Sayısal eşitlikler, sayısal eşitliklerin özellikleri. Sayısal eşitliklerin diğer önemli özellikleri
Matematikte eşitlikler hakkında genel bilgiler aldıktan sonra daha dar konulara geçiyoruz. Bu makalenin malzemesi, sayısal eşitliklerin özellikleri hakkında bir fikir verecektir.
sayısal eşitlik nedir
Sayısal eşitliklerle ilk karşılaştığımızda ilkokul sayılarla ve "aynı" kavramıyla bir tanıdık olduğunda. Şunlar. en ilkel sayısal eşitlikler şunlardır: 2 = 2, 5 = 5, vb. Ve bu seviyede, onlara "sayısal" belirtmeden basitçe eşitlikler adını verdik ve içlerine nicel veya sıralı bir anlam koyduk (doğal sayıların taşıdığı). Örneğin, 2 = 2 denklemi, her birinde iki çiçek ve iki yaban arısı bulunan bir görüntüye karşılık gelir. Veya örneğin, Vasya ve Vanya'nın ikinci sırada olduğu iki sıra.
Aritmetik işlemler bilgisi ortaya çıktıkça sayısal eşitlikler daha karmaşık hale gelir: 5 + 7 \u003d 12; 6 - 1 = 5; 2 1 = 2; 21: 7 = 3, vb. Daha sonra sayısal ifadelerin dahil olduğu kayıtlarda eşitlikler oluşmaya başlar. farklı tür. Örneğin (2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2) ; 4 (4 − (1 + 2)) + 12: 4 − 1 = 4 1 + 3 − 1, vb. Sonra diğer sayı türleriyle tanışırız ve sayısal eşitlikler giderek daha ilginç ve çeşitli hale gelir.
tanım 1
sayısal eşitlik her iki parçası da sayılardan ve/veya sayısal ifadelerden oluşan bir eşitliktir.
Sayısal eşitliklerin özellikleri
Matematikte sayısal eşitlik özelliklerinin önemini abartmak zordur: birçok şeyin temelidir, sayısal eşitliklerle çalışma ilkesini, çözüm yöntemlerini, formüllerle çalışma kurallarını ve çok daha fazlasını belirler. sayısal eşitliklerin özelliklerinin ayrıntılı bir çalışmasına ihtiyaç vardır.
Sayısal eşitliklerin özellikleri, sayılarla eylemlerin nasıl tanımlandığı ve ayrıca fark yoluyla eşit sayıların tanımıyla kesinlikle tutarlıdır: sayı a sayıya eşittir b sadece fark olduğunda a-b sıfır var. Her bir özelliğin açıklamasında ayrıca bu bağlantıyı izleyeceğiz.
Sayısal eşitliklerin temel özellikleri
Tüm eşitliklerde var olan üç temel özellikle sayısal eşitliklerin özelliklerini incelemeye başlayalım. Sayısal eşitliklerin ana özelliklerini listeliyoruz:
- yansıma özelliği: bir = bir;
- simetri özelliği: eğer a = b, sonra b = bir;
- geçişlilik özelliği: eğer a = b ve b=c, sonra bir = c, nerede a , b ve c keyfi sayılardır.
Yansıma özelliği, bir sayının kendisine eşit olduğu gerçeğini belirtir: örneğin, 6 = 6, - 3 = - 3, 4 3 7 = 4 3 7, vb.
Kanıt 1
Eşitliğin geçerliliğini göstermek kolaydır bir - bir = 0 herhangi bir sayı için a: fark bir - bir toplamı olarak yazılabilir bir + (- bir), ve sayıların toplama özelliği bize herhangi bir sayının a tek zıt sayıya karşılık gelir - bir, ve toplamları sıfırdır.
tanım 3
Sayısal eşitliklerin simetri özelliğine göre: a sayıya eşittir b,
o sayı b sayıya eşittir a. Örneğin, 4 3 = 64
, sonra 64 = 4 3
.
Kanıt 2
Bu özelliği sayıların farkıyla doğrulayabilirsiniz. şart a = b eşitliğe karşılık gelir a - b = 0. bunu kanıtlayalım b - bir = 0.
farkı yazalım b - bir olarak - (a - b), önünde bir eksi işareti bulunan parantez açma kuralına dayanarak. İfadenin yeni girişi - 0 ve sıfırın tersi sıfırdır. Böylece, b - bir = 0, Sonuç olarak: b = bir.
Tanım 4
Sayısal eşitliklerin geçişlilik özelliği, aynı anda üçüncü bir sayıya eşitse iki sayının birbirine eşit olduğunu belirtir. örneğin, eğer 81 = 9 ve 9 = 3 2 , sonra 81 = 3 2 .
Geçişlilik özelliği, sayılarla işlemlerin farkı ve özellikleri aracılığıyla eşit sayıların tanımına da karşılık gelir. eşitlikler a = b ve b=c eşitliklere karşılık gelir a - b = 0 ve b - c = 0.
Kanıt 3
eşitliğini ispatlayalım a - c = 0, hangi sayıların eşitliği takip edecek a ve c. Sıfıra bir sayı eklemek sayının kendisini değiştirmediğinden, o zaman AC formda yaz a + 0 - c. Sıfır yerine zıt sayıların toplamını değiştiririz -b ve b, ardından son ifade şöyle olur: a + (− b + b) − c. Terimleri gruplayalım: (a - b) + (b - c). Parantez içindeki farklar sıfıra eşittir, ardından toplam (a - b) + (b - c) sıfır var. Bu kanıtlıyor ki ne zaman a - b = 0 ve b - c = 0, eşitlik a - c = 0, nerede bir = c.
Sayısal eşitliklerin diğer önemli özellikleri
Yukarıda tartışılan sayısal eşitliklerin ana özellikleri, uygulama bağlamında oldukça değerli olan bir dizi ek özelliğin temelidir. Bunları sıralayalım:
tanım 5
Doğru olan sayısal eşitliğin her iki kısmına da aynı sayıyı ekleyerek (veya çıkararak) doğru sayısal eşitliği elde ederiz. Kelimenin tam anlamıyla yazalım: eğer a = b, nerede a ve b o zaman bazı sayılar a + c = b + c herhangi c.
Kanıt 4
Gerekçe olarak, farkı yazıyoruz (a + c) - (b + c).
Bu ifade kolayca forma dönüştürülebilir (a - b) + (c - c).
İtibaren a = bşartla şu şekildedir a - b = 0 ve c - c = 0, sonra (a - b) + (c - c) = 0 + 0 = 0. Bu kanıtlıyor (a + c) - (b + c) = 0, Sonuç olarak, a + c = b + c;
tanım 6
Doğru sayısal eşitliğin her iki kısmı da herhangi bir sayı ile çarpılırsa veya sıfıra eşit olmayan bir sayıya bölünürse, doğru sayısal eşitliği elde ederiz.
Kelimenin tam anlamıyla yazalım: ne zaman a = b, sonra bir c = bc herhangi bir sayı için c. c ≠ 0 ise ve a:c = b:c.
Kanıt 5
Eşitlik doğrudur: bir c - b c = (a - b) c = 0 c = 0 ve ürünlerin eşitliğini ifade eder. AC ve M.Ö. Ve sıfır olmayan bir c sayısına bölme, 1 c'nin tersi ile çarpma olarak yazılabilir;
Tanım 7
saat a ve b, sıfırdan farklı ve birbirine eşit ise karşılıklılıkları da eşittir.
Yazalım: ne zaman a ≠ 0 , b ≠ 0 ve a = b, sonra 1a = 1b. Aşırı eşitliği kanıtlamak zor değil: bu amaçla eşitliğin her iki tarafını da bölüyoruz. a = bürüne eşit bir sayı ile bir b ve sıfıra eşit değil.
Ayrıca, doğru sayısal eşitliklerin karşılık gelen kısımlarının toplanmasına ve çarpılmasına izin veren birkaç özelliğe dikkat çekiyoruz:
Tanım 8
Doğru sayısal eşitliklerin dönem dönem eklenmesiyle, gerçek eşitlik. Bu özellik şu şekilde yazılır: eğer a = b ve c = d, sonra a + c = b + d a , b , c sayıları için ve d.
Kanıt 6
haklı çıkar faydalı özellik muhtemelen daha önce belirtilen özelliklere dayanmaktadır. Gerçek bir eşitliğin her iki tarafına da herhangi bir sayının eklenebileceğini biliyoruz.
Eşitliğe doğru a = b numarayı ekle c ve eşitlik için c = d- sayı b, sonuç doğru sayısal eşitlikler olacaktır: a + c = b + c ve c + b = d + b. Sonuncusunu forma yazıyoruz: b + c = b + d. eşitliklerden a + c = b + c ve b + c = b + d geçişlilik özelliğine göre, eşitlik aşağıdaki gibidir a + c = b + d. Kanıtlanması gereken şey buydu.
Sadece iki gerçek sayısal eşitlik değil, aynı zamanda üç veya daha fazlasını eklemek de mümkündür;
Tanım 7
Son olarak, böyle bir özelliği tanımlıyoruz: iki doğru sayısal eşitliğin terim terim çarpımı doğru eşitliği verir. Harflerle yazalım: eğer a = b ve c = d, sonra bir c = b d.
Kanıt 7
Bu özelliğin ispatı, bir öncekinin ispatına benzer. Denklemin her iki tarafını herhangi bir sayı ile çarpın, çarpın a = büzerinde c, a c = düzerinde b, doğru sayısal eşitlikleri elde ederiz bir c = bc ve cb = db. son olarak yazıyoruz bc = bd. Geçişlilik özelliği, eşitlikten mümkün kılar bir c = bc ve bc = bd eşitlik elde etmek bir c = b d ki kanıtlamamız gerekiyordu.
Ve yine, bu özelliğin iki, üç veya daha fazla sayısal eşitlik için geçerli olduğunu açıklığa kavuşturuyoruz.
Böylece, biri şunu yazabilir: eğer a = b, sonra bir n = bn herhangi bir sayı için a ve b, Ve herhangi biri doğal sayı n.
Anlaşılır olması için dikkate alınan tüm özellikleri toplayarak bu makaleyi bitirelim:
a = b ise, b = a .
a = b ve b = c ise, o zaman a = c .
a = b ise, a + c = b + c .
a = b ise, o zaman a c = b c.
a = b ve c ≠ 0 ise, a: c = b: c.
a = b , a = b , a ≠ 0 ve b ≠ 0 ise 1 a = 1 b .
a = b ve c = d ise, o zaman a c = b d.
a = b ise, o zaman a n = b n .
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Ve şimdi bu görevi ayrıntılı olarak analiz edelim.
Piramitteki bir sonraki hücreyi düşünün.
11'in 7 ve bilinmeyen başka bir sayının toplamı olduğunu biliyoruz. Açıkçası, ikinci sayı 4, yani ilk satırda sağdaki hücreyi doldurabiliriz.
Piramidin içinde bir tane boş hücre kalmıştır. 7'nin 12 alması gereken bir sayı içermelidir. Böylece. ilk satırda soldaki boş hücrede 5 sayısı olmalıdır.
İkinci satırdaki hücreleri düşünün. Toplamı 24'e eşit olması gereken iki sayı olmalıdır. Aynı zamanda, ikinci sütunda istenen iki sayıyı elde etmek için bilinmeyen bir sayıya 3 ve 5 eklemeniz gerektiğini unutmayın. ilk satırın orta hücresinde bulunur, yani bu iki sayı arasındaki fark 2'ye eşit olmalıdır. 11 ve 13 sayıları bu koşullar için uygundur, çünkü 11 + 13 \u003d 24 ve diğer yandan 13 - 11 \ u003d 2. Böylece 2. sıranın hücrelerini doldurabiliriz.
Ve ilk satırdaki son sayıyı bulmak için kalır. Bu sayı 3'e eklenirse elde edilebilir ve ardından 11 elde ederiz. bu sayı 8'dir.
almış olmak Genel fikir matematikte eşitlikler hakkında, bu konunun daha ayrıntılı bir çalışmasına geçebiliriz. Bu yazımızda öncelikle sayısal eşitliklerin ne olduğunu açıklayacağız ve ikinci olarak da çalışacağız.
Sayfa gezintisi.
Sayısal eşitlik nedir?
Sayısal eşitliklerle tanışma, okulda matematik eğitiminin ilk aşamasında başlar. Bu genellikle 1. sınıfta, 1'den 9'a kadar olan ilk sayıların bilinmesinden hemen sonra ve "aynı" ifadesinin anlam kazanmasından sonra olur. Daha sonra ilk sayısal eşitlikler görünür, örneğin 1=1, 3=3, vb., bu aşamada genellikle açıklayıcı bir "sayısal" tanımı olmaksızın basitçe eşitlikler olarak adlandırılır.
Bu aşamada belirtilen türdeki eşitliklere, içine gömülü olan nicel veya sıralı bir anlam verilir. Örneğin, 3=3 sayısal denklemi, her biri üzerinde 3 kuş bulunan bir ağacın iki dalını gösteren resme karşılık gelir. Ya da yoldaşlarımız Petya ve Kolya iki sırada üçüncü sıradayken.
Derslerin ardından Aritmetik işlemler, daha çeşitli sayısal eşitlik kayıtları görünür, örneğin, 3+1=4, 7−2=5, 3 2=6, 8:4=2, vb. Ayrıca, parçalarında çeşitli parçalar içeren daha da ilginç bir formun sayısal eşitlikleri oluşmaya başlar, örneğin, (2+1)+3=2+(1+3) , 4 (4−(1+2))+12:4−1=4 1+3−1 ve benzerleri. Sonra diğer sayı türleriyle tanışma var ve sayısal eşitlikler giderek daha çeşitli hale geliyor.
Yani, çalının etrafından dolaşmak yeterli, sayısal eşitliğin bir tanımını vermenin zamanı geldi:
Tanım.
sayısal eşitlik her iki bölümünde de sayı ve/veya sayısal ifadeler bulunan bir eşitliktir.
Sayısal eşitliklerin özellikleri
Sayısal eşitliklerle çalışma ilkeleri, özelliklerine göre belirlenir. Ve matematikteki sayısal eşitliklerin özelliklerine çok şey bağlıdır: denklem çözme özelliklerinden ve denklem sistemlerini çözme yöntemlerinden çeşitli miktarları birbirine bağlayan formüllerle çalışma kurallarına kadar. Bu, sayısal eşitliklerin özelliklerinin ayrıntılı bir çalışmasına duyulan ihtiyacı açıklar.
Sayısal eşitliklerin özellikleri, sayılarla yapılan işlemlerin nasıl tanımlandığıyla tamamen uyumludur ve aynı zamanda aşağıdakilerle de uyumludur. fark yoluyla eşit sayıların tanımı: a sayısı b sayısına eşittir, ancak ve ancak a−b farkı sıfıra eşitse. Aşağıda, her bir özelliği tanımlarken bu bağlantıyı izleyeceğiz.
Sayısal eşitliklerin temel özellikleri
Sayısal eşitliklerin özelliklerinin gözden geçirilmesi, istisnasız tüm eşitliklerin karakteristiği olan üç temel özellikle başlamalıdır. Yani, sayısal eşitliklerin temel özellikleri bu:
- yansıma özelliği: a=a ;
- simetri özelliği: eğer a=b ise, o zaman b=a ;
- ve geçişlilik özelliği: eğer a=b ve b=c ise, o zaman a=c ,
burada a , b ve c keyfi sayılardır.
Sayısal eşitliklerin yansıma özelliği, bir sayının kendisine eşit olduğu gerçeğini ifade eder. Örneğin, 5=5 , -2=-2 , vb.
Herhangi bir a sayısı için a−a=0 eşitliğinin doğru olduğunu göstermek kolaydır. Aslında, a−a farkı, a+(−a) toplamı olarak yeniden yazılabilir ve sayıların eklenmesinin özelliklerinden, herhangi bir a sayısı için benzersiz bir −a olduğunu ve zıt sayıların toplamının sıfıra eşit olduğunu biliyoruz. .
Sayısal eşitliklerin simetri özelliği, a sayısı b sayısına eşitse, b sayısının a sayısına eşit olduğunu belirtir. Örneğin, 2 3 =8 ise (bkz. ), o zaman 8=2 3 .
Bu özelliği sayıların farkıyla haklı çıkarıyoruz. a=b koşulu, a−b=0 eşitliğine karşılık gelir. b−a=0 olduğunu gösterelim. Öncesinde bir eksi işareti bulunan parantezleri genişletme kuralı, b−a farkını −(a−b) olarak yeniden yazmamıza izin verir, bu da −0'a eşittir ve sıfırın karşısındaki sayı sıfırdır. Bu nedenle, b−a=0 , bu da b=a anlamına gelir.
Sayısal eşitliklerin geçişlilik özelliği, her ikisi de üçüncü bir sayıya eşit olduğunda iki sayının eşit olduğunu belirtir. Örneğin, eşitliklerden (bkz. ) ve 4=2 2'den şu sonuç çıkar.
Bu özellik, aynı zamanda, fark yoluyla eşit sayıların tanımı ve sayılarla işlemlerin özellikleri ile de tutarlıdır. Aslında, a=b ve b=c eşitlikleri, a−b=0 ve b−c=0 eşitliklerine karşılık gelir. a−c=0 olduğunu gösterelim, bundan a ve c sayılarının eşit olduğu sonucu çıkar. Sıfır eklemek sayıyı değiştirmediğinden, a−c, a+0−c olarak yeniden yazılabilir. Son ifade a+(−b+b)−c biçimini alırken sıfır, karşıt sayıların −b ve b toplamı ile değiştirilir. Şimdi terimleri şu şekilde gruplayabiliriz: (a−b)+(b−c) . Ve parantez içindeki farklar sıfırdır, dolayısıyla (a−b)+(b−c) toplamı sıfıra eşittir. Bu, a−b=0 ve b−c=0 koşulu altında, a−c=0 eşitliğinin geçerli olduğunu, buradan a=c olduğunu kanıtlar.
Diğer önemli özellikler
Bir önceki paragrafta analiz edilen sayısal eşitliklerin temel özelliklerinden, somut pratik değeri olan bir dizi özellik izler. Hadi onları parçalayalım.
Bu özellikle başlayalım: gerçek bir sayısal eşitliğin her iki kısmına da aynı sayıyı eklerseniz (veya çıkarırsanız), o zaman gerçek bir sayısal eşitlik elde edersiniz. Harfleri kullanarak şu şekilde yazılabilir: a ve b bazı sayılar olmak üzere a=b ise, herhangi bir c sayısı için a+c=b+c .
Doğrulamak için, (a+c)−(b+c) farkını oluştururuz. (a−b)+(c−c) biçimine dönüştürülebilir. Kural olarak a=b olduğundan, a−b=0 ve c−c=0 , yani (a−b)+(c−c)=0+0=0 . Bu, (a+c)−(b+c)=0 olduğunu, dolayısıyla a+c=b+c olduğunu kanıtlar.
Daha da ileri gideriz: gerçek bir sayısal eşitliğin her iki kısmı da herhangi bir sayı ile çarpılırsa veya sıfır olmayan bir sayıya bölünürse, o zaman doğru sayısal eşitliği elde ederiz. Yani, a=b ise, herhangi bir c sayısı için a c=b c ve c sıfır olmayan bir sayı ise, a:c=b:c .
Aslında, a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0 , bu da a·c ve b·c'nin ürünlerinin eşit olduğu anlamına gelir. Ve sıfır olmayan bir c sayısına bölme, 1/c ile çarpma olarak düşünülebilir.
Sayısal eşitliklerin analiz edilen özelliğinden, yararlı bir sonuç çıkar: a ve b sıfır ve eşit sayılardan farklıysa, karşılıkları da eşittir. Yani, eğer a≠0 , b≠0 ve a=b ise, o zaman 1/a=1/b . Son eşitliği kanıtlamak kolaydır: bunun için, orijinal a=b eşitliğinin her iki kısmını da a b çarpımına eşit sıfır olmayan bir sayıya bölmek yeterlidir.
Ve doğru sayısal eşitliklerin karşılık gelen kısımlarını toplamamıza ve çarpmamıza izin veren iki özellik üzerinde daha duralım.
Doğru sayısal eşitlikleri terim terim eklerseniz, doğru eşitliği elde edersiniz. Yani, eğer a=b ve c=d ise, o zaman a , b , c ve d sayıları için a+c=b+d olur.
Bu sayısal eşitlik özelliğini, zaten bildiğimiz özelliklerden başlayarak gerekçelendirelim. Gerçek bir eşitliğin her iki kısmına da herhangi bir sayı ekleyebileceğimiz bilinmektedir. a=b eşitliğinde c sayısını ve c+d eşitliğinde b sayısını toplarız, sonuç olarak a+c=b+c ve c+b=d+b doğru sayısal eşitliklerini elde ederiz, sonuncusunu b+c= b+d olarak yeniden yazıyoruz. a+c=b+c ve b+c=b+d eşitliklerinden, geçişlilik özelliğiyle, ispatlanması gereken a+c=b+d eşitliği izler.
Yalnızca iki doğru sayısal eşitlik değil, aynı zamanda üç, dört ve herhangi bir sonlu sayıdaki terimleri terim terim toplamanın da mümkün olduğuna dikkat edin.
Sayısal eşitliklerin özelliklerinin incelemesini aşağıdaki özellikle tamamlıyoruz: iki doğru sayısal eşitliği terim terimle çarparsak, doğru eşitliği elde ederiz. Resmi olarak formüle edelim: eğer a=b ve c=d ise, o zaman a c=b d .
Bu özelliğin ispatı, bir öncekinin ispatına benzer. Eşitliğin her iki tarafını da herhangi bir sayı ile çarpabilir, a=b'yi c ile ve c=d'yi b ile çarpabiliriz, doğru sayısal eşitlikleri elde ederiz a c=b c ve c b=d b , sonuncusunu b c=b d olarak yeniden yazarız . O halde, geçişlilik özelliğiyle, a·c=b·c ve b·c=b·d eşitlikleri, gerekli olan a·c=b·d eşitliğini ifade eder.
Seslendirilen özelliğin, üç veya daha fazla doğru sayısal eşitliğin terim terim çarpımı için doğru olduğuna dikkat edin. Bu ifadeden, eğer a=b ise, o zaman herhangi bir a ve b sayısı ve herhangi bir doğal sayı için n =b n olduğu sonucu çıkar.
Bu makalenin sonunda, sayısal eşitliklerin analiz edilen tüm özelliklerini bir tabloya yazıyoruz:
Bibliyografya.
- Moro M.I.. Matematik. Proc. 1 cl için erken okul 2'de Bölüm 1. (İlk yarı yıl) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - 6. baskı. - M.: Aydınlanma, 2006. - 112 s.: hasta + Ek. (2 ayrı l. hasta.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Cebir: ders kitabı 7 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 17. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.