Презентація на тему основних властивостей числових нерівностей. Презентація з математики «Числові нерівності та їх властивості
В курсі алгебри 8 класу важливу рольграє тема «Нерівності». Тому вкрай важливим є її глибоке вивчення. За підсумками цієї теорії вирішується ряд найскладніших завдань, причому, у курсі алгебри, а й у інших науках.
Ця презентація варта вивчення властивостей числових нерівностей. Причому до того уроку, на якому буде розглянута дана презентація, слід провести урок, де будуть дані самі властивості. Для цього можна відразу взяти презентацію «Властивості числових нерівностей. Часть1», де дана вся теорія з цієї теми. Тут же ви можете знайти багато різних прикладівде застосовні вивчені властивості. Отже, докладніше.
слайди 1-2 (Тема презентації "Властивості числових нерівностей. Частина 2", властивість)
Перший приклад показує, як довести нерівність за допомогою визначення поняття нерівності та деяких операцій з дробами.
Наступний приклад також показує доказ нерівності, який трохи складніший. Щоб довести нерівність, потрібно застосувати знання та вміння того, як складаються дроби з числами. Тобто треба вміти приводити дроби до спільного знаменника та складати їх. І знову ж таки в хід йде визначення, яке говорить, що якщо з лівої частини нерівності відняти праву при знаку більше, то має вийти позитивне значення, до чого автор і приходить в результаті. Отже, нерівність доведена.
слайди 3-4 (властивості)
У третьому прикладі потрібно знайти оцінки чисел, яких дається сім штук, якщо дані певні умови. Якщо йти по порядку, можна помітити, що з вирішенні цих прикладів застосовуються відразу кілька властивостей. Це властивість множення нерівності на позитивне та негативне число, додавання та віднімання двох нерівностей, зведення в ступінь. Кожен приклад автор розглядає досить докладно, що дозволяє добре засвоїти пропонований матеріал і закріпити його на прикладах.
слайди 5-6 (властивості)
Наступний, четвертий приклад уже складніший за попередні. Тут є квадратний корінь. За доказом автор знову використовує визначення нерівностей. Іншими словами, він знаходить різницю між лівою та правою частинами нерівності та визначає знак. У ході докази, коли знайдено спільний знаменник, У чисельнику виходить вираз, який можна згорнути за формулою квадрата різниці двох виразів.
В результаті виходить позитивний вираз, що підтверджує знак нерівності. Але тут знак несуворий, тому автор перевіряє умову рівності. У результаті виходить, що для того, щоб вирази були рівні, обидва дані за умови числа повинні бути рівними, але за умовою цього не обговорюється. Тому нерівність має знак строго більше при різних значенняхчисел a та b.
слайди 7-8 (властивості)
Далі автор цей приклад демонструє наочно. Тобто ліва частина даної нерівності є середнім арифметичним заданих чисел, а права - середнім геометричним цих самих чисел. Звідси випливає, що середнє арифметичне двох невід'ємних чисел не менше їхнього середнього геометричного. А це і є нерівність Коші. Тут автор звертає увагу на зауваження, яке продемонстровано на малюнку.
В останньому, п'ятому прикладі автор пропонує порівняти числа. Але ці цифри не прості. Тут є сума, де одним із доданків є квадратний корінь числа. Тому тут без властивостей не обійтися, щоб виконати завдання. У даному прикладідва випадки. У першому випадку автор пропонує обидва числа звести до квадрата, що дозволяється властивостями, вивченими раніше. В результаті виходять нові числа, які відрізняються тим, що до того самого числа 9 додається різне число. Залишається порівняти вже ці два числа. У другому випадку автор пропонує порівняти доданки попарно з обох частин нерівності. Виходить, що перше і друге доданки першого числа менше відповідно першого і другого доданків другого числа. Тому знак очевидний.
слайд 9 (властивості)
Презентація може бути використана на уроці вивчення нового матеріалу як приклад, де можуть застосовуватися вивчені властивості. Також презентація підходить для уроку закріплення вивченого на минулому уроці матеріалу. Підійде вона і для факультативного чи позакласного заняття. За бажанням вчителя презентація може бути доповнена.
«Нерівності»
Презентація вчителя математики 1 категорії
МОУ ГООШ м.Калязіна Тверська область
b , або a або a ≥ b , або a ≤ b , встановлених між числами, то кажуть, що задана числова нерівність." width="640"
Числова нерівність
- Нерівність- Одне з фундаментальних понять математики.
- Якщо два речові числа aі bз'єднані знаком нерівності ≠ або одним із відносин порядку a b, або
a або a ≥ b, або ж a ≤ b, встановлених між числами, то кажуть, що задано числова нерівність .
- Якщо a b- це означає що a – b – додатне число ;
- Якщо a - це означає що a – b – від'ємне число ;
b, c d (або a Нерівності виду a d і c" width="640"
Нерівності однакового та протилежного сенсу
Нерівності
Нерівності протилежного сенсу
Нерівності однакової сенсу
Нерівності виду
a b, c d (або a
Нерівності виду a d і
, Нерівності відносин ≥ , ≤ називають нестрогими називають строгими" width="640"
Суворі та не суворі нерівності
Нерівності
Нестрогі
Суворі
Нерівності відносин ,
Нерівності відносин ≥ , ≤ називають нестрогими
називають строгими
b та b c , то a c Доказ. 1) a b – за умовою, тобто. a – b – позитивне число. 2) b c – за умовою, тобто. b – c – позитивне число. 3) Склавши позитивні числа a - b і b - c отримаємо позитивне число. 4) Отже, (a - b) + (b - c) = a - c. Отже, a - c – позитивне число, тобто a c "width="640"
Властивості числових нерівностей
- Властивість 1 .
Якщо a b і b c , то a c
- Доведення.
1) a b – за умовою, тобто. a - b - додатне число.
2) b c – за умовою, тобто. b - c - додатне число.
3) Склавши позитивні числа a - b і b - c отримаємо позитивне число.
4) Отже, (a - b) + (b - c) = a - c. Значить, a - c - додатне число, тобто a c , що потрібно було довести.
b означає, що на числовій прямій точка a розташована правіше точки b , а нерівність b c - що точка b розташована правіше точки c . Але тоді точка a розташована прямої правіше точки c , тобто. a c. Цю властивість називають властивістю транзитивності (Образно кажучи, від пункту a ми добираємося до пункту c транзитом, з проміжною зупинкою в пункті b) x c b a" width="640"
Обгрунтування властивості 1, за допомогою числової прямої
Нерівність a bозначає, що на числовій прямій точка aрозташована правіше точки b, а нерівність b c- що точка bрозташована правіше точки c. Але тоді крапка aрозташована на прямій правіше точки c, тобто. a c . Цю властивість називають властивістю транзитивності(Образно кажучи, від пункту a ми добираємося до пункту c транзитом, з проміжною зупинкою в пункті b)
b , то a + c b + c Тобто, якщо до обох частин нерівності додати те саме число, то знак нерівності не зміниться. Приклад: 6 4 якщо до обох частин нерівності додати 2 , то знак нерівності не зміниться. Вийде такий вираз: 8 6. На основі першої властивості можна зробити висновок, що будь-яке доданок можна перенести з однієї частини до іншої, змінивши його знак на протилежний. Приклад: 5
Властивість 2.
- Якщо a b, то a + c b + c
Тобто, якщо до обох частин нерівності додати те саме число, то знак нерівності не зміниться.
Приклад:
6 4 якщо до обох частин нерівності додати 2 , то знак нерівності не зміниться. Вийде такий вираз: 8 6. На основі першої властивості можна зробити висновок, що будь-який доданок можна перенести з однієї частини до іншої, змінивши його знак на протилежний. приклад :
5
b і m 0 , то a b m m Тобто, якщо обидві частини нерівності розділити на те саме позитивне число, то знак нерівності слід зберегти; Приклад: a b , тоді a b Якщо а b і m 0 , то am bm Тобто, якщо обидві частини нерівності помножити на те саме позитивне число, то знак нерівності слід зберегти; Приклад: a b тоді 8a 8b Якщо а b і m 0 то am . Тобто, якщо обидві частини нерівності помножити на те саме негативне число, то знак нерівності слід змінити (, на Приклад: a , тоді -9a -9b ; Якщо a b , то -a ; Тобто, якщо змінити знаки у обох частин нерівності, то треба змінити і знак нерівності. 8 8" width="640"
Властивість 3.
- Якщо a bі m 0 , то a b
Тобто, якщо обидві частини нерівності розділити на те саме позитивне число, то знак нерівності слід зберегти;
Приклад: a b тоді a b
- Якщо а bі m 0 , то am bm
Тобто, якщо обидві частини нерівності помножити на те саме позитивне число, то знак нерівності слід зберегти;
Приклад: a b тоді 8a 8b
- Якщо а bі m 0 , то am.
Тобто, якщо обидві частини нерівності помножити на те саме негативне число, то знак нерівності слід змінити (, на
Приклад: a тоді -9a -9b ;
- Якщо a b, то -a ;
Тобто, якщо змінити знаки в обох частин нерівності, треба змінити і знак нерівності.
b і c d, a + c b + d. Доведення. І спосіб. 1. а b і c d - за умовою, отже, а - b і c - d - позитивні числа. 2. Тоді та їх сума, тобто (а – b) + (с – d) – позитивне число. 3. Так як (a-b) + (c-d) = (a + c)-(b + d), то і (а + с) - (b + d) - позитивне число. Тому a + c b + d , що потрібно було довести. ІІ метод. 1.Оскільки а Ь, то а + с b + с – за якістю 2 . 2. Аналогічно, оскільки з d, то з + b d + b. 3.Отже, а + с b + с, b + с b + d . Тоді, в силу властивості транзитивності, отримуємо, що а + b + d , що і вимагалося довести.
Властивість 4.
- Якщо a bі c d, то a + c b + d.
Доведення.
- І спосіб.
1. а bі з d- за умовою, значить, а - bі с - d - позитивні числа .
2. Тоді та його сума, тобто. (а - b) + (с - d) - додатне число .
3. Оскільки (a-b) + (c-d) = (a + c)-(b + d), то й (а + с) - (b + d) - додатне число. Тому a + c b + d, що і потрібно було довести.
- ІІ метод.
1.Оскільки а Ь, то а + с b + с – за якістю 2 .
2. Аналогічно, оскільки з d, то з + b d + b .
3.Отже, а + с b + с, b + с b + d . Тоді, через якість транзитивності, отримуємо, що а + с b + d, що і потрібно було довести.
b, c d, ac bd. Тобто, при множенні нерівностей однакового сенсу, у яких ліві та праві частини – позитивні числа, вийде нерівність того самого сенсу. Доведення. 1. Оскільки a b і c 0 , то ac bc – за якістю 3. 2. Оскільки з d і b 0 , то cb db – за якістю 3. 3. Отже, ac bc , bc bd . Тоді ac bd - за якістю транзитивності, що потрібно було довести." width="640"
Властивість 5.
Якщо a, b, c, d – позитивні числаі a b , c d, то ac bd .
Тобто, при множенні нерівностей однакового сенсу, у яких ліві та праві частини – позитивні числа, вийде нерівність того самого сенсу.
Доведення.
1.Оскільки a bі з 0, то ac bc – за якістю 3.
2.Оскільки з dі b 0, то cb db – за якістю 3.
3. Отже, ac bc , bc bd. Тоді ac bd - за якістю транзитивності, що і потрібно було довести.
b , то а n Ь n , де n - будь-яке натуральне число. Тобто, якщо обидві частини нерівності - невід'ємні числа, то їх можна звести в одну й ту саму натуральний ступіньзберігши знак нерівності. Додаток: Якщо n - непарне число, то будь-яких чисел а і b з нерівності а b слід нерівність тієї самої сенсу а n b n ." width="640"
Властивість 6.
- Якщо аі b - невід'ємні числаі а b, то а n Ь n, де n- будь-яке натуральне число .
Тобто, якщо обидві частини нерівності - невід'ємні числа , то їх можна звести в той самий натуральний ступінь, зберігши знак нерівності.
- Додаток:
Якщо n - непарне число, то для будь-яких чисел аі bз нерівності а bслідує нерівність того ж сенсу а n b n .
b. Довести, що рішення. Розглянемо різницю Маємо: За умовою, а, b, а – b – позитивні числа. Отже, - негативне число, тобто. звідки випливає, що "width="640"
- Нехай aі b - позитивні числаі a b .
Довести, що
- Рішення.
Розглянемо різницю
Маємо:
За умовою, а, b, а – b – позитивні числа. Значить,
- від'ємне число,тобто.
звідки випливає, що
- Нехай а - додатне число .
Довести, що
- Рішення.
Отримали невід'ємне число, отже,
Зауважимо, що
- Нехай аі b невід'ємні числа. Довести, що
- Рішення.
Складемо різницю лівої та правої частин нерівності. Маємо
У цьому випадку, число
називають середнім арифметичнимчисел аі b ;
Число називають середнім геометричнимчисел аі b .
Таким чином середнє арифметичне двох невід'ємних чисел не менше їх середнього геометричного.Доведену нерівність іноді називають нерівністю Коші на честь французького математика ХІХ століття Огюста Коші.
Зауваження . Нерівність Коші має цікаве геометричне тлумачення. Нехай дано прямокутний трикутник і хай висота h, проведена з вершини прямого кута, Ділить гіпотенузу на відрізки а і b (рис. 116). У геометрії доведено, що
(Отже не випадково для цього виразу ввели термін «середнє геометричне»). А що таке?
Це довжина половини гіпотенузи.Але з геометрії відомо, що медіана m прямокутного трикутника, Проведена з вершини прямого кута, якраз і дорівнює половині гіпотенузи. Таким чином, нерівність Коші означає, що медіана, проведена до гіпотенузи, тобто,
не менше висоти, проведеної до гіпотенузи (тобто),
Очевидний геометричний факт (див. рис. 116).
Огюстен Луї Коші
- Підручник "Алгебра" А.Г. Мордкович 8 клас
- http://ua.wikipedia.org/wiki
- Яндекс картинки
Самостійна робота Варіант 1 1. Дайте визначення, що число a більше від числа b 2.Порівняйте: а) б) а і 8 а 3. Доведіть нерівність (а – 3)(а + 9)
Теорема 1 Якщо а>b, то bb, то b b, то bb, то bb, то b
4a" title="(!LANG:Якщо a і b позитивні числа і a< b, то Пример 1 Оцените периметр квадрата со стороной a см, если известно, что 18,1 < a < 18,2 Пример 2 Доказать неравенство a 2 + 5 >4a" class="link_thumb">
4
!}Якщо a і b позитивні числа і a 4a 4a"> 4a"> 4a" title="(!LANG:Якщо a і b позитивні числа і a 4a">
title="Якщо a і b позитивні числа і a 4a">
!}
У класі (г) (в, г) д/з п (а, б)
B і b > c, a > c. Наприклад, 6> 4 і 4> -1, тоді 6> -1. Аналогічно, якщо c b, a + c > b + c. Якщо до обох частин нерівності додати те саме число (позитивне чи негативне), то зна " title="(!LANG:1. Якщо a > b і b > c, то a > c. Наприклад, 6 > 4 і 4 > -1, тоді 6 > - 1. Аналогічно, якщо c b, то a + c > b + c. Якщо до обох частин нерівності додати те саме число (позитивне чи негативне), то знає" class="link_thumb"> 6 !} 1. Якщо a > b та b > c, то a > c. Наприклад, 6> 4 і 4> -1, тоді 6> -1. Аналогічно, якщо c b, a + c > b + c. Якщо до обох частин нерівності додати те саме число (позитивне чи негативне), то знак нерівності не зміниться. Наприклад, 6 > 4, тоді > Якщо a + c > b, a > b - c. Будь-яке доданок можна переносити з однієї частини нерівності до іншої, змінюючи при цьому знак доданку на протилежний. Наприклад, > 4 тоді 5 > 4 – 10. b і b > c, a > c. Наприклад, 6> 4 і 4> -1, тоді 6> -1. Аналогічно, якщо c b, a + c > b + c. Якщо до обох частин нерівності додати одне й те саме число (позитивне або негативне), то знання b і b > c, то a > c. Наприклад, 6 > 4 і 4 > -1, тоді 6 > -1. , якщо c b, то a + c > b + c. Якщо до обох частин нерівності додати те саме число (позитивне чи негативне), то знак нерівності не зміниться, наприклад, 6 > 4, тоді 6 + 3 > 4 + 3 3. Якщо a + c > b, то a > b - c. Будь-який доданок можна переносити з однієї частини нерівності до іншої, змінюючи при цьому знак доданку на протилежний, наприклад, 5 + 10 > 4, тоді 5 > 4 – 10 ."> b і b > c, то a > c. Наприклад, 6> 4 і 4> -1, тоді 6> -1. Аналогічно, якщо c b, a + c > b + c. Якщо до обох частин нерівності додати те саме число (позитивне чи негативне), то зна " title="(!LANG:1. Якщо a > b і b > c, то a > c. Наприклад, 6 > 4 і 4 > -1, тоді 6 > - 1. Аналогічно, якщо c b, то a + c > b + c. Якщо до обох частин нерівності додати те саме число (позитивне чи негативне), то знає"> title="1. Якщо a > b та b > c, то a > c. Наприклад, 6> 4 і 4> -1, тоді 6> -1. Аналогічно, якщо c b, a + c > b + c. Якщо до обох частин нерівності додати те саме число (позитивне чи негативне), то знає"> !}
B і c > 0, ac > bc і. c Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Наприклад, 3 > 1, тоді 3 5 > 1 5. 7 b і c b і c > 0, ac > bc і. c Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Наприклад, 3 > 1, тоді 3 5 > 1 5. 7 b та c 7 a b 4. Якщо a > b і c > 0, ac > bc и. c Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Наприклад, 3 > 1, тоді 3 5 > b і c 4, тоді 9 (-2) b і c > 0, ac > bc і. c Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Наприклад, 3 > 1, тоді 3 5 > 1 5. 7 b і c b і c > 0, ac > bc і. c Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Наприклад, 3 > 1, тоді 3 5 > 1 5. 7 b і c 4, тоді 9 (-2) b і c > 0, ac > bc і. c Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Наприклад, 3 > 1, тоді 3 5 > 1 5. 7 b і c b і c > 0, ac > bc і. c Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Наприклад, 3 > 1, тоді 3 5 > 1 5. 7 b і c title="(!LANG:a b 4. Якщо a > b і c > 0, то ac > bc і. c Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться, наприклад, 3 > 1, тоді 3 5 > 1 5. 7 b і c
B і c > d, a + c > b + d. При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака. Наприклад, 8 > 5 і 4 > 1, тоді 8 + 4 > 5 + 1. 6. Якщо для позитивних чисел a, b, c, d: a > b та c > d, то a c > b d. При множі" title="5. Якщо a > b та c > d, то a + c > b + d. При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака. Наприклад, 8 > 5 і 4 > 1, тоді 8 + 4 > 5 + 1. 6. Якщо для позитивних чисел a, b, c, d: a > b та c > d, то a c > b d. При множі" class="link_thumb"> 8 !} 5. Якщо a > b та c > d, то a + c > b + d. При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака. Наприклад, 8 > 5 і 4 > 1, тоді > Якщо для позитивних чисел a, b, c, d: a > b та c > d, то a c > b d. При множенні нерівностей однакового знака, які мають ліві і праві частини позитивні, виходить нерівність тієї самої знака. Наприклад, 12 > 5 та 3 > 2, тоді 12 3 > 5 2. b і c > d, a + c > b + d. При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака. Наприклад, 8 > 5 і 4 > 1, тоді 8 + 4 > 5 + 1. 6. Якщо для позитивних чисел a, b, c, d: a > b та c > d, то a c > b d. При множенні"> b і c > d, то a + c > b + d. При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака. Наприклад, 8 > 5 і 4 > 1, тоді 8 + 4 > 5 + 1. 6 Якщо для позитивних чисел a, b, c, d: a > b і c > d, то a c > b d. При множенні нерівностей однакового знака, у яких ліві та праві частини позитивні, виходить нерівність того ж знака. > 5 і 3 > 2, тоді 12 3 > 5 2."> b і c > d, a + c > b + d. При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака. Наприклад, 8 > 5 і 4 > 1, тоді 8 + 4 > 5 + 1. 6. Якщо для позитивних чисел a, b, c, d: a > b та c > d, то a c > b d. При множенні" title="(!LANG:5. Якщо a > b і c > d, то a + c > b + d. При складанні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака. Наприклад, 8 > 5 і 4 > 1 , тоді 8 + 4 > 5 + 1. 6. Якщо для позитивних чисел a, b, c, d: a > b і c > d, то a c > b d."> title="5. Якщо a > b та c > d, то a + c > b + d. При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака. Наприклад, 8 > 5 і 4 > 1, тоді 8 + 4 > 5 + 1. 6. Якщо для позитивних чисел a, b, c, d: a > b та c > d, то a c > b d. При множі"> !}