Stochastinio proceso modelio pavyzdys. Stochastinis modelis ekonomikoje
480 rub. | 150 UAH | 7,5 USD ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC", BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Disertacija - 480 RUR, pristatymas 10 minučių, visą parą, septynias dienas per savaitę ir švenčių dienomis
Demidova Anastasija Viačeslavovna. Vienpakopių procesų stochastinių modelių konstravimo metodas: disertacija... fizinių ir matematikos mokslų kandidatas: 05.13.18 / Anastasija Viačeslavovna Demidova;[gynimo vieta: Rusijos universitetas Tautų draugystė] - Maskva, 2014. - 126 p.
Įvadas
1 skyrius. Darbų disertacijos tema apžvalga 14
1.1. Populiacijos dinamikos modelių apžvalga 14
1.2. Stochastiniai populiacijos modeliai 23
1.3. Stochastinės diferencialinės lygtys 26
1.4. Informacija apie stochastinį skaičiavimą 32
2 skyrius. Vienpakopių procesų modeliavimo metodas 39
2.1. Vieno etapo procesai. Kolmogorovo-Chapman lygtis. 39 pagrindinė kinetinė lygtis
2.2. Daugiamačių vienpakopių procesų modeliavimo metodas. 47
2.3. Skaitinis modeliavimas 56
3 skyrius. Vienpakopio procesų modeliavimo metodo taikymas 60
3.1. Stochastiniai populiacijos dinamikos modeliai 60
3.2. Stochastiniai populiacijų sistemų modeliai su įvairia tarprūšine ir vidine sąveika 75
3.3. Stochastinis tinklo kirminų plitimo modelis. 92
3.4. Stochastiniai peer-to-peer protokolų modeliai 97
113 išvada
Literatūra 116
Stochastinės diferencialinės lygtys
Vienas iš disertacijos uždavinių – stochastinės diferencialinės lygties sistemai parašymas, kad stochastinis terminas būtų susietas su tiriamos sistemos struktūra. Vienas iš galimų šios problemos sprendimų yra gauti stochastinę ir deterministinę dalis iš tos pačios lygties. Šiems tikslams patogu naudoti pagrindinę kinetinę lygtį, kurią galima aproksimuoti Fokker-Planck lygtimi, kuriai, savo ruožtu, ekvivalentinė stochastinė diferencialinė lygtis gali būti įrašyta Langevin lygties forma.
1.4 skirsnis. yra pagrindinė informacija, reikalinga norint nurodyti ryšį tarp stochastinės diferencialinės lygties ir Fokker-Planck lygties, taip pat pagrindinės stochastinio skaičiavimo sąvokos.
Antrame skyriuje pateikiama pagrindinė teorijos informacija atsitiktiniai procesai ir remiantis šia teorija suformuluojamas vienpakopių procesų modeliavimo metodas.
2.1 skyriuje pateikiama pagrindinė informacija iš atsitiktinių vienpakopių procesų teorijos.
Vienpakopiai procesai suprantami kaip nuolatiniai Markovo procesai, kurių reikšmės yra sveikųjų skaičių diapazone, kurių perėjimo matrica leidžia tik perėjimus tarp gretimų sekcijų.
Nagrinėjame daugiamatį vienpakopį procesą X() = (i(),2(), ...,n()) = ( j(), = 1, ) , (0.1) kintantį palei atkarpą, t.y. Є, kur yra laiko intervalo, kuriame nurodomas procesas X(), ilgis. Aibė G = (x, = 1, Є NQ x NQ1) yra diskrečiųjų reikšmių rinkinys, kurį gali užtrukti atsitiktinis procesas.
Tam tikram vieno žingsnio procesui įvedamos atitinkamai perėjimų tikimybės per laiko vienetą s+ ir s iš būsenos Xj į būseną Xj__i ir Xj_i. Manoma, kad tikimybė pereiti iš būsenos x į du ar daugiau žingsnių per laiko vienetą yra labai maža. Todėl galime teigti, kad sistemos būsenos vektorius Xj keičiasi ilgio Г( ir tada vietoj perėjimų iš x į Xj+i ir Xj_i, galime svarstyti perėjimus iš X į X + Гі ir X - Гі, atitinkamai.
Modeliuojant sistemas, kuriose laiko raida vyksta dėl sistemos elementų sąveikos, patogu ją apibūdinti naudojant pagrindinę kinetinę lygtį (kitas pavadinimas yra valdymo lygtis, o anglų literatūroje ji vadinama Master equation).
Toliau kyla klausimas, kaip gauti tiriamos sistemos aprašymą, aprašytą vienpakopiais procesais, naudojant stochastinę diferencialinę lygtį Langevin lygties pavidalu iš pagrindinės kinetinės lygties. Formaliai tik tos lygtys, kuriose yra stochastinių funkcijų, turėtų būti klasifikuojamos kaip stochastinės lygtys. Taigi šį apibrėžimą tenkina tik Langevino lygtys. Tačiau jos yra tiesiogiai susijusios su kitomis lygtimis, būtent su Fokker-Planck lygtimi ir pagrindine kinetine lygtimi. Todėl atrodo logiška visas šias lygtis nagrinėti kartu. Todėl šiai problemai išspręsti siūloma pagrindinę kinetinę lygtį aproksimuoti Fokker-Planck lygtimi, kuriai galime parašyti lygiavertę stochastinę diferencialinę lygtį Langevin lygties forma.
2.2 skirsnyje suformuluotas daugiamačiais vienpakopiais procesais aprašytų sistemų aprašymo ir stochastinio modeliavimo metodas.
Be to, parodyta, kad Fokker-Planck lygties koeficientai gali būti gauti iš karto po to, kai užfiksuojama tiriamos sistemos sąveikos schema, būsenos kitimo vektorius r ir perėjimo tikimybių s+ ir s- išraiškos, t.y. praktiškai taikant šį metodą, nereikia užrašyti pagrindinės kinetinės lygties.
2.3 skyriuje. Runge-Kutta metodas skaitinis sprendimas stochastinės diferencialinės lygtys, kurios yra naudojamos trečiajame skyriuje iliustruojant gautus rezultatus.
Trečiame skyriuje pateikiamas antrajame skyriuje aprašyto stochastinių modelių konstravimo metodo taikymo iliustracija, naudojant sistemų, apibūdinančių sąveikaujančių populiacijų augimo dinamiką, pvz., „plėšrūnas-grobis“, simbiozė, konkurencija ir jų modifikacijos, pavyzdį. . Tikslas – surašyti jas stochastinių diferencialinių lygčių forma ir ištirti stochastikos įvedimo poveikį sistemos elgsenai.
3.1 skyriuje. Antrame skyriuje aprašyto metodo taikymas iliustruojamas modelio „plėšrūnas-grobis“ pavyzdžiu. Sistemos, kuriose sąveikauja dviejų tipų „plėšrūno-grobio“ tipo populiacijos, buvo plačiai ištirtos, todėl gautus rezultatus galima palyginti su jau gerai žinomais.
Gautų lygčių analizė parodė, kad sistemos deterministiniam elgesiui tirti galima panaudoti gautos stochastinės diferencialinės lygties dreifo vektorių A, t.y. Sukurtas metodas gali būti naudojamas analizuoti tiek stochastinį, tiek deterministinį elgesį. Be to, prieita prie išvados, kad stochastiniai modeliai suteikia tikroviškesnį sistemos elgsenos aprašymą. Visų pirma, plėšrūno-grobio sistemai deterministiniu atveju lygčių sprendiniai turi periodinė forma ir fazės tūris išsaugomas, o stochastikos įvedimas į modelį suteikia monotonišką fazės tūrio padidėjimą, o tai rodo neišvengiamą vienos ar abiejų populiacijų mirtį. Norint vizualizuoti gautus rezultatus, buvo atliktas skaitmeninis modeliavimas.
3.2 skyriuje. Sukurtas metodas skirtas gauti ir analizuoti įvairius stochastinius populiacijos dinamikos modelius, tokius kaip „plėšrūno-grobio“ modelis, atsižvelgiant į tarprūšinę grobio konkurenciją, simbiozę, konkurenciją ir trijų populiacijų sąveikos modelį.
Informacija apie stochastinį skaičiavimą
Atsitiktinių procesų teorijos raida paskatino perėjimą prie tyrimų gamtos reiškiniai nuo deterministinių populiacijos dinamikos sampratų ir modelių iki tikimybinių ir dėl to atsiradimo didelis skaičius darbai, skirti stochastiniam modeliavimui matematinės biologijos, chemijos, ekonomikos ir kt.
Nagrinėjant deterministinius populiacijos modelius, tokie svarbūs dalykai kaip atsitiktinės įtakos lieka neatskleistos įvairių veiksnių apie sistemos evoliuciją. Apibūdinant populiacijos dinamiką, reikėtų atsižvelgti į atsitiktinį individų dauginimosi ir išgyvenimo pobūdį, taip pat į atsitiktinius svyravimus, kurie laikui bėgant atsiranda aplinkoje ir sukelia atsitiktinius sistemos parametrų svyravimus. Todėl šiuos taškus atspindintys tikimybiniai mechanizmai turėtų būti įtraukti į bet kurį populiacijos dinamikos modelį.
Stochastinis modeliavimas leidžia išsamiau apibūdinti populiacijos charakteristikų pokyčius, atsižvelgiant tiek į visus deterministinius veiksnius, tiek į atsitiktinius efektus, kurie gali reikšmingai pakeisti deterministinių modelių išvadas. Kita vertus, jų pagalba galima nustatyti kokybiškai naujus gyventojų elgesio aspektus.
Stochastinius populiacijos būsenų pokyčių modelius galima apibūdinti naudojant atsitiktinius procesus. Esant tam tikroms prielaidoms, galime daryti prielaidą, kad gyventojų elgesys, atsižvelgiant į dabartinę būseną, nepriklauso nuo to, kaip ši būsena buvo pasiekta (t. y. esant fiksuotai dabarčiai, ateitis nepriklauso nuo praeities). Tai. Populiacijos dinamikos procesams modeliuoti patogu naudoti Markovo gimimo-mirties procesus ir atitinkamas valdymo lygtis, kurios detaliau aprašytos antroje darbo dalyje.
N. N. Kalinkinas savo darbuose naudoja sąveikos schemas, iliustruodamas procesus, vykstančius sistemose su sąveikaujančiais elementais, ir, remdamasis šiomis schemomis, konstruoja šių sistemų modelius, naudodamas išsišakojusių Markovo procesų aparatą. Šio požiūrio taikymą iliustruoja cheminių, gyventojų, telekomunikacijų ir kitų sistemų procesų modeliavimo pavyzdys.
Darbe nagrinėjami tikimybiniai populiacijos modeliai, kurių konstravimui naudojamas gimimo-mirties procesų aparatas, o gautos diferencialinių-diferencijų lygčių sistemos reprezentuoja atsitiktinių procesų dinamines lygtis. Straipsnyje taip pat aptariami šių lygčių sprendimų paieškos būdai.
Galite rasti daug straipsnių, skirtų stochastiniams modeliams, kuriuose atsižvelgiama į įvairius veiksnius, turinčius įtakos populiacijos kaitos dinamikai, konstravimui. Pavyzdžiui, straipsniuose buvo sukurtas ir analizuojamas biologinės bendruomenės, kurioje individai vartoja maisto išteklius, turinčius maisto išteklių, populiacijos dinamikos modelis. kenksmingų medžiagų. O populiacijos raidos modelyje straipsnyje atsižvelgiama į populiacijų atstovų apsigyvenimo jų buveinėse veiksnį. Modelis yra savaime nuoseklių Vlasovo lygčių sistema.
Verta atkreipti dėmesį į darbus, skirtus svyravimų teorijai ir stochastinių metodų taikymui gamtos moksluose, tokiuose kaip fizika, chemija, biologija ir kt. Visų pirma, matematinis populiacijų skaičiaus kitimo modelis, kuris sąveikauja pagal iki „plėšrūno-grobio“ tipo yra pastatytas remiantis daugiamačiais Markovo gimimo-mirties procesais.
„Plėšrūno-grobio“ modelį galima laikyti gimimo-mirties procesų įgyvendinimu. Šiuo aiškinimu juos galima naudoti daugelio mokslo sričių režimams. Aštuntajame dešimtmetyje M. Doi pasiūlė tokių modelių tyrimo metodą, pagrįstą kūrimo-naikinimo operatoriais (analogiškai su antriniu kvantavimu). Darbus galima pažymėti čia. Be to, šis metodas dabar aktyviai plėtojamas M. M. Gnaticho grupėje.
Kitas populiacijos dinamikos modelių modeliavimo ir tyrimo metodas yra susijęs su optimalios kontrolės teorija. Darbus galima pažymėti čia.
Galima pastebėti, kad dauguma darbų, skirtų populiacinių procesų stochastiniams modeliams konstruoti, naudoja atsitiktinių procesų aparatą diferencialinėms-diferencinėms lygtims ir vėlesniam skaitiniam įgyvendinimui. Be to, plačiai naudojamos Langevino formos stochastinės diferencialinės lygtys, kuriose iš bendrų svarstymų apie sistemos elgseną pridedamas stochastinis terminas, skirtas atsitiktiniams poveikiams apibūdinti. aplinką. Tolesnis modelio tyrimas – jų kokybinė analizė arba sprendimų paieška naudojant skaitinius metodus.
Stochastinės diferencialinės lygtys Apibrėžimas 1. Stochastinė diferencialinė lygtis yra diferencialinė lygtis, kurioje vienas ar keli terminai reiškia stochastinį procesą. Dažniausiai naudojamas ir gerai žinomas stochastinės diferencialinės lygties (SDE) pavyzdys yra lygtis su terminu, apibūdinančiu baltąjį triukšmą ir gali būti laikomas Vynerio procesu Wt, t 0.
Stochastinės diferencialinės lygtys yra svarbus ir plačiai naudojamas matematinis aparatas tiriant ir modeliuojant dinamines sistemas, kurias veikia įvairūs atsitiktiniai trikdžiai.
Stochastinio gamtos reiškinių modeliavimo pradžia laikomas Brauno judėjimo reiškinio aprašymas, kurį R. Brownas atrado 1827 m., kai atliko augalų žiedadulkių judėjimo skystyje tyrimus. Pirmąjį griežtą šio reiškinio paaiškinimą savarankiškai pateikė A. Einšteinas ir M. Smoluchovskis. Verta paminėti straipsnių rinkinį, kuriame yra A. Einšteino ir M. Smoluchovskio darbai apie Brauno judesį. Šie tyrimai reikšmingai prisidėjo prie Brauno judėjimo teorijos kūrimo ir jos eksperimentinio patikrinimo. A. Einšteinas sukūrė molekulinę kinetinę teoriją Brauno judėjimo kiekybiniam aprašymui. Gautas formules patvirtino J. Perrin eksperimentai 1908-1909 m.
Daugiamačių vienpakopių procesų modeliavimo metodas.
Yra du būdai apibūdinti sistemų su sąveikaujančiais elementais raidą – deterministinių arba stochastinių modelių konstravimas. Skirtingai nuo deterministinių modelių, stochastiniai modeliai leidžia atsižvelgti į tiriamose sistemose vykstančių procesų tikimybę, taip pat į išorinės aplinkos įtakas, sukeliančias atsitiktinius modelio parametrų svyravimus.
Tyrimo objektas – sistemos, kurių procesus galima apibūdinti naudojant vienpakopius procesus ir tuos, kurių būsenos perėjimas į kitą yra susijęs su sistemos elementų sąveika. Pavyzdys yra modeliai, apibūdinantys sąveikaujančių populiacijų, tokių kaip „plėšrūnas-grobis“, simbiozė, konkurencija ir jų modifikacijos, augimo dinamiką. Tikslas yra užrašyti tokių sistemų SDE ir ištirti stochastinės dalies įvedimo poveikį lygties, apibūdinančios deterministinį elgesį, sprendinio elgsenai.
Cheminė kinetika
Lygčių sistemos, atsirandančios aprašant sistemas su sąveikaujančiais elementais, daugeliu atžvilgių yra artimos diferencialinių lygčių sistemoms, apibūdinančioms cheminių reakcijų kinetiką. Pavyzdžiui, Lotka-Volterra sistemą iš pradžių sukūrė Lotka kaip sistemą, apibūdinančią kokią nors hipotetinę cheminę reakciją, o tik vėliau Volterra ją sukūrė kaip plėšrūno-grobio modelį apibūdinančią sistemą.
Cheminė kinetika apibūdina chemines reakcijas naudojant vadinamąsias stechiometrines lygtis – lygtis, atspindinčias kiekybinius reagentų ir produktų santykius. cheminė reakcija ir turėdamas šiuos dalykus bendras vaizdas: Kur natūraliuosius skaičiusТі ir Ш vadinami stechiometriniais koeficientais. Tai simbolinis cheminės reakcijos įrašas, kuriame reagento Xi molekulės, ni2 reagento molekulės Xh, ..., 3 reagento molekulės Xp, patekusios į reakciją, sudaro n medžiagos Yi, n molekulių. medžiagos molekulės I2, ..., nq medžiagos Yq molekulės atitinkamai .
Cheminėje kinetikoje manoma, kad cheminė reakcija gali vykti tik tiesiogiai sąveikaujant reagentams, o cheminės reakcijos greitis apibrėžiamas kaip dalelių, susidarančių per laiko vienetą tūrio vienete, skaičius.
Pagrindinis cheminės kinetikos postulatas yra masės veikimo dėsnis, kuris teigia, kad cheminės reakcijos greitis yra tiesiogiai proporcingas reaguojančių medžiagų koncentracijų sandaugai jų stechiometrinių koeficientų laipsniais. Todėl, jei XI ir y I pažymime atitinkamų medžiagų koncentracijas, tada gauname cheminės reakcijos metu medžiagos koncentracijos kitimo greičio lygtį:
Toliau siūloma panaudoti pagrindines cheminės kinetikos idėjas sistemoms, kurių raida laike vyksta dėl tam tikros sistemos elementų sąveikos tarpusavyje, apibūdinti, įvedant šiuos pagrindinius pokyčius: 1. ne reakcija. atsižvelgiama į normas, bet į perėjimo tikimybes; 2. Siūloma, kad perėjimo iš vienos būsenos į kitą tikimybė, atsirandanti dėl sąveikos, yra proporcinga galimų sąveikų skaičiui šio tipo; 3. sistemai apibūdinti šiuo metodu naudojama pagrindinė kinetinė lygtis; 4. deterministinės lygtys pakeičiamos stochastinėmis. Panašų požiūrį į tokių sistemų apibūdinimą galima rasti darbuose. Modeliuotoje sistemoje vykstantiems procesams apibūdinti siūloma, kaip minėta aukščiau, naudoti Markovo vieno etapo procesus.
Apsvarstykite sistemą, kurią sudaro skirtingų tipų elementai, kurie gali įvairiai sąveikauti tarpusavyje. Pažymėkime -tipo elementu, kur = 1, ir -tipo elementų skaičiumi.
Leiskite (), .
Darykime prielaidą, kad failą sudaro viena dalis. Taigi viename naujojo mazgo, norinčio atsisiųsti failą, ir mazgo, kuris platina failą, sąveikos veiksmas, naujasis mazgas atsisiunčia visą failą ir tampa platinimo mazgu.
Tegul yra naujo mazgo žymėjimas, yra paskirstymo mazgas ir sąveikos koeficientas. Nauji mazgai gali patekti į sistemą su intensyvumu, o paskirstantys mazgai gali išeiti iš jos intensyviai. Tada sąveikos diagrama ir vektorius r atrodys taip:
Stochastinę diferencialinę lygtį Langevin forma galima gauti naudojant atitinkamą formulę (1.15). Nes dreifo vektorius A visiškai apibūdina deterministinį sistemos elgesį, mes galime gauti įprastų diferencialinių lygčių sistemą, kuri apibūdina naujų klientų ir sėklų skaičiaus dinamiką:
Taigi, priklausomai nuo parametrų pasirinkimo, vienaskaitos taškas gali turėti skirtingą pobūdį. Taigi /ZA 4/I2 vienaskaitos taškas yra stabilus židinys, o priešingam santykiui – stabilus mazgas. Abiem atvejais vienaskaitos taškas yra stabilus, nes koeficiento verčių pasirinkimas ir sistemos kintamųjų pokyčiai gali vykti vienoje iš dviejų trajektorijų. Jei vienaskaitos taškas yra židinys, tai sistemoje atsiranda slopinami naujų ir paskirstymo mazgų skaičiaus svyravimai (žr. 3.12 pav.). O mazginiu atveju skaičių priartinimas prie stacionarių verčių vyksta nesvyravimo režimu (žr. 3.13 pav.). Sistemos fazės portretai kiekvienam iš dviejų atvejų pavaizduoti atitinkamai diagramose (3.14) ir (3.15).
Stochastinio modelio konstravimas apima sistemos kūrimą, kokybės vertinimą ir elgsenos tyrimą, naudojant lygtis, apibūdinančias tiriamą procesą.
Norėdami tai padaryti, atliekant specialų eksperimentą su realia sistema, gaunama pradinė informacija. Šiuo atveju naudojami eksperimento planavimo, rezultatų apdorojimo metodai, taip pat gautų modelių vertinimo kriterijai, pagrįsti tokiomis matematinės statistikos dalimis kaip dispersija, koreliacija, regresinė analizė ir tt
Technologinį procesą aprašančio statistinio modelio konstravimo metodai (6.1 pav.) remiasi „juodosios dėžės“ sąvoka. Jam galimi keli įvesties faktorių matavimai: x 1 ,x 2 ,…,x k ir išvesties parametrai: y 1 ,y 2 ,…,y p, pagal kurių rezultatus nustatomos priklausomybės:
Statistiniame modeliavime, vadovaujantis problemos (1) formulavimu, mažiausiai svarbius veiksnius iš daugybės įvesties kintamųjų, turinčių įtakos proceso eigai (2). Tolesniam tyrimui pasirinkti įvesties kintamieji sudaro veiksnių sąrašą x 1 ,x 2 ,…,x k(6.1), kurią valdydami galite reguliuoti išvesties parametrus y n. Taip pat, kur įmanoma, reikėtų sumažinti modelio išėjimų skaičių, kad būtų sumažintos eksperimentinės ir duomenų apdorojimo išlaidos.
Kuriant statistinį modelį, jo struktūra (3) paprastai nurodoma savavališkai, lengvai naudojamomis funkcijomis, kurios apytiksliai atitinka eksperimentinius duomenis, o vėliau patikslinama remiantis modelio adekvatumo įvertinimu.
Dažniausiai naudojama modelio daugianario forma. Taigi, kvadratinei funkcijai:
(6.2)
Kur b 0 , b i , b ij , b ii– regresijos koeficientai.
Paprastai pirmiausia apsiribojame paprasčiausiu tiesiniu modeliu, kuriam (6.2) b ii =0, b ij =0. Jei jis nepakankamas, modelis komplikuojamas įvedant terminus, kuriuose atsižvelgiama į veiksnių sąveiką x i, x j ir (arba) kvadratinius elementus.
Siekiant maksimaliai padidinti informacijos išgavimą iš atliekamų eksperimentų ir sumažinti jų skaičių, planuojami eksperimentai (4), t.y. reikiamų ir pakankamų eksperimentų skaičiaus ir sąlygų parinkimas problemai išspręsti nurodytu tikslumu.
Statyti statistiniai modeliai Naudojami dviejų tipų eksperimentai: pasyvūs ir aktyvūs. Pasyvus eksperimentas yra atliekama kaip ilgalaikis nekontroliuojamo proceso eigos stebėjimas, leidžiantis surinkti platų duomenų spektrą statistinė analizė. IN aktyvus eksperimentas galima reguliuoti eksperimentų sąlygas. Ją atliekant efektyviausia vienu metu keisti visų faktorių reikšmes pagal konkretų planą, leidžiantį nustatyti veiksnių sąveiką ir sumažinti eksperimentų skaičių.
Remiantis eksperimentų rezultatais (5), apskaičiuojami regresijos koeficientai (6.2) ir įvertinamas jų statistinis reikšmingumas, kas užbaigia modelio konstravimą (6). Modelio (7) adekvatumo matas yra dispersija, t.y. standartinis apskaičiuotų verčių nuokrypis nuo eksperimentinių. Gauta dispersija lyginama su leistina, atsižvelgiant į pasiektą eksperimentų tikslumą.
Vėlesniuose šios knygos skyriuose stochastiniai procesai beveik visada vaizduojami naudojant linijines diferencialines sistemas, kurias lemia baltasis triukšmas. Šis stochastinio proceso vaizdavimas paprastai būna tokia forma. Tarkime, kad
a - baltas triukšmas. Pasirinkus tokį stochastinio proceso V atvaizdavimą, jį galima modeliuoti. Tokių modelių naudojimas gali būti pateisinamas taip.
a) Gamtoje dažnai susiduriama su stochastiniais reiškiniais, susijusiais su greitai kintančių svyravimų įtaka inercinei diferencialinei sistemai. Tipiškas baltojo triukšmo, turinčio įtakos diferencialinei sistemai, pavyzdys yra šiluminis triukšmas elektroninėje grandinėje.
b) Kaip bus matyti iš to, kas išdėstyta toliau, tiesinės kontrolės teorijoje beveik visada atsižvelgiama tik į vidutinę reikšmę ir. stochastinio proceso kovariacija. Tiesiniam modeliui visada galima apytiksliai apskaičiuoti bet kokias eksperimentiškai gautas vidutinės vertės ir kovariacijos matricos charakteristikas savavališku tikslumu.
c) Kartais problema iškyla modeliuojant stacionarų stochastinį procesą su žinomu spektrinės energijos tankiu. Tokiu atveju visada galima sugeneruoti stochastinį procesą kaip procesą tiesinės išvestyje diferencialinė sistema; šiuo atveju energijos spektrinių tankių matrica savavališku tikslumu priartina pradinio stochastinio proceso energijos spektrinių tankių matricą.
1.36 ir 1.37 pavyzdžiai bei 1.11 uždavinys iliustruoja modeliavimo metodą.
1.36 pavyzdys. Pirmosios eilės diferencialo sistema
Tarkime, kad stochastinio skaliarinio proceso, žinomo kaip stacionarus, išmatuota kovariacijos funkcija apibūdinama eksponentine funkcija
Šį procesą galima modeliuoti kaip pirmos eilės diferencialinės sistemos būseną (žr. 1.35 pavyzdį)
kur yra baltojo triukšmo intensyvumas – stochastinis dydis, kurio vidurkis ir dispersija nulinė.
1.37 pavyzdys. Maišymo bakas
Apsvarstykite maišymo baką iš 1.31 pavyzdžio (1.10.3 skyrius) ir apskaičiuokite jo išėjimo dispersijos matricą kintamasis pavyzdys 1.31 buvo daroma prielaida, kad srautų koncentracijos svyravimai yra apibūdinami eksponentiškai koreliuojančiu triukšmu, todėl gali būti modeliuojami kaip pirmosios eilės sistemos, varomos baltojo triukšmo, sprendimas. Dabar pridėkime modelio lygtis į maišymo bako diferencialinę lygtį stochastiniai procesai Mes gauname
Čia yra skaliarinis baltojo triukšmo intensyvumas
kad proceso dispersija būtų lygi, tarkime, kad procesui naudojame panašų modelį. Taigi gauname lygčių sistemą
Serija „Ekonomika ir vadyba“
6. Kondratjevas N.D. Dideli konjunktūros ciklai ir numatymo teorija. - M.: Ekonomika, 2002. 768 p.
7. Kuzyk B.N., Kushlin V.I., Yakovets Yu.V. Prognozavimas, strateginis planavimas ir nacionalinis programavimas. M.: Leidykla „Ekonomika“, 2008. 573 p.
8. Lyasnikovas N.V., Dudinas M.N. Modernizavimas inovacijų ekonomika rizikos rinkos formavimo ir plėtros kontekste // Socialinis mokslas. M.: Leidykla "MII Science", 2011. Nr. 1. P. 278-285.
9. Sekerin V.D., Kuznecova O.S. Inovacijų projektų valdymo strategijos kūrimas // Maskvos biuletenis valstybinė akademija verslo administravimas. Serija: Ekonomika. - 2013. Nr.1 (20). - P. 129 - 134.
10. Jakovlevas V.M., Seninas A.S. Novatoriškam Rusijos ekonomikos raidos tipui alternatyvos nėra // Aktualūs novatoriškos ekonomikos klausimai. M.: Leidykla „Mokslas“; Rusijos mokslų akademijos Vadybos ir rinkodaros institutas ir Valstybinis universitetas prie Rusijos Federacijos prezidento, 2012. Nr. 1(1).
11. Baranenko S.P., Dudinas M.N., Ljasnikovas N.V., Busyginas KD. Aplinkosaugos metodo taikymas į inovacijas orientuotai pramonės įmonių plėtrai // American Journal of Applied Sciences.- 2014.- T. 11, Nr.2, - P. 189-194.
12. Dudinas M.N. Sisteminis požiūris į didelių ir mažų įmonių sąveikos būdų nustatymą // European Journal of Economic Studies. 2012. T. (2), Nr.2, P. 84-87.
13. Dudinas M.N., Ljasnikovas N.V., Kuznecovas A.V., Fedorova I.Ju. Innovative Transformation and Transformational Potential of Socio-Economic Systems // Middle East Journal of Scientific Research, 2013. Vol. 17, Nr. 10. P. 1434-1437.
14. Dudinas M.N., Ljasnikovas N.V., Pankovas S.V., Sepiašvilis E.N. Inovatyvus numatymas kaip verslo struktūrų strateginės darnaus vystymosi valdymo metodas // World Applied Sciences Journal. - 2013. - T. 26, Nr. 8. - P. 1086-1089.
15. Sekerin V. D., Avramenko S. A., Veselovsky M. Ya., Aleksakhina V. G. B2G Market: The Essence and Statistical Analysis // World Applied Sciences Journal 31 (6): 1104-1108, 2014 m.
Vieno parametro, stochastinio gamybos proceso modelio konstravimas
Ph.D. doc. Mordasovas Yu.P.
Mechanikos inžinerijos universitetas, 8-916-853-13-32, mordasov2001@mail. gi
Anotacija. Autorius sukūrė matematinį, stochastinį gamybos proceso modelį, priklausantį nuo vieno parametro. Modelis išbandytas. Tam buvo sukurtas gamybos ir mechanikos inžinerijos proceso imitacinis modelis, atsižvelgiant į atsitiktinių trikdžių ir gedimų įtaką. Matematinio ir imitacinio modeliavimo rezultatų palyginimas patvirtina matematinio modelio panaudojimo praktikoje galimybes.
Raktažodžiai: technologinis procesas, matematinis, simuliacinis modelis, operacijų valdymas, testavimas, atsitiktiniai trikdžiai.
Operatyvaus valdymo kaštus galima ženkliai sumažinti sukūrus metodiką, leidžiančią rasti optimalumą tarp veiklos planavimo sąnaudų ir nuostolių, atsirandančių dėl planuojamų rodiklių ir faktinių gamybos procesų rodiklių neatitikimo. Tai reiškia, kad reikia rasti optimalią signalo perdavimo trukmę grandinėje atsiliepimai. Praktiškai tai reiškia, kad reikia sumažinti kalendorinių grafikų skaičiavimų skaičių, kai reikia paleisti surinkimo agregatus į gamybą, ir dėl to sutaupyti materialinių išteklių.
Mechaninės inžinerijos gamybos proceso pažanga yra tikimybinio pobūdžio. Nuolatinė nuolat kintančių veiksnių įtaka neleidžia tam tikram laikotarpiui (mėnesiui, ketvirčiui) numatyti gamybos proceso eigos erdvėje ir laike. Statistiniuose modeliuose planavimas detalės būsena kiekvienu konkrečiu laiko momentu turi būti nurodyta atitinkamos tikimybės (tikimybių skirstinio) forma, kad ji bus aptikta įvairiose darbo vietose. Kartu būtina užtikrinti galutinio įmonės veiklos rezultato determinizmą. Tai savo ruožtu suponuoja galimybę planuoti naudojant deterministinius metodus tam tikrus terminus dalių paieška gamyboje. Tačiau patirtis rodo, kad įvairūs realių gamybos procesų santykiai ir tarpusavio perėjimai yra įvairūs ir gausūs. Tai sukuria didelių sunkumų kuriant deterministinius modelius.
Bandymas atsižvelgti į visus veiksnius, turinčius įtakos gamybos eigai, daro modelį sudėtingą, jis nustoja tarnauti kaip planavimo, apskaitos ir reguliavimo įrankis.
Daugiau paprastas metodas Sudėtingų realių procesų matematinių modelių kūrimas, priklausantis nuo daugybės skirtingų veiksnių, į kuriuos sunku ar net neįmanoma atsižvelgti, yra stochastinių modelių kūrimas. Šiuo atveju analizuojant realios sistemos veikimo principus arba ją stebint individualios savybės Kai kuriems parametrams sudaromos tikimybių skirstinio funkcijos. Atsižvelgiant į aukštą kiekybinių proceso charakteristikų statistinį stabilumą ir mažą jų sklaidą, naudojant sukonstruotą modelį gauti rezultatai gerai sutampa su realios sistemos veiklos rodikliais.
Pagrindinės prielaidos kuriant statistinius ekonominių procesų modelius yra šios:
Per didelis atitinkamo deterministinio modelio sudėtingumas ir su tuo susijęs ekonominis neefektyvumas;
Dideli teorinių rodiklių, gautų atlikus eksperimentą su modeliu, nuokrypiai nuo faktiškai veikiančių objektų rodiklių.
Todėl pageidautina turėti paprastą matematinį aparatą, apibūdinantį stochastinių trikdžių įtaką globalioms gamybos proceso charakteristikoms (komercinei produkcijai, nebaigtos produkcijos apimčiai ir kt.). Tai yra, sukurti matematinį gamybos proceso modelį, priklausantį nuo nedidelio skaičiaus parametrų ir atspindintį bendrą daugelio skirtingo pobūdžio veiksnių įtaką gamybos proceso eigai. Pagrindinė užduotis Tikslas, kurį tyrėjas, kurdamas modelį, turėtų išsikelti sau, yra ne pasyvus realios sistemos parametrų stebėjimas, o modelio sukūrimas, kuris, esant bet kokiam nukrypimui veikiant trikdžiams, atneštų parametrus rodomus procesus į tam tikrą režimą. Tai yra, veikiant bet kokiam atsitiktiniam sistemos veiksniui, turi būti nustatytas procesas, kuris suartėtų su planuojamu sprendimu. Šiuo metu automatizuotose valdymo sistemose ši funkcija daugiausia priskiriama asmeniui, kuris yra viena iš grįžtamojo ryšio grandinės grandžių valdant gamybos procesus.
Pereikime prie realaus gamybos proceso analizės. Paprastai planavimo laikotarpio trukmė (planų išdavimo dirbtuvėms dažnis) parenkama remiantis tradiciniais kalendoriniais laiko intervalais: pamaina, diena, penkių dienų laikotarpis ir kt. Jie daugiausia vadovaujasi praktiniais sumetimais. Minimali planavimo laikotarpio trukmė nustatoma pagal planuojamų įstaigų veiklos galimybes. Jei įmonės gamybos ir išsiuntimo skyrius susidoroja su koreguotų pamainų užduočių išdavimu cechams, tada skaičiuojama kiekvienai pamainai (tai yra, išlaidos, susijusios su planuojamų užduočių skaičiavimu ir analize, patiriamos kiekvieną pamainą).
Nustatyti atsitiktinių tikimybių skirstinio skaitines charakteristikas
„Ekonomika ir vadyba“ serijoje kursime tikimybinį vieno surinkimo mazgo gamybos realaus technologinio proceso modelį. Čia ir toliau technologinis surinkimo agregato gamybos procesas reiškia operacijų seką (darbą gaminant duomenis apie dalį ar mazgą), dokumentuotą technologijoje. Kiekviena produkto gamybos technologinė operacija pagal technologinį maršrutą gali būti atliekama tik po ankstesnės. Vadinasi, surinkimo mazgo gamybos technologinis procesas yra įvykių-operacijų seka. Įvairių stochastinių priežasčių įtakoje gali keistis atskiros operacijos trukmė. Kai kuriais atvejais operacija gali būti nebaigta šios pamainos užduoties metu. Akivaizdu, kad šiuos įvykius galima išskaidyti į elementarius komponentus: atskirų operacijų vykdymą ir nevykdymą, kurie taip pat gali būti siejami su įvykdymo ir gedimo tikimybe.
Konkrečiam technologiniam procesui seka, sudaryta iš K operacijų, gali būti išreikšta tokia formule:
RS5 = k) = (1-rk+1)PG = 1Р1, (1)
čia: P1 – 1-osios operacijos atlikimo tikimybė atskirai; g - eilės operacijų skaičius technologiniame procese.
Pagal šią formulę galima nustatyti konkretaus planavimo laikotarpio stochastines charakteristikas, kai yra žinomas į gamybą pradėtų gaminti gaminių asortimentas ir darbų, kuriuos reikia atlikti tam tikru planavimo laikotarpiu, sąrašas, taip pat jų stochastinės charakteristikos, kurios yra nustatyta eksperimentiškai. Praktiškai tik kai kurios rūšys atitinka išvardytus reikalavimus. masinės gamybos, pasižymintis dideliu statistiniu charakteristikų stabilumu.
Tikimybė atlikti vieną konkrečią operaciją priklauso ne tik nuo išoriniai veiksniai, bet ir dėl specifinio atliekamo darbo pobūdžio bei surinkimo mazgo tipo.
Norint nustatyti pateiktos formulės parametrus, net ir esant santykinai nedideliam surinkimo vienetų rinkiniui, esant nedideliems gaminių asortimento pakeitimams, reikalingas didelis kiekis eksperimentinių duomenų, dėl kurių atsiranda didelių materialinių ir organizacinių sąnaudų bei šis metodas nenutrūkstamos produkcijos gamybos tikimybės nustatymas yra mažai naudingas.
Panagrinėkime gautą modelį, kad pamatytume, ar jį galima supaprastinti. Pradinė analizės reikšmė – produkto gamybos technologinio proceso vienos operacijos be gedimų įvykdymo tikimybė. Realiomis gamybos sąlygomis kiekvienos rūšies operacijų atlikimo tikimybė yra skirtinga. Konkrečiam technologiniam procesui ši tikimybė priklauso nuo:
apie atliktos operacijos tipą;
Iš konkretaus surinkimo bloko;
Iš lygiagrečiai gaminamų produktų;
Nuo išorinių veiksnių.
Panagrinėkime vienos operacijos atlikimo tikimybės svyravimų įtaką suvestinėms gaminių gamybos proceso charakteristikoms (komercinės produkcijos apimčiai, nebaigtos gamybos apimtims ir kt.), nustatytoms naudojant šį modelį. Tyrimo tikslas – išanalizuoti galimybę įvairias vienos operacijos atlikimo tikimybes modelyje pakeisti vidutine verte.
Skaičiuojant geometrinę vidutinę tikimybę atlikti vieną vidutinio technologinio proceso operaciją, atsižvelgiama į visų šių veiksnių bendrą įtaką. Šiuolaikinės gamybos analizė rodo, kad ji šiek tiek svyruoja: praktiškai 0,9 - 1,0 ribose.
Aiškus pavyzdys, kokia maža tikimybė atlikti vieną operaciją
radijas atitinka 0,9 reikšmę, yra tokia abstraktus pavyzdys. Tarkime, kad turime padaryti dešimt dalių. Kiekvieno iš jų gamybos technologiniai procesai apima dešimt operacijų. Kiekvienos operacijos atlikimo tikimybė yra 0,9. Raskime įvairaus skaičiaus technologinių procesų atsilikimo nuo grafiko tikimybes.
Atsitiktinis įvykis, kurį sudaro tai, kad konkretus surinkimo mazgo gamybos technologinis procesas atsiliks nuo grafiko, atitinka bent vienos šio proceso operacijos našumą. Tai yra įvykio priešingybė: visų operacijų vykdymas be gedimų. Jo tikimybė yra 1 – 0,910 = 0,65. Kadangi tvarkaraštis vėluoja nepriklausomi renginiai, norėdami nustatyti skirtingo skaičiaus technologinių procesų atsilikimo nuo grafiko tikimybę, galite naudoti Bernulio tikimybių skirstinį. Skaičiavimo rezultatai pateikti 1 lentelėje.
1 lentelė
Tikimybių atsilikti nuo technologinių procesų grafiko skaičiavimas
k С^о0,35к0,651О-к Kiekis
Lentelėje matyti, kad su 0,92 tikimybe penki technologiniai procesai, tai yra pusė, atsiliks nuo grafiko. Matematinė prognozė dėl technologinių procesų vėlavimo bus 6,5. Tai reiškia, kad vidutiniškai 6,5 surinkimo vienetų iš 10 atsiliks nuo grafiko, tai yra, vidutiniškai bus pagaminta 3–4 dalys be gedimų. Tokio žemo darbo organizavimo realioje gamyboje pavyzdžių autoriui nėra žinoma. Nagrinėjamas pavyzdys aiškiai parodo, kad nustatytas vienos operacijos atlikimo be gedimų tikimybės apribojimas neprieštarauja praktikai. Visus aukščiau išvardintus reikalavimus atitinka mechaninės inžinerinės gamybos mechaninio surinkimo cechų gamybos procesai.
Taigi, norint nustatyti gamybos procesų stochastines charakteristikas, siūloma sudaryti vieno technologinio proceso operatyvaus įvykdymo tikimybių skirstinį, kuris išreiškia surinkimo mazgo gamybos technologinių operacijų sekos atlikimo tikimybę per geometrinę vidutinę tikimybę. atliekant vieną operaciją. K operacijų atlikimo tikimybė šiuo atveju bus lygi kiekvienos operacijos atlikimo tikimybių sandaugai, padaugintai iš tikimybės, kad nepavyks užbaigti likusio technologinio proceso, kuri sutampa su tikimybe, kad nepavyks atlikti (K + T)-oji operacija. Šis faktas paaiškinamas tuo, kad jei neatliekama kuri nors operacija, negalima atlikti šių operacijų. Paskutinis įrašas skiriasi nuo kitų, nes išreiškia tikimybę, kad visas technologinis procesas bus baigtas be gedimų. Tikimybė atlikti K pirmąsias technologinio proceso operacijas yra vienareikšmiškai susijusi su tikimybe, kad nepavyks atlikti likusių operacijų. Taigi tikimybių skirstinys turi tokią formą:
RY=0)=р°(1-р),
Р(§=1) = р1(1-р), (2)
Р(^=1) = р1(1-р),
P(^=u-1) = pn"1(1 - p), P(£ = p) = pn,
čia: ^ - atsitiktinis dydis, atliktų operacijų skaičius;
p – geometrinė vidutinė tikimybė atlikti vieną operaciją, n – operacijų skaičius technologiniame procese.
Gauto vieno parametro tikimybių skirstinio taikymo teisingumas intuityviai matomas iš toliau pateiktų samprotavimų. Tarkime, kad apskaičiavome tikimybės atlikti vieną 1 operaciją su imtimi, susidedančia iš n elementų, kur n yra pakankamai didelis, geometrinį vidurkį.
р = УШТ7Р7= tl|p]t=1р!), (3)
čia: Iу - operacijų, kurių įvykdymo tikimybė yra tokia pati, skaičius; ] - operacijų, turinčių vienodą įvykdymo tikimybę, grupės indeksas; t – grupių, susidedančių iš operacijų, turinčių vienodą įvykdymo tikimybę, skaičius;
^ = - - santykinis operacijų su įvykdymo tikimybe p^ dažnis.
Teisėje dideli skaičiai, su neribotu operacijų skaičiumi, santykinis dažnis operacijų sekoje su tam tikrais stochastines charakteristikas tikimybe linksta į šio įvykio tikimybę. Iš kur tai seka
dviem pakankamai dideliems pavyzdžiams = , o tai reiškia:
čia: t1, t2 - grupių skaičius atitinkamai pirmame ir antrame mėginiuose;
1*, I2 - elementų skaičius atitinkamai pirmojo ir antrojo mėginių grupėje.
Tai rodo, kad jei parametras skaičiuojamas dideliam skaičiui bandymų, tai jis bus artimas parametrui P, apskaičiuotam duotai pakankamai didelei imčiai.
Reikėtų atkreipti dėmesį į skirtingą technologinio proceso operacijų skaičiaus atlikimo tikimybių skirtingą artumą tikrosios vertės atžvilgiu. Visuose skirstinio elementuose, išskyrus paskutinį, yra daugiklis (I - P). Kadangi parametro P reikšmė yra intervale 0,9 - 1,0, daugiklis (I - P) svyruoja tarp 0 - 0,1. Šis koeficientas atitinka koeficientą (I - p;) pradiniame modelyje. Patirtis rodo, kad toks atitikimas tam tikrai tikimybei gali sukelti iki 300 % paklaidą. Tačiau praktikoje dažniausiai domimasi ne tam tikro operacijų skaičiaus atlikimo tikimybėmis, o visiško įvykdymo be technologinio proceso gedimų tikimybe. Šioje tikimybėje nėra daugiklio (I - P), todėl jo nuokrypis nuo tikrosios vertės yra mažas (praktiškai ne daugiau kaip 3%). Ekonominėms problemoms tai yra gana didelis tikslumas.
Taip sukonstruoto atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys yra surinkimo agregato gamybos proceso stochastinis dinaminis modelis. Laikas į jį įtraukiamas netiesiogiai, kaip ir vienos operacijos trukmė. Modelis leidžia nustatyti tikimybę, kad po tam tikro laiko (atitinkamo operacijų skaičiaus) surinkimo agregato gamybos procesas nenutrūks. Mechaninės inžinerijos gamybos mechaninio surinkimo cechams vidutinis vieno technologinio proceso operacijų skaičius yra gana didelis (15 - 80). Jei laikysime šį skaičių pagrindiniu ir darysime prielaidą, kad gaminant vieną surinkimo mazgą vidutiniškai naudojamas nedidelis išplėstų darbų rinkinys (tekinimas, metalo apdirbimas, frezavimas ir kt.),
tada gautu skirstiniu galima sėkmingai įvertinti stochastinių trikdžių įtaką gamybos proceso eigai.
Autorius atliko šiuo principu sukurtą modeliavimo eksperimentą. Norėdami sukurti pseudo seką atsitiktiniai dydžiai, tolygiai paskirstytas intervale 0,9 - 1,0, buvo naudojamas pseudoatsitiktinių skaičių jutiklis, aprašytas darbe. Eksperimento programinė įranga parašyta algoritmine kalba COBOL.
Eksperimente formuojami generuojamų atsitiktinių dydžių sandaugai, imituojantys realias konkretaus technologinio proceso visiško įvykdymo tikimybes. Jie lyginami su technologinio proceso užbaigimo tikimybe, gauta naudojant vidurkį geometrinė vertė, kuris buvo apskaičiuotas tam tikrai to paties skirstinio atsitiktinių skaičių sekai. Geometrinis vidurkis padidinamas iki galios, lygios sandaugos veiksnių skaičiui. Santykinis procentinis skirtumas apskaičiuojamas tarp šių dviejų rezultatų. Eksperimentas kartojamas su skirtingu sandaugų faktorių skaičiumi ir skaičių, kurių geometrinis vidurkis apskaičiuojamas, skaičiui. Eksperimento rezultatų fragmentas parodytas 2 lentelėje.
2 lentelė
Modeliavimo eksperimento rezultatai:
n - geometrinės vidutinės vertės laipsnis; k – produkto laipsnis
p prie gaminio nuokrypio iki gaminio nuokrypio iki gaminio nuokrypio
10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%
10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%
10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%
10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%
10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%
10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%
13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%
13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%
13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%
13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%
13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%
16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%
16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%
16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%
16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%
16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%
16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%
19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%
19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%
19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%
19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%
19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%
19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%
22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%
22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%
22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%
22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%
22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%
22 100 0,0048 1%
25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%
25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%
25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%
25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%
25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%
28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%
28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%
28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%
28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%
28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%
28 94 0,0075 100 0,0048 5%
31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%
31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%
31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%
31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%
31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%
Atliekant šį modeliavimo eksperimentą, buvo siekiama ištirti galimybę, naudojant tikimybių skirstinį (2), gauti vieną iš padidintų statistinės charakteristikos gamybos procesas – tikimybė be gedimų užbaigti vieną surinkimo mazgo gamybos technologinį procesą, susidedantį iš K operacijų. Konkrečiam technologiniam procesui ši tikimybė yra lygi visų jo operacijų atlikimo tikimybių sandaugai. Kaip rodo imitacinis eksperimentas, jo santykiniai nuokrypiai nuo tikimybės, gautos naudojant sukurtą tikimybinį modelį, neviršija 9%.
Kadangi modeliavimo eksperimente naudojamas nepatogesnis tikimybių skirstinys nei tikrasis, praktiniai neatitikimai bus dar mažesni. Nukrypimai stebimi tiek mažėjimo kryptimi, tiek pagal vidutines charakteristikas gautos reikšmės viršijimo kryptimi. Šis faktas rodo, kad jei atsižvelgsime į ne vieno technologinio proceso, o kelių be gedimų vykdymo tikimybės nuokrypį, jis bus žymiai mažesnis. Akivaizdu, kad kuo daugiau bus atsižvelgta į technologinius procesus, tuo jis bus mažesnis. Taigi modeliavimo eksperimentas rodo gerą sutapimą tarp tikimybės, kad gaminių gamybos technologinis procesas bus baigtas be gedimų, ir tikimybės, gautos naudojant vieno parametro matematinį modelį.
Be to, buvo atlikti modeliavimo eksperimentai:
Ištirti tikimybių skirstinio parametrų įverčio statistinę konvergenciją;
Ištirti be gedimų atliktų operacijų skaičiaus matematinio lūkesčio statistinį stabilumą;
Išanalizuoti minimalaus planavimo laikotarpio trukmės nustatymo ir gamybos proceso planinių ir faktinių rodiklių neatitikimo vertinimo metodus, kai planinis ir gamybos laikotarpiai nesutampa laike.
Eksperimentai parodė gerą suderinamumą tarp teorinių duomenų, gautų naudojant metodus, ir empirinių duomenų, gautų modeliuojant
Serija "Ekonomika ir vadyba"
Realių gamybos procesų kompiuteriai.
Remdamasis sukonstruoto matematinio modelio taikymu, autorius sukūrė tris specifinius metodus veiklos valdymo efektyvumui didinti. Norint juos išbandyti, buvo atlikti atskiri modeliavimo eksperimentai.
1. Planavimo laikotarpio gamybos užduoties racionalios apimties nustatymo metodika.
2. Efektyviausios veiklos planavimo laikotarpio trukmės nustatymo metodika.
3. Neatitikimo įvertinimas, kai yra laiko neatitikimas tarp planavimo ir gamybos laikotarpių.
Literatūra
1. Mordasovas Yu.P. Minimalaus eksploatavimo planavimo laikotarpio trukmės nustatymas atsitiktinių trikdžių sąlygomis / Ekonominis-matematinis ir imitacinis modeliavimas kompiuteriu. - M: MIU im. S. Ordžonikidzė, 1984 m.
2. Naylor T. Mašininio modeliavimo eksperimentai su ekonominių sistemų modeliais. -M: Mir, 1975 m.
Perėjimas nuo koncentracijos prie diversifikacijos yra efektyvus būdas plėtoti smulkaus ir vidutinio verslo ekonomiką
prof. Kozlenko N. N. Mechanikos inžinerijos universitetas
Anotacija. Šiame straipsnyje nagrinėjama efektyviausios Rusijos smulkaus ir vidutinio verslo plėtros pasirinkimo problema, pereinant nuo koncentracijos strategijos prie diversifikacijos strategijos. Nagrinėjami diversifikacijos pagrįstumo klausimai, privalumai, diversifikacijos kelio pasirinkimo kriterijai, pateikiama diversifikacijos strategijų klasifikacija.
Raktažodžiai: smulkus ir vidutinis verslas; diversifikavimas; strateginis tinkamumas; konkurencinius pranašumus.
Aktyvūs makroaplinkos parametrų pokyčiai (rinkos sąlygų pokyčiai, naujų konkurentų atsiradimas susijusiose pramonės šakose, konkurencijos lygio padidėjimas apskritai) dažnai lemia tai, kad tikslai nepasiekiami. strateginius planus smulkaus ir vidutinio verslo, įmonių finansinio ir ekonominio stabilumo praradimai dėl didelio atotrūkio tarp smulkių įmonių veiklos objektyvių sąlygų ir jų valdymo technologijų lygio.
Pagrindinės ekonominio stabilumo ir konkurencinių pranašumų išlaikymo sąlygos yra valdymo sistemos gebėjimas laiku reaguoti ir keisti vidinius gamybos procesus (keisti asortimentą atsižvelgiant į diversifikaciją, pertvarkyti gamybos ir technologinius procesus, keisti įmonės struktūrą). naudoti novatoriškas rinkodaros ir valdymo priemones).
Rusijos mažų ir vidutinių gamybos ir paslaugų įmonių praktikos tyrimas leido mums nustatyti šiuos bruožus ir pagrindinius priežasties ir pasekmės ryšius, susijusius su moderni tendencija mažų įmonių perėjimas nuo koncentracijos prie diversifikacijos.
Dauguma MVĮ pradeda veiklą kaip mažos vienos linijos įmonės, aptarnaujančios vietines ar regionines rinkas. Veiklos pradžioje tokios įmonės prekių asortimentas yra labai ribotas, kapitalo bazė silpna, konkurencinė padėtis pažeidžiama. Paprastai tokių įmonių strategija orientuota į pardavimų augimą ir rinkos dalį, taip pat
Stochastinis modelis apibūdina situaciją, kai yra neapibrėžtumas. Kitaip tariant, procesui būdingas tam tikras atsitiktinumo laipsnis. Pats būdvardis „stochastinis“ kilęs iš graikų kalbos žodžio „atspėti“. Nes neapibrėžtumas yra pagrindinė savybė kasdienybė, tada toks modelis gali apibūdinti bet ką.
Tačiau kiekvieną kartą naudodami gausime skirtingą rezultatą. Todėl dažniau naudojami deterministiniai modeliai. Nors jos ir nėra kuo artimesnės tikrosios padėties, jos visada duoda tą patį rezultatą ir padeda lengviau suprasti situaciją, supaprastina ją įvesdamos matematinių lygčių rinkinį.
Pagrindinės savybės
Stochastinis modelis visada apima vieną ar daugiau atsitiktinių dydžių. Ji stengiasi atspindėti tikrąjį gyvenimą visomis jo apraiškomis. Skirtingai nei stochastinė, ji neturi tikslo viską supaprastinti ir sumažinti iki žinomų verčių. Todėl neapibrėžtumas yra pagrindinė jo savybė. Stochastiniai modeliai tinka apibūdinti bet ką, tačiau jie visi turi šiuos bendrus bruožus:
- Bet kuris stochastinis modelis atspindi visus problemos, kuriai jis buvo sukurtas tirti, aspektus.
- Kiekvieno įvykio baigtis neaiški. Todėl modelis apima tikimybes. Bendrų rezultatų teisingumas priklauso nuo jų skaičiavimo tikslumo.
- Šios tikimybės gali būti naudojamos nuspėti ar apibūdinti pačius procesus.
Deterministiniai ir stochastiniai modeliai
Vieniems gyvenimas atrodo kaip procesų serija, kitiems, kai priežastis lemia pasekmes. Tiesą sakant, jai būdingas netikrumas, bet ne visada ir ne visame kame. Todėl kartais sunku rasti aiškių skirtumų tarp stochastinių ir deterministinių modelių. Tikimybės yra gana subjektyvus rodiklis.
Pavyzdžiui, apsvarstykite monetos metimo situaciją. Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad „uodegų“ nusileidimo tikimybė yra 50%. Todėl turi būti naudojamas deterministinis modelis. Tačiau iš tikrųjų paaiškėja, kad daug kas priklauso nuo žaidėjų gudrumo ir monetos balansavimo tobulumo. Tai reiškia, kad reikia naudoti stochastinį modelį. Visada yra parametrų, kurių mes nežinome. Realiame gyvenime priežastis visada lemia pasekmes, tačiau yra ir tam tikro neapibrėžtumo. Pasirinkimas tarp deterministinių ir stochastinių modelių priklauso nuo to, ką esame pasirengę paaukoti – analizės paprastumą ar tikroviškumą.
Chaoso teorijoje
IN pastaruoju metu kurio modelio sąvoka vadinama stochastiniu, tapo dar labiau miglota. Taip yra dėl vadinamosios chaoso teorijos išsivystymo. Jame aprašomi deterministiniai modeliai, kurie gali duoti skirtingus rezultatus su nedideliais pradinių parametrų pokyčiais. Tai tarsi įvadas į neapibrėžtumo skaičiavimą. Daugelis mokslininkų netgi pripažino, kad tai jau stochastinis modelis.
Lotharas Breueris viską grakščiai paaiškino poetiškais vaizdais. Jis rašė: „Kalnų upelis, plakanti širdis, raupų epidemija, kylančių dūmų stulpas – visa tai dinamiško reiškinio, kuris kartais atrodo būdingas atsitiktinumui, pavyzdys. Tiesą sakant, tokie procesai visada yra pavaldūs tam tikra tvarka, kurią mokslininkai ir inžinieriai tik pradeda suprasti. Tai vadinamasis deterministinis chaosas“. Nauja teorija skamba labai patikimai, todėl daugelis šiuolaikinių mokslininkų yra jos šalininkai. Tačiau jis vis dar yra prastai išvystytas ir gana sunkiai pritaikomas statistiniams skaičiavimams. Todėl dažnai naudojami stochastiniai arba deterministiniai modeliai.
Statyba
Stochastika prasideda nuo elementarių rezultatų erdvės pasirinkimo. Tai jie vadina sąrašu statistikoje. galimus rezultatus tiriamas procesas ar įvykis. Tada tyrėjas nustato kiekvieno elementaraus rezultato tikimybę. Paprastai tai daroma pagal konkrečią metodiką.
Tačiau tikimybės vis dar yra gana subjektyvus parametras. Tada tyrėjas nustato, kurie įvykiai atrodo įdomiausi norint išspręsti problemą. Po to jis tiesiog nustato jų tikimybę.
Pavyzdys
Panagrinėkime paprasčiausio stochastinio modelio sudarymo procesą. Tarkime, metame kauliuką. Jei pasirodys „šeši“ arba „vienas“, mūsų laimėjimas bus dešimt dolerių. Šiuo atveju stochastinio modelio kūrimo procesas atrodys taip:
- Apibrėžkime elementarių rezultatų erdvę. Kauliukas turi šešias puses, todėl ritinėliai gali būti „vienas“, „du“, „trys“, „keturi“, „penki“ ir „šeši“.
- Kiekvieno rezultato tikimybė bus 1/6, nesvarbu, kiek kartų messime kauliuką.
- Dabar turime nustatyti mus dominančius rezultatus. Tai yra krašto su skaičiumi „šeši“ arba „vienas“ kritimas.
- Galiausiai galime nustatyti mus dominančio įvykio tikimybę. Tai yra 1/3. Sumuojame abiejų mus dominančių elementarių įvykių tikimybes: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Koncepcija ir rezultatas
Stochastinis modeliavimas dažnai naudojamas azartiniuose lošimuose. Tačiau jis taip pat yra būtinas ekonominiam prognozavimui, nes leidžia suprasti situaciją giliau nei deterministiniai. Stochastiniai modeliai ekonomikoje dažnai naudojami priimant investicinius sprendimus. Jie leidžia daryti prielaidas apie investicijų į tam tikrą turtą ar turto grupes pelningumą.
Modeliavimas daro finansinį planavimą efektyvesnį. Jos pagalba investuotojai ir prekiautojai optimizuoja savo turto paskirstymą. Stochastinio modeliavimo naudojimas ilgainiui visada turi naudos. Kai kuriose pramonės šakose atsisakymas arba nesugebėjimas jo taikyti gali netgi sukelti įmonės bankrotą. Taip yra dėl to, kad realiame gyvenime kasdien atsiranda naujų svarbių parametrų, o jei jų nėra, gali turėti katastrofiškų pasekmių.