Doğal dışındaki sayılar nelerdir? Prosedürler ve işlevler - sınıf yöntemleri
Bu makale "Gerçek sayılar" konusuna ayrılmıştır. Makale, gerçek sayıların tanımını verir, koordinat çizgisi üzerindeki konumlarını gösterir, gerçek sayıları sayısal ifadelerle belirtmenin yollarını tartışır.
Gerçek sayıların tanımı
Tam ve kesirli sayılar birlikte rasyonel sayıları oluşturur. Öte yandan rasyonel ve irrasyonel sayılar gerçek sayılardır. Gerçek sayıların ne olduğu nasıl tanımlanır?
tanım 1
Gerçek sayılar rasyonel ve irrasyonel sayılardır. Gerçek sayılar kümesi ile gösterilir R.
Bu tanım, aşağıdakiler dikkate alınarak farklı şekilde yazılabilir:
- Rasyonel sayılar, sonlu bir ondalık sayı veya sonsuz bir periyodik ondalık sayı olarak temsil edilebilir.
- İrrasyonel sayılar sonsuz, tekrar etmeyen ondalık sayılardır.
Gerçek sayılar- sonlu veya sonsuz (periyodik veya periyodik olmayan) ondalık kesir olarak yazılabilen sayılar.
Gerçek sayılar, herhangi bir rasyonel ve irrasyonel sayıdır. İşte bu tür sayılara örnekler: 0 ; 6; 458; 1863; 0.578; - 3 8 ; 265; 0.145 (3); günlük 5 12 .
Sıfır da gerçek bir sayıdır. Tanım olarak, hem pozitif hem de negatif gerçek sayılar vardır. Sıfır, ne pozitif ne de negatif olan tek gerçek sayıdır.
Gerçek sayıların diğer adı gerçek sayılardır. Bu sayılar, bu miktarın bir referans (tek) değerini girmeden sürekli değişen bir miktarın değerini tanımlamayı mümkün kılar.
Koordinat doğrusu ve gerçek sayılar
Koordinat olmayan bir doğru üzerindeki her nokta, belirli ve benzersiz bir gerçek sayıya karşılık gelir. Diğer bir deyişle, gerçek sayılar tüm koordinat doğrusunu kaplar ve eğrinin noktaları ile sayılar arasında bire bir yazışma vardır.
Gerçek sayıların temsilleri
Gerçek sayıların tanımı şunları içerir:
- Tamsayılar.
- Tüm sayılar.
- Ondalık sayılar.
- Sıradan kesirler.
- Karışık sayılar.
Ayrıca, gerçek sayılar genellikle kuvvetler, kökler ve logaritmalarla ifadeler olarak temsil edilir. Gerçek sayıların toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü de gerçek sayılardır.
Gerçek sayılardan oluşan herhangi bir ifadenin değeri de gerçek bir sayı olacaktır.
Örneğin sin 2 3 π e - 2 8 5 10 log 3 2 ve t g 6 7 6 693 - 8 π 3 2 ifadelerinin değerleri gerçek sayılardır.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Gerçek sayı kavramı: gerçek Numara- (gerçek sayı), negatif veya negatif olmayan herhangi bir sayı veya sıfır. Gerçek sayılar yardımıyla her bir fiziksel miktarın ölçümlerini ifade edin.
gerçek, veya gerçek Numara Geometriyi ölçme ihtiyacından doğdu ve fiziksel özellikler Barış. Ek olarak, kök çıkarma, logaritmayı hesaplama, cebirsel denklemleri çözme vb.
Saymanın gelişmesiyle doğal sayılar oluşmuş ve bütünün parçalarını yönetme ihtiyacı ile rasyonel sayılar, daha sonra sürekli nicelikleri ölçmek için reel sayılar (reel) kullanılmıştır. Böylece, dikkate alınan sayı stokunun genişlemesi, rasyonel sayılara ek olarak, adı verilen diğer öğelerden oluşan gerçek sayılar kümesine yol açmıştır. irrasyonel sayılar.
Gerçek sayılar kümesi(belirtilen R) rasyonel ve irrasyonel sayıların bir araya getirilmiş kümeleridir.
Gerçek sayılar bölünürakılcı ve mantıksız.
Gerçek sayılar kümesi gösterilir ve genellikle gerçek veya sayı doğrusu. Gerçek sayılar basit nesnelerden oluşur: tüm ve rasyonel sayılar.
Oran olarak yazılabilen bir sayı, buradam bir tamsayıdır ve nbir doğal sayıdırrasyonel sayı.
Herhangi bir rasyonel sayı, kolayca sonlu bir kesir veya sonsuz bir periyodik ondalık kesir olarak temsil edilebilir.
Örnek,
sonsuz ondalık, bu, ondalık noktadan sonra olan bir ondalık kesirdir. sonsuz sayı rakamlar.
olduğu gibi temsil edilemeyen sayılar irrasyonel sayılar.
Örnek:
Herhangi bir irrasyonel sayıyı sonsuz periyodik olmayan ondalık kesir olarak temsil etmek kolaydır.
Örnek,
Rasyonel ve irrasyonel sayılar oluşturur gerçek sayılar kümesi. Herkes gerçek sayılar olarak adlandırılan koordinat çizgisinin bir noktasına karşılık gelir. sayı doğrusu.
Sayısal kümeler için aşağıdaki gösterim kullanılır:
- N- bir çok doğal sayılar;
- Z- tamsayılar kümesi;
- Q- rasyonel sayılar kümesi;
- R reel sayılar kümesidir.
Sonsuz ondalık kesirler teorisi.
Gerçek bir sayı olarak tanımlanır sonsuz ondalık, yani:
±a 0 ,a 1a 2 …a n …
burada ±, + veya - sembollerinden biridir, bir sayının işaretidir,
0 pozitif bir tamsayıdır,
a 1 ,a 2 ,…a n ,… bir ondalık basamak dizisidir, yani. sayısal bir kümenin elemanları {0,1,…9}.
Sonsuz bir ondalık kesir, aşağıdaki gibi rasyonel noktalar arasındaki sayı doğrusunda bulunan bir sayı olarak açıklanabilir:
±a 0 ,a 1a 2 …a n ve ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) hepsi için n=0,1,2,…
Gerçek sayıların sonsuz ondalık kesirler olarak karşılaştırılması, azar azar gerçekleşir. Örneğin, 2 pozitif sayı verildiğini varsayalım:
α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …
β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …
Eğer bir 0 0, sonra α<β ; eğer a0 >b0 sonra α>β . Ne zaman 0 = b 0 Bir sonraki seviye karşılaştırmasına geçelim. Vb. Ne zaman α≠β , bu nedenle sonlu sayıda adımdan sonra ilk rakamla karşılaşılacaktır n, öyle ki bir n ≠ bn. Eğer bir bir n n, sonra α<β ; eğer bir n > bn sonra α>β .
Ancak aynı zamanda, sayıya dikkat etmek sıkıcıdır. a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Bu nedenle, belirli bir basamaktan başlayarak karşılaştırılan sayılardan birinin kaydı, periyotta 9 olan periyodik bir ondalık kesir ise, o zaman periyotta sıfır olan eşdeğer bir kayıtla değiştirilmelidir.
Sonsuz ile aritmetik işlemler ondalık sayılar rasyonel sayılar üzerinde karşılık gelen işlemlerin sürekli bir uzantısıdır. Örneğin, gerçek sayıların toplamı α ve β gerçek bir sayıdır α+β , aşağıdaki koşulları karşılayan:
∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a'')∧ (b'⩽ β ⩽ b'')⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)
Benzer şekilde sonsuz ondalık kesirleri çarpma işlemini tanımlar.
Sayıları, özellikle de doğal sayıları anlamak, en eski matematiksel "becerilerden" biridir. Birçok uygarlık, hatta modern olanlar bile, doğayı tanımlamadaki büyük önemlerinden dolayı sayılara bazı mistik özellikler atfetmiştir. Rağmen modern bilim ve matematik bu "sihirli" özellikleri doğrulamaz, sayı teorisinin önemi yadsınamaz.
Tarihsel olarak, birçok doğal sayı önce ortaya çıktı, daha sonra oldukça kısa bir süre sonra onlara kesirler ve pozitif irrasyonel sayılar eklendi. sıfır ve negatif sayılar gerçek sayılar kümesinin bu alt kümelerinden sonra tanıtıldı. Son set, set Karışık sayılar ancak modern bilimin gelişmesiyle ortaya çıktı.
Modern matematikte, sayılara oldukça yakın olmasına rağmen, tarihsel sıraya göre girilmez.
Doğal sayılar $\mathbb(N)$
Doğal sayılar kümesi genellikle $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ olarak belirtilir ve genellikle $\mathbb(N)_0$'ı belirtmek için sıfır ile doldurulur.
$\mathbb(N)$, herhangi bir $a,b,c\in \mathbb(N)$ için aşağıdaki özelliklerle toplama (+) ve çarpma ($\cdot$) işlemlerini tanımlar:
1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ $\mathbb(N)$ kümesi toplama ve çarpma işlemine göre kapalıdır
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ değişebilirlik
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ilişkilendirilebilirlik
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ dağılımı
5. $a\cdot 1=a$ çarpma için nötr elemandır
$\mathbb(N)$ kümesi çarpma için nötr bir öğe içerdiğinden, toplama için değil, bu kümeye sıfır eklemek, toplama için nötr bir öğe içermesini sağlar.
Bu iki işleme ek olarak, $\mathbb(N)$ kümesinde "küçüktür" ($
1. $a b$ trikotomi
2. $a\leq b$ ve $b\leq a$ ise, o zaman $a=b$ bir antisimetridir
3. $a\leq b$ ve $b\leq c$ ise, o zaman $a\leq c$ geçişlidir
4. $a\leq b$ ise, o zaman $a+c\leq b+c$
5. $a\leq b$ ise, o zaman $a\cdot c\leq b\cdot c$
Tamsayılar $\mathbb(Z)$
Tamsayı örnekleri:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
$a$ ve $b$'ın bilinen doğal sayılar olduğu ve $x$'ın bilinmeyen bir doğal sayı olduğu $a+x=b$ denkleminin çözümü, yeni bir işlemin - çıkarmanın (-) kullanılmasını gerektirir. Bu denklemi sağlayan bir doğal sayı $x$ varsa, o zaman $x=b-a$. Bununla birlikte, bu özel denklemin mutlaka $\mathbb(N)$ kümesi üzerinde bir çözümü yoktur, bu nedenle pratik hususlar, doğal sayılar kümesinin böyle bir denklemin çözümlerini içerecek şekilde genişletilmesini gerektirir. Bu, bir tamsayı kümesinin tanıtılmasına yol açar: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.
$\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ olduğundan, daha önce tanıtılan $+$ ve $\cdot$ işlemlerinin ve $ 1 ilişkisinin olduğunu varsaymak mantıklıdır. $0+a=a+0=a$ eklemeler için nötr bir unsur var
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$ için karşıt bir $-a$ sayısı var
5. Mülkiyet:
5. $0\leq a$ ve $0\leq b$ ise, o zaman $0\leq a\cdot b$
$\mathbb(Z) $ kümesi de çıkarma işleminde kapalıdır, yani $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.
Rasyonel sayılar $\mathbb(Q)$
Rasyonel sayılara örnekler:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
Şimdi $a\cdot x=b$ biçimindeki denklemleri düşünün, burada $a$ ve $b$ bilinen tamsayılar ve $x$ bilinmiyor. Çözümü mümkün kılmak için, bölme işlemini ($:$) tanıtmak gerekir ve çözüm $x=b:a$, yani $x=\frac(b)(a)$ olur. Yine, $x$'ın her zaman $\mathbb(Z)$'a ait olmadığı sorunu ortaya çıkar, bu nedenle tamsayılar kümesi genişletilmelidir. Böylece, $\mathbb(Q)$ rasyonel sayılar kümesini $\frac(p)(q)$ öğeleriyle tanıtıyoruz, burada $p\in \mathbb(Z)$ ve $q\in \mathbb(N) $. $\mathbb(Z)$ kümesi, her öğenin $q=1$ olduğu bir altkümedir, dolayısıyla $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ ve toplama ve çarpma işlemleri de buna göre bu kümeye uygulanır. $\mathbb(Q)$ kümesinde de yukarıdaki tüm özellikleri koruyan aşağıdaki kurallara:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
Bölme şu şekilde girilir:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
$\mathbb(Q)$ kümesinde, $a\cdot x=b$ denkleminin her bir $a\neq 0$ için benzersiz bir çözümü vardır (sıfıra bölme tanımlanmamıştır). Bu, $\frac(1)(a)$ veya $a^(-1)$ ters elemanı olduğu anlamına gelir:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\vardır \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
$\mathbb(Q)$ kümesinin sırası şu şekilde genişletilebilir:
$\frac(p_1)(q_1)
$\mathbb(Q)$ kümesinde bir tane var önemli özellik: herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda başka rasyonel sayı vardır, bu nedenle doğal ve tam sayı kümelerinin aksine iki komşu rasyonel sayı yoktur.
İrrasyonel sayılar $\mathbb(I)$
İrrasyonel sayılara örnekler:
$\sqrt(2) \yaklaşık 1.41422135...$
$\pi \yaklaşık 3.1415926535...$
Herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda başka rasyonel sayı olduğundan, rasyonel sayılar kümesinin o kadar yoğun olduğu ve onu daha fazla genişletmeye gerek olmadığı şeklinde hatalı bir sonuca varmak kolaydır. Pisagor bile bir zamanlar böyle bir hata yaptı. Ancak çağdaşları, rasyonel sayılar kümesinde $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) denkleminin çözümlerini incelerken bu sonucu zaten çürüttüler. Böyle bir denklemi çözmek için, karekök kavramını tanıtmak gerekir ve sonra bu denklemin çözümü $x=\sqrt(2)$ biçimindedir. $a$'ın bilinen bir rasyonel sayı ve $x$'ın bilinmeyen olduğu $x^2=a$ türünde bir denklem, rasyonel sayılar kümesinde her zaman bir çözüme sahip değildir ve yine bir ihtiyaç vardır. Seti genişletmek için Bir dizi irrasyonel sayı ortaya çıkar ve $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... gibi sayılar bu kümeye aittir.
Gerçek sayılar $\mathbb(R)$
Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi gerçek sayılar kümesidir. $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$ olduğundan, tanıtılan aritmetik işlemlerin ve ilişkilerin özelliklerini yeni kümede koruduğunu varsaymak yine mantıklıdır. Bunun formel kanıtı çok zordur, bu nedenle aritmetik işlemlerin ve gerçek sayılar kümesindeki ilişkilerin yukarıda belirtilen özellikleri aksiyomlar olarak tanıtılır. Cebirde böyle bir nesneye alan adı verilir, bu nedenle gerçek sayılar kümesine sıralı alan denir.
Gerçek sayılar kümesinin tanımının tamamlanması için, $\mathbb(Q)$ ve $\mathbb(R)$ kümelerini birbirinden ayıran ek bir aksiyom eklemek gerekir. $S$'ın gerçek sayılar kümesinin boş olmayan bir alt kümesi olduğunu varsayalım. Bir $b\in \mathbb(R)$ öğesi, $\forall x\in S$ $x\leq b$'ı karşılıyorsa, $S$'ın üst sınırı olarak adlandırılır. O zaman $S$ kümesinin yukarıdan sınırlı olduğu söylenir. Bir $S$ kümesinin en küçük üst sınırına supremum denir ve $\sup S$ ile gösterilir. Bir alt sınır, aşağıda sınırlı bir küme ve bir sonsuz $\inf S$ kavramları benzer şekilde tanıtılır. Şimdi eksik aksiyom şu şekilde formüle edilir:
Herhangi bir boş olmayan ve reel sayılar kümesinin yukarıdaki alt kümesinden sınırlı bir üstünlüğü vardır.
Yukarıda tanımlanan reel sayıların alanının benzersiz olduğu da kanıtlanabilir.
Karmaşık sayılar$\mathbb(C)$
Karmaşık sayılara örnekler:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ burada $i = \sqrt(-1)$ veya $i^2 = -1$
Karmaşık sayılar kümesi sıralı gerçek sayı çiftleridir, yani $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, üzerinde toplama ve çarpma aşağıdaki şekilde tanımlanır:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Karmaşık sayıları yazmanın birkaç yolu vardır; bunlardan en yaygını $z=a+ib$'dır; burada $(a,b)$ bir gerçek sayı çiftidir ve $i=(0,1)$ sayısıdır. hayali birim denir.
$i^2=-1$ olduğunu göstermek kolaydır. $\mathbb(R)$ kümesinin $\mathbb(C)$ kümesine uzantısı, tanımlamamızı sağlar Kare kök karmaşık sayılar kümesinin tanıtılmasının nedeni olan negatif sayılar. $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ olarak verilen $\mathbb(C)$ kümesinin bir alt kümesinin tümünü karşıladığını göstermek de kolaydır. gerçek sayılar için aksiyomlar, dolayısıyla $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ veya $R\subset\mathbb(C)$.
$\mathbb(C)$ kümesinin toplama ve çarpma işlemlerine göre cebirsel yapısı aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1. toplama ve çarpmanın değişebilirliği
2. toplama ve çarpmanın birlikteliği
3. $0+i0$ - ekleme için nötr eleman
4. $1+i0$ - çarpma için nötr eleman
5. çarpma toplamaya göre dağılır
6. Hem toplama hem de çarpma için tek bir ters eleman vardır.
Geniş çeşitlilikten setlerözellikle ilgi çeken sözde sayı kümeleri yani elemanları sayı olan kümeler. Onlarla rahat çalışmak için onları yazabilmeniz gerektiği açıktır. Sayısal kümeleri yazmanın gösterimi ve ilkeleri ile bu makaleye başlayacağız. Ardından, koordinat çizgisinde sayısal kümelerin nasıl gösterildiğini ele alacağız.
Sayfa gezintisi.
Sayısal Kümeleri Yazma
Kabul edilen gösterimle başlayalım. Bildiğiniz gibi kümeleri belirtmek için büyük harfler Latin alfabesi. gibi sayısal kümeler özel durum kümeler de belirtilir. Örneğin, A , H , W vb. sayısal kümeler hakkında konuşabiliriz. Kendi tanımlarının benimsendiği doğal, tamsayı, rasyonel, gerçek, karmaşık sayılar vb. kümeleri özellikle önemlidir:
- N, tüm doğal sayıların kümesidir;
- Z tamsayılar kümesidir;
- Q, rasyonel sayılar kümesidir;
- J irrasyonel sayılar kümesidir;
- R reel sayılar kümesidir;
- C karmaşık sayılar kümesidir.
Bundan, örneğin 5 ve -7 gibi iki sayıdan oluşan bir kümeyi Q olarak belirtmenin gerekli olmadığı açıktır, Q harfi genellikle tüm rasyonel sayıların kümesini gösterdiğinden, bu atama yanıltıcı olacaktır. Belirtilen sayısal kümeyi belirlemek için, örneğin A gibi başka bir "nötr" harf kullanmak daha iyidir.
Notasyondan bahsettiğimiz için burada boş bir kümenin, yani eleman içermeyen bir kümenin notasyonunu da hatırlıyoruz. ∅ işareti ile gösterilir.
Bir kümedeki bir elemanın üyeliği ve üye olmama durumunu da hatırlayalım. Bunu yapmak için ∈ - ait ve ∉ - ait değil işaretlerini kullanın. Örneğin, 5∈N girişi, 5 sayısının doğal sayılar kümesine ait olduğu ve 5.7∉Z - ondalık kesir 5.7'nin tam sayılar kümesine ait olmadığı anlamına gelir.
Bir kümeyi diğerine dahil etmek için benimsenen gösterimi de hatırlayalım. N kümesinin tüm elemanlarının Z kümesine dahil olduğu açıktır, dolayısıyla N sayısı Z kümesine dahil edilir, bu N⊂Z olarak gösterilir. Z⊃N gösterimini de kullanabilirsiniz; bu, tüm Z tamsayılarının kümesinin N kümesini içerdiği anlamına gelir. Dahil edilmeyen ve dahil edilmeyen ilişkiler sırasıyla ⊄ ve , işaretleri ile gösterilir. ⊆ ve ⊇ formunun katı olmayan dahil etme işaretleri de kullanılır, yani sırasıyla dahil edilir veya eşleşir ve içerir veya eşleşir.
Notasyondan bahsetmiştik, şimdi sayısal kümelerin tanımına geçelim. Bu durumda, sadece pratikte en sık kullanılan ana davalara değineceğiz.
Sonlu ve az sayıda eleman içeren sayısal kümelerle başlayalım. Sonlu sayıda elemandan oluşan sayısal kümeler, tüm elemanları listelenerek rahatlıkla tanımlanabilir. Tüm sayı öğeleri, virgülle ayrılmış olarak yazılır ve ortak değerlerle tutarlı olarak içine alınır. açıklama kurallarını ayarla. Örneğin, 0 , −0.25 ve 4/7 olmak üzere üç sayıdan oluşan bir küme (0, −0.25, 4/7) olarak tanımlanabilir.
Bazen, sayısal bir kümenin öğelerinin sayısı yeterince büyük olduğunda, ancak öğeler bazı örüntülere uyduğunda, açıklamak için üç nokta kullanılır. Örneğin, 3'ten 99'a kadar olan tüm tek sayılar kümesi (3, 5, 7, ..., 99) şeklinde yazılabilir.
Böylece, elemanlarının sayısı sonsuz olan sayısal kümelerin tanımına sorunsuz bir şekilde yaklaştık. Bazen aynı üç nokta kullanılarak tanımlanabilirler. Örneğin, tüm doğal sayılar kümesini tanımlayalım: N=(1, 2. 3, …) .
Ayrıca, elemanlarının özelliklerini belirterek sayısal kümelerin tanımını kullanırlar. Bu durumda, notasyon (x| özellikleri) kullanılır. Örneğin, (n| 8 n+3, n∈N) gösterimi, 8'e bölündüğünde 3 kalanını veren doğal sayılar kümesini tanımlar. Aynı küme (11,19, 27, ...) olarak da tanımlanabilir.
Özel durumlarda, sonsuz sayıda elemanlı sayısal kümeler, bilinen N , Z , R , vb. kümelerdir. veya sayı boşlukları. Ve genel olarak, sayısal kümeler şu şekilde temsil edilir: bir dernek onları oluşturan bireysel sayısal aralıklar ve sonlu sayıda eleman içeren sayısal kümeler (biraz daha yukarıda bahsettiğimiz).
Bir örnek gösterelim. Sayı kümesi −10 , −9 , −8.56 , 0 sayıları, [−5, −1.3] aralığının tüm sayıları ve açık sayı ışınının (7, +∞) sayıları olsun. Kümelerin birleşiminin tanımı sayesinde, belirtilen sayısal küme şu şekilde yazılabilir: {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Böyle bir gösterim aslında (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] ve (7, +∞) kümelerinin tüm öğelerini içeren bir küme anlamına gelir.
Benzer şekilde, çeşitli sayısal aralıkları ve kümeleri birleştirerek bireysel sayılar, herhangi bir sayısal küme (gerçek sayılardan oluşan) tanımlanabilir. Burada aralık, yarı aralık, segment, açık gibi sayısal aralık türlerinin neden açıklandığı ortaya çıkıyor. sayı ışını ve bir sayı ışını: hepsi, bireysel sayı kümelerinin gösterimi ile birlikte, birleşimleri aracılığıyla herhangi bir sayı kümesini tanımlamayı mümkün kılar.
Lütfen bir sayısal küme yazarken, onu oluşturan sayıların ve sayısal aralıklarının artan düzende sıralandığını unutmayın. Bu zorunlu değil, istenen bir koşuldur, çünkü sıralı bir sayısal kümenin bir koordinat çizgisinde temsil edilmesi ve gösterilmesi daha kolaydır. Ayrıca, bu tür girişlerin ortak öğeler içeren sayısal aralıkları kullanmadığına dikkat edin, çünkü bu tür girişler, ortak öğeleri olmayan sayısal aralıkların birleşimi ile değiştirilebilir. Örneğin, [−10, 0] ve (−5, 3) ortak öğeleriyle sayısal kümelerin birleşimi bir yarı aralıktır [−10, 3) . Aynısı, aynı sınır sayılarına sahip sayısal aralıkların birleşimi için de geçerlidir, örneğin, (3, 5]∪(5, 7] birleşimi bir (3, 7] kümesidir, bunu öğrendiğimizde bunun üzerinde ayrıca duracağız. sayısal kümelerin kesişimini ve birleşimini bulun.
Koordinat çizgisindeki sayı kümelerinin görüntüsü
Pratikte, sayısal kümelerin geometrik görüntülerini kullanmak uygundur - görüntüleri . Örneğin, ne zaman eşitsizlikleri çözme ODZ'yi hesaba katmanın gerekli olduğu durumlarda, kesişimlerini ve / veya birliklerini bulmak için sayısal kümeleri tasvir etmek gerekir. Bu nedenle, koordinat çizgisi üzerinde sayısal kümelerin temsilinin tüm nüanslarını iyi anlamak faydalı olacaktır.
Koordinat çizgisinin noktaları ile gerçek sayılar arasında bire bir yazışma olduğu bilinmektedir, bu da koordinat çizgisinin kendisinin tüm gerçek sayılar R kümesinin geometrik bir modeli olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, tüm gerçek sayıların kümesini göstermek için, tüm uzunluğu boyunca taramalı bir koordinat çizgisi çizmek gerekir:
Ve çoğu zaman orijini ve tek bir segmenti bile göstermezler:
Şimdi sonlu sayıda bireysel sayı olan sayısal kümelerin görüntüsü hakkında konuşalım. Örneğin, (−2, −0.5, 1.2) sayı kümesini çizelim. -2, -0.5 ve 1.2 olmak üzere üç sayıdan oluşan bu kümenin geometrik görüntüsü, karşılık gelen koordinatlarla koordinat çizgisinin üç noktası olacaktır:
Genellikle uygulama ihtiyaçları için çizimi doğru bir şekilde gerçekleştirmeye gerek olmadığını unutmayın. Genellikle şematik bir çizim yeterlidir, bu da ölçeğin korunmasının gerekli olmadığı, yalnızca bakımın önemli olduğu anlamına gelir. karşılıklı düzenleme birbirine göre noktalar: daha küçük bir koordinata sahip herhangi bir nokta, daha büyük bir koordinata sahip bir noktanın solunda olmalıdır. Önceki çizim şematik olarak şöyle görünecektir:
Ayrı olarak, tüm olası sayısal kümelerden, geometrik görüntülerini temsil eden sayısal aralıklar (aralıklar, yarı aralıklar, ışınlar vb.) Bölümde ayrıntılı olarak inceledik. Burada kendimizi tekrarlamayacağız.
Ve sadece birkaç sayısal aralığın ve bireysel sayılardan oluşan kümelerin birleşimi olan sayısal kümelerin görüntüsü üzerinde durmak kalır. Burada zor bir şey yok: Birliğin anlamına göre, bu durumlarda, belirli bir sayısal kümenin kümesinin tüm bileşenlerini koordinat çizgisinde göstermeniz gerekir. Örnek olarak, bir sayı kümesinin görüntüsünü gösterelim (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪
(log 2 5, 5)∪(17, +∞) :
Ve gösterilen sayısal kümenin, bir veya daha fazla nokta dışında, tüm gerçek sayılar kümesi olduğu oldukça yaygın durumlar üzerinde duralım. Bu tür kümeler genellikle x≠5 veya x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 vb. koşullarla belirtilir. Bu durumlarda geometrik olarak, karşılık gelen noktalar dışında tüm koordinat çizgisini temsil ederler. Başka bir deyişle, bu noktalar koordinat çizgisinden "zımbalanmalıdır". Boş bir merkezi olan daireler olarak tasvir edilirler. Netlik için, koşullara karşılık gelen sayısal bir kümeyi gösteriyoruz. (bu küme esasen ):
Özetle. İdeal olarak, önceki paragraflardaki bilgiler, bireysel sayısal aralıkların görünümü ile sayısal kümelerin kaydının ve temsilinin aynı görünümünü oluşturmalıdır: sayısal bir kümenin kaydı, görüntüsünü hemen koordinat çizgisinde ve sonraki görüntüden itibaren vermelidir. Koordinat çizgisinde, bireysel boşlukların ve bireysel sayılardan oluşan kümelerin birleşimi yoluyla karşılık gelen sayısal kümeyi kolayca tanımlamaya hazır olmalıyız.
Bibliyografya.
- Cebir: ders kitabı 8 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Cebir. 9. sınıf 14:00 Bölüm 1. Öğrenci ders kitabı Eğitim Kurumları/ A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - 13. baskı, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01752-3.
Gerçek sayı kavramı: gerçek Numara- (gerçek sayı), negatif veya negatif olmayan herhangi bir sayı veya sıfır. Gerçek sayılar yardımıyla her bir fiziksel miktarın ölçümlerini ifade edin.
gerçek, veya gerçek Numara dünyanın geometrik ve fiziksel niceliklerini ölçme ihtiyacından doğmuştur. Ek olarak, kök çıkarma, logaritmayı hesaplama, cebirsel denklemleri çözme vb.
Saymanın gelişmesiyle doğal sayılar oluşmuş ve bütünün parçalarını yönetme ihtiyacı ile rasyonel sayılar, daha sonra sürekli nicelikleri ölçmek için reel sayılar (reel) kullanılmıştır. Böylece, dikkate alınan sayı stokunun genişlemesi, rasyonel sayılara ek olarak, adı verilen diğer öğelerden oluşan gerçek sayılar kümesine yol açmıştır. irrasyonel sayılar.
Gerçek sayılar kümesi(belirtilen R) rasyonel ve irrasyonel sayıların bir araya getirilmiş kümeleridir.
Gerçek sayılar bölünürakılcı ve mantıksız.
Gerçek sayılar kümesi gösterilir ve genellikle gerçek veya sayı doğrusu. Gerçek sayılar basit nesnelerden oluşur: tüm ve rasyonel sayılar.
Oran olarak yazılabilen bir sayı, buradam bir tamsayıdır ve nbir doğal sayıdırrasyonel sayı.
Herhangi bir rasyonel sayı, kolayca sonlu bir kesir veya sonsuz bir periyodik ondalık kesir olarak temsil edilebilir.
Örnek,
sonsuz ondalık, ondalık noktadan sonra sonsuz sayıda basamağı olan bir ondalık kesirdir.
olduğu gibi temsil edilemeyen sayılar irrasyonel sayılar.
Örnek:
Herhangi bir irrasyonel sayıyı sonsuz periyodik olmayan ondalık kesir olarak temsil etmek kolaydır.
Örnek,
Rasyonel ve irrasyonel sayılar oluşturur gerçek sayılar kümesi. Tüm gerçek sayılar, koordinat doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir. sayı doğrusu.
Sayısal kümeler için aşağıdaki gösterim kullanılır:
- N- doğal sayılar kümesi;
- Z- tamsayılar kümesi;
- Q- rasyonel sayılar kümesi;
- R reel sayılar kümesidir.
Sonsuz ondalık kesirler teorisi.
Gerçek bir sayı olarak tanımlanır sonsuz ondalık, yani:
±a 0 ,a 1a 2 …a n …
burada ±, + veya - sembollerinden biridir, bir sayının işaretidir,
0 pozitif bir tamsayıdır,
a 1 ,a 2 ,…a n ,… bir ondalık basamak dizisidir, yani. sayısal bir kümenin elemanları {0,1,…9}.
Sonsuz bir ondalık kesir, aşağıdaki gibi rasyonel noktalar arasındaki sayı doğrusunda bulunan bir sayı olarak açıklanabilir:
±a 0 ,a 1a 2 …a n ve ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) hepsi için n=0,1,2,…
Gerçek sayıların sonsuz ondalık kesirler olarak karşılaştırılması, azar azar gerçekleşir. Örneğin, 2 pozitif sayı verildiğini varsayalım:
α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …
β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …
Eğer bir 0 0, sonra α<β ; eğer a0 >b0 sonra α>β . Ne zaman 0 = b 0 Bir sonraki seviye karşılaştırmasına geçelim. Vb. Ne zaman α≠β , bu nedenle sonlu sayıda adımdan sonra ilk rakamla karşılaşılacaktır n, öyle ki bir n ≠ bn. Eğer bir bir n n, sonra α<β ; eğer bir n > bn sonra α>β .
Ancak aynı zamanda, sayıya dikkat etmek sıkıcıdır. a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Bu nedenle, belirli bir basamaktan başlayarak karşılaştırılan sayılardan birinin kaydı, periyotta 9 olan periyodik bir ondalık kesir ise, o zaman periyotta sıfır olan eşdeğer bir kayıtla değiştirilmelidir.
Sonsuz ondalık kesirli aritmetik işlemler, rasyonel sayılarla karşılık gelen işlemlerin sürekli bir devamıdır. Örneğin, gerçek sayıların toplamı α ve β gerçek bir sayıdır α+β , aşağıdaki koşulları karşılayan:
∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a'')∧ (b'⩽ β ⩽ b'')⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)
Benzer şekilde sonsuz ondalık kesirleri çarpma işlemini tanımlar.