Vietos radimas pagal mazgus. Pradėkite nuo mokslo
Ši tema bus įdomi 10–11 klasių mokiniams, kurie ruošiasi vieningam valstybiniam egzaminui. Picko formulė gali būti naudojama apskaičiuojant figūros, pavaizduotos ant languoto popieriaus, plotą (ši užduotis siūloma Vieningo valstybinio egzamino testinėje medžiagoje).
Pamokos eiga
„Matematikos dalykas yra toks rimtas
kad naudinga nepraleisti progos
padaryk tai šiek tiek linksma“
(B. Paskalis)
Mokytojas: Yra užduočių, kurios yra neįprastos ir nepanašios į užduotis iš mokykliniai vadovėliai? Taip, tai problemos ant languoto popieriaus. Tokios užduotys yra kontroliuojant ir matuojant Vieningo valstybinio egzamino medžiaga. Koks tokių uždavinių ypatumas, kokiais metodais ir technikomis sprendžiamos problemos ant languoto popieriaus? Šioje pamokoje mes išnagrinėsime languoto popieriaus problemas, susijusias su nupieštos figūros ploto paieška ir išmoksime apskaičiuoti daugiakampių, nubrėžtų ant languoto popieriaus lapo, plotą.
Mokytojas: Tyrimo objektas bus uždaviniai ant languoto popieriaus.
Mūsų tyrimo objektas bus daugiakampių ploto skaičiavimo ant languoto popieriaus problemos.
O tyrimo tikslas bus Peak formulė.
B – sveikųjų skaičių taškų skaičius daugiakampio viduje
Г - sveikųjų skaičių taškų skaičius daugiakampio kraštinėje
Tai patogi formulė, pagal kurią galite apskaičiuoti bet kurio daugiakampio plotą be susikirtimų su viršūnėmis languoto popieriaus mazguose.
Kas yra Peakas? Peakas Georgas Aleksandrovas (1859-1943) – austrų matematikas. Formulę atrado 1899 m.
Mokytojas: Suformuluokime hipotezę: figūros plotas, apskaičiuotas pagal Pick formulę, yra lygus figūros plotui, apskaičiuotam pagal geometrijos formules.
Sprendžiant uždavinius ant languoto popieriaus, mums reikės geometrinės vaizduotės ir gana paprastos informacijos, kurią žinome:
Stačiakampio plotas lygus gretimų kraštinių sandaugai.
Kvadratas stačiakampis trikampis lygus pusei stačią kampą sudarančių kraštinių sandaugos.
Mokytojas: Tinklelio mazgai yra taškai, kuriuose tinklelio linijos susikerta.
Vidiniai daugiakampio mazgai yra mėlyni. Daugiakampio ribose esantys mazgai yra rudi.
Nagrinėsime tik tuos daugiakampius, kurių visos viršūnės yra languoto popieriaus mazguose.
Mokytojas: Atlikime trikampio tyrimą. Pirmiausia apskaičiuokime trikampio plotą naudodami Peak formulę.
IN + G/2 − 1 , Kur IN G— sveikųjų skaičių taškų ant daugiakampio ribos.
B = 34, G = 15,
IN + G/2 − 1 = 34 + 15 :2 − 1 = 40, 5 Atsakymas: 40,5
Mokytojas: Dabar apskaičiuokime trikampio plotą naudodami geometrijos formules. Bet kurio ant languoto popieriaus nupiešto trikampio plotą galima nesunkiai apskaičiuoti pavaizduojant jį kaip stačiųjų trikampių ir stačiakampių, kurių kraštinės eina po tinklelio linijomis, einančiomis per nubrėžto trikampio viršūnes, plotų sumą arba skirtumą. Mokiniai atlieka skaičiavimus savo sąsiuviniuose. Tada patikrinkite jų rezultatus su skaičiavimais lentoje.
Mokytojas: Palyginkite tyrimo rezultatus ir padarykite išvadas. Mes nustatėme, kad figūros plotas, apskaičiuotas naudojant Pick formulę, yra lygus figūros plotui, apskaičiuotam naudojant geometrijos formules. Taigi hipotezė pasirodė teisinga.
Toliau mokytojas siūlo apskaičiuoti „savo“ savavališko daugiakampio plotą naudojant geometrijos formules ir „Pick“ formulę ir palyginti rezultatus. Su Picko formule galite „žaisti“ matematinių studijų svetainėje.
Straipsnio pabaigoje siūlomas vienas iš darbų tema „Savavališko daugiakampio ploto apskaičiavimas naudojant Pick formulę“.
Daugiau npavyzdys:
Daugiakampio su sveikųjų skaičių viršūnėmis plotas yra IN + G/2 − 1 , Kur IN yra sveikųjų skaičių taškų skaičius daugiakampyje ir G— sveikųjų skaičių taškų ant daugiakampio ribos.
B = 10, G = 6,
IN + G/2 − 1 = 10 + 6 :2 − 1 = 12 ATSAKYMAS: 12
Mokytojas: Siūlau jūsų dėmesiui išspręsti šias problemas:
Atsakymas: 12
Atsakymas: 13
Atsakymas: 9
Atsakymas: 11.5
Atsakymas: 4
|
Figūros ploto apskaičiavimas.
Pasirinkite metodą
Irkutsko MBOU 23-ioje vidurinėje mokykloje 5B klasės mokinio darbas
Balsukova Aleksandra
Vadovas: Khodyreva T.G.
2014 m
Figūros ploto apskaičiavimas. Pasirinkite metodą
Tyrimo objektas : problemos ant languoto popieriaus
Tyrimo objektas : daugiakampio ploto skaičiavimo languotame popieriuje uždaviniai, jų sprendimo būdai ir būdai.
Tyrimo metodai : palyginimas, apibendrinimas, analogijos, literatūros ir interneto išteklių studijavimas, informacijos analizė.
Tyrimo tikslas:
pasirinkti pagrindinę, įdomią, suprantamą informaciją
Analizuoti ir sisteminti gautą informaciją
Rasti įvairių metodų ir uždavinių sprendimo ant languoto popieriaus technikos
patikrinkite plotų skaičiavimo formules geometrines figūras naudojant Picko formulę
Sukurti elektroninį kūrinio pristatymą surinktai medžiagai pristatyti
Geometrija yra galingiausia priemonė mūsų protiniams gebėjimams paaštrinti ir teisingai mąstyti bei mąstyti.
(G. Galilėjus)
Temos aktualumas
Aistra matematikai dažnai prasideda mąstant apie problemą. Taigi, studijuojant temą „Daugiakampių plotas“, kyla klausimas, ar yra problemų, kurios skiriasi nuo vadovėlyje aptartų problemų. Tokios problemos apima problemas ant languoto popieriaus. Koks yra tokių problemų ypatumas, ar jų yra specialius metodus ir uždavinių sprendimo ant languoto popieriaus technikos. Per matematikos pamoką mokytoja mus supažindino su įdomiu daugiakampių skaičiavimo metodu. Pradėjau studijuoti literatūrą ir interneto šaltinius šia tema. Atrodytų, ką nors žavaus galima rasti languotoje plokštumoje, tai yra begaliniame popieriaus lape, surikiuotame į vienodus kvadratus. Pasirodo, užduotys, susijusios su languotu popieriumi, yra gana įvairios. Išmokau apskaičiuoti daugiakampių, nupieštų ant languoto popieriaus lapo, plotą. Daugeliui problemų ant kvadratinio popieriaus nėra bendros sprendimo taisyklės ar specifinių metodų ir metodų. Tai yra jų savybė, lemianti jų vertę ugdant ne konkrečius akademinius gebėjimus ar įgūdžius, o apskritai gebėjimą mąstyti, reflektuoti, analizuoti, ieškoti analogijų, tai yra, šios užduotys lavina mąstymo įgūdžius plačiąja prasme.
Taip pat sužinojau, kad tokios užduotys yra svarstomos kontrolėje - matavimo medžiagos GIA ir vieningas valstybinis egzaminas. Todėl manau, kad šios medžiagos tyrimas naudingas ją taikant ne tik ateityje ugdymo procesas, bet ir nestandartinių olimpiados uždavinių sprendimui.
2.Ploto samprata
Kvadratas- dvimatės geometrinės figūros skaitinė charakteristika, nurodanti šios figūros dydį. Istoriškai ploto skaičiavimas buvo vadinamas . Figūra, turinti plotą, vadinama kvadratu .
Plokščios figūros plotas pagal geometriją
1. Kvadratas-plokštumos figūros matas standartinės figūros, kuri yra kvadratas, kurio kraštinė lygi vienam ilgio vienetui, atžvilgiu.
2. Kvadratas- skaitinė charakteristika, priskiriama tam tikros klasės plokščioms figūroms (pavyzdžiui, daugiakampiams). Kvadrato, kurio kraštinė lygi vienetinio ilgio, plotas, imamas lygus ploto vienetui
3. Kvadratas- teigiamas dydis, kurio skaitinė vertė turi šias savybes:
Vienodos figūros turėti lygių plotų;
Jei figūra yra padalinta į dalis, kurios yra paprastos figūros(t. y. tie, kuriuos galima suskirstyti į baigtinį skaičių plokštuminių trikampių), tada šios figūros plotas lygus jo dalių plotų sumai;
Kvadrato, kurio kraštinė lygi vienam matavimo vienetui, plotas yra lygus vienetui.
Taigi galime daryti išvadą, kad plotas nėra konkretus dydis, o tik suteikia tam tikrą sąlyginę bet kurios plokščios figūros charakteristiką. Norėdami rasti savavališkos figūros plotą, turite nustatyti, kiek joje yra kvadratų, kurių kraštinė lygi vienam ilgio vienetui. Pavyzdžiui, paimkite stačiakampį, kuriame kvadratinis centimetras telpa tiksliai 6 kartus. Tai reiškia, kad stačiakampio plotas yra 6 cm 2.
Kvadrato, kurio kraštinė lygi matavimo vienetui, plotas kaip minimalus visų plotų matavimo vienetas pasirenkamas neatsitiktinai. Tai yra žmonių susitarimo, atsiradusio „natūralios“ šimtmečių senumo atrankos metu, rezultatas. Be to, buvo ir kitų pasiūlymų dėl matavimo vieneto. Taigi, pavyzdžiui, lygiakraščio trikampio plotą buvo pasiūlyta paimti kaip tokį vienetą (t. y. bet kuri plokščia figūra gali būti pavaizduota kaip tam tikro skaičiaus „suma“ lygiakraščiai trikampiai), dėl to pasikeistų skaitinis plotų vaizdavimas.
Taigi matematikoje atsirado formulės plotams skaičiuoti ir jas žmogus ne iš karto suprato – tai gyvena daug mokslininkų skirtingų epochų Ir skirtingos šalys. (Neteisingios formulės moksle nerado vietos ir dingo užmarštyje). Tikrosios formulės buvo pildomos, taisomos ir pagrindžiamos tūkstančius metų, kol pasiekė mus savo moderniu pavidalu.
Tas pats dalykas ploto matavimas susideda iš tam tikros figūros ploto palyginimo su figūros plotu, imamu matavimo vienetu. Palyginus gaunamas tam tikras skaičius - tam tikros figūros ploto skaitinė vertė. Šis skaičius rodo, kiek kartų tam tikros figūros plotas yra didesnis (arba mažesnis) už figūros plotą, paimtą kaip ploto matavimo vienetą.
T Taigi galime daryti išvadą, kad plotas yra dirbtinis dydis, istoriškai įvestas žmogaus, norėdamas išmatuoti kokią nors plokščios figūros savybę. Būtinybę įvesti tokią reikšmę lėmė augantis poreikis žinoti, kokios didelės tam tikros teritorijos, kiek grūdų reikia laukui apsėti ar apskaičiuoti grindų paviršiaus plotą dekoratyvinėms plytelėms dekoruoti.
Pasirinkite formulę
Norint įvertinti daugiakampio plotą languotame popieriuje, pakanka suskaičiuoti, kiek langelių apima šis daugiakampis (ląstelės plotą imame kaip vieną). Tiksliau, jeiS yra daugiakampio plotas, B yra ląstelių, kurios yra visiškai daugiakampio viduje, skaičius, o G yra langelių, turinčių vidų, skaičius. Nagrinėsime tik tokius daugiakampius, kurių visos viršūnės yra languoto popieriaus mazguose – tuos, kuriuose daugiakampio tinklelio linijos kerta bent vieną bendrą tašką.
Bet kurio ant languoto popieriaus nupiešto trikampio plotą galima nesunkiai apskaičiuoti pavaizduojant jį kaip stačiųjų trikampių ir stačiakampių, kurių kraštinės eina po tinklelio linijomis, einančiomis per nubrėžto trikampio viršūnes, plotų sumą arba skirtumą.
Norėdami apskaičiuoti tokio daugiakampio plotą, galite naudoti šią teoremą:
Teorema . Leiskite - sveikųjų skaičių taškų daugiakampyje, - sveikųjų skaičių taškų ant jo ribos, - jo plotas. Tada tai yra sąžiningaPasirinkite formulę:
Pavyzdys. Daugiakampiui paveiksleL = 7 (raudoni taškai), 9 (žali taškai) taipS = 7+ 9/2 -1 = 10,5 kvadratinių vienetų.
Picko teorema- klasikinis rezultatas Ir .
Trikampio su viršūnėmis mazguose ir neturinčio mazgų nei viduje, nei iš šonų (išskyrus viršūnes) plotas yra 1/2. Šis faktas.
3. Istorija
Picko formulę atrado austrų matematikas Georgas Aleksandras (1859-1942) m. . Būdamas 16 metų Georgas baigė mokyklą ir įstojo į mokyklą. Būdamas 20 metų jis gavo teisę dėstyti fiziką ir matematiką. 1884 m. Peake išvyko įĮ . Ten jis susitiko su kitu Kleino mokiniu,. Vėliau, 1885 m., jis grįžo į, kur praleido likusį mokslinės karjeros laiką.
Georgas Pieckas draugavo su Einšteinu. Peake'as ir Einšteinas ne tik turėjo bendrų mokslinių interesų, bet ir jautė aistrą muzikai. Pickas, grojęs kvartete, kurį sudaro universiteto profesoriai, supažindino Einšteiną su Prahos mokslo ir muzikos draugija.
Peake'o matematinių interesų spektras buvo labai platus. Visų pirma, jie yra vyresni nei 50 metų mokslo darbai. Plačiai tapo žinoma Picko teorema daugiakampio plotui apskaičiuoti, jo atrasta 1899 m. Vokietijoje ši teorema įtraukta į mokyklinius vadovėlius.
4.Pick formulės taikymai
Picko formulė naudojama ne tik daugiakampių plotams apskaičiuoti, bet ir daugeliui olimpiados lygmens uždavinių spręsti.
Keletas rinkimo formulės naudojimo sprendžiant problemas pavyzdžiai:
1) Šachmatų karalius vaikščiojo aplink 8 × 8 langelių lentą, aplankydamas kiekvieną
namo laukas lygiai vieną kartą ir paskutiniu žingsniu grįžus prie pradinio
lauke. Nutrūkusi linija, nuosekliai jungianti laukų centrus, kurie
praėjo karalių, neturi jokių susikirtimų. Kokia sritis gali
apriboti šią nutrūkusią liniją? (Ląstelės kraštinė yra 1.)
Iš Peako formulės iš karto matyti, kad plotas, ribojamas lo-
mana, lygi 64/2 − 1 = 31; čia gardelės mazgai yra centrai 64
laukų ir, pagal sąlygą, visi jie yra ant daugiakampio ribos. Taigi
Taigi, nors tokių karaliaus „trajektorijų“ yra gana daug, jos visos
surišti vienodo ploto daugiakampiai.
Užduotys iš Valstybinės egzaminų agentūros ir Vieningo valstybinio egzamino testų ir matavimų medžiagos
Užduotis B3
Raskite paveikslo plotą, pavaizduotą ant languoto popieriaus, kurio langelio dydis yra 1 cm 1 cm (žr. pav.). Atsakymą pateikite kvadratiniais centimetrais.
4.Išvada
Tyrimo metu studijavau informacinę ir populiariąją literatūrą. Sužinojau, kad daugiakampio su viršūnėmis ploto radimo tinklelio mazguose problema paskatino austrų matematiką Piecką įrodyti nuostabią Pieck formulę 1899 m.
Dėl savo darbo praplėčiau žinias apie uždavinių sprendimą languotame popieriuje, pati nusprendžiau tiriamų problemų klasifikaciją, įsitikinau jų įvairove.
Išmokau skaičiuoti ant languoto popieriaus nupieštų daugiakampių plotus. Svarstomos užduotys yra įvairaus sunkumo – nuo paprastų iki olimpiadinių. Tarp jų kiekvienas gali rasti įmanomo sudėtingumo užduočių, nuo kurių bus galima pereiti prie sunkesnių.
Padariau išvadą, kad mane dominusi tema gana įvairiapusė, uždaviniai languotame popieriuje – įvairūs, jų sprendimo būdai ir būdai taip pat įvairūs. Todėl nusprendėme ir toliau dirbti šia kryptimi.
5. Naudota literatūra:
1. Vasiljevas N. B. Aplink rinkimo formulę // Quantum. - 1974. - Nr. 12
2. K o k e P r a s o l o v V. V. Planimetrijos problemos. - M.: MTsNMO, 2006.t e r G.S.M. Įvadas į geometriją. - M.: Mokslas, 1966 m
3. Roslova L.O., Šaryginas I.F. Išmatavimai. – M.: Leidykla. „Atviras pasaulis“, 2005 m.
Interneto ištekliai:
:
Atsiliepimai apie darbą
„Plokštumos figūrų plotų skaičiavimas. Pasirinkite metodą"
Šios temos svarstymas pagerės pažintinė veikla mokinys, kuris vėliau geometrijos pamokose pradės matyti piešinio harmoniją ir nustos suvokti geometriją (ir apskritai matematiką) kaip nuobodų mokslą.
Apžvelgė matematikos mokytojas
Chodyreva Tatjana Georgievna
Starkova Kristina, 8B klasės mokinė
Darbe aptariama Picko teorema ir jos įrodymas.
Nagrinėjamos daugiakampių plotų radimo problemos.
Atsisiųsti:
Peržiūra:
BENDROJO IR PROFESINIO UGDYMO SKYRIUS
ČAIKOVSKIO SAVIVALDYBĖS RAJONO ADMINISTRACIJA
PERMĖS REGIONAS
VI SAVIVALDYBĖS TYRIMŲ KONFERENCIJA
STUDENTAI
Savivaldybės autonominė ugdymo įstaiga
"vidutinis vidurinę mokyklą Nr. 11"
SKYRIUS: MATEMATIKA
Picko formulės taikymas
8 klasės „B“ mokinys
MAOU vidurinė mokykla Nr. 11 Čaikovskis
Vadovas: Batueva L, N.,
Matematikos mokytoja MAOU 11 vidurinė mokykla
Čaikovskis
2012 m
I. Įvadas…………………………………………………. 2
II. Pasirinkite formulę
2.1. Grotelės. Mazgai…………………………………………….4
2.2 Daugiakampio trikampiavimas………………………………………
2.3. Picko teoremos įrodymas…………………………6
2.4 Daugiakampių plotų tyrimas…………9
2.5. Išvada………………………………………………………..12
III.Geometriniai uždaviniai su praktiniu turiniu...13
IV. Išvada………………………………………………………………..14
V. Literatūros sąrašas…………………………..16
- Įvadas
Aistra matematikai dažnai prasideda mąstant apie problemą. Taigi, studijuojant temą „Daugiakampių plotai“, iškilo klausimas, ar nėra problemų, kurios skiriasi nuo geometrijos vadovėliuose aptartų problemų. Tai problemos ant languoto popieriaus. Turėjome klausimų: koks tokių uždavinių ypatumas, ar yra specialių metodų ir technikų, kaip spręsti uždavinius ant languoto popieriaus. Matydamas tokias problemas Vieningo valstybinio egzamino ir valstybinio egzamino testų ir matavimų medžiagoje, nusprendžiau būtinai išnagrinėti problemas languotame popieriuje, susijusias su vaizduojamos figūros ploto radimu.
Pradėjau studijuoti literatūrą ir interneto šaltinius šia tema. Atrodytų, ką nors žavaus galima rasti languotoje plokštumoje, tai yra begaliniame popieriaus lape, surikiuotame į vienodus kvadratus? Neteiskite skubotai. Pasirodo, užduotys, susijusios su languotu popieriumi, yra gana įvairios. Išmokau apskaičiuoti daugiakampių, nupieštų ant languoto popieriaus lapo, plotą. Daugeliui problemų ant kvadratinio popieriaus nėra bendros sprendimo taisyklės ar konkrečių metodų ir metodų. Tai yra jų savybė, lemianti jų vertę ugdant ne konkrečius akademinius gebėjimus ar įgūdžius, o apskritai gebėjimą mąstyti, reflektuoti, analizuoti, ieškoti analogijų, tai yra, šios užduotys lavina mąstymo įgūdžius plačiąja prasme.
Mes apibrėžėme:
Tyrimo objektas: problemos ant languoto popieriaus
Tyrimo objektas: daugiakampio ploto skaičiavimo languotame popieriuje uždaviniai, jų sprendimo būdai ir būdai.
Tyrimo metodai: modeliavimas, palyginimas, apibendrinimas, analogijos, literatūros ir interneto išteklių tyrimas, informacijos analizė ir klasifikavimas.
- Tyrimo tikslas:Išveskite ir patikrinkite geometrinių figūrų plotų skaičiavimo formules naudojant Peak formulę
Norėdami pasiekti šį tikslą, numatome išspręsti šiuos klausimus užduotys:
- Pasirinkite reikiamą literatūrą
- Pasirinkti medžiagą tyrimui, pasirinkti pagrindinę, įdomią, suprantamą informaciją
- Analizuoti ir sisteminti gautą informaciją
- Raskite įvairius uždavinių sprendimo būdus ir būdus ant languoto popieriaus
- Sukurkite elektroninį darbo pristatymą, kad surinktą medžiagą pristatytumėte klasės draugams
užduočių įvairovė languotame popieriuje, jų „linksmas“ pobūdis, bendrų taisyklių ir sprendimo būdų nebuvimas kelia sunkumų jas svarstant moksleiviams.
- Hipotezė:. Figūros plotas, apskaičiuotas naudojant Pick formulę, yra lygus figūros plotui, apskaičiuotam pagal planimetrijos formulę.
Sprendžiant uždavinius ant languoto popieriaus, mums prireiks geometrinės vaizduotės ir gana paprastos, visiems žinomos geometrinės informacijos.
II. Pasirinkite formulę
2.1. Grotelės. Mazgai.
Panagrinėkime dvi lygiagrečių tiesių šeimas plokštumoje, plokštumą dalijančias į lygius kvadratus; visų šių tiesių susikirtimo taškų aibė vadinama taškine arba tiesiog gardele, o patys taškai – gardelės mazgais.
Vidiniai daugiakampio mazgai - raudona.
Mazgai daugiakampio paviršiuose - mėlyna.
Norint įvertinti daugiakampio plotą languotame popieriuje, pakanka suskaičiuoti, kiek langelių apima šis daugiakampis (ląstelės plotą imame kaip vieną). Tiksliau, jei S yra daugiakampio plotas, B yra ląstelių, kurios yra visiškai daugiakampio viduje, skaičius, o G yra langelių, turinčių bent vieną bendrą tašką su daugiakampio vidumi, skaičius.
Nagrinėsime tik tuos daugiakampius, kurių visos viršūnės yra languoto popieriaus mazguose – tuos, kuriuose tinklelio linijos susikerta.
Bet kurio ant languoto popieriaus nupiešto trikampio plotą galima nesunkiai apskaičiuoti pavaizduojant jį kaip stačiųjų trikampių ir stačiakampių, kurių kraštinės eina po tinklelio linijomis, einančiomis per nubrėžto trikampio viršūnes, plotų sumą arba skirtumą.
2.2 Daugiakampio trikampiavimas
Bet kurį daugiakampį, kurio viršūnės yra tinklo mazguose, galima trikampiuoti - padalinti į „paprastus“ trikampius.
Tegu plokštumoje pateikiamas koks nors daugiakampis ir baigtinė aibė KAM taškai, esantys daugiakampio viduje ir jo kraštinėje (ir visos daugiakampio viršūnės priklauso aibeiĮ ).
Trianguliacija su viršūnėmis KAM vadinamas tam tikro daugiakampio padalijimu į trikampius su viršūnėmis aibėje KAM toks, kad kiekvienas taškas iš KAM tarnauja kaip kiekvieno iš tų trikampių trikampių, kuriems priklauso šis taškas (tai yra taškai iš KAM nepatenka į trikampių vidų ar į šonus, pav. 1.37).
Ryžiai. 1.37
2 teorema. a) Bet kuris n -trikampį galima įstrižai perpjauti į trikampius, ir trikampių skaičius bus lygus n – 2 (ši skaidinys yra trikampis su viršūnėmis viršūnėse n-gon).
Apsvarstykite neišsigimstantį paprastą sveikųjų skaičių daugiakampį (t. y. jis yra sujungtas – bet kurie du jo taškai gali būti sujungti ištisine kreive, esančia jame, ir visos jo viršūnės turi sveikųjų skaičių koordinates, jo riba yra sujungta trūkinė linija be susikirtimų , ir jo plotas skiriasi nuo nulio).
Norėdami apskaičiuoti tokio daugiakampio plotą, galite naudoti šią teoremą:
2.3. Picko teoremos įrodymas.
Tegul B yra sveikųjų skaičių taškų daugiakampio viduje, G yra sveikųjų skaičių taškų skaičius jo riboje,- jo plotas. Tada tai yra sąžininga Smailės formulė: S=B+G2-1
Pavyzdys. Daugiakampiui paveiksle V=23 (geltoni taškai), Г=7, (mėlyni taškai, nepamirškite viršūnių!), taigikvadratinių vienetų.
Pirma, atkreipkite dėmesį, kad Picko formulė galioja vieneto kvadratui. Iš tiesų, šiuo atveju turime B = 0, G = 4 ir.
Apsvarstykite stačiakampį, kurio kraštinės guli ant grotelių linijų. Tegul jo kraštinių ilgiai yra lygūs Ir . Šiuo atveju turime B = (a-1) (b-1) , Г = 2a + 2b, tada pagal smailės formulę,
Dabar panagrinėkime statųjį trikampį, kurio kojos guli ant koordinačių ašių. Toks trikampis gaunamas iš stačiakampio su kraštinėmis Ir , nagrinėtas ankstesniu atveju, pjaunant jį įstrižai. Tegul jie guli ant įstrižainėssveikieji taškai. Tada už tai atvejis В=а-1)b-1, 2 Г= Г=2a+2b 2 +с-1 ir mes tai gauname4) Dabar apsvarstykite savavališką trikampį. Jį galima gauti išpjaunant kelis stačiakampius trikampius ir galbūt stačiakampį iš stačiakampio (žr. paveikslėlius). Kadangi Picko formulė yra teisinga ir stačiakampiui, ir stačiakampiui, matome, kad ji bus teisinga ir savavališkam trikampiui.
Belieka žengti paskutinį žingsnį: pereiti nuo trikampių prie daugiakampių. Bet kurį daugiakampį galima padalyti į trikampius (pavyzdžiui, pagal įstrižas). Todėl tereikia įrodyti, kad pridedant bet kurį trikampį prie savavališko daugiakampio, Picko formulė išlieka teisinga. Tegul daugiakampis ir trikampis turi bendrą pusę. Tarkime, kadPiko formulė galioja, įrodysime, kad ji bus teisinga ir daugiakampiui, gautam iš pridedant . Kadangi turi bendrą pusę, tada visi sveikieji taškai, esantys šioje pusėje, išskyrus dvi viršūnes, tampa naujo daugiakampio vidiniais taškais. Viršūnės bus ribiniai taškai. Pažymime bendrų taškų skaičių ir gauname B=MT=BM+BT+c-2 - naujo daugiakampio vidinių sveikųjų skaičių skaičius, Г=Г(М)+Г(T)-2(с-2)-2 - naujo daugiakampio ribinių taškų skaičius. Iš šių lygybių gauname: BM+BT+c-2 , G=G(M)+G(T)-2(s-2)-2. Kadangi manėme, kad teorema yra teisinga ir už atskirai, tada S(MT)+S(M)+S(T)=(B(M)+ GM2 –1)+B(T)+ GT2 –1)=(B(M)+ B(T))+( GM2+GT2)-2 =G(MT)-(c-2)+ B(MT) +2(c-2)+22-2= G(MT)+ B(MT)2-1 Taigi Picko formulė įrodyta.
2.4 Daugiakampių plotų tyrimas.
2) Ant languoto popieriaus su 1 cm x 1 cm dydžio kvadratėliais trikampis.Raskite jo plotą kvadratiniais centimetrais. | ||
Piešimas | Pagal geometrijos formulę | Pagal Picko formulę |
S=12ah St.ABD = 1/2 AD ∙ BD = 1/2 ∙ 2 ∙ 1 = 1 St.BDC = 1/2 DC ∙ BD = 1/2 ∙ 3 ∙ 1 = 1,5 St.ABC=Str.BDC-Str.ABD= 1,5-1=0,5 | S= V+G2-1 Г=3 ;В=0. S=0+3/2-1=0,5 |
3) Keturkampis pavaizduotas ant languoto popieriaus su 1 cm x 1 cm dydžio kvadratais. Raskite jo plotą kvadratiniais centimetrais. | ||
Piešimas | Pagal geometrijos formulę | Pagal Picko formulę |
S=a∙b KMNE = 7 ∙ 7 = 49 St.AKB = 1/2 ∙ KB ∙ AK = 1/2 ∙ 4 ∙ 4 = 8 St.AKB=Str.DCE=8 St.AND = 1/2 ∙ ND ∙ AN = 1/2 ∙ 3 ∙ 3 = 4,5 St.AND=Str.BMC=4,5 Spr.= Sq.KMNE- St.AKB- St.DCE- St.AND- St.BMC=49-8-8-4.5-4.5=24 | S= V+G2-1 G = 14; B = 19. S=18+14/2-1=24 |
4) Ant languoto popieriaus su 1 cm x 1 cm dydžio kvadratėliais | ||
Piešimas | Pagal geometrijos formulę | Pagal Picko formulę |
S1 = 12a∙ b = 1/2 ∙ 7 ∙1 = 3,5 S2 = 12a∙ b = 1/2 ∙ 7 ∙ 2 = 7 S3 = 12a∙ b = 1/2 ∙ 4 ∙ 1 = 2 S4 = 12a∙ b = 1/2 ∙ 5 ∙ 1 = 2,5 S5=a²=1²=1 kv.= a²=7²=49 S=49-3,5-7-2-2,5-1=32cm² | S= V+G2-1 Г=5;В=31. S = 31+ 42 -1 = 32 cm² |
|
5) Ant languoto popieriaus su 1 cm x 1 cm dydžio kvadratėliais keturkampis. Raskite jo plotą kvadratiniais centimetrais. | ||
S = a∙b a=36+36=62 b=9+9=32 S = 62∙32 = 36 cm 2 | S= V+G2-1 G=18, V=28 S = 28+ 182 -1 = 36 cm 2 |
|
6) Ant languoto popieriaus su 1 cm x 1 cm dydžio kvadratėliais keturkampis. Raskite jo plotą kvadratiniais centimetrais | ||
S1 = 12a∙ b = 1/2 ∙ 3∙ 3 = 4,5 S2 = 12a∙ b = 1/2 ∙ 6 ∙ 6 = 18 S3 = 12a∙ b = 1/2 ∙ 3 ∙ 3 = 4,5 S=4,5+18+4,5=27 cm² | S= V+G2-1 G = 18; B = 28. S = 28+ 182 -1 = 36 cm² |
|
7) Ant languoto popieriaus su 1 cm x 1 cm dydžio kvadratėliais keturkampis. Raskite jo plotą kvadratiniais centimetrais | ||
S1 = 12a∙ b = 1/2 ∙ 3∙ 3 = 4,5 S2 = 12a∙ b = 1/2 ∙ 6 ∙ 6 = 18 S3 = 12a∙ b = 1/2 ∙ 3 ∙ 3 = 4,5 S4 = 12a∙ b = 1/2 ∙ 6 ∙ 6 = 18 kv.=9²=81cm² S=81-4,5-18-4,5-18=36cm² | S= V+G2-1 G = 18; B = 28. S = 28+ 182 -1 = 36 cm² |
8) Ant languoto popieriaus su 1 cm x 1 cm dydžio kvadratėliais keturkampis. Raskite jo plotą kvadratiniais centimetrais | ||
Piešimas | Pagal geometrijos formulę | Pagal Picko formulę |
S1 = 12a∙ b = 1/2 ∙ 2 ∙ 4 = 4 S2 = 12 a = 1/2 ∙ 4 ∙ 4 = 8 S3 = 12 a = 1/2 ∙ 8 ∙ 2 = 8 S4 = 12 a = 1/2 ∙ 4 ∙ 1 = 2 Spr.= a∙ b=6 ∙ 8=48 S5=48-4-8-8-2=24 cm² | S= Г+В2-1 G = 16; B = 17. S=17+ 162 -1=24 cm² |
Išvada
- Palyginęs rezultatus lentelėse ir įrodęs Picko teoremą, padariau išvadą, kad pagal Picko formulę apskaičiuotos figūros plotas yra lygus figūros plotui, apskaičiuotam naudojant išvestinę planimetrijos formulę.
Taigi mano hipotezė pasirodė teisinga
III.Geometrinės problemos su praktiniu turiniu.
Peak formulė taip pat padės mums išspręsti geometrines užduotis su praktiniu turiniu.
9 užduotis. Raskite miško plotą (m²), pavaizduotą plane su 1 × 1 (cm) kvadratine tinkleliu 1 cm - 200 m skalėje (10 pav.)
Sprendimas.
Ryžiai. 10 V = 8, D = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (cm²)
1 cm² - 200² m²; S = 40 000 10,5 = 420 000 (m²)
Atsakymas: 420 000 m²
10 problema . Raskite lauko plotą (m²), pavaizduotą plane su 1 × 1 (cm) kvadratine tinkleliu 1 cm - 200 m skalėje (11 pav.)
Sprendimas. Raskime S keturkampio plotą, pavaizduotą ant languoto popieriaus, naudodami Pick formulę: S = B + - 1
H = 7, D = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (cm²)
Ryžiai. 11 1 cm² - 200² m²; S = 40 000 8 = 320 000 (m²)
Atsakymas: 320 000 m²
Išvada
Tyrimo metu studijavau informacinę ir populiariąją literatūrą bei išmokau dirbti Užrašų knygelės programa. Aš tai sužinojau
Problema rasti daugiakampio plotą su viršūnėmis tinklelio mazguose paskatino austrų matematiką Piecką įrodyti nuostabią Pieck formulę 1899 m.
Dėl savo darbo praplėčiau žinias apie uždavinių sprendimą languotame popieriuje, pati nusprendžiau tiriamų problemų klasifikaciją, įsitikinau jų įvairove.
Išmokau skaičiuoti ant languoto popieriaus nupieštų daugiakampių plotus. Svarstomos užduotys yra įvairaus sunkumo – nuo paprastų iki olimpiadinių. Tarp jų kiekvienas gali rasti įmanomo sudėtingumo užduočių, nuo kurių bus galima pereiti prie sunkesnių.
Padariau išvadą, kad mane dominusi tema gana įvairiapusė, uždaviniai languotame popieriuje – įvairūs, jų sprendimo būdai ir būdai taip pat įvairūs. Todėl nusprendėme ir toliau dirbti šia kryptimi.
Literatūra
1.Geometrija ant languoto popieriaus. Mažasis mechanikos ir matematikos universitetas MSU.
2. Žarkovskaja N. M., Riess E. A. Languoto popieriaus geometrija. Picko formulė // Matematika, 2009, Nr. 17, p. 24-25.
3.Užduotys atviras bankas matematikos užduotys FIPI, 2010 – 2011 m
4.V.V.Vavilovas, A.V.Ustinov Daugiakampiai ant grotelių M.MCNMO, 2006 m.
5. Teminės studijos.etüüdes.ru
6.L.S.Atanasyanas, V.F. Butuzovas, S.B., Geometrija, M. Nušvitimas, 2010 m
Yra nuostabi formulė, leidžianti apskaičiuoti daugiakampio plotas koordinačių tinklelyje beveik be klaidų. Tai net ne formulė, tai tikra. teorema. Iš pirmo žvilgsnio tai gali atrodyti sudėtinga. Tačiau pakanka išspręsti keletą problemų ir suprasite, kokia šauni ši funkcija. Taigi pirmyn!
Pirma, pristatykime naują apibrėžimą:
Tinklelio mazgas yra bet koks taškas, esantis to tinklelio vertikalių ir horizontalių linijų sankirtoje.
Pavadinimas:
Pirmoje nuotraukoje mazgai visai nepažymėti. Antrasis rodo 4 mazgus. Galiausiai, trečioje nuotraukoje rodomi visi 16 mazgų.
Kaip tai susiję su B5 užduotimi? Faktas yra tas, kad daugiakampio viršūnės tokiose problemose Visada gulėti tinklelio mazguose. Dėl to jiems tinka ši teorema:
Teorema. Apsvarstykite koordinačių tinklelio daugiakampį, kurio viršūnės yra šio tinklelio mazguose. Tada daugiakampio plotas yra:
kur n yra mazgų skaičius duotame daugiakampyje, k yra mazgų, esančių ant jo ribos, skaičius (kraštiniai mazgai).
Kaip pavyzdį apsvarstykite įprastą trikampį koordinačių tinklelyje ir pabandykite pažymėti vidinius ir ribinius mazgus.
Pirmoje nuotraukoje pavaizduotas paprastas trikampis. Antrame paveikslėlyje pavaizduoti jo vidiniai mazgai, kurių skaičius yra n = 10. Trečiame paveikslėlyje pavaizduoti ant ribos esantys mazgai, iš viso yra k = 6.
Daugeliui skaitytojų gali būti neaišku, kaip suskaičiuoti skaičius n ir k. Pradėkite nuo vidinių mazgų. Čia viskas akivaizdu: pieštuku nupieškite trikampį ir pažiūrėkite, kiek mazgų uždengta.
Ribiniai mazgai yra šiek tiek sudėtingesni. Daugiakampio kraštinė – uždara polilinija, kuris kerta koordinačių tinklelį daugelyje taškų. Lengviausias būdas yra pažymėti tam tikrą "pradžios" tašką, o tada apeiti likusį.
Ribiniai mazgai bus tik tie polilinijos taškai, kuriuose jie tuo pačiu metu susikerta trys eilutės:
- Tiesą sakant, tai nutrūkusi linija;
- Horizontali tinklelio linija;
- Vertikali linija.
Pažiūrėkime, kaip visa tai veikia realiose problemose.
Užduotis. Raskite trikampio plotą, jei langelio dydis yra 1 x 1 cm:
Pirmiausia pažymėkime mazgus, esančius trikampio viduje, taip pat jo kraštinėje:
Pasirodo, kad yra tik vienas vidinis mazgas: n = 1. Ribinių mazgų yra net šeši: trys sutampa su trikampio viršūnėmis, o dar trys guli šonuose. Iš viso k = 6.
Dabar apskaičiuojame plotą pagal formulę:
tai viskas! Problema išspręsta.
Užduotis. Raskite keturkampio plotą, pavaizduotą ant languoto popieriaus, kurio langelio dydis yra 1 cm x 1 cm. Pateikite savo atsakymą kvadratiniais centimetrais.
Vėlgi, pažymėkite vidinius ir ribinius mazgus. Yra tik n = 2 vidiniai mazgai K = 7 ribiniai mazgai, iš kurių 4 yra keturkampio viršūnės, ir dar 3 guli ant šonų.
Belieka ploto formulėje pakeisti skaičius n ir k:
Atkreipkite dėmesį į paskutinį pavyzdį. Ši problema iš tikrųjų buvo pasiūlyta diagnostinis darbas 2012 metais. Jei dirbsite pagal standartinę schemą, turėsite atlikti daugybę papildomų konstrukcijų. O mazgo metodu viskas sprendžiama beveik žodžiu.
Svarbi pastaba apie sritis
Tačiau formulė dar ne viskas. Šiek tiek perrašykime formulę, dešinėje pridėdami terminus Į bendras vardiklis . Mes gauname:
Skaičiai n ir k yra mazgų skaičius, jie visada yra sveikieji skaičiai. Tai reiškia, kad visas skaitiklis taip pat yra sveikas skaičius. Mes padalijame jį iš 2, o tai lemia svarbų faktą:
Plotas visada išreikštas sveikas skaičius arba trupmena. Be to, trupmenos pabaigoje visada yra „penkios dešimtosios“: 10,5; 17.5 ir kt.
Taigi plotas uždavinyje B5 visada išreiškiamas sveikuoju skaičiumi arba trupmena formos ***,5. Jei atsakymas kitoks, vadinasi, kažkur buvo klaida. Prisiminkite tai laikydami tikrąjį valstybinį matematikos egzaminą!
Ant languoto popieriaus nupieškime kokį nors daugiakampį. Pavyzdžiui, kaip parodyta 1 paveiksle.
Dabar pabandykime apskaičiuoti jo plotą. Kaip tai padaryti? Turbūt lengviausia jį padalinti į stačiakampius trikampius ir stačiakampius, kurių plotus lengva apskaičiuoti ir susumuoti rezultatus. Mano naudojamas metodas yra paprastas, bet labai sudėtingas, be to, jis netinka visiems daugiakampiams.
Apsvarstykite neišsigimstantį paprastą sveikųjų skaičių daugiakampį (t. y. jis yra sujungtas – bet kurie du jo taškai gali būti sujungti ištisine kreive, esančia jame, ir visos jo viršūnės turi sveikųjų skaičių koordinates, jo riba yra sujungta trūkinė linija be susikirtimų , o jo kvadratas skiriasi nuo nulio). Norėdami apskaičiuoti tokio daugiakampio plotą, galite naudoti šią teoremą:
Picko teorema. Leisti būti sveikojo skaičiaus taškų skaičius daugiakampio viduje, būti sveikųjų skaičių taškų ant jo ribos ir būti jo srityje. Tada tai yra sąžininga Pasirinkite formulę:
Pavyzdys. Daugiakampiui 1 paveiksle (geltoni taškai), (mėlyni taškai, nepamirškite viršūnių!), todėl kvadratiniai vienetai.
Picko teoremos įrodymas. Pirma, atkreipkite dėmesį, kad Picko formulė galioja vieneto kvadratui. Iš tiesų, šiuo atveju turime
Apsvarstykite stačiakampį, kurio kraštinės guli ant grotelių linijų. Tegul jo kraštinių ilgiai lygūs ir. Šiuo atveju turime ir pagal Peak formulę
Dabar panagrinėkime statųjį trikampį, kurio kojos guli ant koordinačių ašių. Toks trikampis gaunamas iš stačiakampio su kraštinėmis ir, aptarta ankstesniu atveju, perpjaunant jį įstrižai. Tegul įstrižainėje yra sveikųjų skaičių. Tada šiuo atveju mes tai gauname
Dabar apsvarstykite savavališką trikampį. Jį galima gauti išpjaunant kelis stačiakampius trikampius ir galbūt stačiakampį iš stačiakampio (žr. 2 ir 3 pav.). Kadangi Picko formulė yra teisinga ir stačiakampiui, ir stačiakampiui, matome, kad ji bus teisinga ir savavališkam trikampiui.
Belieka žengti paskutinį žingsnį: pereiti nuo trikampių prie daugiakampių. Bet kurį daugiakampį galima padalyti į trikampius (pavyzdžiui, pagal įstrižas). Todėl tereikia įrodyti, kad pridedant bet kurį trikampį prie savavališko daugiakampio, Picko formulė išlieka teisinga.
Tegul daugiakampis ir trikampis turi bendrą kraštinę. Tarkime, kad Pick formulė galioja, įrodysime, kad ji bus teisinga ir daugiakampiui, gautam sudėjus. Kadangi jie turi bendrą pusę, visi sveikieji taškai, esantys šioje pusėje, išskyrus dvi viršūnes, tampa naujo daugiakampio vidiniais taškais. Viršūnės bus ribiniai taškai. Pažymime bendrų taškų skaičių ir gaukime
naujo daugiakampio vidinių sveikųjų skaičių taškų,
Naujo daugiakampio kraštinių taškų skaičius.
Iš šių lygybių gauname
Kadangi manėme, kad teorema yra teisinga ir atskirai, tada
Taigi Picko formulė įrodyta.
Šią formulę 1899 m. atrado austrų matematikas Peakas Georgas Aleksandrovas (1859 - 1943). Be šios formulės, Georgas Pickas atrado Pick, Pick-Julia, Pick-Nevalina teoremas ir įrodė Schwartz-Pick nelygybę. IN 1 priedas galite pamatyti nestandartines problemas, kurias svarsčiau naudojant Pick formulę.