai, tada integravimas atliekamas naudojant redukcijos formules:
;
;
;
.
Pavyzdys:
.
Integralai iš daugianario ir sinuso arba kosinuso sandaugos
Formos integralai:
,
,
kur P(x) yra x daugianomas, integruojami dalimis. Dėl to gaunamos šios formulės:
;
.
Pavyzdžiai:
,
.
Integralai iš daugianario, eksponento ir sinuso arba kosinuso sandaugos
Formos integralai:
,
,
kur P(x) yra x daugianomas, integruojami naudojant Eulerio formulę
e iax = cos ax + isin ax(kur i 2 = - 1
).
Tam integralas apskaičiuojamas naudojant ankstesnėje pastraipoje aprašytą metodą
.
Iš rezultato atskyrus tikrąją ir menamąją dalis, gaunami pirminiai integralai.
Pavyzdys:
.
Nestandartiniai trigonometrinių funkcijų integravimo metodai
Žemiau yra keletas nestandartinių metodų, leidžiančių atlikti arba supaprastinti trigonometrinių funkcijų integravimą.
Priklausomybė nuo (a sin x + b cos x)
Jei integrandas priklauso tik nuo a sin x + b cos x, naudinga taikyti formulę:
,
kur .
Pavyzdžiui
Trupmenų skaidymas iš sinusų ir kosinusų į paprastesnes trupmenas
Apsvarstykite integralą
.
Lengviausias būdas integruoti – trupmeną išskaidyti į paprastesnes, taikant transformaciją:
sin(a - b) = sin(x + a - (x + b)) = sin(x+a) cos(x+b) – cos(x+a) sin(x+b)
Pirmojo laipsnio trupmenų integravimas
At integralinis skaičiavimas
,
patogu pasirinkti sveikąją trupmenos dalį ir vardiklio išvestinę
a 1 sin x + b 1 cos x = A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x)′ .
Konstantos A ir B randamos lyginant kairę ir dešinę puses.
Nuorodos:
N.M. Gunteris, R.O. Kuzminas, Užduočių rinkinys aukštoji matematika, „Lan“, 2003 m.
Taip pat bus pateiktos užduotys savarankiškam sprendimui, į kurias matysite atsakymus.
Integrandą galima paversti iš trigonometrinių funkcijų sandaugos į sumą
Apsvarstykite integralus, kuriuose integralas yra x pirmojo laipsnio sinusų ir kosinusų sandauga, padauginta iš skirtingų faktorių, tai yra formos integralus
Naudojant gerai žinomas trigonometrines formules
(2)
(3)
(4)
kiekvieną sandaugą formos (31) integraluose galima paversti algebrine suma ir integruoti pagal formules
(5)
(6)
1 pavyzdys Rasti
Sprendimas. Pagal (2) formulę at
2 pavyzdys Rasti trigonometrinės funkcijos integralas
Sprendimas. Pagal (3) formulę at
3 pavyzdys Rasti trigonometrinės funkcijos integralas
Sprendimas. Pagal (4) formulę at gauname tokią integrando transformaciją:
Taikydami formulę (6), gauname
To paties argumento sinuso ir kosinuso laipsnių sandaugos integralas
Dabar panagrinėkime funkcijų integralus, kurie yra to paties argumento sinuso ir kosinuso laipsnių sandauga, t.y.
(7)
Tam tikrais atvejais vienas iš rodiklių ( m arba n) gali būti nulis.
Integruojant tokias funkcijas remiamasi tuo, kad lyginė kosinuso galia gali būti išreikšta sinusu, o sinuso diferencialas lygus cos x dx(arba lyginė sinuso galia gali būti išreikšta kosinusu, o kosinuso diferencialas yra - sin x dx ) .
Reikėtų išskirti du atvejus: 1) bent vieną iš rodiklių m ir n nelyginis; 2) abu rodikliai yra lygūs.
Tegul įvyksta pirmasis atvejis, būtent eksponentas n = 2k+ 1 - nelyginis. Tada, atsižvelgiant į tai
Integrandas pateikiamas taip, kad viena jo dalis yra tik sinuso funkcija, o kita – sinuso diferencialas. Dabar su kintamojo pasikeitimu t= nuodėmė x sprendimas redukuojamas į daugianario integravimą atžvilgiu t. Jei tik laipsnis m yra nelyginis, tada atlikite tą patį, atskirdami veiksnį nuodėmė x, išreiškiantis likusią integrando dalį cos x ir darant prielaidą t= cos x. Šis metodas taip pat gali būti naudojamas, kai sinuso ir kosinuso dalinių laipsnių integravimas , kada bent vienas iš rodiklių yra nelyginis . Visa esmė ta sinuso ir kosinuso laipsnių koeficientas yra ypatinga byla jų darbai : kai trigonometrinė funkcija yra integrando vardiklyje, jos laipsnis yra neigiamas. Tačiau pasitaiko ir dalinių trigonometrinių funkcijų atvejų, kai jų laipsniai yra tik lyginiai. Apie juos – kita pastraipa.
Jei abu rodikliai m ir n yra lygūs, tada naudojant trigonometrines formules
sumažinkite sinuso ir kosinuso eksponentus, o po to bus gautas to paties tipo integralas, kaip nurodyta aukščiau. Todėl integracija turėtų būti tęsiama taip pat. Jei vienas iš lyginių rodiklių yra neigiamas, tai yra, atsižvelgiama į sinuso ir kosinuso lyginių laipsnių koeficientą, tada ši schema netinka . Tada naudojamas kintamojo pakeitimas, priklausomai nuo to, kaip integrandas gali būti transformuojamas. Toks atvejis bus nagrinėjamas kitame skyriuje.
4 pavyzdys Rasti trigonometrinės funkcijos integralas
Sprendimas. Kosinuso rodiklis yra nelyginis. Todėl įsivaizduokite
t= nuodėmė x(tada dt= cos x dx ). Tada gauname
Grįžę prie senojo kintamojo, pagaliau randame
5 pavyzdys Rasti trigonometrinės funkcijos integralas
.
Sprendimas. Kosinuso rodiklis, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, yra nelyginis, bet daugiau. Įsivaizduok
ir pakeiskite kintamąjį t= nuodėmė x(tada dt= cos x dx ). Tada gauname
Atidarykime skliaustus
ir gauti
Grįžę prie senojo kintamojo, gauname sprendimą
6 pavyzdys Rasti trigonometrinės funkcijos integralas
Sprendimas. Sinuso ir kosinuso rodikliai yra lyginiai. Todėl integrandą transformuojame taip:
Tada gauname
Antrajame integrale pakeičiame kintamąjį, nustatymą t= nuodėmė2 x. Tada (1/2)dt= cos2 x dx . Vadinasi,
Pagaliau gauname
Kintamojo keitimo metodo naudojimas
Kintamasis pakeitimo būdas integruojant trigonometrines funkcijas, jis gali būti naudojamas tais atvejais, kai integrande yra tik sinusas arba tik kosinusas, sinuso ir kosinuso sandauga, kur sinusas arba kosinusas yra pirmame laipsnyje, liestinė arba kotangentė, taip pat kaip vieno ir to paties argumento sinuso ir kosinuso lyginių laipsnių koeficientas. Tokiu atveju permutacijas galima atlikti ne tik nuodėmę x = t ir nuodėmė x = t, bet ir tg x = t ir ctg x = t .
8 pavyzdys Rasti trigonometrinės funkcijos integralas
.
Sprendimas. Pakeiskime kintamąjį: , tada . Gautas integrandas lengvai integruojamas į integralų lentelę:
.
9 pavyzdys Rasti trigonometrinės funkcijos integralas
Sprendimas. Paverskime liestinę į sinuso ir kosinuso santykį:
Pakeiskime kintamąjį: , tada . Gautas integrandas yra stalo integralas su minuso ženklu:
.
Grįžę prie pradinio kintamojo, galiausiai gauname:
.
10 pavyzdys Rasti trigonometrinės funkcijos integralas
Sprendimas. Pakeiskime kintamąjį: , tada .
Transformuojame integrandą, kad pritaikytume trigonometrinę tapatybę :
Keičiame kintamąjį, nepamiršdami prieš integralą įdėti minuso ženklo (žr. aukščiau, kas yra lygi dt). Toliau integrandą išskaidome į veiksnius ir integruojame pagal lentelę:
Grįžę prie pradinio kintamojo, galiausiai gauname:
.
Pats raskite trigonometrinės funkcijos integralą ir pamatykite sprendimą
Universalus trigonometrinis pakeitimas
Universalus trigonometrinis pakeitimas gali būti naudojamas tais atvejais, kai integrandas nepatenka į ankstesnėse pastraipose aptartus atvejus. Iš esmės, kai sinusas arba kosinusas (arba abu) yra trupmenos vardiklyje. Įrodyta, kad sinusą ir kosinusą galima pakeisti kita išraiška, kurioje yra pusės pradinio kampo liestinė:
Tačiau atminkite, kad universalus trigonometrinis pakeitimas dažnai apima gana sudėtingas algebrines transformacijas, todėl jį geriausia naudoti, kai neveikia joks kitas metodas. Pažiūrėkime į pavyzdžius, kai kartu su universaliuoju trigonometriniu pakaitalu naudojamas keitimas diferencialo ženklu ir neapibrėžtųjų koeficientų metodas.
12 pavyzdys. Rasti trigonometrinės funkcijos integralas
.
Sprendimas. Sprendimas. Naudokimės universalus trigonometrinis pakeitimas. Tada
.
Skaitiklio ir vardiklio trupmenas padauginame iš , o išimame dviženklį ir dedame prieš integralo ženklą. Tada
Sudėtingi integralai
Šis straipsnis užbaigia neapibrėžtų integralų temą ir apima integralus, kurie, mano nuomone, yra gana sudėtingi. Pamoka buvo sukurta ne kartą lankytojų prašymu, kurie išreiškė pageidavimą, kad svetainėje būtų analizuojami sunkesni pavyzdžiai.
Daroma prielaida, kad šio teksto skaitytojas yra gerai pasiruošęs ir žino, kaip taikyti pagrindinius integravimo būdus. Manekenai ir žmonės, kurie nelabai pasitiki integralais, turėtų kreiptis į pačią pirmąją pamoką - Neapibrėžtas integralas. Sprendimo pavyzdžiai kur galite išmokti temą beveik nuo nulio. Labiau patyrę studentai gali susipažinti su integracijos technikomis ir metodais, su kuriais dar nebuvo susidurta mano straipsniuose.
Kokie integralai bus svarstomi?
Pirma, nagrinėjame integralus su šaknimis, kurių sprendimui nuosekliai naudojame kintamasis pakeitimas ir integravimas dalimis. Tai yra, viename pavyzdyje vienu metu derinami du metodai. Ir dar daugiau.
Tada susipažinsime su įdomiu ir originaliu integralo redukavimo į save metodą. Taip išsprendžiama ne tiek ir mažai integralų.
Trečiasis programos numeris bus kompleksinių trupmenų integralai, kurie ankstesniuose straipsniuose praskriejo pro kasos aparatą.
Ketvirta, bus analizuojami papildomi integralai iš trigonometrinių funkcijų. Visų pirma, yra metodų, kuriais išvengiama daug laiko reikalaujančio universalaus trigonometrinio pakeitimo.
(2) Integrande dalijame skaitiklį iš vardiklio termino.
(3) Naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybę. Paskutiniame integrale iškart perkelkite funkciją po diferencialo ženklu.
(4) Imame likusius integralus. Atminkite, kad logaritme galite naudoti skliaustus, o ne modulį, nes .
(5) Atliekame atvirkštinį pakeitimą, išreikšdami tiesioginį pakeitimą „te“:
Mazochistiniai studentai gali atskirti atsakymą ir gauti pradinį integrandą, kaip ką tik padariau aš. Ne, ne, patikrinau teisinga prasme =)
Kaip matote, sprendimo eigoje teko panaudoti net daugiau nei du sprendimo būdus, todėl norint susidoroti su tokiais integralais, reikia užtikrintų integravimo įgūdžių ir ne mažiau patirties.
Praktikoje, žinoma, kvadratinė šaknis yra labiau paplitusi, čia yra trys nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:
2 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
3 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
4 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Šie pavyzdžiai yra to paties tipo, todėl visas sprendimas straipsnio pabaigoje bus skirtas tik 2 pavyzdžiui, 3-4 pavyzdžiuose – vienas atsakymas. Kurį pakaitalą naudoti sprendimų pradžioje, manau, akivaizdu. Kodėl pasirinkau tokio paties tipo pavyzdžius? Dažnai sutinkami jų vaidmenyse. Dažniau galbūt tiesiog kažkas panašaus .
Tačiau ne visada, kai tiesinės funkcijos šaknis yra po arkos tangentu, sinusu, kosinusu, eksponentu ir kitomis funkcijomis, vienu metu reikia taikyti kelis metodus. Daugeliu atvejų galima „išlipti lengvai“, tai yra iškart po pakeitimo gaunamas paprastas integralas, kuris imamas elementariai. Lengviausia iš aukščiau pasiūlytų užduočių yra 4 pavyzdys, kuriame po pakeitimo gaunamas gana paprastas integralas.
Integralo redukavimo į save metodas
Protingas ir gražus metodas. Pažvelkime į šio žanro klasiką:
5 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Po šaknimi yra kvadratinis dvinaris, o bandant integruoti šį pavyzdį arbatinukas gali kentėti valandas. Toks integralas paimamas dalimis ir redukuojamas į save. Iš principo tai nėra sunku. Jei žinai kaip.
Pažymėkime nagrinėjamąjį integralą lotyniška raide ir pradėkime sprendimą:
Integravimas dalimis:
(1) Paruošiame integrandą padalijimui pagal terminą.
(2) Integrandą dalijame iš termino. Galbūt ne visi supranta, parašysiu plačiau:
(3) Naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybę.
(4) Imame paskutinį integralą („ilgasis“ logaritmas).
Dabar pažvelkime į pačią sprendimo pradžią:
O pabaigai:
Kas nutiko? Dėl mūsų manipuliacijų integralas sumažėjo iki savęs!
Sulyginkite pradžią ir pabaigą:
Perkeliame į kairę pusę su ženklo pakeitimu:
Ir nugriauname dvikovą į dešinę pusę. Kaip rezultatas:
Konstanta, griežtai tariant, turėjo būti pridėta anksčiau, bet aš ją pridėjau pabaigoje. Primygtinai rekomenduoju perskaityti, koks yra sunkumas čia:
Pastaba:
Griežčiau Galutinis etapas sprendimas atrodo taip:
Šiuo būdu:
Konstantą galima pervadinti naudojant . Kodėl galite pervardyti? Nes vis tiek reikia bet koks reikšmės, ir šia prasme nėra skirtumo tarp konstantų ir.
Kaip rezultatas:
Panašus triukas su nuolatiniu pervadinimu yra plačiai naudojamas diferencialines lygtis. O ten aš būsiu griežtas. O štai tokias laisves aš leidžiau tik tam, kad nesupainiočiau jūsų su nereikalingais dalykais ir susikoncentruotumėte į patį integracijos metodą.
6 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Kitas tipiškas nepriklausomo sprendimo integralas. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Skirtumas nuo ankstesnio pavyzdžio atsakymo bus toks!
Jei pagal kvadratinė šaknis randamas kvadratinis trinaris, tada sprendimas bet kuriuo atveju redukuojamas į du analizuotus pavyzdžius.
Pavyzdžiui, apsvarstykite integralą . Viskas, ką jums reikia padaryti, tai iš anksto pasirinkite visą kvadratą:
.
Toliau atliekamas linijinis pakeitimas, kuris valdo „be jokių pasekmių“:
, todėl gaunamas integralas . Kažkas pažįstamo, tiesa?
Arba šis pavyzdys su kvadratiniu dvejetainiu:
Viso kvadrato pasirinkimas:
Ir po tiesinio pakeitimo gauname integralą , kurį taip pat išsprendžia jau svarstytas algoritmas.
Apsvarstykite dar du tipinius pavyzdžius, kaip sumažinti integralą į save:
yra laipsnio integralas, padaugintas iš sinuso;
yra rodiklio integralas, padaugintas iš kosinuso.
Išvardytuose integraluose pagal dalis turėsite integruoti jau du kartus:
7 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Integrandas yra eksponentas, padaugintas iš sinuso.
Integruojame dalimis du kartus ir integralą sumažiname į save:
Dėl dvigubo integravimo dalimis integralas redukuojamas į save. Sulyginkite sprendimo pradžią ir pabaigą:
Perkeliame į kairę pusę su ženklo pakeitimu ir išreiškiame integralą:
Paruošta. Pakeliui pageidautina šukuoti dešinįjį šoną, t.y. išimkite eksponentą iš skliaustų, o sinusą ir kosinusą įdėkite į skliaustus „gražia“ tvarka.
Dabar grįžkime į pavyzdžio pradžią, tiksliau, prie integravimo dalimis:
Nes mes paskyrėme parodos dalyvį. Kyla klausimas, ar eksponentas visada turėtų būti žymimas ? Nereikalinga. Tiesą sakant, laikomame integralu iš esmės nesvarbu, ką žymėti, galima eiti ir kitaip:
Kodėl tai įmanoma? Kadangi eksponentas virsta savimi (diferencijuojant ir integruojant), sinusas ir kosinusas tarpusavyje virsta vienas kitu (vėlgi, tiek diferencijuojant, tiek integruojant).
Tai yra, galima pažymėti ir trigonometrinę funkciją. Tačiau nagrinėjamame pavyzdyje tai yra mažiau racionalu, nes atsiras trupmenos. Jei norite, galite pabandyti išspręsti šį pavyzdį antruoju būdu, atsakymai turi būti vienodi.
8 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Prieš priimdami sprendimą, pagalvokite, ką šiuo atveju naudingiau priskirti eksponentinei ar trigonometrinei funkcijai? Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Ir, žinoma, nepamirškite, kad daugumą šios pamokos atsakymų gana lengva patikrinti diferencijuojant!
Pavyzdžiai nebuvo laikomi pačiais sunkiausiais. Praktikoje labiau paplitę integralai, kur konstanta yra ir laipsnyje, ir trigonometrinės funkcijos argumente, pavyzdžiui: . Daugeliui žmonių teks susipainioti tokiame integrale, o aš pats dažnai susipainioju. Faktas yra tas, kad tirpale yra didelė trupmenų atsiradimo tikimybė ir labai lengva ką nors prarasti dėl neatidumo. Be to, yra didelė ženklų klaidų tikimybė, atkreipkite dėmesį, kad rodiklyje yra minuso ženklas, o tai sukelia papildomų sunkumų.
Paskutiniame etape dažnai pasirodo kažkas panašaus į tai:
Net sprendimo pabaigoje turėtumėte būti ypač atsargūs ir teisingai elgtis su trupmenomis:
Sudėtingų trupmenų integravimas
Pamažu artėjame prie pamokos pusiaujo ir pradedame svarstyti trupmenų integralus. Vėlgi, ne visi jie yra labai sudėtingi, tik dėl vienokių ar kitokių priežasčių pavyzdžiai buvo šiek tiek „ne į temą“ kituose straipsniuose.
Tęsiant šaknų temą
9 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Vardiklyje po šaknimi yra kvadratinis trinaris plius už šaknies „priedas“ „X“ pavidalu. Šios formos integralas išsprendžiamas naudojant standartinį pakaitalą.
Mes nusprendžiame:
Pakeitimas čia yra paprastas:
Žvelgiant į gyvenimą po pakeitimo:
(1) Po pakeitimo sumažiname iki Bendras vardiklis terminai po šaknimi.
(2) Išimame iš po šaknies.
(3) Sumažiname skaitiklį ir vardiklį . Tuo pačiu metu pagal šaknį pertvarkiau sąlygas patogia tvarka. Turint tam tikrą patirtį, žingsnius (1), (2) galima praleisti, atliekant komentuojamus veiksmus žodžiu.
(4) Gautas integralas, kaip prisimenate iš pamokos Kai kurių trupmenų integravimas, yra išspręsta pilno kvadrato pasirinkimo metodas. Pasirinkite visą kvadratą.
(5) Integruodami gauname įprastą „ilgąjį“ logaritmą.
(6) Atliekame atvirkštinį pakeitimą. Jei iš pradžių , tada atgal: .
(7) Paskutiniu veiksmu siekiama iškirpti rezultatą: po šaknimi vėl sujungiame terminus į bendrą vardiklį ir išimame juos iš po šaknies.
10 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Čia prie vienetinio x pridedama konstanta, o pakeitimas yra beveik toks pat:
Vienintelis dalykas, kurį reikia padaryti papildomai, yra išreikšti „x“ iš pakeitimo:
Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Kartais tokiame integrale po šaknimi gali būti kvadratinis dvinaris, tai nekeičia sprendimo būdo, bus net dar paprasčiau. Jausti skirtumą:
11 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
12 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Trumpi sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje. Reikėtų pažymėti, kad 11 pavyzdys yra būtent toks binominis integralas, kurio sprendimo būdas buvo aptartas pamokoje Iracionaliųjų funkcijų integralai.
Neskaidomo 2-ojo laipsnio daugianario integralas į laipsnį
(polinomas vardiklyje)
Retesnė, bet vis dėlto praktiniuose pavyzdžiuose pasitaikanti integralo forma.
13 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Bet grįžkime prie pavyzdžio su laimingu skaičiumi 13 (tiesą pasakius, neatspėjau). Šis integralas taip pat priklauso tų, su kuriais galite labai nukentėti, jei nežinote, kaip išspręsti.
Sprendimas prasideda dirbtine transformacija:
Manau, visi jau supranta, kaip dalyti skaitiklį iš vardiklio termino iš termino.
Gautas integralas paimamas dalimis:
Formos integralui ( – natūralusis skaičius) išvestinė pasikartojantis pažeminimo formulė:
, kur yra žemesnio laipsnio integralas.
Patikrinkime šios formulės pagrįstumą išspręstam integralui .
Šiuo atveju: , , naudojame formulę:
Kaip matote, atsakymai yra tie patys.
14 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Mėginio tirpale naudojama aukščiau pateikta formulė du kartus iš eilės.
Jei pagal laipsnį yra neskaidomas kvadratinis trinalis, tada sprendimas sumažinamas iki dvejetainio, ištraukiant visą kvadratą, pavyzdžiui:
Ką daryti, jei skaitiklyje yra papildomas daugianomas? Šiuo atveju naudojamas neapibrėžtųjų koeficientų metodas, o integrandas išplečiamas į trupmenų sumą. Bet mano praktikoje toks pavyzdys niekada nesusitiko, todėl šį atvejį straipsnyje praleidau Trupmeninės-racionalios funkcijos integralai, dabar praleisiu. Jei toks integralas vis tiek pasitaiko, žiūrėkite vadovėlį – ten viskas paprasta. Nemanau, kad tikslinga įtraukti medžiagą (net ir paprastą), su kuria susitikimo tikimybė linkusi į nulį.
Sudėtingų trigonometrinių funkcijų integravimas
Daugumos pavyzdžių būdvardis „sunku“ vėlgi iš esmės yra sąlyginis. Pradėkime nuo liestinių ir kotangentų didelėmis galiomis. Lietinės ir kotangento sprendimo metodų požiūriu yra beveik vienodi, todėl plačiau kalbėsiu apie liestinę, tai reiškia, kad parodytas integralo sprendimo būdas galioja ir kotangentui.
Aukščiau pateiktoje pamokoje mes apžvelgėme universalus trigonometrinis pakeitimas tam tikro tipo trigonometrinių funkcijų integralams išspręsti. Universalaus trigonometrinio pakeitimo trūkumas yra tas, kad jo taikymas dažnai sukelia sudėtingus integralus, kuriuos reikia atlikti sudėtingais skaičiavimais. Ir kai kuriais atvejais universalaus trigonometrinio pakeitimo galima išvengti!
Apsvarstykite kitą kanoninį pavyzdį, vienybės integralą, padalytą iš sinuso:
17 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Čia galite naudoti universalųjį trigonometrinį pakaitalą ir gauti atsakymą, tačiau yra racionalesnis būdas. Kiekvienam žingsniui pateiksiu išsamų sprendimą su komentarais:
(1) Naudokite trigonometrinę sinuso formulę dvigubas kampas.
(2) Atliekame dirbtinę transformaciją: Vardiklyje dalijame ir dauginame iš .
(3) Autorius gerai žinoma formulė vardiklyje trupmeną paverčiame liestine.
(4) Pažymime funkciją po diferencialo ženklu.
(5) Imame integralą.
Keletas paprastų pavyzdžių, kuriuos galite išspręsti patys:
18 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Patarimas: pats pirmas žingsnis yra naudoti mažinimo formulę ir atidžiai atlikite veiksmus, panašius į ankstesnį pavyzdį.
19 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Na, tai labai paprastas pavyzdys.
Užbaigti sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.
Manau, kad dabar niekas neturės problemų su integralais:
ir tt
Kokia metodo idėja? Idėja yra naudoti transformacijas, trigonometrines formules, kad būtų galima organizuoti tik liestinės ir liestinės išvestinę integrande. Tai yra, Mes kalbame apie pakeitimą: . 17–19 pavyzdžiuose iš tikrųjų naudojome šį pakeitimą, tačiau integralai buvo tokie paprasti, kad tai buvo padaryta lygiaverčiu veiksmu – funkcijai perkeliant diferencialinį ženklą.
Panašus samprotavimas, kaip jau minėjau, gali būti atliktas ir kotangentui.
Taip pat yra formali išankstinė sąlyga, kad būtų galima taikyti pirmiau nurodytą pakeitimą:
Kosinuso ir sinuso laipsnių suma yra neigiamas sveikasis skaičius LYGINIS, pavyzdžiui:
integralui – sveikasis neigiamas LYGINIS skaičius.
! Pastaba : jei integralas turi TIK sinusą arba TIK kosinusą, tai integralas imamas net ir su neigiamu nelyginiu laipsniu (paprasčiausi atvejai yra pavyzdžiuose Nr. 17, 18).
Apsvarstykite keletą prasmingesnių šios taisyklės užduočių:
20 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Sinuso ir kosinuso laipsnių suma: 2 - 6 \u003d -4 - neigiamas sveikasis skaičius LYGINIS skaičius, o tai reiškia, kad integralas gali būti sumažintas iki liestinių ir jo išvestinės:
(1) Transformuokime vardiklį.
(2) Pagal gerai žinomą formulę gauname .
(3) Transformuokime vardiklį.
(4) Mes naudojame formulę .
(5) Funkciją pateikiame po diferencialiniu ženklu.
(6) Mes atliekame pakeitimą. Labiau patyrę studentai gali neatlikti keitimo, bet vis tiek geriau liestinę pakeisti viena raide - yra mažesnė painiavos rizika.
21 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys.
Laikykitės, čempionato etapai prasideda =)
Dažnai integrande yra „dėmėsis“:
22 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Šis integralas iš pradžių turi liestinę, kuri iš karto rodo jau pažįstamą mintį:
Dirbtinę transformaciją paliksiu pačioje pradžioje ir kitus veiksmus be komentarų, nes viskas jau buvo pasakyta aukščiau.
Keletas kūrybingų savarankiško sprendimo pavyzdžių:
23 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
24 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Taip, juose, žinoma, galite sumažinti sinuso, kosinuso laipsnius, naudoti universalų trigonometrinį pakaitalą, tačiau sprendimas bus daug efektyvesnis ir trumpesnis, jei jis bus nubrėžtas per liestinę. Visas sprendimas ir atsakymai pamokos pabaigoje
Detaliau nagrinėjami integralų dalimis sprendinių pavyzdžiai, kurių integrandas yra daugianario ir laipsnio sandauga (e iki x laipsnio) arba sinuso (sin x) arba kosinuso (cos x).
TurinysTaip pat žiūrėkite: Integravimo dalimis būdas
Neapibrėžtų integralų lentelė
Neapibrėžtinių integralų skaičiavimo metodai
Pagrindinės elementarios funkcijos ir jų savybės
Integravimas pagal dalių formulę
Sprendžiant šio skyriaus pavyzdžius, naudojama integravimo pagal dalis formulė:
;
.
Integralų, kuriuose yra daugianario ir sin x, cos x arba e x sandauga, pavyzdžiai
Štai tokių integralų pavyzdžiai:
, , .
Norint integruoti tokius integralus, daugianomas žymimas u, o likusioji dalis – v dx . Toliau taikoma integravimo pagal dalis formulė.
Žemiau pateikiamas išsamus šių pavyzdžių sprendimas.
Integralų sprendimo pavyzdžiai
Pavyzdys su laipsniu, e iki x laipsnio
Apibrėžkite integralą:
.
Rodiklį pristatome po diferencialo ženklu:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).
Integruojame dalimis.
čia
.
Likęs integralas taip pat integruojamas dalimis.
.
.
.
Pagaliau turime:
.
Integralo su sinusu apibrėžimo pavyzdys
Apskaičiuokite integralą:
.
Sinusą pristatome po diferencialo ženklu:
Integruojame dalimis.
čia u = x 2, v = cos (2x+3), du = (
x2 )′
dx
Likęs integralas taip pat integruojamas dalimis. Norėdami tai padaryti, po diferencialo ženklu įvedame kosinusą.
čia u = x, v = nuodėmė (2x+3), du = dx
Pagaliau turime:
Polinomo ir kosinuso sandaugos pavyzdys
Apskaičiuokite integralą:
.
Po diferencialo ženklu pristatome kosinusą:
Integruojame dalimis.
čia u = x 2+3x+5, v = sin2x, du = (
x 2 + 3 x + 5 )′
dx
Trigonometrinių funkcijų integralai.
Sprendimo pavyzdžiai
Ant šią pamoką laikysime trigonometrinių funkcijų integralus, tai yra, integralų užpildymas bus sinusai, kosinusai, liestinės ir kotangentai įvairiuose deriniuose. Visi pavyzdžiai bus išsamiai išanalizuoti, prieinami ir suprantami net arbatinukui.
Norėdami sėkmingai studijuoti trigonometrinių funkcijų integralus, turite gerai išmanyti paprasčiausius integralus, taip pat įvaldyti kai kuriuos integravimo būdus. Su šia medžiaga galite susipažinti paskaitose. Neapibrėžtas integralas. Sprendimo pavyzdžiai ir .
O dabar mums reikia: Integralų lentelė, Išvestinė lentelė ir Trigonometrinių formulių žinynas. Visi mokymo priemones galima rasti puslapyje Matematinės formulės ir lentelės. Rekomenduoju viską atsispausdinti. Ypatingą dėmesį skiriu trigonometrines formules, jie turi būti prieš akis– be jo pastebimai sumažės darbo efektyvumas.
Bet pirmiausia, apie kokius integralus šiame straipsnyje Nr. Čia nėra formos integralų, - kosinusas, sinusas, padaugintas iš kokio nors daugianario (rečiau kažkas su liestine ar kotangentu). Tokie integralai integruojami dalimis, o norėdami išmokti metodą, apsilankykite pamokoje Integravimas dalimis. Sprendimų pavyzdžiai Taip pat nėra integralų su "arkomis" - lanko liestinė, lanko sinusas ir pan., jie taip pat dažniausiai integruojami dalimis.
Ieškant trigonometrinių funkcijų integralų, naudojami keli metodai:
(4) Naudokite lentelės formulę , vienintelis skirtumas yra tas, kad vietoj „x“ turime sudėtingą išraišką.
2 pavyzdys
3 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Žanro klasika tiems, kurie skęsta turnyrinėje lentelėje. Kaip tikriausiai pastebėjote, integralų lentelėje nėra liestinės ir kotangento integralo, tačiau, nepaisant to, tokių integralų galima rasti.
(1) Mes naudojame trigonometrinę formulę
(2) Funkciją perkeliame po diferencialo ženklu.
(3) Naudokite lentelių integralą .
4 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, visas sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.
5 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Mūsų lygis palaipsniui didės =).
Pirmas sprendimas:
(1) Mes naudojame formulę
(2) Mes naudojame pagrindinę trigonometrinę tapatybę , iš kurio išplaukia, kad .
(3) Padalinkite skaitiklį iš vardiklio termino.
(4) Mes naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybę.
(5) Integruojame naudodami lentelę.
6 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, visas sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.
Taip pat yra liestinių ir kotangentų integralai, kurie yra aukštesnėse galiose. Pamokoje nagrinėjamas liestinės integralas kube Kaip apskaičiuoti plokštumos figūros plotą? Puslapyje galima gauti liestinės (kotangento) integralus ketvirtoje ir penktoje laipsnyje Sudėtingi integralai.
Integrando laipsnio mažinimas
Ši technika veikia, kai integrandai yra užpildyti sinusais ir kosinusais net laipsnių. Laipsniui sumažinti naudojamos trigonometrinės formulės , ir , o paskutinė formulė dažniau naudojama priešinga kryptimi: .
7 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Sprendimas:
Iš esmės čia nieko naujo, išskyrus tai, kad pritaikėme formulę (mažinant integrando laipsnį). Atkreipkite dėmesį, kad sutrumpinau sprendimą. Įgyjant patirties integralą galima rasti žodžiu, tai taupo laiką ir yra gana priimtina atliekant užduotis. Tokiu atveju patartina taisyklės nerašyti , pirmiausia žodžiu imame integralą 1, tada - iš .
8 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, visas sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.
Žadamas laipsnio padidinimas:
9 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Pirmiausia sprendimas, vėliau komentarai:
(1) Paruoškite integrandą, kad pritaikytumėte formulę .
(2) Mes iš tikrųjų taikome formulę.
(3) Vardiklį pakeliame kvadratu ir iš integralo ženklo išimame konstantą. Galima būtų padaryti kiek kitaip, bet, mano nuomone, taip patogiau.
(4) Mes naudojame formulę
(5) Trečiajame etape mes vėl sumažiname laipsnį, bet naudojant formulę .
(6) Atneškite kaip terminai(čia aš dalijau terminus pagal terminą ir padarė papildymą).
(7) Mes iš tikrųjų imame integralą, tiesiškumo taisyklę o funkcijos pervedimo po diferencialo ženklu būdas atliekamas žodžiu.
(8) Mes šukuojame atsakymą.
! AT neapibrėžtas integralas dažnai atsakymas gali būti parašytas keliais būdais
Ką tik nagrinėjamame pavyzdyje galutinis atsakymas gali būti parašytas kitaip - atidarykite skliaustus ir netgi padarykite tai prieš integruodami išraišką, tai yra, tokia pavyzdžio pabaiga yra gana priimtina:
Gali būti, kad toks variantas dar patogesnis, tik paaiškinau taip, kaip anksčiau pati apsispręsdavau). Štai dar vienas tipiškas nepriklausomo sprendimo pavyzdys:
10 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Šis pavyzdys išspręstas dviem būdais, ir jūs galite gauti du visiškai skirtingi atsakymai.(tiksliau, jie atrodys visiškai kitaip, bet matematiniu požiūriu bus lygiaverčiai). Tikėtina, kad daugiausiai nematysite racionaliu būdu ir kenčia nuo atidaromų skliaustų, naudojant kitas trigonometrines formules. Veiksmingiausias sprendimas pateikiamas pamokos pabaigoje.
Apibendrindami pastraipą darome išvadą, kad bet koks formos integralas , kur ir - net skaičių, išsprendžiama sumažinus integrando laipsnį.
Praktikoje sutikau integralus su 8 ir 10 laipsnių, teko spręsti jų baisius hemorojus kelis kartus nuleidus laipsnį, todėl atsakymai buvo ilgi, ilgi.
Kintamasis pakeitimo būdas
Kaip minėta straipsnyje Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje, pagrindinė pakeitimo metodo naudojimo sąlyga yra tai, kad integrandas turi tam tikrą funkciją ir jos išvestinę:
(funkcijos nebūtinai yra gaminyje)
11 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Žiūrime į išvestinių lentelę ir pastebime formules, , tai yra, mūsų integrande yra funkcija ir jos išvestinė. Tačiau matome, kad diferencijuojant kosinusas ir sinusas tarpusavyje transformuojasi vienas į kitą, ir kyla klausimas: kaip pakeisti kintamąjį ir ką pažymėti sinusu ar kosinusu ?! Klausimas gali būti išspręstas mokslinio pokšto metodu: jei pakeitimą atliksime neteisingai, nieko gero nebus.
Bendroji rekomendacija: panašiais atvejais reikia pažymėti funkciją, kuri yra vardiklyje.
Mes nutraukiame sprendimą ir atliekame pakeitimą
Vardiklyje pas mus viskas gerai, viskas priklauso tik nuo , dabar belieka pasidomėti į ką tai pavirs.
Norėdami tai padaryti, randame skirtumą:
Arba trumpai:
Iš gautos lygybės pagal proporcingumo taisyklę išreiškiame mums reikalingą išraišką:
Taigi:
Dabar visas integrandas priklauso tik nuo ir mes galime tęsti sprendimą
Paruošta. Primenu, kad pakeitimo tikslas yra supaprastinti integrandą, šiuo atveju viskas susiveda į galios funkcijos integravimą per lentelę.
Neatsitiktinai taip detaliai nupiešiau šį pavyzdį, tai buvo padaryta siekiant pakartoti ir įtvirtinti pamokos medžiagą. Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.
O dabar du nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:
12 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
13 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Užbaigti sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.
14 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Čia vėl integrande yra sinusas su kosinusu (funkcija su išvestiniu), bet jau sandaugoje ir iškyla dilema - ką žymėti sinusu ar kosinusu?
Galite pabandyti atlikti pakaitalą naudodami mokslinį pokiavimo metodą, o jei niekas neveikia, nurodykite jį kaip kitą funkciją, tačiau yra:
Bendra gairė: reikia nurodyti funkciją, kuri, vaizdžiai tariant, yra „nepatogioje padėtyje“.
Mes tai matome šis pavyzdys kosinuso studentas „kenčia“ nuo laipsnio, o sinusas sėdi laisvai taip, savaime.
Taigi pakeiskime:
Jei kas nors vis dar turi sunkumų su kintamųjų keitimo algoritmu ir surandant skirtumą, turėtumėte grįžti į pamoką Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.
15 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Mes analizuojame integrandą, ką reikėtų žymėti ?
Pažvelkime į mūsų gaires:
1) Funkcija greičiausiai yra vardiklyje;
2) Funkcija yra „nepatogioje padėtyje“.
Beje, šios gairės galioja ne tik trigonometrinėms funkcijoms.
Pagal abu kriterijus (ypač pagal antrąjį) sinusas tinka, todėl pasiūlo jį pakeisti. Iš esmės pakeitimas jau gali būti atliktas, bet pirmiausia būtų malonu išsiaiškinti, ką daryti? Pirmiausia „atsegame“ vieną kosinusą:
Pasiliekame savo „ateities“ diferencialui
Ir mes išreiškiame per sinusą naudodami pagrindinį trigonometrinė tapatybė:
Dabar čia yra pakaitalas:
Bendroji taisyklė: jei integrandoje yra viena iš trigonometrinių funkcijų (sinuso arba kosinuso). nelyginis laipsnis, tada reikia „nukąsti“ vieną funkciją nuo nelyginio laipsnio, o už jos paskirti kitą funkciją. Kalbame tik apie integralus, kur yra kosinusai ir sinusai.
Nagrinėjamame pavyzdyje mes turėjome nelyginio laipsnio kosinusą, todėl nuo laipsnio atėmėme vieną kosinusą ir pažymėjome sinusą.
16 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Lygiai kyla =).
Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Universalus trigonometrinis pakeitimas
Universalus trigonometrinis pakeitimas yra dažnas kintamojo metodo keitimo atvejis. Galite pabandyti jį pritaikyti, kai „nežinai, ką daryti“. Tačiau iš tikrųjų yra keletas jo taikymo gairių. Tipiški integralai, kuriems reikia taikyti universalųjį trigonometrinį pakaitalą, yra šie integralai: , , , ir tt
17 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Universalus trigonometrinis pakeitimas šiuo atveju įgyvendinamas taip. Pakeiskime:. Aš naudoju ne raidę, o raidę, tai nėra kažkokia taisyklė, tiesiog vėlgi, aš taip įpratau spręsti.
Čia patogiau rasti skirtumą, už tai iš lygybės išreiškiu:
Aš pakabinu ant abiejų lanko liestinės dalių:
Arktangentas ir liestinė panaikina vienas kitą:
Šiuo būdu:
Praktiškai jūs negalite dažyti taip išsamiai, o tiesiog naudoti gatavą rezultatą:
! Išraiška galioja tik tuo atveju, jei po sinusais ir kosinusais turime tik „x“, skirtą integralui (apie tai pakalbėsime vėliau) viskas bus šiek tiek kitaip!
Keisdami sinusus ir kosinusus, paverčiame šiomis trupmenomis:
, , šios lygybės yra pagrįstos gerai žinomomis trigonometrinėmis formulėmis: ,
Taigi valymas gali atrodyti taip:
Atlikime universalų trigonometrinį pakeitimą: