6 sayısını çarpanlara ayırma. Asal ve Bileşik Sayılar
Bu çevrimiçi hesap makinesi, bir işlevi çarpanlara ayırmak için tasarlanmıştır.
Örneğin, çarpanlara ayır: x 2 /3-3x+12 . x^2/3-3*x+12 olarak yazalım. Tüm hesaplamaların Word formatında kaydedildiği bu hizmeti de kullanabilirsiniz.
Örneğin, terimlere ayrıştırın. (1-x^2)/(x^3+x) olarak yazalım. Çözümün ilerleme durumunu görmek için Adımları göster 'i tıklayın. Sonucu Word formatında almanız gerekiyorsa, bu hizmeti kullanın.
Not: "pi" (π) sayısı pi olarak yazılır; karekök sqrt olarak, örneğin sqrt(3) , tg'nin tanjantı tan olarak yazılır. Yanıt için Alternatif bölümüne bakın.
- Basit bir ifade verilirse, örneğin 8*d+12*c*d , ifadeyi çarpanlara ayırmak, ifadeyi çarpanlara ayırmak anlamına gelir. Bunu yapmak için ortak faktörleri bulmanız gerekir. Bu ifadeyi şu şekilde yazıyoruz: 4*d*(2+3*c) .
- Ürünü iki iki terimli olarak ifade edin: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Burada zaten birkaç ortak çarpan bulmamız gerekiyor: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). (x+7z) çıkarırız ve şunu elde ederiz: (x+7z)(x + 3y) .
ayrıca bkz. Polinomların bir köşeye bölünmesi (bir sütuna bölünmenin tüm adımları gösterilmiştir)
Çarpanlara ayırma kurallarını öğrenmede yararlıdır kısaltılmış çarpma formülleri, köşeli parantezlerin nasıl açılacağı açık olacak:
- (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
- (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
- (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
- a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
- a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
- (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
- (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3
Faktoring yöntemleri
Birkaç numara öğrendikten sonra çarpanlara ayırmaçözümler şu şekilde sınıflandırılabilir:- Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanma.
- Ortak bir faktör arayın.
çarpanlara ayırmak ne demek? Nasıl yapılır? Bir sayıyı asal çarpanlara ayırmaktan ne öğrenilebilir? Bu soruların cevapları özel örneklerle gösterilmiştir.
Tanımlar:
Asal sayı, tam olarak iki farklı böleni olan bir sayıdır.
Bileşik sayı, ikiden fazla böleni olan sayılardır.
çürümek doğal sayı faktörlere, onu doğal sayıların bir ürünü olarak temsil etmek anlamına gelir.
Bir doğal sayıyı asal çarpanlara ayırmak, onu asal sayıların bir ürünü olarak göstermek demektir.
Notlar:
- Bir asal sayının açılımında, çarpanlardan biri bire, diğeri de bu sayının kendisine eşittir.
- Birliğin faktörlere ayrışması hakkında konuşmanın bir anlamı yok.
- Bileşik bir sayı, her biri 1'den farklı olan faktörlere ayrılabilir.
150 sayısını çarpanlarına ayıralım. Örneğin, 150, 15 çarpı 10'dur. 15 bir bileşik sayıdır. 5 ve 3 asal çarpanlarına ayrılabilir. 10 bileşik bir sayıdır. 5 ve 2 asal çarpanlarına ayrılabilir. Açılımlarını 15 ve 10 yerine asal çarpanlarına yazarak 150 sayısının bir ayrıştırmasını elde ettik. |
|
150 sayısı başka bir şekilde çarpanlarına ayrılabilir. Örneğin 150, 5 ve 30 sayılarının çarpımıdır. 5 bir asal sayıdır. 30 bileşik bir sayıdır. 10 ve 3'ün çarpımı olarak gösterilebilir. 10 bileşik bir sayıdır. 5 ve 2 asal çarpanlarına ayrılabilir. 150 sayısının asal çarpanlara ayrılmasını farklı bir şekilde elde ettik. |
|
Birinci ve ikinci açılımların aynı olduğuna dikkat edin. Sadece çarpanların sırasına göre farklılık gösterirler. Faktörleri artan sırada yazmak gelenekseldir. |
|
Herhangi bir bileşik sayı, faktörlerin sırasına kadar benzersiz bir şekilde asal faktörlere ayrıştırılabilir. |
Büyük sayıları asal çarpanlara ayırırken bir sütun girişi kullanılır:
216'nın bölünebilen en küçük asal sayısı 2'dir. 216'yı 2'ye bölün. 108 elde ederiz. |
|
Ortaya çıkan 108 sayısı 2 ile bölünebilir. Bölmeyi yapalım. Sonuç olarak 54 alıyoruz. |
|
2'ye bölünebilme testine göre 54 sayısı 2'ye tam bölünür. Böldükten sonra 27 elde ederiz. |
|
27 sayısı tek sayı 7 ile biter. BT 2'ye bölünemez. Sonraki asal sayı 3'tür. 27'yi 3'e bölün. 9'u elde ederiz. En küçük asal sayı 9'un bölünebildiği sayı 3'tür. Üç kendisidir. asal sayı, kendisine ve bire bölünür. 3'ü kendimize bölelim. Sonuç olarak 1 tane aldık. |
|
- Bir sayı, yalnızca ayrışmasının bir parçası olan asal sayılara bölünebilir.
- Bir sayı yalnızca, asal faktörlere ayrıştırılması tamamen içinde bulunan bileşik sayılarla bölünebilir.
Örnekleri düşünün:
4900, 2, 5 ve 7 asal sayılarına bölünebilir (4900 sayısının açılımına dahildir), ancak örneğin 13'e bölünemez. |
|
11 550 75. Bunun nedeni, 75 sayısının açılımının tamamen 11550 sayısının açılımında yer almasıdır. Bölmenin sonucu, 2, 7 ve 11. faktörlerin ürünü olacaktır. 11550 4'e tam bölünemez çünkü 4'ün açılımında fazladan 2 vardır. |
Bu sayılar asal çarpanlara ayrılırsa, a sayısının b sayısına bölünmesinin bölümünü bulun: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19
b sayısının ayrıştırılması tamamen a sayısının ayrıştırılmasında bulunur. |
|
a'yı b'ye bölmenin sonucu, a'nın açılımında kalan üç sayının çarpımıdır. Yani cevap: 30. |
bibliyografya
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6. sınıf. - Jimnastik salonu. 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bir matematik ders kitabının sayfalarının arkasında. - M.: Aydınlanma, 1989.
- Rurukin A.N., Çaykovski I.V. 5-6. sınıf matematik dersi için görevler. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Çaykovski K.G. Matematik 5-6. MEPhI yazışma okulunun 6. sınıf öğrencileri için bir kılavuz. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematik: 5-6. sınıflar için muhatap ders kitabı lise. - M.: Eğitim, Matematik Öğretmeni Kütüphanesi, 1989.
- İnternet portalı Matematika-na.ru ().
- İnternet portalı Math-portal.ru ().
Ev ödevi
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M.: Mnemozina, 2012. No. 127, No. 129, No. 141.
- Diğer görevler: No. 133, No. 144.
Bir doğal sayının dışındaki her doğal sayının iki veya daha fazla böleni vardır. Örneğin 7 sayısı sadece 1 ve 7 ile kalansız bölünebilir yani iki böleni vardır. Ve 8 sayısının 1, 2, 4, 8 bölenleri vardır, yani aynı anda 4 taneye kadar böleni vardır.
Asal ve bileşik sayılar arasındaki fark nedir
İkiden fazla çarpanı olan sayılara bileşik sayılar denir. Bir ve kendisi olmak üzere sadece iki böleni olan sayılara asal sayı denir.
1 sayısının sadece bir bölümü vardır, yani sayının kendisi. Birim, asal veya bileşik sayılar için geçerli değildir.
- Örneğin 7 sayısı asal, 8 sayısı bileşiktir.
İlk 10 asal sayı: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. 2 sayısı tek çift asal sayıdır, diğer tüm asal sayılar tektir.
78 sayısı bileşiktir, çünkü 1 ve kendisine ek olarak 2'ye de bölünebilir. 2'ye bölündüğünde 39 elde ederiz. Yani 78 = 2 * 39. Bu gibi durumlarda, sayının 2 ve 39 ile çarpanlarına ayrıldığı söylenir.
Herhangi bir bileşik sayı, her biri 1'den büyük olan iki faktöre ayrılabilir. Asal sayı ile böyle bir numara çalışmaz. O zaman o gider.
Bir sayıyı asal çarpanlara ayırma
Yukarıda belirtildiği gibi, herhangi bir bileşik sayı iki faktöre ayrılabilir. Örneğin 210 sayısını alın. Bu sayı 21 ve 10 olmak üzere iki çarpana ayrılabilir. Ancak 21 ve 10 sayıları da bileşiktir, onları iki çarpana ayıralım. 10 = 2*5, 21=3*7 elde ederiz. Ve sonuç olarak, 210 sayısı zaten 4 faktöre ayrıldı: 2,3,5,7. Bu sayılar zaten asaldır ve ayrıştırılamaz. Yani 210 sayısını asal çarpanlarına ayırdık.
Bileşik sayıları asal çarpanlara ayırırken, genellikle artan sırada yazılırlar.
Herhangi bir bileşik sayının, bir permütasyona kadar, asal faktörlere ve dahası benzersiz bir şekilde ayrıştırılabileceği unutulmamalıdır.
- Genellikle, bir sayıyı asal çarpanlara ayırırken bölünebilirlik işaretleri kullanılır.
378 sayısını asal çarpanlarına ayıralım
Rakamları dikey bir çubukla ayırarak yazacağız. 378 sayısı 8 ile bittiği için 2'ye tam bölünür. Bölerken 189 sayısını elde ederiz. 189 sayısının rakamları toplamı 3'e tam bölünür yani 189 sayısı 3'e tam bölünür. sonuç olarak 63 elde ederiz.
63 sayısı da bölünebilme ilkesine göre 3'e tam bölünür. 21'i elde ederiz, 21 sayısı yine 3'e bölünebilir, 7'yi elde ederiz. Yedi sadece kendisine bölünür, bir elde ederiz. Bu bölünmeyi tamamlar. Satırdan sonra sağda, 378 sayısının ayrıştırıldığı asal çarpanlarımız var.
378|2
189|3
63|3
21|3
Her şey geometrik bir ilerleme ile başlar. Serilerle ilgili ilk derste (bkz. 18.1. Temel tanımlar) bu fonksiyonun serinin toplamı olduğunu ispatladık. , ve seri bir fonksiyona yakınsar
. Yani,
.
Bu serinin birkaç çeşidini yazalım. değiştirme X üzerinde - X , alırız
değiştirirken X
üzerinde
alırız
vb.; tüm bu serilerin yakınsama bölgesi aynıdır:
.
2.
.
Bir noktada bu fonksiyonun tüm türevleri X
=0 eşittir
yani dizi şuna benziyor
.
Bu serinin yakınsama alanı, sayısal eksenin tamamıdır (örnek 6 bölüm 18.2.4.3. Bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı, yakınsaklık aralığı ve yakınsaklık bölgesi), bu yüzden
de
. Sonuç olarak, Taylor formülünün kalan terimi
. Böylece seri yakınsar
Herhangi bir noktada X
.
3.
.
Bu seri kesinlikle yakınsama için
, ve toplamı gerçekten eşittir
. Taylor formülünün kalan terimi şu şekildedir:
, nerede
veya
sınırlı bir işlevdir ve
(bu, önceki genişlemenin ortak terimidir).
4.
.
Bu genişleme, öncekiler gibi, türevlerin art arda hesaplanmasıyla elde edilebilir, ancak farklı bir şekilde ilerleyeceğiz. Bir önceki seri terimini terime göre ayıralım:
Tüm eksendeki bir fonksiyona yakınsama, bir güç serisinin terim terim farklılaşmasına ilişkin teoremden kaynaklanır.
5. , olduğunu tam sayı ekseninde kanıtlayın.
6.
.
Bu fonksiyon için seri denir iki terimli dizi. Burada türevleri hesaplayacağız.
…Maclaurin serisi şu şekildedir:
Bir yakınsama aralığı arıyoruz: bu nedenle yakınsama aralığı
. Geri kalan terimi ve serinin yakınsama aralığının sonundaki davranışını araştırmayacağız; o zaman ortaya çıkıyor
seri her iki noktada da kesinlikle yakınsar
,
seri şartlı olarak bir noktada yakınsar
ve noktada ayrılır
,
iki noktada birbirinden ayrılır.
7.
.
Burada şu gerçeği kullanacağız
. O zamandan beri, terim terim entegrasyondan sonra,
Bu serinin yakınsaklık bölgesi yarı aralıktır.
, iç noktalarda fonksiyona yakınsaklık, bir güç serisinin terim terim entegrasyonuna ilişkin teoremden gelir. X
=1 - tüm noktalarda hem fonksiyonun hem de kuvvet serilerinin toplamının sürekliliğinden, keyfi olarak yakın X
=1 solda. aldığını unutmayın X
=1 ise serinin toplamını buluruz.
8.
Seri terimini terim terim entegre ederek, fonksiyon için bir açılım elde ederiz.
. Tüm hesaplamaları kendiniz yapın, yakınsama alanını yazın.
9.
fonksiyonunun açılımını yazalım.
ile binom serisi formülüne göre
: . Payda
olarak temsil edilir, çift faktöriyel
ile aynı pariteye sahip tüm doğal sayıların çarpımı anlamına gelir. , aşırı değil . Genişleme için bir işleve yakınsar
. Terim açısından 0'dan tümleşik X
, alıyoruz. Bu serinin tüm aralıktaki fonksiyona yakınsadığı ortaya çıktı.
; de X
=1 sayının başka bir güzel temsilini elde ederiz :
.
18.2.6.2. Bir dizideki fonksiyonların açılımıyla ilgili problemleri çözme. Temel bir fonksiyonu bir kuvvet serisine genişletmenin gerekli olduğu çoğu problem
, standart açılımlar kullanılarak çözülür. Neyse ki, herhangi bir temel temel işlevin bunu yapmanıza izin veren bir özelliği vardır. Birkaç örnek düşünelim.
1. İşlevi ayrıştırın
derece ile
.
Çözüm. . Seri bir noktada birleşiyor
.
2. İşlevi genişletin
derece ile
.
Çözüm.
. Yakınsama alanı:
.
3. İşlevi genişletin
derece ile
.
Çözüm. . Seri bir noktada birleşiyor
.
4. İşlevi ayrıştırın
derece ile
.
Çözüm. . Seri bir noktada birleşiyor
.
5. Fonksiyonu ayrıştırın
derece ile
.
Çözüm. . yakınsama alanı
.
6. İşlevi genişletin
derece ile
.
Çözüm. İkinci türden bir dizi basit rasyonel fraksiyona açılım, birinci tip fraksiyonların karşılık gelen açılımlarının terim terim farklılaşmasıyla elde edilir. Bu örnekte. Ayrıca, terim terim farklılaşma yoluyla, fonksiyonların açılımları elde edilebilir.
,
vb.
7. İşlevi ayrıştırın
derece ile
.
Çözüm. Eğer bir rasyonel kesir basit değil, önce bir toplam olarak temsil edilir basit kesirler:
ve ardından örnek 5'teki gibi devam edin: burada
.
Doğal olarak, böyle bir yaklaşım, örneğin işlevin ayrıştırılması için uygulanamaz. derece ile X . Burada Taylor serisinin ilk birkaç terimini almanız gerekiyorsa en kolay yolu noktadaki değerleri bulmaktır. X =0 gerekli sayıda birinci türev.