Dik açıdan yükseklik hipotenüsü böler. sağ üçgen
Emlak: 1. Herhangi bir dik üçgende, yükseklik sağ açı(hipotenüse göre) bir dik üçgeni benzer üç üçgene böler.
Emlak: 2. Dik açılı bir üçgenin hipotenüse indirilmiş yüksekliği, bacakların hipotenüs üzerindeki izdüşümlerinin geometrik ortalamasına (veya yüksekliğin hipotenüsü böldüğü bölümlerin geometrik ortalamasına) eşittir.
Mülkiyet: 3. Bacak, hipotenüsün geometrik ortalamasına ve bu bacağın hipotenüs üzerindeki izdüşümüne eşittir.
Mülkiyet: 4. 30 derecelik bir açıya karşı bacak, hipotenüsün yarısına eşittir.
formül 1.
formül 2. hipotenüs nerede; , paten.
Mülkiyet: 5. Bir dik üçgende, hipotenüse çizilen medyan, bunun yarısına ve çevrel çemberin yarıçapına eşittir.
Özellik: 6. Bir dik üçgenin kenarları ve açıları arasındaki bağımlılık:
44. Kosinüs teoremi. Sonuçlar: bir paralelkenarın köşegenleri ve kenarları arasındaki bağlantı; üçgen tipinin belirlenmesi; bir üçgenin medyanının uzunluğunu hesaplamak için formül; bir üçgenin açısının kosinüsünü hesaplamak.
İş bitimi -
Bu konu şuna aittir:
Sınıf. Planimetrinin Temelleri Kolokyumu Programı
Bitişik açıların özelliği.. iki açının tanımı, bir tarafı ortaksa, diğer ikisi düz bir çizgi oluşturuyorsa, bitişiktir..
Eğer ihtiyacın varsa ek malzeme bu konuyla ilgili veya aradığınızı bulamadıysanız, eser veritabanımızda arama yapmanızı öneririz:
Alınan malzeme ile ne yapacağız:
Bu materyalin sizin için yararlı olduğu ortaya çıktıysa, onu sosyal ağlardaki sayfanıza kaydedebilirsiniz:
Üçgenler.
Temel konseptler.
Üçgen- bu, tek bir düz çizgi üzerinde uzanmayan üç parça ve üç noktadan oluşan bir şekildir.
Segmentler denir partiler ve noktalar zirveler.
açıların toplamıüçgen 180 º'ye eşittir.
Üçgenin yüksekliği.
Üçgen Yüksekliği bir tepe noktasından karşı tarafa çizilen bir dikmedir.
Dar açılı bir üçgende, yükseklik üçgenin içinde bulunur (Şekil 1).
Bir dik üçgende, bacaklar üçgenin yükseklikleridir (Şek. 2).
Geniş bir üçgende yükseklik üçgenin dışından geçer (Şek. 3).
Üçgen yükseklik özellikleri:
Bir üçgenin açıortayı.
bir üçgenin açıortayı- bu, tepe noktasının köşesini ikiye bölen ve tepe noktasını karşı taraftaki bir noktaya bağlayan bir parçadır (Şekil 5).
Bisektör özellikleri:
Bir üçgenin medyanı.
üçgen medyan- bu, tepe noktasını karşı tarafın ortasına bağlayan bir segmenttir (Şek. 9a).
Medyanın uzunluğu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir: 2b 2 + 2c 2 - a 2 nerede ben- kenara çizilmiş medyan a. Bir dik üçgende, hipotenüse çizilen medyan hipotenüsün yarısıdır: c nerede mc hipotenüse çizilen medyan c(Şekil 9c) Bir üçgenin medyanları bir noktada (üçgenin kütle merkezinde) kesişir ve bu noktaya yukarıdan sayılarak 2:1 oranında bölünür. Yani, tepe noktasından merkeze doğru olan parça, üçgenin merkezden kenarına doğru olan parçanın iki katıdır (Şekil 9c). Bir üçgenin üç ortancası, onu eşit alana sahip altı üçgene böler. |
Üçgenin orta çizgisi.
Üçgenin orta çizgisi- bu, iki kenarının orta noktalarını birleştiren bir parçadır (Şek. 10).
Bir üçgenin orta çizgisi üçüncü kenara paraleldir ve onun yarısına eşittir.
Üçgenin dış köşesi.
dış köşeüçgen komşu olmayan ikinin toplamına eşittir iç köşeler(Şek. 11).
Bir üçgenin dış açısı komşu olmayan tüm açılardan büyüktür.
sağ üçgen- bu dik açılı bir üçgendir (Şek. 12).
Dik üçgenin dik açının karşısındaki kenarına denir hipotenüs.
Diğer iki taraf denir bacaklar.
Bir dik üçgende orantılı bölümler.
1) Bir dik üçgende, dik açıdan çizilen yükseklik benzer üç üçgen oluşturur: ABC, ACH ve HCB (Şekil 14a). Buna göre yüksekliğin oluşturduğu açılar A ve B açılarına eşittir.
Şekil 14a
İkizkenar üçgen- bu, iki kenarın eşit olduğu bir üçgendir (Şek. 13).
Bu eşit taraflara denir taraflar ve üçüncü temelüçgen.
Bir ikizkenar üçgende, tabandaki açılar eşittir. (Üçgenimizde A açısı C açısına eşittir).
Bir ikizkenar üçgende, tabana çizilen medyan, üçgenin hem açıortayı hem de yüksekliğidir.
Eşkenar üçgen.
Eşkenar üçgen, tüm kenarların eşit olduğu bir üçgendir (Şek. 14).
Eşkenar üçgenin özellikleri:
Üçgenlerin dikkat çekici özellikleri.
Üçgenler, bu şekillerle ilgili sorunları başarıyla çözmenize yardımcı olacak orijinal özelliklere sahiptir. Bu özelliklerden bazıları yukarıda özetlenmiştir. Ancak birkaç harika özellik daha ekleyerek bunları tekrarlıyoruz:
1) Açıları 90º, 30º ve 60º olan bir dik üçgende, bacak b 30º açısının karşısında yer alan, şuna eşittir: hipotenüsün yarısı. Bacaka daha fazla bacakb√3 kez (Şek. 15 a). Örneğin, b'nin bacağı 5 ise hipotenüs c mutlaka 10'a eşit ve bacak a 5√3'e eşittir. 2) Açıları 90º, 45º ve 45º olan dik açılı bir ikizkenar üçgende, hipotenüs bacağın √2 katıdır (Şekil 15) b). Örneğin, bacaklar 5 ise, hipotenüs 5√2'dir. 3) Üçgenin orta çizgisi paralel kenarın yarısına eşittir (Şek. 15 İle birlikte). Örneğin, bir üçgenin kenarı 10 ise, buna paralel orta çizgi 5'tir. 4) Bir dik üçgende hipotenüse çizilen ortanca, hipotenüsün yarısına eşittir (Şekil 9c): mc= c/2. 5) Üçgenin bir noktada kesişen ortancaları bu noktaya 2:1 oranında bölünür. Yani, tepe noktasından medyanların kesişme noktasına kadar olan bölüm, medyanların kesişme noktasından üçgenin kenarına kadar olan segmentin iki katıdır (Şekil 9c) 6) Bir dik üçgende, hipotenüsün orta noktası, çevrelenmiş çemberin merkezidir (Şek. 15) d). |
Üçgenlerin eşitlik işaretleri.
Eşitliğin ilk işareti: Bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı, başka bir üçgenin iki kenarına ve aralarındaki açıya eşitse, bu tür üçgenler eştir.
Eşitliğin ikinci işareti: Bir üçgenin kenar ve komşu açıları, başka bir üçgenin kenar ve komşu açılarına eşitse, bu tür üçgenler eştir.
Eşitliğin üçüncü işareti: Bir üçgenin üç kenarı başka bir üçgenin üç kenarına eşitse, bu tür üçgenler eştir.
Üçgen eşitsizliği.
Herhangi bir üçgende, her bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçüktür.
Pisagor teoremi.
Bir dik üçgende, hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir:
c 2 = a 2 + b 2 .
Bir üçgenin alanı.
1) Bir üçgenin alanı, kenarı ile bu kenara çizilen yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir:
Ah
S = ——
2
2) Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarının çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir:
1
S = —
AB ·
AC ·
günah A
2
Bir çemberin çevrelediği üçgen.
Tüm kenarlarına değiyorsa, bir daireye üçgen içinde yazılı denir (Şek. 16) a).
Bir daire içine yazılmış üçgen.
Tüm köşeleriyle ona dokunursa, bir daire içinde yazılı bir üçgen denir (Şek. 17) a).
Dik üçgenin dar açısının sinüs, kosinüs, teğet, kotanjantı (Şek. 18).
Sinüs dar açı x karşısında hipotenüs için kateter.
Şu şekilde gösterilir: günahx.
Kosinüs dar açı x sağ üçgen orandır bitişik hipotenüs için kateter.
Şu şekilde gösterilir: çünkü x.
Teğet dar açı x karşı bacağın bitişik bacağa oranıdır.
Şu şekilde gösterilir: tgx.
Kotanjant dar açı x bitişik bacağın karşı bacağa oranıdır.
Şu şekilde gösterilir: ctgx.
Tüzük:
Bacak karşı köşe x, hipotenüs ve günahın çarpımına eşittir x:
b=c günah x
Bacak köşeye bitişik x, hipotenüs ve cos ürününe eşittir x:
bir = ççünkü x
Bacak karşı köşe x, ikinci bacağın ürününe eşittir ve tg x:
b = bir tg x
Bacak köşeye bitişik x, ikinci bacak ve ctg'nin ürününe eşittir x:
bir = b ctg x.
Herhangi bir dar açı için x:
günah (90° - x) = çünkü x
çünkü (90° - x) = günah x
sağ üçgen açılardan birinin dik yani 90 dereceye eşit olduğu bir üçgendir.
- Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. c veya AB)
- Dik açıya bitişik olan tarafa bacak denir. Her bir dik üçgenin iki ayağı vardır (şeklinde gösterilir) a ve b veya AC ve BC)
Dik üçgenin formülleri ve özellikleri
Formül tanımları:(yukarıdaki resme bakın)
bir, b- dik üçgenin bacakları
c- hipotenüs
α, β - bir üçgenin dar açıları
S- Meydan
h- dik açının tepesinden hipotenüse düşen yükseklik
ben a karşı köşeden ( α )
m b- kenara çizilmiş medyan b karşı köşeden ( β )
mc- kenara çizilmiş medyan c karşı köşeden ( γ )
AT sağ üçgen her iki bacak da hipotenüsten küçüktür(Formül 1 ve 2). Bu özellik, Pisagor teoreminin bir sonucudur.
Dar açılardan herhangi birinin kosinüsü birden az (Formül 3 ve 4). Bu özellik bir öncekinden sonra gelir. Bacaklardan herhangi biri hipotenüsten küçük olduğu için, bacağın hipotenüse oranı her zaman birden küçüktür.
Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir (Pisagor teoremi). (Formül 5). Bu özellik, problem çözmede sürekli olarak kullanılır.
Dik üçgenin alanı bacakların çarpımının yarısına eşit (Formül 6)
kare medyanların toplamı bacaklara eşittir, ortanca üzeri hipotenüsün beş karesine ve hipotenüsün beş karesinin dörde bölünmesine eşittir (Formül 7). Yukarıdakilere ek olarak, orada 5 formül daha, bu nedenle, medyanın özelliklerini daha ayrıntılı olarak açıklayan " Dik üçgenin medyanı" dersine de aşina olmanız önerilir.
Yükseklik bir dik üçgenin uzunluğu, bacakların çarpımının hipotenüse bölünmesine eşittir (Formül 8)
Bacakların kareleri, hipotenüse düşen yüksekliğin karesiyle ters orantılıdır (Formül 9). Bu özdeşlik aynı zamanda Pisagor teoreminin sonuçlarından biridir.
hipotenüsün uzunluğuçevrelenmiş dairenin çapına (iki yarıçap) eşittir (Formül 10). Bir dik üçgenin hipotenüsü çevrelenmiş dairenin çapıdır. Bu özellik genellikle problem çözmede kullanılır.
Yazılı yarıçap içinde sağ üçgen daireler bu üçgenin bacaklarının toplamı eksi hipotenüsün uzunluğunu içeren ifadenin yarısı olarak bulunabilir. Veya belirli bir üçgenin tüm kenarlarının (çevre) toplamına bölünen bacakların ürünü olarak. (Formül 11)
bir açının sinüsü karşısında bu köşe bacaktan hipotenüse(bir sinüs tanımına göre). (Formül 12). Bu özellik problem çözerken kullanılır. Kenarların ölçülerini bilerek oluşturdukları açıyı bulabilirsiniz.
Bir dik üçgende A açısının (α, alfa) kosinüsü şuna eşit olacaktır: ilişki bitişik bu köşe bacaktan hipotenüse(bir sinüs tanımına göre). (Formül 13)
Aslında, her şey o kadar da korkutucu değil. Makalede elbette sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın "gerçek" tanımına bakılmalıdır. Ama gerçekten istemiyorsun, değil mi? Sevinebiliriz: dik üçgenle ilgili sorunları çözmek için aşağıdaki basit şeyleri doldurmanız yeterlidir:
Peki ya açı? Köşenin karşısında, yani karşı bacak (köşe için) olan bir bacak var mı? Tabii ki var! Bu bir katet!
Peki ya açı? Yakından bak. Hangi bacak köşeye bitişik? Tabii ki, kedi. Yani, açı için bacak bitişiktir ve
Ve şimdi, dikkat! Bakın elimizde ne var:
Ne kadar harika olduğunu görün:
Şimdi teğet ve kotanjanta geçelim.
Şimdi nasıl kelimelere dökmeli? Köşeye göre bacak nedir? Karşısında, elbette - köşenin karşısında "yatıyor". Ve katet? Köşeye bitişik. Peki ne elde ettik?
Pay ve paydanın nasıl tersine çevrildiğini görüyor musunuz?
Ve şimdi yine köşeler ve takas yapıldı:
Özet
Kısaca öğrendiklerimizi yazalım.
Pisagor teoremi: |
Ana dik üçgen teoremi Pisagor teoremidir.
Pisagor teoremi
Bu arada, bacakların ve hipotenüsün ne olduğunu iyi hatırlıyor musun? Değilse, resme bakın - bilginizi tazeleyin
Pisagor teoremini birçok kez kullanmış olabilirsiniz, ancak böyle bir teoremin neden doğru olduğunu hiç merak ettiniz mi? Bunu nasıl ispatlarsın? Eski Yunanlılar gibi yapalım. Kenarı olan bir kare çizelim.
Kenarlarını ne kadar kurnazca uzunluklara ayırdığımızı görüyorsunuz ve!
Şimdi işaretli noktaları birleştirelim
Ancak burada başka bir şeye dikkat çektik, ancak siz resme bakın ve nedenini düşünün.
Büyük karenin alanı nedir?
Doğru şekilde, .
Daha küçük alan ne olacak?
Tabii ki, .
Dört köşenin toplam alanı kalır. İki tane aldığımızı ve hipotenüslerle birbirimize yaslandığımızı hayal edin.
Ne oldu? İki dikdörtgen. Yani "kesimlerin" alanı eşittir.
Şimdi hepsini bir araya getirelim.
Dönüştürelim:
Bu yüzden Pisagor'u ziyaret ettik - teoremini eski bir şekilde kanıtladık.
Dik üçgen ve trigonometri
Bir dik üçgen için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:
Bir dar açının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranına eşittir
Bir dar açının kosinüsü, komşu bacağın hipotenüse oranına eşittir.
Bir dar açının tanjantı, karşı bacağın komşu bacağa oranına eşittir.
Bir dar açının kotanjantı, bitişik bacağın karşı bacağa oranına eşittir.
Ve bir kez daha, tüm bunlar bir tabak şeklinde:
Çok rahat!
Dik üçgenlerin eşitlik işaretleri
I. İki ayak üzerinde
II. Bacak ve hipotenüs ile
III. Hipotenüs ve dar açı ile
IV. Bacak boyunca ve dar açı
a)
b)
Dikkat! Burada bacakların "karşılık gelen" olması çok önemlidir. Örneğin, şöyle giderse:
O ZAMAN ÜÇGENLER EŞİT DEĞİLDİR, aynı keskin açıya sahip olmalarına rağmen.
gerek her iki üçgende de bacak bitişikti veya her ikisinde de - zıttı.
Dik üçgenlerin eşitlik işaretlerinin üçgenlerin normal eşitlik işaretlerinden ne kadar farklı olduğunu fark ettiniz mi?
“Sıradan” üçgenlerin eşitliği için üç unsurunun eşitliğine ihtiyacınız olduğuna dikkat edin: iki kenar ve aralarında bir açı, iki açı ve aralarında bir kenar veya üç kenar.
Ancak dik açılı üçgenlerin eşitliği için sadece karşılıklı iki eleman yeterlidir. Harika, değil mi?
Dik üçgenlerin benzerlik belirtileri ile yaklaşık olarak aynı durum.
Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri
I. Akut köşe
II. iki ayak üzerinde
III. Bacak ve hipotenüs ile
Dik üçgende medyan
Neden böyle?
Dik üçgen yerine tam bir dikdörtgen düşünün.
Bir köşegen çizelim ve bir noktayı düşünelim - köşegenlerin kesişme noktası. Dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsunuz?
Ve bundan ne çıkar?
öyle oldu ki
- - medyan:
Bu gerçeği unutmayın! çok yardımcı olur!
Daha da şaşırtıcı olanı, sohbetin de doğru olmasıdır.
Hipotenüse çizilen medyanın hipotenüsün yarısına eşit olması gerçeğinden ne fayda elde edilebilir? resme bakalım
Yakından bak. Elimizde: , yani noktadan üçgenin üç köşesine olan mesafelerin eşit olduğu ortaya çıktı. Ancak bir üçgende, üçgenin üç köşesinin de birbirine eşit olduğu tek bir nokta vardır ve bu, tanımlanan ÇEVRESİN MERKEZİ'dir. Peki ne oldu?
Bu "ayrıca..." ile başlayalım.
i'ye bakalım.
Ancak benzer üçgenlerde tüm açılar eşittir!
Aynı şey hakkında söylenebilir ve
Şimdi birlikte çizelim:
Bu "üçlü" benzerliğin ne yararı olabilir?
Mesela - Bir dik üçgenin yüksekliği için iki formül.
Karşılık gelen tarafların ilişkilerini yazıyoruz:
Yüksekliği bulmak için orantı çözeriz ve ilk formül "Dik üçgende yükseklik":
Pekala, şimdi, bu bilgiyi başkalarıyla uygulayıp birleştirerek, herhangi bir sorunu dik üçgenle çözeceksiniz!
Öyleyse, benzerliği uygulayalım: .
Ne olacak şimdi?
Yine oranı çözüyoruz ve ikinci formülü elde ediyoruz:
Bu formüllerin her ikisi de çok iyi hatırlanmalı ve hangisinin uygulanması daha uygunsa.
Bunları tekrar yazalım.
Pisagor teoremi:
Bir dik üçgende, hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir:
Dik üçgenlerin eşitlik işaretleri:
- iki ayak üzerinde:
- bacak ve hipotenüs boyunca: veya
- bacak ve bitişik dar açı boyunca: veya
- bacak boyunca ve zıt açıda: veya
- hipotenüs ve akut açı ile: veya.
Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri:
- bir keskin köşe: veya
- iki bacağın orantılılığından:
- bacak ve hipotenüsün orantılılığından: veya.
Dik üçgende sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant
- Bir dik üçgenin dar açısının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranıdır:
- Bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü, komşu bacağın hipotenüse oranıdır:
- Bir dik üçgenin dar açısının tanjantı, karşı bacağın bitişik olana oranıdır:
- Bir dik üçgenin dar açısının kotanjantı, bitişik bacağın karşı tarafa oranıdır:
Bir dik üçgenin yüksekliği: veya.
Bir dik üçgende, dik açının tepesinden çizilen medyan hipotenüsün yarısına eşittir: .
Dik üçgenin alanı:
- kateterler aracılığıyla:
(ABC) ve şekilde gösterilen özellikleri. Bir dik üçgenin bir hipotenüsü vardır, yani dik açının karşısındaki kenar.
İpucu 1: Bir dik üçgende yükseklik nasıl bulunur?
Dik açı oluşturan taraflara bacak denir. Yan çizim AD, DC ve BD, DC- bacaklar ve yanlar AC ve GB- hipotenüs.
Teorem 1. Açısı 30° olan bir dik üçgende, bu açının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına kadar yırtılır.
hC
AB- hipotenüs;
AD ve veri tabanı
Üçgen
Bir teorem var:
yorum sistemi CACKLe
Çözüm: 1) Herhangi bir dikdörtgenin köşegenleri eşittir Doğru 2) Bir üçgende bir dar açı varsa bu üçgen dar açılıdır. Doğru değil. Üçgen türleri. Üç açısı da dar olan, yani 90 ° 'den küçük olan bir üçgene dar açılı denir 3) Nokta üzerindeyse.
Veya başka bir girişte,
Pisagor teoremine göre
Dik üçgen formülünde yükseklik nedir?
Dik üçgenin yüksekliği
Hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, problem ifadesindeki verilere bağlı olarak şu veya bu şekilde bulunabilir.
Veya başka bir girişte,
BK ve KC, bacakların hipotenüs üzerindeki izdüşümleridir (yüksekliğin hipotenüsü böldüğü bölümler).
Hipotenüse çizilen yükseklik, bir dik üçgenin alanından bulunabilir. Bir üçgenin alanını bulma formülünü uygularsak
(bir kenarın çarpımının yarısı ve bu tarafa çizilen yükseklik) hipotenüs ve hipotenüse çizilen yükseklik, şunu elde ederiz:
Buradan yüksekliği, üçgenin alanının iki katının hipotenüsün uzunluğuna oranı olarak bulabiliriz:
Bir dik üçgenin alanı bacakların çarpımının yarısı olduğundan:
Yani hipotenüse çizilen yüksekliğin uzunluğu, bacakların çarpımının hipotenüse oranına eşittir. Bacakların uzunluklarını a ve b ile, hipotenüsün uzunluğunu c ile gösterirsek, formül şu şekilde yeniden yazılabilir:
Bir dik üçgen etrafında çevrelenmiş bir çemberin yarıçapı hipotenüsün yarısına eşit olduğundan, yüksekliğin uzunluğu çevrelenmiş çemberin bacakları ve yarıçapı cinsinden ifade edilebilir:
Hipotenüse çizilen yükseklik iki dik üçgen daha oluşturduğundan uzunluğu dik üçgendeki oranlardan bulunabilir.
ABK dik üçgeninden
ACK dik üçgeninden
Bir dik üçgenin yüksekliğinin uzunluğu, bacakların uzunlukları cinsinden ifade edilebilir. Çünkü
Pisagor teoremine göre
Denklemin her iki tarafının karesini alırsak:
Bir dik üçgenin yüksekliğini bacaklarla ilişkilendirmek için başka bir formül elde edebilirsiniz:
Dik üçgen formülünde yükseklik nedir?
Sağ üçgen. Ortalama seviye.
Gücünüzü test etmek ve Birleşik Devlet Sınavına veya OGE'ye ne kadar hazır olduğunuzun sonucunu öğrenmek ister misiniz?
Ana dik üçgen teoremi Pisagor teoremidir.
Pisagor teoremi
Bu arada, bacakların ve hipotenüsün ne olduğunu iyi hatırlıyor musun? Değilse, resme bakın - bilginizi tazeleyin
Pisagor teoremini birçok kez kullanmış olabilirsiniz, ancak böyle bir teoremin neden doğru olduğunu hiç merak ettiniz mi? Bunu nasıl ispatlarsın? Eski Yunanlılar gibi yapalım. Kenarı olan bir kare çizelim.
Kenarlarını ne kadar kurnazca uzunluklara ayırdığımızı görüyorsunuz ve!
Şimdi işaretli noktaları birleştirelim
Ancak burada başka bir şeye dikkat çektik, ancak siz resme bakın ve nedenini düşünün.
Büyük karenin alanı nedir? Doğru şekilde, . Daha küçük alan ne olacak? Tabii ki, . Dört köşenin toplam alanı kalır. İki tane aldığımızı ve hipotenüslerle birbirimize yaslandığımızı hayal edin. Ne oldu? İki dikdörtgen. Yani "kesimlerin" alanı eşittir.
Şimdi hepsini bir araya getirelim.
Bu yüzden Pisagor'u ziyaret ettik - teoremini eski bir şekilde kanıtladık.
Dik üçgen ve trigonometri
Bir dik üçgen için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:
Bir dar açının sinüsü, karşı bacağın hipotenüse oranına eşittir
Bir dar açının kosinüsü, komşu bacağın hipotenüse oranına eşittir.
Bir dar açının tanjantı, karşı bacağın komşu bacağa oranına eşittir.
Bir dar açının kotanjantı, bitişik bacağın karşı bacağa oranına eşittir.
Ve bir kez daha, tüm bunlar bir tabak şeklinde:
Çok kullanışlı bir şey fark ettiniz mi? Plakaya dikkatlice bakın.
Çok rahat!
Dik üçgenlerin eşitlik işaretleri
II. Bacak ve hipotenüs ile
III. Hipotenüs ve dar açı ile
IV. Bacak boyunca ve dar açı
Dikkat! Burada bacakların "karşılık gelen" olması çok önemlidir. Örneğin, şöyle giderse:
O ZAMAN ÜÇGENLER EŞİT DEĞİLDİR, aynı keskin açıya sahip olmalarına rağmen.
gerek Her iki üçgende de bacak bitişikti veya her ikisinde de - zıttı.
Dik üçgenlerin eşitlik işaretlerinin üçgenlerin normal eşitlik işaretlerinden ne kadar farklı olduğunu fark ettiniz mi? "Üçgen" konusuna bir göz atın ve "sıradan" üçgenlerin eşitliği için üç unsurunun eşitliğine ihtiyacınız olduğuna dikkat edin: iki kenar ve aralarındaki açı, aralarındaki iki açı ve bir kenar, veya üç taraf. Ancak dik açılı üçgenlerin eşitliği için sadece karşılıklı iki eleman yeterlidir. Harika, değil mi?
Dik üçgenlerin benzerlik belirtileri ile yaklaşık olarak aynı durum.
Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri
III. Bacak ve hipotenüs ile
Dik üçgende medyan
Dik üçgen yerine tam bir dikdörtgen düşünün.
Bir köşegen çizin ve köşegenlerin kesiştiği noktayı düşünün. Dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsunuz?
- Köşegen kesişme noktası ikiye böler Köşegenler eşittir
Ve bundan ne çıkar?
öyle oldu ki
Bu gerçeği unutmayın! çok yardımcı olur!
Daha da şaşırtıcı olanı, sohbetin de doğru olmasıdır.
Hipotenüse çizilen medyanın hipotenüsün yarısına eşit olması gerçeğinden ne fayda elde edilebilir? resme bakalım
Yakından bak. Elimizde: , yani noktadan üçgenin üç köşesine olan mesafelerin eşit olduğu ortaya çıktı. Ancak bir üçgende, üçgenin üç köşesinin de birbirine eşit olduğu tek bir nokta vardır ve bu, tanımlanan ÇEVRESİN MERKEZİ'dir. Peki ne oldu?
Öyleyse bununla başlayalım "ayrıca. ".
Ancak benzer üçgenlerde tüm açılar eşittir!
Aynı şey hakkında söylenebilir ve
Şimdi birlikte çizelim:
İkisi de aynı keskin köşelere sahip!
Bu "üçlü" benzerliğin ne yararı olabilir?
Mesela - Bir dik üçgenin yüksekliği için iki formül.
Karşılık gelen tarafların ilişkilerini yazıyoruz:
Yüksekliği bulmak için orantı çözeriz ve İlk formül "Dik üçgende yükseklik":
İkinci bir tane nasıl alınır?
Ve şimdi üçgenlerin benzerliğini uyguluyoruz ve.
Öyleyse, benzerliği uygulayalım: .
Ne olacak şimdi?
Yine oranı çözüyoruz ve ikinci formülü elde ediyoruz. "Dik üçgende yükseklik":
Bu formüllerin her ikisi de çok iyi hatırlanmalı ve hangisinin uygulanması daha uygunsa. Bunları tekrar yazalım.
Pekala, şimdi, bu bilgiyi başkalarıyla uygulayıp birleştirerek, herhangi bir sorunu dik üçgenle çözeceksiniz!
Yorumlar
Kaynak sayfaya bir dofollow bağlantısı varsa, malzemelerin onaysız dağıtımına izin verilir.
Gizlilik Politikası
Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya belirli bir kişiyle iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- bizim tarafımızdan toplandı kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamızı ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemizi sağlar. Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kullanabiliriz. Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak.
Bir dik üçgenin yükseklik özelliği hipotenüse düştü
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Üçüncü şahıslara ifşa
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü taraflara ifşa etmiyoruz.
- Gerekirse - yasaya, yargı düzenine uygun olarak, yasal işlemlerde ve / veya kamu taleplerine veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, yasa uygulama veya diğer kamu yararı nedenleriyle bu tür bir ifşanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek, sizinle ilgili bilgileri de ifşa edebiliriz. Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefe aktarabiliriz.
kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değiştirme ve imhaya karşı korumak için - idari, teknik ve fiziksel önlemler dahil - önlemler alıyoruz.
Gizliliğinizi şirket düzeyinde korumak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, gizlilik ve güvenlik uygulamalarını çalışanlarımıza iletiyoruz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Mesaj için teşekkürler!
Yorumunuz kabul edilmiştir, moderasyondan sonra bu sayfada yayınlanacaktır.
Kesimin altında neyin saklı olduğunu öğrenmek ve OGE ve KULLANIM için hazırlık konusunda özel materyaller almak ister misiniz? e-posta bırakın
Dik üçgenin özellikleri
Bir dik üçgen düşünün (ABC) ve şekilde gösterilen özellikleri. Bir dik üçgenin bir hipotenüsü vardır, yani dik açının karşısındaki kenar. Dik açı oluşturan taraflara bacak denir. Yan çizim AD, DC ve BD, DC- bacaklar ve yanlar AC ve GB- hipotenüs.
Bir dik üçgenin eşitlik işaretleri:
Teorem 1. Bir dik üçgenin hipotenüsü ve ayağı başka bir üçgenin hipotenüsüne ve ayağına benziyorsa, bu tür üçgenler eşittir.
Teorem 2. Bir dik üçgenin iki ayağı başka bir üçgenin iki ayağına eşitse, bu tür üçgenler eşittir.
Teorem 3. Bir dik üçgenin hipotenüsü ve bir dar açısı başka bir üçgenin hipotenüsüne ve bir dar açısına benzerse, bu tür üçgenler eşittir.
Teorem 4. Bir dik üçgenin bacağı ve bitişik (karşıt) dar açısı, başka bir üçgenin bacağına ve bitişik (karşıt) dar açısına eşitse, bu tür üçgenler uyumludur.
30 ° açının karşısındaki bir bacağın özellikleri:
teorem 1.
Dik üçgende yükseklik
Açısı 30° olan bir dik üçgende bu açının karşısındaki bacak hipotenüsün yarısına kadar yırtılır.
Teorem 2. Bir dik üçgende kenar hipotenüsün yarısına eşitse, karşıt açı 30°'dir.
Dik açının tepesinden hipotenüse yükseklik çizilirse, böyle bir üçgen gidene benzer ve birbirine benzer iki küçük üçgene bölünür. Bundan aşağıdaki sonuçlar çıkar:
- Yükseklik, iki hipotenüs segmentinin geometrik ortalamasıdır (ortalama orantılı).
- Üçgenin her bir bacağı, hipotenüs ve bitişik bölümlerle orantılı ortalamadır.
Bir dik üçgende, bacaklar yükseklik görevi görür. Diklik merkezi, üçgenin yüksekliklerinin kesiştiği noktadır. Şeklin dik açısının üst kısmına denk gelir.
hC- üçgenin dik açısından çıkan yükseklik;
AB- hipotenüs;
AD ve veri tabanı- hipotenüsü yüksekliğe bölerken ortaya çıkan segmentler.
"Geometri" disiplinindeki referansları görüntülemeye geri dön
Üçgen- bu geometrik şekil, aynı düz çizgi üzerinde olmayan üç nokta (köşe) ve bu noktaları birleştiren üç parçadan oluşur. Dik üçgen, 90° açılardan birine (dik açı) sahip bir üçgendir.
Bir teorem var: bir dik üçgenin dar açılarının toplamı 90° dir.
yorum sistemi CACKLe
anahtar kelimeler:üçgen, dikdörtgen, bacak, hipotenüs, Pisagor teoremi, daire
Üçgen denir dikdörtgen eğer bir dik açısı varsa.
Bir dik üçgenin birbirine dik iki kenarı vardır. bacaklar; üçüncü taraf denir hipotenüs.
- Dik ve eğik hipotenüsün özelliklerine göre, bacakların her biri daha uzundur (ancak toplamlarından daha azdır).
- Bir dik üçgenin iki dar açısının toplamı dik açıya eşittir.
- Bir dik üçgenin iki yüksekliği bacaklarına denk gelir. Bu nedenle, dikkat çekici dört noktadan biri üçgenin dik açısının köşelerine düşer.
- Bir dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi, hipotenüsün orta noktasındadır.
- Bir dik açının tepesinden hipotenüse çizilen bir dik üçgenin medyanı, bu üçgenin çevrelediği çemberin yarıçapıdır.
Rastgele bir ABC dik üçgeni ele alalım ve dik açısının C tepe noktasından bir CD = hc yüksekliği çizelim.
o kırılacak verilen üçgen iki dik üçgene ACD ve BCD; bu üçgenlerin her biri ABC üçgeni ile ortak bir dar açıya sahiptir ve bu nedenle ABC üçgenine benzer.
ABC, ACD ve BCD üçgenlerinin üçü de birbirine benzer.
Üçgenlerin benzerliğinden, aşağıdaki ilişkiler belirlenir:
- $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
- c = ac + bc;
- $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
- $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.
Pisagor teoremi bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi kuran Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biri.
Geometrik ifade. Bir dik üçgende hipotenüs üzerine kurulu karenin alanı, bacaklar üzerine kurulu karelerin alanlarının toplamına eşittir.
Cebirsel formülasyon. Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir.
Yani, c'den üçgenin hipotenüs uzunluğunu ve a ve b'den bacak uzunluklarını belirtmek:
a2 + b2 = c2
Ters Pisagor teoremi.
Dik üçgenin yüksekliği
Her üçlü için pozitif sayılar a, b ve c öyle ki
a2 + b2 = c2,
a ve b bacakları ve hipotenüsü c olan bir dik üçgen vardır.
Dik üçgenlerin eşitlik işaretleri:
- bacak ve hipotenüs boyunca;
- iki ayak üzerinde;
- bacak ve dar açı boyunca;
- hipotenüs ve akut açı.
Ayrıca bakınız:
Üçgen Alanı, İkizkenar Üçgen, Eşkenar Üçgen
Geometri. 8 Sınıf. Ölçek 4. Seçenek 1 .
AD : CD=CD : BD Dolayısıyla CD2 = AD ∙ BD Onlar söylüyor:
AD : AC=AC : AB. Dolayısıyla AC2 = AB ∙ AD. Onlar söylüyor:
BD : BC=MÖ : AB. Dolayısıyla BC2 = AB ∙ BD
Sorunları çözmek:
1.
A) 70cm; b) 55cm; c) 65 santimetre; D) 45cm; e) 53cm
2. Hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, hipotenüsü 9 ve 36. segmentlere ayırır.
Bu yüksekliğin uzunluğunu belirleyin.
A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.
4.
A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.
5.
A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.
6.
A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.
7.
8. Bir dik üçgenin ayağı 30'dur.
Bir dik üçgende yükseklik nasıl bulunur?
Bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı 17 ise, dik açının tepesinden hipotenüse olan mesafeyi bulun.
A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.
10.
A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.
A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.
12.
A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.
Cevapları kontrol et!
D8.04.1. Dik üçgende orantılı bölümler
Geometri. 8 Sınıf. Ölçek 4. Seçenek 1 .
Δ ABC ∠ACV = 90°'de. AC ve BC ayakları, AB hipotenüs.
CD, hipotenüse çizilen üçgenin yüksekliğidir.
AC bacağının hipotenüs üzerindeki AD izdüşümünü,
BC bacağının hipotenüs üzerine BD izdüşümü.
Yükseklik CD, ABC üçgenini ona benzer (ve birbirine) iki üçgene ayırır: Δ ADC ve Δ CDB.
Benzer Δ ADC ve Δ CDB'nin kenarlarının orantılılığından aşağıdakiler gelir:
AD : CD=CD : BD
Bir dik üçgenin yüksekliğinin özelliği hipotenüse düştü.
Dolayısıyla CD2 = AD ∙ BD Onlar söylüyor: hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği,bacakların hipotenüs üzerindeki izdüşümleri arasındaki ortalama orantılı değerdir.
Δ ADC ve Δ ACB'nin benzerliğinden şu sonuç çıkar:
AD : AC=AC : AB. Dolayısıyla AC2 = AB ∙ AD. Onlar söylüyor: her bacak, tüm hipotenüs ile bu bacağın hipotenüs üzerindeki izdüşümü arasındaki ortalama orantılı değerdir.
Benzer şekilde, Δ CDB ve Δ ACB'nin benzerliğinden şu sonuç çıkar:
BD : BC=MÖ : AB. Dolayısıyla BC2 = AB ∙ BD
Sorunları çözmek:
1. Hipotenüsü 25 cm ve 81 cm'lik parçalara bölen bir dik üçgenin hipotenüse çizilen yüksekliğini bulun.
A) 70cm; b) 55cm; c) 65 santimetre; D) 45cm; e) 53cm
2. Hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği hipotenüsü 9 ve 36 numaralı doğru parçalarına ayırır. Bu yüksekliğin uzunluğunu belirleyiniz.
A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.
4. Hipotenüse çizilen bir dik üçgenin yüksekliği 22, bir ayaktaki izdüşüm 16'dır. Diğer bacağın izdüşümünü bulunuz.
A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.
5. Bir dik üçgenin ayağı 18'dir ve hipotenüs üzerindeki izdüşüm 12'dir. Hipotenüsü bulun.
A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.
6. Hipotenüs 32'dir. Hipotenüse izdüşümü 2 olan bacağı bulun.
A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.
7. Bir dik üçgenin hipotenüsü 45'tir. Hipotenüse izdüşümü 9 olan bacağı bulun.
8. Bir dik üçgenin kenarı 30'dur. Bu üçgenin çevrelediği çemberin yarıçapı 17 ise, dik açının tepe noktasından hipotenüse olan uzaklığını bulunuz.
A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.
10. Bir dik üçgenin hipotenüsü 41 ve kenarlarından birinin izdüşümü 16'dır. Dik açının tepesinden hipotenüse çizilen yüksekliğin uzunluğunu bulun.
A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.
A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.
12. Bacakların hipotenüs üzerindeki izdüşümlerindeki fark 15 ve dik açının tepesinden hipotenüse olan mesafe 4'tür. Sınırlandırılmış dairenin yarıçapını bulun.
A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.