Система лінійних рівнянь - метод визначення. Рішення систем лінійних рівнянь алгебри, методи рішення, приклади
Рішення систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ), безсумнівно, є найважливішою темою курсу лінійної алгебри. Велика кількістьзадач із усіх розділів математики зводиться до вирішення систем лінійних рівнянь. Цими чинниками пояснюється причина створення цієї статті. Матеріал статті підібраний та структурований так, що за його допомогою Ви зможете
- підібрати оптимальний метод вирішення Вашої системи лінійних рівнянь алгебри,
- вивчити теорію обраного методу,
- вирішити Вашу систему лінійних рівнянь, розглянувши докладно розібрані рішення характерних прикладів та завдань.
Короткий опис статті.
Спочатку дамо всі необхідні визначення, поняття та введемо позначення.
Далі розглянемо методи розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних і які мають єдине рішення. По-перше, зупинимося на методі Крамера, по-друге, покажемо матричний метод розв'язання таких систем рівнянь, по-третє, розберемо метод Гауса (метод послідовного виключення невідомих змінних). Для закріплення теорії обов'язково вирішимо кілька СЛАУ у різний спосіб.
Після цього перейдемо до вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального вигляду, В яких число рівнянь не збігається з числом невідомих змінних або основна матриця системи є виродженою. Сформулюємо теорему Кронекера – Капеллі, яка дозволяє встановити спільність СЛАУ. Розберемо рішення систем (у разі їхньої спільності) за допомогою поняття базисного мінору матриці. Також розглянемо метод Гауса і докладно опишемо рішення прикладів.
Обов'язково зупинимося на структурі загального рішення однорідних та неоднорідних систем лінійних рівнянь алгебри. Дамо поняття фундаментальної системи рішень та покажемо, як записується загальне рішення СЛАУ за допомогою векторів фундаментальної системи рішень. Для найкращого розуміння розберемо кілька прикладів.
Наприкінці розглянемо системи рівнянь, що зводяться до лінійних, і навіть різні завдання, під час вирішення яких виникають СЛАУ.
Навігація на сторінці.
Визначення, поняття, позначення.
Розглянемо системи з p лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими змінними (p може дорівнювати n ) виду
Невідомі змінні - коефіцієнти (деякі дійсні або комплексні числа), - вільні члени (також дійсні чи комплексні числа).
Таку форму запису СЛАУ називають координатною.
У матричній формізапису ця система рівнянь має вигляд ,
де - основна матриця системи, - матриця-стовпець невідомих змінних, - матриця-стовпець вільних членів.
Якщо до матриці А додати як (n+1)-ого стовпця матрицю-стовпець вільних членів, то отримаємо так звану розширену матрицюсистеми лінійних рівнянь Зазвичай розширену матрицю позначають буквою Т , а стовпець вільних членів відокремлюють вертикальною лінією від інших стовпців, тобто,
Рішенням системи лінійних рівнянь алгебриназивають набір значень невідомих змінних , що обертає всі рівняння системи у тотожності. Матричне рівняння за даних значень невідомих змінних також перетворюється на тотожність .
Якщо система рівнянь має хоча одне рішення, вона називається спільної.
Якщо система рівнянь рішень немає, вона називається несумісний.
Якщо СЛАУ має єдине рішення, її називають певною; якщо рішень більше одного, то – невизначеною.
Якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю , то система називається однорідний, в іншому випадку - неоднорідний.
Розв'язання елементарних систем лінійних рівнянь алгебри.
Якщо число рівнянь системи дорівнює кількості невідомих змінних і визначник її основної матриці не дорівнює нулю, то такі СЛАУ будемо називати елементарними. Такі системи рівнянь мають єдине рішення, причому у разі однорідної системи всі невідомі змінні дорівнюють нулю.
Такі СЛАУ ми починали вивчати у середній школі. При їх вирішенні ми брали якесь одне рівняння, висловлювали одну невідому змінну через інші і підставляли її в рівняння, що залишилися, потім брали наступне рівняння, висловлювали наступну невідому змінну і підставляли в інші рівняння і так далі. Або користувалися методом додавання, тобто складали два або більше рівнянь, щоб виключити деякі невідомі змінні. Не будемо докладно зупинятися цих методах, оскільки вони насправді є модифікаціями методу Гаусса.
Основними методами розв'язання елементарних систем лінійних рівнянь є метод Крамера, матричний метод та метод Гаусса. Розберемо їх.
Вирішення систем лінійних рівнянь методом Крамера.
Нехай нам потрібно вирішити систему лінійних рівнянь алгебри
в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних та визначник основної матриці системи відмінний від нуля, тобто .
Нехай – визначник основної матриці системи, а - визначники матриць, що виходять з А заміною 1-го, 2-го, …, n-огостовпця відповідно на стовпець вільних членів:
За таких позначень невідомі змінні обчислюються за формулами методу Крамера як . Так знаходиться рішення системи лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.
приклад.
Методом Крамера .
Рішення.
Основна матриця системи має вигляд . Обчислимо її визначник (при необхідності дивіться статтю):
Так як визначник основної матриці системи відмінний від нуля, система має єдине рішення, яке може бути знайдено методом Крамера.
Складемо та обчислимо необхідні визначники (визначник отримуємо, замінивши в матриці А перший стовпець на стовпець вільних членів, визначник - замінивши другий стовпець на стовпець вільних членів, - замінивши третій стовпець матриці А на стовпець вільних членів):
Знаходимо невідомі змінні за формулами :
Відповідь:
Основним недоліком методу Крамера (якщо можна назвати недоліком) є трудомісткість обчислення визначників, коли кількість рівнянь системи більше трьох.
Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри матричним методом (за допомогою зворотної матриці).
Нехай система лінійних рівнянь алгебри задана в матричній формі , де матриця A має розмірність n на n і її визначник відмінний від нуля.
Оскільки , то матриця А – оборотна, тобто існує зворотна матриця . Якщо помножити обидві частини рівності на ліворуч, то отримаємо формулу для знаходження матриці-стовпця невідомих змінних. Так ми отримали рішення системи лінійних рівнянь алгебри матричним методом.
приклад.
Розв'яжіть систему лінійних рівнянь матричним способом.
Рішення.
Перепишемо систему рівнянь у матричній формі:
Так як
то СЛАУ можна вирішувати матричним методом. За допомогою зворотної матриці рішення цієї системи може бути знайдено як .
Побудуємо зворотну матрицю за допомогою матриці з додатків алгебри елементів матриці А (при необхідності дивіться статтю ):
Залишилося обчислити - матрицю невідомих змінних, помноживши зворотну матрицю на матрицю-стовпець вільних членів (при необхідності дивіться статтю):
Відповідь:
або в іншому записі x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Основна проблема при знаходженні рішення систем лінійних рівнянь алгебри матричним методом полягає в трудомісткості знаходження зворотної матриці, особливо для квадратних матриць порядку вище третього.
Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.
Нехай нам потрібно знайти рішення системи з n лінійних рівнянь із n невідомими змінними
визначник основної матриці якої відмінний від нуля.
Суть методу Гаусаполягає у послідовному виключенні невідомих змінних: спочатку виключається x 1 з усіх рівнянь системи, починаючи з другого, далі виключається x 2 зі всіх рівнянь, починаючи з третього, і так далі, поки в останньому рівнянні залишиться тільки невідома змінна x n . Такий процес перетворення рівнянь системи для послідовного виключення невідомих змінних називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу методу Гауса з останнього рівняння знаходиться x n, за допомогою цього значення з передостаннього рівняння обчислюється x n-1 і так далі з першого рівняння знаходиться x 1 . Процес обчислення невідомих змінних під час руху від останнього рівняння системи до першого називається зворотним ходом методу Гауса.
Коротко опишемо алгоритм виключення невідомих змінних.
Вважатимемо, що , оскільки ми можемо цього домогтися перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1 зі всіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо перше, помножене на , до третього рівняння додамо перше, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо перше, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду
де , а .
До такого ж результату ми дійшли б, якби висловили x 1 через інші невідомі змінні в першому рівнянні системи і отриманий вираз підставили у всі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з другого.
Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, яка зазначена на малюнку
Для цього до третього рівняння системи додамо друге, помножене на , до четвертого рівняння додамо друге, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо друге, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду
де , а . Таким чином, змінна x 2 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з третього.
Далі приступаємо до виключення невідомої x 3 при цьому діємо аналогічно з зазначеною на малюнку частиною системи
Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса доки система не набуде вигляду
З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гауса: обчислюємо x n з останнього рівняння як за допомогою отриманого значення x n знаходимо x n-1 з передостаннього рівняння, і так далі, знаходимо x 1 з першого рівняння.
приклад.
Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гауса.
Рішення.
Виключимо невідому змінну x 1 з другого та третього рівняння системи. Для цього до обох частин другого та третього рівнянь додамо відповідні частини першого рівняння, помножені на і відповідно:
Тепер із третього рівняння виключимо x 2 , додавши до його лівої та правої частин ліву та праву частини другого рівняння, помножені на :
На цьому прямий хід методу Гауса закінчено, починаємо зворотний хід.
З останнього рівняння отриманої системи рівнянь знаходимо x 3 :
З другого рівняння отримуємо.
З першого рівняння знаходимо невідому змінну, що залишилася, і цим завершуємо зворотний хід методу Гауса.
Відповідь:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду.
У загальному випадку кількість рівнянь системи p не збігається з числом невідомих змінних n:
Такі СЛАУ можуть мати рішень, мати єдине рішення чи мати нескінченно багато рішень. Це твердження відноситься до систем рівнянь, основна матриця яких квадратна і вироджена.
Теорема Кронекер - Капеллі.
Перш ніж знаходити розв'язання системи лінійних рівнянь, необхідно встановити її спільність. Відповідь на питання, коли СЛАУ спільна, а коли несумісна, дає теорема Кронекера - Капеллі:
для того, щоб система з p рівнянь з n невідомими (p може бути одно n ) була спільна необхідно і достатньо, щоб ранг основної матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці, тобто Rank (A) = Rank (T) .
Розглянемо з прикладу застосування теореми Кронекера – Капеллі визначення спільності системи лінійних рівнянь.
приклад.
З'ясуйте, чи має система лінійних рівнянь рішення.
Рішення.
. Скористаємося методом обрамляють мінорів. Мінор другого порядку відмінний від нуля. Переберемо його мінори третього порядку:
Так як всі мінори третього порядку, що облямовують, дорівнюють нулю, то ранг основної матриці дорівнює двом.
У свою чергу ранг розширеної матриці дорівнює трьом, оскільки мінор третього порядку
відмінний від нуля.
Таким чином, Rang(A) , отже, по теоремі Кронекера – Капеллі можна дійти невтішного висновку, що вихідна система лінійних рівнянь несовместна.
Відповідь:
Система рішень немає.
Отже, ми навчилися встановлювати несумісність системи з допомогою теореми Кронекера – Капеллі.
А як же знаходити рішення СЛАУ, якщо встановлено її спільність?
Для цього нам знадобиться поняття базисного мінору матриці та теорема про ранг матриці.
Мінор найвищого порядкуматриці А , відмінний від нуля, називається базисним.
З визначення базисного мінору випливає, що його порядок дорівнює рангу матриці. Для ненульової матриці базисних мінорів А може бути кілька, один базисний мінор є завжди.
Наприклад розглянемо матрицю .
Всі мінори третього порядку цієї матриці дорівнюють нулю, так як елементи третього рядка цієї матриці є сумою відповідних елементів першого і другого рядків.
Базисними є такі мінори другого порядку, оскільки вони відмінні від нуля
Мінори базисними є, оскільки рівні нулю.
Теорема про ранг матриці.
Якщо ранг матриці порядку p на n дорівнює r то всі елементи рядків (і стовпців) матриці, що не утворюють обраний базисний мінор, лінійно виражаються через відповідні елементи рядків (і стовпців), що утворюють базисний мінор.
Що нам дає теорема про ранг матриці?
Якщо з теоремі Кронекера – Капеллі ми встановили спільність системи, то вибираємо будь-який базисний мінор основний матриці системи (його порядок дорівнює r ), і виключаємо з системи всі рівняння, які утворюють обраний базисний мінор. Отримана таким чином СЛАУ буде еквівалентна вихідної, оскільки відкинуті рівняння все одно зайві (вони згідно з теоремою про ранг матриці є лінійною комбінацією рівнянь, що залишилися).
У результаті після відкидання зайвих рівнянь системи можливі два випадки.
Якщо кількість рівнянь r в отриманій системі дорівнюватиме кількості невідомих змінних, то вона буде певною і єдине рішення можна буде знайти методом Крамера, матричним методом або методом Гауса.
приклад.
.
Рішення.
Ранг основної матриці системи дорівнює двом, оскільки мінор другого порядку відмінний від нуля. Ранг розширеної матриці також дорівнює двом, оскільки єдиний мінор третього порядку дорівнює нулю
а розглянутий вище мінор другого порядку відмінний від нуля. З теореми Кронекера – Капеллі можна стверджувати спільність вихідної системи лінійних рівнянь, оскільки Rank(A)=Rank(T)=2 .
Як базисний мінор візьмемо . Його утворюють коефіцієнти першого та другого рівнянь:
Третє рівняння системи не бере участі в освіті базисного мінору, тому виключимо його із системи на підставі теореми про ранг матриці:
Так ми отримали елементарну систему лінійних рівнянь алгебри. Вирішимо її методом Крамера:
Відповідь:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Якщо число рівнянь r отриманої СЛАУ менше числаневідомих змінних n , то лівих частинах рівнянь залишаємо доданки, утворюють базисний мінор, інші доданки переносимо у праві частини рівнянь системи з протилежним знаком.
Невідомі змінні (їх r штук), що залишилися в лівих частинах рівнянь, називаються основними.
Невідомі змінні (їх n - r штук), які опинилися у правих частинах, називаються вільними.
Тепер вважаємо, що вільні невідомі змінні можуть набувати довільних значень, при цьому r основних невідомих змінних висловлюватимуться через вільні невідомі змінні єдиним чином. Їх вираз можна знайти, вирішуючи отриману СЛАУ методом Крамера, матричним методом або методом Гауса.
Розберемо з прикладу.
приклад.
Розв'яжіть систему лінійних алгебраїчних рівнянь .
Рішення.
Знайдемо ранг основної матриці системи методом обрамляють мінорів. Як ненульовий мінор першого порядку візьмемо a 1 1 = 1 . Почнемо пошук ненульового мінору другого порядку, що облямовує даний мінор:
Так ми знайшли ненульовий мінор другого порядку. Почнемо пошук ненульового мінера третього порядку, що облямовує:
Таким чином, ранг основної матриці дорівнює трьом. Ранг розширеної матриці також дорівнює трьом, тобто система спільна.
Знайдений ненульовий мінор третього порядку візьмемо як базисний.
Для наочності покажемо елементи, що утворюють базовий мінор:
Залишаємо в лівій частині рівнянь системи доданки, що беруть участь у базисному мінорі, інші переносимо з протилежними знаками у праві частини:
Надамо вільним невідомим змінним x 2 і x 5 довільні значення, тобто, приймемо де - довільні числа. При цьому СЛАУ набуде вигляду
Отриману елементарну систему лінійних рівнянь алгебри вирішимо методом Крамера:
Отже, .
У відповіді не забуваємо зазначити вільні невідомі змінні.
Відповідь:
Де – довільні числа.
Підведемо підсумок.
Щоб вирішити систему лінійних рівнянь алгебри загального виду, спочатку з'ясовуємо її спільність, використовуючи теорему Кронекера - Капеллі. Якщо ранг основної матриці не дорівнює рангу розширеної матриці, то робимо висновок про несумісність системи.
Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, вибираємо базисний мінор і відкидаємо рівняння системи, які беруть участь у освіті обраного базисного мінора.
Якщо порядок базисного мінору дорівнює кількості невідомих змінних, то СЛАУ має єдине рішення, яке знаходимо будь-яким відомим нам методом.
Якщо порядок базисного мінору менше числа невідомих змінних, то лівої частини рівнянь системи залишаємо доданки з основними невідомими змінними, інші доданки переносимо у праві частини і надаємо вільним невідомим змінним довільні значення. З отриманої системи лінійних рівнянь знаходимо основні невідомі змінні методом Крамера, матричним методом чи методом Гаусса.
Метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду.
Методом Гауса можна вирішувати системи лінійних рівнянь алгебри будь-якого виду без попереднього їх дослідження на спільність. Процес послідовного виключення невідомих змінних дозволяє дійти невтішного висновку як про спільності, і про несумісності СЛАУ, а разі існування рішення дає можливість знайти його.
З погляду обчислювальної роботи метод Гауса є кращим.
Дивіться його докладний описі розібрані приклади у статті метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду .
Запис загального рішення однорідних та неоднорідних систем алгебраїчних ліній за допомогою векторів фундаментальної системи рішень.
У цьому розділі мова піде про спільні однорідні і неоднорідні системи лінійних рівнянь алгебри, що мають безліч рішень.
Розберемося спочатку з однорідними системами.
Фундаментальною системою рішеньоднорідної системи з p лінійних рівнянь алгебри з n невідомими змінними називають сукупність (n – r) лінійно незалежних рішень цієї системи, де r – порядок базисного мінору основної матриці системи.
Якщо визначити лінійно незалежні рішення однорідної СЛАУ як X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) – це матриці стовпці розмірності n на 1 ) , то загальне рішення цієї однорідної системи представляється як лінійної комбінації векторів фундаментальної системи рішень з довільними постійними коефіцієнтами З 1 , З 2 , …, З (n-r) , тобто, .
Що означає термін загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь алгебри (орослау)?
Сенс простий: формула задає всі можливі рішення вихідної СЛАУ, іншими словами, взявши будь-який набір значень довільних постійних С1, С2, …, С(n-r), за формулою ми отримаємо одне з рішень вихідної однорідної СЛАУ.
Таким чином, якщо ми знайдемо фундаментальну систему рішень, ми зможемо задати всі рішення цієї однорідної СЛАУ як .
Покажемо процес побудови фундаментальної системи рішень однорідної СЛАУ.
Вибираємо базовий мінор вихідної системи лінійних рівнянь, виключаємо всі інші рівняння із системи та переносимо у праві частини рівнянь системи з протилежними знаками всі складові, що містять вільні невідомі змінні. Надамо вільним невідомим змінним значення 1,0,0,...,0 і обчислимо основні невідомі, вирішивши отриману елементарну систему лінійних рівнянь будь-яким способом, наприклад, методом Крамера. Так буде отримано X(1) – перше рішення фундаментальної системи. Якщо надати вільним невідомим значення 0,1,0,0,…,0 і обчислити у своїй основні невідомі, отримаємо X (2) . І так далі. Якщо вільним невідомим змінним надамо значення 0,0, ..., 0,1 і обчислимо основні невідомі, то отримаємо X (n-r). Так буде побудовано фундаментальну систему рішень однорідної СЛАУ і може бути записано її загальне рішення у вигляді.
Для неоднорідних систем лінійних рівнянь алгебри загальне рішення подається у вигляді , де - загальне рішення відповідної однорідної системи, а - приватне рішення вихідної неоднорідної СЛАУ, яке ми отримуємо, надавши вільним невідомим значення 0,0, ..., 0 і обчисливши значення основних невідомих.
Розберемо з прикладів.
приклад.
Знайдіть фундаментальну систему рішень та загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь алгебри .
Рішення.
Ранг основної матриці однорідних систем лінійних рівнянь завжди дорівнює рангу розширеної матриці. Знайдемо ранг основної матриці методом обрамляють мінорів. Як ненульовий мінор першого порядку візьмемо елемент a 1 1 = 9 основний матриці системи. Знайдемо ненульовий мінор другого порядку, що облямовує:
Мінор другого порядку, відмінний від нуля, знайдено. Переберемо його мінори третього порядку в пошуках ненульового:
Всі обрамляють мінори третього порядку дорівнюють нулю, отже, ранг основної і розширеної матриці дорівнює двом. Базисним мінором візьмемо. Зазначимо для наочності елементи системи, що його утворюють:
Третє рівняння вихідної СЛАУ не бере участі в утворенні базисного мінору, тому може бути виключено:
Залишаємо у правих частинах рівнянь доданки, що містять основні невідомі, а у праві частини переносимо доданки з вільними невідомими:
Побудуємо фундаментальну систему розв'язків вихідної однорідної системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система рішень даної СЛАУ складається з двох рішень, оскільки вихідна СЛАУ містить чотири невідомі змінні, а порядок її базисного мінору дорівнює двом. Для знаходження X (1) надамо вільним невідомим змінним значення x 2 = 1, x 4 = 0 тоді основні невідомі знайдемо з системи рівнянь
.
Розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри є однією з основних завдань лінійної алгебри. Це завдання має важливе прикладне значення при вирішенні наукових та технічних проблем, крім того є допоміжним при реалізації багатьох алгоритмів обчислювальної математики, математичної фізики, обробки результатів експериментальних досліджень.
Системою лінійних рівнянь алгебриназивають систему рівнянь виду: (1)
де – невідомі; - Вільні члени.
Рішенням системи рівнянь(1) називають будь-яку сукупність чисел, яка була поставлена в систему (1) на місце невідомих звертає всі рівняння системи у вірні числові рівності.
Систему рівнянь називають спільної, якщо вона має хоча б одне рішення, та несумісний, якщо немає рішень.
Спільну систему рівнянь називають певною, якщо вона має одне єдине рішення, та невизначеноюякщо вона має принаймні два різні рішення.
Дві системи рівнянь називають рівносильнимиабо еквівалентнимиякщо вони мають одну і ту ж безліч рішень.
Систему (1) називають однорідний, якщо вільні члени дорівнюють нулю:
Однорідна система завжди є спільною – вона має рішення (можливо, не єдине).
Якщо у системі (1) , то маємо систему nлінійних рівнянь з nневідомими: де – невідомі; - Коефіцієнти при невідомих, - Вільні члени.
Лінійна системаможе мати єдине рішення, безліч рішень або не мати жодного рішення.
Розглянемо систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими
Якщо система має єдине рішення;
якщо система не має рішень;
якщо то система має безліч рішень.
приклад.Система має єдине рішення пару чисел
Система має безліч рішень. Наприклад, рішеннями цієї системи є пари чисел тощо.
Система немає рішень, оскільки різницю двох чисел неспроможна приймати двох різних значень.
Визначення. Визначником другого порядкуназивають вираз виду:
Позначають визначник символом D.
Числа а 11, …, а 22 називають елементами визначника.
Діагональ, утворену елементами а 11 ; а 22 називають головною,діагональ, утворену елементами а 12 ; а 21 − побічний.
Таким чином, визначник другого порядку дорівнює різницітворів елементів головної та побічної діагоналей.
Зауважимо, що у відповіді виходить число.
приклад.Обчислимо визначники:
Розглянемо систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими: де х 1, х 2 – невідомі; а 11 , …, а 22 - коефіцієнти при невідомих, b 1 , b 2 – вільні члени.
Якщо система двох рівнянь із двома невідомими має єдине рішення, його можна знайти з допомогою визначників другого порядку.
Визначення.Визначник, складений із коефіцієнтів при невідомих, називають визначником системи: D=.
У стовпцях визначника D стоять коефіцієнти відповідно при х 1 і при х 2 . Введемо два додаткових визначників,які виходять із визначника системи заміною одного зі стовпців стовпцем вільних членів: D 1 = D 2 = .
Теорема 14(Крамера для випадку n=2).Якщо визначник D системи відмінний від нуля (D10), система має єдине рішення, яке знаходять за формулами:
Дані формули називають формулами Крамера.
приклад.Вирішимо систему за правилом Крамера:
Рішення.Знайдемо числа
Відповідь.
Визначення. Визначником третього порядкуназивають вираз виду:
Елементи а 11; а 22 ; а 33 - утворюють головну діагональ.
Числа а 13; а 22 ; а 31 – утворюють побічну діагональ.
У запис з плюсом входять: добуток елементів на головній діагоналі, решта доданків є добутком елементів, розташованих у вершинах трикутників з основами, паралельними головній діагоналі. Доданки з мінусом утворюють за тією ж схемою щодо побічної діагоналі.
приклад.Обчислимо визначники:
Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими: де – невідомі; - Коефіцієнти при невідомих, - Вільні члени.
У разі єдиного рішення систему 3-х лінійних рівнянь із трьома невідомими можна вирішити за допомогою визначників 3-го порядку.
Визначник системи D має вигляд:
Введемо три додаткові визначники:
Теорема 15(Крамера для випадку n=3).Якщо визначник D системи відмінний від нуля, система має єдине рішення, яке знаходять за формулами Крамера:
приклад.Вирішимо систему за правилом Крамера.
Рішення.Знайдемо числа
Скористаємося формулами Крамера та знайдемо рішення вихідної системи:
Відповідь.
Зауважимо, що теорема Крамера застосовна, коли кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих і коли визначник системи D відмінний від нуля.
Якщо визначник системи дорівнює нулю, то цьому випадку система може або мати рішень, або мати безліч рішень. Ці випадки досліджуються особливо.
Зазначимо лише один випадок. Якщо визначник системи дорівнює нулю (D=0), хоча один із додаткових визначників відмінний від нуля, то система рішень немає, тобто є несовместной.
Теорему Крамера можна узагальнювати для системи nлінійних рівнянь з nневідомими: де – невідомі; - Коефіцієнти при невідомих, - Вільні члени.
Якщо визначник системи лінійних рівнянь з невідомими, то єдине рішення системи знаходять за формулами Крамера:
Додатковий визначник одержують із визначника D, якщо в ньому стовпець коефіцієнтів при невідомому x iзамінити стовпцем вільних членів.
Зауважимо, що визначники D, D 1 , … , D nмають порядок n.
Метод Гауса вирішення систем лінійних рівнянь
Одним з найбільш поширених методів розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри є метод послідовного виключення невідомих −метод Гауса. Даний метод є узагальнення методу підстановки і полягає в послідовному виключенні невідомих до тих пір, поки не залишиться одне рівняння з одним невідомим.
Метод заснований на деяких перетвореннях системи лінійних рівнянь, у яких виходить система, рівносильна вихідній системі. Алгоритм методу і двох етапів.
Перший етап називають прямим ходомметоду Гауса. Він полягає у послідовному виключенні невідомих із рівнянь. Для цього на першому кроці ділять перше рівняння системи (інакше здійснюють перестановку рівнянь системи). Позначають коефіцієнти отриманого наведеного рівняння, домножують його коефіцієнт і віднімають з другого рівняння системи, виключаючи, цим, з другого рівняння (обнуляючи коефіцієнт ).
Аналогічно надходять з іншими рівняннями і отримують нову систему, у всіх рівняннях якої, починаючи з другого коефіцієнти при містяться тільки нулі. Очевидно, що отримана при цьому нова система, Буде рівносильна вихідній системі.
Якщо нові коефіцієнти, при , в повному обсязі рівні нулю, можна так само виключити з третього і наступних рівнянь. Продовжуючи цю операцію для таких невідомих, приводять систему до так званого трикутного вигляду:
Тут символами і позначені числові коефіцієнти і вільні члени, що змінилися в результаті перетворень.
З останнього рівняння системи єдиним чином визначають, а потім послідовною підстановкою - решта невідомих.
Зауваження.Іноді, в результаті перетворень, в якомусь із рівнянь всі коефіцієнти та права частина звертаються в нуль, тобто рівняння перетворюється на тотожність 0=0. Виключивши таке рівняння із системи, зменшують кількість рівнянь проти числом невідомих. Така система не може мати єдиного рішення.
Якщо ж у процесі застосування методу Гауса якесь рівняння перетвориться на рівність виду 0=1 (коефіцієнти при невідомих звернулися до 0, а права частина прийняла ненульове значення), то вихідна система не має рішення, оскільки така рівність є невірною за будь-яких значень невідомих.
Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими:
де – невідомі; - Коефіцієнти при невідомих, - Вільні члени. , підставляючи знайдене
Рішення.Застосувавши до цієї системи метод Гауса, отримаємо
Звідки Остання рівність є невірною за будь-яких значень невідомих, отже, система не має рішення.
Відповідь.Система немає рішень.
Зауважимо, що розглянутий раніше метод Крамера можна застосовувати при вирішенні лише тих систем, у яких кількість рівнянь збігається з числом невідомих, причому визначник системи має бути відмінний від нуля. Метод Гауса є більш універсальним і придатний для систем із будь-яким числом рівнянь.
Матричний метод розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри - висновок формули.
Нехай для матриці Апорядку nна nіснує зворотна матриця. Помножимо обидві частини матричного рівняння зліва на (порядки матриць) A ⋅ Xі Удозволяють зробити таку операцію, дивіться статтю операції над матрицями, властивості операцій). Маємо . Так як для операції множення матриць відповідних порядків характерна властивість асоціативності, то остання рівність можна переписати як , а за визначенням зворотної матриці ( E- Поодинока матриця порядку nна n), тому
Таким чином, вирішення системи лінійних рівнянь алгебри матричним методом визначається за формулою. Іншими словами, рішення СЛАУ знаходиться за допомогою зворотної матриці.
Ми знаємо, що квадратна матриця Апорядку nна nмає зворотну матрицю лише тоді, коли її визначник не дорівнює нулю. Отже, СИСТЕМУ nЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ З nНЕВІДОМИМИ МОЖНА ВИРІШУВАТИ МАТРИЧНИМ МЕТОДОМ ТІЛЬКИ ТОДІ, КОЛИ ВИЗНАЧНИК ОСНОВНОЇ МАТРИЦІ СИСТЕМИ ВІДЛИЖЕНИЙ ВІД НУЛЯ.
На початок сторінки
Приклади розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри матричним методом.
Розглянемо матричний метод на прикладах. У деяких прикладах ми не будемо докладно описувати процес обчислення визначників матриць, при необхідності звертайтеся до статті обчислення визначника матриці.
приклад.
За допомогою зворотної матриці знайдіть розв'язок системи лінійних рівнянь .
Рішення.
У матричній формі вихідна система запишеться як , де . Обчислимо визначник основної матриці та переконаємося, що він відмінний від нуля. Інакше ми зможемо вирішити систему матричним методом. Маємо , отже, для матриці Аможе бути знайдена зворотна матриця. Таким чином, якщо ми знайдемо зворотну матрицю, то рішення СЛАУ визначимо як . Отже, завдання звелося до побудови зворотної матриці. Знайдемо її.
Ми знаємо, що для матриці зворотна матриця може бути знайдена як де - алгебраїчні доповнення елементів.
У нашому випадку
Тоді
Виконаємо перевірку отриманого рішення , підставивши їх у матричну форму вихідної системи рівнянь . Ця рівність повинна звернутися в тотожність, інакше десь була допущена помилка.
Отже, рішення знайдено правильно.
Відповідь:
або в іншому записі .
приклад.
Розв'яжіть СЛАУ матричним методом.
Рішення.
Перше рівняння системи не містить невідомої змінної x 2, друге - x 1, третє – x 3. Тобто коефіцієнти перед цими невідомими змінними дорівнюють нулю. Перепишемо систему рівнянь як . Від такого виду простіше перейти до матричної форми запису СЛАУ . Переконаємося, що ця система рівнянь може бути вирішена за допомогою зворотної матриці. Іншими словами, покажемо що:
Побудуємо зворотну матрицю за допомогою матриці з додатків алгебри:
тоді,
Залишилось знайти рішення СЛАУ:
Відповідь:
.
При переході від звичайного виду системи лінійних рівнянь алгебри до її матричної форми слід бути уважним з порядком слідування невідомих змінних в рівняннях системи. Наприклад, СЛАУ НЕ МОЖНА записати як . Потрібно спочатку впорядкувати всі невідомі змінні у всіх рівняннях системи, а потім переходити до матричного запису:
або
Також будьте уважні з позначенням невідомих змінних, замість x 1 , x 2 , …, x nможуть бути будь-які інші літери. Наприклад, СЛАУ у матричній формі запишеться як .
Розберемо приклад.
приклад.
за допомогою зворотної матриці.
Рішення.
Упорядкувавши невідомі змінні у рівняннях системи, запишемо її у матічній формі
. Обчислимо визначник основної матриці:
Він відмінний від нуля, тому рішення системи рівнянь може бути знайдено за допомогою зворотної матриці як . Знайдемо зворотну матрицю за формулою :
Отримаємо рішення:
Відповідь:
x = 0, y = -2, z = 3.
приклад.
Знайдіть рішення системи лінійних рівнянь алгебри матричним способом.
Рішення.
Визначник основної матриці системи дорівнює нулю
тому ми не можемо застосувати матричний метод.
Знаходження рішення подібних систем описано у розділі розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри.
приклад.
Вирішіть СЛАУ матричним методом - деяке дійсне число.
Рішення.
Система рівнянь у матричній формі має вигляд . Обчислимо визначник основної матриці системи та переконаємося в тому, що він відмінний від нуля:
Квадратних тричлен не звертається в нуль за жодних дійсних значень, оскільки його дискримінант негативний, тому визначник основної матриці системи не дорівнює нулю за жодних дійсних. За матричним методом маємо . Побудуємо зворотну матрицю за формулою :
Тоді
Відповідь:
.До початку сторінки
Підведемо підсумок.
Матричний метод підходить для розв'язання СЛАУ, у яких кількість рівнянь збігається з числом невідомих змінних та визначник основної матриці системи відмінний від нуля. Якщо система містить більше трьох рівнянь, то знаходження зворотної матриці вимагає значних обчислювальних зусиль, тому в цьому випадку доцільно використовувати для вирішення метод Гаусса.
Системи рівнянь набули широкого застосування в економічній галузі при математичному моделюванні різних процесів. Наприклад, під час вирішення завдань управління та планування виробництва, логістичних маршрутів (транспортне завдання) чи розміщення устаткування.
Системи рівняння використовуються у галузі математики, а й фізики, хімії та біології, під час вирішення завдань з знаходження чисельності популяції.
Системою лінійних рівнянь називають два і більше рівняння з кількома змінними, котрим необхідно знайти загальне рішення. Таку послідовність чисел, коли всі рівняння стануть вірними рівностями чи довести, що послідовності немає.
Лінійне рівняння
Рівняння виду ax+by=c називають лінійними. Позначення x, y – це невідомі, значення яких треба знайти, b, a – коефіцієнти при змінних, c – вільний член рівняння.
Рішення рівняння шляхом побудови його графіка матиме вигляд прямої, всі точки якої є рішенням багаточлена.
Види систем лінійних рівнянь
Найбільш простими вважаються приклади систем лінійних рівнянь із двома змінними X та Y.
F1(x, y) = 0 і F2(x, y) = 0, де F1,2 – функції, а (x, y) – змінні функцій.
Розв'язати систему рівнянь - це означає знайти такі значення (x, y), при яких система перетворюється на правильна рівністьабо встановити, що відповідних значень x та y не існує.
Пара значень (x, y), записана як координат точки, називається рішенням системи лінійних рівнянь.
Якщо системи мають одне загальне рішення чи рішення немає їх називають рівносильними.
Однорідними системами лінійних рівнянь є системи права частина яких дорівнює нулю. Якщо права після знака " рівність " частина має значення чи виражена функцією, така система неоднорідна.
Кількість змінних може бути набагато більше двох, тоді слід говорити про приклад системи лінійних рівнянь із трьома змінними або більше.
Зіткнувшись із системами школярі припускають, що кількість рівнянь обов'язково має збігатися з кількістю невідомих, але це не так. Кількість рівнянь у системі залежить від змінних, їх може бути скільки завгодно багато.
Прості та складні методи вирішення систем рівнянь
Немає загального аналітичного способу вирішення подібних систем, всі методи засновані на чисельних рішеннях. У шкільному курсіматематики докладно описані такі методи як перестановка, складення алгебри, підстановка, а так само графічний і матричний спосіб, рішення методом Гауса.
Основне завдання під час навчання способам рішення - це навчити правильно аналізувати систему та знаходити оптимальний алгоритм рішення кожному за прикладу. Головне не визубрити систему правил та дій для кожного способу, а зрозуміти принципи застосування того чи іншого методу
Розв'язання прикладів систем лінійних рівнянь 7 класу програми загальноосвітньої школиДосить просте і пояснено дуже докладно. У будь-якому підручнику математики цьому розділу приділяється достатньо уваги. Рішення прикладів систем лінійних рівнянь методом Гаусса і Крамера докладніше вивчають перших курсах вищих навчальних закладів.
Рішення систем методом підстановки
Дії методу підстановки спрямовані вираз значення однієї змінної через другу. Вираз підставляється в рівняння, що залишилося, потім його приводять до вигляду з однією змінною. Дія повторюється в залежності від кількості невідомих у системі
Наведемо рішення прикладу системи лінійних рівнянь 7 класу методом підстановки:
Як видно з прикладу, змінна x була виражена через F(X) = 7 + Y. Отриманий вираз, підставлений у 2-е рівняння системи на місце X, допоміг отримати одну змінну Y у 2-му рівнянні. Рішення даного прикладуне викликає труднощів і дозволяє набути значення Y. Останній крок це перевірка отриманих значень.
Вирішити приклад системи лінійних рівнянь підстановкою не завжди можливо. Рівняння можуть бути складними і вираз змінної через другу невідому виявиться надто громіздким для подальших обчислень. Коли невідомих у системі більше трьох рішень підстановкою також недоцільно.
Розв'язання прикладу системи лінійних неоднорідних рівнянь:
Рішення за допомогою алгебраїчної складання
При пошуку рішенні систем шляхом додавання роблять почленное складання і множення рівнянь різні числа. Кінцевою метою математичних дійє рівняння з однією змінною.
Для застосування даного методу необхідна практика та спостережливість. Вирішити систему лінійних рівнянь шляхом додавання при кількості змінних 3 і більше складно. Алгебраїчне додавання зручно застосовувати коли в рівняннях присутні дроби та десяткові числа.
Алгоритм дій рішення:
- Помножити обидві частини рівняння деяке число. В результаті арифметичної діїодин із коефіцієнтів при змінній повинен стати рівним 1.
- Почленно скласти отриманий вираз і знайти один із невідомих.
- Підставити отримане значення у 2-е рівняння системи для пошуку змінної, що залишилася.
Спосіб вирішення запровадженням нової змінної
Нову змінну можна вводити, якщо в системі потрібно знайти рішення не більше ніж для двох рівнянь, кількість невідомих теж має бути не більшою за два.
Спосіб використовується, щоб спростити одне із рівнянь, введенням нової змінної. Нове рівняння вирішується щодо введеної невідомої, а отримане значення використовується визначення початкової змінної.
З прикладу видно, що ввівши нову змінну t вдалося звести 1 рівняння системи до стандартного квадратного тричлену. Вирішити многочлен можна знайшовши дискримінант.
Необхідно знайти значення дискримінанта з відомою формулою: D = b2 - 4*a*c, де D - шуканий дискримінант, b, a, c - множники многочлена. У заданому прикладі a=1, b=16, c=39, отже, D=100. Якщо дискримінант більший за нуль, то рішень два: t = -b±√D / 2*a, якщо дискримінант менший за нуль, то рішення одне: x= -b / 2*a.
Рішення для отриманих у результаті системи знаходять шляхом складання.
Наочний метод вирішення систем
Підходить для систем з трьома рівняннями. Метод полягає у побудові на координатній осі графіків кожного рівняння, що входить до системи. Координати точок перетину кривих і будуть загальним рішенням системи.
Графічний метод має низку аспектів. Розглянемо кілька прикладів розв'язання систем лінійних рівнянь наочним способом.
Як видно з прикладу, для кожної прямої було побудовано дві точки, значення змінної x були обрані довільно: 0 і 3. Виходячи із значень x, знайдені значення для y: 3 і 0. Точки з координатами (0, 3) та (3, 0) були відзначені на графіку та з'єднані лінією.
Події необхідно повторити для другого рівняння. Точка перетину прямих є розв'язком системи.
У наступному прикладі потрібно знайти графічне рішеннясистеми лінійних рівнянь: 0,5x-y+2=0 та 0,5x-y-1=0.
Як видно з прикладу, система не має рішення, тому що графіки паралельні і не перетинаються по всьому своєму протязі.
Системи з прикладів 2 і 3 схожі, але при побудові стає очевидним, що їх рішення різні. Слід пам'ятати, що не завжди можна сказати, чи має система рішення чи ні, завжди необхідно побудувати графік.
Матриця та її різновиди
Матриці використовують для короткого запису системи лінійних рівнянь. Матрицею називають таблицю спеціального виду, заповнену числами. n*m має n - рядків та m - стовпців.
Матриця є квадратною, коли кількість стовпців і рядків дорівнює між собою. Матрицею - вектором називається матриця з одного стовпця з нескінченно можливою кількістю рядків. Матриця з одиницями по одній із діагоналей та іншими нульовими елементами називається одиничною.
Зворотна матриця - це така матриця при множенні на яку вихідна перетворюється на одиничну, така матриця існує тільки для вихідної квадратної.
Правила перетворення системи рівнянь на матрицю
Стосовно систем рівнянь як чисел матриці записують коефіцієнти і вільні члени рівнянь, одне рівняння - один рядок матриці.
Рядок матриці називається ненульовим, якщо хоча б один елемент рядка не дорівнює нулю. Тому якщо в якомусь із рівнянь кількість змінних відрізняється, то необхідно на місці відсутньої невідомої вписати нуль.
Стовпці матриці повинні суворо відповідати змінним. Це означає, що коефіцієнти змінної x можуть бути записані тільки в один стовпець, наприклад перший, коефіцієнт невідомої y - тільки в другий.
При множенні матриці всі елементи матриці послідовно множаться число.
Варіанти знаходження зворотної матриці
Формула знаходження зворотної матриці досить проста: K -1 = 1 / | K |, де K -1 - Зворотна матриця, а | K | - Визначник матриці. |K| не повинен дорівнювати нулю, тоді система має рішення.
Визначник легко обчислюється для матриці два на два, необхідно лише помножити один на одного елементи по діагоналі. Для варіанта "три на три" існує формула | K | b 2 c 1 . Можна скористатися формулою, а можна запам'ятати що необхідно взяти по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця так, щоб у творі не повторювалися номери стовпців та рядків елементів.
Розв'язання прикладів систем лінійних рівнянь матричним методом
Матричний спосіб пошуку рішення дозволяє скоротити громіздкі записи під час вирішення систем із великою кількістю змінних і рівнянь.
У прикладі a nm – коефіцієнти рівнянь, матриця – вектор x n – змінні, а b n – вільні члени.
Рішення систем методом Гауса
У вищої математикиМетод Гаусса вивчають разом із методом Крамера, а процес пошуку рішення систем і називається метод рішення Гаусса - Крамера. Дані методи застосовують при знаходженні змінних систем з великою кількістю лінійних рівнянь.
Метод Гауса дуже схожий на рішення за допомогою підстановок та алгебраїчної складання, але більш систематичний. У шкільному курсі рішення способом Гаусса застосовується для систем із 3 та 4 рівнянь. Мета методу полягає у приведенні системи до виду перевернутої трапеції. Шляхом перетворень алгебри і підстановок знаходиться значення однієї змінної в одному з рівнянні системи. Друге рівняння є виразом з двома невідомими, а 3 і 4 - відповідно з трьома і чотирма змінними.
Після приведення системи до описаного виду, подальше рішення зводиться до послідовної підстановки відомих змінних рівняння системи.
У шкільних підручникахдля 7 класу приклад рішення методом Гауса описаний таким чином:
Як видно з прикладу, на кроці (3) було отримано два рівняння 3x3 -2x4 = 11 і 3x3 +2x4 =7. Рішення будь-якого рівняння дозволить дізнатися одну зі змінних x n .
Теорема 5, про яку згадується в тексті, свідчить, що якщо одне з рівнянь системи замінити рівносильним, то отримана система буде також рівносильна вихідній.
Метод Гауса важкий для сприйняття учнів середньої школи, але одна із найцікавіших способів у розвиток кмітливості дітей, які навчаються за програмою поглибленого вивчення математичних і фізичних класах.
Для простоти запису обчислень прийнято робити так:
Коефіцієнти рівнянь та вільні члени записуються у вигляді матриці, де кожен рядок матриці співвідноситься з одним із рівнянь системи. відокремлює ліву частину рівняння від правої. Римськими цифрами позначаються номери рівнянь у системі.
Спочатку записують матрицю, з якою належить працювати, потім усі дії, що проводяться з одного з рядків. Отриману матрицю записують після знака "стрілка" і продовжують виконувати необхідні дії алгебри до досягнення результату.
У результаті повинна вийти матриця в якій по одній з діагоналей стоять 1, а всі інші коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто матрицю призводять до поодинокого вигляду. Не можна забувати робити обчислення з цифрами обох частин рівняння.
Цей спосіб запису менш громіздкий і дозволяє не відволікатися на перелік численних невідомих.
Вільне застосування будь-якого способу вирішення потребує уважності та певного досвіду. Не всі методи мають прикладний характер. Якісь способи пошуку рішень більш переважні в тій іншій галузі діяльності людей, інші існують з метою навчання.
Системи лінійних рівнянь. Лекція 6
Системи лінійних рівнянь.
Основні поняття.
Система виду
називається системою - лінійних рівнянь із невідомими.
Числа , , називаються коефіцієнтами системи.
Числа називаються вільними членами системи, – змінними системами. Матриця
називається основною матрицею системи, а матриця
– розширеною матрицею системи. Матриці - стовпці
І відповідно матрицями вільних членів та невідомих системи. Тоді в матричній формі систему рівнянь можна записати у вигляді. Рішенням системиназивається значень змінних , при підстановці яких, всі рівняння системи перетворюються на вірні числові рівності. Будь - яке рішення системи можна подати у вигляді матриці - стовпця . Тоді справедлива матрична рівність.
Система рівнянь називається спільноїякщо вона має хоча б одне рішення та несуміснийякщо немає жодного рішення.
Вирішити систему лінійних рівнянь це означає з'ясувати спільна вона і у разі спільності визначити її загальне рішення.
Система називається одноріднийякщо її вільні члени рівні нулю. Однорідна система завжди спільна, тому що має рішення
Теорема Кронекера – Копеллі.
Відповідь на питання існування рішень лінійних систем та їх єдиності дозволяє отримати наступний результат, який можна сформулювати у вигляді наступних тверджень щодо системи лінійних рівнянь із невідомими
(1)
Теорема 2. Система лінійних рівнянь (1) спільна тоді і лише тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної (.
Теорема 3. Якщо ранг основної матриці спільної системи лінійних рівнянь дорівнює числу невідомих, система має єдине рішення.
Теорема 4. Якщо ранг основної матриці спільної системи менше числа невідомих, то система має безліч рішень.
Правила розв'язання систем.
3. Знаходять вираз основних змінних через вільні і одержують загальне рішення системи.
4. Надаючи вільним змінним довільні значення набувають всі значення основних змінних.
Методи розв'язання систем лінійних рівнянь.
Метод зворотної матриці.
причому, тобто система має єдине рішення. Запишемо систему у матричному вигляді
де , , .
Помножимо обидві частини матричного рівняння зліва на матрицю
Оскільки , то отримуємо , звідки отримуємо рівність для знаходження невідомих
Приклад 27.Методом зворотної матриці розв'язати систему лінійних рівнянь
Рішення. Позначимо через основну матрицю системи
.
Нехай тоді рішення знайдемо за формулою .
Обчислимо.
Оскільки , те й система має єдине рішення. Знайдемо всі додатки алгебри
, ,
, ,
, ,
, ,
Таким чином
.
Зробимо перевірку
.
Зворотна матриця знайдена правильно. Звідси за формулою, знайдемо матрицю змінних.
.
Порівнюючи значення матриць, отримаємо відповідь: .
Метод Крамер.
Нехай дана система лінійних рівнянь із невідомими
причому, тобто система має єдине рішення. Запишемо рішення системи у матричному вигляді або
Позначимо
. . . . . . . . . . . . . . ,
Таким чином, отримуємо формули для знаходження значень невідомих, які називаються формулами Крамера.
Приклад 28.Вирішити методом Крамера таку систему лінійних рівнянь .
Рішення. Знайдемо визначник основної матриці системи
.
Оскільки , то система має єдине рішення.
Знайдемо решту визначників для формул Крамера
,
,
.
За формулами Крамера знаходимо значення змінних
Метод Гауса.
Метод полягає у послідовному виключенні змінних.
Нехай дана система лінійних рівнянь із невідомими.
Процес рішення за методом Гауса складається із двох етапів:
На першому етапі розширена матриця системи наводиться за допомогою елементарних перетворень до східчастого вигляду
,
де , якій відповідає система
Після цього змінні вважаються вільними і в кожному рівнянні переносяться у праву частину.
З другого краю етапі з останнього рівняння виражається змінна , отримане значення підставляється у рівняння. З цього рівняння
виражається змінна. Цей процес продовжується до першого рівняння. В результаті виходить вираз головних змінних через вільні змінні. .
Приклад 29.Вирішити методом Гауса наступну систему
Рішення. Випишемо розширену матрицю системи та наведемо її до ступінчастого вигляду
.
Так як більше числа невідомих, то система спільна і має безліч рішень. Запишемо систему для ступінчастої матриці
Визначник розширеної матриці цієї системи, складений із трьох перших стовпців не дорівнює нулю, тому його вважаємо базисним. Змінні
Будуть базисними, а змінна – вільною. Перенесемо її у всіх рівняннях у ліву частину
З останнього рівняння виражаємо
Підставивши це значення у передостаннє друге рівняння, отримаємо
звідки . Підставивши значення змінних і на перше рівняння, знайдемо . Відповідь запишемо у наступному вигляді