Скільки дорівнює корінь зі 100. Квадратний корінь зі ста? Як тобі квадратне коріння? Все зрозуміло
"Торгівельна" революція
Комків Сергій 26.12.2012
На тлі вступу Росії до СОТ, який щойно відбувся, знищення РГТЕУ - провідного російського вишу в системі торгових (і, насамперед, зовнішньоторговельних) відносин, а також звільнення його ректора, відомого політика Сергія Бабуріна виглядають не просто як дурість. Все це дуже схоже на наперед сплановану провокацію.
Схоже, Світова Торгова Організація і, головним чином, США, які грають у ній ключову роль, виявилися не на жарт стурбовані можливими наслідкамивступу до цієї організації Росії.
Але тут вони вчасно згадали про те, що в Росії вже давно і успішно діє вирощена та вигодувана ними організація. Вища школаЕкономіка. Саме її було створено 1992-го року на гроші Світового Банку з метою знищення в нашій країні всього інтелектуального потенціалу нації. Саме під її керівництвом сьогодні діє головний колективний «агент впливу» у цій сфері – Міністерство освіти та науки Росії.
Можна багато й нескінченно говорити про дурість і некомпетентність новоявленого міністра – пана Ліванова, який важко розрізняє види та напрями освіти. Але сам собою пан Ліванов – абсолютний нуль без палички. З вуст якого при кожному їх відкритті неодмінно вискакує якась чергова нісенітниця. За його спиною маячать колоритніші постаті. Наприклад, головного «ідеолога» всіх економічних перетворень у нашій країні громадянина США Євгена Ясіна та його підручного – ректора «Вишки» Ярослава Кузьмінова.
Саме вони з подачі американських радників зі Світового Банку, які активно працюють на базі ВШЕ, сформулювали критерії так званого «моніторингу» російських вишів.
І вже ні для кого не секрет, що, відповідно до даних «критерій», у розряд «неефективних» потрапили найбільш значні російські вищі навчальні заклади. ВНЗ з багатою історією та традиціями, що мають величезний творчий потенціал. Наприклад, МАРХІ, РДГУ, Літературний інститут.
Потрапив до цієї категорії і Російський Державний Торгово-Економічний університет – РДТЕУ. Хоча за багатьма своїми показниками цей виш може дати сто очок фори тій самій «Плешке», до якої його так раптово вирішили приєднати. І насамперед у питаннях підготовки фахівців для системи зовнішньої торгівлі.
РДТЕУ не просто має величезні міжнародні зв'язки. У ньому досконало вивчаються особливості торговельного розвитку зарубіжних країн. У стінах цього вишу постійно виступають провідні економічні та політичні діячі світу, посли іноземних держав. Почесними лікарями цього вишу є провідні світові лідери. Наприклад, Фідель Кастро та Уго Чавес.
А це, як відомо, «закляті друзі» Америки. Ось і пішли в хід інструменти зі знищення такого небезпечного. навчального закладу. Щоб Росія, не дай Боже, не звернула з «справжнього шляху» і не зрадила інтересів американських замовників.
Та й особистість самого ректора – відомого в Росії та далеко за її межами політика та вченого – постала у наших американських дядечків як кістка у горлі.
Сергій Бабурін був не просто одним із лідерів парламентської опозиції, займаючи у попередньому складі Державної Думи Росії місце віце-спікера. Він був активним прихильником нової політики Росії по всьому пострадянському просторі. Саме він у 2006-му році найактивніше допомагав народу Абхазії вийти з глибокої політичної кризи. До якого, до речі, його увігнали знову ті самі тупі й слухняні волі американських радників чиновники уряду та адміністрації президента Росії.
Завдяки зусиллям Сергія Бабуріна верх в Абхазії тоді взяли прогресивні сили на чолі із Сергієм Багапшем. І з 2008 року Абхазія стала головним стратегічним партнером Росії на Північному Кавказі.
Подібна позиція є виразом здорового, виваженого патріотизму. Тому протягом кількох років Бабурін очолює Російський Європейський Союз і є організатором щорічних традиційних Російських Маршів. Не тих, що зі свастикою та фашистськими гаслами «Росія тільки для росіян!» А цілком зрозумілих для всього населення країни виступів із вимогами дотримуватись російських національних інтересів у питаннях зовнішньої політикиі виконувати соціальні обіцянки, дані своєму народу.
Але саме це не подобається американським поплічникам, що окопалися в кабінетах російського уряду. Тому що для них вимога дотримання наших національних інтересівяк ніж по серцю.
Ось і спало комусь на думку одним ударом вбити відразу двох зайців: і вуз, який готує фахівців для успішної зовнішньої торгівлі Росії, та її патріотично налаштованого ректора.
Зазвичай для таких дій найбільше підходять дурні. Бо їм, як відомо, не відомо, що вони насправді творять. Але в даному конкретному випадку може вийти дуже серйозний промах, загрожує важкими соціальними наслідкамидля всієї країни.
Наші чиновники, що зажерлися на казенних харчах і вважають себе цілком правими у будь-якій неправедній справі, забули найпростішу істину: вони не владні над юнацькими душами та юнацькими поривами.
Саме подібні пориви сміли наприкінці 60-х років минулого століття уряд генерала Де Голля у Франції. Там теж починалося все з, здавалося б, зовні невинних речей. А закінчилося загальним хаосом, заворушеннями, палаючими автомобілями та офісами.
Молодь (особливо організована студентська молодь) – це не купка збанкрутілих політиків-опозиціонерів, які побували у владі і, тому, на неї дуже скривджених. Студентська молодь завжди і за всіх часів була однією з головних рушійних силреволюції. І сьогоднішня молодь не є винятком із правил. Скоріше навпаки. Саме сьогоднішня молодь, що особливо гостро сприймає соціальну несправедливість і нерівність, що виникла в суспільстві, здатна на найкрутіші і найрадикальніші кроки. І, якщо влада спробує застосувати чинність, це буде для неї вбивчо. Тому що молодь ніколи їй цього не вибачить.
Коли пан Ліванов та Ко оголосили про свій намір силовим методом розпочати вирішення проблеми вищої освіти, закриваючи та зливаючи виші, вони фактично підписали собі вирок. Вони навіть не спромоглися задуматися над тим, які глибинні сили вони піднімають. І це скінчиться трагічно не лише для тих, хто сьогодні опинився на керівних посадах у Міністерстві освіти та науки, а й для всього російського керівництвав цілому. Бо навіть пригнічений локально молодіжний бунт не йде в небуття. Він зріє із новою силою. Але де і коли він вдарить, вже не зможе передбачити ніхто.
Тож події в РДТЕУ лише на перший погляд виглядають як «торговельна революція». Насправді вони провісники іншої – жорсткішої та кривавішої соціальної війни, переможців у якій не буде.
Той, хто програв, відомий заздалегідь. Це наша Батьківщина. Країна, яку ми поки що іноді з деякою гордістю називаємо Росією.
Тому сьогоднішні дії керівництва Міносвіти щодо окремо взятого навчального закладу та щодо окремо взятого ректора можна розцінювати як розпалювання соціальної війни в ім'я та на благо іншої держави.
А це називається: Національна Зрада.
Що таке квадратний корінь?
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Це поняття дуже просте. Звичайно, я б сказав. Математики на кожну дію намагаються знайти протидію. Є додавання - є і віднімання. Є множення – є й поділ. Є зведення в квадрат... Значить, є і вилучення квадратного кореня!От і все. Це дія ( вилучення квадратного кореня) в математиці позначається таким значком:
Сам значок називається гарним словом "радикал".
Як отримати корінь?Це краще розглянути на прикладах.
Скільки буде квадратний корінь із 9? А яке число у квадраті дасть нам 9? 3 у квадраті дасть нам 9! Тобто:
А ось скільки буде квадратний корінь із нуля? Не питання! Яке число у квадраті нуль дає? Та сам нуль і дає! Значить:
Вловили, Що таке квадратний корінь?Тоді вважаємо приклади:
Відповіді (безладно): 6; 1; 4; 9; 5.
Вирішили? Справді, куди простіше?!
Але... Що робить людина, коли бачить якесь завдання з корінням?
Сумувати починає людина... Не вірить він у простоту та легкість коріння. Хоча, начебто, і знає, що таке квадратний корінь...
Все тому, що людина проігнорувала кілька важливих пунктиків щодо коріння. Потім ці пунктики жорстоко мстять на контрольних та іспитах.
Пунктик перший. Коріння треба пізнавати в обличчя!
Скільки буде корінь квадратний із 49? Сім? Правильно! А як ви дізналися, що сім? Звели сімку у квадрат і отримали 49? Правильно! Зверніть увагу, щоб витягти коріньз 49 нам довелося виконати зворотну операцію - звести 7 у квадрат! І переконатися, що ми не схибили. А могли й схибити...
У цьому є складність вилучення коренів. Звести у квадратможна будь-яке число без особливих проблем. Помножити число саме собою стовпчиком - та й усі справи. А ось для вилучення коренятакої простої та безвідмовної технології немає. Доводиться підбиративідповідь та перевіряти його на влучення зведенням у квадрат.
Цей складний творчий процес- підбір відповіді - спрощується, якщо ви пам'ятайтеквадрати найпопулярніших чисел. Як таблицю множення. Якщо, скажімо, треба помножити 4 на 6 – ви ж не складаєте четвірку 6 разів? Відразу випливає відповідь 24. Хоча, не у всіх він випливає, так...
Для вільної та успішної роботи з корінням достатньо знати квадрати чисел від 1 до 20. Причому тудиі назад.Тобто. ви повинні легко називати як, скажімо, 11 у квадраті, так і корінь квадратний із 121. Щоб досягти такого запам'ятовування, є два шляхи. Перший – вивчити таблицю квадратів. Це чудово допоможе вирішувати приклади. Другий - вирішувати більше прикладів. Це чудово допоможе запам'ятати таблицю квадратів.
І жодних калькуляторів! Лише для перевірки. Інакше на іспиті гальмуватимете нещадно...
Отже, що таке квадратний коріньі як видобувати коріння- гадаю, зрозуміло. Тепер з'ясуємо З ЧОГО можна їх витягувати.
Пунктик другий. Корінь, я тебе не знаю!
З яких чисел можна добувати квадратне коріння? Та майже з будь-яких. Простіше зрозуміти, з чого не можнаїх витягувати.
Спробуємо обчислити такий корінь:
Для цього потрібно підібрати число, яке у квадраті дасть нам -4. Підбираємо.
Що, не підбирається? 2 2 дає +4. (-2) 2 дає знову +4! Ось-ось... Немає таких чисел, які при зведенні в квадрат дадуть нам негативне число! Хоча я такі цифри знаю. Але вам не скажу. Вступіть до інституту - самі дізнаєтесь.
Така сама історія буде з будь-яким негативним числом. Звідси висновок:
Вираз, у якому під знаком квадратного кореня стоїть негативне число - не має сенсу! Це заборонена операція. Така ж заборонена, як і поділ на нуль. Запам'ятайте цей факт залізно!Або, іншими словами:
Квадратне коріння з негативних чиселвитягти не можна!
Зате з решти - можна. Наприклад, цілком можна обчислити
На перший погляд, це дуже складно. Підбирати дроби та в квадрат зводити... Не хвилюйтеся. Коли розберемося з властивостями коренів, такі приклади будуть зводитися до тієї ж таблиці квадратів. Життя стане простіше!
Ну гаразд дробу. Але нам ще трапляються вирази типу:
Нічого страшного. Все теж саме. Корінь квадратний із двох - це число, яке при зведенні в квадрат дасть нам двійку. Тільки число це зовсім нерівне... Ось воно:
Що цікаво, цей дріб не закінчується ніколи... Такі числа називаються ірраціональними. У квадратному корінні це - звичайнісінька справа. До речі, саме тому вирази з корінням називають ірраціональними. Зрозуміло, що писати весь час такий нескінченний дріб незручно. Тому замість нескінченного дробутак і залишають:
Якщо при вирішенні прикладу у вас вийшло щось невитягнене, типу:
то так і залишаємо. Це буде відповідь.
Потрібно чітко розуміти, що під значками
Звичайно, якщо корінь із числа витягується рівно, Ви повинні це зробити. Відповідь завдання у вигляді, наприклад
цілком собі повноцінна відповідь.
І, звичайно, треба знати на згадку приблизні значення:
Це знання дуже допомагає оцінити ситуацію в складних завданнях.
Пунктик третій. Найхитріший.
Основну плутанину в роботу з корінням вносить саме цей пункт. Саме він надає невпевненості у власних силах... Розберемося з цим пунктом як слід!
Для початку знову витягнемо квадратний корінь їх чотирьох. Що, вже дістав я вас із цим корінням?) Нічого, зараз цікаво буде!
Яке число дасть у квадраті 4? Ну два, два - чую незадоволені відповіді...
Правильно. Два. Але ж і мінус двадасть у квадраті 4... А тим часом, відповідь
правильна, а відповідь
груба помилка. Ось так.
Так у чому ж справа?
Дійсно, (-2) 2 = 4. І під визначення кореня квадратного із чотирьох мінус двацілком підходить... Це теж корінь квадратний із чотирьох.
Але! У шкільному курсі математики прийнято вважати за квадратне коріння лише невід'ємні числа!Тобто нуль і всі позитивні. Навіть термін спеціальний придуманий: з числа а- це невід'ємнечисло, квадрат якого дорівнює а. Негативні результати при отриманні квадратного арифметичного кореня просто відкидаються. У школі все квадратне коріння - арифметичні. Хоча особливо про це не згадується.
Ну гаразд, це зрозуміло. Це навіть краще - не возитися з негативними результатами... Це ще не плутанина.
Плутанина починається при розв'язанні квадратних рівнянь. Наприклад, треба вирішити таке рівняння.
Рівняння просте, пишемо відповідь (як вчили):
Така відповідь (цілком правильна, до речі) - це просто скорочений запис двохвідповідей:
Стоп-стоп! Трохи вище я написав, що квадратний корінь – число завждиневід'ємний! А тут одна з відповідей - негативний! Непорядок. Це перша (але не остання) проблемка, яка викликає недовіру до коріння... Розв'яжемо цю проблемку. Запишемо відповіді (чисто для розуміння!) ось так:
Дужки суті відповіді не змінюють. Просто я відокремив дужками знакивід кореня. Тепер видно, що сам корінь (у дужках) - число все одно невід'ємне! А знаки – це результат вирішення рівняння. Адже при вирішенні будь-якого рівняння ми маємо записати всіікси, які при підстановці у вихідне рівняння дадуть правильний результат. У наше рівняння підходить корінь із п'яти (позитивний!) як із плюсом, так і з мінусом.
Ось так. Якщо ви просто витягуєте квадратний коріньз чогось, ви завждиотримуєте один невід'ємнийрезультат. Наприклад:
Бо це - арифметичний квадратний корінь.
Але якщо ви вирішуєте якесь квадратне рівняння, типу:
то завждивиходить двавідповіді (з плюсом та мінусом):
Тому що це – рішення рівняння.
Сподіваюся, що таке квадратний коріньзі своїми пунктиками ви зрозуміли. Тепер залишилося дізнатися, що можна робити з корінням, які їх властивості. І які там пунктики та підводні кор... вибачте, каміння!)
Все це – у наступних уроках.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Серед безлічі знань, які є ознакою грамотності, на першому місці стоїть абетка. Наступним, таким самим «знаковим» елементом, є навички складання-множення і, що примикають до них, але зворотні за змістом, арифметичні операції віднімання-поділу. Засвоєні в далекому шкільному дитинстві навички, служать вірою та правдою вдень і вночі: ТБ, газета, СМС, І всюди читаємо, пишемо, вважаємо, складаємо, віднімаємо, множимо. А, скажіть, чи часто вам доводилося по життю, добувати коріння, окрім як на дачі? Наприклад, таке цікаве завдання, типу, корінь квадратний з числа 12345 ... Є ще порох в порохівницях? Подужаємо? Та немає нічого простішого! Де тут мій калькулятор... А без нього, врукопашну, слабко?
Спочатку уточнимо, що це таке - квадратний корінь числа. Взагалі кажучи, «витягти корінь із числа» означає виконати арифметичну дію протилежну зведенню в ступінь - ось вам і єдність протилежностей у життєвому додатку. припустимо, квадрат, це множення числа на себе, тобто, як вчили у школі, Х * Х = А чи іншого запису Х2 = А, а словами - «Х квадраті дорівнює А». Тоді обернена задача звучить так: квадратний корінь числа А, являє собою число Х, яке будучи зведене в квадрат і А.
Вилучаємо квадратний корінь
З шкільного курсуарифметики відомі способи обчислень «у стовпчик», які допомагають виконати будь-які підрахунки із застосуванням перших чотирьох арифметичних дій. На жаль… Для квадратних, і не лише квадратних, коріння таких алгоритмів не існує. А в такому разі як витягти квадратний корінь без калькулятора? З визначення квадратного кореня висновок один - необхідно підбирати значення результату послідовним перебором чисел, квадрат яких наближається до значення підкореного виразу. Тільки і всього! Не встигне пройти годину-другу, як можна порахувати, використовуючи добре відомий прийом множення в «стовпчик», будь-який квадратний корінь. За наявності навичок для цього достатньо кількох хвилин. Навіть не зовсім просунутий користувач калькулятора чи ПК робить це одним махом – прогрес.
А якщо серйозно, то обчислення квадратного кореня часто виконують, використовуючи прийом артилерійської вилки: спочатку беруть число, квадрат якого, приблизно, відповідає підкореному виразу. Краще, якщо «наш квадрат» трохи менший за цей вислів. Потім коригують число за власним уміння-розуміння, наприклад, множать на два, і ... знову зводять у квадрат. Якщо результат більший за число під коренем, послідовно коригуючи вихідне число, поступово наближаються до його «колеги» під коренем. Як бачите - ніякого калькулятора, тільки вміння рахувати «в стовпчик». Звичайно ж, є безліч науково-аргументованих та оптимізованих алгоритмів обчислень квадратного кореня, але для домашнього застосування зазначений вище прийом дає 100% впевненість у результаті.
Так, мало не забув, щоб підтвердити свою збільшену грамотність, обчислимо квадратний корінь раніше вказаного числа 12345. Робимо покроково:
1. Візьмемо, суто інтуїтивно, Х=100. Підрахуємо: Х * Х = 10000. Інтуїція на висоті – результат менше 12345.
2. Спробуємо теж чисто інтуїтивно, Х = 120. Тоді: Х * Х = 14400. І знову з інтуїцією порядок - результат більше 12345.
3. Вище отримана «вилка» 100 і 120. Виберемо нові числа – 110 та 115. Отримуємо, відповідно, 12100 та 13225 – вилка звужується.
4. Пробуємо на "можна" Х = 111. Отримуємо Х * Х = 12321. Це число вже досить близько до 12345. Відповідно до необхідної точності «припасування» можна продовжити або зупинитися на отриманому результаті. От і все. Як і було обіцяно – все дуже просто та без калькулятора.
Зовсім небагато історії…
Додумалися до використання квадратного корінняще піфагорійці, учні школи та послідовники Піфагора, за 800 років до н.е. і одразу, «нарвалися» на нові відкриття в області чисел. І звідки що?
1. Розв'язання задачі із вилученням кореня, дає результат у вигляді чисел нового класу. Їх назвали ірраціональними, інакше кажучи, "нерозумними", т.к. вони не записуються закінченим числом. Найкласичніший приклад такого роду - квадратний корінь з 2. Цей випадок відповідає обчисленню діагоналі квадрата зі стороною, що дорівнює 1 - ось воно, вплив школи Піфагора. Виявилося, що у трикутника з цілком конкретним одиничним розміром сторін, гіпотенуза має розмір, що виражається числом, у якого немає кінця. Так у математиці з'явилися
2. Відомо, що Виявилося, що ця математична операція містить ще один каверз - витягуючи корінь, ми не знаємо, квадратом якого числа, позитивного або негативного, є підкорене вираз. Ця невизначеність, подвійний результат від однієї операції, і записується.
Вивчення пов'язаних із цим явищем проблем стало напрямком у математиці під назвою теорія комплексної змінної, що має велике практичне значення у математичній фізиці.
Цікаво, що позначення кореня – радикал – застосував у своїй «Універсальній арифметиці» той самий всюдисущий І. Ньютон, а точно сучасний вид запису кореня відомий з 1690 року з книги француза Роля «Керівництво алгебри».
Досить часто при вирішенні завдань ми стикаємося з великими числами, з яких треба витягти квадратний корінь. Багато учнів вирішують, що це помилка, і починають вирішувати весь приклад. У жодному разі не можна так чинити! На те є дві причини:
- Коріння з великих чисел справді зустрічається у завданнях. Особливо у текстових;
- Існує алгоритм, за допомогою якого це коріння вважається майже усно.
Цей алгоритм ми сьогодні розглянемо. Можливо, якісь речі здадуться вам незрозумілими. Але якщо ви уважно поставитеся до цього уроку, то отримаєте потужну зброю проти квадратного коріння.
Отже, алгоритм:
- Обмежити корінь, що шукається, зверху і знизу числами, кратними 10. Таким чином, ми скоротимо діапазон пошуку до 10 чисел;
- З цих 10 чисел відсіяти ті, які точно не можуть бути корінням. В результаті залишаться 1-2 числа;
- Звести ці 1-2 числа у квадрат. Те з них, квадрат якого дорівнює вихідному числу, і буде коренем.
Перш ніж застосовувати цей алгоритм працює на практиці, погляньмо на кожен окремий крок.
Обмеження коріння
Насамперед треба з'ясувати, між якими числами розташоване наше коріння. Дуже бажано, щоб числа були кратні десяти:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
Отримаємо ряд чисел:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Що нам дають ці цифри? Все просто: ми маємо кордони. Візьмемо, наприклад, число 1296. Воно лежить між 900 і 1600. Отже, його корінь може бути менше 30 і більше 40:
[Підпис до малюнка]
Те саме — з будь-яким іншим числом, з якого можна знайти квадратний корінь. Наприклад, 3364:
[Підпис до малюнка]Таким чином, замість незрозумілого числа ми отримуємо цілком конкретний діапазон, де лежить вихідний корінь. Щоб ще більше звузити область пошуку, переходимо до другого кроку.
Відсів свідомо зайвих чисел
Отже, ми маємо 10 чисел — кандидатів на корінь. Ми отримали їх дуже швидко, без складних роздумів та множень у стовпчик. Час рухатися далі.
Не повірите, але зараз ми скоротимо кількість чисел-кандидатів до двох — і знову без складних обчислень! Достатньо знати спеціальне правило. Ось воно:
Остання цифра квадрата залежить лише від останньої цифри вихідного числа.
Інакше кажучи, досить поглянути на останню цифру квадрата — і ми одразу зрозуміємо, на що закінчується вихідне число.
Існує лише 10 цифр, які можуть стояти на останньому місці. Спробуємо з'ясувати, на що вони перетворюються при зведенні на квадрат. Погляньте на таблицю:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Ця таблиця - ще один крок на шляху до обчислення кореня. Як бачите, цифри у другому рядку виявилися симетричними щодо п'ятірки. Наприклад:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Як бачите, остання цифра обох випадках однакова. А це означає, що, наприклад, корінь із 3364 обов'язково закінчується на 2 або на 8. З іншого боку, ми пам'ятаємо обмеження з попереднього пункту. Отримуємо:
[Підпис до малюнка]Червоні квадрати показують, що ми поки що не знаємо цієї цифри. Але корінь лежить у межах від 50 до 60, на якому є тільки два числа, що закінчуються на 2 і 8:
[Підпис до малюнка]От і все! З усіх можливих коренів ми залишили лише два варіанти! І це у найважчому випадку, адже остання цифра може бути 5 чи 0. І тоді залишиться єдиний кандидат у корені!
Фінальні обчислення
Отже, у нас залишилося 2 числа-кандидати. Як дізнатися, яке з них є коренем? Відповідь очевидна: звести обидва числа у квадрат. Те, що у квадраті дасть вихідне число, і буде коренем.
Наприклад, для числа 3364 ми знайшли два числа-кандидати: 52 та 58. Зведемо їх у квадрат:
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.
От і все! Вийшло, що корінь дорівнює 58! При цьому, щоб спростити обчислення, я скористався формулою квадратів суми та різниці. Завдяки чому навіть не довелося множити числа у стовпчик! Це ще один рівень оптимізації обчислень, але, зрозуміло, не обов'язковий:)
Приклади обчислення коренів
Теорія – це, звичайно, добре. Але перевіримо її на практиці.
[Підпис до малюнка]
Для початку з'ясуємо, між якими числами лежить число 576:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Тепер дивимось на останню цифру. Вона дорівнює 6. Коли це відбувається? Тільки якщо корінь закінчується на 4 або 6. Отримуємо два числа:
Залишилося звести кожне число квадрат і порівняти з вихідним:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Чудово! Перший квадрат виявився дорівнює вихідному числу. Значить, це є корінь.
Завдання. Обчисліть квадратний корінь:
[Підпис до малюнка]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Дивимося на останню цифру:
1369 → 9;
33; 37.
Зводимо у квадрат:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.
Ось і відповідь: 37.
Завдання. Обчисліть квадратний корінь:
[Підпис до малюнка]
Обмежуємо число:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Дивимося на останню цифру:
2704 → 4;
52; 58.
Зводимо у квадрат:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
Отримали відповідь: 52. Друге число зводити до квадрата вже не потрібно.
Завдання. Обчисліть квадратний корінь:
[Підпис до малюнка]
Обмежуємо число:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Дивимося на останню цифру:
4225 → 5;
65.
Як бачимо, після другого кроку залишився лише один варіант: 65. Це і шуканий корінь. Але давайте таки зведемо його в квадрат і перевіримо:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;
Все правильно. Записуємо відповідь.
Висновок
На жаль, не краще. Давайте розберемося у причинах. Їх дві:
- На будь-якому нормальному іспиті з математики, чи то ГІА чи ЄДІ, користуватися калькуляторами заборонено. І за пронесений до класу калькулятор можуть запросто вигнати з іспиту.
- Не уподібнюйтесь тупим американцям. Які не те що коріння - вони два простих числаскласти що неспроможні. А побачивши дробів вони взагалі починається істерика.
До появи калькуляторів студенти та викладачі обчислювали квадратне коріння вручну. Існує кілька способів обчислення квадратного кореня числа вручну. Деякі з них пропонують лише приблизне рішення, інші дають точну відповідь.
Кроки
Розкладання на прості множники
- Наприклад, обчисліть квадратний корінь із 400 (вручну). Спочатку спробуйте розкласти 400 на квадратні множники. 400 разів 100, тобто ділиться на 25 - це квадратне число. Розділивши 400 на 25, ви отримаєте 16. Число 16 є квадратним числом. Таким чином, 400 можна розкласти на квадратні множники 25 та 16, тобто 25 х 16 = 400.
- Записати це можна так: √400 = √(25 х 16).
-
Квадратний корінь із твору деяких членів дорівнює добутку квадратного коріння з кожного члена, тобто √(а х b) = √a x √b. Скористайтеся цим правилом та вийміть квадратний корінь з кожного квадратного множника та перемножте отримані результати, щоб знайти відповідь.
- У нашому прикладі вийміть корінь із 25 та з 16.
- √(25 х 16)
- √25 х √16
- 5 х 4 = 20
- У нашому прикладі вийміть корінь із 25 та з 16.
-
Якщо підкорене число не розкладається на два квадратні множники (а так відбувається в більшості випадків), ви не зможете знайти точну відповідь у вигляді цілого числа. Але ви можете спростити завдання, розклавши підкорене число на квадратний множник та звичайний множник (число, з якого цілий квадратний корінь витягти не можна). Потім ви витягнете квадратний корінь із квадратного множника і витягуватимете корінь зі звичайного множника.
- Наприклад, обчисліть квадратний корінь із числа 147. Число 147 не можна розкласти на два квадратні множники, але його можна розкласти на наступні множники: 49 і 3. Розв'яжіть задачу таким чином:
- = √(49 х 3)
- = √49 х √3
- = 7√3
- Наприклад, обчисліть квадратний корінь із числа 147. Число 147 не можна розкласти на два квадратні множники, але його можна розкласти на наступні множники: 49 і 3. Розв'яжіть задачу таким чином:
-
Якщо необхідно, оцініть значення кореня.Тепер можна оцінити значення кореня (знайти приблизне значення), порівнявши його зі значеннями коренів квадратних чисел, що знаходяться найближче (з обох сторін на числовій прямій) до підкореного числа. Ви отримаєте значення кореня у вигляді десяткового дробу, яку необхідно помножити на число, що стоїть за знаком кореня.
- Повернемося до нашого прикладу. Підкорене число 3. Найближчими до нього квадратними числами будуть числа 1 (√1 = 1) та 4 (√4 = 2). Таким чином, значення √3 розташоване між 1 і 2. Так як значення √3, ймовірно, ближче до 2, ніж до 1, то наша оцінка: √3 = 1,7. Помножуємо це значення на число біля знака кореня: 7 х 1,7 = 11,9. Якщо ви зробите розрахунки на калькуляторі, то отримаєте 12,13, що досить близько до нашої відповіді.
- Цей метод також працює з великими числами. Наприклад, розглянемо √35. Підкорене число 35. Найближчими до нього квадратними числами будуть числа 25 (25 = 5) і 36 (36 = 6). Таким чином, значення √35 розташоване між 5 і 6. Так як значення √35 набагато ближче до 6, ніж до 5 (бо 35 всього на 1 менше 36), то можна заявити, що √35 трохи менше 6. Перевірка на калькуляторі дає нам відповідь 5,92 - ми мали рацію.
- Повернемося до нашого прикладу. Підкорене число 3. Найближчими до нього квадратними числами будуть числа 1 (√1 = 1) та 4 (√4 = 2). Таким чином, значення √3 розташоване між 1 і 2. Так як значення √3, ймовірно, ближче до 2, ніж до 1, то наша оцінка: √3 = 1,7. Помножуємо це значення на число біля знака кореня: 7 х 1,7 = 11,9. Якщо ви зробите розрахунки на калькуляторі, то отримаєте 12,13, що досить близько до нашої відповіді.
-
Ще один спосіб - розкладіть підкорене число на прості множники . Прості множники – числа, які діляться лише з 1 і себе. Запишіть прості множникиряд і знайдіть пари однакових множників. Такі множники можна винести за знак кореня.
- Наприклад, обчисліть квадратний корінь із 45. Розкладаємо підкорене число на прості множники: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким чином, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можна винести за знак кореня: √45 = 3√5. Тепер можна оцінити √5.
- Розглянемо інший приклад: √88.
- = √(2 х 44)
- = √ (2 х 4 х 11)
- = √ (2 х 2 х 2 х 11). Ви отримали три множники 2; Візьміть пару з них і винесіть за знак кореня.
- = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Тепер можна оцінити √2 та √11 та знайти приблизну відповідь.
Обчислення квадратного кореня вручну
За допомогою поділу в стовпчик
-
Цей метод включає процес, аналогічний поділу в стовпчик, і дає точну відповідь.Спочатку проведіть вертикальну лінію, що ділить лист на дві половини, а потім праворуч і трохи нижче верхнього краю листа до вертикальної лінії намалюйте горизонтальну лінію. Тепер поділіть підкорене число на пари чисел, починаючи з дробової частини після коми. Так, число 79520789182,47897 записується як "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".
- Наприклад обчислимо квадратний корінь числа 780,14. Намалюйте дві лінії (як показано на малюнку) і зліва зверху напишіть це число у вигляді "7 80, 14". Це нормально, що перша цифра зліва є непарною цифрою. Відповідь (корінь з даного числа) записуватимете праворуч зверху.
-
Для першої зліва пари чисел (або одного числа) знайдіть найбільше ціле число n, квадрат якого менший або дорівнює парі чисел (або одного числа), що розглядається. Іншими словами, знайдіть квадратне число, яке розташоване найближче до першої зліва пари чисел (або одного числа), але менше за неї, і вийміть квадратний корінь із цього квадратного числа; ви отримаєте число n. Напишіть знайдене n зверху праворуч, а квадрат n запишіть знизу праворуч.
- У нашому випадку, першим зліва числом буде число 7. Далі, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
-
Відніміть квадрат числа n, яке ви щойно знайшли, з першої зліва пари чисел (або одного числа).Результат обчислення запишіть під віднімається (квадратом числа n).
- У нашому прикладі відніміть 4 з 7 і отримайте 3.
-
Знесіть другу пару чисел і запишіть її біля значення, отриманого на попередньому кроці.Потім подвайте число зверху праворуч і запишіть отриманий результат знизу праворуч з додаванням "_×_=".
- У прикладі другий парою чисел є " 80 " . Запишіть "80" після 3. Потім подвоєне число зверху праворуч дає 4. Запишіть "4_×_=" знизу праворуч.
-
Заповніть прочерки праворуч.
- У нашому випадку, якщо замість прочерків поставити число 8, то 48 х 8 = 384, що більше за 380. Тому 8 - занадто велике число, а ось 7 підійде. Напишіть 7 замість прочерків і отримайте: 47 х 7 = 329. Запишіть 7 зверху праворуч - це друга цифра в квадратному корені числа 780,14.
-
Відніміть отримане число з поточного числа зліва.Запишіть результат з попереднього кроку під поточним числом зліва, знайдіть різницю та запишіть її під віднімається.
- У нашому прикладі відніміть 329 з 380, що дорівнює 51.
-
Повторіть крок 4.Якщо парою чисел, що зноситься, є дробова частина вихідного числа, то поставте роздільник (кому) цілою і дробовою частин у шуканому квадратному корені зверху праворуч. Зліва знесіть наступну пару чисел. Подвійте число зверху праворуч та запишіть отриманий результат знизу праворуч з додаванням "_×_=".
- У нашому прикладі наступною парою чисел, що зноситься, буде дробова частина числа 780.14, тому поставте роздільник цілої і дробової частин у шуканому квадратному корені зверху праворуч. Знесіть 14 і запишіть знизу ліворуч. Подвоєним числом зверху праворуч (27) буде 54, тому напишіть "54_×_=" знизу праворуч.
-
Повторіть кроки 5 та 6.Знайдіть таке найбільша кількістьна місце прочерків праворуч (замість прочерків потрібно підставити одне й теж число), щоб результат множення був меншим або дорівнює поточному числу зліва.
- У прикладі 549 x 9 = 4941, що менше поточного числа зліва (5114). Напишіть 9 зверху праворуч та відніміть результат множення з поточного числа зліва: 5114 - 4941 = 173.
-
Якщо для квадратного кореня вам необхідно знайти більше знаків після коми, напишіть пару нулів у поточного числа зліва і повторюйте кроки 4, 5 і 6. Повторюйте кроки, доки не отримаєте потрібну вам точність відповіді (число знаків після коми).
Розуміння процесу
-
Розглянемо першу пару цифр Sa числа S (Sa = 7 у прикладі) і знайдемо її квадратний корінь.У цьому випадку першою цифрою A значення квадратного кореня, що шукається, буде така цифра, квадрат якої менший або дорівнює S a (тобто шукаємо таке A, при якому виконується нерівність A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
- Припустимо, що потрібно розділити 88 962 на 7; тут перший крок буде аналогічним: розглядаємо першу цифру діленого числа 88962 (8) і підбираємо таке найбільше число, яке при множенні на 7 дає значення менше або дорівнює 8. Тобто, шукаємо таке число d, при якому вірна нерівність: 7×d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
Для засвоєння даного методу уявіть число, квадратний корінь якого необхідно знайти, як площа квадрата S. У цьому випадку ви шукатимете довжину сторони L такого квадрата. Обчислюємо таке значення L, у якому L² = S.
Введіть літеру для кожної цифри у відповіді.Позначимо через A першу цифру значення L (потрібний квадратний корінь). B буде другою цифрою, C - третьою тощо.
Введіть літеру для кожної пари перших цифр.Позначимо через Sa першу пару цифр у значенні S, через S b - другу пару цифр і так далі.
Уясніть зв'язок даного методу з розподілом у стовпчик.Як і в операції поділу, де щоразу нас цікавить лише одна наступна цифра діленого числа, при обчисленні квадратного кореня ми послідовно працюємо з кількома цифрами (для отримання однієї наступної цифри у значенні квадратного кореня).
Розкладіть підкорене число на множники, які є квадратними числами.Залежно від підкореного числа, ви отримаєте приблизну чи точну відповідь. Квадратні числа - числа, з яких можна витягти цілий квадратний корінь. Множники – числа, які за перемноженні дають вихідне число. Наприклад, множниками числа 8 є 2 і 4, оскільки 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 є квадратними числами, оскільки √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратні множники – це множники які є квадратними числами. Спочатку спробуйте розкласти підкорене число на квадратні множники.