Binom dağılımının ana parametresidir. Ayrık bir rastgele değişkenin binom dağılımı
Binom dağılımı, ayrık olarak değişen en önemli olasılık dağılımlarından biridir. rastgele değişken. Binom dağılımı, bir sayının olasılık dağılımıdır. m Etkinlik ANCAK içinde n karşılıklı bağımsız gözlemler. Genellikle bir olay ANCAK gözlemin "başarısı" ve bunun tersi olay - "başarısızlık" olarak adlandırılır, ancak bu atama çok şartlıdır.
Binom dağılımının şartları:
- toplamda gerçekleştirilen n olayın olduğu denemeler ANCAK olabilir veya olmayabilir;
- Etkinlik ANCAK denemelerin her birinde aynı olasılıkla gerçekleşebilir p;
- testler birbirinden bağımsızdır.
İçinde olma olasılığı n test etkinliği ANCAK kesinlikle m kez, Bernoulli formülü kullanılarak hesaplanabilir:
nerede p- olayın gerçekleşme olasılığı ANCAK;
q = 1 - p tersi olayın olma olasılığıdır.
çözelim Binom dağılımının neden yukarıda açıklanan şekilde Bernoulli formülüyle ilişkili olduğu . Etkinlik - başarı sayısı n testler, her birinde başarı elde edilen bir dizi seçeneğe bölünmüştür. m denemeler ve başarısızlık - n - m testler. Bu seçeneklerden birini düşünün - B1 . Olasılıkların toplanması kuralına göre, zıt olayların olasılıklarını çarpıyoruz:
,
ve belirtirsek q = 1 - p, sonra
.
Aynı olasılık, başka bir seçeneğe de sahip olacaktır. m başarı ve n - m başarısızlıklar Bu tür seçeneklerin sayısı, mümkün olduğu yolların sayısına eşittir. n test almak m başarı.
Tüm olasılıkların toplamı m olay numarası ANCAK(0'dan 0'a kadar olan sayılar n) bire eşittir:
burada her terim Newton binomunun bir terimidir. Bu nedenle, dikkate alınan dağılıma binom dağılımı denir.
Pratikte, genellikle olasılıkları "en fazla" hesaplamak gerekir. m başarılı olmak n testler" veya "en azından m başarılı olmak n testler". Bunun için aşağıdaki formüller kullanılır.
integral fonksiyonu, yani olasılık F(m) içinde n gözlem olayı ANCAK bir daha gelmeyecek m bir Zamanlar, aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Sırasıyla olasılık F(≥m) içinde n gözlem olayı ANCAK en azından gel m bir Zamanlar, şu formülle hesaplanır:
Bazen şu olasılığı hesaplamak daha uygundur: n gözlem olayı ANCAK bir daha gelmeyecek m kez, zıt olayın olasılığı aracılığıyla:
.
Formüllerden hangisinin kullanılacağı, hangisinin daha az terim içerdiğine bağlıdır.
Binom dağılımının özellikleri aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır. .
Beklenen değer: .
dağılım: .
Standart sapma: .
MS Excel'de binom dağılımı ve hesaplamaları
Binom Dağılım Olasılığı P n ( m) ve integral fonksiyonunun değeri F(m) MS Excel BINOM.DIST işlevi kullanılarak hesaplanabilir. Karşılık gelen hesaplama penceresi aşağıda gösterilmiştir (büyütmek için farenin sol tuşuna tıklayın).
MS Excel, aşağıdaki verileri girmenizi gerektirir:
- başarı sayısı;
- test sayısı;
- başarı olasılığı;
- integral - mantıksal değer: 0 - olasılığı hesaplamanız gerekiyorsa P n ( m) ve 1 - eğer olasılık F(m).
örnek 1Şirketin yöneticisi, son 100 gün içinde satılan kamera sayısıyla ilgili bilgileri özetledi. Tablo, bilgileri özetlemekte ve günlük belirli sayıda kameranın satılma olasılıklarını hesaplamaktadır.
13 veya daha fazla kamera satılırsa gün kârla sona erer. Günün kârlı geçmesi olasılığı:
Günün kârsız çalışılması olasılığı:
Günün kârlı olma olasılığı sabit ve 0,61'e eşit olsun ve günde satılan kamera sayısı güne bağlı değil. Daha sonra olayın olduğu binom dağılımını kullanabilirsiniz. ANCAK- gün kârlı, - kârsız işlenir.
6 günün tamamının kârla sonuçlanma olasılığı:
.
Aynı sonucu MS Excel BINOM.DIST işlevini kullanarak elde ederiz (integral değerinin değeri 0'dır):
P 6 (6 ) = BİNOM.DAĞ(6; 6; 0.61; 0) = 0.052.
6 gün içinde 4 ve daha fazla gün bir kar ile çalışılacaktır:
nerede ,
,
MS Excel BINOM.DIST işlevini kullanarak, 6 günden en fazla 3 günün kârla tamamlanma olasılığını hesaplıyoruz (integral değerin değeri 1'dir):
P 6 (≤3 ) = BİNOM.DAĞ(3, 6, 0,61, 1) = 0,435.
6 günün tamamının kayıplarla sonuçlanma olasılığı:
,
Aynı göstergeyi MS Excel BINOM.DIST işlevini kullanarak hesaplıyoruz:
P 6 (0 ) = BİNOM.DAĞ(0; 6; 0.61; 0) = 0.0035.
Sorunu kendiniz çözün ve sonra çözümü görün
Örnek 2 Bir vazoda 2 beyaz ve 3 siyah top vardır. Vazodan bir top alınır, renk ayarlanır ve geri konur. Deneme 5 kez tekrarlanır. Beyaz topların görünme sayısı ayrı bir rastgele değişkendir. X, binom yasasına göre dağıtılır. Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını oluşturun. Modu, matematiksel beklentiyi ve varyansı belirleyin.
Sorunları birlikte çözmeye devam ediyoruz
Örnek 3İtibaren kurye servisi tesislere gitti n= 5 kurye. Bir olasılık ile her kurye p= 0.3, diğerlerinden bağımsız olarak nesne için geç. Ayrık rassal değişken X- geç kurye sayısı. Bu rastgele değişkenin bir dağılım serisini oluşturun. Matematiksel beklentisini, varyansını, standart sapmasını bulun. En az iki kuryenin nesnelere geç kalma olasılığını bulun.
Bu ve sonraki birkaç notta, rastgele olayların matematiksel modellerini ele alacağız. Matematiksel model rastgele bir değişkeni temsil eden matematiksel bir ifadedir. Kesikli rastgele değişkenler için bu matematiksel ifade dağıtım fonksiyonu olarak bilinir.
Sorun, rastgele bir değişkeni temsil eden matematiksel bir ifadeyi açıkça yazmanıza izin veriyorsa, değerlerinden herhangi birinin tam olasılığını hesaplayabilirsiniz. Bu durumda dağıtım fonksiyonunun tüm değerlerini hesaplayabilir ve listeleyebilirsiniz. İş, sosyolojik ve tıbbi uygulamalarda rastgele değişkenlerin çeşitli dağılımları vardır. En kullanışlı dağılımlardan biri binomdur.
Binom dağılımı aşağıdaki özelliklerle karakterize edilen durumları modellemek için kullanılır.
- Örnek sabit sayıda elemandan oluşur n bazı testlerin sonucunu temsil ediyor.
- Her bir örnek eleman, tüm örnek uzayını kapsayan, birbirini dışlayan iki kategoriden birine aittir. Tipik olarak, bu iki kategoriye başarı ve başarısızlık denir.
- Başarı Olasılığı R sabittir. Bu nedenle, başarısızlık olasılığı 1 - p.
- Herhangi bir denemenin sonucu (yani başarı veya başarısızlık), başka bir araştırmanın sonucundan bağımsızdır. Sonuçların bağımsızlığını sağlamak için, örnek öğeler genellikle iki farklı yöntem kullanılarak elde edilir. Her örnek eleman, ikamesiz sonsuz bir popülasyondan veya ikameli sonlu bir popülasyondan rastgele çekilir.
Notu veya biçiminde indirin, örnekler biçiminde
Binom dağılımı, aşağıdakilerden oluşan bir örneklemdeki başarı sayısını tahmin etmek için kullanılır. n gözlemler. Örnek olarak siparişi ele alalım. Saxon Company müşterileri, sipariş vermek ve şirkete göndermek için etkileşimli bir elektronik form kullanabilir. Daha sonra bilgi sistemi, siparişlerde herhangi bir hata olup olmadığını, eksik veya yanlış bilgi olup olmadığını kontrol eder. Şüpheli herhangi bir sipariş işaretlenir ve günlük istisna raporuna dahil edilir. Şirket tarafından toplanan veriler, siparişlerde hata olasılığının 0,1 olduğunu gösteriyor. Şirket, belirli bir örnekte belirli sayıda hatalı sipariş bulma olasılığının ne olduğunu bilmek ister. Örneğin, müşterilerin dört elektronik form doldurduğunu varsayalım. Tüm siparişlerin hatasız olma olasılığı nedir? Bu olasılık nasıl hesaplanır? Başarı derken, formu doldururken bir hatayı kastediyoruz ve diğer tüm sonuçları başarısızlık olarak kabul edeceğiz. Belirli bir örnekteki hatalı siparişlerin sayısıyla ilgilendiğimizi hatırlayın.
Hangi sonuçları gözlemleyebiliriz? Örnek dört siparişten oluşuyorsa, bir, iki, üç veya dördü yanlış olabilir, ayrıca hepsi doğru doldurulabilir. Yanlış doldurulmuş formların sayısını açıklayan rastgele değişken başka bir değer alabilir mi? Bu mümkün değildir çünkü hatalı doldurulmuş formların sayısı örneklem büyüklüğünü aşamaz. n veya olumsuz olun. Böylece binom dağılım yasasına uyan bir rastgele değişken 0'dan 0'a kadar değerler alır. n.
Dört siparişlik bir örneklemde aşağıdaki sonuçların gözlemlendiğini varsayalım:
Dört siparişlik bir örneklemde ve belirtilen sırada üç hatalı sipariş bulma olasılığı nedir? Ön çalışmalar, formu doldurmada hata olasılığının 0.10 olduğunu gösterdiğinden, yukarıdaki sonuçların olasılıkları aşağıdaki gibi hesaplanır:
Sonuçlar birbirinden bağımsız olduğundan, belirtilen sonuç dizisinin olasılığı şuna eşittir: p*p*(1–p)*p = 0,1*0,1*0,9*0,1 = 0,0009. Seçim sayısını hesaplamak gerekirse X n elemanlar, kombinasyon formülünü (1) kullanmalısınız:
nerede n! \u003d n * (n -1) * (n - 2) * ... * 2 * 1 - sayının faktöriyeli n, ve 0! = 1 ve 1! = 1 tanım gereği.
Bu ifade genellikle olarak adlandırılır. Böylece, n = 4 ve X = 3 ise, 4 boyutlu bir örnekten çıkarılan üç elementten oluşan dizilerin sayısı aşağıdaki formülle belirlenir:
Bu nedenle, üç hatalı sipariş bulma olasılığı aşağıdaki gibi hesaplanır:
(olası dizi sayısı) *
(belirli bir dizinin olasılığı) = 4 * 0.0009 = 0.0036
Benzer şekilde, dört düzenden bir veya ikisinin yanlış olma olasılığını ve tüm sıraların yanlış veya hepsinin doğru olma olasılığını hesaplayabiliriz. Ancak örneklem sayısı arttıkça n belirli bir sonuç dizisinin olasılığını belirlemek daha zor hale gelir. Bu durumda, seçim sayısının binom dağılımını tanımlayan uygun bir matematiksel model uygulanmalıdır. X içeren bir örnekten nesneler n elementler.
Binom dağılımı
nerede P(X)- olasılık X Belirli bir örneklem büyüklüğü için başarı n ve başarı olasılığı R, X = 0, 1, … n.
Formül (2)'nin sezgisel sonuçların resmileştirilmesi olduğuna dikkat edin. rastgele değer X, binom dağılımına uyarak 0 ile 0 arasında herhangi bir tamsayı değeri alabilir. n. İş RX(1 - p)n – X oluşan belirli bir dizinin olasılığıdır X büyüklüğüne eşit olan örneklemdeki başarılar n. Değer, aşağıdakilerden oluşan olası kombinasyonların sayısını belirler. X başarılı olmak n testler. Bu nedenle, belirli sayıda deneme için n ve başarı olasılığı R oluşan bir dizinin olasılığı X başarı eşittir
P(X) = (olası dizilerin sayısı) * (belirli bir dizinin olasılığı) =
Formül (2)'nin uygulamasını gösteren örnekleri düşünün.
1. Formu yanlış doldurma olasılığının 0,1 olduğunu varsayalım. Doldurulan dört formdan üçünün yanlış olma olasılığı nedir? Formül (2)'yi kullanarak, dört siparişlik bir örneklemde üç hatalı sipariş bulma olasılığının şuna eşit olduğunu elde ederiz.
2. Formu yanlış doldurma olasılığının 0,1 olduğunu varsayalım. Doldurulan dört formdan en az üçünün yanlış olma olasılığı nedir? Önceki örnekte gösterildiği gibi, doldurulmuş dört formdan üçünün yanlış olma olasılığı 0,0036'dır. Doldurulmuş dört formdan en az üçünün yanlış doldurulma olasılığını hesaplamak için, doldurulmuş dört formdan üçünün yanlış olma olasılığını ve doldurulmuş dört formdan tümünün yanlış olma olasılığını eklemelisiniz. İkinci olayın olasılığı ise
Böylece, doldurulmuş dört formdan en az üçünün hatalı olma olasılığı şuna eşittir:
P(X > 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037
3. Formu yanlış doldurma olasılığının 0,1 olduğunu varsayalım. Doldurulan dört formdan üçünden daha azının yanlış olma olasılığı nedir? Bu olayın olasılığı
P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
Formül (2)'yi kullanarak şu olasılıkların her birini hesaplıyoruz:
Bu nedenle, P(X< 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.
Olasılık P(X< 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х>3. Sonra P(X< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.
Örneklem büyüklüğü arttıkça nörnek 3'te gerçekleştirilenlere benzer hesaplamalar zorlaşır. Bu komplikasyonları önlemek için, birçok binom olasılığı önceden tablolanmıştır. Bu olasılıklardan bazıları Şekil 2'de gösterilmektedir. 1. Örneğin, şu olasılığı elde etmek için X= 2'de n= 4 ve p= 0.1, çizginin kesiştiği yerdeki sayıyı tablodan çıkarmalısınız X= 2 ve sütunlar R = 0,1.
Pirinç. 1. Binom olasılığı n = 4, X= 2 ve R = 0,1
Binom dağılımı kullanılarak hesaplanabilir Excel işlevleri 4 parametresi olan =BINOM.DIST() (Şekil 2): başarı sayısı - X, deneme sayısı (veya örneklem büyüklüğü) – n, başarı olasılığı R, parametre integral DOĞRU değerlerini alan (bu durumda olasılık hesaplanır en azından X olaylar) veya YANLIŞ (bu durumda, kesinlikle X Etkinlikler).
Pirinç. 2. İşlev parametreleri =BINOM.DIST()
Yukarıdaki üç örnek için hesaplamalar Şekil 2'de gösterilmiştir. 3 (ayrıca bkz. Excel dosyası). Her sütun bir formül içerir. Rakamlar, karşılık gelen sayı örneklerine verilen cevapları gösterir).
Pirinç. 3. Excel'de binom dağılımının hesaplanması n= 4 ve p = 0,1
Binom dağılımının özellikleri
Binom dağılımı parametrelere bağlıdır n ve R. Binom dağılımı simetrik veya asimetrik olabilir. p = 0,05 ise, binom dağılımı, parametre değerinden bağımsız olarak simetriktir n. Ancak p ≠ 0.05 ise dağılım çarpık olur. Parametre değeri ne kadar yakınsa R 0,05'e kadar ve örneklem boyutu ne kadar büyükse n, daha zayıf dağılımın asimetrisidir. Böylece, hatalı doldurulmuş formların sayısının dağılımı sağa kaydırılır, çünkü p= 0.1 (Şekil 4).
Pirinç. 4. Binom dağılımının histogramı n= 4 ve p = 0,1
Binom dağılımının matematiksel beklentisi numune boyutunun ürününe eşittir n başarı olasılığı hakkında R:
(3) M = E(X) =np
Ortalama olarak, dört siparişlik bir örnekte yeterince uzun bir test dizisi ile, p \u003d E (X) \u003d 4 x 0.1 \u003d 0.4 yanlış doldurulmuş formlar olabilir.
Binom dağılımı standart sapması
Örneğin, bir muhasebe bilgi sisteminde hatalı doldurulmuş form sayısının standart sapması:
Yöneticiler için Levin ve diğerleri İstatistikleri kitabından materyaller kullanılmaktadır. - E.: Williams, 2004. - s. 307–313
Tüm fenomenler 1, 2, 3 ... 100500 gibi niceliksel bir ölçekte ölçülmez ... Her zaman bir fenomen sonsuz veya çok sayıda farklı durum alamaz. Örneğin, bir kişinin cinsiyeti M veya F olabilir. Atıcı ya hedefi vurur ya da ıskalar. “Oy” veya “Karşı” vb. oy verebilirsiniz. vb. Başka bir deyişle, bu tür veriler durumu yansıtır. alternatif özellik– “evet” (olay gerçekleşti) veya “hayır” (olay gerçekleşmedi). Yaklaşan olaya (olumlu sonuç) "başarı" da denir.
Bu tür verilerle yapılan deneylere denir. Bernoulli şeması, çok sayıda denemeyle, olumlu sonuçların toplam deneme sayısına oranının, bu olayın meydana gelme olasılığına eğilimli olduğunu bulan ünlü İsviçreli matematikçinin onuruna.
Alternatif Özellik Değişkeni
Matematiksel aygıtın analizde kullanılabilmesi için bu tür gözlemlerin sonuçlarının sayısal biçimde yazılması gerekir. Bunu yapmak için, pozitif bir sonuca 1, negatif bir - 0 sayısı atanır. Başka bir deyişle, sadece iki değer alabilen bir değişkenle uğraşıyoruz: 0 veya 1.
Bundan ne gibi fayda sağlanabilir? Aslında, sıradan verilerden daha az değil. Bu nedenle, olumlu sonuçların sayısını saymak kolaydır - tüm değerleri özetlemek yeterlidir, yani. hepsi 1 (başarı). Daha ileri gidebilirsiniz, ancak bunun için birkaç gösterim tanıtmanız gerekir.
Unutulmaması gereken ilk şey, (1'e eşit olan) olumlu sonuçların meydana gelme olasılığının olduğudur. Örneğin, yazı tura atışında tura almak ½ veya 0,5'tir. Bu olasılık geleneksel olarak Latin harfiyle gösterilir. p. Bu nedenle, alternatif bir olayın meydana gelme olasılığı 1-p, ile de gösterilir q, yani q = 1 – p. Bu atamalar, değişken bir dağıtım plakası şeklinde görsel olarak sistematik hale getirilebilir. X.
Olası değerlerin ve olasılıklarının bir listesini aldık. hesaplanabilir beklenen değer ve dağılım. Beklenti, tüm olası değerlerin ve bunlara karşılık gelen olasılıkların ürünlerinin toplamıdır:
Yukarıdaki tablolardaki gösterimi kullanarak beklenen değeri hesaplayalım.
Alternatif bir işaretin matematiksel beklentisinin bu olayın olasılığına eşit olduğu ortaya çıktı - p.
Şimdi alternatif bir özelliğin varyansının ne olduğunu tanımlayalım. Dağılım, matematiksel beklentiden sapmaların ortalama karesidir. Genel formül (ayrık veriler için):
Dolayısıyla alternatif özelliğin varyansı:
Bu dağılımın maksimum 0.25'e sahip olduğunu görmek kolaydır ( p=0.5).
Standart sapma - varyansın kökü:
Maksimum değer 0,5'i geçmez.
Gördüğünüz gibi, alternatif işaretin hem matematiksel beklentisi hem de varyansı çok kompakt bir forma sahiptir.
Rastgele bir değişkenin binom dağılımı
Duruma farklı bir açıdan bakalım. Gerçekten de, bir atışta ortalama tura kaybının 0,5 olması kimin umurunda? Hayal etmek bile imkansız. Belirli bir atış sayısı için gelen tura sayısı sorusunu gündeme getirmek daha ilginçtir.
Başka bir deyişle, araştırmacı genellikle belirli sayıda başarılı olayın meydana gelme olasılığıyla ilgilenir. Bu, test edilen partideki kusurlu ürün sayısı (1 - kusurlu, 0 - iyi) veya geri alınan ürün sayısı (1 - sağlıklı, 0 - hasta), vb. olabilir. Bu tür "başarıların" sayısı, değişkenin tüm değerlerinin toplamına eşit olacaktır. X, yani tek sonuçların sayısı.
rastgele değer B binom olarak adlandırılır ve 0'dan 0'a kadar değerler alır. n(en B= 0 - tüm parçalar iyi, B = n- tüm parçalar arızalı). Tüm değerlerin geçerli olduğu varsayılmaktadır. x birbirinden bağımsız. Binom değişkeninin temel özelliklerini düşünün, yani matematiksel beklentisini, varyansını ve dağılımını belirleyeceğiz.
Bir binom değişkeninin beklentisini elde etmek çok kolaydır. Değerlerin toplamının matematiksel beklentisi, her bir katma değerin matematiksel beklentilerinin toplamıdır ve herkes için aynıdır, bu nedenle:
Örneğin, 100 atışta tura sayısının beklentisi 100 × 0,5 = 50'dir.
Şimdi binom değişkeninin varyansının formülünü türetiyoruz. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyansların toplamıdır. Buradan
Sırasıyla standart sapma
100 yazı tura için, tura sayısının standart sapması
Ve son olarak, binom miktarının dağılımını düşünün, yani. rastgele değişken olma olasılığı B alacak çeşitli anlamlar k, nerede 0≤k≤n. Bir madeni para için bu problem kulağa şöyle gelebilir: 100 atışta 40 tura gelme olasılığı nedir?
Hesaplama yöntemini anlamak için madeni paranın sadece 4 kez atıldığını düşünelim. Her iki taraf da her seferinde düşebilir. Kendimize 4 atıştan 2 tura gelme olasılığı nedir diye soruyoruz. Her atış birbirinden bağımsızdır. Bu, herhangi bir kombinasyon elde etme olasılığının, her bir atış için belirli bir sonucun olasılıklarının çarpımına eşit olacağı anlamına gelir. O yazı ve P yazı olsun. O zaman örneğin bize uyan kombinasyonlardan biri OOPP gibi görünebilir, yani:
Böyle bir kombinasyonun olasılığı, iki tura gelme olasılığı ile iki tura gelmeme olasılığının daha çarpımına eşittir (ters olay şu şekilde hesaplanır). 1-p), yani 0,5×0,5×(1-0,5)×(1-0,5)=0,0625. Bu, bize uyan kombinasyonlardan birinin olasılığıdır. Ancak soru, belirli bir düzen hakkında değil, toplam kartal sayısıyla ilgiliydi. O zaman tam olarak 2 kartalın olduğu tüm kombinasyonların olasılıklarını eklemeniz gerekiyor. Hepsinin aynı olduğu açıktır (ürün, faktörlerin yerlerini değiştirmekten değişmez). Bu nedenle, sayılarını hesaplamanız ve ardından böyle bir kombinasyonun olasılığı ile çarpmanız gerekir. 2 kartalın 4 atışının tüm kombinasyonlarını sayalım: RROO, RORO, ROOR, ORRO, OROR, OORR. Sadece 6 seçenek.
Bu nedenle, 4 atıştan sonra 2 tura gelme olasılığı 6×0.0625=0.375'tir.
Ancak, bu şekilde saymak sıkıcıdır. Zaten 10 jeton için, toplam seçenek sayısını kaba kuvvetle elde etmek çok zor olacak. Bu nedenle, akıllı insanlar uzun zaman önce farklı kombinasyonların sayısını hesapladıkları bir formül icat ettiler. n tarafından elemanlar k, nerede n toplam eleman sayısıdır, k düzenleme seçenekleri hesaplanan eleman sayısıdır. kombinasyon formülü n tarafından elemanlar k dır-dir:
Kombinatorik bölümünde de benzer şeyler oluyor. Bilgisini geliştirmek isteyen herkesi oraya gönderiyorum. Bu nedenle, bu arada, binom dağılımının adı (yukarıdaki formül Newton binomunun açılımındaki katsayıdır).
Olasılığı belirleme formülü herhangi bir sayıya kolayca genelleştirilebilir. n ve k. Sonuç olarak, binom dağılım formülü aşağıdaki forma sahiptir.
Eşleşen kombinasyonların sayısını bunlardan birinin olasılığı ile çarpın.
Pratik kullanım için binom dağılımının formülünü bilmek yeterlidir. Ve bilmiyor olabilirsiniz - aşağıda Excel kullanarak olasılığın nasıl belirleneceği anlatılmaktadır. Ama bilmek daha iyidir.
100 atışta 40 tura gelme olasılığını hesaplamak için bu formülü kullanalım:
Veya sadece %1.08. Karşılaştırma için, bu deneyin matematiksel beklentisinin yani 50 tura çıkma olasılığı %7.96'dır. Bir binom değerinin maksimum olasılığı, matematiksel beklentiye karşılık gelen değere aittir.
Excel'de binom dağılımı olasılıklarını hesaplama
Yalnızca kağıt ve hesap makinesi kullanıyorsanız, integrallerin olmamasına rağmen binom dağılım formülünü kullanan hesaplamalar oldukça zordur. Örneğin, 100 değeri! - 150'den fazla karaktere sahiptir. Daha önce ve şimdi bile, bu tür miktarları hesaplamak için yaklaşık formüller kullanılıyordu. Şu anda, MS Excel gibi özel yazılımların kullanılması tavsiye edilir. Böylece, herhangi bir kullanıcı (eğitim yoluyla bir hümanist bile) binom olarak dağıtılmış bir rastgele değişkenin değerinin olasılığını kolayca hesaplayabilir.
Malzemeyi birleştirmek için Excel'i şimdilik normal bir hesap makinesi olarak kullanacağız, yani. Binom dağılım formülünü kullanarak adım adım bir hesaplama yapalım. Örneğin 50 tura gelme olasılığını hesaplayalım. Aşağıda hesaplama adımlarını ve nihai sonucu içeren bir resim bulunmaktadır.
Görüldüğü gibi ara sonuçlar her yerde kullanılsa da hücreye sığmayacak boyuttadır. basit fonksiyonlar türleri: FAKTÖR (faktöriyel hesaplama), GÜÇ (bir sayıyı bir kuvvete yükseltme), ayrıca çarpma ve bölme operatörleri. Ayrıca, bu hesaplama oldukça hantaldır, her durumda kompakt değildir, çünkü katılan birçok hücre. Ve evet, bunu anlamak zor.
Genel olarak Excel, binom dağılımının olasılıklarını hesaplamak için hazır bir işlev sağlar. fonksiyon denir BİNOM.DAĞ.
Başarı sayısı başarılı deneme sayısıdır. Bizde 50 tane var.
Deneme sayısı - atış sayısı: 100 kez.
Başarı Olasılığı - bir atışta tura gelme olasılığı 0,5'tir.
integral - 1 veya 0 belirtilir, 0 ise olasılık hesaplanır P(B=k); 1 ise, binom dağılım fonksiyonu hesaplanır, yani. tüm olasılıkların toplamı B=0önceki B=k dahil.
OK'e basıyoruz ve yukarıdakiyle aynı sonucu alıyoruz, sadece her şey tek bir fonksiyonla hesaplandı.
Çok rahat. Deney uğruna, son parametre 0 yerine 1 koyarız. 0,5398 elde ederiz. Bu, 100 yazı turasında 0 ile 50 arasında tura gelme olasılığının neredeyse %54 olduğu anlamına gelir. Ve ilk başta% 50 olması gerektiği gibiydi. Genelde hesaplamalar kolay ve hızlı yapılır.
Gerçek bir analist, fonksiyonun nasıl davrandığını (dağılımı nedir) anlamalıdır, bu yüzden 0'dan 100'e kadar tüm değerler için olasılıkları hesaplayalım. Yani, kendimize soralım: tek bir kartalın düşmeme olasılığı nedir? , o 1 kartal düşecek, 2, 3 , 50, 90 veya 100. Hesaplama aşağıdaki resimde gösterilmiştir. Mavi çizgi, binom dağılımının kendisidir, kırmızı nokta, belirli sayıda başarı olasılığıdır k.
Binom dağılımı şuna benzer değil mi diye sorulabilir... Evet, çok benzer. De Moivre bile (1733'te) büyük örneklerle binom dağılımının yaklaştığını söyledi (o zaman ne dendiğini bilmiyorum), ama kimse onu dinlemedi. 60-70 yıl sonra sadece Gauss ve ardından Laplace yeniden keşfedildi ve dikkatle incelendi. normal hukuk dağıtım. Yukarıdaki grafik, maksimum olasılığın matematiksel beklentiye düştüğünü ve ondan saptıkça keskin bir şekilde azaldığını açıkça göstermektedir. Tıpkı normal hukuk gibi.
Binom dağılımı büyük pratik öneme sahiptir, oldukça sık görülür. Excel kullanılarak hesaplamalar kolay ve hızlı bir şekilde gerçekleştirilir.
Olasılık teorisi hayatımızda görünmez bir şekilde mevcuttur. Buna dikkat etmeyiz, ancak hayatımızdaki her olayın bir veya daha fazla olasılığı vardır. Dikkat et büyük miktar senaryolardan en olası ve en az olası olanı belirlememiz gerekli hale gelir. Bu tür olasılıksal verileri grafiksel olarak analiz etmek en uygunudur. Dağıtım bu konuda bize yardımcı olabilir. Binom, en kolay ve en doğru olanlardan biridir.
Doğrudan matematik ve olasılık teorisine geçmeden önce, bu tür bir dağılımla ilk ortaya çıkanın kim olduğunu ve bu kavram için matematiksel aparatın gelişim tarihinin ne olduğunu bulalım.
Hikaye
Olasılık kavramı eski zamanlardan beri bilinmektedir. Bununla birlikte, antik matematikçiler buna fazla önem vermediler ve yalnızca daha sonra olasılık teorisi haline gelen bir teorinin temellerini atabildiler. Daha sonra teoriyi yaratan ve geliştirenlere büyük ölçüde yardımcı olan bazı kombinatoryal yöntemler yarattılar.
17. yüzyılın ikinci yarısında olasılık teorisinin temel kavram ve yöntemlerinin oluşumu başlamıştır. Rastgele değişkenlerin tanımları, basit ve bazı karmaşık bağımsız ve karmaşık değişkenlerin olasılığını hesaplama yöntemleri tanıtıldı. bağımlı olaylar. Rastgele değişkenlere ve olasılıklara böyle bir ilgi kumar tarafından dikte edildi: her kişi oyunu kazanma şansının ne olduğunu bilmek istedi.
Bir sonraki adım, olasılık teorisinde matematiksel analiz yöntemlerinin uygulanmasıydı. Laplace, Gauss, Poisson ve Bernoulli gibi seçkin matematikçiler bu görevi üstlendiler. Bu matematik alanını yeni bir seviyeye taşıyan onlardı. Binom dağılımı yasasını keşfeden James Bernoulli'ydi. Bu arada, daha sonra öğreneceğimiz gibi, bu keşif temelinde, normal dağılım yasasını ve diğerlerini yaratmayı mümkün kılan birkaç tane daha yapıldı.
Şimdi, binom dağılımını tanımlamaya başlamadan önce, muhtemelen okul sıralarından çoktan unutulmuş olan olasılık teorisi kavramlarının hafızasını biraz tazeleyeceğiz.
Olasılık Teorisinin Temelleri
Sonuç olarak sadece iki sonucun mümkün olduğu bu tür sistemleri ele alacağız: "başarı" ve "başarısızlık". Bunu bir örnekle anlamak kolaydır: Yazı turalarının düşeceğini tahmin ederek yazı tura atarız. Olası olayların her birinin olasılığı (tura - "başarı", tura - "başarılı değil"), madeni para mükemmel bir şekilde dengelendiğinde yüzde 50'ye eşittir ve deneyi etkileyebilecek başka hiçbir faktör yoktur.
En basit olaydı. Ancak sıralı eylemlerin gerçekleştirildiği karmaşık sistemler de vardır ve bu eylemlerin sonuçlarının olasılıkları farklılık gösterecektir. Örneğin, aşağıdaki sistemi düşünün: içeriğini göremediğimiz bir kutuda, altı tamamen aynı top vardır, üç çift mavi, kırmızı ve Beyaz çiçekler. Rastgele birkaç top almalıyız. Buna göre, önce beyaz toplardan birini çekerek, bir sonrakinin de beyaz bir top alma olasılığını birkaç kat azaltacağız. Bunun nedeni sistemdeki nesnelerin sayısının değişmesidir.
Bir sonraki bölümde, bizi "normal dağılım", "binom dağılımı" ve benzerlerinin ne anlama geldiğine yaklaştıran daha karmaşık matematiksel kavramlara bakacağız.
Matematiksel istatistiklerin unsurları
Olasılık teorisinin uygulama alanlarından biri olan istatistikte, analiz verilerinin açıkça verilmediği pek çok örnek vardır. Yani sayılarla değil, özelliklere göre, örneğin cinsiyete göre bölünme şeklinde. Matematiksel aparatı bu tür verilere uygulamak ve elde edilen sonuçlardan bazı sonuçlar çıkarmak için ilk verileri sayısal bir formata dönüştürmek gerekir. Kural olarak, bunu uygulamak için, olumlu bir sonuca 1 değeri ve olumsuz bir sonuca 0 değeri atanır. Böylece matematiksel yöntemlerle analiz edilebilecek istatistiksel veriler elde ederiz.
Bir rastgele değişkenin binom dağılımının ne olduğunu anlamanın bir sonraki adımı, rastgele değişkenin varyansını ve matematiksel beklentiyi belirlemektir. Bir sonraki bölümde bunun hakkında konuşacağız.
Beklenen değer
Aslında matematiksel beklentinin ne olduğunu anlamak zor değil. Kendi farklı olasılıklarına sahip birçok farklı olayın olduğu bir sistem düşünün. Matematiksel beklenti, bu olayların değerlerinin (son bölümde bahsettiğimiz matematiksel formda) çarpımlarının toplamına ve gerçekleşme olasılıklarına eşit bir değer olarak adlandırılacaktır.
Binom dağılımının matematiksel beklentisi aynı şemaya göre hesaplanır: rastgele bir değişkenin değerini alırız, pozitif bir sonuç olasılığı ile çarparız ve ardından elde edilen verileri tüm değişkenler için özetleriz. Bu verileri grafiksel olarak sunmak çok uygundur - bu şekilde farklı değerlerin matematiksel beklentileri arasındaki fark daha iyi algılanır.
Bir sonraki bölümde, size farklı bir kavramdan biraz bahsedeceğiz - rastgele bir değişkenin varyansı. Aynı zamanda binom olasılık dağılımı gibi bir kavramla da yakından ilişkilidir ve onun özelliğidir.
Binom dağılım varyansı
Bu değer bir öncekiyle yakından ilişkilidir ve ayrıca istatistiksel verilerin dağılımını da karakterize eder. Matematiksel beklentilerinden değerlerin ortalama sapmalarının karesini temsil eder. Yani, bir rastgele değişkenin varyansı, bir rastgele değişkenin değeri ile matematiksel beklentisi arasındaki kare farklarının toplamının bu olayın olasılığı ile çarpımının toplamıdır.
Genel olarak, binom olasılık dağılımının ne olduğunu anlamak için varyans hakkında bilmemiz gereken tek şey budur. Şimdi asıl konumuza geçelim. Yani, görünüşte oldukça karmaşık bir "binom dağılım yasası" ifadesinin arkasında yatan şey.
Binom dağılımı
Önce bu dağılımın neden binom olduğunu anlayalım. "binom" kelimesinden gelmektedir. Newton'un iki terimlisini duymuş olabilirsiniz - herhangi iki a ve b sayısının toplamını n'nin negatif olmayan herhangi bir kuvvetine genişletmek için kullanılabilecek bir formül.
Muhtemelen tahmin ettiğiniz gibi, Newton'un binom formülü ve binom dağılım formülü hemen hemen aynı formüllerdir. Tek istisna, ikincisinin belirli miktarlar için uygulamalı bir değere sahip olması ve birincisinin, uygulamaları pratikte farklı olabilen yalnızca genel bir matematiksel araçtır.
dağıtım formülleri
Binom dağılım fonksiyonu aşağıdaki terimlerin toplamı olarak yazılabilir:
(n!/(n-k)!k!)*p k *q n-k
Burada n bağımsız rastgele deneylerin sayısıdır, p başarılı sonuçların sayısıdır, q başarısız sonuçların sayısıdır, k deney sayısıdır (0'dan n'ye kadar değerler alabilir),! - değeri kendisine kadar olan tüm sayıların çarpımına eşit olan bir sayının böyle bir fonksiyonu olan bir faktöriyelin tanımı (örneğin, 4 sayısı için: 4!=1*2*3*4= 24).
Ayrıca binom dağılım fonksiyonu eksik bir beta fonksiyonu olarak yazılabilir. Ancak bu daha karmaşık tanım, yalnızca karmaşık istatistiksel problemleri çözerken kullanılır.
Yukarıda örneklerini incelediğimiz binom dağılımı, en çok kullanılanlardan biridir. basit türler olasılık teorisinde dağılımlar. Bir tür binom dağılımı olan normal bir dağılım da vardır. En yaygın kullanılan ve hesaplanması en kolay olanıdır. Ayrıca bir Bernoulli dağılımı, bir Poisson dağılımı, bir koşullu dağılım vardır. Hepsi, farklı koşullar altında belirli bir sürecin olasılık alanlarını grafiksel olarak karakterize eder.
Bir sonraki bölümde, bu matematiksel aparatın gerçek hayatta uygulanmasıyla ilgili yönleri ele alacağız. İlk bakışta, elbette, bu, her zamanki gibi gerçek hayatta uygulama bulamayan ve genellikle matematikçilerin kendileri dışında kimsenin ihtiyaç duymadığı başka bir matematiksel şey gibi görünüyor. Ancak durum böyle değil. Sonuçta, her türlü dağıtım ve bunların grafik temsiller bilim adamlarının bir hevesi olarak değil, yalnızca pratik amaçlar için yaratıldılar.
Başvuru
Dağılımların açık ara en önemli uygulaması, çok sayıda verinin karmaşık analizinin gerekli olduğu istatistiklerdir. Pratikte görüldüğü gibi, pek çok veri dizisi yaklaşık olarak aynı değer dağılımlarına sahiptir: çok düşük ve çok yüksek değerlerin kritik bölgeleri, kural olarak, ortalama değerlerden daha az öğe içerir.
Büyük veri dizilerinin analizi sadece istatistiklerde gerekli değildir. Örneğin, vazgeçilmezdir. fiziksel kimya. Bu bilimde, atomların ve moleküllerin rastgele titreşimleri ve hareketleriyle ilişkili birçok niceliği belirlemek için kullanılır.
Bir sonraki bölümde, bu tür kullanmanın ne kadar önemli olduğunu tartışacağız. istatistiksel kavramlar, binom olarak rastgele bir değişkenin dağılımı Gündelik Yaşam senin ve benim için.
Neden ihtiyacım var?
Pek çok insan konu matematik olduğunda kendilerine bu soruyu soruyor. Ve bu arada, matematik bilimlerin kraliçesi olarak adlandırılan boşuna değildir. Fizik, kimya, biyoloji, ekonominin temelidir ve bu bilimlerin her birinde bir tür dağılım da kullanılır: ister ayrık bir iki terimli dağılım olsun, ister normal bir dağılım olsun, fark etmez. Ve çevremizdeki dünyaya daha yakından bakarsak, matematiğin her yerde kullanıldığını göreceğiz: günlük yaşamda, işte ve hatta insan ilişkileri istatistiksel veriler şeklinde sunulabilir ve analiz edilebilir (bu arada bu). , bilgi toplamada görev alan özel kuruluşlarda çalışanlar tarafından yapılır).
Şimdi bu konu hakkında bu makalede özetlediklerimizden çok daha fazlasını bilmeniz gerekiyorsa ne yapmanız gerektiği hakkında biraz konuşalım.
Bu yazıda verdiğimiz bilgiler tam olmaktan uzaktır. Dağılımın ne şekilde olabileceği konusunda birçok nüans var. Binom dağılımı, daha önce öğrendiğimiz gibi, tüm matematiksel istatistiklerin ve olasılık teorisinin dayandığı ana türlerden biridir.
İlgilenirseniz veya işinizle bağlantılı olarak, bu konuda çok daha fazla bilgi sahibi olmanız gerekir, özel literatürü incelemeniz gerekir. Matematiksel analizde bir üniversite kursuyla başlamalı ve oraya olasılık teorisi bölümüne gitmelisiniz. Ayrıca diziler alanındaki bilgiler de faydalı olacaktır, çünkü binom olasılık dağılımı, bir dizi ardışık terimden başka bir şey değildir.
Çözüm
Yazıyı bitirmeden önce size ilginç bir şey daha söylemek istiyoruz. Doğrudan makalemizin konusu ve genel olarak tüm matematik ile ilgilidir.
Pek çok insan matematiğin faydasız bir bilim olduğunu ve okulda öğrendikleri hiçbir şeyin onlara faydalı olmadığını söylüyor. Ancak bilgi asla gereksiz değildir ve hayatta sizin için yararlı olmayan bir şey varsa, bu onu hatırlamadığınız anlamına gelir. Bilgin varsa sana yardım edebilirler ama sende yoksa onlardan yardım bekleyemezsin.
Böylece binom dağılımı kavramını ve onunla ilgili tüm tanımları inceledik ve hayatımızda nasıl uygulandığından bahsettik.
Merhaba! Olasılık dağılımının ne olduğunu zaten biliyoruz. Kesikli veya sürekli olabilir ve buna olasılık yoğunluk dağılımı dendiğini öğrendik. Şimdi birkaç yaygın dağıtımı inceleyelim. Diyelim ki bir madeni param ve doğru madeni param var ve onu 5 kez çevireceğim. Ayrıca rastgele bir X değişkeni tanımlayacağım, onu belirteceğim büyük harf X, 5 savurmadaki "kartal" sayısına eşit olacaktır. Belki 5 jetonum vardır, hepsini bir kerede atacağım ve kaç tura aldığımı sayacağım. Ya da bir madeni param olabilir, 5 kez çevirebilir ve kaç kez tura geldiğimi sayabilirim. Gerçekten önemli değil. Ama diyelim ki bir jetonum var ve onu 5 kez çeviriyorum. O zaman hiçbir belirsizliğimiz olmayacak. İşte rastgele değişkenimin tanımı. Bildiğimiz gibi, rastgele bir değişken normal bir değişkenden biraz farklıdır, daha çok bir fonksiyon gibidir. Deneye bir miktar değer atar. Ve bu rastgele değişken oldukça basittir. 5 atıştan sonra “kartalın” kaç kez düştüğünü sayıyoruz - bu bizim rastgele değişkenimiz X. Bizim durumumuzda farklı değerlerin olasılıklarının ne olabileceğini düşünelim? Öyleyse, X'in (büyük X) 0 olma olasılığı nedir? Şunlar. 5 atıştan sonra tura gelmeme olasılığı nedir? Aslında bu, bazı "yazı" alma olasılığı ile aynıdır (bu doğru, olasılık teorisine küçük bir genel bakış). Biraz "kuyruk" almalısın. Bu "kuyrukların" her birinin olasılığı nedir? Bu 1/2'dir. Şunlar. yine 1/2 çarpı 1/2, 1/2, 1/2 ve 1/2 olmalıdır. Şunlar. (1/2)⁵. 1⁵=1, 2⁵'ye bölün, yani. 32'de. Oldukça mantıklı. O halde... Olasılık teorisi konusunda yaşadıklarımızı biraz tekrarlayacağım. Bu, şu anda nereye hareket ettiğimizi ve aslında nasıl hareket ettiğimizi anlamak için önemlidir. ayrık dağıtım olasılıklar. Peki tam olarak bir kez tura gelme olasılığımız nedir? Eh, ilk atışta tura gelmiş olabilir. Şunlar. şöyle olabilir: "kartal", "kuyruk", "kuyruk", "kuyruk", "kuyruk". Veya ikinci atışta tura gelebilir. Şunlar. böyle bir kombinasyon olabilir: "kuyruk", "kafa", "kuyruk", "kuyruk", "kuyruk" vb. 5 atıştan herhangi birinden sonra bir "kartal" düşebilir. Bu durumların her birinin olasılığı nedir? Tura gelme olasılığı 1/2'dir. Sonra 1/2'ye eşit "kuyruk" alma olasılığı 1/2, 1/2, 1/2 ile çarpılır. Şunlar. bu durumların her birinin olasılığı 1/32'dir. X = 0 olan bir durumun olasılığının yanı sıra. Aslında, herhangi bir özel yazı ve tura sıralaması olasılığı 1/32 olacaktır. Yani bunun olasılığı 1/32'dir. Ve bunun olasılığı 1/32'dir. Ve bu tür durumlar yer çünkü "kartalın" 5 atıştan herhangi birine düşebileceğini. Bu nedenle, tam olarak bir “kartalın” düşme olasılığı 5 * 1/32'ye eşittir, yani. 5/32. Oldukça mantıklı. Şimdi ilginç başlıyor. Olasılık nedir… (Örneklerin her birini farklı bir renkle yazacağım)… Rastgele değişkenimin 2 olma olasılığı nedir? Şunlar. 5 defa yazı tura atacağım ve 2 defa tura gelme olasılığı nedir? Bu daha ilginç, değil mi? Hangi kombinasyonlar mümkündür? Yazılar, yazılar, yazılar, yazılar, yazılar olabilir. Ayrıca tura, tura, tura, tura, tura olabilir. Ve bu iki “kartalın” kombinasyonun farklı yerlerinde durabileceğini düşünüyorsanız, o zaman biraz kafanız karışabilir. Artık yerleşimleri yukarıda yaptığımız gibi düşünemezsiniz. Her ne kadar ... yapabilirsin, sadece kafan karışma riskiyle karşı karşıyasın. Bir şeyi anlamalısın. Bu kombinasyonların her biri için olasılık 1/32'dir. ½*½*½*½*½. Şunlar. bu kombinasyonların her birinin olasılığı 1/32'dir. Ve koşulumuzu (2 "kartal") karşılayan kaç tane kombinasyon olduğunu düşünmeliyiz? Şunlar. Aslında, 5 yazı tura olduğunu hayal etmeniz gerekiyor ve bunlardan 2 tanesini seçmeniz gerekiyor, bu da “kartalın” düştüğü yer. 5 atışımızın bir daire içinde olduğunu varsayalım, ayrıca sadece iki sandalyemiz olduğunu hayal edelim. Ve diyoruz ki: “Tamam, Kartallar için bu sandalyelere hanginiz oturacak? Şunlar. hanginiz "kartal" olacak? Ve oturdukları sıra ile ilgilenmiyoruz. Size daha açıklayıcı olacağını umarak böyle bir örnek veriyorum. Newton'un iki terimlisinden bahsederken bu konuyla ilgili bazı olasılık teorisi derslerini izlemek isteyebilirsiniz. Çünkü orada tüm bunları daha ayrıntılı olarak inceleyeceğim. Ancak bu şekilde akıl yürütürseniz, binom katsayısının ne olduğunu anlayacaksınız. Çünkü şöyle düşünürseniz: Tamam, 5 atışım var, hangi atış ilk turaları getirir? Pekala, işte ilk tura atacak olan 5 olasılık. Ve ikinci "kartal" için kaç fırsat? Zaten kullandığımız ilk atış bir tura şansını elimizden aldı. Şunlar. kombodaki bir baş pozisyonu zaten fırlatmalardan biri tarafından işgal edildi. Şimdi 4 atış kaldı, yani ikinci "kartal" 4 atıştan birine düşebilir. Ve gördün, tam burada. İlk atışta tura almayı seçtim ve kalan 4 atıştan birinde turaların da gelmesi gerektiğini varsaydım. Yani burada sadece 4 olasılık var. Tek söylediğim, ilk kafa için üzerine düşebileceği 5 farklı pozisyonunuz var. Ve ikincisi için sadece 4 pozisyon kaldı. Bunu düşün. Bu şekilde hesapladığımızda sıra dikkate alınmış oluyor. Ama bizim için artık “kafalar” ve “kuyrukların” hangi sırayla düştüğü önemli değil. "Kartal 1" veya "Kartal 2" demiyoruz. Her iki durumda da, sadece "kartal". Bunun kafa 1 ve bunun da kafa 2 olduğunu varsayabiliriz. Ya da tam tersi olabilir: ikinci "kartal" olabilir ve bu "ilk"tir. Bunu söylüyorum çünkü yerleşimlerin nerede kullanılacağını ve kombinasyonların nerede kullanılacağını anlamak önemlidir. Sırayla ilgilenmiyoruz. Yani, aslında, olayımızın kökeninin sadece 2 yolu var. Bunu 2'ye bölelim ve daha sonra göreceğiniz gibi, 2! olayımızın çıkış yolları. 3 kafa olsaydı 3 olurdu ve size nedenini göstereceğim. Yani bu... 5*4=20 bölü 2 eşittir 10. Yani 32'den 10 farklı kombinasyon var ve kesinlikle 2 kafa olacak. Yani 10*(1/32), 10/32'ye eşittir, bu neye eşittir? 5/16. Binom katsayısı ile yazacağım. Bu, en üstteki değerdir. Bir düşünürseniz, bu 5 ile aynı! bölü ... Bu 5 * 4 ne anlama geliyor? 5! 5*4*3*2*1'dir. Şunlar. Burada sadece 5 * 4'e ihtiyacım varsa, bunun için 5'i bölebilirim! 3 için! Bu, 5*4*3*2*1 bölü 3*2*1'e eşittir. Ve sadece 5*4 kalır. Yani bu pay ile aynıdır. Ve sonra, çünkü diziyle ilgilenmiyoruz, burada 2'ye ihtiyacımız var.Aslında 2!. 1/32 ile çarpın. Bu, tam olarak 2 kafa vurma olasılığımız olurdu. Tam olarak 3 kez tura gelme olasılığımız nedir? Şunlar. x=3 olma olasılığı. Bu nedenle, aynı mantıkla, turaların ilk oluşumu 5 atıştan 1'inde gerçekleşebilir. İkinci tura, kalan 4 atıştan birinde meydana gelebilir. Ve kalan 3 atıştan 1'inde üçüncü bir tura oluşumu meydana gelebilir. 3 atış düzenlemenin kaç farklı yolu vardır? Genel olarak, 3 nesneyi yerlerine yerleştirmenin kaç yolu vardır? 3 oldu! Ve bunu anlayabilir veya daha ayrıntılı olarak açıkladığım öğreticileri tekrar gözden geçirmek isteyebilirsiniz. Ancak örneğin A, B ve C harflerini alırsanız, bunları düzenlemenin 6 yolu vardır. Bunları başlıklar olarak düşünebilirsiniz. Burada ACB, CAB olabilir. BAC, BCA olabilir ve... Adını vermediğim son seçenek nedir? CBA. 3 farklı öğeyi düzenlemenin 6 yolu vardır. 6'ya bölüyoruz çünkü bu 6 farklı yolu tekrar saymak istemiyoruz çünkü onları eşdeğer olarak görüyoruz. Burada kaç atışın tura ile sonuçlanacağıyla ilgilenmiyoruz. 5*4*3… Bu 5!/2! şeklinde yeniden yazılabilir. Ve 3'e daha bölün!. Bu o. 3! 3*2*1'e eşittir. Üçler küçülüyor. Bu 2 olur. Bu 1 olur. Bir kez daha 5*2, yani. 10'dur. Her durumun 1/32 olasılığı vardır, yani bu yine 5/16'dır. Ve bu ilginç. 3 tura gelme olasılığı ile 2 tura gelme olasılığı aynıdır. Ve bunun nedeni... Bunun olmasının birçok nedeni var. Ama düşünürseniz 3 tura gelme olasılığı ile 2 tura gelme olasılığı aynıdır. Ve 3 tura gelme olasılığı ile 2 tura gelme olasılığı aynı olmalıdır. Ve değerlerin böyle çalışması iyi. İyi. X=4 olma olasılığı nedir? Daha önce kullandığımız formülü kullanabiliriz. 5*4*3*2 olabilir. Yani, buraya 5 * 4 * 3 * 2 yazıyoruz ... 4 nesneyi düzenlemenin kaç farklı yolu var? 4 oldu!. dört! - bu, aslında, bu kısım, tam burada. Bu 4*3*2*1'dir. Yani bu birbirini götürür ve geriye 5 kalır. O halde, her kombinasyonun olasılığı 1/32'dir. Şunlar. bu 5/32'ye eşittir. Yine, 4 kez tura gelme olasılığının 1 kez tura gelme olasılığına eşit olduğuna dikkat edin. Ve bu mantıklı çünkü. 4 kafa 1 yazıya eşittir. Diyeceksiniz ki: peki ve bu “kuyruklar” ne tür bir savurmada düşecek? Evet, bunun için 5 farklı kombinasyon var. Ve her birinin 1/32 olasılığı var. Ve son olarak, X=5 olma olasılığı nedir? Şunlar. arka arkaya 5 kez kafa atar. Şu şekilde olmalıdır: "kartal", "kartal", "kartal", "kartal", "kartal". Turaların her birinin olasılığı 1/2'dir. Onları çarparsın ve 1/32 elde edersin. Diğer tarafa gidebilirsin. Bu deneylerde tura ve tura alabileceğiniz 32 yol varsa, o zaman bu da onlardan biridir. Burada 32 yoldan 5'i vardı Burada - 32'den 10'u Yine de hesaplamaları yaptık ve şimdi olasılık dağılımını çizmeye hazırız. Ama zamanım doldu. Bir sonraki derste devam edeyim. Ve eğer havandaysanız, bir sonraki dersi izlemeden önce çizebilir misiniz? Yakında görüşürüz!