Kaip apskaičiuoti piramidės plotą: pagrindo, šoninės ir pilnos? Kaip rasti stačiakampės piramidės perimetrą.

Apibrėžimas. Šoninis veidas- tai trikampis, kurio vienas kampas yra piramidės viršuje, o priešinga jo pusė sutampa su pagrindo (daugiakampio) kraštine.

Apibrėžimas. Šoniniai šonkauliai yra bendrosios šoninių veidų pusės. Piramidė turi tiek briaunų, kiek daugiakampio kampų.

Apibrėžimas. piramidės aukštis yra statmenas, nuleistas iš viršaus į piramidės pagrindą.

Apibrėžimas. Apotema- tai piramidės šoninio paviršiaus statmuo, nuleistas nuo piramidės viršaus į pagrindo šoną.

Apibrėžimas. Įstrižainė pjūvis- tai piramidės atkarpa plokštuma, einanti per piramidės viršūnę ir pagrindo įstrižainę.

Apibrėžimas. Teisinga piramidė- Tai piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o aukštis nusileidžia į pagrindo centrą.

Piramidės tūris ir paviršiaus plotas

Formulė. piramidės tūris per pagrindo plotą ir aukštį:

piramidės savybės

Jei visos šoninės briaunos yra lygios, tada aplink piramidės pagrindą gali būti apibrėžiamas apskritimas, o pagrindo centras sutampa su apskritimo centru. Taip pat iš viršaus nuleistas statmuo eina per pagrindo (apskritimo) centrą.

Jei visi šoniniai šonkauliai yra vienodi, tada jie yra pasvirę į pagrindinę plokštumą tais pačiais kampais.

Šoniniai šonkauliai yra lygūs, kai sudaro vienodus kampus su pagrindo plokštuma arba jei aplink piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą.

Jei šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindo plokštumą vienu kampu, tai piramidės pagrinde gali būti įrašytas apskritimas, o piramidės viršūnė projektuojama į jos centrą.

Jei šoniniai paviršiai į pagrindo plokštumą pasvirę vienu kampu, tai šoninių paviršių apotemos yra lygios.

Taisyklingos piramidės savybės

1. Piramidės viršus yra vienodu atstumu nuo visų pagrindo kampų.

2. Visos šoninės briaunos lygios.

3. Visi šoniniai šonkauliai pasvirę į pagrindą tais pačiais kampais.

4. Visų šoninių paviršių apotemos yra lygios.

5. Visų šoninių paviršių plotai lygūs.

6. Visi paviršiai turi vienodus dvikampius (plokščius) kampus.

7. Aplink piramidę galima apibūdinti sferą. Aprašytos sferos centras bus statmenų, einančių per kraštų vidurį, susikirtimo taškas.

8. Į piramidę galima įrašyti sferą. Įbrėžtos sferos centras bus iš kampo tarp briaunos ir pagrindo kylančių bisektorių susikirtimo taškas.

9. Jei įbrėžto rutulio centras sutampa su apriboto rutulio centru, tai plokščiųjų kampų suma viršūnėje yra lygi π arba atvirkščiai, vienas kampas lygus π / n, kur n yra skaičius kampų piramidės pagrinde.

Piramidės ryšys su sfera

Aplink piramidę galima apibūdinti sferą, kai piramidės pagrinde yra daugiakampis, aplink kurį galima apibūdinti apskritimą (būtina ir pakankama būklė). Rutulio centras bus plokštumų, einančių statmenai per piramidės šoninių kraštų vidurio taškus, susikirtimo taškas.

Aplink bet kokį trikampį arba teisinga piramidė visada galima apibūdinti sferą.

Į piramidę galima įrašyti sferą, jei piramidės vidinių dvikampių kampų bisektorinės plokštumos susikerta viename taške (būtina ir pakankama sąlyga). Šis taškas bus sferos centras.

Piramidės ryšys su kūgiu

Kūgis vadinamas įbrėžtu piramidėje, jei jų viršūnės sutampa, o kūgio pagrindas yra įbrėžtas piramidės pagrinde.

Į piramidę galima įrašyti kūgį, jei piramidės apotemos yra lygios.

Sakoma, kad kūgis yra apibrėžiamas aplink piramidę, jei jų viršūnės sutampa, o kūgio pagrindas yra aplink piramidės pagrindą.

Aplink piramidę galima apibūdinti kūgį, jei visos piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai.

Piramidės sujungimas su cilindru

Sakoma, kad piramidė yra įrašyta į cilindrą, jei piramidės viršūnė yra ant vieno cilindro pagrindo, o piramidės pagrindas yra įbrėžtas kitame cilindro pagrinde.

Cilindras gali būti apibrėžiamas aplink piramidę, jei aplink piramidės pagrindą galima apibrėžti apskritimą.

Apibrėžimas. Nupjauta piramidė (piramidinė prizmė)- Tai daugiakampis, esantis tarp piramidės pagrindo ir pjūvio plokštumos, lygiagrečios pagrindui. Taigi piramidė turi didelį pagrindą ir mažesnį pagrindą, kuris yra panašus į didesnį. Šoniniai paviršiai yra trapecijos formos.

Apibrėžimas. Trikampė piramidė (tetraedras)- tai piramidė, kurios trys paviršiai ir pagrindas yra savavališki trikampiai.

Tetraedras turi keturis paviršius ir keturias viršūnes bei šešias briaunas, kur bet kurios dvi briaunos neturi bendrų viršūnių, bet nesiliečia.

Kiekviena viršūnė susideda iš trijų formuojančių paviršių ir briaunų trikampis kampas.

Atkarpa, jungianti tetraedro viršūnę su priešingo paviršiaus centru, vadinama tetraedro mediana(GM).

Bimedian vadinamas atkarpa, jungiančia priešingų kraštinių, kurie nesiliečia, vidurio taškus (KL).

Visos tetraedro bimedianos ir medianos susikerta viename taške (S). Šiuo atveju bimedianai dalijami per pusę, o medianos santykiu 3:1, pradedant nuo viršaus.

Apibrėžimas. pasvirusi piramidė yra piramidė, kurios viena iš kraštinių sudaro bukąjį kampą (β) su pagrindu.

Apibrėžimas. Stačiakampė piramidė yra piramidė, kurios vienas iš šoninių paviršių yra statmenas pagrindui.

Apibrėžimas. Ūmaus kampo piramidė yra piramidė, kurioje apotemas yra daugiau nei pusė pagrindo kraštinės ilgio.

Apibrėžimas. buka piramidė yra piramidė, kurioje apotemas yra mažesnis nei pusė pagrindo kraštinės ilgio.

Apibrėžimas. taisyklingas tetraedras- tetraedras su visais keturiais veidais - lygiakraščiai trikampiai. Jis yra vienas iš penkių taisyklingieji daugiakampiai. IN taisyklingas tetraedras visi dvikampiai kampai (tarp paviršių) ir trikampiai kampai (viršūnėje) yra lygūs.

Apibrėžimas. Stačiakampis tetraedras vadinamas tetraedras, kurio viršūnėje tarp trijų kraštinių yra stačiu kampu (kraštinės statmenos). Susidaro trys veidai stačiakampis trikampis kampas ir paviršiai yra stačiakampiai, o pagrindas yra savavališkas trikampis. Bet kurio veido apotemas yra lygus pusei pagrindo, ant kurio krenta apotema, kraštinės.

Apibrėžimas. Izoedrinis tetraedras Vadinamas tetraedras, kurio šoniniai paviršiai yra lygūs vienas kitam, o pagrindas yra taisyklingas trikampis. Tokio tetraedro paviršiai yra lygiašoniai trikampiai.

Apibrėžimas. Ortocentrinis tetraedras vadinamas tetraedras, kuriame visi aukščiai (statmenys), nuleisti iš viršaus į priešingą paviršių, susikerta viename taške.

Apibrėžimas. žvaigždžių piramidė Vadinamas daugiakampis, kurio pagrindas yra žvaigždė.

Apibrėžimas. Bipiramidė- daugiakampis, susidedantis iš dviejų skirtingų piramidžių (piramidės taip pat gali būti supjaustytos), turinčios bendras pagrindas, o viršūnės yra priešingose ​​pagrindinės plokštumos pusėse.

Ruošdamiesi matematikos egzaminui, mokiniai turi susisteminti algebros ir geometrijos žinias. Norėčiau sujungti visą žinomą informaciją, pavyzdžiui, kaip apskaičiuoti piramidės plotą. Be to, pradedant nuo pagrindo ir šoninių paviršių iki viso paviršiaus ploto. Jei padėtis aiški su šoniniais paviršiais, nes jie yra trikampiai, tada pagrindas visada skiriasi.

Ką daryti ieškant piramidės pagrindo ploto?

Tai gali būti visiškai bet kokia figūra: nuo savavališko trikampio iki n kampo. Ir ši bazė, be kampų skaičiaus skirtumo, gali būti įprasta figūra arba neteisinga. Mokinius dominančiose USE užduotyse yra tik užduotys su teisingomis skaičiais bazėje. Todėl kalbėsime tik apie juos.

taisyklingas trikampis

Tai lygiakraštis. Toks, kurio visos pusės yra lygios ir pažymėtos raide „a“. Šiuo atveju piramidės pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

S = (a 2 * √3) / 4.

Kvadratas

Jo ploto apskaičiavimo formulė yra pati paprasčiausia, čia „a“ vėl yra pusė:

Savavališkas reguliarus n-gonas

Daugiakampio kraštinė turi tą patį pavadinimą. Kampų skaičiui nurodoma lotyniška raidė n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Kaip elgtis skaičiuojant šoninį ir bendrą paviršiaus plotą?

Kadangi pagrindas yra taisyklinga figūra, visi piramidės paviršiai yra vienodi. Be to, kiekvienas iš jų yra lygiašonis trikampis, nes šoninės briaunos yra lygios. Tada norint apskaičiuoti šoninė sritis piramidės, jums reikės formulės, susidedančios iš identiškų monomijų sumos. Terminų skaičius nustatomas pagal pagrindo kraštų skaičių.

Kvadratas lygiašonis trikampis apskaičiuojamas pagal formulę, kurioje pusė pagrindo sandaugos padauginama iš aukščio. Šis aukštis piramidėje vadinamas apotema. Jo žymėjimas yra "A". Bendra šoninio paviršiaus ploto formulė yra tokia:

S \u003d ½ P * A, kur P yra piramidės pagrindo perimetras.

Pasitaiko situacijų, kai pagrindo kraštinės nežinomos, bet pateikiamos šoninės briaunos (c) ir plokščiasis kampas ties jo viršūne (α). Tada piramidės šoniniam plotui apskaičiuoti turėtų būti naudojama tokia formulė:

S = n/2 * 2 sin α .

1 užduotis

Būklė. Raskite bendrą piramidės plotą, jei jos pagrindas yra su 4 cm kraštine, o apotemos reikšmė yra √3 cm.

Sprendimas. Pradėti reikia nuo pagrindo perimetro apskaičiavimo. Kadangi tai yra įprastas trikampis, tada P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Kadangi apotema žinoma, galite iš karto apskaičiuoti viso šoninio paviršiaus plotą: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm2.

Trikampiui prie pagrindo bus gauta ši ploto vertė: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Norėdami nustatyti visą plotą, turėsite pridėti dvi gautas reikšmes: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Atsakymas. 10√3 cm2.

2 užduotis

Būklė. Yra taisyklinga keturkampė piramidė. Pagrindo šono ilgis 7 mm, šoninis kraštas 16 mm. Turite žinoti jo paviršiaus plotą.

Sprendimas. Kadangi daugiakampis yra keturkampis ir taisyklingas, tada jo pagrindas yra kvadratas. Sužinojus pagrindo ir šoninių paviršių plotus, bus galima apskaičiuoti piramidės plotą. Kvadrato formulė pateikta aukščiau. O prie šoninių paviršių žinomos visos trikampio kraštinės. Todėl jų plotams apskaičiuoti galite naudoti Herono formulę.

Pirmieji skaičiavimai yra paprasti ir lemia šį skaičių: 49 mm 2. Dėl antrosios vertės turėsite apskaičiuoti pusiau perimetrą: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Dabar galite apskaičiuoti lygiašonio trikampio plotą: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Tokių trikampių yra tik keturi, todėl skaičiuojant galutinį skaičių reikės jį padauginti iš 4.

Pasirodo: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Atsakymas. Norima vertė yra 267,576 mm2.

3 užduotis

Būklė. Teisingas keturkampė piramidė reikia apskaičiuoti plotą. Jame kvadrato kraštinė 6 cm, o aukštis 4 cm.

Sprendimas. Lengviausias būdas yra naudoti formulę su perimetro ir apotemos sandauga. Pirmąją vertę lengva rasti. Antrasis yra šiek tiek sunkesnis.

Turėsime prisiminti Pitagoro teoremą ir manyti, kad ją sudaro piramidės aukštis ir apotemas, kuris yra hipotenuzė. Antroji kojelė yra lygi pusei kvadrato kraštinės, nes daugiakampio aukštis patenka į jo vidurį.

Norimas apotemas (hipotenuzė taisyklingas trikampis) yra lygus √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Dabar galite apskaičiuoti norimą vertę: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Atsakymas. 96 cm2.

4 užduotis

Būklė. Teisinga jo pagrindo pusė yra 22 mm, šoniniai šonkauliai yra 61 mm. Koks yra šio daugiakampio šoninio paviršiaus plotas?

Sprendimas. Motyvacija jame yra tokia pati, kaip aprašyta užduotyje Nr. Tik ten buvo duota piramidė su kvadratu prie pagrindo, o dabar ji yra šešiakampė.

Visų pirma, pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal aukščiau pateiktą formulę: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.

Dabar reikia išsiaiškinti lygiašonio trikampio, kuris yra šoninis veidas, pusiau perimetrą. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Belieka apskaičiuoti kiekvieno tokio trikampio plotą naudojant Herono formulę, tada padauginti iš šešių ir pridėti prie to, kuris pasirodė esantis bazė.

Skaičiavimai naudojant Herono formulę: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Skaičiavimai, kurie duos šoninio paviršiaus plotą: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Belieka juos pridėti, kad sužinotumėte visą paviršių: 5217,47≈5217 cm 2.

Atsakymas. Pagrindas - 726√3 cm 2, šoninis paviršius - 3960 cm 2, visas plotas - 5217 cm 2.

trikampė piramidė Daugiakampis vadinamas daugiakampiu, kurio pagrindas yra taisyklingas trikampis.

Tokioje piramidėje pagrindo paviršiai ir šonų kraštai yra lygūs vienas kitam. Atitinkamai, šoninių paviršių plotas randamas iš trijų vienodų trikampių plotų sumos. Įprastos piramidės šoninį paviršiaus plotą galite rasti naudodami formulę. Ir jūs galite atlikti skaičiavimą kelis kartus greičiau. Norėdami tai padaryti, naudokite trikampės piramidės šoninio paviršiaus ploto formulę:

čia p – pagrindo, kurio visos kraštinės lygios b, perimetras, a – nuo ​​viršaus iki šio pagrindo nuleistas apotemas. Apsvarstykite pavyzdį, kaip apskaičiuoti trikampės piramidės plotą.

Užduotis: Pateikite teisingą piramidę. Prie pagrindo gulinčio trikampio kraštinė b = 4 cm. Piramidės apotema a = 7 cm. Raskite piramidės šoninio paviršiaus plotą.
Kadangi pagal problemos sąlygas žinome visų reikalingų elementų ilgius, rasti perimetrą. Atminkite, kad įprastame trikampyje visos kraštinės yra lygios, todėl perimetras apskaičiuojamas pagal formulę:

Pakeiskite duomenis ir raskite reikšmę:

Dabar, žinodami perimetrą, galime apskaičiuoti šoninio paviršiaus plotą:

Norėdami pritaikyti trikampės piramidės ploto formulę visai vertei apskaičiuoti, turite rasti daugiakampio pagrindo plotą. Tam naudojama formulė:

Trikampės piramidės pagrindo ploto formulė gali būti skirtinga. Leidžiama naudoti bet kokį tam tikros figūros parametrų skaičiavimą, tačiau dažniausiai to nereikia. Apsvarstykite pavyzdį, kaip apskaičiuoti trikampės piramidės pagrindo plotą.

Užduotis: Taisyklingoje piramidėje trikampio, esančio prie pagrindo, kraštinė yra a = 6 cm. Apskaičiuokite pagrindo plotą.
Norėdami apskaičiuoti, mums reikia tik taisyklingo trikampio, esančio piramidės pagrinde, kraštinės ilgio. Pakeiskite duomenis formulėje:

Gana dažnai reikia rasti bendrą daugiakampio plotą. Norėdami tai padaryti, turite pridėti šoninio paviršiaus ir pagrindo plotą.

Apsvarstykite pavyzdį, kaip apskaičiuoti trikampės piramidės plotą.

Užduotis: duoti teisingą trikampė piramidė. Pagrindo kraštinė b = 4 cm, apotema a = 6 cm. Raskite bendrą piramidės plotą.
Pirmiausia suraskime šoninio paviršiaus plotą pagal jau žinomą formulę. Apskaičiuokite perimetrą:

Duomenis pakeičiame formulėje:
Dabar suraskite pagrindo plotą:
Žinodami pagrindo ir šoninio paviršiaus plotą, randame bendrą piramidės plotą:

Apskaičiuojant taisyklingos piramidės plotą, nereikėtų pamiršti, kad pagrindas yra taisyklingas trikampis ir daugelis šio daugiakampio elementų yra lygūs vienas kitam.

Piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingas šešiakampis, ir susidaro šonai taisyklingieji trikampiai, vadinamas šešiakampė.

Šis daugiakampis turi daug savybių:

• Visos pagrindo kraštinės ir kampai yra lygūs vienas kitam;
• Visos briaunos ir dvikampės anglies piramidės taip pat yra lygios viena kitai;
• Trikampiai, sudarantys kraštines, yra vienodi, jų plotas, kraštinės ir aukščiai yra vienodi.

Norėdami apskaičiuoti tinkamą plotą šešiakampė piramidė taikoma standartinė šešiakampės piramidės šoninio paviršiaus formulė:

kur P – pagrindo perimetras, a – piramidės apotemos ilgis. Daugeliu atvejų galite apskaičiuoti šoninį plotą naudodami šią formulę, tačiau kartais galite naudoti kitą metodą. Kadangi piramidės šoninius paviršius sudaro vienodi trikampiai, galite rasti vieno trikampio plotą ir padauginti jį iš kraštinių skaičiaus. Šešiakampėje piramidėje jų yra 6. Tačiau šį metodą galima naudoti ir skaičiuojant. Panagrinėkime šešiakampės piramidės šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį.

Pateikiama taisyklinga šešiakampė piramidė, kurios apotemas a = 7 cm, pagrindo kraštinė b = 3 cm. Apskaičiuokite daugiakampio šoninio paviršiaus plotą.
Pirmiausia suraskite pagrindo perimetrą. Kadangi piramidė yra taisyklinga, jos pagrinde yra taisyklingas šešiakampis. Taigi, visos jo pusės yra lygios, o perimetras apskaičiuojamas pagal formulę:
Duomenis pakeičiame formulėje:
Dabar mes galime lengvai rasti šoninio paviršiaus plotą, pakeisdami rastą reikšmę į pagrindinę formulę:

Taip pat svarbus dalykas yra bazės ploto paieška. Šešiakampės piramidės pagrindo ploto formulė gaunama iš taisyklingo šešiakampio savybių:

Panagrinėkime šešiakampės piramidės pagrindo ploto apskaičiavimo pavyzdį, remdamiesi ankstesnio pavyzdžio sąlygomis. Iš jų žinome, kad pagrindo kraštinė b = 3 cm. Pakeiskime duomenis į formulė:

Šešiakampės piramidės ploto formulė yra pagrindo ir šoninio skenavimo ploto suma:

Apsvarstykite šešiakampės piramidės ploto apskaičiavimo pavyzdį.

Duota piramidė, kurios pagrinde yra taisyklingas šešiakampis, kurio kraštinė b = 4 cm. Duoto daugiakampio apotema yra a = 6 cm. Raskite bendrą plotą.
Mes tai žinome bendro ploto susideda iš pagrindo ir šoninio skenavimo sričių. Taigi pirmiausia suraskime juos. Apskaičiuokite perimetrą:

Dabar raskite šoninio paviršiaus plotą:

Toliau apskaičiuojame pagrindo, kuriame yra įprastas šešiakampis, plotą:

Dabar galime sudėti rezultatus: