Знайти точку симетричної точки онлайн. Найпростіші завдання з прямою на площині
Механіка
Формули кінематики:
Кінематика
Механічне рух
Механічним рухомназивається зміна положення тіла (у просторі) щодо інших тіл (з часом).
Відносність руху. Система відліку
Щоб описати механічний рух тіла (точки), потрібно знати його координати будь-якої миті часу. Для визначення координат слід вибрати тіло відлікуі зв'язати з ним систему координат. Часто тілом відліку служить Земля, з якою пов'язується прямокутна декартова система координат. Для визначення положення точки у будь-який час необхідно також задати початок відліку часу.
Система координат, тіло відліку, з яким вона пов'язана, та прилад для вимірювання часу утворюють систему відліку, щодо якої розглядається рух тіла
Матеріальна точка
Тіло, розмірами якого в даних умовах руху можна знехтувати, називають матеріальною точкою.
Тіло можна розглядати як матеріальну точку, якщо його розміри малі в порівнянні з відстанню, яка вона проходить, або в порівнянні з відстанями від нього до інших тіл.
Траєкторія, шлях, переміщення
Траєкторією рухуназивається лінія, вздовж якої рухається тіло. Довжина траєкторії називається пройденим шляхом. Шлях- скалярна фізична величина, може бути лише позитивним.
Переміщеннямназивається вектор, що з'єднує початкову та кінцеву точки траєкторії.
Рух тіла, при якому всі його точки в даний момент часу рухаються однаково, називається поступальним рухом. Для опису поступального руху тіла достатньо вибрати одну точку та описати її рух.
Рух, при якому траєкторії всіх точок тіла є колами з центрами на одній прямій і всі площини кіл перпендикулярні цій прямій, називається обертальним рухом.
Метр та секунда
Щоб визначити координати тіла, необхідно вміти вимірювати відстань на прямій між двома точками. Будь-який процес виміру фізичної величини полягає в порівнянні вимірюваної величини з одиницею виміру цієї величини.
Одиницею вимірювання довжини у Міжнародній системі одиниць (СІ) є метр. Метр дорівнює приблизно 1/40 000 000 частин земного меридіана. за сучасному уявленнюметр – це відстань, яка світло проходить у порожнечі за 1/299792458 частку секунди.
Для вимірювання часу вибирається який-небудь процес, що періодично повторюється. Одиницею виміру часу в СІ прийнято секунда. Секунда дорівнює 9192631770 періодів випромінювання атома цезію при переході між двома рівнями надтонкої структури основного стану.
У СІ довжина та час прийняті за незалежні від інших величини. Подібні величини називаються основними.
Миттєва швидкість
Для кількісної характеристики процесу руху тіла запроваджується поняття швидкості руху.
Миттєвою швидкістюпоступального руху тіла в момент часу t називається відношення дуже малого переміщення Ds до малого проміжку часу Dt, за який відбулося це переміщення:
Миттєва швидкість – векторна величина. Миттєва швидкість переміщення завжди спрямована щодо до траєкторії у бік руху тіла.
Одиницею швидкості є 1 м/с. Метр на секунду дорівнює швидкостіпрямолінійно і рівномірно рухається точки, при якій точка за час 1 з переміщається на відстань 1 м.
Прискорення
Прискоренняназивається векторна фізична величина, рівна відношенню дуже малого зміни вектора швидкості до малого проміжку часу, протягом якого відбулася ця зміна, тобто. це міра швидкості зміни швидкості:
Метр на секунду за секунду – це таке прискорення, у якому швидкість тіла, що рухається прямолінійно і прискорено, за час 1 з змінюється на 1 м/с.
Напрямок вектора прискорення збігається з напрямом вектора зміни швидкості () при дуже малих значеннях проміжку часу, протягом якого відбувається зміна швидкості.
Якщо тіло рухається прямою і його швидкість зростає, то напрям вектора прискорення збігається з напрямом вектора швидкості; при зменшенні швидкості - протилежно напрямку вектора швидкості.
При русі криволінійної траєкторії напрям вектора швидкості змінюється у процесі руху, вектор прискорення у своїй може бути спрямований під будь-яким кутом до вектора швидкості.
Рівномірний, рівноприскорений прямолінійний рух
Рух із постійною швидкістю називається рівномірним прямолінійним рухом. При рівномірному прямолінійному русітіло рухається прямою і за будь-які рівні проміжки часу проходить однакові шляхи.
Рух, при якому тіло за рівні проміжки часу здійснює неоднакові переміщення, називають нерівномірним рухом. За такого руху швидкість тіла змінюється з часом.
Рівнопереміннимназивається такий рух, у якому швидкість тіла за будь-які рівні проміжки часу змінюється однакову величину, тобто. рух із постійним прискоренням.
Рівноприскоренимназивається рівнозмінний рух, при якому величина швидкості зростає. Рівноуповільненим– рівнозмінний рух, у якому величина швидкості зменшується.
Найважливішою характеристикою при русі тіла є його швидкість. Знаючи її, а також деякі інші параметри, ми завжди можемо визначити час руху, пройдену відстань, початкову, кінцеву швидкість та прискорення. Рівноприскорений рух є лише одним з типів руху. Зазвичай воно зустрічається у завданнях із фізики з розділу кінематики. У таких завданнях тіло приймають за матеріальну точку, що спрощує всі розрахунки.
Швидкість. Прискорення
Насамперед, хотілося б звернути увагу читача на те, що ці дві фізичних величині є не скалярними, а векторними. А це означає, що при вирішенні певного роду завдань необхідно звертати увагу на те, яке прискорення має тіло у плані знака, а також який вектор самої швидкості тіла. Загалом у завданнях виключно математичного плану подібні моменти опускають, але у завданнях з фізики це досить важливо, оскільки в кінематиці через один невірно поставлений знак відповідь може вийти помилковою.
Приклади
Як приклад можна навести рівноприскорений та рівнозамедлений рух. Рівноприскорений рух характеризується, як відомо, розгоном тіла. Прискорення залишається незмінним, але швидкість постійно збільшується в кожен окремий момент часу. А при рівносповільненому русі прискорення має негативне значення, швидкість тіла безперервно знижується. Ці два види прискорення закладені в основу багатьох фізичних завдань і часто зустрічаються в задачах першої частини тестів з фізики.
Приклад рівноприскореного руху
Рівноприскорений рух ми зустрічаємо щодня повсюдно. Жоден автомобіль не рухається у реальному житті поступово. Навіть якщо стрілка спідометра показує рівно 6 кілометрів на годину, слід розуміти, що насправді це не зовсім так. По-перше, якщо розбирати це питання з технічної точки зору, то першим параметром, який даватиме неточність, стане прилад. Точніше, його похибка.
Їх ми зустрічаємо у всіх контрольно-вимірювальних приладах. Ті самі лінійки. Візьміть штук десять хоч однакових (по 15 сантиметрів, наприклад) лінійок, хоч різних (15, 30, 45, 50 сантиметрів). Додайте їх один до одного, і ви помітите, що є невеликі неточності, а їх шкали не зовсім збігаються. Це і є похибка. В даному випадку вона дорівнюватиме половині ціни поділу, як і в інших приладів, що видають певні значення.
Другим фактором, який даватиме неточність, є масштаб приладу. Спідометр не враховує таких величин, як половина кілометра, одна друга кілометра і так далі. Помітити на приладі це досить важко. Практично неможливо. Але ж зміна швидкості є. Нехай на таку маленьку величину, але все-таки. Таким чином, це буде рівноприскорений рух, а не рівномірний. Те саме можна сказати і про звичайний крок. Ідемо, припустимо, ми пішки, і хтось каже: наша швидкість – 5 кілометрів на годину. Але це не зовсім так, а чому було розказано трохи вище.
Прискорення тіла
Прискорення може бути позитивним та негативним. Про це йшлося раніше. Додамо, що прискорення - це векторна величина, яка дорівнює зміні швидкості за певний проміжок часу. Тобто через формулу його можна позначити так: a = dV/dt, де dV - зміна швидкості, dt - проміжок часу (зміна часу).
Нюанси
Відразу може виникнути питання про те, як прискорення за такого розкладу може бути негативним. Ті люди, які ставлять подібне питання, мотивують це тим, що навіть швидкість не може бути негативною, не те що час. Насправді, час негативним бути дійсно не може. Але дуже часто забувають про те, що швидкість набувати негативних значень цілком може. Це ж векторна величина, не слід забувати про це! Вся справа, мабуть, у стереотипах та некоректному мисленні.
Так ось, для вирішення завдань достатньо усвідомити одну річ: прискорення буде позитивним, якщо тіло розганяється. І воно буде негативним у тому випадку, якщо тіло гальмує. Ось і все досить просто. Найпростіше логічне мисленняабо здатність бачити між рядками вже буде, по суті, частиною вирішення фізичного завдання, пов'язаного зі швидкістю та прискоренням. Окремий випадок- це прискорення вільного падіння, і може бути негативним.
Формули. Розв'язання задач
Слід розуміти, що завдання, пов'язані зі швидкістю та прискоренням, бувають як практичного, а й теоретичного характеру. Тому ми розбиратимемо їх і по можливості постараємося пояснити, чому та чи інша відповідь правильна або, навпаки, неправильна.
Теоретичне завдання
Дуже часто на іспитах з фізики у 9 та 11 класах можна зустріти подібні питання: "Як поводитиметься тіло, якщо сума всіх сил, що діють на нього, дорівнює нулю?" Насправді формулювання питання може бути різним, але відповідь однаково одна. Тут насамперед у хід потрібно пускати поверхневі будівлі та звичайне логічне мислення.
На вибір учня надається 4 відповіді. Перший: "швидкість дорівнюватиме нулю". Другий: "швидкість тіла зменшується протягом деякого періоду часу". Третій: "швидкість тіла постійна, але вона точно не дорівнює нулю". Четвертий: "швидкість може мати будь-яке значення, але в кожний момент часу вона буде постійною".
Правильною відповіддю тут буде, звичайно ж, четверта. Нині розберемося, чому саме так. Спробуймо розглянути всі варіанти по черзі. Як відомо, сума всіх сил, які діють тіло, є добуток маси на прискорення. Але маса в нас залишається постійною величиною, її ми відкинемо. Тобто якщо сума всіх сил дорівнює нулю, прискорення теж дорівнюватиме нулю.
Отже, припустимо, що швидкість дорівнюватиме нулю. Але цього не може бути, оскільки нулю ми маємо прискорення. Суто фізично це припустимо, але тільки не в даному випадку, оскільки зараз мова йдепро інше. Нехай швидкість тіла зменшується протягом деякого періоду часу. Але як вона може зменшуватися, якщо прискорення постійно, і воно дорівнює нулю? Жодних причин і передумов для зменшення або зростання швидкості немає. Тому другий варіант ми відкидаємо.
Припустимо, що швидкість тіла постійна, але вона точно не дорівнює нулю. Вона дійсно буде постійною через те, що прискорення просто відсутня. Але не можна однозначно сказати, що швидкість буде відмінна від нульової. А ось четвертий варіант – прямо в яблучко. Швидкість може бути будь-якою, але оскільки прискорення відсутня, вона буде постійною в часі.
Практичне завдання
Визначте, який шлях був пройдений тілом у певний періодчасу t1-t2 (t1 = 0 секунд, t2 = 2 секунди), якщо є такі дані. Початкова швидкість тіла на відрізку від 0 до 1 секунди дорівнює 0 метрів за секунду, кінцева - 2 метри за секунду. Швидкість тіла станом на час 2 секунди дорівнює також 2 метрів на секунду.
Вирішити подібну задачу досить просто, потрібно лише вловити її суть. Отже, потрібно знайти шлях. Ну що ж, почнемо шукати його, попередньо виділивши дві ділянки. Як легко помітити, перша ділянка шляху (від 0 до 1 секунди) тіло проходить рівноприскорено, про що свідчить збільшення його швидкості. Тоді знайдемо це прискорення. Його можна висловити як різницю швидкостей, розділену на час руху. Прискорення дорівнюватиме (2-0)/1 = 2 метри на секунду в квадраті.
Відповідно, відстань, пройдена першому ділянці шляху S дорівнюватиме: S = V0t + at^2/2 = 0*1 + 2*1^2/2 = 0 + 1 = 1 метр. На другій ділянці шляху в період від 1 секунди до 2 секунд тіло рухається рівномірно. Отже, відстань дорівнюватиме V*t = 2*1 = 2 метри. Тепер підсумовуємо відстані, отримуємо 3 метри. Це є відповідь.
Виводяться формули прямолінійного руху матеріальної точки для трьох способів завдання руху - за певної залежності координати від часу; при певній залежності прискорення від часу та прискорення від координати. Розглянуто прямолінійний рівномірний та прямолінійний рівноприскорений рух.
ЗмістОсновні формули прямолінійного руху
Нехай матеріальна точка рухається по осі. Далі і позначають координату та швидкість точки у початковий момент часу.
Якщо встановлено закон зміни її координати від часу:
,
то диференціюючи координату за часом, отримуємо швидкість та прискорення точки:
;
.
Нехай нам відома залежність прискорення від часу:
.
Тоді залежності швидкості та координати від часу визначаються за формулами:
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
.
Нехай нам відома залежність прискорення від координати:
.
Тоді залежність швидкості від координати має вигляд:
(5)
.
Залежність координати від часу визначається у неявному вигляді:
(6)
.
Для прямолінійного рівномірного руху:
;
;
.
Для прямолінійного рівноприскореного руху:
;
;
;
.
Наведені тут формули можна застосувати як для прямолінійного руху, а й для деяких випадків криволінійного руху . Наприклад, для тривимірного руху в прямокутній системі координат , якщо рух уздовж осі не залежить від проекцій величин на інші координатні осі. Тоді формули (1) - (6) дають залежність для проекцій величин на вісь .
Також ці формули застосовні під час руху заданою траєкторією при природному способі завдання руху. Тільки тут як координата виступає довжина дуги траєкторії, що відраховується від обраного початку відліку . Тоді замість проекцій слід підставити і - проекції швидкості та прискорення на обраний напрямок дотичної до траєкторії.
Прямолінійний рух за певної залежності координати від часу
Розглянемо випадок, коли матеріальна точка рухається прямою лінією. Виберемо систему координат з початком у довільній точці. Вісь направимо вздовж лінії руху точки. Тоді положення точки однозначно визначається значенням однієї координати.
Якщо заданий закон зміни координати від часу:
,
то диференціюючи за часом, знайдемо закон зміни швидкості:
.
При точці рухається в позитивному напрямку осі (на малюнку зліва направо). При точці рухається в негативному напрямку осі (на малюнку справа наліво).
Диференціюючи швидкість за часом, знаходимо закон зміни прискорення:
.
Оскільки пряма немає кривизни, то радіус кривизни траєкторії вважатимуться нескінченно великим, . Тоді нормальне прискорення дорівнює нулю:
.
Тобто прискорення точки тангенціальне (дотичне):
.
Що цілком природно, оскільки і швидкість і прискорення точки спрямовані по дотичній до траєкторії - пряма, вздовж якої відбувається рух.
Якщо й одного знака (тобто обидва позитивні або обидва негативні), то модуль швидкості збільшується (швидкість зростає абсолютною величиною). Якщо й різних знаків, то модуль швидкості зменшується (швидкість меншає за абсолютною величиною).
Прямолінійний рух при відомому прискоренні
Прискорення, що залежить від часу
Нехай нам відомий закон зміни прискорення від часу:
.
Нашим завданням є знайти закон зміни швидкості та закон зміни координати від часу:
;
.
Застосуємо формулу:
.
Це диференціальне рівняння першого порядку з змінними, що розділяються.
;
.
Тут – постійна інтегрування. Звідси видно, що тільки за відомою залежністю від прискорення від часу, не можна однозначно визначити залежність швидкості від часу. Ми отримали безліч законів зміни швидкості, які відрізняються один від одного на довільну постійну . Щоб знайти потрібний нам закон зміни швидкості, ми маємо задати ще одне значення. Як правило, таким значенням є значення швидкості в початковий момент часу. Щоб це зробити, перейдемо від невизначеного інтегралудо певного:
.
Нехай швидкість точки в початковий момент часу . Підставимо:
;
;
.
Таким чином, закон зміни швидкості від часу має вигляд:
(1)
.
Аналогічно визначаємо закон зміни координати від часу.
.
(2)
.
Тут - значення координати у початковий момент часу.
Підставимо (1) до (2).
.
Область інтегрування у подвійному інтегралі.
Якщо змінити порядок інтегрування у подвійному інтегралі, то отримаємо:
.
Таким чином, ми отримали такі формули:
(3)
;
(4)
.
Прискорення, що залежить від координати
Нехай нам тепер відомий закон зміни прискорення від координати:
.
Нам потрібно вирішити диференціальне рівняння:
.
Це диференціальне рівняння не містить незалежної змінної в явному вигляді. Загальний методрішення таких рівнянь розглянуто сторінці “Диференціальні рівняння вищих порядків, які містять незалежну змінну у вигляді ”. Відповідно до цього методу ми вважаємо, що є функцією від:
;
.
Розділяємо змінні та інтегруємо:
;
;
;
.
Витягуючи корінь потрібно врахувати, що швидкість може бути як позитивною, і негативною. На невеликій відстані від точки, знак визначається знаком постійної. Однак, якщо прискорення спрямоване протилежно швидкості, швидкість точки зменшиться до нуля і напрям руху зміниться на протилежне. Тому правильний знак плюс або мінус вибирається при розгляді конкретного руху.
(5)
.
На початку руху
.
Тепер визначаємо залежність координат від часу. Диференціальне рівняння для координати має вигляд:
.
Це диференціальне рівняння з змінними, що розділяються. Розділяємо змінні та інтегруємо:
(6)
.
Це рівняння визначає залежність координати від часу у неявному вигляді.
Прямолінійний рівномірний рух
Застосуємо отримані результати для випадку прямолінійного рівномірного руху. У цьому випадку прискорення
.
;
. Тобто швидкість постійна, а координата лінійно залежить від часу. Формули (5) і (6) дають той самий результат.
Прямолінійний рівноприскорений рух
Тепер розглянемо прямолінійний рівноприскорений рух.
У цьому випадку прискорення є постійною величиною:
.
За формулами (1) та (2) знаходимо:
;
.
Якщо застосуємо формулу (5), отримаємо залежність швидкості від координати:
.
Прямолінійний рух у векторному вигляді
Отримані формули можна подати у векторному вигляді. Для цього достатньо помножити рівняння, що визначають , і одиничний вектор (орт) , спрямований вздовж осі .
Тоді радіус-вектор точки, вектори швидкості та прискорення мають вигляд:
;
;
.
Рівноперемінний рух. Рівняння швидкості та переміщення при рівнозмінному русі. Графічне уявленнярівнозмінного руху.
Коротка відповідь
рівноприскоренимабо рівнозмінним рухом.
Позначення:
Початкова швидкість тіла
Прискорення тіла
Час руху тіла
S(t) - зміна переміщення (шляху) з часом
a(t) - зміна прискорення з часом
Залежність прискорення від часу.Прискорення згодом змінюється, має постійне значення, графік a(t) - пряма лінія, паралельна осі часу.
Залежність швидкості від часу. При рівномірному русі швидкість змінюється відповідно до лінійної залежності . Графіком є похила лінія.
Правило визначення шляху за графіком v(t):Шлях тіла – це площа трикутника (або трапеції) під графіком швидкості.
Правило визначення прискорення за графіком v(t):Прискорення тіла – це тангенс кута нахилу графіка до осі часу. Якщо тіло уповільнює рух, прискорення негативне, кут графіка тупий, тому знаходимо тангенс суміжного кута.
Залежність шляху від часу.При рівноприскореному русі шлях змінюється відповідно до квадратної залежності . У координатах залежність має вигляд . Графіком є гілка параболи.
Рух, при якому тіло за рівні проміжки часу здійснює неоднакові переміщення, називають нерівномірнимабо змінним рухом.
Для характеристики нерівномірного руху запроваджується поняття середньої швидкості:
Середня швидкість руху дорівнює відношенню всього шляху, пройденого матеріальною точкою до проміжку часу, протягом якого цей шлях пройдено.
У фізиці найбільший інтерес становить не середня, а миттєва швидкість , Яка визначається як межа, до якої прагне середня швидкість за нескінченно малий проміжок часу Δ t:
Миттєвою швидкістюзмінного руху називають швидкість тіла в даний момент часу або в даній точці траєкторії.
Миттєва швидкість тіла в будь-якій точці криволінійної траєкторії спрямована по дотичній траєкторії в цій точці.
Рух тіла, за якого його швидкість за будь-які рівні проміжки часу змінюється однаково, називаютьрівноприскоренимабо рівнозмінним рухом.
Швидкість при рівноприскореному русі прямою -це початкова швидкість тіла плюс прискорення даного тіла помножене на якийсь час у дорозі
Переміщення при рівноприскореному русі прямою- ця відстань пройдена тілом по прямій (відстань між початковою та кінцевою точками руху)
Позначення:
Переміщення тіла при рівноприскореному русі прямою
Початкова швидкість тіла
Швидкість тіла при рівноприскореному русі прямою
Прискорення тіла
Час руху тіла
Ще формули для знаходження переміщення при рівноприскореному прямолінійному русі, які можна використовувати при вирішенні завдань:
- якщо відомі початкова, кінцева швидкість руху та прискорення.
- якщо відомі початкова, кінцева швидкості руху та час всього руху
Графічне уявлення нерівномірного прямолінійного руху
Механічне рух представляють графічним способом. Залежність фізичних величин виражають з допомогою функцій. Позначають:
(t) - зміна швидкості з часом