Jak řešit logaritmy profilu zkoušky. Řešení logaritmických rovnic
Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.
Shromažďování a používání osobních údajů
Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci konkrétní osoby nebo k jejímu kontaktování.
Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.
Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.
Jaké osobní údaje shromažďujeme:
- Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.
Jak používáme vaše osobní údaje:
- Shromážděno námi osobní informace nám umožňuje kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a připravovaných akcích.
- Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých upozornění a zpráv.
- Můžeme také použít osobní údaje pro interní účely, jako je audit, analýza dat a různé studie ke zlepšení námi poskytovaných služeb a k poskytování doporučení týkajících se našich služeb.
- Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.
Zpřístupnění třetím stranám
Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.
Výjimky:
- V případě potřeby - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí od vládní agentury na území Ruské federace – zveřejněte své osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud rozhodneme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné účely veřejného zájmu.
- V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.
Ochrana osobních údajů
Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.
Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti
Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.
Co je to logaritmus?
Pozornost!
Existují další
materiál ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří silně "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc...“)
Co je to logaritmus? Jak řešit logaritmy? Tyto otázky mnohé absolventy matou. Tradičně je téma logaritmů považováno za složité, nepochopitelné a děsivé. Zejména - rovnice s logaritmy.
To absolutně není pravda. Absolutně! nevěříš? Dobrý. Nyní na 10–20 minut:
1. Pochopit co je logaritmus.
2. Naučte se rozhodovat celá třída exponenciální rovnice. I když jste o nich neslyšeli.
3. Naučte se počítat jednoduché logaritmy.
Navíc k tomu budete potřebovat pouze znát násobící tabulku a jak se číslo zvyšuje na mocninu ...
Cítím, že pochybuješ... Dobře, měj čas! Jít!
Nejprve si v duchu vyřešte následující rovnici:
Pokud se vám tato stránka líbí...
Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)
Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)
můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.
Jak víte, při násobení výrazů mocninami se jejich exponenty vždy sčítají (a b * a c = a b + c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a později, v 8. století, vytvořil matematik Virasen tabulku celočíselných ukazatelů. Právě oni sloužili k dalšímu objevování logaritmů. Příklady použití této funkce najdeme téměř všude tam, kde je potřeba zjednodušit těžkopádné násobení na jednoduché sčítání. Pokud strávíte 10 minut čtením tohoto článku, vysvětlíme vám, co jsou to logaritmy a jak s nimi pracovat. Jednoduchý a přístupný jazyk.
Definice v matematice
Logaritmus je vyjádřením následujícího tvaru: log a b=c, tedy logaritmus libovolného nezáporného čísla (tj. jakéhokoli kladného) "b" jeho základem "a" je považováno za mocninu "c" , na který se musí základ "a" zvednout, aby nakonec dostal hodnotu "b". Analyzujme logaritmus na příkladech, řekněme, že existuje výraz log 2 8. Jak najít odpověď? Je to velmi jednoduché, musíte najít takový stupeň, abyste od 2 do požadovaného stupně dostali 8. Když jsme si v duchu udělali nějaké výpočty, dostaneme číslo 3! A právem, protože 2 na 3 dává v odpovědi číslo 8.
Varianty logaritmů
Pro mnoho žáků a studentů se toto téma zdá komplikované a nepochopitelné, ale ve skutečnosti logaritmy nejsou tak děsivé, hlavní je pochopit jejich obecný význam a zapamatovat si jejich vlastnosti a některá pravidla. Tam jsou tři určité typy logaritmické výrazy:
- Přirozený logaritmus ln a, kde základem je Eulerovo číslo (e = 2,7).
- Desetinné a, kde základ je 10.
- Logaritmus libovolného čísla b k základu a>1.
Každá z nich je řešena standardním způsobem, včetně zjednodušení, redukce a následné redukce na jeden logaritmus pomocí logaritmických vět. Chcete-li získat správné hodnoty logaritmů, měli byste si pamatovat jejich vlastnosti a pořadí akcí při jejich rozhodování.
Pravidla a některá omezení
V matematice existuje několik pravidel-omezení, která jsou přijímána jako axiom, to znamená, že nejsou předmětem diskuse a jsou pravdivá. Například nemůžete dělit čísla nulou a je také nemožné vzít odmocninu sudou záporná čísla. Logaritmy mají také svá pravidla, podle kterých se snadno naučíte pracovat i s dlouhými a prostornými logaritmickými výrazy:
- základ "a" musí být vždy větší než nula a zároveň nesmí být roven 1, jinak výraz ztratí svůj význam, protože "1" a "0" se v jakémkoliv stupni vždy rovnají svým hodnotám;
- pokud a > 0, pak a b > 0, ukáže se, že "c" musí být větší než nula.
Jak řešit logaritmy?
Například byl zadán úkol najít odpověď na rovnici 10 x \u003d 100. Je to velmi snadné, musíte si vybrat takovou moc, zvýšit číslo deset, na které dostaneme 100. To je samozřejmě 10 2 \u003d 100.
Nyní znázorněme tento výraz jako logaritmický. Dostaneme log 10 100 = 2. Při řešení logaritmů všechny akce prakticky konvergují k nalezení míry, do jaké musí být zadán základ logaritmu, abychom získali dané číslo.
Chcete-li přesně určit hodnotu neznámého stupně, musíte se naučit pracovat s tabulkou stupňů. Vypadá to takto:
Jak vidíte, některé exponenty lze uhodnout intuitivně, pokud máte technické myšlení a znalost násobilky. Větší hodnoty však budou vyžadovat tabulku výkonu. Využít ho mohou i ti, kteří ve složitých matematických tématech nerozumí vůbec ničemu. Levý sloupec obsahuje čísla (základ a), horní řada čísel je hodnota mocniny c, na kterou je číslo a umocněno. Na průsečíku v buňkách jsou určeny hodnoty čísel, které jsou odpovědí (a c = b). Vezměme si například úplně první buňku s číslem 10 a odmocnime ji, dostaneme hodnotu 100, která je naznačena na průsečíku našich dvou buněk. Všechno je tak jednoduché a snadné, že to pochopí i ten nejskutečnější humanista!
Rovnice a nerovnice
Ukazuje se, že za určitých podmínek je exponentem logaritmus. Proto lze jakékoli matematické číselné výrazy zapsat jako logaritmickou rovnici. Například 3 4 = 81 lze zapsat jako logaritmus 81 k základu 3, což je čtyři (log 3 81 = 4). Pro záporné mocniny jsou pravidla stejná: 2 -5 = 1/32 zapíšeme jako logaritmus, dostaneme log 2 (1/32) = -5. Jednou z nejvíce fascinujících částí matematiky je téma „logaritmů“. Příklady a řešení rovnic budeme uvažovat o něco níže, hned po prostudování jejich vlastností. Nyní se podívejme, jak vypadají nerovnosti a jak je odlišit od rovnic.
Je dán výraz v následujícím tvaru: log 2 (x-1) > 3 - je logaritmická nerovnost, protože neznámá hodnota "x" je pod znaménkem logaritmu. A také ve výrazu se porovnávají dvě veličiny: logaritmus požadovaného čísla v základu dvě je větší než číslo tři.
Nejdůležitější rozdíl mezi logaritmickými rovnicemi a nerovnicemi je ten, že rovnice s logaritmy (například logaritmus 2 x = √9) znamenají jeden nebo více specifických číselné hodnoty, přičemž při řešení nerovností jsou definovány jako plocha povolené hodnoty a body diskontinuity této funkce. V důsledku toho není odpověď jednoduchá jednotlivá čísla jako v odpovědi na rovnici, ale a je spojitá řada nebo množina čísel.
Základní věty o logaritmech
Při řešení primitivních úloh při hledání hodnot logaritmu nemusí být jeho vlastnosti známy. Pokud však jde o logaritmické rovnice nebo nerovnice, je nejprve nutné jasně pochopit a prakticky aplikovat všechny základní vlastnosti logaritmů. S příklady rovnic se seznámíme později, rozeberme si nejprve každou vlastnost podrobněji.
- Základní identita vypadá takto: a logaB =B. Platí pouze v případě, že a je větší než 0, nerovná se jedné a B je větší než nula.
- Logaritmus součinu může být reprezentován následujícím vzorcem: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tomto případě je předpokladem: d, s 1 as 2 > 0; a≠1. Tento vzorec logaritmů můžete doložit příklady a řešením. Nechť log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, pak a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupňů ), a dále podle definice: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, což mělo být prokázáno.
- Logaritmus podílu vypadá takto: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Věta ve formě vzorce má tento tvar: log a q b n = n/q log a b.
Tento vzorec se nazývá "vlastnost stupně logaritmu". Připomíná vlastnosti běžných stupňů a není se čemu divit, protože veškerá matematika spočívá na pravidelných postulátech. Podívejme se na důkaz.
Nechte log a b \u003d t, ukáže se t \u003d b. Zvednete-li obě části na mocninu m: a tn = b n ;
ale protože a tn = (a q) nt/q = b n , tudíž log a q b n = (n*t)/t, pak log a q b n = n/q log a b. Věta byla prokázána.
Příklady problémů a nerovností
Nejběžnějšími typy logaritmických úloh jsou příklady rovnic a nerovnic. Nacházejí se téměř ve všech problémových knihách a jsou také součástí povinné části zkoušek z matematiky. Pro přijetí na univerzitu nebo absolvování přijímací zkoušky v matematice je potřeba vědět, jak takové úlohy správně řešit.
Bohužel, jediný plán nebo schéma řešit a určit neznámá hodnota Neexistuje žádný logaritmus, ale na každou matematickou nerovnost nebo logaritmickou rovnici lze použít určitá pravidla. Nejprve byste měli zjistit, zda lze výraz zjednodušit nebo zredukovat obecný pohled. Pokud správně použijete jejich vlastnosti, můžete dlouhé logaritmické výrazy zjednodušit. Pojďme se s nimi brzy seznámit.
Při řešení logaritmických rovnic je nutné určit, jaký logaritmus máme před sebou: příklad výrazu může obsahovat přirozený logaritmus nebo dekadický.
Zde jsou příklady ln100, ln1026. Jejich řešení se scvrkává na skutečnost, že musíte určit, do jaké míry bude základna 10 rovna 100 a 1026. Pro řešení přirozených logaritmů je třeba použít logaritmické identity nebo jejich vlastnosti. Podívejme se na příklady řešení logaritmických úloh různých typů.
Jak používat logaritmické vzorce: s příklady a řešeními
Podívejme se tedy na příklady použití hlavních vět o logaritmech.
- Vlastnost logaritmu součinu se dá využít v úlohách, kde je potřeba expandovat velká důležitostčísla b do jednodušších faktorů. Například log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpověď je 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak vidíte, aplikací čtvrté vlastnosti stupně logaritmu se nám podařilo vyřešit na první pohled složitý a neřešitelný výraz. Je nutné pouze faktorizovat základ a poté vyjmout hodnoty exponentů ze znaménka logaritmu.
Úkoly ze zkoušky
Logaritmy se často nacházejí v přijímací zkoušky, zejména mnoho logaritmických problémů ve zkoušce ( Státní zkouška pro všechny absolventy středních škol). Obvykle jsou tyto úkoly přítomny nejen v části A (nejsnadnější testovací část zkouška), ale i v části C (nejobtížnější a nejobjemnější úlohy). Zkouška předpokládá přesnou a dokonalou znalost tématu "Přirozené logaritmy".
Příklady a řešení problémů jsou převzaty z oficiálních POUŽÍVEJTE možnosti. Podívejme se, jak se takové úkoly řeší.
Je dán log 2 (2x-1) = 4. Řešení:
přepišme výraz, trochu jej zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2 , definicí logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4 , tedy 2x = 17; x = 8,5.
- Všechny logaritmy je nejlépe zredukovat na stejný základ, aby řešení nebylo těžkopádné a matoucí.
- Všechny výrazy pod znaménkem logaritmu jsou označeny jako kladné, proto při vyjímání exponentu exponentu výrazu, který je pod znaménkem logaritmu a jako jeho základ, musí být výraz zbývající pod logaritmem kladný.
V tomto videonávodu se podíváme na řešení poměrně vážné logaritmické rovnice, ve které je potřeba nejen najít kořeny, ale také vybrat ty, které leží na daném segmentu.
Úkol C1. Vyřešte rovnici. Najděte všechny kořeny této rovnice, které patří do intervalu.
Poznámka k logaritmickým rovnicím
Nicméně rok od roku za mnou přicházejí studenti, kteří se snaží takové, upřímně řečeno, řešit obtížné rovnice, ale zároveň nemohou pochopit: kde vůbec začínají a jak přistupovat k logaritmům? Takový problém může nastat i u silných, dobře připravených studentů.
V důsledku toho se mnozí začnou tohoto tématu bát, nebo se dokonce považují za hloupé. Takže si pamatujte: pokud nedokážete vyřešit takovou rovnici, vůbec to neznamená, že jste hloupí. Protože například s touto rovnicí se můžete vypořádat téměř slovně:
log 2 x = 4
A pokud tomu tak není, tento text byste nyní nečetli, protože jste byli zaneprázdněni jednoduššími a všednějšími úkoly. Samozřejmě teď někdo namítne: "Co má tato nejjednodušší rovnice společného s naším zdravým designem?" Odpovídám: každá logaritmická rovnice, bez ohledu na to, jak složitá může být, nakonec sestává z takových jednoduchých, slovně řešených konstrukcí.
Samozřejmě je nutné přejít od složitých logaritmických rovnic k jednodušším nikoli pomocí výběru nebo tance s tamburínou, ale podle jasných, dlouho definovaných pravidel, kterým se říká - pravidla pro převod logaritmických výrazů. Když je znáte, můžete snadno zjistit i ty nejsofistikovanější rovnice ve zkoušce z matematiky.
A právě o těchto pravidlech si povíme v dnešní lekci. Jít!
Řešení logaritmické rovnice v úloze C1
Pojďme tedy vyřešit rovnici:
Nejdříve si u logaritmických rovnic připomeneme hlavní taktiku – mohu-li říci, základní pravidlo pro řešení logaritmických rovnic. Skládá se z následujícího:
Kanonická věta o tvaru. Jakákoli logaritmická rovnice, bez ohledu na to, co obsahuje, bez ohledu na to, jaké logaritmy, bez ohledu na základ a bez ohledu na to, co má c v sobě, je nutné přivést ji do rovnice ve tvaru:
log a f (x ) = log a g (x )
Pokud se podíváme na naši rovnici, okamžitě si všimneme dvou problémů:
- Vlevo máme součet dvou čísel, z nichž jeden není vůbec logaritmus.
- Vpravo je docela logaritmus, ale na jeho základně je kořen. A logaritmus vlevo má právě 2, tzn. základy logaritmů nalevo a napravo jsou různé.
Takže jsme přišli se seznamem problémů, které oddělují naši rovnici od toho kanonická rovnice , na který je třeba v procesu řešení zredukovat jakoukoliv logaritmickou rovnici. Tedy řešení naší rovnice pro tuto fázi se týká odstranění dvou výše popsaných problémů.
Jakákoli logaritmická rovnice může být vyřešena rychle a snadno, pokud je redukována na její kanonickou formu.
Součet logaritmů a logaritmus součinu
Pokračujme popořadě. Nejprve se pojďme zabývat strukturou, která stojí vlevo. Co můžeme říci o součtu dvou logaritmů? Připomeňme si úžasný vzorec:
log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)
Ale stojí za zvážení, že v našem případě první člen není vůbec logaritmus. Jednotku tedy musíte reprezentovat jako logaritmus se základnou 2 (konkrétně 2, protože logaritmus se základnou 2 je vlevo). Jak to udělat? Znovu si pamatujte ten úžasný vzorec:
a = log b b a
Zde musíte pochopit: když říkáme „libovolná báze b“, znamená to, že b stále nemůže být libovolné číslo. Pokud do logaritmu vložíme číslo, okamžitě se na něj překryjí určitá čísla. omezení, totiž: základ logaritmu musí být větší než 0 a nesmí se rovnat 1. Jinak logaritmus prostě nedává smysl. Pojďme si to napsat:
0 < b ≠ 1
Podívejme se, co se stane v našem případě:
1 = log 2 2 1 = log 2 2
Nyní přepišme celou naši rovnici s ohledem na tuto skutečnost. A hned použijeme další pravidlo: součet logaritmů se rovná logaritmu součinu argumentů. V důsledku toho získáme:
Máme novou rovnici. Jak vidíte, je to již mnohem blíže kanonickému zarovnání, o které usilujeme. Ale je tu jeden problém, napsali jsme ho ve formě druhého bodu: naše logaritmy, které jsou vlevo a vpravo, různé důvody. Přejděme k dalšímu kroku.
Pravidla pro převzetí mocnin z logaritmu
Logaritmus nalevo má tedy základ jen 2 a logaritmus napravo má kořen na základně. Ale ani to není problém, když si pamatujeme, že ze základů z argumentů logaritmu lze vyjmout mocninu. Pojďme si napsat jedno z těchto pravidel:
log a b n = n log a b
Překlad do lidský jazyk: můžete vzít sílu ze základu logaritmu a dát ji dopředu jako násobitel. Číslo n "migrovalo" z logaritmu a stalo se koeficientem vpředu.
Mohli bychom také odebrat výkon ze základny logaritmu. Bude to vypadat takto:
Jinými slovy, pokud odeberete mocninu z logaritmického argumentu, tato mocnina se také zapíše jako faktor před logaritmus, ale ne jako číslo, ale jako převrácená hodnota 1/k.
To však není vše! Můžeme spojit tyto dva vzorce a získat následující vzorec:
Když je exponent v základu i v argumentu logaritmu, můžeme ušetřit čas a zjednodušit výpočty odstraněním exponentů ze základu i argumentu najednou. V tomto případě to, co bylo v argumentu (v našem případě je to koeficient n), bude v čitateli. A jaký byl stupeň na základně, a k , půjde do jmenovatele.
A právě tyto vzorce nyní použijeme, abychom zredukovali naše logaritmy na stejný základ.
V první řadě vybereme více či méně krásný základ. Je zřejmé, že s dvojkou na základně se pracuje mnohem příjemněji než s kořenem. Zkusme tedy založit druhý logaritmus na 2. Zapišme tento logaritmus samostatně:
Co tady můžeme dělat? Vzpomeňte si na vzorec výkonu racionální ukazatel. Jinými slovy, můžeme zapsat odmocniny jako mocninu s racionálním exponentem. A pak odebereme mocninu 1/2 jak z argumentu, tak ze základny logaritmu. Snížíme dvojky v koeficientech v čitateli a jmenovateli před logaritmem:
Nakonec přepíšeme původní rovnici s ohledem na nové koeficienty:
log 2 2 (9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)
Získali jsme kanonickou logaritmickou rovnici. Nalevo i napravo máme logaritmus na stejném základu 2. Kromě těchto logaritmů neexistují žádné koeficienty, žádné členy ani nalevo, ani napravo.
V důsledku toho se můžeme zbavit znaménka logaritmu. Samozřejmě s přihlédnutím k doméně definice. Ale než to uděláme, vraťme se a trochu si ujasněme zlomky.
Dělení zlomku zlomkem: Další úvahy
Ne všichni studenti chápou, odkud faktory před správným logaritmem pocházejí a kam jdou. Zapišme si to znovu:
Pojďme pochopit, co je zlomek. Pojďme psát:
A nyní si připomeneme pravidlo pro dělení zlomků: pro dělení 1/2 je třeba násobit obráceným zlomkem:
Samozřejmě, pro usnadnění dalších výpočtů můžeme ty dva zapsat jako 2/1 - a to je to, co pozorujeme jako druhý koeficient v procesu řešení.
Doufám, že nyní každý chápe, odkud pochází druhý koeficient, takže přejdeme přímo k řešení naší kanonické logaritmické rovnice.
Zbavit se znaménka logaritmu
Připomínám vám, že nyní se můžeme zbavit logaritmů a ponechat následující výraz:
2(9x2 + 5) = 8x4 + 14
Rozbalíme závorky vlevo. Dostaneme:
18x2 + 10 = 8x4 + 14
Přesuneme vše z levé strany na pravou:
8x4 + 14 - 18x2 - 10 = 0
Dáváme podobné a dostáváme:
8x4 - 18x2 + 4 = 0
Můžeme vydělit obě strany této rovnice 2, abychom zjednodušili koeficienty, a dostaneme:
4x4 - 9x2 + 2 = 0
Před námi je obvyklé bikvadratická rovnice a jeho kořeny lze snadno vypočítat z hlediska diskriminantu. Napišme tedy diskriminant:
D \u003d 81 - 4 4 2 \u003d 81 - 32 \u003d 49
Dobře, Diskriminant je "krásný", jeho kořen je 7. To je ono, bereme v úvahu samotné X. Ale v tomto případě kořeny nevyjdou x, ale x 2, protože máme bikvadratickou rovnici. Naše možnosti jsou tedy:
Poznámka: extrahovali jsme kořeny, takže budou dvě odpovědi, protože. náměstí - dokonce funkce. A pokud napíšeme pouze odmocninu ze dvou, pak o druhou odmocninu jednoduše přijdeme.
Nyní namalujeme druhý kořen naší bikvadratické rovnice:
Opět extrahujeme aritmetiku Odmocnina z obou částí naší rovnice a dostaneme dva kořeny. Pamatujte však:
Nestačí jednoduše srovnat argumenty logaritmů v kanonické formě. Pamatujte na rozsah!
Celkem jsme dostali čtyři kořeny. Všechny jsou skutečně řešením naší původní rovnice. Podívejte se: v naší původní logaritmické rovnici je uvnitř logaritmů buď 9x 2 + 5 (tato funkce je vždy kladná), nebo 8x 4 + 14 - je také vždy kladná. Proto je doména definice logaritmů v každém případě splněna, bez ohledu na to, jaký kořen dostaneme, což znamená, že všechny čtyři kořeny jsou řešením naší rovnice.
Skvělé, nyní přejdeme k druhé části problému.
Výběr kořenů logaritmické rovnice na segmentu
Z našich čtyř kořenů vybereme ty, které leží na intervalu [−1; 8/9]. Vracíme se ke kořenům a nyní provedeme jejich výběr. Pro začátek navrhuji nakreslit souřadnicovou osu a označit na ní konce segmentu:
Oba body budou stínované. Tito. podle stavu problému nás zajímá stínovaný segment. Nyní se pojďme zabývat kořeny.
Iracionální kořeny
Začněme iracionálními kořeny. Všimněte si, že 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:
Z toho vyplývá, že odmocnina dvou nespadá do segmentu, který nás zajímá. Podobně dostaneme zápornou odmocninu: je menší než -1, tedy leží vlevo od segmentu, který nás zajímá.
racionální kořeny
Zbývají dva kořeny: x = 1/2 a x = −1/2. Všimněme si, že levý konec úsečky (−1) je záporný a pravý konec (8/9) kladný. Někde mezi těmito konci tedy leží číslo 0. Kořen x = −1/2 bude mezi −1 a 0, tzn. budou zahrnuty do konečné odpovědi. Totéž uděláme s odmocninou x = 1/2. Tento kořen také leží na uvažovaném segmentu.
Je velmi snadné se ujistit, že číslo 8/9 je větší než 1/2. Odečteme tato čísla od sebe:
Dostali jsme zlomek 7/18 > 0, což podle definice znamená, že 8/9 > 1/2.
Označme vhodné kořeny na souřadnicové ose:
Konečnou odpovědí budou dva kořeny: 1/2 a −1/2.
Porovnání iracionálních čísel: univerzální algoritmus
Na závěr bych se chtěl ještě jednou vrátit k iracionálním číslům. Na jejich příkladu nyní uvidíme, jak v matematice porovnávat racionální a iracionální veličiny. Pro začátek je mezi nimi takové zaškrtnutí V - znaménko "více" nebo "méně", ale zatím nevíme, kterým směrem směřuje. Pojďme psát:
Proč vůbec potřebujeme nějaké srovnávací algoritmy? Faktem je, že v tomto problému jsme měli velké štěstí: v procesu řešení vzniklo oddělovací číslo 1, o kterém můžeme rozhodně říci:
Ne vždy však takové číslo na cestách uvidíte. Zkusme si proto naše čísla porovnat přímo, přímo.
Jak se to dělá? Děláme totéž jako s obvyklými nerovnostmi:
- Za prvé, pokud bychom někde měli záporné koeficienty, vynásobili bychom obě strany nerovnosti −1. Samozřejmě změna znamení. Takový tik V by se změnil na takový - Λ.
- Ale v našem případě už jsou obě strany pozitivní, takže není potřeba nic měnit. Co je skutečně potřeba, je čtverec na obě strany zbavit se radikála.
Pokud při porovnávání iracionální čísla Nemohu zachytit oddělovací prvek hned z pálky, doporučuji udělat takové srovnání hlava-hlava - popsat to jako obyčejnou nerovnost.
Při řešení to vypadá takto:
Nyní je vše snadné porovnat. Faktem je, že 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.
To je vše, dostali jsme rigorózní důkaz, že všechna čísla jsou na číselné ose x označena správně a přesně v tom pořadí, v jakém by ve skutečnosti měla být. Na takové rozhodnutí si nikdo nebude stěžovat, takže si pamatujte: pokud hned neuvidíte oddělovací číslo (v našem případě je to 1), pak klidně vypište výše uvedenou konstrukci, vynásobte, odmocněte - a nakonec dostane krásnou nerovnost. Z této nerovnosti bude přesně jasné, které číslo je větší a které menší.
Vrátíme-li se k našemu problému, rád bych vás ještě jednou upozornil na to, co jsme dělali úplně na začátku při řešení naší rovnice. Konkrétně jsme se podrobně podívali na naši původní logaritmickou rovnici a pokusili jsme se ji zredukovat na kanonický logaritmická rovnice. Kde jsou pouze logaritmy nalevo a napravo - bez dalších členů, koeficientů vpředu atd. Nepotřebujeme dva logaritmy k základu a nebo b, totiž logaritmus rovný jinému logaritmu.
Kromě toho musí být základy logaritmů také stejné. Zároveň, pokud je rovnice složena správně, pak pomocí elementárních logaritmických transformací (součet logaritmů, převod čísla na logaritmus atd.) tuto rovnici zredukujeme na kanonickou.
Proto od nynějška, když uvidíte logaritmickou rovnici, která není okamžitě vyřešena „na čele“, neměli byste se ztratit ani se snažit najít odpověď. Stačí postupovat podle těchto kroků:
- Přeneste všechny volné prvky do logaritmu;
- Poté přidejte tyto logaritmy;
- Ve výsledné konstrukci vedou všechny logaritmy ke stejnému základu.
Výsledkem je jednoduchá rovnice, kterou lze vyřešit elementárními prostředky algebry z materiálů ročníků 8-9. Obecně jděte na můj web, procvičujte si řešení logaritmů, řešte logaritmické rovnice jako já, řešte je lépe než já. A to je pro mě vše. Byl s vámi Pavel Berdov. Brzy se uvidíme!
Logaritmické výrazy, řešení příkladů. V tomto článku se budeme zabývat problémy souvisejícími s řešením logaritmů. Úkoly nastolují otázku hledání hodnoty výrazu. Je třeba poznamenat, že koncept logaritmu se používá v mnoha úlohách a je nesmírně důležité porozumět jeho významu. Pokud jde o USE, logaritmus se používá při řešení rovnic, v aplikovaných úlohách a také v úlohách spojených se studiem funkcí.
Zde jsou příklady pro pochopení samotného významu logaritmu:
Základní logaritmická identita:
Vlastnosti logaritmů, které si musíte vždy pamatovat:
*Logaritmus součinu se rovná součtu logaritmů faktorů.
* * *
*Logaritmus kvocientu (zlomky) se rovná rozdílu logaritmy faktorů.
* * *
* Logaritmus stupně se rovná součinu exponentu a logaritmu jeho základu.
* * *
*Přechod na novou základnu
* * *
Další vlastnosti:
* * *
Počítání logaritmů úzce souvisí s využitím vlastností exponentů.
Uvádíme některé z nich:
Podstatou této vlastnosti je, že při převodu čitatele na jmenovatele a naopak se znaménko exponentu změní na opačné. Například:
Důsledek této vlastnosti:
* * *
Při zvýšení mocniny na mocninu zůstává základ stejný, ale exponenty se násobí.
* * *
Jak vidíte, samotný koncept logaritmu je jednoduchý. Hlavní věc je, že je potřeba dobrá praxe, která dává určitou dovednost. Znalost vzorců je určitě povinná. Pokud není vytvořena dovednost v transformaci elementárních logaritmů, pak při řešení jednoduché úkoly je snadné udělat chybu.
Cvičte, řešte nejprve nejjednodušší příklady z matematického kurzu, poté přejděte ke složitějším. V budoucnu určitě ukážu, jak se řeší „ošklivé“ logaritmy, u zkoušky takové nebudou, ale je o ně zájem, nenechte si to ujít!
To je vše! Hodně štěstí!
S pozdravem Alexander Krutitskikh
P.S: Byl bych vděčný, kdybyste o webu řekli na sociálních sítích.