Padalinkite figūrą į lygias dalis. Problemos pjaustant ir perbraižant figūras
Pjaustymas į dvi lygias dalis, pirmoji dalis
- Matematika
Pjovimo problemos yra ta matematikos sritis, kurioje, kaip sakoma, mamutas nesiriedėjo. Daug atskirų klausimų, bet iš esmės nė vieno bendroji teorija. Be gerai žinomos Bolyai-Gervin teoremos, kitų esminių rezultatų šioje srityje praktiškai nėra. Neapibrėžtumas yra amžinas pjaustymo problemų palydovas. Pavyzdžiui, taisyklingą penkiakampį galime išpjauti į šešias dalis, iš kurių galima suformuoti kvadratą; tačiau negalime įrodyti, kad tam neužtektų penkių dalių.
Gudrios euristikos, vaizduotės ir pusės litro pagalba kartais pavyksta rasti konkretų sprendimą, tačiau, kaip taisyklė, neturime tinkamų įrankių įrodyti šio sprendimo minimalumą ar jo nebuvimą (pastarojo , žinoma, nurodo atvejį, kai neradome sprendimo) . Tai liūdna ir nesąžininga. Kartą paėmiau tuščią sąsiuvinį ir nusprendžiau atkurti teisingumą vienos konkrečios užduoties mastu: plokščią figūrą supjaustyti į dvi lygias (suderinančias) dalis. Kaip šios straipsnių serijos dalį (beje, jų bus trys), mes, bendražygiai, apsvarstysime šį juokingą daugiakampį, parodytą žemiau, ir bandysime nešališkai išsiaiškinti, ar jį galima supjaustyti į dvi vienodas formas, ar ne.
Įvadas
Pirmiausia atnaujinkime mokyklos kursas geometriją ir atsiminkite, kas yra lygios figūros. „Yandex“ naudingai siūlo:Sakoma, kad dvi figūros plokštumoje yra lygios, jei yra judėjimas, kuris vienas prieš vieną paverčia vieną figūrą kita.
Dabar paklauskime Vikipedijos apie judėjimą. Pirma, tai mums pasakys, kad judėjimas yra plokštumos transformacija, kuri išsaugo atstumus tarp taškų. Antra, yra netgi judesių klasifikacija plokštumoje. Visi jie priklauso vienam iš kiti trys tipai:
- Slankioji simetrija (čia aš įtraukiu veidrodinę simetriją patogumo ir naudos sumetimais, kaip išsigimusią atvejį, kai lygiagretus vertimas atliekamas nuliniu vektoriumi)
Leiskite pristatyti kai kuriuos užrašus. Pjaunama figūra bus vadinama figūra A, o dvi hipotetines lygias figūras, į kurias tariamai galime iškirpti, vadinsime atitinkamai B ir C. Plokštumos dalį, kurios neužima figūra A, plotą vadinsime D. Tais atvejais, kai nupjauta figūra laikomas konkretus paveikslo daugiakampis, vadinsime jį A 0 .
Taigi, jei figūrą A galima iškirpti į dvi lygias dalis B ir C, tada yra judėjimas, kuris nukeliauja nuo B iki C. Šis judėjimas gali būti arba lygiagretus vertimas, arba sukimasis, arba slydimo simetrija (pradedant nuo šio momento). , nebesulyginu, kad veidrodinė simetrija taip pat laikoma slystančia). Šiuo paprastu ir, sakyčiau, akivaizdžiu pagrindu, mūsų sprendimas bus sukurtas. Šioje dalyje nagrinėsime paprasčiausią atvejį – lygiagretųjį perdavimą. Sukimosi ir slydimo simetrija pateks atitinkamai į antrą ir trečią dalis.
1 atvejis: lygiagretusis perkėlimas
Lygiagretus vertimas pateikiamas vienu parametru – vektoriumi, kuriame įvyksta poslinkis. Pristatykime dar keletą terminų. Bus iškviesta tiesė, lygiagreti poslinkio vektoriui ir kurioje yra bent vienas figūros A taškas sekantas. Bus vadinama sekantinės linijos ir figūros A sankirta skyrius. Sekantas, kurio atžvilgiu figūra A (atėmus pjūvį) yra visiškai vienoje pusplokštumoje, bus vadinamas siena.1 lema. Ribos atkarpoje turi būti daugiau nei vienas taškas.
Įrodymas: akivaizdus. Na, arba išsamiau: įrodysime prieštaraudami. Jei šis taškas priklauso paveikslui B, tada jo vaizdas(t.y. taškas, į kurį jis eis lygiagretaus vertimo metu) priklauso figūrai C => vaizdas priklauso figūrai A => vaizdas priklauso pjūviui. Prieštaravimas. Jei šis taškas priklauso figūrai C, tada jo prototipas(taškas, kuris pateks į jį lygiagretaus vertimo metu) priklauso paveikslui B, o tada panašiai. Pasirodo, atkarpoje turi būti bent du taškai.
Vadovaujantis šia paprasta lema, nesunku suprasti, kad norimas lygiagretus vertimas gali įvykti tik išilgai vertikalios ašies (dabartinėje vaizdo orientacijoje). Jei ji būtų bet kuria kita kryptimi, bent vieną iš kraštinių atkarpų sudarytų vienas taškas. Tai galima suprasti mintyse sukant poslinkio vektorių ir matant, kas atsitinka su ribomis. Norint pašalinti vertikalaus lygiagretaus vertimo atvejį, mums reikia sudėtingesnio įrankio.
2 lema. Atvirkštinis taško, esančio ant figūros C ribos, vaizdas yra arba ant figūrų B ir C ribos, arba ant figūros B ir srities D ribos.
Įrodymas: nėra akivaizdus, bet mes tai ištaisysime dabar. Leiskite jums priminti, kad figūros ribinis taškas yra toks taškas, kuriame savavališkai arti jo yra ir figūrai priklausantys, ir jai nepriklausantys taškai. Atitinkamai, šalia figūros C ribinio taško (vadinkime jį O“), yra ir figūros C taškai, ir kiti taškai, priklausantys arba figūrai B, arba sričiai D. Tik figūros B taškai gali yra atvirkštiniai figūros C taškų atvaizdai. Todėl savavališkai arti atvirkštinio taško O atvaizdo" (logiška būtų jį vadinti tašku O) yra figūros B taškai. figūra B gali būti bet kurie taškai, kurie nepriklauso B (tai yra arba figūros C taškai, arba srities D taškai). Panašiai ir srities D taškais. Todėl savavališkai arti taško O yra arba figūros C taškai (o tada taškas O bus ant B ir C ribos), arba srities D taškai (ir tada atvirkštinis vaizdas ant B ir D ribos). Jei jums pavyks pereiti per visas šias raides, sutiksite, kad lema įrodyta.
1 teorema. Jei paveikslo A atkarpa yra atkarpa, tai jos ilgis yra poslinkio vektoriaus ilgio kartotinis.
Įrodymas: apsvarstykite „tolimą“ šio segmento galą (ty galą, kurio pradinis vaizdas taip pat priklauso segmentui). Akivaizdu, kad šis galas priklauso figūrai C ir yra jos ribinis taškas. Todėl jo atvirkštinis vaizdas (kuris, beje, taip pat yra segmente ir yra atskirtas nuo vaizdo poslinkio vektoriaus ilgiu) bus arba ant B ir C ribos, arba ant B ir D ribos. Jei jis yra ant B ir C ribos, tada taip pat imame jo pirminį vaizdą . Kartosime šią operaciją tol, kol kitas išankstinis vaizdas nustos būti ant C ribos ir atsidurs ant D ribos – ir tai įvyks tik kitame atkarpos gale. Dėl to gauname išankstinių vaizdų grandinę, kuri padalija atkarpą į keletą mažų segmentų, kurių kiekvieno ilgis lygus poslinkio vektoriaus ilgiui. Todėl atkarpos ilgis yra šlyties vektoriaus ilgio kartotinis, p.t.d.
Išvada iš 1 teoremos. Bet kurios dvi dalys, kurios yra segmentai, turi būti proporcingos.
Naudojant šią išvadą, nesunku parodyti, kad vertikalus lygiagretus perkėlimas taip pat išnyksta.
Iš tiesų, sekcija vieną kartą buvo trijų langelių ilgio, o dviejų – trijų atėmus šaknį iš dviejų per pusę. Akivaizdu, kad šios vertės yra nesuderinamos.
Išvada
Jei figūra A yra 0 ir ją galima iškirpti į dvi lygias figūras B ir C, tada B negalima perkelti į C lygiagrečiai. Tęsinys.Vaizdinės geometrijos pamokos pristatymas 5 klasėje. Sutelkta į vadovėlį švietimo įstaigoms „Vizualinė geometrija“, 5-6 klasė / I.F.Shaprygin, L.N.Erganzhieva – Leidykla: Drofa, 2015 m.
Pagrindinė sąvoka: figūrų lygybė. Dalyko rezultatai: pavaizduoti lygias figūras ir pagrįsti jų lygybę; sukonstruoti duotąsias figūras iš plokščių geometrines figūras; kurkite ir manipuliuokite vaizdu: išardykite, pasukite, sujunkite, perdenkite. Meta dalyko rezultatai: lavinamas vaizduotės mąstymas, projektavimo gebėjimai, gebėjimas numatyti rezultatą, formuojami bendravimo įgūdžiai.
Asmeniniai rezultatai: tobulėjimas pažintinė veikla; skiepija protinio darbo skonį. Vidinis subjektas ir tarpsubjektiniai ryšiai: planimetrija (figūrų lygybė, simetrija, plotas, vienodas dydis ir vienoda kompozicija), geometrinė kombinatorika, piešimas, technologija.
Ši pamoka yra pirmoji iš dviejų šia tema.
Šioje pamokoje kalbama apie formų pjovimą. Spręstojo tikslas yra perpjauti nurodytą figūrą į dvi ar daugiau lygiomis dalimis. Dažnai, siekiant paprastumo, šis skaičius yra padalintas į ląsteles. Šiose problemose netiesiogiai įvedama figūrų lygybės sąvoka (skaičiai, kurie sutampa, kai sutampa, vadinami lygiomis). Šis apibrėžimas taip pat naudojamas tikrinant gautų skaičių lygybę.
Peržiūrėkite dokumento turinį
Figūrų pjovimo ir lankstymo problemos. 1-oji pamoka"
Pjovimo užduotys
ir sulankstomos figūrėlės
Tikslas: įtvirtinti gebėjimą spręsti pjovimo problemas.
vizualinė geometrija
5 klasė
Ši patarlė įspėja neskubėti spręsti problemas.
Per ši figūra, kuris, kad būtų lengviau, padalintas į lygias ląsteles, turi būti supjaustytas į dvi ar daugiau dalių.
Jei šias dalis galima uždėti viena ant kitos, kad jos sutaptų (nors leidžiama apversti figūras), tada problema išspręsta teisingai.
Problemų sprendimas
Vietinis žemės pardavėjas
išplėšė gabalėlį neįprastos žemės
formų (jis tikėjosi jį pelningai parduoti dalimis).
Bet kiekvienas iš aštuonių rado
esu pirkėjas, norėjau turėti
Sklypas ne prastesnis nei pas kaimyną.
Kur prekybininkas turėtų įdiegti
skiriamosios tvoros,
gauti 8
tos pačios sritys?
Atsakymas
Problemų sprendimas
Kvadratas susideda iš 16 vienodų langelių,
4 iš jų nudažyti. Iškirpkite kvadratą į
4 lygias dalis taip, kad kiekvienoje iš jų
Buvo tik viena užtemdyta ląstelė.
Ląstelė gali užimti bet kurią vietą kiekvienoje dalyje.
Atsakymas (4)
Problemų sprendimas
Supjaustykite stačiakampį į 4 lygias dalis,
(naudokite kuo daugiau būdų).
1 būdas
Pristatyme siūlomi tik 4 šios problemos sprendimo būdai. Galbūt mokiniai pasiūlys kitų būdų – apie juos taip pat reikėtų atsižvelgti pamokoje.
2 būdas
3 būdas
Padarykite iš jų figūras. Kiek jų gavo?
Gautas
figūros vadinamos
TRIMINO .
Paimkite keturis vienodus kvadratus. Padarykite iš jų figūras.
- Kiek jų gavo?
Gavo penkis
TETRAMINO figūrėlės.
Sudaryti iš penkių kvadratų
visos galimos figūros.
Kiek jų gavo?
Viso egzistuoja 12 pentomino elementų
Suskirstymas ant languoto popieriaus.
Tai iš tikrųjų yra supaprastinta Katamino žaidimo versija, kuriai reikia tik languoto popieriaus ir pieštuko. Su tokiomis problemomis dažnai susiduriama mokymo priemones ir olimpiadų užduotis jaunesniųjų klasių moksleiviai. Ląstelėmis nubrėžtą figūrą reikia padalyti į tam tikrą skaičių identiškų dalių.
Šios užduotys tinka labai plačiam amžiaus tarpsniui, pradedant nuo trejų ar ketverių metų. Tačiau nepiktnaudžiaukite jais – ilgainiui jiems nusibosta. Labiausiai tikėtina, kad verta sustoti ties 4–5 dalių sudėtingumu po 4–5 ląsteles.
1 lygis
Ryžiai. 1: Padalinkite išilgai tinklelio linijų (pagal langelius) į 2 lygias dalis.
Ryžiai. 2: padalinkite išilgai tinklelio linijų į 3 lygias dalis.
Jūsų vaikams gali prireikti daugiau paprastos užduotys. Jas labai lengva sukomponuoti: tereikia eiti „nuo atsakymo“, t.y. paimkite languotą popierių, iš kelių langelių pasirinkite figūrėlės ("dalies") formą ir vieną šalia kitos nupieškite kelias tokias figūras, "akindami" jas kartu. (Būtų malonu nepainioti figūrų su jų veidrodiniais vaizdais.) Nesvarbu, jei paaiškės, kad problema turi du ar daugiau sprendimų – vadinasi, reikia rasti bent vieną (arba visus). Ant tuščio languoto popieriaus lapo perbraižykite gauto „monstro“ kontūrą – užduotis paruošta.
2 lygis
Ryžiai. 3: Padalinkite ląsteles į 2 lygias dalis, kad kiekviena iš jų turėtų po vieną
Raudonas kvadratas. (Papildoma sąlyga – raudonas kvadratas – draudžia „papildomą“
sprendimai.)
Ryžiai. 4: padalinkite išilgai tinklelio linijų į 3 lygias dalis.
Ryžiai. 5: padalinkite išilgai tinklelio linijų į 4 lygias dalis.
3 lygis
Ryžiai. 6: Padalinkite į 4 lygias dalis.
„Figūrų geometrijos kvadratai“ – c). koks bus figūros, sudarytos iš figūrų A ir D, plotas. Pitagoro teorema. Įvairių figūrų plotai. Vienodo ploto figūros. Turi vienodus skaičius lygių plotų. Figūros suskirstytos į kvadratus, kurių kraštinė yra 1 cm. Stačiakampiai trikampiai. Vienodų plotų figūros vadinamos lygiais plotais. Išspręskite galvosūkį.
„Tolstojus du broliai“ – aš pasiruošęs eiti. Pagrindinė mintis pasakos. O dabar eini vietoje, Kairėn – dešinėn, palaukite vieną – du. " Du broliai". Aš noriu mokytis. Susėsime prie savo darbo stalo, kartu vėl imkimės reikalo. Mano dėmesys auga. Susipažinkime su L.N. Tolstojus ir kūrinys „Du broliai“. Dingsime veltui – dingsime veltui Liksime be nieko – liksime be nieko.
"Du kapitonai Kaverinai" - Sanya gyvena Enske su savo tėvais ir seserimi Sasha. Ne kartą buvo filmuojami romanai „Atvira knyga“ ir „Du kapitonai“. Foka“, vadovaujama Georgijaus Sedovo, šuonoje „Šv. V.A. Kaverinas. Ekspedicija negrįžo. Pirmoji istorija „Leipcigo miesto kronika. Nikolajus Antonovičius, Katios pusbrolis, pasirodo, yra nedėkingas.
„Žmogaus figūra“ – žodis proporcija lotyniškai reiškia „santykį“, „proporcingumą“. Pagrindinis kūnas (pilvas, krūtinė) Nekreipia dėmesio Galva, veidas, rankos. Renesansas. Proporcijos. XX amžiaus menininkai ir architektai. 5. Įvairių judesių pavyzdžiai. Senovės Egiptas. Skeletas figūros struktūroje atlieka rėmo vaidmenį.
„Figūrų panašumas“ – Gyvūnai. Naudota internetinė medžiaga. panašumas mūsų gyvenime. Geometrija. Jei pakeičiate (padidinate arba sumažinate) visus plokščios figūros matmenis tiek pat kartų (panašumo santykis), tada senos ir naujos figūros vadinamos panašiomis. Panašūs trikampiai. Augalai. Panašumas mus supa. Kaip plokščios figūros.
„Dviejų bangų trukdžiai“ – trukdžiai. Įvairių šaltinių bangos nėra nuoseklios. Skustuvą ant vandens laiko alyvos plėvelės paviršiaus įtempimas. Trikdžiai -. Bangos kelio skirtumas priklauso nuo plėvelės storio. Trukdymas mechaninės bangos garsas. Pavadinkite optinį reiškinį. Priežastis? Įvairių spalvų šviesa atitinka skirtingus bangos ilgių intervalus.
Matematikos dėstytojų ir įvairių pasirenkamųjų dalykų bei būrelių mokytojų dėmesiui siūlomas pramoginių ir lavinančių geometrinio karpymo užduočių pasirinkimas. Tokių užduočių atlikimo pamokose tikslas yra ne tik sudominti mokinį įdomiais ir efektyviais ląstelių ir formų deriniais, bet ir suformuoti jame linijų, kampų ir formų pojūtį. Užduočių rinkinys daugiausia skirtas 4-6 klasių vaikams, nors jį galima panaudoti net su gimnazistais. Pratimai reikalauja, kad mokiniai turėtų didelę ir pastovią dėmesio koncentraciją ir puikiai tinka lavinti bei lavinti regimąją atmintį. Rekomenduojama matematikos mokytojams, ruošiantiems mokinius stojamieji egzaminaiį matematikos mokyklas ir klases, kurios turi specialius reikalavimus savarankiško mąstymo lygiui ir kūrybiškumas vaikas. Užduočių lygis atitinka įvadinių olimpiadų licėjuje „antrojoje mokykloje“ (antrojoje matematikos mokykloje), Maskvos valstybinio universiteto mažajame Mekhmate, Kurchatovo mokykloje ir kt.
Matematikos mokytojo pastaba:
Kai kuriuose problemų sprendimuose, kuriuos galite peržiūrėti spustelėję atitinkamą žymeklį, nurodomas tik vienas iš galimų pjovimo pavyzdžių. Aš visiškai pripažįstu, kad galite gauti kitą teisingą derinį - nebijokite to. Atidžiai patikrinkite pelės tirpalą ir, jei jis tenkina sąlygą, drąsiai imkitės kitos užduoties.
1) Pabandykite iškirpti paveikslėlyje parodytą figūrą į 3 lygias dalis:
: Mažos figūrėlės labai panašios į raidę T
2) Dabar supjaustykite šią figūrą į 4 lygias dalis:
Matematikos mokytojo užuomina: Nesunku atspėti, kad mažos figūrėlės susideda iš 3 langelių, o iš trijų langelių nėra tiek daug. Jų yra tik dviejų tipų: kampinis ir 1 × 3 stačiakampis.
3) Supjaustykite šią figūrą į 5 lygias dalis:
Raskite langelių, iš kurių susideda kiekviena tokia figūra, skaičių. Šios figūrėlės atrodo kaip raidė G.
4) Ir dabar jums reikia iškirpti dešimties langelių skaičių į 4 nelygios stačiakampis (arba kvadratas) vienas kitam.
Matematikos kuratoriaus nurodymas: pasirinkite stačiakampį ir likusiuose langeliuose pabandykite įvesti dar tris. Jei tai neveikia, pakeiskite pirmąjį stačiakampį ir bandykite dar kartą.
5) Užduotis tampa sudėtingesnė: reikia iškirpti figūrą į 4 skirtingos formos figūros (nebūtinai į stačiakampius).
Matematikos mokytojo užuomina: pirmiausia atskirai nupieškite visų rūšių figūras skirtingos formos(bus daugiau nei keturi) ir pakartokite variantų surašymo metodą, kaip ir ankstesnėje užduotyje.
:
6) Iškirpkite šią figūrą į 5 figūrėles iš keturių skirtingų formų langelių, kad kiekvienoje iš jų būtų užpildyta tik viena žalia langelis.
Matematikos mokytojo patarimas: Pabandykite pradėti kirpti nuo viršutinio šios formos krašto ir iškart suprasite, kaip elgtis toliau.
:
7) Remiantis ankstesne problema. Raskite, kiek yra įvairių formų figūrų, susidedančių iš lygiai keturių langelių? Figūros gali būti sukamos, pasukamos, tačiau neįmanoma pakelti sostolės (nuo jos paviršiaus), ant kurios guli. Tai reiškia, kad dvi pateiktos figūros nebus laikomos lygiomis, nes jų negalima gauti viena nuo kitos sukant.
Matematikos mokytojo patarimas: Išstudijuokite ankstesnės problemos sprendimą ir pabandykite įsivaizduoti skirtingas šių figūrų padėtis sukant. Nesunku atspėti, kad atsakymas mūsų uždavinyje bus skaičius 5 ar daugiau. (Tiesą sakant, net daugiau nei šeši). Iš viso yra 7 aprašytų figūrų tipai.
8) Iškirpkite kvadratą iš 16 langelių į 4 lygias dalis, kad kiekvienoje iš keturių dalių būtų lygiai po vieną žalią langelį.
Matematikos mokytojo užuomina: Mažų figūrėlių išvaizda nėra kvadratas ar stačiakampis ir net ne keturių langelių kampas. Taigi, kokias formas turėtume pabandyti iškirpti?
9) Pavaizduotą figūrą supjaustykite į dvi dalis, kad iš gautų dalių būtų galima sulankstyti kvadratą.
Matematikos mokytojo užuomina: Iš viso paveiksle yra 16 langelių, tai reiškia, kad kvadratas bus 4 × 4 dydžio. Ir kažkaip reikia užpildyti langą viduryje. Kaip tai padaryti? Gal kokia pamaina? Tada, kadangi stačiakampio ilgis yra lygus nelyginiam langelių skaičiui, pjaustymas turėtų būti atliekamas ne vertikaliai, o išilgai laužtos linijos. Taip, kad viršutinė dalis būtų nupjauta vienoje pusėje nuo vidurinių langelių, o apatinė - iš kitos.
10) Iškirpkite 4×9 stačiakampį į dvi dalis, kad iš jų galėtumėte pridėti kvadratą.
Matematikos mokytojo užuomina: stačiakampyje yra 36 langeliai. Todėl kvadratas bus 6 × 6 dydžio. Kadangi ilgoji pusė susideda iš devynių langelių, tris iš jų reikia nupjauti. Kaip vyks šis pjūvis?
11) Paveikslėlyje parodytą penkių langelių kryžių reikia iškirpti (galite iškirpti pačias ląsteles) į tokias dalis, iš kurių būtų galima sulankstyti kvadratą.
Matematikos mokytojo užuomina: Aišku, kad ir kaip pjausime išilgai langelių linijų, kvadrato negausime, nes langelių yra tik 5. Tai vienintelė užduotis, kurioje leidžiama pjauti ne ląstelėse. Tačiau vis tiek būtų gerai juos palikti kaip gaires. Pavyzdžiui, verta paminėti, kad turime kažkaip pašalinti turimas įdubas – būtent į vidiniai kampai mūsų kryžius. Kaip tai padarytum? Pavyzdžiui, nupjauti kai kuriuos išsikišusius trikampius nuo išorinių kryžiaus kampų...