Tabanın çevresi nedir. Bir dairenin çevresi nasıl bulunur: çap ve yarıçap kullanarak
Daire, tüm noktaları merkezden aynı uzaklıkta olan kapalı bir eğridir. Bu rakam düz. Bu nedenle, bir dairenin çevresinin nasıl bulunacağı sorusu olan sorunun çözümü oldukça basittir. Mevcut tüm yöntemler, bugünün makalesinde ele alacağız.
Şekil açıklamaları
Oldukça basit bir tanımlayıcı tanıma ek olarak, bir dairenin çevresinin nasıl bulunacağı sorusunun cevabını kendi içinde içeren üç matematiksel özelliği daha vardır:
- A ve B noktalarından ve AB'nin dik açılarla görülebildiği diğer tüm noktalardan oluşur. Bu rakamın çapı, söz konusu segmentin uzunluğuna eşittir.
- AX/BX oranı sabit olacak ve bire eşit olmayacak şekilde yalnızca X noktalarını içerir. Bu koşul karşılanmazsa, bir daire değildir.
- Her biri için aşağıdaki eşitliğin geçerli olduğu noktalardan oluşur: diğer ikisine olan uzaklıkların karelerinin toplamı, her zaman aralarındaki segment uzunluğunun yarısından daha büyük olan belirli bir değerdir.
terminoloji
okuldaki herkeste yoktu iyi öğretmen matematik. Bu nedenle, bir dairenin çevresinin nasıl bulunacağı sorusunun cevabı, herkesin temel geometrik kavramları bilmemesi gerçeğiyle de karmaşıktır. Yarıçap - şeklin merkezini eğri üzerindeki bir nokta ile birleştiren bir segment. özel durum trigonometride birim çemberdir. Bir kiriş, bir eğri üzerindeki iki noktayı birleştiren bir çizgi parçasıdır. Örneğin, önceden düşünülen AB bu tanımın kapsamına girer. Çap, merkezden geçen bir akordur. π sayısı birim yarım dairenin uzunluğuna eşittir.
Temel formüller
Geometrik formüller, dairenin ana özelliklerini hesaplamanıza izin veren tanımlardan doğrudan gelir:
- Uzunluk, π sayısı ile çapın çarpımına eşittir. Formül genellikle şu şekilde yazılır: C = π*D.
- Yarıçap, çapın yarısıdır. Çevreyi π sayısının iki katına bölme bölümü hesaplanarak da hesaplanabilir. Formül şöyle görünür: R = C/(2* π) = D/2.
- Çap, çevrenin π'ye veya yarıçapın iki katına bölünmesine eşittir. Formül oldukça basittir ve şöyle görünür: D = C/π = 2*R.
- Bir dairenin alanı, π sayısı ile yarıçapın karesinin çarpımına eşittir. Benzer şekilde, bu formülde çap kullanılabilir. Bu durumda alan, π sayısının çarpımının ve çapın karesinin dörde bölünmesinin bölümüne eşit olacaktır. Formül şu şekilde yazılabilir: S = π*R 2 = π*D 2 /4.
Bir çaptan bir dairenin çevresi nasıl bulunur
Açıklamanın basitliği için, hesaplama için gerekli şeklin özelliklerini harflerle belirtiriz. İstenen uzunluk C, çapı D ve pi yaklaşık 3.14 olsun. Bilinen yalnızca bir miktarımız varsa, problem çözülmüş olarak kabul edilebilir. Hayatta neden gerekli? Yuvarlak bir havuzu çitle kapatmaya karar verdiğimizi varsayalım. Gerekli sütun sayısı nasıl hesaplanır? Ve burada bir dairenin çevresini hesaplama yeteneği kurtarmaya geliyor. Formül aşağıdaki gibidir: C = π D. Örneğimizde çap, havuzun yarıçapına ve çite gerekli mesafeye göre belirlenir. Örneğin, evimizin yapay göletinin 20 metre genişliğinde olduğunu ve ondan on metre uzağa direkler koyacağımızı varsayalım. Ortaya çıkan dairenin çapı 20 + 10 * 2 = 40 m, uzunluğu 3.14 * 40 = 125,6 metredir. Aralarındaki boşluk yaklaşık 5 m ise 25 sütuna ihtiyacımız olacak.
yarıçap boyunca uzunluk
Her zaman olduğu gibi, karakteristiklere harf daireleri atayarak başlayalım. Aslında, evrenseldirler, bu nedenle matematikçiler Farklı ülkeler birbirlerinin dilini bilmek gerekli değildir. C'nin bir dairenin çevresi, r'nin yarıçapı ve π'nin yaklaşık 3.14 olduğunu varsayalım. Bu durumda formül şöyle görünür: C = 2*π*r. Açıkçası, bu kesinlikle doğru bir eşitliktir. Daha önce anladığımız gibi, bir dairenin çapı, yarıçapının iki katına eşittir, dolayısıyla bu formül şöyle görünür. Hayatta, bu yöntem de sıklıkla işe yarayabilir. Örneğin, özel bir kayar formda kek pişiriyoruz. Kirlenmemesi için dekoratif bir sargıya ihtiyacımız var. Ancak istenen boyutta bir daire nasıl kesilir. Matematiğin kurtarmaya geldiği yer burasıdır. Bir dairenin çevresini nasıl bulacağını bilenler hemen π sayısını şeklin yarıçapının iki katı ile çarpmanız gerektiğini söyleyeceklerdir. Yarıçapı 25 cm ise, uzunluk 157 santimetre olacaktır.
Görev örnekleri
Bir dairenin çevresinin nasıl bulunacağına dair edinilen bilginin birkaç pratik örneğini zaten düşündük. Ancak çoğu zaman onlarla değil, gerçek olanlarla ilgileniyoruz. Matematik problemleri ders kitabında yer almaktadır. Sonuçta, öğretmen onlara puan veriyor! öyleyse soruna bakalım artan karmaşıklık. Çevrenin 26 cm olduğunu varsayalım, böyle bir şeklin yarıçapı nasıl bulunur?
Örnek Çözüm
Başlamak için bize verilenleri yazalım: C \u003d 26 cm, π \u003d 3.14. Ayrıca şu formülü de hatırlayın: C = 2* π*R. Ondan dairenin yarıçapını çıkarabilirsiniz. Böylece, R= C/2/π. Şimdi doğrudan hesaplamaya geçelim. İlk önce uzunluğu ikiye bölün. 13 alıyoruz. Şimdi π: 13 / 3.14 \u003d 4.14 cm sayısının değerine bölmemiz gerekiyor Cevabı doğru, yani ölçü birimleri ile yazmayı unutmamak önemlidir, aksi takdirde tüm pratik bu tür sorunların anlamı kaybolur. Ek olarak, böyle bir dikkatsizlik için bir puan daha düşük puan alabilirsiniz. Ve ne kadar can sıkıcı olursa olsun, bu duruma katlanmak zorundasın.
Canavar boyandığı kadar korkutucu değil
Bu yüzden ilk bakışta böyle zor bir görev bulduk. Görünüşe göre, sadece terimlerin anlamını anlamanız ve birkaç kolay formülü hatırlamanız gerekiyor. Matematik o kadar korkutucu değil, sadece biraz çaba göstermen gerekiyor. Demek geometri seni bekliyor!
Bir daire, bir noktadan eşit uzaklıkta olan ve sırayla bu dairenin merkezi olan bir dizi noktadır. Çemberin de kendi yarıçapı vardır, bu noktaların merkezden uzaklığına eşittir.
Bir dairenin uzunluğunun çapına oranı tüm daireler için aynıdır. Bu oran, Yunan harfiyle gösterilen matematiksel bir sabit olan bir sayıdır. π .
Bir dairenin çevresini belirleme
Aşağıdaki formülü kullanarak daireyi hesaplayabilirsiniz:
L= π D=2 π r
r- daire yarıçapı
D- daire çapı
L- çevre
π - 3.14
Bir görev:
Çevreyi hesapla 10 santimetre yarıçaplı.
Çözüm:Bir dairenin dinasını hesaplamak için formülşuna benziyor:
L= π D=2 π r
burada L çevre, π 3,14, r dairenin yarıçapı, D dairenin çapıdır.
Buna göre yarıçapı 10 cm olan bir dairenin çevresi:
Boy = 2 × 3.14 × 5 = 31,4 santimetre
Daire düzlemdeki tüm noktaların toplamı olan geometrik bir şekildir. verilen nokta merkezi olarak adlandırılan, sıfıra eşit olmayan ve yarıçap olarak adlandırılan bir mesafede. Bilim adamları, uzunluğunu zaten eski zamanlarda değişen derecelerde doğrulukla nasıl belirleyeceklerini biliyorlardı: bilim tarihçileri, bir dairenin çevresini hesaplamak için ilk formülün eski Babil'de MÖ 1900 civarında derlendiğine inanıyor.
Daire gibi geometrik şekillerle her gün ve her yerde karşılaşıyoruz. Çeşitli araçlarla donatılmış tekerleklerin dış yüzeyine sahip olan şeklidir. Bu detay, görünüşte sadeliğine ve gösterişsiz olmasına rağmen, insanlığın en büyük icatlarından biri olarak kabul edilir ve ilginçtir ki, Avustralya yerlileri ve Amerikan Kızılderilileri, Avrupalılar gelene kadar, bunun ne olduğu hakkında kesinlikle hiçbir fikirleri yoktu.
Her durumda, ilk tekerlekler, bir dingil üzerine monte edilmiş kütük parçalarıydı. Yavaş yavaş, tekerleğin tasarımı gelişti, tasarımları giderek daha karmaşık hale geldi ve üretimleri için birçok farklı alet kullanmak gerekliydi. İlk önce, ahşap bir jant ve konuşmacıdan oluşan tekerlekler ortaya çıktı ve daha sonra dış yüzeylerindeki aşınmayı azaltmak için metal şeritlerle döşemeye başladılar. Bu elemanların uzunluklarını belirlemek için, çevreyi hesaplamak için formülü kullanmak gerekir (pratikte, büyük olasılıkla, ustalar bunu “gözle” yapmış ya da sadece tekerleği bir şeritle kaplamış ve gerekli olanı kesmiştir. bölümü).
bu not alınmalı teker hiçbir şekilde sadece araçlarda kullanılmaz. Örneğin, bir çömlekçi çarkı, teknolojide yaygın olarak kullanılan dişlilerin dişli elemanlarının yanı sıra şekline sahiptir. Eski zamanlardan beri, çarklar su değirmenlerinin yapımında (bilim adamları tarafından bilinen bu türden en eski yapılar Mezopotamya'da inşa edilmiştir) ve ayrıca hayvan yünü ve bitki liflerinden iplik yapmak için kullanılan çıkrıklarda kullanılmıştır.
çevreler genellikle inşaatta bulunur. Şekilleri, Romanesk mimari tarzının çok karakteristik özelliği olan oldukça yaygın yuvarlak pencerelerdir. Bu yapıların üretimi çok zor bir iştir ve özel bir aletin mevcudiyetinin yanı sıra yüksek beceri gerektirir. Yuvarlak pencere çeşitlerinden biri, gemilere ve uçaklara monte edilen lombozlardır.
Bu nedenle, tasarım mühendisleri genellikle bir dairenin çevresini belirleme, çeşitli makineler, mekanizmalar ve montajların yanı sıra mimarlar ve tasarımcılar geliştirme problemini çözmek zorundadır. numaradan beri π bunun için gerekli sonsuzdur, o zaman bu parametreyi mutlak doğrulukla belirlemek mümkün değildir ve bu nedenle hesaplamalar, belirli bir durumda gerekli ve yeterli olan bu dereceyi dikkate alır.
Çevre harfle gösterilir C ve aşağıdaki formülle hesaplanır:
C = 2πR,
nerede R - daire yarıçapı.
Bir dairenin çevresini ifade eden bir formülün türetilmesi
C ve C' yolu, R ve R' yarıçaplı dairelerin uzunluklarıdır. Her birine düzenli bir n-gon yazalım ve çevrelerinde Pn ve P" ile ve kenarlarında bir n ve a" ile gösterelim. Normal bir n-gon a n = 2R günahın (180°/n) kenarını hesaplamak için formülü kullanarak şunu elde ederiz:
P n \u003d n bir n \u003d n 2R günah (180 ° / n),
P "n \u003d n a" n \u003d n 2R "günah (180 ° / n).
Sonuç olarak,
P n / P" n \u003d 2R / 2R". (bir)
Bu eşitlik n'nin herhangi bir değeri için geçerlidir. Şimdi n sayısını süresiz olarak artıracağız. P n → C, P" n → C", n → ∞ olduğundan, P n / P" n ilişkisinin sınırı C / C" ye eşittir. Öte yandan, eşitlik (1) nedeniyle bu sınır 2R / 2R" ye eşittir. Böylece, C / C" = 2R / 2R". Bu eşitlikten, C / 2R = C" / 2R" olduğu, yani. bir dairenin çevresinin çapına oranı tüm daireler için aynı sayıdır. Bu sayı genellikle Yunanca π ("pi") harfi ile gösterilir.
C / 2R = π eşitliğinden, R yarıçaplı bir dairenin çevresini hesaplamak için bir formül elde ederiz:
С = 2πR.
Yay uzunluğu
Tüm dairenin uzunluğu 2πR olduğundan, 1°'lik bir yayın uzunluğu l, 2πR / 360 = πR / 180'dir.
Bu yüzden derece ölçüsü α olan dairesel bir yayın uzunluğu l formül ile ifade edilir
l = (πR / 180) α.
Çevremizdeki dünyadaki birçok nesne yuvarlaktır. Bunlar tekerlekler, yuvarlak pencere açıklıkları, borular, çeşitli mutfak eşyaları ve çok daha fazlası. Çapını veya yarıçapını bilerek bir dairenin çevresini hesaplayabilirsiniz.
Bunun için birkaç tanım var geometrik şekil.
- Belirli bir noktadan aynı uzaklıkta bulunan noktalardan oluşan kapalı bir eğridir.
- Bu, segmentin uçları olan A ve B noktalarından ve A ve B'nin dik açılarda görülebildiği tüm noktalardan oluşan bir eğridir. Bu durumda, AB segmenti çaptır.
- Aynı AB parçası için, bu eğri, AC/BC oranı sabit olacak ve 1'e eşit olmayacak şekilde tüm C noktalarını içerir.
- Bu, aşağıdakilerin doğru olduğu noktalardan oluşan bir eğridir: bir noktadan diğer A ve B noktalarına olan uzaklıkların karelerini toplarsanız, A ve B'yi birleştiren doğru parçasının 1/2'sinden büyük bir sabit sayı elde edersiniz. B. Bu tanım Pisagor teoreminden türetilmiştir.
Not! Başka tanımlar da var. Daire, daire içinde bir alandır. Bir dairenin çevresi, uzunluğudur. Çeşitli tanımlara göre, bir daire, sınırı olan eğrinin kendisini içerebilir veya içermeyebilir.
Bir dairenin tanımı
formüller
Yarıçapı kullanarak bir dairenin çevresi nasıl hesaplanır? Bu basit bir formülle yapılır:
burada L istenen değerdir,
π, yaklaşık olarak 3.1413926'ya eşit olan pi sayısıdır.
Genellikle istenen değeri bulmak için ikinci ondalık basamağa kadar π kullanmak yeterlidir, yani 3.14, bu istenen doğruluğu sağlayacaktır. Hesap makinelerinde, özellikle mühendislik makinelerinde, π sayısının değerini otomatik olarak giren bir düğme olabilir.
gösterim
Çapı bulmak için aşağıdaki formül vardır:
L zaten biliniyorsa, yarıçapı veya çapı kolayca öğrenebilirsiniz. Bunu yapmak için L, sırasıyla 2π veya π ile bölünmelidir.
Zaten bir daire verilmişse, bu verilerden çevreyi nasıl bulacağınızı anlamanız gerekir. Bir dairenin alanı S = πR2'dir. Buradan yarıçapı buluruz: R = √(S/π). O zamanlar
L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).
Alanı L cinsinden hesaplamak da kolaydır: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)
Özetle, üç ana formül olduğunu söyleyebiliriz:
- yarıçap boyunca – L = 2πR;
- çap boyunca - L = πD;
- bir dairenin alanı boyunca – L = 2√(Sπ).
Pi
π sayısı olmadan, söz konusu sorunu çözmek mümkün olmayacaktır. π sayısı ilk kez bir dairenin çevresinin çapına oranı olarak bulundu. Bu eski Babilliler, Mısırlılar ve Hintliler tarafından yapıldı. Bunu oldukça doğru bir şekilde buldular - sonuçları şu anda bilinen π değerinden %1'den fazla farklı değildi. Sabit, 25/8, 256/81, 339/108 gibi kesirler tarafından yaklaşık olarak hesaplandı.
Ayrıca, bu sabitin değeri sadece geometri açısından değil, aynı zamanda seri toplamları aracılığıyla matematiksel analiz açısından da değerlendirildi. Bu sabitin Yunanca π harfiyle gösterimi ilk olarak 1706'da William Jones tarafından kullanılmış ve Euler'in çalışmasından sonra popüler olmuştur.
Artık bu sabitin sonsuz periyodik olmayan bir sabit olduğu bilinmektedir. ondalık irrasyoneldir, yani iki tam sayının oranı olarak temsil edilemez. 2011 yılında süper bilgisayarlar üzerinde yapılan hesaplamaların yardımıyla bir sabitin 10 trilyon işaretini öğrendiler.
Bu ilginç!π sayısının ilk birkaç karakterini ezberlemek için çeşitli anımsatıcı kurallar icat edildi. Bazıları saklamanıza izin verir Büyük sayı sayılar, örneğin bir Fransız şiiri, 126 karaktere kadar pi sayısını hatırlamanıza yardımcı olacaktır.
Çevreye ihtiyacınız varsa, çevrimiçi hesap makinesi bu konuda size yardımcı olacaktır. Bu tür birçok hesap makinesi var, yalnızca yarıçapı veya çapı girmeleri gerekiyor. Bazıları bu seçeneklerin her ikisine de sahip, bazıları sadece R üzerinden sonucu hesaplıyor. Bazı hesap makineleri istenilen değeri farklı doğrulukta hesaplayabilir, ondalık basamak sayısını belirtmeniz gerekir. Ayrıca, çevrimiçi hesaplayıcıları kullanarak bir dairenin alanını hesaplayabilirsiniz.
Bu tür hesap makinelerini herhangi bir arama motorunda bulmak kolaydır. Bir dairenin çevresinin nasıl bulunacağı sorununu çözmeye yardımcı olacak mobil uygulamalar da vardır.
Faydalı video: çevre
Pratik kullanım
Böyle bir sorunu çözmek genellikle mühendisler ve mimarlar için gereklidir, ancak günlük yaşamda gerekli formüllerin bilgisi de işe yarayabilir. Örneğin, 20 cm çapında bir formda pişirilmiş bir pastayı bir kağıt şeritle sarmak gerekir, o zaman bu şeridin uzunluğunu bulmak zor olmayacaktır:
L \u003d πD \u003d 3.14 * 20 \u003d 62,8 cm.
Başka bir örnek: belirli bir mesafede dairesel bir havuzun etrafına bir çit yapmanız gerekiyor. Havuzun yarıçapı 10 m ise ve çitin 3 m mesafeye yerleştirilmesi gerekiyorsa, elde edilen daire için R 13 m olacaktır.O zaman uzunluğu:
L \u003d 2πR \u003d 2 * 3.14 * 13 \u003d 81.68 m.
Faydalı video: daire - yarıçap, çap, çevre
Sonuç
Bir dairenin çevresi kolayca hesaplanabilir basit formüller, çap veya yarıçap dahil. İstediğiniz değeri dairenin alanı aracılığıyla da bulabilirsiniz. Çevrimiçi hesap makineleri veya mobil uygulamalar, tek bir sayı - çap veya yarıçap girmeniz gereken bu sorunu çözmenize yardımcı olacaktır.
Temas halinde
Bir daire, bir daireyi çevreleyen eğri bir çizgidir. Geometride şekiller düzdür, bu nedenle tanım iki boyutlu bir görüntüyü ifade eder. Bu eğrinin tüm noktalarının dairenin merkezinden eşit uzaklıkta olduğu varsayılır.
Daire, bu geometrik şekille ilgili hesaplamaların yapıldığı bazı özelliklere sahiptir. Bunlar şunları içerir: çap, yarıçap, alan ve çevre. Bu özellikler birbiriyle ilişkilidir, yani bileşenlerden en az biri hakkında bilgi bunları hesaplamak için yeterlidir. Örneğin, formülü kullanarak bir geometrik şeklin yalnızca yarıçapını bilerek çevresini, çapını ve alanını bulabilirsiniz.
- Bir dairenin yarıçapı, merkezine bağlı dairenin içindeki bir segmenttir.
- Çap, noktalarını birleştiren ve merkezden geçen bir dairenin içindeki bir doğru parçasıdır. Aslında, çap iki yarıçaptır. Hesaplama formülü tam olarak şöyle görünür: D=2r.
- Çemberin başka bir bileşeni daha var - akor. Bu, bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren, ancak her zaman merkezden geçmeyen düz bir çizgidir. Bu yüzden içinden geçen kirişe çap da denir.
Çemberin çevresi nasıl bulunur? Şimdi öğrenelim.
Çevre: formül
Bu özelliği belirtmek için Latince p harfi seçilmiştir. Arşimet ayrıca bir dairenin çevresinin çapına oranının tüm daireler için aynı sayı olduğunu kanıtladı: bu, yaklaşık olarak 3.14159'a eşit olan π sayısıdır. π hesaplama formülü şöyle görünür: π = p/d. Bu formüle göre p'nin değeri πd'ye, yani çevresine eşittir: p= πd. d (çap) iki yarıçapa eşit olduğundan, aynı çevre formülü p=2πr olarak yazılabilir.Örnek olarak basit problemleri kullanarak formülün uygulamasını düşünün:
Görev 1
Çar Çanı'nın tabanında çap 6,6 metredir. Zilin tabanının çevresi kaç cm'dir?
- Yani çemberi hesaplama formülü p= πd'dir.
- Mevcut değeri şu formülde değiştiririz: p \u003d 3.14 * 6.6 \u003d 20.724
Cevap: Zilin tabanının çevresi 20.7 metredir.
Görev 2
Dünya'nın yapay bir uydusu, gezegenden 320 km uzaklıkta döner. Dünyanın yarıçapı 6370 km'dir. Uydunun dairesel yörüngesinin uzunluğu nedir?
- 1. Dünya uydusunun dairesel yörüngesinin yarıçapını hesaplayın: 6370+320=6690 (km)
- 2. Uydunun dairesel yörüngesinin uzunluğunu aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayın: P=2πr
- 3.P=2*3.14*6690=42013.2
Cevap: Dünya uydusunun dairesel yörüngesinin uzunluğu 4203.2 km'dir.
Çevreyi ölçmek için yöntemler
Bir dairenin çevresinin hesaplanması pratikte sıklıkla kullanılmaz. Bunun nedeni π sayısının yaklaşık değeridir. Günlük yaşamda, bir dairenin uzunluğunu bulmak için özel bir cihaz kullanılır - bir eğri ölçer. Daire üzerinde rastgele bir referans noktası işaretlenir ve cihaz, tekrar bu noktaya ulaşana kadar kesinlikle çizgi boyunca ondan yönlendirilir.
Çemberin çevresi nasıl bulunur? Hesaplamalar için basit formülleri aklınızda tutmanız yeterlidir.