Пара прямих, що перетинаються. Лінії другого порядку
Це загальноприйнятий стандартний виглядрівняння, як у лічені секунди стає зрозуміло, який геометричний об'єкт воно визначає. Крім того, канонічний вигляд дуже зручний для вирішення багатьох практичних завдань. Так, наприклад, за канонічним рівнянням «плоский» прямий, по-перше, відразу зрозуміло, що це пряма, а по-друге – елементарно проглядається точка, що належить їй, і напрямний вектор .
Очевидно, що будь-яка лінія 1-го порядкує прямою. На другому поверсі нас чекає вже не вахтер, а набагато різноманітніша компанія з дев'яти статуй:
Класифікація ліній другого порядку
За допомогою спеціального комплексу дій будь-яке рівняння лінії другого порядку наводиться до одного з таких видів:
(і – позитивні дійсні числа)
1) - канонічне рівняння еліпса;
2) - канонічне рівняння гіперболи;
3) - канонічне рівняння параболи;
4) – уявнийеліпс;
5) - пара прямих, що перетинаються;
6) – пара уявнихпрямих, що перетинаються (з єдиною дійсною точкою перетину на початку координат);
7) – пара паралельних прямих;
8) – пара уявнихпаралельних прямих;
9) - пара прямих, що збіглися.
У ряду читачів може скластися враження неповноти списку. Наприклад, у пункті №7 рівняння задає пару прямих, паралельних осі , і виникає питання: а де ж рівняння , що визначає прямі , паралельні осі ординат? Відповідь: воно не вважається канонічним. Прямі являють собою той самий стандартний випадок, повернутий на 90 градусів, і додатковий запис у класифікації надмірна, оскільки не несе нічого принципово нового.
Таким чином, існує дев'ять і лише дев'ять різних видівліній 2-го порядку, але на практиці найчастіше зустрічаються еліпс, гіпербола та парабола.
Спочатку розглянемо еліпс. Як завжди, я акцентую увагу на тих моментах, які мають велике значеннядля вирішення завдань, і якщо вам необхідний докладний висновок формул, докази теорем, будь ласка, зверніться, наприклад, до підручника Базилєва/Атанасяна або Александрова.
Еліпс та його канонічне рівняння
Правопис… будь ласка, не повторюйте помилок деяких користувачів Яндекса, яких цікавить «як побудувати елібз», «відмінність еліпса від овалу» та «ексцентриситет елебсу».
Канонічне рівняння еліпса має вигляд , де - Позитивні дійсні числа, причому . Саме визначення еліпса я сформулюю пізніше, а поки саме час відпочити від говорілки і вирішити поширене завдання:
Як побудувати еліпс?
Так, ось взяти його і просто накреслити. Завдання зустрічається часто, і значна частина студентів не зовсім добре справляються з кресленням:
Приклад 1
Побудувати еліпс, заданий рівнянням
Рішення: спочатку наведемо рівняння до канонічного вигляду:
Навіщо наводити? Одна з переваг канонічного рівняння полягає в тому, що воно дозволяє миттєво визначити вершини еліпса, що у точках . Легко помітити, що координати кожної з цих точок задовольняють рівняння .
В даному випадку :
Відрізокназивають великою віссюеліпса;
відрізок – малою віссю;
число називають великою піввіссюеліпса;
число – малою піввіссю.
у прикладі: .
Щоб швидко уявити, як виглядає той чи інший еліпс, достатньо подивитися на значення «а» і «бе» його канонічного рівняння.
Все добре, складно та красиво, але є один нюанс: я виконав креслення за допомогою програми. І ви можете виконати креслення за допомогою будь-якої програми. Однак у суворій дійсності на столі лежить картатий аркуш паперу, і на наших руках водять хороводи миші. Люди з художнім талантом, звичайно, можуть посперечатися, але миші є і у вас теж (щоправда, менше). Такі недаремно людство винайшло лінійку, циркуль, транспортир та інші нехитрі пристрої для креслення.
Тому нам навряд чи вдасться акуратно накреслити еліпс, знаючи одні вершини. Ще куди не йшло, якщо еліпс невеликий, наприклад, з півосями. Як варіант, можна зменшити масштаб і, відповідно, розміри креслення. Але загалом вкрай бажано знайти додаткові точки.
Існує два підходи до побудови еліпса – геометричний та алгебраїчний. Побудова за допомогою циркуля і лінійки мені не подобається через не короткий алгоритм і суттєву захаращеність креслення. У разі крайньої необхідності, будь ласка, зверніться до підручника, а насправді ж набагато раціональніше скористатися засобами алгебри. З рівняння еліпса на чернетці швиденько висловлюємо:
Далі рівняння розпадається на дві функції:
- Визначає верхню дугу еліпса;
- Визначає нижню дугу еліпса.
Будь-який еліпс симетричний щодо координатних осей, а також щодо початку координат. І це добре - симетрія в більшості випадків провісник халяви. Очевидно, що достатньо розібратися з 1-ою координатною чвертю, тому нам потрібна функція . Напрошується знаходження додаткових крапок з абсцисами . Настукаємо три смс-ки на калькуляторі:
Безумовно, приємно й те, що якщо допущено серйозну помилку в обчисленнях, то це відразу з'ясується в ході побудови.
Зазначимо на кресленні точки (червоний колір), симетричні точки на решті дуг ( синій колір) і акуратно з'єднаємо лінією всю компанію:
Початковий малюнок краще прокреслити тонко-тонко, і лише потім надати натиск олівця. В результаті має вийти цілком гідний еліпс. До речі, чи не хочете дізнатися, що це за крива?
8.3.15. Точка А лежить на прямій. Відстань від точки А до площини
8.3.16. Складіть рівняння прямої, симетричної прямої
щодо площини .
8.3.17. Складіть рівняння проекцій на площину наступних прямих:
а) ;
б)
в) .
8.3.18. Знайдіть кут між площиною та прямою:
а) ;
б) .
8.3.19. Знайдіть точку, симетричну точку щодо площини, що проходить через прямі:
і
8.3.20. Точка А лежить на прямій
Відстань від точки А до прямої одно. Знайдіть координати точки А.
§ 8.4. КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
Встановимо на площині прямокутну систему координат та розглянемо загальне рівняння другого ступеня
в якому .
Безліч усіх точок площини, координати яких задовольняють рівняння (8.4.1), називається кривий (лінією) другого порядку.
Для будь-якої кривої другого порядку існує прямокутна система координат, звана канонічної, в якій рівняння цієї кривої має один із таких видів:
1) (Еліпс);
2) (Уявний еліпс);
3) (пара уявних прямих, що перетинаються);
4) (Гіперболу);
5) (пара прямих, що перетинаються);
6) (парабола);
7) (пара паралельних прямих);
8) (пара уявних паралельних прямих);
9) (Пара збігаються прямих).
Рівняння 1) – 9) називаються канонічними рівняннями кривих другого порядку
Розв'язання задачі приведення рівняння кривої другого порядку до канонічного виду включає знаходження канонічного рівняння кривої та канонічної системи координат. Приведення до канонічного вигляду дозволяє обчислити параметри кривої та визначити її розташування щодо вихідної системи координат. Перехід від вихідної прямокутної системи координат до канонічної здійснюється шляхом повороту осей вихідної системи координат навколо точки Про деякий кут j і подальшого паралельного перенесення системи координат.
Інваріантами кривої другого порядку(8.4.1) називаються такі функції від коефіцієнтів її рівняння, значення яких не змінюються під час переходу від однієї прямокутної системи координат до іншої такої самої системи.
Для кривої другого порядку (8.4.1) сума коефіцієнтів за квадратів координат
,
визначник, складений із коефіцієнтів при старших членах
та визначник третього порядку
є інваріантами.
Значення інваріантів s, d, D можна використовувати визначення типу і складання канонічного рівняння кривої другого порядку.
Таблиця 8.1.
Класифікація кривих другого порядку, що ґрунтується на інваріантах
Крива еліптичного типу |
sD<0. Эллипс |
|
sD>0. Уявний еліпс |
||
Пара уявних прямих, що перетинаються в дійсній точці |
||
Крива гіперболічного типу |
Гіперболу |
|
Пара прямих, що перетинаються |
||
Крива параболічного типу |
Парабола |
|
Пара паралельних прямих (різних, уявних чи збігаються) |
Розглянемо докладніше еліпс, гіперболу та параболу.
Еліпсом(рис. 8.1) називається геометричне місце точок площини, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок цієї площини, званих фокусами еліпса, є постійна величина (більша, ніж відстань між фокусами). При цьому не виключається збіг фокусів еліпса. Якщо фокуси збігаються, то еліпс є коло.
Напівсуму відстаней від точки еліпса до його фокусів позначають через а, половину відстаней між фокусами - с. Якщо прямокутна система координат на площині обрана так, що фокуси еліпса розташовуються на осі Оx симетрично щодо початку координат, то в цій системі координат еліпс задається рівнянням
, (8.4.2)
званим канонічним рівнянням еліпса, де .
Рис. 8.1
При вказаному виборі прямокутної системи координат еліпс симетричний щодо осей координат та початку координат. Осі симетрії еліпса називають його осями, а центр його симетрії – центром еліпса. Водночас часто осями еліпса називають числа 2a та 2b, а числа a та b – великийі малою піввіссювідповідно.
Крапки перетину еліпса з його осями називаються вершинами еліпса. Вершини еліпса має координати (а,0), (-а,0), (0,b), (0,-b).
Ексцентриситетом еліпсаназивається число