Kısmi olarak irrasyonel. En basit rasyonel denklemler

Bugün nasıl çözeceğimizi bulacağız kesirli rasyonel denklemler.

Bakalım: denklemlerden

(1) 2x + 5 = 3(8 - x),

(3)

(4)

kesirli rasyonel denklemler sadece (2) ve (4), (1) ve (3) tam denklemlerdir.

Denklemi (4) çözmeyi ve ardından kuralı formüle etmeyi öneriyorum.

Denklem kesirli olduğundan, bulmamız gerekir ortak payda. Bu denklemde bu ifade 6 (x - 12) (x - 6) şeklindedir. Sonra denklemin her iki tarafını ortak bir payda ile çarparız:

İndirgemeden sonra, tüm denklemi elde ederiz:

6 (x - 6) 2 - 6 (x - 12) 2 \u003d 5 (x - 12) (x - 6).

Bu denklemi çözdükten sonra, elde edilen köklerin orijinal denklemdeki kesirlerin paydalarını sıfıra çevirip çevirmediğini kontrol etmek gerekir.

Köşeli parantezleri genişletmek:
6x 2 - 72x + 216 - 6x 2 + 144x - 864 = 5x 2 - 90x + 360, denklemi basitleştiriyoruz: 5x 2 - 162x + 1008 = 0.

Denklemin köklerini bulma
D=6084, √D=78,
x 1 = (162 - 78) / 10 = 84/10 = 8,4 ve x 2 = (162 + 78) / 10 = 240/10 = 24.

x = 8.4 ve 24'te ortak payda 6(x - 12)(x - 6) ≠ 0'dır, yani bu sayılar denklem (4)'ün kökleridir.

Cevap: 8,4; 24.

Önerilen denklemi çözerek aşağıdaki sonuca varırız hükümler:

1) Ortak bir payda buluyoruz.

2) Denklemin her iki tarafını ortak bir payda ile çarpın.

3) Ortaya çıkan tüm denklemi çözüyoruz.

4) Köklerden hangisinin ortak paydayı sıfıra çevirdiğini kontrol eder ve onları çözümden çıkarırız.

Şimdi ortaya çıkan konumların nasıl çalıştığına dair bir örneğe bakalım.

Denklemi çözün:

1) Ortak payda: x 2 - 1

2) Denklemin her iki parçasını da ortak bir payda ile çarpıyoruz, tüm denklemi elde ediyoruz: 6 - 2 (x + 1) \u003d 2 (x 2 - 1) - (x + 4) (x - 1)

3) Denklemi çözüyoruz: 6 - 2x - 2 \u003d 2x 2 - 2 - x 2 - 4x + x + 4

x 2 - x - 2 = 0

x 1 = - 1 ve x 2 = 2

4) x \u003d -1 olduğunda, ortak payda x 2 - 1 \u003d 0. -1 sayısı bir kök değildir.

x \u003d 2 için ortak payda x 2 - 1 ≠ 0'dır. 2 sayısı denklemin köküdür.

Cevap: 2.

Gördüğünüz gibi, hükümlerimiz çalışıyor. Korkma, başaracaksın! En önemli ortak paydayı doğru bul Ve dönüşümleri dikkatlice yapın. Kesirli rasyonel denklemleri çözerken her zaman doğru cevapları alacağınızı umuyoruz. Herhangi bir sorunuz varsa veya bu tür denklemleri çözmek için pratik yapmak istiyorsanız, bu makalenin yazarı öğretmen Valentina Galinevskaya ile derslere kaydolun.

site, malzemenin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Denklemi yukarıdaki § 7'de tanıttık. İlk olarak, rasyonel ifadenin ne olduğunu hatırlayalım. Bu - cebirsel ifade, doğal bir üs ile toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerini kullanan sayılardan ve x değişkeninden oluşur.

r(x) bir rasyonel ifade ise, r(x) = 0 denklemine rasyonel denklem denir.

Bununla birlikte, pratikte "rasyonel denklem" teriminin biraz daha geniş bir yorumunu kullanmak daha uygundur: bu, h(x) = q(x) biçiminde bir denklemdir; burada h(x) ve q(x) rasyonel ifadeler

Şimdiye kadar herhangi bir rasyonel denklemi çözemedik, sadece çeşitli dönüşümler ve muhakemeler sonucunda şuna indirgenen bir denklemi çözebildik: Doğrusal Denklem. Şimdi olasılıklarımız çok daha büyük: sadece lineer denkleme indirgenmeyen rasyonel bir denklemi çözebileceğiz.
mu, aynı zamanda ikinci dereceden denkleme.

Daha önce rasyonel denklemleri nasıl çözdüğümüzü hatırlayın ve bir çözüm algoritması formüle etmeye çalışın.

örnek 1 denklemi çözün

Çözüm. Denklemi formda yeniden yazıyoruz

Bu durumda, her zamanki gibi, A \u003d B ve A - B \u003d 0 eşitliklerinin A ve B arasındaki aynı ilişkiyi ifade ettiği gerçeğini kullanıyoruz. Bu, terimi denklemin sol tarafına şu şekilde aktarmamızı sağladı: zıt işaret.

Denklemin sol tarafının dönüşümlerini yapalım. Sahibiz

Eşitlik koşullarını hatırlayın kesirler sıfır: ancak ve ancak iki ilişki aynı anda karşılanırsa:

1) kesrin payı sıfırdır (a = 0); 2) kesrin paydası sıfırdan farklıdır).
Denklemin (1) sol tarafındaki kesrin payını sıfıra eşitleyerek, elde ederiz

Geriye yukarıda belirtilen ikinci koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol etmek kalır. Oran, denklem (1) için şu anlama gelir: x 1 \u003d 2 ve x 2 \u003d 0.6 değerleri belirtilen ilişkileri karşılar ve bu nedenle denklemin (1) kökleri ve aynı zamanda verilen denklem.

1) Denklemi forma dönüştürelim

2) Bu denklemin sol tarafının dönüşümlerini yapalım:

(aynı anda paydaki işaretleri değiştirdi ve
kesirler).
Böylece, verilen denklem şeklini alır

3) x 2 - 6x + 8 = 0 denklemini çözün.

4) Bulunan değerler için koşulu kontrol edin . 4 sayısı bu koşulu sağlarken 2 sayısı sağlamaz. Yani 4 verilen denklemin köküdür ve 2 yabancı bir köktür.
Cevap: 4.

2. Yeni bir değişken ekleyerek rasyonel denklemlerin çözümü

Yeni bir değişken tanıtma yöntemi size tanıdık geliyor, onu birden çok kez kullandık. Rasyonel denklemlerin çözümünde nasıl kullanıldığını örneklerle gösterelim.

Örnek 3 x 4 + x 2 - 20 = 0 denklemini çözün.

Çözüm. Yeni bir değişken y \u003d x 2 sunuyoruz. x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2 olduğundan, verilen denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

y 2 + y - 20 = 0.

Bu, kökleri bilinenleri kullanarak bulacağımız ikinci dereceden bir denklemdir. formüller; y 1 = 4, y 2 = - 5 elde ederiz.
Ancak y \u003d x 2, bu, sorunun iki denklemi çözmeye indirgendiği anlamına gelir:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Birinci denklemden ikinci denklemin kökü olmadığını görüyoruz.
Cevap: .
ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 biçimindeki bir denkleme biquadratic denklem denir ("bi" - iki, yani "iki kare" denklemi). Az önce çözülen denklem tam olarak biquadratic idi. Herhangi bir biquadratic denklem, örnek 3'teki denklemle aynı şekilde çözülür: yeni bir y \u003d x 2 değişkeni eklenir, ortaya çıkan ikinci dereceden denklem, y değişkenine göre çözülür ve ardından x değişkenine geri döndürülür.

Örnek 4 denklemi çözün

Çözüm. Aynı x 2 + 3x ifadesinin burada iki kez geçtiğine dikkat edin. Bu nedenle, yeni bir y = x 2 + Zx değişkeni eklemek mantıklıdır. Bu, denklemi daha basit ve daha hoş bir biçimde yeniden yazmamızı sağlayacaktır (aslında bu, yeni bir formül getirmenin amacıdır). değişken- ve kayıt daha kolaydır
ve denklemin yapısı netleşir):

Ve şimdi algoritmayı rasyonel bir denklemi çözmek için kullanacağız.

1) Denklemin tüm terimlerini bir parçaya taşıyalım:

= 0
2) Denklemin sol tarafını dönüştürelim

Böylece, verilen denklemi forma dönüştürdük

3) Denklemden - 7y 2 + 29y -4 = 0 bulduk (halihazırda oldukça fazla ikinci dereceden denklem çözdük, bu nedenle muhtemelen ders kitabında her zaman ayrıntılı hesaplamalar yapmaya değmez).

4) 5 (y - 3) (y + 1) koşulunu kullanarak bulunan kökleri kontrol edelim. Her iki kök de bu koşulu sağlar.
Böylece, yeni değişken y için ikinci dereceden denklem çözülür:
Y \u003d x 2 + Zx ve belirlediğimiz gibi y iki değer aldığından: 4 ve - hala iki denklemi çözmemiz gerekiyor: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Birinci denklemin kökleri 1 ve - 4 sayıları, ikinci denklemin kökleri ise sayılardır.

Ele alınan örneklerde, matematikçilerin söylemekten hoşlandıkları gibi, yeni bir değişkeni tanıtma yöntemi duruma uygundu, yani duruma iyi uyuyordu. Neden? Evet, çünkü aynı ifadeye denklem kaydında birkaç kez açıkça rastlanıyordu ve bu ifadenin yeni bir harfle belirtilmesi mantıklıydı. Ancak bu her zaman böyle değildir, bazen yeni bir değişken yalnızca dönüşüm sürecinde "görünür". Bir sonraki örnekte tam olarak bu olacak.

Örnek 5 denklemi çözün
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Çözüm. Sahibiz
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Böylece verilen denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Şimdi yeni bir değişken "ortaya çıktı": y = x 2 - Zx.

Yardımı ile denklem y (y + 2) \u003d 24 ve ardından y 2 + 2y - 24 \u003d 0 şeklinde yeniden yazılabilir. Bu denklemin kökleri 4 ve -6 sayılarıdır.

Orijinal x değişkenine dönersek, x 2 - Zx \u003d 4 ve x 2 - Zx \u003d - 6 olmak üzere iki denklem elde ederiz. İlk denklemden x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; ikinci denklemin kökü yoktur.

Cevap: 4, - 1.

ders içeriği ders özeti destek çerçevesi ders sunumu hızlandırıcı yöntemler etkileşimli teknolojiler Pratik görevler ve alıştırmalar kendi kendine inceleme atölye çalışmaları, eğitimler, vakalar, görevler ödev tartışma soruları öğrencilerden retorik sorular İllüstrasyonlar ses, video klipler ve multimedya fotoğraflar, resimler grafikler, tablolar, şemalar mizah, anekdotlar, fıkralar, çizgi roman benzetmeler, özdeyişler, çapraz bulmacalar, alıntılar eklentiler özetler makaleler meraklı kopya kağıtları için çipler ders kitapları temel ve ek terimler sözlüğü diğer Ders kitaplarının ve derslerin iyileştirilmesiders kitabındaki hataları düzeltme ders kitabındaki bir parçanın güncellenmesi, dersteki yenilik unsurlarının eskimiş bilgilerin yenileriyle değiştirilmesi Sadece öğretmenler için mükemmel dersler takvim planı Bir yıllığına yönergeler tartışma programları Entegre Dersler

Zaten bilindiği gibi (önceki bölümün 2. maddesine bakın), formun bir denklemi

en az biri kesirli olarak rasyonel olan rasyonel fonksiyonlara, bir bilinmeyenli kesirli rasyonel denklem denir.

Denklemi (1) çözmek için onu sol tarafa aktarıyoruz, gerekli işlemleri yapıyoruz. özdeş dönüşümler ve verilen denklemi forma yazın

polinomlar nereden ve nereden

Denklem (2), denklem (1)'in bir sonucudur. Nitekim (1) denkleminin bir çözümü varsa, o zaman denklem üzerinde yaptığımız tüm dönüşümleri bu eşitlik üzerinde gerçekleştirelim, eşitliği elde ederiz ve bu da c'nin (2) denkleminin bir çözümü olduğu anlamına gelir.

Bununla birlikte, denklem (2) mutlaka denklem (1) ile eşdeğer değildir. Denklem (1) dönüştürülürken, küme izin verilen değerler bilinmeyen değişebilir ve daraltılamaz ama genişleyebilir,

ve sonra denklem (2), denklem (1) için harici olan çözümlere sahip olacaktır. Bu, denklem (1) dönüştürülürken, bazı kesirli ifadeler karşılıklı olarak iptal edildiğinde veya bir indirgeme yapıldığında gerçekleşir. cebirsel kesirler bilinmeyeni içeren faktörlere

Örneğin, denklemde performans

elde ettiğimiz bu dönüşümler

Denklem (4), denklem (3) ile eşdeğer değildir. Gerçekten de kökleri vardır, ikincisi denklem (3) için gereksizdir, çünkü ifadede bir anlam ifade etmez. Bunun nedeni, denklem (3) dönüştürüldüğünde, terimlerin birbirini iptal etmesidir.

Başka bir denklemi dönüştürme

Elde edeceğimiz kesri azaltmak

Denklem (6), denklem (5)'i sağlamayan bir köke sahiptir, çünkü sol tarafı anlamını yitirmektedir. Bu nedenle, denklem (6) denklem (5)'e eşdeğer değildir. Bunun nedeni, verilen denklemi dönüştürme sürecinde cebirsel kesri şu kadar azaltmış olmamızdır:

Bu nedenle, denklem (2), denklem (1)'in bir sonucudur, ancak mutlaka ona eşdeğer değildir; dolayısıyla Denklem (1)'in çözümlerinin Denklem (2)'nin çözümleri arasında aranması gerektiği sonucu çıkar. Denklemin (2) çözümleri yalnızca sıfıra eşit olduğu değerler olabilir, yani yalnızca denklemin çözümleri olabilir, yani denklemin (1) çözümlerinin denklemin çözümleri arasında aranması gerekir.

Bu nedenle, denklem (1)'i çözmek için, denklemin tüm köklerini belirlemek ve ardından bunları doğrudan denklem (1)'de değiştirerek, hangilerinin verilen denklemin (1) kökleri olduğunu bulmak yeterlidir.

Muhakememiz, kesirli rasyonel denklemleri çözmek için aşağıdaki kural olarak kısaca formüle edilebilir.

Kesirli rasyonel denklemleri çözmek için

bir bilinmeyenle ihtiyacınız var:

1) tüm üyelerini sol tarafa taşıyın;

2) gerekli özdeş dönüşümleri gerçekleştirin ve verilen denklemi forma yazın

polinomlar nereden ve nereden

3) denklemi çöz

4) Denklemin çözümlerini orijinal denklemde yerine koyarak, hangisinin verilen denklemi sağladığını belirleyin.

Örnek. denklemi çözün

Tüm terimleri sol tarafa aktarıp ortak bir paydaya indirgeyerek şunu elde ederiz:

Sol tarafın payını sıfıra eşitleyerek, denklemi elde ederiz.

Bu çözümlerden ilki verilen denklemin dışındadır, ikincisi ise onu karşılar.

Şuna dikkat edin okul pratiği genellikle kesirli rasyonel denklemleri çözerken, belirli bir denklemin her iki kısmı, denklemin sol ve sağ taraflarında yer alan tüm cebirsel kesirlerin ortak paydasıyla çarpılır ve ardından bu şekilde elde edilen denklem çözülür. Ortaya çıkan cebirsel denklemin verilen denklemin bir sonucu olduğu açıktır, ancak ona eşdeğer değildir.

Bu nedenle, buna çözüm bulmak cebirsel denklem, bunlardan hangisinin verilen denklemin çözümü olacağını belirlemek için bunları verilen denklemde yerine koyarak gereklidir.

Kesirli rasyonel denklemlerin çözümü

Yardım rehberi

Rasyonel denklemler, hem sol hem de sağ tarafın rasyonel ifadeler olduğu denklemlerdir.

(Hatırlayın: Rasyonel ifadeler, toplama, çıkarma, çarpma veya bölme işlemleri dahil olmak üzere köksüz tamsayı ve kesirli ifadelerdir - örneğin: 6x; (m - n) 2; x / 3y, vb.)

Kesirli-rasyonel denklemler, kural olarak şu şekle indirgenir:

Nerede P(X) Ve Q(X) polinomlardır.

Bu tür denklemleri çözmek için, denklemin her iki tarafını da Q(x) ile çarpın, bu da yabancı köklerin ortaya çıkmasına neden olabilir. Bu nedenle kesirli rasyonel denklemleri çözerken bulunan kökleri kontrol etmek gerekir.

Rasyonel bir denklem, değişken içeren bir ifadeyle bölünmüyorsa tamsayı veya cebirsel olarak adlandırılır.

Tam bir rasyonel denklem örnekleri:

5x - 10 = 3(10 - x)

3x
-=2x-10
4

Rasyonel bir denklemde (x) değişkenini içeren bir ifadeyle bölme varsa, denkleme kesirli rasyonel denir.

Kesirli rasyonel denklem örneği:

15
x + - = 5x - 17
X

Kesirli rasyonel denklemler genellikle şu şekilde çözülür:

1) kesirlerin ortak paydasını bulun ve denklemin her iki kısmını da onunla çarpın;

2) ortaya çıkan tüm denklemi çözün;

3) kesirlerin ortak paydasını sıfıra çevirenleri köklerinden hariç tutun.

Tamsayılı ve kesirli rasyonel denklemleri çözme örnekleri.

Örnek 1. Tüm denklemi çözün

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Çözüm:

En küçük ortak paydayı bulmak. Bu 6'dır. 6'yı paydaya bölün ve sonucu her kesrin payıyla çarpın. Buna eşdeğer bir denklem elde ederiz:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Payda sağ ve sol taraflarda aynı olduğu için ihmal edilebilir. O zaman daha basit bir denklemimiz var:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Parantezleri açarak ve benzer terimleri azaltarak çözüyoruz:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Örnek çözüldü.

Örnek 2. Kesirli bir rasyonel denklemi çözün

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)

Ortak bir payda buluyoruz. Bu x(x - 5). Bu yüzden:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Şimdi tüm ifadeler için aynı olduğu için paydadan tekrar kurtuluyoruz. Benzer terimleri azaltıyoruz, denklemi sıfıra eşitliyoruz ve ikinci dereceden bir denklem elde ediyoruz:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

İkinci dereceden denklemi çözdükten sonra köklerini buluyoruz: -2 ve 5.

Bu sayıların orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edelim.

x = –2 için, ortak payda x(x – 5) kaybolmaz. Yani -2, orijinal denklemin köküdür.

x = 5'te ortak payda kaybolur ve üç ifadeden ikisi anlamını kaybeder. Yani 5 sayısı orijinal denklemin kökü değildir.

Cevap: x = -2

Daha fazla örnek

örnek 1

x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2.2.

Cevap: -2.2; 6.

Örnek 2

Rasyonel denklemler, rasyonel ifadeler içeren denklemlerdir.

tanım 1

Bu durumda rasyonel ifadeler şeklinde yazılabilen ifadelerdir. ortak kesir$\frac(m)(n)$ biçiminde, $m$ ve $n$ tam sayılardır ve $n$ sıfıra eşit olamaz. Rasyonel ifadeler, yalnızca $\frac(2)(3)$ biçimindeki kesirleri içeren ifadeleri değil, aynı zamanda yalnızca tamsayıları içeren ifadeleri de içerir, çünkü herhangi bir tamsayı uygun olmayan bir kesir olarak gösterilebilir.

Şimdi rasyonel denklemlerin ne olduğuna daha yakından bakalım.

Yukarıda da belirttiğimiz gibi rasyonel denklemler, rasyonel ifadeler ve değişkenler içeren denklemlerdir.

Değişkenin bir rasyonel denklemdeki konumuna göre, kesirli bir rasyonel denklem veya tam bir rasyonel denklem olabilir.

Kesirli denklemler, denklemin sadece bir bölümünde değişkenli bir kesir içerebilirken, tüm denklemler değişkenli kesirli ifadeler içermez.

Tüm rasyonel denklem örnekleri: $5x+2= 12$; $3y=-7(-4y + 5)$; $7a-14=256$.

Kesirli-rasyonel denklem örnekleri: $\frac(3x-2)(x+3)+\frac(1)(2)=\frac(5)(x)$; $\frac(7)(2y-3)=5$;

Değişken içermeyen kesirli ifadeler içeren denklemler kolayca doğrusal tamsayı denklemlerine indirgenebileceğinden, yalnızca paydada bir kesir içeren denklemlere kesirli rasyonel denklemler dendiğini belirtmekte fayda var.

Rasyonel denklemler nasıl çözülür?

Tamsayılı bir rasyonel denklemle mi yoksa kesirli bir denklemle mi uğraştığınıza bağlı olarak, onu çözmek için biraz farklı algoritmalar kullanılır.

Tüm rasyonel denklemleri çözmek için algoritma

1. Öncelikle, tüm eşitlik için en küçük ortak paydayı belirlemeniz gerekir.
2. Ardından, eşitliğin her bir terimini çarpmanız gereken faktörleri belirlemeniz gerekir.
3. Bir sonraki aşama, tüm eşitliğin ortak bir paydasına indirgenmesidir.
4. Son olarak, elde edilen tamsayıların rasyonel eşitliğinin köklerinin aranması uygulaması.

örnek 1

Denklemi çözün: $\frac(5x+9)(2)=\frac(x)(4)$

İlk olarak, ortak çarpanı bulalım - bu durumda $4$ sayısı. Paydadan kurtulmak için sol tarafı $\frac(2)(2)$ ile çarparsak şunu elde ederiz:

$10x+18=x$ - ortaya çıkan denklem doğrusaldır, kökü $x=-2$'dir.

Kesirli rasyonel denklemler nasıl çözülür?

Kesirli rasyonel denklemler söz konusu olduğunda, çözüm sırası tamsayılı rasyonel denklemleri çözme algoritmasına benzer, yani 1-4 noktaları korunur, ancak eşdeğer olmayan dönüşümlerin kullanılması durumunda beklenen kökleri bulduktan sonra, kökler denklemde ikame edilerek kontrol edilmelidir.

Örnek 2

Kesirli rasyonel denklemi çözün: $\frac(x-3)(x-5)+\frac(1)(x)=\frac(x+5)(x \cdot (x-5))$

Kesri ortak bir paydaya indirgemek için, burada $x \cdot (x-5)$'dir, her kesri bir ortak paydaya indirgemek için gerekli faktör olarak gösterilen bir ile çarparız:

$\frac((x-3) \cdot x)((x-5)\cdot x)+\frac(1 \cdot (x-5))(x \cdot (x-5))=\frac( x+5)(x \cdot (x-5)$

Artık tüm kesrin ortak bir paydası olduğuna göre, ondan kurtulabilirsiniz:

$(x-3) \cdot x+(x-5)=x+5$

$x^2 ​​​​- 3x+x-5 = x+5$

Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi çözmek için Vieta teoremini kullanalım:

$\begin(durumlar) x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \\ \end(durumlar)$

$\begin(durumlar) x_1=5 \\ x_2=-2 \\ \end(durumlar)$

Denklemi basitleştirmek için kullanılan dönüşüm eşdeğer olmadığından, elde edilen kökler orijinal denklemde kontrol edilmelidir, bunun için yerine koyarız:

$\frac(-2-3)(-2-5) +\frac(1)(-2)=\frac(-2+5)((-2) \cdot (-2-5)$

$\frac(5)(7)-\frac(1)(2)=\frac(3)(14)$

$\frac(3)(14)=\frac(3)(14)$ - dolayısıyla $x_2=-2$ kökü doğrudur.

$\frac(5-3)(5-5) +\frac(1)(5)=\frac(5+5)((-2) \cdot (5-5)$

Burada paydada sıfırın oluştuğu hemen anlaşılır, bu nedenle $x_1=5$ kökü bir yabancıdır.

Solda veya sağda $\frac(m)(n)$ şeklinde bir ifade içeren bir denklem sıfıra eşitse, sadece kesrin payının sıfıra eşit olabileceği unutulmamalıdır. Bunun nedeni, paydada bir yerde sıfır oluşması durumunda, kontrol edilen kökün denklemin kökü olmamasıdır, çünkü bu durumda tüm eşitlik anlamını yitirir. Paydayı sıfıra getiren köklere yabancı denir.

Kesirli-rasyonel denklem oldukça karmaşık bir şekle sahipse, daha fazla basitleştirme ve çözüm için denklemin bir kısmının yeni bir değişkenle değiştirilmesi mümkündür, muhtemelen bu tür kesirli-rasyonel denklemlerin örneklerini görmüşsünüzdür:

Örnek 3

Denklemi çözün:

$\frac(1)(x^2+3x-3)+\frac(2)(x^2+3x+1)=\frac(7)(5)$

Çözümü basitleştirmek için $t= x^2+3x$ değişkenini tanıtıyoruz:

$\frac(1)(t-3)+\frac(2)(t+1)=\frac(7)(5)$

Buradaki ortak payda $5 \cdot (t-3)(t+1)$, ondan kurtulmak için denklemin tüm kısımlarını gerekli çarpanlarla çarpıyoruz:

$\frac(5(t+1))(5(t-3)(t+1))+\frac(2 \cdot 5(t-3))(5(t+1)(t-3) )=\frac(7(t+1)(t-3))(5(t-3)(t+1))$

$5(t+1)+10(t-3)=7(t+1)(t-3)$

$5t+5+10t-30=7(t^2-3t+t-3)$

$15t-25=7t^2-14t-21$

Diskriminant aracılığıyla kökleri hesaplıyoruz:

$t_1=4;t_2=\frac(1)(7)$

Eşdeğer olmayan dönüşümler kullandığımız için paydada elde edilen kökleri kontrol etmek gerekir, $5(t-3)(t+1)≠0$ koşulunu sağlamaları gerekir. Her iki kök de bu koşulu karşılar.

Şimdi elde edilen kökleri $t$ yerine koyuyoruz ve iki denklem elde ediyoruz:

$x^2+3x=4$ ve $x^2+3x=\frac(1)(7)$.

Vieta teoremine göre, birinci denklemin kökleri $x_1=-4; x_2=1$, ikincinin köklerini ayırt edici cinsinden hesaplıyoruz ve $x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(\frac(67)(7)))(2) elde ediyoruz. $.

Denklemin tüm kökleri şöyle olacaktır: $x_1=-4; x_2=1, x_(3,4)=\frac(-3±\sqrt(\frac(67)(7)))(2)$.

Denklem Formunu Basitleştirmek için Dönüşümler

Yukarıda görebileceğiniz gibi, rasyonel denklemleri çözmek için çeşitli dönüşümler kullanılır.

İki tür denklem dönüşümü vardır: eşdeğer (özdeş) ve eşit olmayan.

Dönüşümler, kökleri orijinaliyle aynı olan yeni bir denklem türüne yol açarsa eşdeğer olarak adlandırılır.

Daha fazla kontrol olmaksızın orijinal denklemin şeklini değiştirmek için kullanılabilecek kimlik dönüşümleri aşağıdaki gibidir:

• Tüm denklemi sıfır olmayan bir sayı ile çarpmak veya bölmek;
• Denklemin bazı kısımlarını sol taraftan sağ tarafa ve tersi şekilde aktarma.

Eşdeğer olmayan dönüşümler, yabancı köklerin ortaya çıkabileceği dönüşümlerdir. Eşdeğer olmayan dönüşümler şunları içerir:

• Denklemin her iki tarafının karesini almak;
• Değişkeni içeren paydalardan kurtulmak;

Eşdeğer olmayan dönüşümler kullanılarak çözülen rasyonel denklemlerin kökleri, eşdeğer olmayan dönüşümler sırasında yabancı kökler ortaya çıkabileceğinden, orijinal denklemde ikame edilerek kontrol edilmelidir. Eşdeğer olmayan dönüşümler her zaman yabancı köklerin ortaya çıkmasına neden olmaz, ancak yine de bunu hesaba katmak gerekir.

İkiden büyük üslü rasyonel denklemlerin çözümü

İkiden büyük kuvvetlere sahip denklemleri çözmek için en sık kullanılan yöntemler, yukarıda kesirli rasyonel denklem örneğini kullanarak tartıştığımız değişken değiştirme yöntemi ve ayrıca çarpanlara ayırma yöntemidir.

Çarpanlara ayırma yöntemini daha ayrıntılı olarak ele alalım.

$P(x)= 0$ biçiminde bir denklem verilsin, burada $P(x)$ derecesi ikiden büyük olan bir polinomdur. Bu denklem $P_1(x)P_2(x)P_3(x)..\cdot P_n(x)=0$ şeklini alacak şekilde çarpanlarına ayrılabilirse, bu denklemin çözümü $P_1(x )=0, P_2(x)=0, P_3(x)=0...P_n(x)=0$ denklemleri.

Hatırlamayanlar için: bir denklemin serbest terimi, çarpan olarak değişken içermeyen bir denklem terimidir. Aynı zamanda, böyle bir denklemin köklerinden birini bulduktan sonra, denklemi daha fazla çarpanlara ayırmak için kullanılabilir.

Örnek 5

Denklemi çözün:

Serbest terimin bölenleri $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12$ ve $±24$ sayıları olacaktır. Kontrol edildiğinde $x=2$ uygun bir kök olarak çıktı. Bu, bu polinomun şu kök kullanılarak genişletilebileceği anlamına gelir: $(x-2)(x^2+6+12)=0$.

İkinci kök parantez çiftindeki polinomun kökü yoktur, yani bu denklemin tek kökü $x=2$ olacaktır.

Derecesi ikiden büyük olan başka bir denklem türü, bi ikinci dereceden denklemler $ax^4+bx^2+ c=0$ biçimindedir. Bu tür denklemler, $x^2$ yerine $y$ ile değiştirilerek çözülür, bunu uygulayarak, $ay^2+y+c=0$ şeklinde bir denklem elde ederiz ve daha sonra yeni değişkenin elde edilen değeri şu şekilde kullanılır: orijinal değişkeni hesaplayın.

Denilen başka bir denklem türü de vardır. depozitolu. Bu tür denklemler şöyle görünür: $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$. Katsayıların daha yüksek ve daha düşük derecelerde tekrarlanmasından dolayı böyle bir isme sahiptirler.