Як вирішити квадратне тригонометричне рівняння. Найпростіші тригонометричні рівняння
Лінія УМК Г. К. Муравіна. Алгебра та початки математичного аналізу(10-11) (поглиб.)
Лінія УМК Г.К. Муравіна, К.С. Муравіна, О.В. Муравіною. Алгебра та початку математичного аналізу (10-11) (баз.)
Як навчити вирішувати тригонометричні рівняння та нерівності: методика викладання
Курс математики корпорації «Російський підручник», авторства Георгія Муравіна та Ольги Муравіної, передбачає поступовий перехід до розв'язання тригонометричних рівнянь та нерівностей у 10 класі, а також продовження їх вивчення у 11 класі. Пропонуємо до вашої уваги етапи переходу до теми з витримками з підручника «Алгебра та початок математичного аналізу» (поглиблений рівень).
1. Синус та косинус будь-якого кута (пропедевтика до вивчення тригонометричних рівнянь)
Приклад завдання.Знайти приблизно кути, косинуси яких дорівнюють 0,8.
Рішення.Косинус - це абсциса відповідної точки одиничного кола. Усі точки з абсцисами, рівними 0,8, належать прямій, паралельній осі ординат і проходить через точку C(0,8; 0). Ця пряма перетинає одиничне коло у двох точках: P α ° і P β ° симетричних щодо осі абсцис.
За допомогою транспортира знаходимо, що кут α° приблизно дорівнює 37 °. Значить, загальний виглядкутів повороту з кінцевою точкою P α°:
α° ≈ 37° + 360° n, де n- Будь-яке ціле число.
У силу симетрії щодо осі абсцис точка P β ° - Кінцева точка повороту на кут -37 °. Значить, для неї загальний вигляд кутів повороту:
β° ≈ –37° + 360° n, де n- Будь-яке ціле число.
Відповідь: 37 ° + 360 ° n, -37 ° + 360 ° n, де n- Будь-яке ціле число.
Приклад завдання.Знайти кути, синуси яких дорівнюють 0,5.
Рішення.Синус - це ордината відповідної точки одиничного кола. Усі точки з ординатами, рівними 0,5, належать прямій, паралельній осі абсцис і проходить через точку D(0; 0,5).
Ця пряма перетинає одиничне коло у двох точках: Pφ та Pπ–φ, симетричних щодо осі ординат. У прямокутному трикутнику OKPφ катет KPφ дорівнює половині гіпотенузи OPφ , значить,
Загальний вигляд кутів повороту з кінцевою точкою P φ :
де n- Будь-яке ціле число. Загальний вигляд кутів повороту з кінцевою точкою P π–φ :
де n- Будь-яке ціле число.
Відповідь: де n- Будь-яке ціле число.
2. Тангенс та котангенс будь-якого кута (пропедевтика до вивчення тригонометричних рівнянь)
приклад 2.
Приклад завдання.Знайти загальний вигляд кутів, тангенс яких дорівнює -1,2.
Рішення.Зазначимо на осі тангенсів точку Cз ординатою, що дорівнює -1,2, і проведемо пряму OC. Пряма OCперетинає одиничне коло в точках P α ° і Pβ° - кінцях того самого діаметра. Кути, що відповідають цим точкам, відрізняються один від одного на ціле число напівоборотів, тобто. на 180 ° n (n- ціле число). За допомогою транспортира знаходимо, що кут P α° OP 0 дорівнює -50 °. Значить, загальний вигляд кутів, тангенс яких дорівнює -1,2 наступний: -50 ° + 180 ° n (n- ціле число)
Відповідь:-50 ° + 180 ° n, n∈ Z.
За синусом і косинусом кутів 30 °, 45 ° і 60 ° легко знайти їх тангенси та котангенси. Наприклад,
Перелічені кути досить часто зустрічаються у різних завданнях, тому корисно запам'ятати значення тангенсу та котангенсу цих кутів.
3. Найпростіші тригонометричні рівняння
Вводяться позначення: arcsin α, arccos α, arctg α, arcctg α. Не рекомендується поспішати із запровадженням об'єднаної формули. Дві серії коренів значно зручніше записувати, особливо коли потрібно відбирати коріння на інтервалі.
Під час вивчення теми «найпростіші тригонометричні рівняння», рівняння найчастіше зводяться до квадратів.
4. Формули наведення
Формули приведення є тотожностями, тобто вони вірні для будь-яких допустимих значень φ . Аналізуючи отриману таблицю, можна помітити, що:
1) знак у правій частині формули збігається зі знаком наведеної функції у відповідній чверті, якщо рахувати φ гострим кутом;
2) назву змінюють тільки функції кутів та
φ + 2π n |
||||
5. Властивості та графік функції y = sin x
Найпростіші тригонометричні нерівності вирішуються або за графіком або на колі. При розв'язанні тригонометричної нерівності на колі важливо не переплутати, яку точку вказувати першою.
6. Властивості та графік функції y= cos x
Завдання побудови графіка функції y= cos xможна звести до побудови графіка функції y = sin x. Справді, оскільки графік функції y= cos xможна отримати з графіка функції y= sin xзрушенням останнього вздовж осі абсцис вліво на
7. Властивості та графіки функцій y= tg xі y= ctg x
Область визначення функції y= tg xвключає всі числа, крім чисел виду де n ∈ Z. Як і при побудові синусоїди, спочатку намагатимемося отримати графік функції y = tg xна проміжку
У лівому кінці цього проміжку тангенс дорівнює нулю, а при наближенні до правого кінця значення тангенсу необмежено збільшуються. Графічно це виглядає так, начебто графік функції y = tg xпритискається до прямої йдучи разом із нею необмежено вгору.
8. Залежності між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу
Рівності та виражають співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу? З їхньою допомогою, знаючи синус і косинус деякого кута, можна знайти його тангенс та котангенс. З цих рівностей легко отримати, що тангенс та котангенс пов'язані між собою наступною рівністю.
tg φ · ctg φ = 1
Є й інші залежності між тригонометричними функціями.
Рівняння одиничного кола з центром на початку координат x 2 + y 2= 1 пов'язує абсцису та ординату будь-якої точки цього кола.
Основне тригонометричне тотожність
cos 2 φ + sin 2 φ = 1
9. Синус і косинус суми та різниці двох кутів
Формула косинуса суми
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Формула косинуса різниці
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Формула синуса різниці
sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
Формула синуса суми
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
10. Тангенс суми та тангенс різниці двох кутів
Формула тангенсу суми
Формула тангенсу різниці
Підручник входить до УМК з математики для 10–11 класів, які вивчають предмет базовому рівні. Теоретичний матеріал поділено на обов'язковий та додатковий, система завдань диференційована за рівнем складності, кожен пункт глави завершується контрольними питаннямиі завданнями, а кожен розділ - домашнім контрольною роботою. До підручника включено теми проектів та зроблено посилання на інтернет-ресурси.
11. Тригонометричні функції подвійного кута
Формула тангенсу подвійного кута
cos2α = 1 – 2sin 2 α cos2α = 2cos 2 α – 1
Приклад завдання.Вирішити рівняння
Рішення.
13. Розв'язання тригонометричних рівнянь
Найчастіше вихідне рівняння у процесі рішення зводиться до найпростіших тригонометричних рівнянь. Однак для тригонометричних рівнянь немає єдиного методу розв'язання. У кожному даному випадку успіх залежить від знання тригонометричних формулі від уміння вибрати з них потрібні. При цьому велика кількість різних формул іноді робить цей вибір досить важким.
Рівняння, що зводяться до квадратів
Приклад завдання.Розв'язати рівняння 2 cos 2 x+ 3 sin x = 0
Рішення. За допомогою основного тригонометричного тотожностіце рівняння можна звести до квадратного щодо sin x:
2cos 2 x+ 3sin x= 0, 2(1 – sin 2 x) + 3sin x = 0,
2 – 2sin 2 x+ 3sin x= 0, 2sin 2 x- 3sin x – 2 = 0
Введемо нову змінну y= sin x, Тоді рівняння набуде вигляду: 2 y 2 – 3y – 2 = 0.
Коріння цього рівняння y 1 = 2, y 2 = –0,5.
Повертаємось до змінної xі отримуємо найпростіші тригонометричні рівняння:
1) sin x= 2 – це рівняння немає коренів, оскільки sin x < 2 при любом значении x;
2) sin x = –0,5,
Відповідь:
Однорідні тригонометричні рівняння
Приклад завдання.Розв'язати рівняння 2sin 2 x- 3sin x cos x- 5cos 2 x = 0.
Рішення.Розглянемо два випадки:
1) cos x= 0 та 2) cos x ≠ 0.
Випадок 1. Якщо cos x= 0, то рівняння набуває вигляду 2sin 2 x= 0, звідки sin x= 0. Але ця рівність не задовольняє умову cos x= 0, тому що ні при якому xкосинус і синус одночасно на нуль не звертаються.
Випадок 2. Якщо cos x≠ 0, то можна розділити рівняння на cos 2 x «Алгебра та початок математичного аналізу. 10 клас», як і багато інших видань, можна на платформі LECTA. Для цього скористайтесь пропозицією.
#ADVERTISING_INSERT#
Найпростішими тригонометричними рівняннями називають рівняння
Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a
Рівняння cos(x) = a
Пояснення та обґрунтування
- Коріння рівняння cosx = а. При | a | > 1 рівняння немає коріння, оскільки | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 або при а< -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Нехай | а |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
у = cos x. На проміжку функція y = cos x зменшується від 1 до -1. Але спадна функція приймає кожне своє значення тільки в одній точці її області визначення, тому рівняння cos x = а має на цьому проміжку тільки один корінь, який за визначенням арккосинусу дорівнює: x 1 = arccos а (і для цього кореня cos x = а).
Косинус - парна функціятому на проміжку [-п; 0] рівняння cos x = а також має лише один корінь - число, протилежне x 1, тобто
x 2 = -arccos а.
Таким чином, на проміжку [-п; п] (довжиною 2п) рівняння cos x = а при | а |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.
Функція y = cos x періодична з періодом 2п, тому решта всіх корінь відрізняється від знайдених на 2пп (n € Z). Отримуємо наступну формулу коренів рівняння cos x = а при
x = ± arccos а + 2пп, n £ Z.
- Часткові випадки розв'язання рівняння cosx = а.
Корисно пам'ятати спеціальні записи коренів рівняння cos x = а при
а = 0, а = -1, а = 1, які можна легко отримати, використовуючи як орієнтир одиничне коло.
Оскільки косинус дорівнює абсцисі відповідної точки одиничного кола, отримуємо, що cos x = 0 тоді і тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка A або точка B.
Аналогічно cos x = 1 тоді і тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка C, отже,
x = 2πп, k € Z.
Також cos х = -1 тоді і лише тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка D, таким чином, х = п + 2пn,
Рівняння sin(x) = a
Пояснення та обґрунтування
- Коріння рівняння sinx = а. При | а | > 1 рівняння немає коріння, оскільки | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 або при а< -1 не пересекает график функции y = sinx).
Найпростіші тригонометричні рівняння вирішуються, як правило, за формулами. Нагадаю, що найпростішими називаються такі тригонометричні рівняння:
sinx = а
cosx = а
tgx = а
ctgx = а
х - кут, який потрібно знайти,
а – будь-яке число.
А ось і формули, за допомогою яких можна одразу записати рішення цих найпростіших рівнянь.
Для синусу:
Для косинуса:
х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Для тангенсу:
х = arctg a + π n, n ∈ Z
Для котангенсу:
х = arcctg a + π n, n ∈ Z
Власне, це і є теоретична частина розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь. До того ж, вся!) Зовсім нічого. Проте, кількість помилок на цю тему просто зашкалює. Особливо при незначному відхиленні прикладу від шаблону. Чому?
Та тому, що маса народу записує ці літери, не розуміючи їхнього сенсу зовсім!З побоюванням записує, як би чого не вийшло... З цим треба розібратися. Тригонометрія для людей, або люди для тригонометрії, зрештою!?)
Розберемося?
Один кут у нас буде рівний arccos a, другий: -arccos a.
І так виходитиме завжди.За будь-якого а.
Якщо не вірите, наведіть курсор мишки на картинку, або торкніться малюнку на планшеті. Я змінив число а на якесь негативне. Все одно, один кут у нас вийшов arccos a, другий: -arccos a.
Отже, відповідь можна завжди записати у вигляді двох серій коріння:
х 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
х 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Об'єднуємо ці дві серії в одну:
х = ± arccos а + 2π n, n ∈ Z
І всі справи. Отримали загальну формулу для вирішення найпростішого тригонометричного рівняння з косинусом.
Якщо ви розумієте, що це не якась наднаукова мудрість, а просто скорочений запис двох серій відповідей,вам і завдання "С" будуть по плечу. З нерівностями, з відбором коренів із заданого інтервалу... Там відповідь із плюсом/мінусом не котить. А якщо поставитися до відповіді ділово, та розбити його на дві окремі відповіді, все і вирішується.) Власне, для цього й розуміємося. Що, як і звідки.
У найпростішому тригонометричному рівнянні
sinx = а
теж виходить дві серії коренів. Завжди. І ці дві серії також можна записати одним рядком. Тільки цей рядок хитрішим буде:
х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Але суть залишається незмінною. Математики просто сконструювали формулу, щоб замість двох записів серій коріння зробити одну. І все!
Перевіримо математиків? А то мало...)
У попередньому уроці докладно розібрано рішення (без будь-яких формул) тригонометричного рівняння із синусом:
У відповіді вийшло дві серії коренів:
х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Якщо ми вирішуватимемо це ж рівняння за формулою, отримаємо відповідь:
х = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Взагалі, це недороблена відповідь.) Учень повинен знати, що arcsin 0,5 = π /6.Повноцінна відповідь буде:
х = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z
Тут виникає цікаве питання. Відповідь через х 1; х 2 (це правильна відповідь!) і через самотню х (і це правильна відповідь!) - одне й те саме, чи ні? Зараз дізнаємось.)
Підставляємо у відповідь з х 1 значення n =0; 1; 2; і т.д., вважаємо, отримуємо серію коренів:
х 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 і так далі.
При такій же підстановці у відповідь х 2 , отримуємо:
х 2 = 5?/6; 17π/6; 29π/6 і так далі.
А тепер підставляємо значення n (0; 1; 2; 3; 4...) у загальну формулу для самотнього х . Тобто зводимо мінус один у нульовий ступінь, потім у першу, другу, і т.д. Ну і, зрозуміло, у другий доданок підставляємо 0; 1; 2 3; 4 і т.д. І рахуємо. Отримуємо серію:
х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 і так далі.
Ось все і видно.) Загальна формула видає нам такі самі результати,що й дві відповіді окремо. Тільки все одразу, по порядку. Не обдурили математики.)
Формули для вирішення тригонометричних рівнянь із тангенсом та котангенсом теж можна перевірити. Але не будемо.) Вони й так простенькі.
Я розписав всю цю підстановку та перевірку спеціально. Тут важливо зрозуміти одну просту річ: формули для розв'язання елементарних тригонометричних рівнянь є, лише короткий запис відповідей.Для цієї стислості довелося вставити плюс/мінус у рішення для косинуса та (-1) n у рішення для синуса.
Ці вставки ніяк не заважають завданням, де потрібно просто записати відповідь елементарного рівняння. Але якщо треба вирішувати нерівність, чи далі треба щось робити з відповіддю: відбирати коріння на інтервалі, перевіряти на ОДЗ тощо, ці вставочки можуть запросто вибити людину з колії.
І що робити? Так або розписати відповідь через дві серії, або вирішувати рівняння/нерівність по тригонометричному колу. Тоді зникають ці вставочки і життя стає легшим.
Можна підбити підсумки.
Для вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь є готові формули відповідей. Чотири штуки. Вони хороші для миттєвого запису рішення рівняння. Наприклад, треба розв'язати рівняння:
sinx = 0,3
Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Просто: х = arctg 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Однією лівою: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Якщо ви, блищачи знаннями, миттєво пишете відповідь:
х= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
то блищате ви вже, це... того... з калюжі.) Правильна відповідь: рішень немає. Не розумієте чому? Прочитайте, що таке арккосинус. Крім того, якщо в правій частині вихідного рівняння стоять табличні значення синуса, косинуса, тангенсу, котангенсу, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 і т.п. - відповідь через арки буде недоробленою. Арки потрібно обов'язково перевести у радіани.
А якщо вам трапилася нерівність, типу
то відповідь у вигляді:
х πn, n ∈ Z
є рідкісна ахінея, так ...) Тут треба по тригонометричному колі вирішувати. Чим ми займемося у відповідній темі.
Для тих, хто героїчно дочитав до цих рядків. Я просто не можу не оцінити ваших титанічних зусиль. Вам бонус.)
Бонус:
При записі формул у тривожній бойовій обстановці, навіть загартовані навчанням ботаны часто плутаються, де πn, а де 2π n. Ось вам простий приймач. У всіхформулах варто πn. Крім єдиної формули з арккосинусом. Там стоїть 2πn. Двапіен. Ключове слово - два.У цій самій єдиній формулі стоять двазнак на початку. Плюс і мінус. І там і там - два.
Так що якщо ви написали двазнака перед арккосинусом, легше згадати, що в кінці буде двапіен. А ще навпаки. Пропустить людина знак ± , дістанеться кінця, напише правильно двапіен, та й схаменеться. Попереду двазнаку! Повернеться людина до початку, та помилку і виправить! Ось так.)
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Клас: 10
«Рівняння існуватимуть вічно».
А. Ейнштейн
Цілі уроку:
- Освітні:
- поглиблення розуміння методів розв'язання тригонометричних рівнянь;
- сформувати навички розрізняти, правильно відбирати способи розв'язання тригонометричних рівнянь.
- Виховні:
- виховання пізнавального інтересу до навчального процесу;
- формування вміння аналізувати поставлене завдання;
- сприяти поліпшенню психологічного клімату у класі.
- Розвиваючі:
- сприяти розвитку навички самостійного набуття знань;
- сприяти вмінню учнів аргументувати свою думку;
Обладнання:плакат з основних тригонометричних формул, комп'ютер, проектор, екран.
1 урок
I. Актуалізація опорних знань
Усно вирішити рівняння:
1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = -;
4) sin2x = 0;
5) sinx = -;
6) sinx =;
7) tgx =;
8) cos 2 x - sin 2 x = 0
1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х = ± + 2к;
4) х = до;
5) х = (-1) + к;
6) х = (-1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; до Z.
ІІ. Вивчення нового матеріалу
– Сьогодні ми з вами розглянемо складніші тригонометричні рівняння. Розглянемо 10 способів їх вирішення. Далі буде два уроки для закріплення, і наступного уроку буде перевірна робота. На стенді «До уроку» вивішено завдання, аналогічні яким будуть на перевірочній роботі, треба їх вирішувати до перевірочної роботи. (Напередодні перед перевірочною роботою вивісити на стенді рішення цих завдань).
Отже, переходимо до розгляду способів розв'язання тригонометричних рівнянь. Одні з цих способів вам, напевно, видадуться важкими, інші – легкими, т.к. деякими прийомами розв'язання рівнянь ви вже володієте.
Чотири учні класу отримали індивідуальне завдання: розібратися і показати вам 4 способи розв'язання тригонометричних рівнянь.
(Виступаючі учні заздалегідь підготували слайди. Інші учні класу записують основні етапи розв'язання рівнянь у зошит.)
1 учень: 1 спосіб. Розв'язання рівнянь розкладанням на множники
sin 4x = 3 cos 2x
Для вирішення рівняння скористаємося формулою синуса подвійного кута sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x - 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Добуток цих множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнюватиме нулю.
2x = + до, до Z чи sin 2x = 1,5 – немає рішень, т.к | sin| 1
x = + к; до Z.
Відповідь: x = + к, до Z.
2 учень. 2 спосіб. Розв'язання рівнянь перетворенням суми або різниці тригонометричних функцій на твір
cos 3x + sin 2x - sin 4x = 0.
Для вирішення рівняння скористаємося формулою sin-sin = 2 sin сos
cos 3x + 2 sin сos = 0,
сos 3x - 2 sin x cos 3x = 0,
cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Отримане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь:
Безліч рішень другого рівняння повністю входить до множини рішень першого рівняння. Значить
Відповідь:
3 учень. 3 спосіб. Розв'язання рівнянь перетворенням твору тригонометричних функцій на суму
sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.
Для вирішення рівняння скористаємося формулою
Відповідь:
4 учень. 4 спосіб. Розв'язання рівнянь, що зводяться до квадратних рівнянь
3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,
Нехай sin x = t де | t |. Отримаємо квадратне рівняння 2t 2 + 3t - 2 = 0,
D=9+16=25.
Таким чином . не задовольняє умову t |.
Отже sin x = . Тому .
Відповідь:
ІІІ. Закріплення вивченого за підручником А. Н. Колмогорова
1. № 164(а), 167(а) (квадратне рівняння)
2. № 168 (а) (розкладання на множники)
3. № 174 (а) (перетворення суми на твір)
4. (перетворення твору на суму)
(В кінці уроку показати рішення цих рівнянь на екрані для перевірки)
№ 164 (а)
2 sin 2 x + sin x - 1 = 0.
Нехай sin x = t, | t | 1. Тоді
2 t 2 + t - 1 = 0, t = - 1, t =. Звідки
Відповідь: – .
№ 167 (а)
3 tg 2 x + 2 tg x - 1 = 0.
Нехай tg x = 1, тоді отримаємо рівняння 3t2 + 2t - 1 = 0.
Відповідь:
№ 168 (а)
Відповідь:
№ 174 (а)
Вирішити рівняння:
Відповідь:
2 урок (урок-лекція)
IV. Вивчення нового матеріалу(продовження)
– Отже, продовжимо вивчення способів розв'язання тригонометричних рівнянь.
5 спосіб. Розв'язання однорідних тригонометричних рівнянь
Рівняння виду a sin x + b cos x = 0, де a та b – деякі числа, називаються однорідними рівняннями першого ступеня щодо sin x або cos x.
Розглянемо рівняння
sin x - cos x = 0. Розділимо обидві частини рівняння cos x. Так можна зробити, втрати кореня не станеться, т.к. , якщо cos x = 0,то sin x = 0. Але це суперечить основному тригонометричному тотожності sin 2 x + cos 2 x = 1.
Отримаємо tg x - 1 = 0.
tg x = 1,
Рівняння виду a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 ,де a, b, c –деякі числа називаються однорідними рівняннями другого ступеня щодо sin x або cos x.
Розглянемо рівняння
sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Розділимо обидві частини рівняння на cos x, причому втрати кореня не відбудеться, т.к. cos x = 0 не є коренем цього рівняння.
tg 2 x - 3tg x + 2 = 0.
Нехай tg x = t. D = 9 - 8 = 1.
Тоді звідси tg x = 2 чи tg x = 1.
У результаті x = arctg 2 + , x =
Відповідь: arctg 2 + ,
Розглянемо ще одне рівняння: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Перетворимо праву частину рівняння у вигляді 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тоді отримаємо:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Отримали 2 рівняння, яке вже розібрали).
Відповідь: arctg 2+k,
6 спосіб. Розв'язання лінійних тригонометричних рівнянь
Лінійним тригонометричним рівнянням називається рівняння виду a sin x + b cos x = сде a, b, c – деякі числа.
Розглянемо рівняння sin x + cos x= – 1.
Перепишемо рівняння у вигляді:
Враховуючи, що і, отримаємо:
Відповідь:
7 спосіб. Введення додаткового аргументу
Вираз a cos x + b sin xможна перетворити:
(це перетворення ми вже раніше використовували при спрощенні тригонометричних виразів)
Введемо додатковий аргумент – кут такий, що
Тоді
Розглянемо рівняння: 3 sinx + 4 cosx = 1. =
Домашнє завдання:№164 -170 (в, г).
На цьому уроці ми розглянемо основні тригонометричні функції, їх властивості та графіки, а також перерахуємо основні типи тригонометричних рівнянь та систем. Крім цього, вкажемо загальні рішення найпростіших тригонометричних рівнянь та їх окремі випадки.
Цей урок допоможе Вам підготуватися до одного з типів завдання В5 та С1.
Підготовка до ЄДІ з математики
Експеримент
Урок 10. Тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння та їх системи.
Теорія
Конспект уроку
Ми з вами вже застосовували термін «тригонометрична функція». Ще на першому уроці цієї теми ми визначили їх за допомогою прямокутного трикутникаі одиничного тригонометричного кола. Використовуючи такі методи завдання тригонометричних функцій, ми можемо зробити висновок, що їм одному значенню аргументу (чи кута) відповідає суворо одне значення функції, тобто. ми маємо право називати синус, косинус, тангенс і котангенс саме функціями.
У цьому уроці саме час спробувати абстрагуватися від розглянутих раніше способів обчислення значень тригонометричних функцій. Сьогодні ми перейдемо до звичного підходу алгебри роботи з функціями, ми розглянемо їх властивості і зобразимо графіки.
Що стосується властивостей тригонометричних функцій, то особливу увагу слід звернути на:
Область визначення та область значень, т.к. для синуса та косинуса є обмеження по області значень, а для тангенсу та котангенсу обмеження по області визначення;
Періодичність всіх трігонометричних функцій, т.к. ми вже зазначали наявність найменшого ненульового аргументу, додавання якого змінює значення функції. Такий аргумент називають періодом функції та позначають буквою. Для синуса/косинусу та тангенсу/котангенсу ці періоди різні.
Розглянемо функцію:
1) Область визначення;
2) Область значень ;
3) Функція непарна ;
Побудуємо графік функції. При цьому зручно починати побудову із зображення області, яка обмежує графік зверху числом 1 і числом знизу , що пов'язано з областю значень функції. Крім того, для побудови корисно пам'ятати значення синусів декількох основних табличних кутів, наприклад, що це дозволить побудувати першу повну «хвилю» графіка і потім перемальовувати її вправо і вліво, користуючись тим, що картинка повторюватиметься зі зміщенням на період, тобто. на .
Тепер розглянемо функцію:
Основні властивості цієї функції:
1) Область визначення;
2) Область значень ;
3) Функція парна З цього випливає симетричність графіка функції щодо осі ординат;
4) Функція не є монотонною на всій своїй ділянці визначення;
Побудуємо графік функції. Як і при побудові синуса зручно починати із зображення області, яка обмежує графік зверху числом 1 і числом знизу , що пов'язано з областю значень функції. Також нанесемо на графік координати кількох точок, для чого необхідно пам'ятати значення косінусів кількох основних табличних кутів, наприклад, що за допомогою цих точок ми можемо побудувати першу повну хвилю графіка і потім перемальовувати її вправо і вліво, користуючись тим, що картинка буде повторюватися зі зміщенням період, тобто. на .
Перейдемо до функції:
Основні властивості цієї функції:
1) Область визначення крім , де . Ми вже вказували в попередніх уроках, що немає. Це твердження можна узагальнити з огляду на період тангенсу;
2) Область значень, тобто. значення тангенсу не обмежені;
3) Функція непарна ;
4) Функція монотонно зростає у межах своїх так званих гілок тангенсу, які ми зараз побачимо на малюнку;
5) Функція періодична з періодом
Побудуємо графік функції. У цьому зручно починати побудова із зображення вертикальних асимптот графіка у точках, які входять у область визначення, тобто. і т.д. Далі зображаємо гілки тангенса всередині кожної з утворених асимптотами смужок, притискаючи їх до лівої асимптоти та до правої. При цьому не забуваємо, що кожна гілка монотонно зростає. Усі гілки зображаємо однаково, т.к. функція має період, що дорівнює . Це видно з того, що кожна гілка виходить усуненням сусідньої на вздовж осі абсцис.
І завершуємо розглядом функції:
Основні властивості цієї функції:
1) Область визначення крім , де . По таблиці значень тригонометричних функцій ми знаємо, що немає. Це твердження можна узагальнити з огляду на період котангенсу;
2) Область значень, тобто. значення котангенсу не обмежені;
3) Функція непарна ;
4) Функція монотонно зменшується в межах своїх гілок, які схожі на гілки тангенсу;
5) Функція періодична з періодом
Побудуємо графік функції. У цьому, як й у тангенса, зручно починати побудова із зображення вертикальних асимптот графіка у точках, які входять у область визначення, тобто. і т.д. Далі зображаємо гілки котангенсу всередині кожної з утворених асимптотами смужок, притискаючи їх до лівої асимптоти та до правої. В цьому випадку враховуємо, що кожна гілка монотонно зменшується. Усі гілки і тангенсу зображуємо однаково, т.к. функція має період, що дорівнює .
Окремо слід зазначити той факт, що тригонометричні функції зі складним аргументом можуть мати нестандартний період. Мова йдепро функції виду:
У них період дорівнює. І про функції:
У них період дорівнює.
Як бачимо, для обчислення нового періоду стандартний період ділиться на множник при аргументі. Від інших видозмін функції він не залежить.
Докладніше розібратися та зрозуміти, звідки беруться ці формули, ви зможете в уроці про побудову та перетворення графіків функцій.
Ми підійшли до однієї з найголовніших частин теми «Тригонометрія», яку ми присвятимо рішенню тригонометричних рівнянь. Вміння вирішувати такі рівняння важливе, наприклад, при описі коливальних процесів у фізиці. Уявимо, що ви на спортивній машині проїхали кілька кіл на картинзі, визначити скільки часу ви вже берете участь у гонці в залежності від положення машини на трасі допоможе вирішення тригонометричного рівняння.
Запишемо найпростіше тригонометричне рівняння:
Рішенням такого рівняння є аргументи, синус яких дорівнює. Але ми вже знаємо, що через періодичність синуса таких аргументів існує безліч. Таким чином, розв'язуванням цього рівняння будуть і т.п. Те саме стосується і вирішення будь-якого іншого найпростішого тригонометричного рівняння, їх буде нескінченна кількість.
Тригонометричні рівняння поділяються на кілька основних типів. Окремо слід зупинитись на найпростіших, т.к. решта до них зводяться. Таких рівнянь чотири (за кількістю основних тригонометричних функцій). Їх відомі загальні рішення, їх необхідно запам'ятати.
Найпростіші тригонометричні рівняння та їх загальні рішеннявиглядають наступним чином:
Зверніть увагу, що значення синуса і косинуса необхідно враховувати відомі нам обмеження. Якщо, наприклад, то рівняння не має рішень і застосовувати зазначену формулу не слід.
Крім того, зазначені формули коренів містять параметр як довільного цілого числа . У шкільній програміце єдиний випадок, коли розв'язування рівняння без параметра містить у собі параметр. Це довільне ціле число показує, що можна виписати нескінченну кількість коренів будь-якого із зазначених рівнянь просто підставляючи замість черги всі цілі числа.
Ознайомитись з докладним отриманням зазначених формул ви можете, повторивши розділ «Тригонометричні рівняння» у програмі алгебри 10 класу.
Окремо необхідно звернути увагу на вирішення окремих випадків найпростіших рівнянь із синусом і косинусом. Ці рівняння мають вигляд:
До них не слід застосовувати формули знаходження загальних рішень. Такі рівняння найзручніше вирішуються з використанням тригонометричного кола, що дає більш простий результат, ніж формули загальних рішень.
Наприклад, рішенням рівняння є . Спробуйте самі отримати цю відповідь і вирішити решту вказаних рівнянь.
Крім зазначеного типу тригонометричних рівнянь, що найчастіше зустрічається, існують ще кілька стандартних. Перерахуємо їх з урахуванням тих, які ми вже зазначили:
1) Найпростіші, наприклад, ;
2) Окремі випадки найпростіших рівняньнаприклад, ;
3) Рівняння зі складним аргументомнаприклад, ;
4) Рівняння, що зводяться до найпростіших шляхом винесення загального множниканаприклад, ;
5) Рівняння, що зводяться до найпростіших шляхом перетворення тригонометричних функційнаприклад, ;
6) Рівняння, що зводяться до найпростіших за допомогою замінинаприклад, ;
7) Однорідні рівняннянаприклад, ;
8) Рівняння, що вирішуються з використанням властивостей функційнаприклад, . Нехай вас не лякає, що в цьому рівнянні дві змінні, воно вирішується при цьому;
А також рівняння, що вирішуються з використанням різних методів.
Крім розв'язання тригонометричних рівнянь необхідно вміти розв'язувати їх системи.
Найчастіше зустрічаються системи наступних типів:
1) У яких одне з рівнянь статечненаприклад, ;
2) Системи із найпростіших тригонометричних рівняньнаприклад, .
На сьогоднішньому уроці ми розглянули основні тригонометричні функції, їхні властивості та графіки. А також познайомилися із загальними формулами розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь, вказали основні типи таких рівнянь та їх систем.
У практичній частині уроку ми розберемо методи розв'язання тригонометричних рівнянь та їх систем.
Вставлення 1.Розв'язання окремих випадків найпростіших тригонометричних рівнянь.
Як ми вже говорили в основній частині уроку, окремі випадки тригонометричних рівнянь із синусом і косинусом виду:
мають більше прості рішеннячим дають формули загальних рішень.
Для цього використовується тригонометричне коло. Розберемо метод їх розв'язання на прикладі рівняння.
Зобразимо на тригонометричному колі точку, в якій значення косинуса дорівнює нулю, воно є координатою по осі абсцис. Як бачимо, таких точок дві. Наше завдання вказати чому дорівнює кут, який відповідає цим точкам на колі.
Починаємо відлік від позитивного спрямування осі абсцис (осі косінусів) і при відкладанні кута потрапляємо в першу зображену точку, тобто. одним із рішень буде це значення кута. Але ж нас ще влаштовує кут, який відповідає другій точці. Як потрапити до неї?