Raskite trikampio aukštį naudodami įbrėžto apskritimo spindulį. Lygiakraštis trikampis
Panagrinėkime į trikampį įbrėžtą apskritimą (302 pav.). Prisiminkite, kad jo centras O yra trikampio vidinių kampų sankirtoje. Atkarpos OA, OB, OS, jungiančios O su trikampio ABC viršūnėmis, padalins trikampį į tris trikampius:
AOB, BOS, SOA. Kiekvieno iš šių trikampių aukštis lygus spinduliui, todėl jų plotai išreiškiami kaip
Viso trikampio S plotas yra lygus šių trijų sričių sumai:
kur yra trikampio pusperimetras. Iš čia
Įbrėžto apskritimo spindulys lygus trikampio ploto ir jo pusės perimetro santykiui.
Norėdami gauti trikampio apibrėžto apskritimo spindulio formulę, įrodome tokį teiginį.
Teorema a: Bet kuriame trikampyje kraštinė lygi apibrėžto apskritimo skersmeniui, padaugintam iš priešingo kampo sinuso.
Įrodymas. Panagrinėkime savavališką trikampį ABC ir aplink jį apibrėžtą apskritimą, kurio spindulys bus žymimas R (303 pav.). Tegu A yra smailusis trikampio kampas. Nubrėžkime apskritimo spindulius OB, OS ir numeskime statmeną OK iš jo centro O į trikampio kraštinę BC. Atkreipkite dėmesį, kad trikampio kampas a matuojamas puse lanko BC, kurio kampas BOC yra centrinis kampas. Iš čia aišku, kad. Todėl iš stačiakampio trikampio SOK randame , arba , kurį reikėjo įrodyti.
Pateiktas pav. 303 ir argumentas nurodo smailaus trikampio kampo atvejį; stačiojo ir bukojo kampo atvejus įrodyti būtų nesunku (skaitytojas tai padarys pats), tačiau galima pasinaudoti sinuso teorema (218.3). Nes turi būti kur
Taip pat parašyta sinuso teorema. forma
o palyginimas su žymėjimu (218.3) duoda už
Apriboto apskritimo spindulys lygus trijų trikampio kraštinių sandaugos ir jo keturgubos ploto sandaugai.
Užduotis. Raskite puses lygiašonis trikampis, jei jo įrašytas ir apibrėžtas apskritimai turi atitinkamai spindulius
Sprendimas. Parašykime formules, išreiškiančias trikampio įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų spindulius:
Lygiašonio trikampio su kraštine ir pagrindu plotas išreiškiamas formule
arba, sumažinę trupmeną ne nuliniu koeficientu , turime
kad veda prie kvadratinė lygtis santykinai
Jis turi du sprendimus:
Vietoj jo išraiškos pakeisdami bet kurią iš arba R lygčių, pagaliau randame du atsakymus į savo problemą:
Pratimai
1. Stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, padalija hipotenuzą, palyginti su Raskite kiekvienos kojos santykį su hipotenuze.
2. Pamatai lygiašonė trapecija, apibrėžti apie apskritimą, yra lygūs a ir b. Raskite apskritimo spindulį.
3. Du apskritimai liečiasi išorėje. Jų bendrosios liestinės yra pasvirusios į centrų liniją 30° kampu. Liestinės atkarpos tarp sąlyčio taškų ilgis 108 cm Raskite apskritimų spindulius.
4. Stačiojo trikampio kojos lygios a ir b. Raskite trikampio, kurio kraštinės yra aukštis ir mediana, plotą duotas trikampis nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės, o įdubos atkarpa tarp jų susikirtimo su hipotenuze taškų.
5. Trikampio kraštinės yra 13, 14, 15. Raskite kiekvieno iš jų projekciją į kitas dvi.
6. Trikampio kraštinė ir aukščiai žinomi Raskite kraštines b ir c.
7. Žinomos dvi trikampio kraštinės ir mediana Raskite trečiąją trikampio kraštinę.
8. Duotos dvi trikampio kraštinės ir kampas a tarp jų: Raskite įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų spindulius.
9. Trikampio a, b, c kraštinės žinomos. Kokios yra atkarpos, į kurias jos padalintos pagal įbrėžto apskritimo sąlyčio taškus su trikampio kraštinėmis?
Rombas yra lygiagretainis, kurio visos kraštinės yra lygios. Todėl jis paveldi visas lygiagretainio savybes. Būtent:
- Rombo įstrižainės yra viena kitai statmenos.
- Rombo įstrižainės yra jo vidinių kampų pusiausvyros.
Apskritimas gali būti įrašytas į keturkampį tada ir tik tada, kai priešingų kraštinių sumos yra lygios.
Todėl apskritimas gali būti įrašytas į bet kurį rombą. Įbrėžto apskritimo centras sutampa su rombo įstrižainių susikirtimo centru.
Įbrėžto apskritimo spindulys rombe gali būti išreikštas keliais būdais
1 būdas. Įbrėžto apskritimo spindulys rombu per aukštį
Rombo aukštis lygus įbrėžto apskritimo skersmeniui. Tai išplaukia iš stačiakampio savybės, kurią sudaro įbrėžto apskritimo skersmuo ir rombo aukštis – priešingos stačiakampio kraštinės yra lygios.
Todėl įbrėžto apskritimo spindulio rombu per aukštį formulė:
2 būdas. Įbrėžto apskritimo spindulys rombu per įstrižaines
Rombo plotas gali būti išreikštas įbrėžto apskritimo spinduliu
, kur R yra rombo perimetras. Žinodami, kad perimetras yra visų keturkampio kraštinių suma, turime P= 4×ha. Tada
Tačiau rombo plotas taip pat yra pusė jo įstrižainių sandaugos
Sulyginus teisingas ploto formulių dalis, gauname tokią lygybę
Dėl to gauname formulę, leidžiančią apskaičiuoti įbrėžto apskritimo spindulį rombe per įstrižaines
Į rombą įbrėžto apskritimo spindulio apskaičiavimo pavyzdys, jei žinomos įstrižainės
Raskite į rombą įbrėžto apskritimo spindulį, jei žinoma, kad įstrižainių ilgis yra 30 cm ir 40 cm
Leisti ABCD- tada rombas AC ir BD jo įstrižainės. AC= 30 cm , BD= 40 cm
Tegul taškas O yra rombo įbrėžimo centras ABCD apskritimas, tada jis taip pat bus jo įstrižainių susikirtimo taškas, dalijantis jas per pusę.
kadangi rombo įstrižainės susikerta stačiu kampu, tai trikampis AOB stačiakampis. Tada pagal Pitagoro teoremą
, pakeičiame anksčiau gautas reikšmes į formulę
AB= 25 cm
Pritaikę anksčiau išvestą apibrėžto apskritimo spindulio formulę rombui, gauname
3 būdas. Įbrėžto apskritimo spindulys rombe per atkarpas m ir n
Taškas F- apskritimo sąlyčio taškas su rombo kraštine, dalijančia jį į segmentus AF ir bf. Leisti AF=m, BF=n.
Taškas O- rombo įstrižainių ir jame įrašyto apskritimo centro susikirtimo centras.
Trikampis AOB- stačiakampis, nes rombo įstrižainės susikerta stačiu kampu.
, nes yra apskritimo liestinės taško spindulys. Vadinasi APIE- trikampio aukštis AOBį hipotenuzę. Tada AF ir bf- kojų projekcijos į hipotenuzę.
Stačiojo trikampio aukštis, nukritęs iki hipotenuzės, yra vidurkis, proporcingas kojų projekcijoms ant hipotenuzės.
Į rombą per atkarpas įbrėžto apskritimo spindulio formulė yra lygi šių atkarpų sandaugos, į kurią rombo kraštinė padalinta iš apskritimo liestinės taško, kvadratinei šaknei
Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija – tai duomenys, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba su juo susisiekti.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų surinkta Asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir žinutėms siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir pateikti jums rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Esant poreikiui – įstatymų, teismo tvarka, teisminio proceso tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Jei apskritimas yra kampo viduje ir liečiasi su jo kraštais, jis vadinamas įbrėžtu į šį kampą. Tokio įbrėžto apskritimo centras yra ties šio kampo bisektorius.
Jei jis yra išgaubto daugiakampio viduje ir liečiasi su visomis jo kraštinėmis, jis vadinamas įbrėžtu į išgaubtą daugiakampį.
Į trikampį įbrėžtas apskritimas
Į trikampį įbrėžtas apskritimas paliečia kiekvieną šios figūros kraštinę tik viename taške. Į vieną trikampį galima įrašyti tik vieną apskritimą.
Tokio apskritimo spindulys priklausys nuo šių trikampio parametrų:
- Trikampio kraštinių ilgis.
- Jo sritis.
- Jo perimetras.
- Trikampio kampai.
Norint apskaičiuoti įbrėžto apskritimo spindulį trikampyje, ne visada būtina žinoti visus aukščiau išvardytus parametrus, nes jie yra tarpusavyje susiję trigonometrinėmis funkcijomis.
Skaičiavimas naudojant pusperimetrą
- Jei žinomi visų kraštinių ilgiai geometrinė figūra(juos žymime raidėmis a, b ir c), tuomet spindulį turėsite apskaičiuoti ištraukę kvadratinę šaknį.
- Pradedant skaičiavimus, prie pradinių duomenų reikia pridėti dar vieną kintamąjį – pusperimetrą (p). Jį galima apskaičiuoti sudėjus visus ilgius ir gautą sumą padalijus iš 2. p = (a+b+c)/2. Taigi spindulio nustatymo formulę galima žymiai supaprastinti.
- Apskritai formulėje turėtų būti radikalo, po kuriuo dedama trupmena, ženklas, šios trupmenos vardiklis bus pusperimetro p reikšmė.
- Šios trupmenos skaitiklis bus skirtumų sandauga (p-a)*(p-b)*(p-c)
- Taigi visa formulės forma bus pateikta taip: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
Skaičiavimas atsižvelgiant į trikampio plotą
Jei žinome trikampio plotas ir visų jo kraštinių ilgius, tai leis mums rasti mus dominančio apskritimo spindulį nesiimant šaknų.
- Pirmiausia reikia padvigubinti plotą.
- Rezultatas padalytas iš visų kraštinių ilgių sumos. Tada formulė atrodys taip: r = 2*S/(a+b+c).
- Jei naudosite pusiau perimetro vertę, galite gauti visiškai paprasta formulė: r = S/p.
Skaičiavimas naudojant trigonometrines funkcijas
Jei problemos sąlygoje yra vienos iš kraštinių ilgis, priešingo kampo reikšmė ir perimetras, galite naudoti trigonometrinė funkcija- liestinė. Šiuo atveju skaičiavimo formulė atrodys taip:
r \u003d (P / 2- a) * tg (α / 2), kur r yra norimas spindulys, P yra perimetras, a yra vienos iš kraštinių ilgis, α yra priešingos pusės vertė ir kampas.
Apskritimo, į kurį reikia įrašyti, spindulys taisyklingas trikampis, galima rasti pagal formulę r = a*√3/6.
Į stačią trikampį įbrėžtas apskritimas
AT taisyklingas trikampis galima įvesti tik vienas ratas. Tokio apskritimo centras vienu metu tarnauja kaip visų bisektorių susikirtimo taškas. Ši geometrinė figūra turi keletą skiriamieji bruožai, į kurį reikia atsižvelgti skaičiuojant įbrėžto apskritimo spindulį.
- Pirmiausia turite sukurti stačiakampį trikampį su nurodytais parametrais. Tokią figūrą galite sukurti pagal jos vienos pusės dydį ir dviejų kampų reikšmes arba pagal dvi puses ir kampą tarp šių kraštų. Visi šie parametrai turi būti nurodyti užduoties sakinyje. Trikampis žymimas kaip ABC, o C yra stačiojo kampo viršūnė. Kojos žymimos kintamaisiais, a ir b, o hipotenuzė yra kintamasis Su.
- Norint sukurti klasikinę formulę ir apskaičiuoti apskritimo spindulį, reikia rasti visų uždavinio sąlygoje aprašytos figūros kraštinių matmenis ir iš jų apskaičiuoti pusperimetrą. Jei sąlygos pateikia dviejų kojų matmenis, pagal juos galima apskaičiuoti hipotenuzės vertę, remiantis Pitagoro teorema.
- Jei sąlygoje nurodytas vienos kojos ir vieno kampo dydis, reikia suprasti, ar šis kampas yra gretimas, ar priešingas. Pirmuoju atveju hipotenuzė randama naudojant sinuso teoremą: с=a/sinСАВ, antruoju atveju taikoma kosinuso teorema с=a/cosCBA.
- Atlikus visus skaičiavimus ir žinomus visų pusių matmenis, pusperimetras randamas pagal aukščiau aprašytą formulę.
- Žinodami pusperimetro vertę, galite rasti spindulį. Formulė yra trupmena. Jo skaitiklis yra pusiau perimetro ir kiekvienos kraštinės skirtumų sandauga, o vardiklis yra pusperimetro reikšmė.
Reikėtų pažymėti, kad šios formulės skaitiklis yra ploto rodiklis. Šiuo atveju spindulio radimo formulė yra daug paprastesnė – užtenka plotą padalinti iš pusės perimetro.
Taip pat galima nustatyti geometrinės figūros plotą, jei žinomos abi kojos. Šių kojų kvadratų suma yra hipotenuzė, tada apskaičiuojamas pusperimetras. Plotą galite apskaičiuoti padauginę kojų ilgius vienas iš kito ir padalydami rezultatą iš 2.
Jei sąlygos nurodo ir kojų, ir hipotenuzės ilgį, spindulį galite nustatyti naudodami labai paprastą formulę: tam pridedami kojų ilgiai, o iš gauto skaičiaus atimamas hipotenuzės ilgis. Rezultatas turi būti padalintas per pusę.
Vaizdo įrašas
Iš šio vaizdo įrašo sužinosite, kaip rasti į trikampį įbrėžto apskritimo spindulį.