Pozitif ve negatif sayıların bölünmesi. Pozitif ve negatif sayıların çarpımı
Bu makale verir ayrıntılı genel bakış sayıları farklı işaretlerle bölme. İlk olarak, farklı işaretli sayıları bölme kuralı verilmiştir. Aşağıda bölme örnekleri verilmiştir pozitif sayılar olumsuz ve negatif sayılar olumlu.
Sayfa gezintisi.
Farklı işaretli sayıları bölme kuralı
Tamsayıların artikel bölümünde farklı işaretli tamsayıları bölme kuralı elde edilmiştir. Belirtilen makaledeki tüm argümanları tekrarlayarak hem rasyonel sayılara hem de gerçek sayılara genişletilebilir.
Yani, farklı işaretli sayıları bölme kuralışu formüle sahiptir: pozitif bir sayıyı negatif bir sayıya veya negatif bir sayıyı pozitif bir sayıya bölmek için, temettü bölenin modülüne bölmek ve elde edilen sayının önüne bir eksi işareti koymak gerekir.
Bu bölme kuralını harflerle yazıyoruz. a ve b sayıları farklı işaretlere sahipse formül geçerlidir a:b=−|a|:|b| .
Sesli kuraldan, sayıları farklı işaretlere bölmenin sonucunun negatif bir sayı olduğu açıktır. Gerçekten de, bölenin modülü ve bölenin modülü sayıdan daha pozitif olduğundan, bölümleri pozitif bir sayıdır ve eksi işareti bu sayıyı negatif yapar.
Dikkate alınan kuralın, farklı işaretlere sahip sayıların bölünmesini pozitif sayıların bölünmesine indirgediğini unutmayın.
Farklı işaretlere sahip sayıları bölme kuralının başka bir formülünü verebilirsiniz: a sayısını b sayısına bölmek için, a sayısını b -1 sayısıyla çarpmanız gerekir, bu sayı b sayısının tersidir. Yani, a:b=a b -1 .
Bu kural, tam sayılar kümesinin ötesine geçmek mümkün olduğunda kullanılabilir (çünkü her tam sayının tersi yoktur). Başka bir deyişle, rasyoneller kümesinin yanı sıra kümeye de uygulanabilir. gerçek sayılar.
Sayıları farklı işaretlerle bölmek için kullanılan bu kuralın, bölmeden çarpmaya geçmenize izin verdiği açıktır.
Negatif sayıları bölerken de aynı kural kullanılır.
Örnekleri çözerken sayıları farklı işaretlerle bölmek için bu kuralın nasıl uygulandığını düşünmeye devam ediyor.
Farklı işaretli sayıları bölme örnekleri
Birkaç özelliğin çözümlerini ele alalım. sayıları farklı işaretlerle bölme örnekleri Bir önceki paragrafta yer alan kuralları uygulama ilkesini kavramak.
Örnek.
Negatif sayı −35'i pozitif sayı 7'ye bölün.
Çözüm.
Sayıları farklı işaretlerle bölme kuralı, önce bölme ve bölenin modüllerini bulmayı öngörür. -35 modülü 35 ve 7 modülü 7'dir. Şimdi temettü modülünü bölenin modülüne bölmemiz gerekiyor, yani 35'i 7'ye bölmemiz gerekiyor. Doğal sayıların bölünmesinin nasıl yapıldığını hatırlayarak 35:7=5 elde ederiz. Sayıları farklı işaretlerle bölme kuralının son adımı kalır - elde edilen sayının önüne bir eksi koyun, elimizde -5 var.
İşte tüm çözüm: .
Sayıları farklı işaretlerle bölme kuralının farklı bir formülasyonundan yola çıkılabilir. Bu durumda önce 7 böleninin tersi olan sayıyı buluruz. Bu sayı ortak kesir 1/7'dir. Böylece, . Sayıların çarpımını farklı işaretlerle gerçekleştirmeye devam ediyor: . Açıkçası aynı sonuca vardık.
Cevap:
(−35):7=−5 .
Örnek.
8:(−60) bölümünü hesaplayın.
Çözüm.
Sayıları farklı işaretli bölme kuralına göre, 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Ortaya çıkan ifade, negatif sıradan bir kesre karşılık gelir (bölme işaretine kesir çubuğu olarak bakın), kesri 4'e kadar azaltabilirsiniz, şunu elde ederiz: .
Çözümün tamamını kısaca yazıyoruz: .
Cevap:
.
Kesirli rasyonel sayıları farklı işaretlerle bölerken, bunların temettüleri ve bölenleri genellikle adi kesirler olarak temsil edilir. Bunun nedeni, sayılarla farklı bir gösterimde (örneğin, ondalık olarak) bölme yapmanın her zaman uygun olmamasıdır.
Örnek.
Çözüm.
Bölünenin modülü , bölenin modülü ise 0,(23) . Temettü modülünü bölenin modülüne bölmek için, sıradan kesirler.
Karışık bir sayıyı sıradan bir kesre çevirelim: , birlikte
şimdi ilgilenelim Çarpma ve bölme.
+3 ile -4'ü çarpmamız gerektiğini varsayalım. Nasıl yapılır?
Böyle bir vakayı ele alalım. Üç kişi borçlandı ve her birinin 4 dolar borcu var. Toplam borç ne kadar? Bulmak için üç borcu da toplamanız gerekiyor: 4 $ + 4 $ + 4 $ = 12 $. Üç sayı 4'ün eklenmesinin 3 × 4 olarak gösterildiğine karar verdik. Bu durumda borçtan bahsettiğimiz için 4'ün önünde “-” işareti var. Toplam borcun 12$ olduğunu biliyoruz, yani şimdi sorunumuz 3x(-4)=-12.
Sorunun durumuna göre dört kişiden her birinin 3'er dolar borcu varsa aynı sonucu alırız. Başka bir deyişle, (+4)x(-3)=-12. Ve çarpanların sırası önemli olmadığı için (-4)x(+3)=-12 ve (+4)x(-3)=-12 elde ederiz.
Sonuçları özetleyelim. Bir pozitif ve bir negatif sayı çarpıldığında, sonuç her zaman negatif bir sayı olacaktır. Cevabın sayısal değeri, pozitif sayılar durumundaki ile aynı olacaktır. Ürün (+4)x(+3)=+12. "-" işaretinin varlığı yalnızca işareti etkiler, sayısal değeri etkilemez.
İki negatif sayı nasıl çarpılır?
Ne yazık ki bu konuda hayattan uygun bir örnek çıkarmak çok zor. 3 veya 4 $ borcunu hayal etmek kolaydır, ancak -4 veya -3 kişinin borca girmesini hayal etmek tamamen imkansızdır.
Belki de diğer tarafa gideceğiz. Çarpmada, çarpanlardan birinin işaretinin değiştirilmesi ürünün işaretini değiştirir. Her iki faktörün işaretlerini değiştirirsek, işaretleri iki kez değiştirmeliyiz. ürün işareti, önce olumludan olumsuza, sonra tersi, olumsuzdan olumluya, yani ürün orijinal işaretine sahip olacaktır.
Dolayısıyla (-3)x(-4)=+12 olması biraz garip olsa da oldukça mantıklı.
İşaret konumuçarpıldığında şu şekilde değişir:
- pozitif sayı x pozitif sayı = pozitif sayı;
- negatif sayı x pozitif sayı = negatif sayı;
- pozitif sayı x negatif sayı = negatif sayı;
- negatif sayı x negatif sayı = pozitif sayı.
Diğer bir deyişle, aynı işaretli iki sayıyı çarparsak pozitif sayı elde ederiz. İki sayıyı farklı işaretlerle çarparak negatif bir sayı elde ederiz..
Aynı kural çarpma işleminin tersi için de geçerlidir - için.
Çalıştırarak bunu kolayca doğrulayabilirsiniz. ters çarpma işlemleri. Yukarıdaki örneklerin her birinde bölümü bölenle çarparsanız, temettü alırsınız ve (-3)x(-4)=(+12) gibi aynı işarete sahip olduğundan emin olun.
Kış geldiğine göre, buzda kaymamak ve kış yollarında kendinize güvenmemek için demir atınızı neye dönüştüreceğinizi düşünmenin zamanı geldi. Örneğin, Yokohama lastiklerini sitede alabilirsiniz: mvo.ru veya diğerleri, asıl mesele yüksek kalitede olması, Mvo.ru sitesinde daha fazla bilgi ve fiyat bulabilirsiniz.
Bu dersimizde pozitif ve negatif sayıları toplama kurallarını gözden geçireceğiz. Ayrıca sayıları farklı işaretlerle çarpmayı öğreneceğiz ve çarpma için işaret kurallarını öğreneceğiz. Pozitif ve negatif sayıların çarpma örneklerini düşünün.
Negatif sayılar durumunda sıfırla çarpma özelliği doğru kalır. Herhangi bir sayı ile çarpılan sıfır sıfırdır.
bibliyografya
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6. sınıf. - Jimnastik salonu. 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bir matematik ders kitabının sayfalarının arkasında. - M.: Aydınlanma, 1989.
- Rurukin A.N., Çaykovski I.V. 5-6. sınıf matematik dersi için görevler. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Çaykovski K.G. Matematik 5-6. MEPhI yazışma okulunun 6. sınıf öğrencileri için bir kılavuz. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematik: Lise 5-6 sınıflar için ders kitabı-muhatap. - M.: Eğitim, Matematik Öğretmeni Kütüphanesi, 1989.
Ev ödevi
- İnternet portalı Mnemonica.ru ().
- İnternet portalı Youtube.com ().
- İnternet portalı School-asistant.ru ().
- İnternet portalı Bymath.net ().
§ 1 Pozitif ve negatif sayıların çarpımı
Bu dersimizde pozitif ve negatif sayıları çarpma ve bölme kurallarını öğreneceğiz.
Herhangi bir ürünün aynı terimlerin toplamı olarak temsil edilebileceği bilinmektedir.
-1 terimi 6 kez eklenmelidir:
(-1)+(-1)+(-1) +(-1) +(-1) + (-1) =-6
Yani -1 ile 6'nın çarpımı -6'dır.
6 ve -6 sayıları zıt sayılardır.
Böylece şu sonuca varabiliriz:
-1'i bir doğal sayı ile çarptığınızda, karşıt sayıyı elde edersiniz.
Negatif sayılar ve pozitif sayılar için değişmeli çarpma yasası yerine getirilir:
Bir doğal sayı -1 ile çarpılırsa tersi de elde edilir.
Negatif olmayan herhangi bir sayıyı 1 ile çarpmak aynı sayıyı verir.
Örneğin:
Negatif sayılar için bu ifade de doğrudur: -5 ∙1 = -5; -2 ∙ 1 = -2.
Herhangi bir sayıyı 1 ile çarpmak aynı sayıyı verir.
Eksi 1 bir doğal sayı ile çarpıldığında tersinin elde edileceğini daha önce görmüştük. Negatif bir sayı çarpılırken bu ifade de doğrudur.
Örneğin: (-1) ∙ (-4) = 4.
Ayrıca -1 ∙ 0 = 0, 0 sayısı kendisinin tersidir.
Herhangi bir sayıyı eksi 1 ile çarptığınızda karşıt sayıyı elde edersiniz.
Gelelim diğer çarpma durumlarına. -3 ve 7 sayılarının çarpımını bulalım.
Negatif faktör -3, -1 ve 3'ün çarpımı ile değiştirilebilir. Daha sonra birleştirici çarpma yasası uygulanabilir:
1 ∙ 21 = -21, yani eksi 3 ve 7'nin çarpımı eksi 21'dir.
İki sayıyı farklı işaretlerle çarparken, modülü faktörlerin modülünün ürününe eşit olan negatif bir sayı elde edilir.
Aynı işaretli sayıların ürünü nedir?
İki pozitif sayıyı çarptığınızda pozitif bir sayı elde ettiğinizi biliyoruz. İki negatif sayının çarpımını bulun.
Faktörlerden birini eksi 1 olan bir ürünle değiştirelim.
Elde ettiğimiz kuralı uygularız, iki sayıyı farklı işaretlerle çarparken, modülü faktörlerin modülünün ürününe eşit olan negatif bir sayı elde edilir,
-80 olsun.
Kuralı formüle edelim:
Aynı işaretlerle iki sayı çarpıldığında, modülü faktörlerin modülünün ürününe eşit olan pozitif bir sayı elde edilir.
§ 2 Pozitif ve negatif sayıların bölünmesi
Bölmeye geçelim.
Seçim yaparak aşağıdaki denklemlerin köklerini buluruz:
y ∙ (-2) = 10. 5 ∙ 2 = 10, yani x = 5; 5 ∙ (-2) = -10, yani a = 5; -5 ∙ (-2) = 10, yani y = -5.
Denklemlerin çözümlerini yazalım. Her denklemde faktör bilinmiyor. Çarpımı bilinen faktöre bölerek bilinmeyen faktörü buluyoruz, bilinmeyen faktörlerin değerlerini zaten seçtik.
analiz edelim.
Aynı işaretlere sahip sayıları bölerken (ve bunlar birinci ve ikinci denklemlerdir), modülü, temettü ve bölenin modülünün bölümüne eşit olan pozitif bir sayı elde edilir.
Sayıları farklı işaretlerle bölerken (bu üçüncü denklemdir), modülü temettü ve bölenin modülünün bölümüne eşit olan negatif bir sayı elde edilir. Şunlar. pozitif ve negatif sayıları bölerken, bölümün işareti, çarpımın işaretiyle aynı kurallarla belirlenir. Ve bölümün modülü, temettü ve bölenin modülünün bölümüne eşittir.
Böylece, pozitif ve negatif sayıların çarpma ve bölme kurallarını formüle ettik.
Kullanılan literatür listesi:
- Matematik. 6. Sınıf: I.I.'nin ders kitabı için ders planları Zubareva, A.G. Mordkovich // yazar-derleyici L.A. Topilin. – Mnemosyne, 2009.
- Matematik. 6. sınıf: öğrenci ders kitabı Eğitim Kurumları. I.I. Zubareva, A.G. Mordkoviç. - M.: Mnemosyne, 2013.
- Matematik. 6. Sınıf: eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı./N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. - M.: Mnemosyne, 2013.
- Matematik El Kitabı - http://lyudmilanik.com.ua
- öğrenciler için el kitabı lise http://shkolo.ru
Bu yazıda, negatif bir sayıyı negatif bir sayıya bölmenin bir tanımını vereceğiz, kuralı formüle edip gerekçelendireceğiz, negatif sayıları bölmeye örnekler vereceğiz ve çözümlerinin seyrini analiz edeceğiz.
Negatif sayıların bölünmesi. kural
Bölme işleminin özünün ne olduğunu hatırlayın. Bu eylem, bilinmeyen bir çarpan bulmaktır. ünlü eser ve bilinen bir diğer faktör. c · b = a çarpımı doğruysa, a ve b sayılarının bölümünden c sayısına bölüm denir. Bu durumda a ÷ b = c .
Negatif sayıları bölme kuralı
Bir negatif sayının başka bir negatif sayıya bölünmesinin bölümü, bu sayıların modüllerinin bölünmesinin bölümüne eşittir.
a ve b negatif sayılar olsun. O zamanlar
a ÷ b = a ÷ b .
Bu kural, iki negatif sayının bölünmesini pozitif sayıların bölünmesine indirger. Sadece tamsayılar için değil, rasyonel ve gerçek sayılar için de geçerlidir. Negatif bir sayıyı negatif bir sayıya bölmenin sonucu her zaman pozitif bir sayıdır.
İşte bu kuralın rasyonel ve gerçek sayılara uygun başka bir formülasyonu. Karşılıklı sayılar kullanılarak verilir ve şöyle der: negatif bir a sayısını tanımsız sayıya bölmek için b - 1 sayısıyla çarpın, b'nin tersi.
a ÷ b = a · b - 1 .
Bölmeyi çarpmaya indirgeyen aynı kural, farklı işaretli sayıların bölünmesine de uygulanabilir.
a ÷ b = a b - 1 eşitliği, gerçek sayıların çarpma özelliği ve karşılıklı sayıların tanımı kullanılarak kanıtlanabilir. Eşitlikleri yazalım:
a b - 1 b = a b - 1 b = a 1 = a .
Bölme işleminin tanımı sayesinde, bu eşitlik, bir sayının b sayısına bölünmesinin bir bölümünün olduğunu kanıtlar.
Örneklere geçelim.
Basit vakalarla başlayalım, daha karmaşık olanlara geçelim.
Örnek 1. Negatif sayılar nasıl bölünür
- 18'i - 3'e böl .
Bölen ve bölen modülleri sırasıyla 3 ve 18'dir. Hadi yaz:
18 ÷ - 3 = - 18 ÷ - 3 = 18 ÷ 3 = 6 .
Örnek 2. Negatif sayılar nasıl bölünür
- 5'i - 2'ye böl .
Benzer şekilde, kurala göre yazıyoruz:
5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Kuralın ikinci formülasyonunu ters sayı ile kullanırsak aynı sonuç elde edilecektir.
5 ÷ - 2 = - 5 - 1 2 = 5 1 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Kesirli rasyonel sayıları bölerken, onları sıradan kesirler olarak göstermek en uygunudur. Ancak, sondaki ondalık sayıları da bölebilirsiniz.
Örnek 3. Negatif sayılar nasıl bölünür
- 0,004'ü - 0,25'e böl.
İlk önce şu sayıların modüllerini yazıyoruz: 0 , 004 ve 0 , 25 .
Şimdi iki yöntemden birini seçebilirsiniz:
- Ondalık kesirleri bir sütunla ayırın.
- Sıradan kesirlere gidin ve bölme işlemini gerçekleştirin.
Her iki yönteme de bir göz atalım.
1. Bölme yapmak ondalık kesirler sütun, virgül iki basamak sağa hareket ettirin.
Cevap: - 0, 004 ÷ 0, 25 = 0, 016
2. Şimdi ondalık kesirlerin sıradan kesirlere çevrilmesiyle bir çözüm veriyoruz.
0, 004 = 4 1000; 0 , 25 = 25 100 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 100 25 = 4 250 = 0 , 016
Elde edilen sonuçlar aynıdır.
Sonuç olarak, temettü ve bölen ise irrasyonel sayılar ve kök, derece, logaritma vb. olarak verilir, bölme sonucu gerekirse yaklaşık değeri hesaplanan sayısal bir ifade olarak yazılır.
Örnek 4. Negatif sayılar nasıl bölünür
- 0 , 5 ve - 5 sayılarının bölümlerini hesaplayın .
0 , 5 ÷ - 5 = - 0 , 5 ÷ - 5 = 0 , 5 ÷ 5 = 1 2 1 5 = 1 2 5 = 5 10 .
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.