Keturkampės piramidės paviršių skaičius. Taisyklinga trikampė piramidė (įprasta piramidė su trikampiu apačioje)
Šioje pamokoje pateikiamas taisyklingos trikampės piramidės apibrėžimas ir savybės bei ypatingas jos atvejis – tetraedras (žr. toliau). Pamokos pabaigoje pateikiamos nuorodos į problemų sprendimo pavyzdžius.
Apibrėžimas
Taisyklinga trikampė piramidė yra piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingas trikampis, o viršus projektuojamas į pagrindo centrą.
Paveikslėlyje parodyta:
ABC- Bazė piramidės
OS – aukštis
KS – Apothem
Gerai – į pagrindą įrašyto apskritimo spindulys
AO – apskritimo, apibrėžiamo aplink taisyklingos trikampės piramidės pagrindą, spindulys
SKO - dvikampis kampas tarp piramidės pagrindo ir paviršiaus (jie yra lygūs įprastoje piramidėje)
Svarbu. Taisyklingoje trikampėje piramidėje briaunos ilgis (paveiksle AS, BS, CS) gali būti nelygus pagrindo kraštinės ilgiui (paveiksle AB, AC, BC). Jei taisyklingos trikampės piramidės briaunos ilgis lygus pagrindo kraštinės ilgiui, tai tokia piramidė vadinama tetraedru (žr. toliau).
Taisyklingos trikampės piramidės savybės:
- Taisyklingosios piramidės šoninės briaunos yra lygios
- visi taisyklingosios piramidės šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai
- taisyklingoje trikampėje piramidėje galite ir įbrėžti, ir apibūdinti aplink ją esančią sferą
- jei aplink taisyklingą trikampę piramidę įbrėžtų ir apribotų rutulių centrai sutampa, tai piramidės viršuje esančių plokštumų kampų suma lygi π (180 laipsnių), o kiekvienas iš jų atitinkamai lygus π / 3 (pi padalytas iš 3 arba 60 laipsnių).
- taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas lygus pusei pagrindo ir apotemos perimetro sandaugos
- piramidės viršus projektuojamas ant pagrindo teisingo centre lygiakraštis trikampis, kuris yra įbrėžto apskritimo centras ir medianų susikirtimo taškas
Taisyklingos trikampės piramidės formulės
Taisyklingos trikampės piramidės tūrio formulė yra tokia:
V – taisyklingosios piramidės, kurios pagrinde yra taisyklingas (lygiakrais) trikampis, tūris
h – piramidės aukštis
a – piramidės pagrindo kraštinės ilgis
R – apibrėžto apskritimo spindulys
r - įbrėžto apskritimo spindulys
Kadangi taisyklinga trikampė piramidė yra ypatingas taisyklingosios piramidės atvejis, taisyklingajai piramidei tinkančios formulės galioja ir taisyklingajai trikampei piramidei – žr. taisyklingosios piramidės formules.
Problemų sprendimo pavyzdžiai:
Tetraedras
Ypatingas taisyklingos trikampės piramidės atvejis yra tetraedras.
Tetraedras yra taisyklingas daugiakampis (taisyklinga trikampė piramidė), kurio visi paviršiai yra taisyklingi trikampiai.
Tetraedre:
- Visos briaunos lygios
- 4 paviršiai, 4 viršūnės ir 6 kraštai
- Visi dvikampiai kampai briaunose ir visi trikampiai kampai viršūnėse yra lygūs
Tetraedro mediana- tai atkarpa, jungianti viršūnę su priešingo paviršiaus medianų (lygiakraščio trikampio, esančio priešais viršūnę), susikirtimo tašku.
Bimedianinis tetraedras- tai atkarpa, jungianti susikertančių briaunų vidurio taškus (jungianti trikampio, kuris yra vienas iš tetraedro paviršių, kraštinių vidurio taškus)
Tetraedro aukštis- tai atkarpa, jungianti viršūnę su priešingo paviršiaus tašku ir statmena šiam veidui (tai yra aukštis, nubrėžtas iš bet kurio paviršiaus, taip pat sutampa su apibrėžto apskritimo centru).
Tetraedras turi šiuos dalykus savybių:
- Visos tetraedro medianos ir bimedianos susikerta viename taške
- Šis taškas padalija medianas santykiu 3:1, skaičiuojant nuo viršaus
- Šis taškas dalija bimedianus per pusę
1 skyrius. Teorinė studija sekcijų tipai ir teisingi jų konstravimo metodai keturkampė piramidė
Piramidė (senovės graikų Πυραμίς, gentis P. πυραμίδος) yra daugiakampis, kurio pagrindas yra daugiakampis, o likusios briaunos yra trikampiai su bendra viršūne. Pagal pagrindo kampų skaičių piramidės yra trikampės, keturkampės ir kt. Piramidė yra ypatingas kūgio atvejis.
Buvo padėta piramidės geometrijos pradžia Senovės Egiptas ir Babilone, bet aktyviai vystėsi Senovės Graikija. Pirmasis, kuris nustatė, kam prilygsta piramidės tūris, buvo Demokritas, ir Eudoksas Knidas tai įrodė. Senovės graikų matematikas Euklidas susistemino žinias apie piramidę savo „Pradžia“ XII tome, taip pat pateikė pirmąjį piramidės apibrėžimą: kieta figūra, apribota plokštumų, kurios viename taške susilieja iš vienos plokštumos.
piramidės elementai
apothem - taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas iš jos viršaus;
šoniniai paviršiai – piramidės viršuje susiliejantys trikampiai;
šoniniai kraštai - bendrosios šoninių veidų pusės;
Piramidės viršūnė – taškas, jungiantis šoninius kraštus ir negulintis pagrindo plokštumoje;
aukštis - statmens atkarpa, nubrėžta per piramidės viršūnę iki jos pagrindo plokštumos (šio atkarpos galai yra piramidės viršūnė ir statmens pagrindas);
Piramidės įstrižainė - piramidės pjūvis, einantis per viršų ir pagrindo įstrižainę;
pagrindas – daugiakampis, nepriklausantis piramidės viršūnei.
Piramidės savybės:
Piramidės paviršių skaičius lygus jos viršūnių skaičiui.
Bet koks daugiakampis, kurio paviršių skaičius yra toks pat kaip viršūnių skaičius, yra piramidė. Bendras piramidės viršūnių skaičius yra n+1, kur n yra viršūnių skaičius pagrinde.
Jei visi šoniniai kraštai lygūs, tada:
§ šalia piramidės pagrindo galima apibūdinti apskritimą, o piramidės viršūnė projektuojama į jos centrą;
§ šoniniai šonkauliai sudaro vienodus kampus su pagrindine plokštuma.
§ Ir atvirkščiai, tai yra, jei šoninės briaunos sudaro lygius kampus su pagrindo plokštuma arba jei apskritimą galima apibūdinti šalia piramidės pagrindo, o piramidės viršūnė projektuojama į jos centrą, tada visi piramidės šoninės briaunos lygios.
Jei šoniniai paviršiai į pagrindo plokštumą pasvirę vienu kampu, tada:
§ į piramidės pagrindą galima įrašyti apskritimą, o piramidės viršūnė projektuojama į jos centrą;
§ šoninių paviršių aukščiai lygūs;
§ šoninio paviršiaus plotas yra lygus pusei pagrindo perimetro ir šoninio paviršiaus aukščio sandaugos.
Įprastos keturkampės piramidės pjūvių tipai:
Įstrižinė piramidės pjūvis
- apotemas- šoninio paviršiaus aukštis teisinga piramidė, kuris nupieštas iš jo viršaus (be to, apotemas yra statmeno ilgis, kuris nuleidžiamas iš vidurio taisyklingas daugiakampis vienoje iš jos pusių);
- šoniniai veidai (ASB, BSC, CSD, DSA) - trikampiai, kurie susilieja viršuje;
- šoniniai šonkauliai ( AS , BS , CS , D.S. ) - bendrosios šoninių paviršių pusės;
- piramidės viršūnė (v. S) - taškas, jungiantis šoninius kraštus ir kuris nėra pagrindo plokštumoje;
- aukščio ( TAIP ) - statmens atkarpa, kuri per piramidės viršūnę nubrėžta iki jos pagrindo plokštumos (tokio atkarpos galai bus piramidės viršūnė ir statmens pagrindas);
- įstrižainė piramidės pjūvis- piramidės atkarpa, einanti per pagrindo viršų ir įstrižainę;
- bazė (ABCD) yra daugiakampis, kuriam nepriklauso piramidės viršūnė.
piramidės savybės.
1. Kai visi šoniniai kraštai yra vienodo dydžio, tada:
- netoli piramidės pagrindo yra lengva apibūdinti ratas, o piramidės viršūnė bus projektuojama į šio apskritimo centrą;
- šoniniai šonkauliai sudaro tą patį su pagrindine plokštuma kampus ;
- be to, yra ir atvirkščiai, t.y. kai šoninės briaunos sudaro lygius kampus su pagrindo plokštuma arba kai šalia piramidės pagrindo galima apibūdinti apskritimą ir piramidės viršūnė bus projektuojama į šio apskritimo centrą, tada visos piramidės šoninės briaunos turi tokio pat dydžio.
2. Kai šoniniai paviršiai turi tokios pat vertės pasvirimo kampą į pagrindo plokštumą, tada:
- šalia piramidės pagrindo lengva apibūdinti apskritimą, o piramidės viršus bus projektuojamas į šio apskritimo centrą;
- šoninių veidų aukščiai yra vienodo ilgio;
- šoninio paviršiaus plotas yra ½ pagrindo perimetro ir šoninio paviršiaus aukščio sandauga.
3. Prie piramidės galima apibūdinti sfera tuo atveju, jei piramidės pagrinde yra daugiakampis, aplink kurį galima apibūdinti apskritimą (būtina ir pakankama būklė). Sferos centras bus plokštumų, einančių per joms statmenos piramidės kraštų vidurio taškus, susikirtimo taškas. Iš šios teoremos darome išvadą, kad sferą galima apibūdinti ir aplink bet kurią trikampę, ir aplink bet kurią taisyklingąją piramidę.
4. Į piramidę galima įrašyti sferą, jei piramidės vidinių dvikampių kampų bisektorinės plokštumos susikerta 1-ajame taške (būtina ir pakankama sąlyga). Šis taškas taps sferos centru.
Paprasčiausia piramidė.
Pagal piramidės pagrindo kampų skaičių jie skirstomi į trikampius, keturkampius ir pan.
Piramidė bus trikampis, keturkampis, ir taip toliau, kai piramidės pagrindas yra trikampis, keturkampis ir pan. Trikampė piramidė yra tetraedras - tetraedras. Keturkampis – penkiakampis ir pan.