Kesirleri paydaya getirmek. Kesirler ortak bir paydaya nasıl getirilir
Başlangıçta ortak payda yöntemlerini "Kesirlerde Toplama ve Çıkarma" paragrafına dahil etmek istedim. Ancak o kadar çok bilgi vardı ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta, yalnızca sayısal kesirlerin ortak paydaları yoktur), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyidir.
Diyelim ki farklı paydalara sahip iki kesirimiz var. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Bir kesrin ana özelliği kurtarmaya gelir ki, size hatırlatmama izin verin, kulağa şöyle geliyor:
Bir kesrin payı ve paydası aynı sıfır olmayan sayı ile çarpılırsa değişmez.
Böylece, çarpanları doğru seçerseniz, kesirlerin paydaları eşit olacaktır - bu işleme ortak paydaya indirgeme denir. Ve paydaları "tesviye eden" istenen sayılara ek faktörler denir.
Neden kesirleri ortak bir paydaya getirmeniz gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:
- Paydaları farklı olan kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
- Kesir karşılaştırması. Bazen ortak bir paydaya indirgeme bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
- Pay ve yüzdelerle ilgili problem çözme. Yüzdeler aslında kesirleri içeren sıradan ifadelerdir.
Çarpıldığında paydaları eşitleyen sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklık ve bir anlamda verimlilik için bunlardan sadece üçünü ele alacağız.
Çarpma "çapraz"
Paydaları eşitlemeyi garanti eden en basit ve en güvenilir yol. "Önden" hareket edeceğiz: birinci kesri ikinci kesrin paydasıyla ve ikinciyi birinci kesrin paydasıyla çarpıyoruz. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları, orijinal paydaların ürününe eşit olacaktır. Bir göz at:
Ek faktörler olarak, komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Biz:
Evet, bu kadar basit. Kesirleri öğrenmeye yeni başlıyorsanız, bu yöntemle çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı koruyacak ve sonucu alacağınız garanti edilecektir.
Bu yöntemin tek dezavantajı, çok saymanız gerekmesidir çünkü paydalar "ileride" çarpılır ve sonuç olarak çok büyük sayılar elde edilebilir. Güvenilirliğin bedeli budur.
ortak bölen yöntemi
Bu teknik, hesaplamaları büyük ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:
- "İçinden" (yani, "çapraz") gitmeden önce paydalara bakın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünebilir.
- Böyle bir bölmeden elde edilen sayı, paydası daha küçük olan bir kesir için ek bir çarpan olacaktır.
- Aynı zamanda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - bu tasarruftur. Aynı zamanda, hata olasılığı keskin bir şekilde azalır.
Bir görev. İfade değerlerini bulun:
84: 21 = 4; 72:12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğeri tarafından kalansız bölünebildiğinden, ortak çarpanlar yöntemini kullanırız. Sahibiz:
İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında, hesaplama miktarını yarıya indirdik!
Bu arada, bu örnekteki kesirleri almamın bir nedeni var. Eğer ilgileniyorsanız, çaprazlama yöntemini kullanarak saymayı deneyin. İndirgemeden sonra cevaplar aynı olacak ama çok daha fazla iş olacak.
Bu, ortak bölenler yönteminin gücüdür, ancak yine, yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölündüğünde uygulanabilir. Bu oldukça nadiren olur.
En az ortak çoklu yöntem
Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde, aslında paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Sonra her iki kesrin paydalarını bu sayıya getiriyoruz.
Bu tür pek çok sayı vardır ve bunların en küçüğü, "çaprazlama" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan ürününe eşit olmayacaktır.
Örneğin, 8 ve 12 paydaları için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Bu sayı 8 12 = 96 çarpımından çok daha azdır.
Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya bunların en küçük ortak katı (EKOK) denir.
Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı EKOK(a ; b ) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16; 24) = 48 ; EKOK(8; 12) = 24 .
Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum olacaktır. Örneklere bak:
Bir görev. İfade değerlerini bulun:
234 = 117 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 1173 . 2. ve 3. çarpanlar eş asaldır (1 dışında ortak bölenleri yoktur) ve çarpan 117 ortaktır. Bu nedenle EKOK(234; 351) = 117 2 3 = 702.
Benzer şekilde, 15 = 5 3; 20 = 5 4 . 3. ve 4. çarpanlar göreli olarak asaldır ve 5. çarpan ortaktır. Bu nedenle EKOK(15; 20) = 5 3 4 = 60.
Şimdi kesirleri ortak paydalara getirelim:
Orijinal paydaların çarpanlara ayrılmasının ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:
- Aynı faktörleri bulduktan sonra, hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu, genel olarak konuşursak, önemsiz olmayan bir sorundur;
- Ortaya çıkan genişletmeden, kesirlerin her biri için hangi faktörlerin "eksik" olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin, 234 3 \u003d 702, bu nedenle, ilk kesir için ek faktör 3'tür.
En az yaygın çoklu yöntemin ne kadar kazandırdığını takdir etmek için, aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin. Tabii hesap makinesi olmadan. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.
Bu tür karmaşık kesirlerin gerçek örneklerde olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşurlar ve yukarıdaki görevler sınır değildir!
Tek sorun, bu NOC'nin nasıl bulunacağıdır. Bazen her şey kelimenin tam anlamıyla "gözle" birkaç saniye içinde bulunur, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama sorunudur. Burada buna değinmeyeceğiz.
Farklı paydalara sahip kesirlerin nasıl toplanacağını anlamak için önce kuralı inceleyelim ve ardından belirli örneklere bakalım.
Farklı paydalara sahip kesirleri toplamak veya çıkarmak için:
1) (NOZ) verilen kesirleri bulun.
2) Her kesir için ek bir çarpan bulun. Bunu yapmak için, yeni payda eskiye bölünmelidir.
3) Her kesrin payını ve paydasını ek bir çarpanla çarpın ve paydaları aynı olan kesirleri toplayın veya çıkarın.
4) Ortaya çıkan kesrin düzenli ve indirgenemez olup olmadığını kontrol edin.
Aşağıdaki örneklerde, farklı paydalara sahip kesirleri toplamanız veya çıkarmanız gerekir:
1) Farklı paydalara sahip kesirleri çıkarmak için önce bu kesirlerin en küçük ortak paydasına bakın. Sayılardan büyük olanı seçiyoruz ve küçük olana bölünüp bölünmediğini kontrol ediyoruz. 25, 20 ile tam bölünemez. 25'i 2 ile çarparız. 50 20'ye bölünmez. 25'i 3 ile çarpıyoruz. 75, 20'ye bölünmez. 25'i 4 ile çarparız. 100, 20'ye bölünür. Yani en küçük ortak payda 100'dür.
2) Her kesir için ek bir çarpan bulmak için yeni paydayı eskisine bölmeniz gerekir. 100:25=4, 100:20=5. Buna göre, birinci fraksiyona ek bir faktör 4, ikinci - 5'tir.
3) Her kesrin payını ve paydasını ek bir faktörle çarparız ve kesirleri aynı paydalara sahip kesirleri çıkarma kuralına göre çıkarırız.
4) Ortaya çıkan kesir düzenli ve indirgenemezdir. Yani cevap bu.
1) Farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için önce en küçük ortak paydaya bakın. 16 sayısı 12'ye bölünmez. 16∙2=32 12 ile tam bölünemez. 16∙3=48, 12'ye bölünebilir. Yani 48 NOZ'dur.
2) 48:16=3, 48:12=4. Bunlar, her fraksiyon için ek faktörlerdir.
3) her kesrin payını ve paydasını ek bir faktörle çarpın ve yeni kesirleri ekleyin.
4) Ortaya çıkan kesir düzenli ve indirgenemezdir.
1) 30 sayısı 20'ye tam bölünemez. 30∙2=60, 20 ile bölünebilir. Yani bu kesirlerin en küçük ortak paydası 60'tır.
2) her kesir için ek bir çarpan bulmak için yeni paydayı eski paydaya bölmeniz gerekir: 60:20=3, 60:30=2.
3) her kesrin payını ve paydasını ek bir faktörle çarpın ve yeni kesirleri çıkarın.
4) elde edilen kesirli 5.
1) 8, 6'ya bölünmez. 8∙2=16, 6'ya bölünmez. 8∙3=24 hem 4'e hem de 6'ya bölünebilir. Dolayısıyla 24, NOZ'dir.
2) her kesir için ek bir çarpan bulmak için yeni paydayı eskisine bölmeniz gerekir. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Yani 3, 6 ve 4 birinci, ikinci ve üçüncü kesirlere ek çarpanlardır.
3) her dolby'nin payını ve paydasını ek bir faktörle çarpın. Ekliyoruz ve çıkarıyoruz. Ortaya çıkan kesir uygun değil, bu nedenle tüm parçayı seçmeniz gerekiyor.
Cebirsel (rasyonel) kesirler ortak bir paydaya nasıl getirilir?
1) Kesirlerin paydaları polinom ise bilinen yöntemlerden birini denemeniz gerekir.
2) En küçük ortak payda (LCD) şunlardan oluşur: tüm alınan çarpanlar En büyük derece.
Sayılar için en küçük ortak payda sözlü olarak şu şekilde aranır: en küçük sayı, diğer sayılarla bölünebilir.
3) Her kesir için ek bir çarpan bulmak için yeni paydayı eskisine bölmeniz gerekir.
4) Orijinal kesrin pay ve paydası ek bir çarpanla çarpılır.
Döküm örneklerini düşünün cebirsel kesirler ortak bir paydaya.
Sayıların ortak paydasını bulmak için büyük sayıyı seçin ve küçük sayıya bölünüp bölünmediğini kontrol edin. 15 9'a bölünmez. 15'i 2 ile çarpıyoruz ve çıkan sayının 9'a bölünüp bölünmediğini kontrol ediyoruz. 30, 9'a bölünmez. 15'i 3 ile çarpıyoruz ve çıkan sayının 9'a bölünüp bölünmediğini kontrol ediyoruz. 45, 9'a bölünebilir, yani sayıların ortak paydası 45'tir.
En küçük ortak payda, en yüksek güce alınan tüm faktörlerin toplamıdır. Böylece, bu kesirlerin ortak paydası 45 bc'dir (harfler genellikle alfabetik sırayla yazılır).
Her kesir için ek bir çarpan bulmak için yeni paydayı eski paydaya bölmeniz gerekir. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Her kesrin payını ve paydasını ek bir faktörle çarpıyoruz:
İlk olarak, sayılar için ortak bir payda ararız: 8, 6'ya bölünmez, 8∙2=16, 6'ya bölünmez, 8∙3=24, 6'ya bölünebilir. Değişkenlerin her biri ortak paydaya bir kez dahil edilmelidir. Derecelerden büyük bir üs ile dereceyi alıyoruz.
Böylece, bu kesirlerin ortak paydası 24a³bc'dir.
Her kesrin ek çarpanını bulmak için yeni paydayı eski paydaya bölmeniz gerekir: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.
Ek faktörü pay ve payda ile çarpıyoruz:
Bu kesirlerin paydalarındaki polinomlara ihtiyaç vardır. Birinci kesrin paydası farkın tam karesidir: x²-18x+81=(x-9)²; saniyenin paydasında - kareler farkı: x²-81=(x-9)(x+9):
Ortak payda, büyük ölçüde alınan tüm çarpanlardan oluşur, yani (x-9)²(x+9)'a eşittir. Ek çarpanlar buluruz ve bunları her kesrin pay ve paydasıyla çarparız:
Bu dersimizde kesirleri ortak paydaya indirgemeye bakacağız ve bu konuyla ilgili problemler çözeceğiz. Ortak payda kavramının bir tanımını ve ek bir çarpanı verelim, eş asal sayıları hatırlayalım. En küçük ortak payda (LCD) kavramını tanımlayalım ve onu bulmak için birkaç problem çözelim.
Konu: Farklı Paydalara Sahip Kesirlerde Toplama ve Çıkarma
Ders: Kesirleri ortak bir paydaya indirgeme
Tekrarlama. Bir kesrin temel özelliği.
Bir kesrin pay ve paydası aynı sayı ile çarpılır veya bölünürse doğal sayı, o zaman ona eşit bir kesir elde edersiniz.
Örneğin, bir kesrin payı ve paydası 2'ye bölünebilir. Bir kesir elde ederiz. Bu işleme kesir azaltma denir. Kesrin payını ve paydasını 2 ile çarparak ters dönüşümü de yapabilirsiniz. Bu durumda kesri yeni bir paydaya indirdik deriz. 2 sayısına ek çarpan denir.
Çözüm. Bir kesir, verilen kesrin paydasının katı olan herhangi bir paydaya indirgenebilir. Bir kesri yeni bir paydaya getirmek için, pay ve paydası ek bir çarpanla çarpılır.
1. Kesri payda 35'e getirin.
35 sayısı, 7'nin katıdır, yani 35, 7'ye kalansız bölünebilir. Yani bu dönüşüm mümkündür. Ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için 35'i 7'ye böleriz. 5 elde ederiz. Orijinal kesrin payını ve paydasını 5 ile çarparız.
2. Kesri payda 18'e getirin.
Ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için, yeni paydayı orijinal paydaya böleriz. 3 elde ediyoruz. Bu kesrin payını ve paydasını 3 ile çarpıyoruz.
3. Kesri payda 60'a getirin.
60'ı 15'e bölerek ek bir çarpan elde ederiz. 4'e eşittir. Pay ve paydayı 4 ile çarpalım.
4. Kesri payda 24'e getirin
Basit durumlarda, zihinde yeni bir paydaya indirgeme yapılır. Köşeli parantezin arkasında, orijinal kesrin biraz sağında ve üstünde ek bir faktör belirtmek alışılmış bir durumdur.
Bir kesrin paydası 15'e, bir kesrin paydası 15'e indirgenebilir. Kesirlerin ortak paydası 15'tir.
Kesirlerin ortak paydası, paydalarının herhangi bir ortak katı olabilir. Basitlik için, kesirler en küçük ortak paydaya indirgenir. Verilen kesirlerin paydalarının en küçük ortak katına eşittir.
Örnek. Kesrin en küçük ortak paydasına azaltın ve .
İlk olarak, bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulun. Bu sayı 12'dir. Birinci ve ikinci kesirler için ek bir çarpan bulalım. Bunu yapmak için 12'yi 4'e ve 6'ya böleriz. Birinci kesir için üç, ikinci kesir için iki ek çarpandır. Kesirleri payda 12'ye getiriyoruz.
Kesirleri ortak bir paydaya indirdik, yani onlara eşit ve paydaları aynı olan kesirler bulduk.
Kural. Kesirleri en küçük ortak paydaya getirmek için,
İlk olarak, bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulun, bu onların en küçük ortak paydası olacaktır;
İkincisi, en küçük ortak paydayı bu kesirlerin paydalarına bölün, yani her kesir için ek bir çarpan bulun.
Üçüncüsü, her kesrin payını ve paydasını ek faktörü ile çarpın.
a) Kesirleri bir ortak paydaya indirgeyin.
En küçük ortak payda 12'dir. İlk kesir için ek faktör 4, ikincisi - 3'tür. Kesirleri payda 24'e getiriyoruz.
b) Kesirleri bir ortak paydaya indirgeyin.
En küçük ortak payda 45'tir. 45'i 9'a 15'e bölersek sırasıyla 5 ve 3 elde ederiz.Kesirleri payda 45'e getiriyoruz.
c) Kesirleri ve ortak bir paydaya indirgeyin.
Ortak payda 24'tür. Ek çarpanlar sırasıyla 2 ve 3'tür.
Bazen verilen kesirlerin paydaları için en küçük ortak katı sözlü olarak bulmak zordur. Daha sonra ortak payda ve ek çarpanlar genişletilerek bulunur. asal çarpanlar.
Kesrin ortak paydasına azaltın ve .
60 ve 168 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım. 60 sayısının açılımını yazalım ve ikinci açılımdan eksik çarpanları 2 ve 7'yi toplayalım. 60'ı 14 ile çarp ve 840'ın ortak paydasını bul. Birinci kesrin ek çarpanı 14. İkinci kesrin ek çarpanı 5. Kesirleri ortak payda 840'a indirelim.
Kaynakça
1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ve diğerleri Matematik 6. - M.: Mnemozina, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6. sınıf. - Spor salonu, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bir matematik ders kitabının sayfalarının arkasında. - Aydınlanma, 1989.
4. Rurukin A.N., Chaikovsky I.V. 5-6. sınıf matematik dersi için görevler. - ZSH MEPhi, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Matematik 5-6. MEPhI yazışma okulunun 6. sınıfındaki öğrenciler için bir el kitabı. - ZSH MEPhi, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. vb. Matematik: 5-6. sınıflar için muhatap ders kitabı lise. Matematik öğretmeninin kütüphanesi. - Aydınlanma, 1989.
Madde 1.2'de belirtilen kitapları indirebilirsiniz. bu ders.
Ev ödevi
Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ve diğerleri Matematik 6. - M .: Mnemozina, 2012. (bkz. bağlantı 1.2)
Ödev: Sayı 297, Sayı 298, Sayı 300.
Diğer görevler: #270, #290
Kesirlerin paydaları farklı veya aynıdır. Aynı payda veya başka bir şekilde adlandırılan ortak payda kesirde Ortak paydaya bir örnek:
\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)
Kesirler için farklı paydalara bir örnek:
\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)
Bir kesrin ortak paydası nasıl bulunur?
İlk kesrin paydası 3, ikincisi 13'tür. Hem 3'e hem de 13'e bölünebilen bir sayı bulmanız gerekir. Bu sayı 39'dur.
İlk kesir ile çarpılmalıdır ek çarpan 13. Kesrin değişmemesi için hem payı hem de paydayı 13 ile çarpmalıyız.
\(\frac(8)(3) = \frac(8 \times \color(red) (13)(3 \times \color(red) (13)) = \frac(104)(39)\)
İkinci kesri ek bir 3 faktörü ile çarpıyoruz.
\(\frac(2)(13) = \frac(2 \times \color(red) (3)(13 \times \color(red) (3)) = \frac(6)(39)\)
Kesrin ortak paydasını indirdik:
\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)
En düşük ortak payda.
Başka bir örnek düşünün:
\(\frac(5)(8)\) ve \(\frac(7)(12)\) kesirlerini ortak bir paydaya getirelim.
8 ve 12 sayıları için ortak payda 24, 48, 96, 120, ... sayıları olabilir, seçmek gelenekseldir en küçük ortak payda bizim durumumuzda bu sayı 24'tür.
en düşük ortak payda birinci ve ikinci kesrin paydasını bölen en küçük sayıdır.
En küçük ortak payda nasıl bulunur?
Birinci ve ikinci kesirlerin paydasının bölündüğü ve en küçüğünü seçtiği sayıların sıralanmasıyla.
Paydası 8 olan kesri 3 ile, paydası 12 olan kesri de 2 ile çarpmamız gerekiyor.
\(\begin(hizala)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3)) = \frac(15 )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \times \color(red) (2))(12 \times \color(red) (2)) = \frac( 14)(24)\\\\ \end(hizala)\)
Kesirleri hemen en küçük ortak paydaya getiremezseniz endişelenecek bir şey yok, ileride örneği çözerken cevabı almanız gerekebilir.
Herhangi iki kesrin ortak paydası bulunabilir; bu kesrin paydalarının çarpımı olabilir.
Örneğin:
\(\frac(1)(4)\) ve \(\frac(9)(16)\) kesirlerini en küçük ortak paydaya indirin.
Ortak paydayı bulmanın en kolay yolu paydaları 4⋅16=64 ile çarpmaktır. 64 sayısı en küçük ortak payda değildir. Görev, en küçük ortak paydayı bulmaktır. Bu yüzden daha ileriye bakıyoruz. Hem 4'e hem de 16'ya bölünebilen bir sayıya ihtiyacımız var, bu 16 sayısı. Kesri ortak paydaya indirelim, paydası 4 olan kesri 4 ile, paydası 16 olan kesri birle çarpalım. Biz:
\(\begin(hizala)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(red) (4))(4 \times \color(red) (4)) = \frac(4 )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \times \color(red) (1))(16 \times \color(red) (1)) = \frac( 9)(16)\\\\ \end(hizala)\)